2 η Εργασία. Αναπτύσσω το δεξιό µέλος της ισότητας την οποία προσπαθώ να αποδείξω : sin. sin. = cos cos + sin. = 2 cos sin 2. cos.

Transcript

1 η Εργασία Ερώτηση a] Αναπτύσσω το δεξιό µέλος της ισότητας την οποία προσπαθώ να αποδείξω : cos A B A B cos cos sin A B sin sin A B sin A B A B cos cos sin cos A B sin A B A cos sin A cos B B B cos sin cos A B B A A A B sin cos sin sin cos sin A cos sin A sin B cos B B B cos sin sin A cos A A cos sin A B B cos sin sina sinb Ο.Ε.. Παρατήρηση Ενας ταχύτερος τρόπος απόδειξης είναι ο παρακάτω : Παρατηρώ ότι sin (α-β) sin (αβ) sin α cos β () Θέτοντας όπου α β A B A B η σχέση () γίνεται A B A B sin B sin A sin cos Ο.Ε..

2 Ερώτηση b] y (t) C sin (πν t) y (t) C sin (πν t) y (t) y (t) C [sin (πν t) sin(πν t] (χρησιµοποιώντας την απάντηση στο προηγούµενο ερώτηµα) y (t) y (t) C [ cos {πt (v v )} sin {πt (v v )}] [y (t) y (t))] 4C cos {πt(v v )} sin {πt (v v )} [y (t) y (t)] 4C cos πt (v - v ) cos πt (v v ) [y (t) y (t)] C [ cos πt (v -v )] [ cos πt (v v )] Ο.Ε.. Ερώτηση c] Ο πρώτος όρος της ισότητας [y (t) y (t)] C [ cos πt (v -v )] [ cos πt (v v )] µηδενίζεται όταν cos πt (v -v ) cos πt (v -v ) - cos πt (v -v ) cos π πt (v -v ) κπ π κ Ζ πt (v -v ) nπ n ±, ±3, ± t n ( v v) n ±, ±3, ± Ο πρώτος όρος της () µηδενίζεται δηλαδή για χρονικές στιγµές t οι οποίες ικανοποιούν την παραπάνω σχέση.

3 Ερώτηση ] sin3 sin() sin cos sin cos cos cos - sin sin sin cos sin 3 sin (cos - sin ) sin cos cos sin cos sin 3 sin cos 3sin cos sin 3 (3) cos3 cos( ) cos cos sin sin cos (cos - sin ) sin sin cos cos 3 cos sin sin cos cos 3 3 sin cos (4) Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), η f() sin 3 cos 3 γίνεται f() sin 3 cos 3 (3sin cos sin 3 ) (cos 3 3 sin cos) 3sin cos 9 sin 3 cos 3 - sin 3 cos 3 3 sin cos 3sin cos sin 3 cos 3 3 sin cos Παρατήρηση : Χρήση της ταυτότητας sin cos µπορεί να δώσει και άλλες παραδεκτές απαντήσεις. Ερώτηση 3a] α α. -6 β β log β α log 6 log α log β log ( 6 ) log α log β -6 ή log α log β 6 3

4 Ερώτηση 3b] i) Γραφική παράσταση συγκέντρωσης C - όγκου V, Συγκέντρωση C (g/l),8,6,4, 3 Ογκος V (cm3) ii) Ογκος V(cm 3 ) Συγκέντρωση C (g/l) -logc

5 Γραφική παράσταση -logc - όγκου V logc Ογκος V (cm3) Σχολιασµός : Η χρήση λογαριθµικής απεικόνισης είναι αναγκαία όταν το πεδίο τιµών µιάς τουλάχιστον απο τις δύο µεταβλητές περιλαµβάνει αριθµούς οι οποίοι διαφέρουν κατά τάξεις µεγέθους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η χρήση γραµµικής κλίµακας δεν επιτρέπει την σαφή εξαγωγή συµπερασµάτων. Παραδείγµατα λογαριθµικών απεικονίσεων αποτελούν οι καµπύλες ph όγκου προστιθεµένου διαλύµατος σε µία ογκοµέτρηση (Χηµεία), το διάγραµµα λαµπρότητας αστέρα ενεργού θερµοκρασίας (διάγραµµα Hertzsprung Russell) στην Αστροφυσική και το διάγραµµα διφασικής ανάπτυξης (biphasic growth) κυττάρων (Βιολογία), στο οποίο αναπαριστάται ο λογάριθµος του αριθµού κυττάρων µιάς καλλιέργειας σαν συνάρτηση του χρόνου. Στην άσκηση 3 φαίνεται πράγµατι οτι η γραφική παράσταση συγκέντρωσης C - όγκου V δεν δίνει µε ευδιάκριτο τρόπο το γεγονός οτι η συγκέντρωση. -7 g/l είναι φορές µικρότερη απο την συγκέντρωση. -4 g/l. Εδώ η χρήση γραµµικής κλίµακας δεν επιτρέπει την εξαγωγή ποσοτικών συµπερασµάτων απο την ανάγνωση της αντίστοιχης γραφικής παράστασης. Αντίθετα, στην γραφική παράσταση logc - V, τα ζεύγη τιµών είναι ευδιάκριτα και µία ποσοτική συζήτηση είναι εφικτή (αρκεί βέβαια να λάβουµε υπ όψη µας οτι η κλίµακα του άξονα της συγκέντρωσης είναι λογαριθµική). Παρατήρηση : Η σχέση (β α ) β αποδεικνύεται ως εξής : β α α β β(.) β β β

6 Ερώτηση 4a] sin sin cos lim lim sin lim lim cos (βιβλίο, ιδιότητα 3, σελ. 74). Ερώτηση 4b] sin sin 3 sin(4 ) sin(4 ) lim lim lim [ sin 4 cos cos 4sin ] [ sin 4 cos cos 4sin ] lim cos 4 sin lim cos 4 lim sin. ( sin - cos Ερώτηση c] lim lim sin sin lim 4 lim ) lim sin. Παρατήρηση : Η ερώτηση 4α] λύνεται και ως εξής : sin sin lim lim (πολλαπλασιάζω και διαιρώ αριθµητή και παρονοµαστή µε το ). lim sin Ανάλογη τεχνική επίλυσης µπορεί να εφαρµοστεί και για την ερώτηση 4β]. 6

7 Ερώτηση ] Για την διερεύνηση της ύπαρξης των ορίων καθώς, εξετάζω µε την βοήθεια της αριθµοµηχανής µου, τις τιµές των συναρτήσεων f() και g(). f() g() ( 3 ) Η παραπάνω ανάλυση υποδεικνύει οτι lim f(). και g() 43 lim Θα προσπαθήσουµε τώρα να υπολογίσουµε τα όρια αυτά χρησιµοποιώντας τις τεχνικές του βιβλίου : - - ( - ) ( ) lim ( ) ) lim f() lim [πολλαπλασιάζουµε δηλ. αριθµητή και παρονοµαστή µε ( ) ώστε να επιτύχουµε απαλοιφή του ]. 7

8 - ( ) - lim ( - ) lim ( - ) lim Ο.Ε.. - ) Για τον υπολογισµό του lim g() : Λογαριθµώ: lng() 3 3 ln() lng() ln () [πολλαπλασίασα δηλ. αριθµητή και παρονοµαστή µε τον αριθµό ] lng() 6 ln ( ) Άρα lim lng() 6 lim ln ( ) ln ( ) ίδεται όµως ότι lim Εποµένως ln ( ) lim lng() 6 lim 6 lim g() e Ερώτηση 6] α) f ( ) ( ) e ( e ) (κανόνας, σελίδα 93) f ( ) 4 e ( e )( f ( ) 4 e ( e )( 4 3) f ( ) (4 3 4 )( e ) β) f ( ) [(4 3 4 )( e )] f ( ) (4 3 4 ) ( e ) (4 3 4 )( 3 93) ) (κανόνας αλυσίδας, σελ. 99, 3) e ) (κανόνας, σελίδα 8

9 ( ) ( ) ( )( ) f ( ) e (4 3 4 ) e 3 [εδώ παραγωγίσαµε τις δυνάµεις (κανόνας, σελίδα 9) και την σύνθετη εκθετική συνάρτηση (κανόνας αλυσίδας, σελ. 99, 3)] f ( ) ( )( e ) (4 3 4 )( e )( 4 3) f ( ( ) γ) g ( ) [sin( 3)] cos( ) sin( 3)[cos( )] (κανόνας, σελ. 93) ) e g ( ) cos( 3)( 3) cos( ) sin( 3)[ sin( )]( ) [εδώ χρησιµοποιήθηκαν οι κανόνες παραγώγισης τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (σελ. 9) και ο κανόνας αλυσίδας, σελ. 99, 3] g ( ) cos( 3) cos( ) sin( 3)sin( ) δ) g ( ) [cos( 3)] cos( ) cos( 3)[cos( ) ] [ sin( 3) sin( ) sin( 3)[sin( )] (κανόνας αλυσίδας, σελ. 99, 3) g ( ) [ sin( 3)]( 3) cos( ) cos( 3)[ sin( )]( ) [ cos( 3)( 3) sin( ) sin( 3)[cos( )]( ) (κανόνες παραγώγισης τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (σελ. 9) και κανόνας αλυσίδας, σελ. 99, 3) g ( ) 4sin( 3) cos( ) cos( 3)sin( ) cos( 3)sin( ) sin( 3) cos( ) g ( ) 9sin( 3) cos( ) cos( 3)sin( ) ε) h ( ) ln[(ln( )] h ( ) ln[(ln( )] (ln ) [η συνάρτηση ln[ln()] είναι ln σύνθετη και η παραγώγισή της γίνεται ακολουθώντας τον κανόνα της αλυσίδας (σελ. 99, 3) και τους κανόνες στην σελίδα 9) 9

10 h ( ) ln ( [ln( )]) στ) h ( ) ( ) (κανόνας 6, σελ. 94) ln [ ln( )] ( [ln( )]) ( ) ln( ) (ln( )) h ( ) (κανόνας, σελ. 93) [ ln( )] (ln( )) ln( ) h ( ) (ln( )) h ( ) ln( ) (ln( )) h ( ) ( ) ln( ) ln( )

11 8 D Q Q! #" -, /. 436'7 -, , >.?3 7 9 '&)( * #" :#" DE>F DIE>F ?3V,. 43W KJL.N O 36P 7#Q D 7 X ZY [R\ ]_^-à\wb#\c] \WdeIfadeg]#hji_k_\Wlm\Wen]poqbri_dTseotbruaàfv]a\Wbw\ ]-^_à\wb#\ ]\yv`{z lm\wy_ ~}e]u àf ]#i-b u dfƒi_k-ya #demfv]dk-e\ ]-^_àfadte \Wyƒ i_] \eiy{k-eyƒs- #b#s_y ˆ] ]_k-y RTSU Š Œ Ž? AI YvYv A Ž[ i_dtseotbw]-k_yvi ]-n# #àfa dtef ] e yv\c] f A YvYv ~ uab#šg C AHA Žœ>] ]_n yv\ ]a\ ]di-z ]žfaeiÿžy f \c]žegyv\c]žf? Y Y Yv # T žy Yv ~ Y T T YvY ' ~ Y žy Yv R ~ # Y Y 6 a Y- ž ž ž

12 Y remÿab#\wy ài-dfay em^# #y fay emdeif ]že Y- YvY v < Y- Y- v < cy- Y < a ž ž ž Y_ Y v 6 a AHAHA ge] \bvfƒyaš_yvn_š-b# #lm dtfay_ ƒn-àn_š-y `ƒ\wy `ƒk-d #eyvuae n#yv`z ] efayvi_dtfayv`ƒk# #dk_dte \yƒy e!]\b_ K\6 #eis_lmfayvi_dt\6 #e n_b_ KhRf ] #\b# R f ] ]-š_š]_ÿždte n ] \c] 9 ˆ] žy Yv Y- Y 6 a ˆ 4 Y Yv # T žy Yv C 6 a m ' Y A žy Yv ~ Y žy Yv ~ < a Y- v ž žy Y re Ÿ b#\yvài_dtfayae#^ yvfayae Y Y_ IžY < a a dtefv]že Y < Y- Y- < a cy- Y 6 a ž ž ž Y- žy < a Y- v ž ž ž a ž Y ˆ YvY YvYv A YvYv > ] yv\c]žf m Y D D Y ]-n# #yv\c] \b \eii_b { YvY C < a A T # T # T T T ˆ v"! T # v! A T v! A Y T # T # Y "#m A T v! A Y "#g # T v"!m A Y # # AI A R AI r T # AI r T # A T ˆ # T ˆ & Y "#{ T # r A T # A "! A #

13 Y Y > ] i-yae)l4 A # < # v! A Y "# T # Y r T g Y A v! A T v"! Y # v! Y # v! Y "# T v! "# & & Y Y Y 4 Y A r T ˆ T # T @ Y A Y T # c # T # T g y k-y ` # \Wy_ dz ]-k-\yvi_dtfab_ # m m Œ > Œ

14 # Y Q? Q? Q? " Q Œ Œ reuaày n]#i_k-`žš_d K\Wdi_f y fa\ ]že?o y š-à \b_ X t k_dteuab \yya #e dtfayyaš-y n-š_b lmi] e ` \c]žemi-d\wy dti ]_u y f n]a\wlr]_k-y \Wbvf n]#i-k_`žš_b \b_ p` k_yy š_yvn_š_b lm hrf ] \Wb# R vy \ ]žfbƒh f ] #\b# dtef ] e k]žfa\wy ` Td\We n ] ya #e /df b a]dt^_yvài_dpyv\e # X # # g remua` yn ] i_k-` š-d \Wdi_f y fa\ ]žemyv\c] f œyÿab#\wy ` i_df yƒdi ]-uay fdeif ]že! Y X Œ remuaàyƒn]#i_k-`žš_d \Wdi-fay f \c]žegyv\c]žf X œydti ]-uayvfdeif ]že Y Yp X Š p # X "!#"'&)(*,#-/.'4367&)8,&)'#69;: <>-@?BAC-D.E9GF <>H3? JILK)@A,N.E9OI"KP? A,Q.R9 I"K)WV)XTA,O. H36VPZU[?. H36JILK)@U[?. -W: <>\-? U H3 ] - Š Y_ A < U

15 ΑΣΚΗΣΗ r r dr d d d (a) v( t) cost iˆ sint ˆj t kˆ sint iˆ cost ˆj kˆ dt dt dt dt iˆ ˆj kˆ r r r L( t) v cost sint t sint t cost iˆ cost t sint ˆj sint cost r r dl τ ( t) t sint iˆ t cost ˆj dt r d r r r (b) v v v dt i j kˆ r ˆ ˆ dv r cost sint t t sint iˆ t cot ˆj dt cost sint ( ) ( ) kˆ (c) Η κίνηση λαµβάνει χώρα πάνω στην επιφάνεια κυλίνδρου µε άξονα τον άξονα των z και βάση τον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r.στο σχήµα αριστερά δίνουµε την κίνηση του σωµατιδίου στον 3-διαστατο χώρο, ενώ δεξιά αναπαρίσταται η κίνηση στο επίπεδο ανάπτυγµα της κυλινδρικής επιφάνειας (όταν τα σηµεία ABκαι C ταυτιστούν µε τα A B και C, δηλαδή διπλώσουµε την επιφάνεια A A BB, θα σχηµατιστεί η τρισδιάστατη κυλινδρική επιφάνεια). L r ( (,,4 π )) v r r r z (,,π ) B C C 4 π B (,, ) y A π A r r r ( π ) (,,4π ) v(π ) (,,) L(π ) ( 4π,,) r π r π dr dr (d) sin t cos t S dt dt dt Επίσης S AC AA A C (π) (4π ) π ΑΣΚΗΣΗ 3 dt π

16 d d wv / dt dt g dy d w gt / w gt / w vy wt ( e ) w( e dt dt g ) gt / w gt w (a) v ( e ) Ve (b) (c) (d) (e) gt / w gt / w v () Ve V και v () w( e ) t y t gt / w y ( ) lim w e t gt / w v ( ) limve και v ( ) w t r mgv gt w F e i mge w r r F( ) f () mg ˆj r lim F( t) t / ˆ gt / w ˆj wv g y w wt g t t v v y w ΑΣΚΗΣΗ 4 t t Η απόσταση σηµείου (, y) από ευθεία µε εξίσωση a by c δίνεται από a by c d a b Έστω τυχόν σηµείο Μ της παραβολής. Σύµφωνα µε τον ορισµό θα πρέπει να ισαπέχει από την διευθετούσα και από την αρχή των αξόνων: Άρα d y y 6

17 ( y) 4y 8 και ορίζοντας το νέο όρθο-κανονικό σύστηµα y y και y η εξίσωση της παραβολής γίνεται y 4 y ΑΣΚΗΣΗ y y Η εξίσωση της υπερβολής a b 64 Οι εστίες είναι στα σηµεία ± γ, όπου γ a b γ και η εκκεντρότητα είναι. 8 a

18 ΑΣΚΗΣΗ 6 (a) Το σηµείο ( y, )απέχει απόσταση r από την ευθεία µε εξίσωση a by c (, y ) (, y ) Το σηµείο (, y ) ικανοποιεί δύο συνθήκες: a by c () και επίσης ανήκει στην ευθεία που περνά από το ( y ) και είναι κάετη στην a by c στο (, y ). Το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση της ευθείας a by c είναι ανάλογο του eˆ ( b, a) και στην ευθεία που συνδέει τα (, y ) και (, y ) είναι e (, y ) ˆ y άρα επειδή eˆ ˆ e b ( ) a ( y y ) () y Λύνοντας () και () ως προς και, και αντικαθιστώντας στην d ( y ) ( y ) έχουµε την ζητούµενη σχέση. (b) Από το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε, y 3 y από όπου έχουµε δύο εξισώσεις y 3 ( y 4) y 3 ( y 4) και από την ε και έχουµε η λύση : (, ) y (, ), r 3 y 4 4 8

19 η 7 λύση:, ) 8 ( y ( 3, ), r Για τα σηµεία επαφής η λύση: 6 ( ) ( y ) και 4 y 3 6 ( ) ( y ) και y (, y) (, ) (, y) (, ) η λύση: 7 64 ( ) ( y ) και 4 y ( ) ( y ) και y (, y) (, ) (, (, ) ) y 9