Βιοµαθηµατικά BIO-156

Transcript

1 Βιοµαθηµατικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάµηνο, 08

2 Ορισµός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονοµάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστηµα Ι, αν F' για I. Κάθε παραγωγίσιµη συνάρτηση έχει µία παράγωγο, αλλά µια συνάρτηση έχει ένα σύνολο αντιπαραγώγων. Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της τότε όλες οι συναρτήσεις GF, σταθερά είναι αντιπαράγωγοι γενική αντιπαράγωγος της.

3 Αόριστο ολοκλήρωµα Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της συνάρτησης ονοµάζεται αόριστο ολοκλήρωµα της ως προς και συµολίζεται d F

4 Αντιπαράγωγοι ασικών συναρτήσεων

5 Γραµµικότητα του ολοκληρώµατος Έστω και Τότε. F d G d g F d d. 3. G F d g d d g G F d g d d g α α

6 Τεχνικές υπολογισµού ολοκληρωµάτων µέθοδος ολοκλήρωσης µε αντικατάσταση ή αλλαγής µεταλητής µέθοδος ολοκλήρωσης κατά µέρη ή κατά παράγοντες ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων ή ολοκλήρωση µε µερικά κλάσµατα.

7 Μέθοδος µε αντικατάσταση ή αλλαγής µεταλητής - ασίζεται στην παραγώγιση σύνθεσης συναρτήσεων Ο υπολογισµός ολοκληρωµάτων της µορφής [ g ] g d µε την αντικατάσταση ug και dug d ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων της µορφής u du Ολοκληρώνουµε ως προς u, και στο αποτέλεσµα κάνουµε την αντίστροφη αντικατάσταση, όπου u θέτουµε το g

8 Παραδείγµατα Θέτουµε u3 µε dud. du 3d u 3/ u 3/ 3 udu 3 3/ Θέτουµε ue t µε due t dt. t e e t dt u du u e t

9 Ασκήσεις Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα

10 Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά µέρη ή κατά παράγοντες - ασίζεται στον κανόνα παραγώγισης του γινοµένου Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιµες, τότε g d g g d

11 Παραδείγµατα e e e d e e d e e d e d e. d d d d d ln ln ln ln ln ln ln.

12 Παραδείγµατα e e e e d e e d e e d e e d e d e 3. e e e ue du ue d e u u u d du u 4.

13 Ασκήσεις Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα

14 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Για να ολοκληρώσουµε ρητές συναρτήσεις είναι συνήθως αναγκαίο να γράψουµε τη συνάρτηση σαν άθροισµα ενός πολυωνύµου και πιο απλών ρητών συναρτήσεων της µορφής A ή B C b k k όπου A,B,C,,b, και είναι σταθερές και k θετικός ακέραιος. Ο παρανοµαστής του δευτέρου κλάσµατος δεν αναλύεται σε γινόµενο πρωτοάθµιων όρων, δηλαδή δεν έχει πραγµατικές ρίζες.

15 Η διαδικασία ανάλυσης σε µερικά κλάσµατα Βήµα Αν στον παρανοµαστή υπάρχει πολυώνυµο αθµού µικρότερου ή ίσου από το αθµό του πολυωνύµου του αριθµητή τότε πριν κάνουµε την ανάλυση σε µερικά κλάσµατα πρέπει πρώτα να εκτελέσουµε τη διαίρεση του αριθµητή δια τον παρανοµαστή. Βήµα Αναλύουµε τον παρανοµαστή σε γινόµενο πρωτοάθµιων - k και δευτεροάθµιων b k µε b -4<0 παραγόντων η δεύτερη περίπτωση δεν θα εξεταστεί.

16 Βήµα 3. γραµµικοί παράγοντες Σε κάθε απλό γραµµικό παράγοντα του παρονοµαστή -α, αντιστοιχεί στην ανάλυση του κλάσµατος ένας όρος της µορφής A Αν ο γραµµικός παράγοντας - εµφανίζεται k φορές στην παραγοντοποίηση του παρονοµαστή, τότε η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα περιέχει όρους της µορφής

17 Παραδείγµατα

18 Υπολογισµός του ολοκληρώµατος Αν k, τότε k d d ln Αν k, τότε d k k k

19 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα Αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα Απαλείφοντας τους παρανοµαστές έχουµε d C B A C B A C B A C A C B A Οπότε AC 5AB4C0 6A3B4C C B A C B A C A A-8 B4 C9 d d d d 3 9ln 4 8ln

20 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα d Επειδή ο αθµός του πολυωνύµου στον αριθµητή το αθµό του πολυωνύµου στον παρανοµαστή 3 4. διαίρεση Ανάλυση σε µερικά κλάσµατα d d d 4 d ln 4ln

21 Ολοκληρώµατα και Αθροίσµατα Παράδειγµα Ρυθµός µεταολής του όγκου νερού σε ένα δοχείο dv dt t Vt : όγκος νερού m 3 t : χρόνος s Ζητάµε τη συνολική µεταολή του όγκου από t0 µέχρι t dv dt dv dt t t Συνολική µεταολή

22 Ολοκληρώµατα και Αθροίσµατα Έστω ότι ο ρυθµός µεταολής της Μ στο διάστηµα [α,] είναι dm dt Ζητάµε τη συνολική µεταολή της Μ στο διάστηµα [α,]. P n µια διαµέριση του διαστήµατος [α,] P : t < t < L < t n t 0 n Η διαµέριση αυτή χωρίζει το διάστηµα [,] σε n υποδιαστήµατα [t 0, t ], [t, t ],..., [t n-, t n ] t j t j - t j- µήκος του υποδιαστήµατος [t j-, t j ] Πλάτος της διαµέρισης : P m{ t, t,, t n }

23 Ολοκληρώµατα και Αθροίσµατα Σε κάθε υποδιάστηµα [t j-, t j ] παίρνουµε ένα σηµείο ξ j και σχηµατίζουµε το άθροισµα Άθροισµα Riemnn της στο [α,]. < < < n n t t t P L 0 : n n n j j j P t t t S n ξ ξ ξ L α t j- t j ξ j t y ξ j

24 Ορισµός: Ορισµένο ολοκλήρωµα Έστω P n : t0 < t < L < tn, n,, µια ακολουθία διαµερίσεων του [α,] µε P 0. Το ορισµένο ολοκλήρωµα της από τοαστοείναι n t dt lim ξ t P 0 αν το όριο υπάρχει. Τότε λέµε ότι η είναι ολοκληρώσιµη στο [α,]. j j j Θεώρηµα: Αν η είναι συνεχής στο [α,], τότε είναι ολοκληρώσιµη στο [α,].

25 Παραδείγµατα - Ορισµένο ολοκλήρωµα Για µια συνεχή συνάρτηση t το lim είναι P 0 S Pn ανεξάρτητο από τη διαµέριση και την επιλογή των σηµείωνξ j Για χάρη απλότητας υποθέτουµε ότι το µήκος κάθε διαστήµατος είναι το ίδιο και επιλέγουµε ωςξ j τα δεξιά άκρα των υποδιαστηµάτων [t j-, t j ] t n ξ j j t j n, j,, L, n Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το 0 0 t dt lim n n j lim n j n n n j ξ t lim n j n n j lim n j n j lim n ξ t n j tdt n n

26 Θεµελιώδες θεώρηµα του απειροστικού λογισµού Έστω µια συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [α,], τότε d F F F όπου F είναι µια αντιπαράγωγος της, δηλαδή F.

27 Ιδιότητες των ορισµένων ολοκληρωµάτων Έστω ότι και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α, ]. Τότε. d 0. d α d 3. k d k d, k σταθερά 4. g d d α α α g d 5. Αν α<γ<, τότε γ d d d γ Αν Αν t [, ] t [, ] είναι είναι t t 0, g t, t dt 0 t dt g t dt

28 Τεχνικές ολοκλήρωσης - µε αντικατάσταση ή αλλαγή µεταλητής ] [ g g du u d g g g u - κατά παράγοντες α α d g g g d g

29 Εφαρµογές της ολοκλήρωσης Υπολογισµός εµαδού Αν η είναι ολοκληρώσιµη στο [α, ] και 0 στο [α, ], τότε d όπου Α το εµαδόν της περιοχής µεταξύ του -άξονα και του γραφήµατος της στο [α, ]. y A y A α d lim 0

30 Υπολογισµός εµαδού Αν η είναι ολοκληρώσιµη στο [α, ] και < 0 στο [α, ], τότε d A όπου Α το εµαδόν της περιοχής µεταξύ του -άξονα και του γραφήµατος της στο [α, ]. y y - B Επειδή εµαδόν του A εµαδόν του B, και B [ ] d α A y

31 Υπολογισµός εµαδού Εµαδόν χωρίου µεταξύ γραφηµάτων g d y g α

32 Μέση τιµή Έστω µια συνεχή συνάρτηση στο [,]. Η µέση τιµή της στο διάστηµα [,] είναι d

33 Υπολογισµός της µάζας αντικειµένου µια διάσταση α µάζα αντικειµένου ρd όπου ρ η πυκνότητα στη θέση.

34 Αφθονία ενός είδους στη στήλη του νερού A : αριθµός ατόµων π.χ. φυτοπλαγκτού, ψαριών από την επιφάνεια στο άθος ή συνολική ποσότητα αλατιού, νιτρικών κ.α. ρ : πυκνότητα ή συγκέντρωση στο άθος m m A ρ y dy 0

35 Παράδειγµα Η στήλη του νερού σε ένα µέρος της θάλασσας έχει άθος 75m. Η πυκνότητα της σαρδέλας αριθµός ψαριών ανά κυικό µέτρο είναι ρ 0, στο άθος κατακόρυφη κατανοµή. Να υπολογιστεί ο συνολικός αριθµός ψαριών στη στήλη του νερού , d, 75 35,

36 Παράδειγµα Η συγκέντρωση αλατιού στον ωκεανό αλατότητα gr αλατιού / kg νερού δίνεται από τη συνάρτηση b S S e, b,, S > 0 Κεντρικό Ειρηνικό Ωκεανό 0,076, b 0,05/ m, 0,04 / m, S 34,7 gr αλατιού/kg νερού Να υπολογιστεί το συνολικό αλάτι σε kg σε στήλη επιφάνειας m νερού και άθους 00m 0 µέχρι 00 Σηµ. m 3 θαλασσινού νερού,000kg Εποµένως, αλατότητα σε gr/m 3 ρ S 00 ρ d , 5 kg

37 Καταχρηστικά ή γενικευµένα ολοκληρώµατα improper integrls Χαρακτηριστικά των καταχρηστικών ολοκληρωµάτων. Το ένα ή και τα δύο όρια της ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, δηλαδή το διάστηµα ολοκλήρωσης δεν είναι φραγµένο. Η συνάρτηση που ολοκληρώνεται δεν είναι φραγµένη, δηλαδή απειρίζεται σε ένα ή περισσότερα σηµεία στο διάστηµα ολοκλήρωσης

38 α Πρώτου είδους- µη φραγµένο διάστηµα ολοκλήρωσης d ή ή d d Έστω ότι η είναι συνεχής στο [α,, ορίζουµε d lim d z z Έστω ότι η είναι συνεχής στο -, ], ορίζουµε d lim z z d

39 Παράδειγµα Έστω ότι ο ρυθµός παραγωγής ενός χηµικού µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση dp dt e t moles/se Η ποσότητα της ουσίας που παράγεται µεταξύ t0 και tt είναι T t e dt 0 e Πόση ποσότητα της ουσίας θα παραγόταν αν το πείραµα διαρκούσε άπειρο χρόνο; T T t t e dt lime dt lim 0 T 0 T T e mole

40 Παράδειγµα Παραγωγή χηµικού µε ρυθµό dq dt t moles/se Πόσο χηµικό παράγεται µετά από πολύ χρόνο; Q T dt t lim T 0 0 t dt lim ln T T!!!!

41 Έστω ότι η είναι συνεχής στο [α,. Αν z z lim υπάρχει και έχει πεπερασµένη τιµή, λέµε ότι το ολοκλήρωµα d d συγκλίνει. Διαφορετικά, λέµε ότι το ολοκλήρωµα αποκλίνει

42 Παραδείγµατα Η συνάρτηση, p > 0 p είναι συνεχής στο [, και η ge - είναι συνεχής στο [0,,, p - 0 < d p p p > e d 0,, > 0 0

43 Διάστηµα ολοκλήρωσης -, Έστω µια συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα -,. Τότε d d d όπου α πραγµατικός αριθµός. Αν και τα δύο καταχρηστικά ολοκληρώµατα στο δεξιό µέλος συγκλίνουν, τότε η τιµή του καταχρηστικού ολοκληρώµατος στο αριστερό µέλος ισούται µε το άθροισµα των δύο οριακών τιµών στο δεξιό µέλος.

44 Δευτέρου είδους- µη φραγµένη συνάρτηση Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα α,] και lim ±, τότε το Ολοκλήρωµα d lim α d,, αν το όριο υπάρχει πεπερασµένο τότε το καταχρηστικό ολοκλήρωµα λέµε ότι συγκλίνει. Αν το όριο είναι ± τότε λέµε ότι το ολοκλήρωµα αποκλίνει. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα d 0 Η συνάρτηση / είναι συνεχής στο 0,], αλλά για 0,. Για 0, υπολογίζουµε d 0 d lim 0 d lim 0

45 Παράδειγµα Η συνάρτηση στο 0, ] p είναι συνεχής, p d p, < 0 p - p

46 Ασκήσεις Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα

47 Προτεινόµενη Βιλιογραφία C. Neuhuser Clulus or biology nd mediine Person/Prentie Hll, 004 Chpter 6: όλο Chpter 7: 7., 7., 7.3 και 7.4 F. R. Adler. Modeling the dynmis o lie: lulus nd probbility or lie sientists. Brooks/Cole, 998. Chpter 4: M. R. Cullen Mthemtis or the biosienes. Tehbooks, 983 Setions: 8-5