Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ"

Transcript

1 Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

2 Περιεχόμενα Φυλλαδίου και σειρά διδασκαλίας σε σχέση με το σχολικό βιβλίο Από το Κεφ ο : Οι Πραγματικοί Αριθμοί Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Πραγματικοί Αριθμοί Πράξεις στους Πραγματικούς Ιδιότητες Δυνάμεις Αξιοσημείωτες ταυτότητες Μέθοδοι απόδειξης Εισαγωγή στην απόδειξη Απαγωγή σε άτοπο Διάταξη Πραγματικών Αριθμών(εκτός από τα διαστήματα) Έννοια της διάταξης Ιδιότητες των ανισοτήτων (εκτός της απόδειξης της ιδιότητας 4) 4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών (μόνο τετραγωνικές ρίζες) Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού( μόνο ορισμός) Ορισμός της απόλυτης τιμής Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

3 ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; Το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 4 Η διαφορά δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 5 Πότε χρειάζεται να βρίσκουμε, όπως λέμε, ένα αντιπαράδειγμα; 6 Το πηλίκο δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 7 Γιατί δεν επιτρέπεται να διαιρούμε με το μηδέν ; 8 Ποιοι είναι οι ακέραιοι αριθμοί; 9 Έστω ένας ακέραιος αριθμός α Ποιος είναι ο επόμενος ακέραιος του και ποιος ο προηγούμενος ακέραιος του α; 0 Το άθροισμα δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Το γινόμενο δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Η διαφορά δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; 4 Πότε ένας ακέραιος αριθμός λέγεται άρτιος ή ζυγός και πότε περιττός ή μονός; 5 Ποια είναι η γενική μορφή που έχει ένας άρτιος και ποια ένας περιττός αριθμός; 6 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο αρτίων είναι άρτιος αριθμός 7 Γιατί χρειάζεται να αποδείξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι αληθής; 8 Τι είναι η εικασία και τι η απόδειξη; 9 Πότε θεωρούμε ότι μία πρόταση είναι αληθής; 0 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ενός αρτίου και ενός περιττού είναι περιττός Πως εφαρμόζουμε την αποδεικτική μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο; Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο α ο αριθμός α(α + ) είναι άρτιος(διακρίνοντας περιπτώσεις) 4 Ποια είναι τα πολλαπλάσια του ; 5 Ποιας μορφής είναι τα πολλαπλάσια του ; 6 Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του 7 Πότε ένας ακέραιος αριθμός α ονομάζεται πρώτος; Απάντηση: Ένας ακέραιος αριθμός α ονομάζεται πρώτος αν: Είναι διάφορος του 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

4 Είναι διάφορος των ± Οι μόνοι διαιρέτες του είναι οι αριθμοί ±,±α 8 Ποιοι είναι οι ρητοί αριθμοί; 9 Πως λέγεται ένα κλάσμα όπου έχουν γίνει όλες οι απλοποιήσεις; 0 Πως προκύπτουν οι Πραγματικοί Αριθμοί; Πότε ένας πραγματικός αριθμός λέμε ότι είναι ρητός και πότε ότι είναι άρρητος; Πότε δυο πραγματικοί αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Ποιος αριθμός δεν έχει αντίστροφο; Ποιοι αριθμοί έχουν αντίστροφο τον εαυτό τους; Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και ποιο του πολλαπλασιασμού; 4 Συμπληρώστε τις ισοδυναμίες: b = 0 Û 5 Έστω δυο ισχυρισμοί Α και Β b ¹ 0 Û Πότε οι ισχυρισμοί Α και Β συνδέονται με το σύμβολο της ισοδυναμίας( Û ) Πότε οι ισχυρισμοί Α και Β συνδέονται με το σύμβολο της συνεπαγωγής( Þ ) Πότε γράφουμε Α ή Β και πότε γράφουμε Α και Β 6 Πως ορίζεται η νιοστή δύναμη ενός πραγματικού αριθμού α, όπου ν ακέραιος; ( Για n ³, n =, n = 0 και n αρνητικό ) 7 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο(με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται): k l = -k ( b ) k æ ö = k l = k ( ) l ç èb ø 8 Τι ονομάζουμε ταυτότητα; = 9 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: i ( + b ) = ii ( - b ) = iii ( + b ) ( - b ) = iv ( - b ) = v ( + b ) = vi + b = vii = viii - b ( + b + g) = k æ ö = ç = èb ø Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

5 40 Πότε μια αποδεικτική διαδικασία λέγεται ευθεία απόδειξη; 4 Έστω δυο αριθμοί α, β ( b ¹ 0) Τι λέμε λόγο του α ως προς β; 4 Τι ονομάζουμε αναλογία; 4 Έστω η αναλογία: g = b d που να προκύπτουν από αυτήν με b d ¹ 0 Να γράψετε όσες ιδιότητες των αναλογιών γνωρίζεται 44 Πότε ένας αριθμός α λέγεται μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; Πως συμβολίζεται; 45 Πότε ένας αριθμός α λέγεται μικρότερος από έναν αριθμό β; Πως συμβολίζεται; 46 Τι γνωρίζετε για το άθροισμα και τι για το γινόμενο θετικών αριθμών; 47 Τι γνωρίζετε για το άθροισμα και τι για το γινόμενο αρνητικών αριθμών; 48 Τι γνωρίζετε για το γινόμενο και τι για το πηλίκο ομοσήμων αριθμών; 49 Τι γνωρίζετε για το γινόμενο και τι για το πηλίκο ετερόσημων αριθμών; 50 Τι γνωρίζετε για το τετράγωνο ενός αριθμού; 5 Συμπληρώστε τις ισοδυναμίες: + b = 0 Û + b > 0 Û 5 Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε στα μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό; 5 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αριθμό; 54 Μπορούμε να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε, να διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς; 55 Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α και πως συμβολίζεται; 56 Να αναφέρετε ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών που γνωρίζετε 57 Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α; Δώστε τον γεωμετρικό και τον αλγεβρικό ορισμό 58 Να αναφέρετε ιδιότητες των απολύτων τιμών που προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ένα κλάσμα ορίζεται όταν ο παρονομαστής του δεν είναι μηδέν Όταν μας ζητούν να βρούμε πότε ορίζεται μια παράσταση που περιέχει κλάσματα θέτουμε όλους τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων διαφορετικούς από το μηδέν και προσδιορίζουμε τις τιμές για τις οποίες η παράσταση έχει νόημα πραγματικού αριθμού Αν στα μέλη μιας ισότητας υπάρχει κοινός παράγοντας, τότε ο παράγοντας αυτός διαγράφεται μόνο όταν δεν είναι μηδέν!!! Μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε ισότητες κατά μέλη, χωρίς κανένα περιορισμό για τους αριθμούς 4 Μπορούμε και στα μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό 5 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και στα μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό που προσέχουμε όμως να είναι διαφορετικός του μηδενός 6 Όταν δίνεται στην υπόθεση μιας άσκησης αναλογία, συνήθως, θέτουμε τους ίσους λόγους με λ και εργαζόμαστε αντικαθιστώντας στην αναλογία(σχέση) που θέλουμε να αποδείξουμε 7 Για να αποδείξουμε μια ταυτότητα ακολουθούμε ένα από τα παρακάτω: Κάνουμε πράξεις στο ο μέλος της ταυτότητας μέχρι να καταλήξουμε στο ο μέλος Κάνουμε πράξεις στο ο μέλος της ταυτότητας μέχρι να καταλήξουμε στο ο μέλος Κάνουμε πράξεις ταυτόχρονα και στα μέλη μέχρι να καταλήξουμε με ισοδυναμίες σε πρόταση που να ισχύει 8 Η μέθοδος της <<απαγωγής σε άτοπο>> : θεωρούμε ότι αυτό που θέλουμε να δείξουμε δεν ισχύει και με λογικούς συλλογισμούς καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση 9 Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε σε γινόμενο μια παράσταση 0 Η παραγοντοποίηση γίνεται: Με κοινό παράγοντα Κατά ομάδες Χρησιμοποιώντας γνωστές ταυτότητες Με συνδυασμό όλων των προηγούμενων Ιδιότητες των ανισοτήτων: > b Û - b > 0 < b Û - b < 0 Αν > 0 και b > 0, τότε + b > 0 και b > 0 4 Αν < 0 και b < 0, τότε + b < 0 και b > 0 5 Αν b, ομόσημοι, τότε b > 0 και 0 b > Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6

7 6 Αν b, ετερόσημοι, τότε b < 0 και 0 b < 7 Για κάθε αριθμό α ισχύει ³ 0 8 Αν > b και b > g, τότε > g 9 Αν > b, τότε + g > b + g 0 Αν > b και g > d, τότε + g > b + d Αν > b και g > 0, τότε g > b g Αν > b και g < 0, τότε g < b g Φροντίζουμε οι ανισότητες να έχουν την ίδια φορά πριν τις προσθέσουμε κατά μέλη Δεν έχουμε το δικαίωμα να αφαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γι αυτό και πολλαπλασιάζουμε με το -, ώστε αντί για αφαίρεση να κάνουμε πρόσθεση 4 Δεν έχουμε το δικαίωμα να διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γι αυτό και αντιστρέφουμε τα κλάσματα αλλάζοντας φορά, ώστε αντί για διαίρεση να κάνουμε πολλαπλασιασμό(βεβαίως, για να αντιστρέψουμε και τα δυο μέλη μιας ανισότητας αλλάζοντας φορά, πρέπει και τα δυο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί) 5 Μπορούμε να υψώσουμε και τα δυο μέλη μιας ανισότητας στο τετράγωνο αν πρώτα βεβαιωθούμε ότι και τα δυο μέλη είναι μη αρνητικοί αριθμοί 6 Η απόλυτη τιμή του δεν είναι ποτέ αρνητικός αριθμός 7 Η απόλυτη τιμή του είναι μεγαλύτερη από κάθε αρνητικό αριθμό 8 Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια απόλυτη τιμή Δηλ - = 9 Πως μπορούμε να βγάλουμε το απόλυτο από μια παράσταση; Απάντηση: Αρκεί να γνωρίζουμε το πρόσημο της παράστασης μέσα στο απόλυτο Τότε: Αν A ³ 0, τότε A = A Αν A 0, τότε A =- A 0 Όταν δεν ξέρουμε το πρόσημο του υπόρριζου πάντα κατά την διαγραφή της ρίζας θα βάζουμε απόλυτο Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 6

8 ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Ένας ρητός αριθμός k θα είναι ίσος με το 0 αν και μόνο αν κ = 0 l Ένα γινόμενο δεν είναι μηδέν όταν κανένας παράγοντάς του δεν είναι μηδέν Αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε δύο ρητούς το αποτέλεσμα είναι επίσης ρητός αριθμός 4 Το γινόμενο δυο άρρητων είναι άρρητος 5 Αν ( -) = y ( -) tόte = y 6 Αν (α-β)(β-γ)(γ-α) ¹ 0 τότε α ¹ β ¹ γ ¹ α 7 Η ισότητα ( - ) 0 = ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό 8 ( ) =- 9 ( ) 0 - =- - - = ( ) 0 0 = (- 0) (- ) = (- ) ( - b) = ( b - ) 4 ( + b) = (-b - ) 5 ( - b) = ( b - ) 6 Για κάθε αριθμό α ισχύει: ³ 7 Για κάθε αριθμό α ισχύει: ³ 8 Για κάθε αριθμό α ισχύει: - 9 Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: > 0 0 Αν b >, τότε > b Αν α ³ 0 και β > 0 τότε α + β > 0 Αν α > β > 0 τότε α² - β² > 0 Αν α ³β τότε α β > 0 4 Αν α = β τότε α β > 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 6

9 5 α² + β² 0 Û α = β = 0 6 Αν α > β και γ > δ τότε α - γ > β δ 7 α² + β² 0 Û α = β = 0 8 Αν α > β και γ > δ τότε α γ > βδ 9 Αν α < β < 0 τότε -α < -β 0 Αν α > β Û α γ > β γ Αν < b b τότε > = 6 + = 5 4 Το διπλάσιο του 5 είναι το 0 5 Το μισό το είναι το 6 Δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές 7 - = = Η εξίσωση - + = 0 είναι αδύνατη 40 Αν + y = 0, τότε = 0 ή y = 0 4 ³ 4 + = + 4 = 44 Αν, τότε - = - 45 α = β Û α =β 46 α < β Û α <β 47 α < β Þ α<β 48 α<β Þ α < β 49 - y = y - 50 Aν α + β = 0 Û α +β =0 5 +y =0 Û = y 5 Aν α<β<γ<δ τότε β-γ < α-δ Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 6

10 5 Αν α < 0 τότε A = - είναι ίσο με το 6 54 Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει - α = -α 55 Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει = 56 Αν < 0 τότε = y = + y 58 + y = 0 Û = y = y = + y 60 Αν α < 0 τότε α β = - α β 6 Αν αβ ³ 0 τότε α β = α β 6 Αν α > 0 και β<0 τότε - b = - b 6 Για κάθε πραγματικό α ισχύει (-α) = α 64 Αν α < β < 0 τότε - α > - β 65 Αν > y τότε y ( - y ) 66 (5 ) = = y 67 Αν <, τότε 6 +9 = 68 = 69 Αν < 0, τότε = ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Το μισό του αριθμού 6 6 είναι ίσο με: Α 6, Β 6, Γ 5 6, Δ Αν β < 0 η παράσταση Α = - β - β είναι ίση με: Α β, Β β, Γ -β, Δ -β, Ε 0 Αν α < τότε η παράσταση Α = α + - α + - α - είναι ίση με: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 6

11 Α - α, Β α -, Γ α +, Δ α -, Ε - α 4 Αν α = β = 0 προκύπτει ότι: Α α = 0 ή β = 0 Β α = 0 και β = 0 Γ α = 0 και β ¹ 0 Δ α ¹ 0 ή β ¹0 5 Η ισότητα α + α = α ισχύει όταν: Α α < 0, Β α 0, Γ α > 0, Δ α ³ 0 6 Η ανίσωση ³ - αληθεύει για: Α < 0, Β για κάθε πραγματικό, Γ ³ 0, Δ Δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα 7 Αν α < 0 < β τότε η παράσταση Α = α - β - α - β είναι ίση με: Α -α, Β α, Γ β, Δ -β 8 Αν < 0 η παράσταση A = 4 + είναι ίση με: Α 0 Β 4 Γ Δ E Αν > 0 η παράσταση A = + είναι ίση με: Α0 Β 6 Γ 9 Δ Ε 4 0 Η παράσταση ( -) ( + ) είναι ίση με : Α Β 0 Γ 4 Δ Ε - H τετραγωνική ρίζα του είναι ίση με: Α Β Γ Δ H παράσταση είναι ίση με: Α 5 Β 6 Γ 4 Δ - Ε Η ισότητα = ισχύει όταν : Α <, B, Γ >, Δ ³ Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

12 4 Αν ισχύει b b = 0 τότε: Α α = και β ¹ 0, Β α = και β =, Γ α = ή β =, Δ α ¹ και β ¹ 5 Αν < 0 < y η τιμή της παράστασης A= - y + - y ισούται με : Α- Β - Γ + Δ 0 Ε y ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α σε ένα στοιχείο από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β 5 5 α β δεν ορίζεται 5 ( 5) 6 5 γ 5 Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α με τις συζυγείς τους στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α) + 5 (7 + ) Β) Γ) Δ) Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Δύο φυσικοί αριθμοί α, β έχουν άθροισμα 6 Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το γινόμενο τους ; Β Για τους φυσικούς αριθμούς α, β είναι γνωστό ότι και οι δύο διαφορές α β και β α είναι φυσικοί αριθμοί Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για τους αριθμούς α, β; Β Να δείξετε ότι η διαφορά δύο αρτίων είναι άρτιος Β4 Να δείξετε ότι η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος Β5 Να δείξετε ότι το γινόμενο δύο περιττών είναι περιττός Β6 Να δείξετε ότι το γινόμενο ενός αρτίου με ένα οποιοδήποτε ακέραιο είναι άρτιος Β7 Να δείξετε ότι το άθροισμα ενός αρτίου και ενός περιττού είναι αριθμός περιττός Β8 Αν κ=λ να δείξετε ότι οι αριθμοί α= 0+λ-κ και β =5κ-0-4λ είναι αντίθετοι Β9 Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: y+ Α= 0y -5[-4 y(-4-)] για =,, y=-7,77 και B = για =, y = + y Β0 Να λυθεί η εξίσωση: ( -4)(+)=0 Β α)για ποιες τιμές του ορίζονται τα κλάσματα: A= - 4 ( -) και - B= ( - )( + ) ; β)να δείξετε ότι οι Α, Β είναι αντίστροφοι Β Να γράψετε ως γινόμενο παραγόντων τα: i 6 + ii αβ + α iii αβ 5α β + 5 Β Να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί i (y + z t) ii ( + α) (y + z t) iii (α) (y + z t) iv (α + β γ)(κ λ + μ) Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

14 Β4 Να γράψετε σαν ένα κλάσμα τις παραστάσεις : A= 5, 6 B=, 7 G= 5, 6 b D= g d Β5 Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες : i (5α ) + (5α + ) = 50α + ii (α + β) (α + β ) = αβ(α + β) Β6 Συμπληρώστε τις ισότητες ώστε να προκύψουν αναπτύγματα ταυτοτήτων: α) 9 - = ( - χ) ( + ) β) 8α + = (α + ) ( - + 4) γ) ( + β ) = + 6α β+ δ) χ 4 - = ( + χ ) ( 4) Β7 Να απλοποιηθεί το κλάσμα: ( + y)( -) - + y-y Β8 Να γίνουν οι πράξεις: α) + + bg g b -c c + 4 c+ c β) c- c -8c c+ c -4 c-y y-w w-c γ) + + cy yw wc Β9 Να βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου αν είναι γνωστό ότι είναι ανάλογες με τους αριθμούς, και 5 Β0 Οι αριθμοί α και β είναι ανάλογοι των αριθμών και 5 και ισχύει α+β=40 Να βρείτε τους αριθμούς α και β Β Έστω α,β,γ,δ τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι: i α-β-γ+δ=0, ii ο αριθμός β+γ είναι περιττός, iii ο αριθμός α+γ είναι άρτιος, Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

15 iv ο αριθμός (α+γ)(β+δ) είναι πολλαπλάσιο του 4 Β Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι και οι αριθμοί γ,δ είναι αντίστροφοι, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A= d -é- -( b + ) ù- d ( g + ) ë û Β i) Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση α β + αβ α β ii) Αν για τους αριθμούς α,β ισχύει α β + αβ = α +β, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι Β4 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ( -) + 4( -) + - ii) y(y -) + y 4y iii) (ω + ) ω 4 - (ω + ) - (α + )(α - ) - 4(α + ) iv) α + α Β5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) α - 4 α + α + α - 6 α + α ii) iii) 4y - 9 y : 4y -y + 9 y + y - y Β6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) y ii) y - y - 4y iii) y y -5y + 6 y - y - y y y + y - y iv) Β7 Έστω ότι α < β Να αποδείξετε ότι: α 6α < 6β β 5(α + ) < 5(β + ) γ 6(α β) < α β Β8 Έστω ότι α < β και γ < δ Να αποδείξετε ότι: α + γ β + δ α α + γ < β + δ β α 5δ < β 5γ γ + 4< + 4 Β9 Aν ισχύει (α β)(α²+) ³ 0 να συγκρίνετε τα α και β Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

16 Β0 Έστω ότι α < β και γ < δ Να αποδείξετε ότι: αγ αδ βγ + βδ > 0 Β Να δείξετε ότι α + 4 ³ 4α για κάθε α πραγματικό αριθμό Β Να δείξετε ότι : α α 0α + 6 > 0 β α α + > 0 γ α + β 4α δ α 4α + 5 > 0 ε- α + 6α < 0 στ α α + > 0 Β Δείξτε ότι: y ( y ) + ³ - - Β4 Να δείξετε ότι α + β + γ ³ αβ + βγ + αγ για κάθε α, β, γ πραγματικούς αριθμούς Β5 Να αποδείξετε ότι: α Αν α > 0 τότε + β Αν α < 0 τότε + - Β6 Αν ισχύει α και < β < 4, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις α α + β β α β γ α + β αβ Β7 Aν ισχύει < α < και - < β < -, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή κάθε παράστασης α 4α β β α + β γ αβ δ - α β ε α β στ - α β Β8 Αν ισχύει β 4 και < α <, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις α α + β β α β γ α β δ α² - β Β9 Aν ισχύει - α < - και -4 < β < -, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή κάθε παράστασης α 4α β + β α + β γ - αβ δ β α ε (α + β) β στ β α αβ Β40 Αν α + β = να δείξετε ότι : α β Β4 Αν 0 < α < β να διατάξετε κατά σειρά μεγέθους από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6

17 τους αριθμούς α β α +,, β α αββ Β4 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) 5 β) - γ) - δ) - ε) p- στ) p- 7 Β4 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) 7-6 β) p- 6 γ) p- 6 δ) ( p- ) ε) p- 6 Β44 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) c -cy+y β) -c + 6c- 9 γ) p -6p+ 9 δ) -p + p- Β45 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές: Α= Β= + - -( - ) Γ= Β46 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές: Α= c- + c- 5 Β= c c Γ= 4-c + 6-c i) αν c< ii) αν <c< 5 iii) αν 5 <c Β47 Αν < b < 0 να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : A= + b - + b - - b B= -b - -b - b - b * Β48 0 Αν y, Î, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση: A y y = + + y y Β49 Αν < b < g να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: b - + b -g Α=, Β= b -g + -b - - g + b - -g Β50 Αν < δείξτε ότι: = Β5 Αν < και - y<4 να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η παράσταση Α=4-5y+9 Β5 Αν ισχύει << και -<y<- βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 6

18 A = 4 - y, B = + y, G = -, D = y -, y E y = -, Z = - y Β5 Υπολογίστε την πλευρά τετραγώνου εμβαδού 44 cm Β54 Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους; α),,,, β) 8, 7, 8, 6,, 6 Β55 Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι; i) α= 8, β=, γ=, δ=, ε=, στ= ii) α= +, β=, γ=, δ= +, ε= 7 Β56 Να βρείτε μία δεκαδική προσέγγιση του 5 «με το χέρι» δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή, υπολογιστή, κινητό κτλ Β57 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) και 0 β) 5 και + γ) και δ) και ε) 0+ 5 και 5 + Β58 Να κάνετε τις πράξεις : α) 6 9 β) γ) δ) ε) 75 + Β59 Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 6

19 Α) Β) Γ) Δ) Ε) Β60 Nα δείξετε ότι ο αριθμός ( 5 + ) είναι ρητός Ομοίως αν, y είναι θετικοί ρητοί, να δείξετε ότι ο αριθμός ( + ) είναι ρητός Β6 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = + όπου, οι λύσεις των παρακάτω εξισώσεων : i) = 7 ii) = 7 Β6 Δίνεται ότι 5 = Nα βρείτε τον Β6 Aν να απλοποιήσετε την παράσταση Α = ( + ) + ( ) Β64 Nα αποδείξετε ότι : α) ο αριθμός + είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού 6(+ ) β) ο αριθμός είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού + ), > > 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 6

20 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας α) Πόσοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στο 8 και το 5 8 ; β) Υπάρχει αριθμός ανάμεσα στον, και στον, ; Αν ναι, γράψτε έναν γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός α μεγαλύτερος του 5 8 με την ιδιότητα: << ανάμεσα στον 5 8 και τον α να μην υπάρχει άλλος αριθμός >> ; δ) Υπάρχει ο μικρότερος θετικός πραγματικός αριθμός; Αν ναι, ποιος είναι αυτός; ε) Υπάρχει ο επόμενος πραγματικός αριθμός του 4,; Αν ναι, ποιος είναι αυτός; στ) Μπορείτε να βρείτε έναν αριθμό ανάμεσα στον 0,99 και στον ; Ανάμεσα στον 0,899 και στον 0,9; Τι Παρατηρείτε; Γ Ο αριθμός α είναι περιττός και ο αριθμός αβ + είναι άρτιος Να αποδείξετε ότι ο β είναι περιττός Γ Για τον αριθμό χ είναι γνωστό πως ( )( )( ) = 0 Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει το γινόμενο ( + )( + )( + ); Γ4 Αν οι αριθμοί κ, λ είναι αντίθετοι και οι αριθμοί μ, ν είναι αντίστροφοι να βρείτε την τιμή της παράστασης : A=n-é-k-( l+ 8) ù-n( m+ ) ë û Γ5 Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες : i (α β ) = α + β αβ, με δεδομένο ότι α + β = ii (α + β) +(α + β) (α β) + (α + β)(α β) + (α β) = 8α Γ6 Να απλοποιηθεί το κλάσμα: -9 - ( + ) ( + ) - 8( + ) Γ7 Να γίνουν οι πράξεις: æ 4mn ö : æ m n mn ç m+n- ç - - ö è m+nø èm+n n-m m -n ø α) æ ö æ ö ç b ç b +b : ç - - -b : ç + b b + - ç -b ç +b è ø è ø β) ( ) ( ) Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 6

21 Γ8 Οι αριθμοί α και β είναι ανάλογοι των αριθμών 4 και 6 και ισχύει α+β= i Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii Να βρείτε την τιμή της παράστασης: A= -é- -é-( b -) -b( -) ë ùû ù ë û Γ9 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i α β ( ) ii α β ( ) + = + b - b + = - b + b iii α + β = ( + b) - b( + b) iv α β ( b) b( b) + = Γ0 Αν α + β = και α + β = 8 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α = αβ, B=α + β και Γ= ( α-β) Γ Αν α + β = 4 και α β = να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) α + β ii) α + β iii) α β α β + iv) + Γ i) Να αποδείξετε ότι (α β)(α + β)(α + β )(α 4 +β 4 ) = α 8 β 8 ii) Να υπολογίσετε το γινόμενο Γ i) Να αποδείξετε ότι æ 4ö æ 4ö ç α + - ç α - = è αø è αø 6 ii) Να υπολογίσετε τον αριθμό æ ö æ ö = ç ç 0 - è 50 ø è 50 ø - y - y Γ4 i) Να αποδείξετε ότι: + y = ( + y) ii) Να υπολογίσετε την παράσταση Γ5 i) Αν Α = + και Β = -, να αποδείξετε ότι + A + B = Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

22 ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ορθογωνίου τριγώνου 40 99,, αποτελούν μήκη πλευρών Γ6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις æ + öæ ö i) ç - ç+ è + -øè 4 - ø ii) é + ê + ë - - ù ú : û ( -) ( -) - iii) æ ç è αβ öæ α α + β ö æ α β ö æ α β - ç + iv) α + β øè β α - β ö ç + - : ç + ø è β α ø è β α ø Γ7 α Αν α, β θετικοί τότε α > β Û α > β β Αν α,β αρνητικοί τότε α > β Û α < β Γ8 Αν α -, δείξτε ότι α + α + α Γ9 Αν α, β οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και α > β να δείξετε ότι α > β Γ0 Αν < και y < να δείξετε ότι + y < + y Γ Να δείξετε ότι 4 4 α + β ³ α β + αβ Γ Να αποδείξετε ότι: α α + β + (α + β) β για κάθε α, β, γ πραγματικούς αριθμούς α + β + γ + ³ (α + β + γ) Γ Αν 0 < α < να αποδείξετε ότι + ³ 4 α - α Γ4 Να δείξετε ότι æα+ βö ç ³ αβ è ø για κάθε α, β πραγματικούς αριθμούς Γ5 α Αν α, β ομόσημοι να δείξετε ότι α + β ³ β α β Αν α, β ετερόσημοι να δείξετε ότι α + β - β α Γ6 Να βρείτε τα, y αν: α + y 6 + 0y = - 4 β + y 4y γ + y - y Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

23 Γ7 Έστω ότι α < β < γ Να αποδείξετε ότι: α + β α + β + γ α α < < β β α < < γ α + β α β Γ8 Για θετικούς αριθμούς α, β, γ να αποδείξετε ότι : < + + α + β + α + β Γ9 α Να αποδείξετε ότι : + y ( + y) β Αν ισχύει α,β > 0 και α + β =, να αποδείξετε ότι + ³ α β 4 και æ ö æ ö 5 ç α+ + ç β+ ³ è αø è βø Γ0 Αν 0 < α < β, να συγκρίνετε τους αριθμούς α α β,, β α β (αβ) 0 και β 0 Γ Αν 0 < α < β, να συγκρίνετε τους αριθμούς α α 5 5 β, β 9 α, 9 β γ α 0 β 7, β 0 α 7 Γ Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β, για τους οποίους ισχύει α < β < - Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους επόμενους αριθμούς α 0, α, β, α, β + β α 4, β 4, (α ) 4, (β + ) 4, 0 γ α 7, β 7, (α ) 7, (β + ) 7, 0 Γ Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) = 0 Γ4 Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων α) +8 β) ( 5) ( + 5):[( + ) ] γ) Aν = 5 και = 5+, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = + Γ5 Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει : i) + +>0 για κάθε єr ii) +<0 για κάθε єr Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

24 Γ6 Aν = να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = Γ7 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ= 4 cm και εμβαδόν 4 cm Nα βρείτε α) ΒΓ Α Β β) ΑΓ Δ Γ8 Aν ισχύουν + = + 9 και = 9 +, να αποδείξετε ότι : + = + Γ9 Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει ότι : i) Nα υπολογίσετε τους α και β ii) Nα αποδείξετε ότι : + ( )= + +5=0 Γ Γ40 Να απαλλαγεί από τα απόλυτα η παράσταση Γ = -y - y , αν < < y Γ4 Να αποδείξετε ότι η παράσταση A = όταν < < είναι ανεξάρτητη του ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ Αν + = και ¹ 0 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= +, Β= +, Γ= 4 +, 4 Δ= æ ö Δ Αν ç + = è ø και ¹ 0 να αποδείξετε ότι + = 0 Δ Αν - = και ¹ 0 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

25 Α= + και Β= - Δ4 i) Να αποδείξετε ότι α α + β + (α - β) α + β = α + (α - β) ii) Να υπολογίσετε την παράσταση * Δ5 Αν α,β,γî R, α+ β+ γ = και + = 0, Δ6 Αν >, δείξτε ότι: 4 - < - + να αποδείξετε ότι α β γ α + β + γ = Δ7 Αν < α < να συγκρίνετε τους αριθμούς α και α + α Δ8 Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α = α + β και Β = α β + αβ, αν α,β < 0 Δ9 Να συγκρίνεται τους αριθμούς Α = α² - αβ + β² και Β = ( α-β ) Δ0 Αν > y > 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς y - + y και - y + y Δ Αν 0 < α < β, να δείξετε ότι α + 5α- β + 5β- α < β Δ Δίνεται η παράσταση Α = α 6α + 5 α Να εκφράσετε την παράσταση Α ως άθροισμα τριών τετραγώνων β Να δείξετε ότι: α + 5 > 6α Δ Να δείξετε ότι α 4 α + Δ4 Να δείξετε ότι (α + β )( + y ) ³ (α + βy) για κάθε α, β,,y πραγματικούς αριθμούς Δ5 Αν α,β ομόσημοι με α ¹ β, δείξτε ότι : æβ ö æ+ βö ç < β < + β ç è ø è ø Δ6 α Να δείξετε ότι : (α + β) ³ 4αβ β Αν επιπλέον α, β θετικοί με α + β = να δείξετε ότι: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

26 i) αβ 4 ii) æ öæ ö çα + çβ + ³ 9 iii) α + β è α øè β ø iv) α 4 + β 4 8 Δ7 Έστω α,β,γ > 0 Να αποδείξετε ότι α β α + ³ β α β (α + β)(β + γ)(γ + α) ³ 8αβγ æ γ αν επιπλέον ισχύει α + β + γ = τότε öæ öæ ö ç - 8 α ç - - ³ β ç γ è øè øè ø Δ8 Για τους αριθμούς α και β ισχύει αβ + > α + β > α Να αποδείξετε ότι α > 0 και β < 0 β Να αποδείξετε ότι < - α α- α γ Να συγκρίνετε τους αριθμούς β, β β Δ9 Αν α, β θετικοί να συγκρίνετε τους αριθμούς α - β και - β - α αβ Δ0 Αν > 0, να αποδείξετε ότι + i) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασης + ; ii) Για ποια τιμή του η παράσταση αυτή παίρνει την ελάχιστη τιμή της; Χωρίς φιλοδοξία δεν ξεκινά τίποτα Χωρίς δουλειά δεν τελειώνει τίποτα Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα