Ο άρρητος 2=1, και οι αποδείξεις του
|
|
- Πύρρος Παπαδόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ο άρρητος =1, και οι αποδείξεις του Ιωσήφ Γκογιάννος 1, Κλειώ Γκουτζάνη, Αργυρώ Δάβου 3, Ειρήνη Δημητρακοπούλου 4, Λυδία Εξάρχου 5 1,,3,4,5 Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης mail@lyk-evsch-n-smyrn.att.sch.gr Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Καλλιόπη Σιώπη Μαθηματικός, Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης kalsiopi@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ιστορία ξεκινά 500 χρόνια πριν με ένα «σκάνδαλο»: η μυστική αδελφότητα των Πυθαγορείων ανακαλύπτει ότι δεν μπορεί να μετρηθεί η διαγώνιος με την πλευρά τετραγώνου με μήκος πλευράς μιας μονάδας και η άποψη των Πυθαγορείων ότι όλα είναι αριθμός καταρρίπτεται. Η αιτία ο άρρητος αριθμός. Η εργασία μελετά το θέμα του αριθμού από την άποψη της ιστορικής του εμφάνισης και εστιάζει στις μεθόδους και στρατηγικές απόδειξης της αρρητότητάς του. Η μελέτη της ιστορικής προέλευσης του αριθμού και η ανάδειξη διάφορων μεθόδων και στρατηγικών απόδειξής του στο γεωμετρικό και στο αλγεβρικό πλαίσιο συμβάλει στην κατανόηση της φύσης του άρρητου αριθμού, στην εμπέδωση γνώσεων και διαδικασιών και στην οικοδόμηση νέων. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ: Ρητός αριθμός, άρρητος αριθμός, σύμμετρα μεγέθη, ασύμμετρα μεγέθη, απαγωγή σε άτοπο Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΙ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ Η ιστορία του αριθμού, και γενικά των άρρητων αριθμών, ξεκινά πριν.500 χρόνια στην Πυθαγόρεια Σχολή στην αρχαία Ελλάδα με την ανακάλυψη ότι, η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου δεν έχουν κοινό μέτρο, δηλαδή δεν έχουν λόγο ίσο με το λόγο δυο ακεραίων (φυσικών) αριθμών. Η ανακάλυψη αυτή, των ασύμμετρων ποσοτήτων, υπήρξε συμφορά για την πυθαγόρεια φιλοσοφία καθώς το κύριο χαρακτηριστικό της κοσμολογίας της για τους αριθμούς (φυσικούς) ότι "τα Πάντα είναι Αριθμός" κλονίστηκε. Οι Πυθαγόρειοι σπούδαζαν τη Γεωμετρία συσχετίζοντάς την με τους αριθμούς (Bunt, et al., 1981), πίστευαν ότι οι αποστάσεις μεταξύ σημείων εκφράζονται με αριθμούς, τους λεγόμενους γεωμετρικούς αριθμούς και ότι οι λόγοι των αποστάσεων μεταξύ των σημείων πρέπει να είναι λόγοι φυσικών αριθμών (Clawson, 1994). Θεωρούσαν πολύ φυσικό να αντιστοιχίζουν ένα σημείο στον αριθμό 1, δυο σημεία στον αριθμό, τρία σημεία στον αριθμό 3 κ.ο.κ. Αυτό οδηγεί σε ακολουθίες που οι όροι τους αποτελούνται από σχήματα και αριθμούς (παραστατικούς αριθμούς, Bunt, et al., 1981), όπως αυτοί του Σχήματος 1. Τρίγωνοι αριθμοί
2 Τετράγωνοι αριθμοί Σχήμα 1: Τρίγωνοι Τετράγωνοι αριθμοί Υποθέτοντας ότι οι κάθετες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου έχουν μήκος ίσο με μια μονάδα τότε, σύμφωνα με τους Πυθαγορείους, η υποτείνουσα του τριγώνου και οι κάθετες πλευρές του θα πρέπει να συνδέονται με κάποιο λόγο ακεραίων (φυσικών) αριθμών. Χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα και τις αλγεβρικές μας γνώσεις μπορούμε να πάρουμε μια συμβολική αναπαράσταση του αριθμού που εκφράζει το μήκος x της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου πλευράς μιας μονάδας: x 1 1 ή x και τελικά x (1) (Σχήμα α). Όμως, αυτός ο αριθμός δε συνδέεται μόνο με την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου αλλά και με το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς ίσης με μια μονάδα (Σχήμαβ). Ο συγκεκριμένος αριθμός δε μπορεί να είναι ακέραιος (φυσικός) καθώς, η θέση του πάνω σε ευθεία αντιστοιχεί σε σημείο (Ρ) που βρίσκεται μεταξύ των θέσεων δυο διαδοχικών ακεραίων αριθμών, του και του 3, η δε απόστασή του ΟΡ από τη θέση που παριστάνει τον αριθμό 1 είναι ίση με τη διαγώνιο του τετραγώνου με πλευρά μήκους ίσης με τη μονάδα (Σχήμα γ). Συνεπώς, και η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά μονάδα δεν θα μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο οποιωνδήποτε ακεραίων αριθμών. (α) (β) (γ) Σχήμα : Γεωμετρικές αναπαραστάσεις του ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου (α), ως διαγώνιος τετραγώνου και ως σημείο ευθείας (γ) Την ανακάλυψη αυτή τη συνοδεύουν πολλοί θρύλοι: άλλοι αναφέρονται σε αυτήν καθ αυτήν την ανακάλυψη (ότι αποδόθηκε τιμή στην ανακάλυψη με τη θυσία ενός βοδιού) και άλλοι στον άνθρωπο που αποκάλυψε το μυστικό. Λέγεται ότι αυτός ήταν ο Ίππασος. Σύμφωνα με μια εκδοχή του μύθου οι θεοί οργίστηκαν και τον πνίξανε στη θάλασσα καθώς η αποκάλυψή του προσέκρουσε στον κανόνα της σχολής να μένουν εντός της αδελφότητας οι όποιες αποκαλύψεις. Ο αριθμός είναι ένας ιδιαίτερος αριθμός καθώς δεν μπορούμε να τον προσδιορίσουμε επακριβώς, παρά μόνο να τον πλησιάσουμε. Οι αρχαίου Έλληνες τον ονόμασαν άρρητο σε αντιδιαστολή με τους ακεραίους και τα κλάσματα που τους ονόμαζαν ρητούς. Ρητός θα πει εκφρασμένος αλλά και προσδιορισμένος (επικράτησε ο όρος «rational», γιατί οι ρητοί είναι λόγοι (ratios) ακεραίων). Άρρητος σημαίνει μη εκφρασμένος και μη επαρκώς προσδιορισμένος (δεν εκφράζεται ως λόγος ακεραίων (irrational) (Heath, 1931, στο Eves, 1989, σ. 58). Η ιστορία συνεχίζεται με τη γνωριμία μας με αυτό τον αριθμό και με παρόμοιούς του όταν ως μαθητές ερχόμαστε αντιμέτωποι με την επέκταση του συνόλου των ρητών στο σύνολο των πραγματικών μέσω της προσθήκης του συνόλου των αρρήτων. Με ποιον τρόπο όμως μπορεί να είμαστε σίγουροι για το τι είναι πράγματι ο αριθμός ;
3 Η εργασία εστιάσει σε μεθόδους απόδειξης σε διαφορετικά πλαίσια (γεωμετρικό και αλγεβρικό) και στις στρατηγικές απόδειξης (προσεγγιστική απαγωγή σε άτοπο) της αρρητότητας του αριθμού με στόχο να εντοπιστούν τα χαρακτηριστικά του που σχετίζονται με τη φύση και η δομή του και που δίνουν απάντηση στο τι δεν είναι αυτός ο αριθμός και γιατί είναι άρρητος. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΤΝΩΣΕΙΣ Η κατανόηση των μεθόδων και στρατηγικών απόδειξης που συζητούνται σε αυτήν την εργασία απαιτεί τη γνώση εννοιών και ιδιοτήτων, όπως: Ακέραιος αριθμός: αυτός που γράφεται ως άθροισμα μονάδων (π.χ. 4= ). Ρητός αριθμός: αυτός που μπορεί να παρασταθεί ως πηλίκο α β, όπου αβ, ακέραιοι με β 0 ή ο αριθμός που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή λόγου. Ρητοί αριθμοί είναι οι κλασματικοί και οι ακέραιοι. Κάθε ακέραιος α μπορεί να γραφεί ως κλάσμα α. 1 Άρρητος αριθμός: αυτός που δεν είναι ρητός, δηλαδή αυτός που δεν μπορεί να παρασταθεί ως πηλίκο ακεραίων ή που δεν μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή λόγου. Άρτιος αριθμός: κάθε αριθμός της μορφής ν, όπου ν ακέραιος ή κάθε πολλαπλάσιο του αριθμού δύο. Περιττός αριθμός: κάθε αριθμός της μορφής ν 1, όπου ν ακέραιος. Πρώτος αριθμός: αυτός που έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του. Πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί: δυο αριθμοί που έχουν ως μοναδικό κοινό διαιρέτη το 1. Ανάγωγο κλάσμα: ο ρητός που οι όροι του είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους. Σύμμετρα μεγέθη: αυτά για τα οποία υπάρχει ένα τρίτο ομοειδές τους μέγεθος, ίσως πολύ μικρό, που να τα μετράει, δηλαδή να χωράει ακέραιες φορές σε καθένα από τα δεδομένα μεγέθη. Για παράδειγμα, αν αβείναι, δυο ευθύγραμμα τμήματα και υπάρχει ένα τρίτο τμήμα γ τέτοιο ώστε να χωράει ακέραιες φορές στα τμήματα α και β, δηλαδή να ισχύει α κγ και β λγ όπου κλφυσικοί, αριθμοί, τότε τα τμήματα α και β λέγονται σύμμετρα. Στην περίπτωση που τα μεγέθη (ευθύγραμμα τμήματα) είναι σύμμετρα τότε ο αριθμός κ λέγεται λόγος των τμημάτων α και β και γράφεται λ κ λ α β. Ασύμμετρα μεγέθη: τα μη σύμμετρα, δηλαδή αυτά που δεν έχουν κοινό μέτρο. Σύμφωνα με μια άποψη οι ρητοί είναι αυτοί που μπορούν να εκφραστούν (πεπερασμένο πλήθος ψηφίων ή απεριόριστο αλλά περιοδικά επαναλαμβανόμενο) ενώ οι άρρητοι αυτοί που δεν μπορούν (Eves,1989). Σημειώνεται ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν γνώριζαν τους αρνητικούς αριθμούς. Βασική πρόταση, του θέματος που διαπραγματευόμαστε, είναι η «για κάθε θετικό ακέραιο α, ο α είναι άρτιος αν και μόνο αν ο α είναι άρτιος». Για την απόδειξη αυτής της πρότασης απαιτείται η απόδειξη της πρότασης Π1 «αν ο α είναι άρτιος, τότε ο α είναι άρτιος» και της πρότασης Π «αν ο α είναι άρτιος, τότε ο α είναι άρτιος».
4 Για την απόδειξη της πρότασης Π1 ξεκινάμε με την παραδοχή ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε, ο α θα είναι περιττός και θα έχει την μορφή α κ 1, όπου κ ακέραιος. Οπότε, α κ 1 4κ 4κ 1 κ κ 1 λ 1, όπου λ κ κ ακέραιος αριθμός, ως πράξεις ακεραίων. Αυτό σημαίνει ότι ο α είναι περιττός, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση με την παραδοχή ότι ο α δεν είναι άρτιος. Άρα ο α είναι άρτιος. Η δε απόδειξη της πρότασης Π είναι: Έστω ότι ο α είναι άρτιος. Τότε θάχει τη μορφή α κ, οπότε α ( κ) 4κ ( κ ) μ, όπου μ κ ακέραιος ως πράξεις ακεραίων. Άρα ο α είναι άρτιος. Μια ανάλογη ιδιότητα με αυτήν του άρτιου αριθμού ισχύει και στην περίπτωση του περιττού αριθμούς όπως: το τετράγωνο ενός περιττού αριθμού είναι περιττός αριθμός. Η μέθοδος, κατά την οποία υποθέτουμε το αντίθετο από αυτό που πρόκειται να αποδειχθεί και μετά δείχνουμε ότι αυτό οδηγεί σε μια λογική αντίφαση, είναι γνωστή ως μέθοδος απαγωγή σε άτοπο (reduction ad absurdum), αγαπημένη μέθοδος των αρχαίων Ελλήνων (Clawson, 1994). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΡΡΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ Στις πρώτες τάξεις του γυμνασίου, εκτιμάται η τιμή του αριθμού με τη βοήθεια αριθμητικών ρητών προσεγγίσεων, μέσω των οποίων αντιλαμβανόμαστε ότι τα ψηφία που σταδιακά συμπληρώνουν την μορφή του δε φαίνεται να έχουν κάποιο μοτίβο στη δεκαδική ακολουθία τους και ότι δε φαίνεται να υπάρχει τελευταίο ψηφίο. Αυτό ερμηνεύεται ότι ο είναι μη ρητός αριθμός και υποθέτουμε ότι είναι άρρητος. Η διαδικασία των διαδοχικών προσεγγίσεων, που περιγράφεται στο σχολικό βιβλίο της Β γυμνασίου (σ. 45), παρουσιάζεται στο Σχήμα 3. Σχήμα 3: Δεκαδικές προσεγγίσεις του στο Μαθηματικά Β Γυμνασίου, σελ. 45 Η προσέγγιση του άρρητου μέσω των ρητών αριθμών αντιμετωπίζεται με εργαλεία (θεωρήματα και διαδικασίες) της θεωρίας αριθμών, όπως το θεώρημα του Dirichlet, τα ενδιάμεσα κλάσματα και άλλες ειδικές έννοιες και μαθηματικές διαδικασίες, που ξεφεύγουν από το επίπεδο των σχολικών μας γνώσεων. Κατά τον Δούναβη (005), η προσέγγιση των άρρητων αριθμών μέσω ρητών, με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών, μπορεί να αντιμετωπιστεί από την ιδέα του «κανόνα του προσεγγιστικού σφάλματος», κάτι που βάζει ένα όριο στο πιθανό σφάλμα που γίνεται όταν ένας άρρητος, όπως ο, αντιμετωπίζεται από ένα κλάσμα πολύ κοντά σ αυτόν με συγκεκριμένο παρονομαστή. Τέτοια κλάσματα μπορούν να κατασκευαστούν με κατάλληλα υπολογιστικά προγράμματα, έτσι ώστε κάθε ένα από αυτά να παρέχει καλύτερη προσέγγιση από οποιονδήποτε προηγούμενό
5 του (Δούναβης, 005). Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται κάποια πρώτα κλάσματα (ρητοί αριθμοί) που προσεγγίζουν την τιμή του με όρους αριθμούς πρώτους μεταξύ τους. Παρονομαστής Κλάσμα Πίνακας 1: Προσεγγιστικά κλάσματα του άρρητου, στο Δούναβης (005) Η προσεγγιστική μέθοδος της αρρητότητας του, δίνει την αίσθηση της συμπεριφοράς των ψηφίων της δεκαδικής ακολουθίας αλλά δεν αποδεικνύει ότι ο δεν είναι ρητός. Η εξακρίβωση της αρρητότητας του γίνεται με αποδεικτικές μεθόδους, τη γνώση των οποίων αποκτούμε κατά τη διάρκεια των σπουδών μας στη βαθμίδα του λυκείου. Στις ενότητες που ακολουθούν παρουσιάζουμε κάποιες από τις μεθόδους και στρατηγικές απόδειξης της αρρητότητας του που μπορούμε να αντιμετωπίσουμε άνετα με τις γνώσεις μας. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΗΣ ΑΡΡΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 1 η Απόδειξη: Πυθαγόρειο Θεώρημα-Έννοιες σύμμετρα /ασύμμετρα μεγέθη-απαγωγή σε άτοπο Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( 0 Γ 90 και ΓΑ=ΓΒ, όπως Σχήμα 4) θα ισχύει ΑΒ ΑΓ ΒΓ με ΓΑ=ΓΒ τότε ΑΒ ΑΓ (1). Αν υποθέσουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι σύμμετρα μεγέθη, δηλαδή υπάρχουν φυσικοί αριθμοί κ και λ και έστω ότι δεν έχουν κοινό παράγοντα, ΑΒ κ τότε θα έχουμε: () όπου κ, λ δεν είναι και οι δυο άρτιοι. Από τη σχέση (1) ΑΓ λ ΑΒ κ προκύπτει ότι η οποία λόγω της σχέσης () γίνεται: ή ισοδύναμα ΑΓ λ κ λ (4). Από τη σχέση (4) προκύπτει ότι ο κ είναι άρτιος αριθμός. Άρα και ο κ είναι άρτιος. Αν κ α, τότε από τη σχέση (4) θα έχουμε ( α) λ ή ισοδύναμα 4α λ ή ισοδύναμα α λ (5). Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι και ο αριθμός λ είναι άρτιος, οπότε και ο λ θάναι άρτιος. Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την παραδοχή ότι οι αριθμοί κ, λ δεν είναι και οι δυο άρτιοι. Κατά συνέπεια η παραδοχή ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι σύμμετρα οδηγεί σε αντίφαση. Σχήμα 4
6 Στην ειδική περίπτωση που το ΑΓ είναι ίσο με την μονάδα θα έχουμε ότι ΑΒ ΑΒ ΑΒ και με δεδομένο ότι δείξαμε ότι ΑΒ και ΑΓ (οι κάθετες πλευρές) δεν 1 ΑΓ είναι σύμμετρα μεγέθη αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το ΑΒ (η υποτείνουσα) δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δυο ακεραίων αριθμών. Γεγονός που σημαίνει ότι η υποτείνουσα είναι ασύμμετρο μέγεθος. Το δε πυθαγόρειο θεώρημα στην ειδική περίπτωση (ΑΓ=ΒΓ=1) μας δίνει ότι ΑΒ. Συνεπώς, ο αριθμός είναι ασύμμετρος. η Απόδειξη: Έννοιες σύμμετρα /ασύμμετρα μεγέθη-απαγωγή σε άτοπο Ο Eves(1989, σ. 61) παραθέτει μια γεωμετρική απόδειξη για την αρρητότητα του, δείχνοντας ότι η πλευρά και η διαγώνιος τετραγώνου είναι ασύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα, χωρίς την χρήση του πυθαγορείου θεωρήματος χρησιμοποιώντας τις έννοιες σύμμετρα και ασύμμετρα μεγέθη και τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο: Για το τετράγωνο ΑΒΓΔ υποθέτουμε ότι η πλευρά ΑΒ και η διαγώνιος ΑΓ είναι σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα. Τότε, θα υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΡ τέτοιο ώστε η πλευρά ΑΒ και η διαγώνιος ΑΓ του τετραγώνου ΑΒΓΔ να είναι ακέραια πολλαπλάσια του ΑΡ, δηλαδή το ΑΡ να τα μετράει. Στην ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΓΒ1=ΑΒ και φέρνουμε την Β1Γ1 κάθετη στην ΓΑ (Σχήμα 5α). Τότε τα τρίγωνα ΓΒ1Γ1 και ΓΒΓ1 είναι ίσα καθώς είναι ορθογώνια και έχουν ένα ζευγάρι κάθετων πλευρών ίσες (ΓΒ1=ΓΒ) και την ΓΓ1 κοινή (Σχήμα 5β), συνεπώς ΒΓ1=Γ1Β1=Β1Α. Τότε ΑΓ1=ΑΒ-ΑΒ1 με ΑΒ1 σύμμετρο προς το ΑΡ (καθώς ΑΒ1=ΑΓ-ΓΒ1=ΑΓ-ΑΒ, άρα ΑΒ1 σύμμετρο ως διαφορά των σύμμετρων ΑΓ και ΑΒ). Όμως ΑΓ1 και ΑΒ1 είναι η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου, με πλευρά μικρότερη από την πλευρά του αρχικού τετραγώνου. Αν επαναληφθεί αυτή η διαδικασία αρκετές φορές (δηλαδή, σημεία Γ, Γ3.Γν) θα προκύψει τελικά ένα τετράγωνο του οποίου η διαγώνιος ΑΓ και η πλευρά ΑΒ θα είναι σύμμετρα ευθύγραμμα τμήματα ως προς το ΑΡ και ΑΓν<ΑΡ (Σχήμα 5γ). Αυτό όμως είναι άτοπο. (α) (β) (γ) Σχήμα 5: Σχηματική αναπαράσταση των φάσεων απόδειξης ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΗΣ ΑΡΡΗΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ 1 η Απόδειξη : Έννοιες άρτιος περιττός / Απαγωγή σε άτοπο Όπως έχουμε εξηγήσει στην ενότητα «ο αριθμός και η ιστορία του» το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου πλευράς ίσης με τη μονάδα είναι. Για να αποδείξουμε ότι το σημείο Ρ στην ευθεία (Σχήμα γ) δεν παριστάνεται από ρητό αριθμό, αρκεί να δείξουμε ότι ο είναι άρρητος. Αν υποθέσουμε ότι ο είναι ρητός, δηλαδή γράφεται ως πηλίκο ακεραίων α, όπου α και β ακέραιοι πρώτοι β
7 μεταξύ τους (μόνος κοινός διαιρέτης το 1), τότε α β α β (1). Οπότε το α είναι διπλάσιο ενός ακεραίου, επομένως το α θα είναι άρτιος αριθμός. Τότε όμως και ο α θα είναι άρτιος οπότε, θα γράφεται α κ και από τη σχέση (1) προκύπτει ότι ( κ) β 4κ β κ β. Από την ισότητα κ β προκύπτει ότι και ο β είναι άρτιος αριθμός, συνεπώς και β. Οπότε οι αριθμοί α και β δε θα είναι πρώτοι μεταξύ τους γιατί θα έχουν και δεύτερο κοινό διαιρέτη εκτός του 1, τον αριθμό. Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει καθώς υποθέσαμε ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως, η υπόθεση ότι ο αριθμός είναι ρητός απορρίπτεται. Αυτή η απόδειξη είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν που αναφέρει ο Αριστοτέλης (384-3 π. Χ.) και έτσι παρουσιάζεται και στο σχολικό βιβλίο της άλγεβρας της Α λυκείου (σ. 51). η Απόδειξη: Έννοιες άρτιος /περιττός, Ανάγωγο κλάσμα / Απαγωγή σε άτοπο Υποθέτουμε ότι ο είναι ρητός, οπότε θα γράφεται με τη μορφή ανάγωγου κλάσματος, δηλαδή ως πηλίκο ακεραίων ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους. Τότε: α β (1), όπου α και β είναι θετικοί α α α β α β β β Διακρίνουμε περιπτώσεις για τους αριθμούς α και β: Περίπτωση 1 η : Αν οι αριθμοί α και β είναι περιττοί, τότε από τελευταία ισότητα της () φαίνεται να ισχύει ότι ένας άρτιος ακέραιος, ο β, είναι ίσος με έναν περιττό αριθμό, τον α. Άτοπο. Περίπτωση η : Αν ο αριθμός α είναι περιττός και ο αριθμός β άρτιος, τότε από την τελευταία ισότητα της () φαίνεται να ισχύει ότι ένας άρτιος ακέραιος, ο β, είναι ίσος με έναν περιττό αριθμό, τον α. Άτοπο. Περίπτωση 3 η : Ο αριθμός α είναι άρτιος και ο αριθμός β περιττός. Αφού ο α είναι άρτιος, θα είναι της μορφής α λ, όπου λ 1. Οπότε η τελευταία ισότητα της σχέσης () γράφεται: β α β ( λ) β 4λ β λ. Όμως, η τελευταία ισότητα της προηγούμενης σχέσης δείχνει ότι ο περιττός ακέραιος είναι ίσος με έναν άρτιο ακέραιο, τον λ. Άτοπο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποίησαν γεωμετρικό συλλογισμό για να αποδείξουν ότι ο αριθμός είναι άρρητος. Γεωμετρικό συλλογισμό ακολουθούν και αρκετές άλλες αποδείξεις της αρρητότητας του, οι δε αλγεβρικές αποδείξεις χρησιμοποιούν απλές έννοιες της θεωρίας αριθμών όπως, αυτής των πρώτων μεταξύ τους αριθμών, του άρτιου και του περιττού αριθμού και τις σχετικές με αυτές τις έννοιες ιδιότητές τους. Συγκεκριμένα, ιδιότητες που αφορούν το τετράγωνο άρτιου/περιττού αριθμού α η γεωμετρική ερμηνεία των οποίων συνδέεται με το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς μήκους α. Γεγονός που δείχνει τη σχέση μεταξύ της Γεωμετρίας και της Άλγεβρας και το ρόλο της Γεωμετρίας στην απόδοση νοήματος σε αλγεβρικές έννοιες και διαδικασίες. Κύριο χαρακτηριστικό των γεωμετρικών όσο και των αλγεβρικών αποδείξεων της φύσης του αριθμού είναι η μέθοδος απαγωγής σε άτοπο. Εν κατακλείδι, η μελέτη της ιστορίας εμφάνισης και των διαδικασιών απόδειξης της αρρητότητάς του συμβάλει θετικά στην αντίληψη και την προσέγγιση της () β
8 φύσης και στην απόδοση νοήματος στον «ιδιαίτερο» αυτόν αριθμό που με τα χαρακτηριστικά του συνέβαλε στην ανακάλυψη και μελέτη των ιδιοτήτων μιας μεγάλης κατηγορίας αριθμών, των αρρήτων, και στην επέκταση του συνόλου των ρητών σε αυτό του συνόλου των πραγματικών αριθμών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ανδρεαδάκης, Σ., Κατσαργύρης, Β., Παπασταυρίδης, Σ., Πολύζος, Γ., Σβέρκος, Α., Αδαμόπουλος, Λ., Δαμιανού, Χ. (015). Άλγεβρα Α Λυκείου (Βιβλίο Μαθητή), ΥΠ.Ε.Π.Θ., Α ΕΚΔΟΣΗ Αθήνα (010) Βλάμος, Π., Δρούτσας, Π., Πρέσβης, Γ., Ρεκούμης, Κ.. Μαθηματικά Β Γυμνασίου (Βιβλίο Μαθητή). ΥΠ.Ε.Π.Θ., Π.Ι., Αθήνα (013). Ανακτημένο 19/1/17 από Δούναβης, Α. (005). Ρητές προσεγγίσεις άρρητων αριθμών για μαθητές στη Μέση Εκπαίδευση. Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, (), Ανακτημένο 19/1/17 από Eves, H. (1989). Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Τροχαλία. Bunt, L., Jones, P., Bedient, J. (1981). Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού. Clawson, C. (1994). Ο ταξιδευτής των Μαθηματικών. Αθήνα (003): Εκδόσεις Κέδρος Για την υλοποίηση των σχημάτων χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα GEOGEBRA (ελεύθερης χρήσης)
Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού
Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραμε μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)
Διαβάστε περισσότεραA
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 11/11/017 Ώρα Εξέτασης: 10:00-1:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας..
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος 0 λεπτά Βαθμολογία Το διαγώνισμα είναι βαθμολογημένο με άριστα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΑ. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127
Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ
Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότερα1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες
1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,
Διαβάστε περισσότεραA. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΚάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣτ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.
Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» y y=x 2 y=(x-2) 2 y=(x-2) 2-1 0 1 2 3 x -1 Τόμος 2ος Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Tel. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 10 4. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΦ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )
ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 10/11/2012 Ώρα εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να λύσετε όλα τα θέματα Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Τμήμα Διάρκεια: δ. ώρα/ες. Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών. Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;
Φύλλο εργασίας Τάξη Τμήμα Διάρκεια: δ. ώρα/ες Ημερομηνία / / Ονοματεπώνυμο Μαθητή: Τετραγωνική ρίζα πραγματικών αριθμών Ομάδα 1 η Δραστηριότητα 1.1 Θυμάστε τους τετράγωνους αριθμούς; Ποιοι τετράγωνοι αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕύρεση ν-στού πρώτου αριθμού
Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού Ορισμός Πρώτος αριθμός λέγεται κάθε φυσικός αριθμός (εκτός της μονάδας) που έχει φυσικούς διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και τη μονάδα. Ερώτημα: Να υπολογιστεί ο ν-στός πρώτος
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη
Διαβάστε περισσότεραΜονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότερα3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότερα