ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ 1. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν όρια ςτο x πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι lim f( x) l 1 και lim g( x) l 2 με l 1, l 2 IR, τότε lim ( f( x) g( x)) l l Η παράγωγοσ τθσ f(x) = θμx είναι θ f (x) = -ςυνx. 3. Μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ φκίνουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, όταν για οποιαδιποτε ςθμεία x 1, x 2 Δ με x 1 < x 2 ιςχφει f(x 1 ) > f(x 2 ). 4. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g είναι παραγωγίςιμεσ τότε ιςχφει: ' f(x) f (x) = g(x) g (x) 5. Ιςχφει (χ ν )ϋ=νχ 1,όπου ν φυςικόσ αρικμόσ. 6. Για χ>,ειναι (lnx)ϋ=- x 1 7. Μία ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ Α λζγεται ςυνεχισ αν υπάρχει ζνα xo ζτςι ϊςτε lim f ( x) f ( x ) o 8. f x. g x ' f '( x). g '( x) x ' 9. Ιςχφει o x ' ' ' 1. Ιςχφει f x g x f x g x. 11. Μία ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο x του 12. Αν πεδίου οριςμοφ τθσ όταν για κάκε x A ιςχφει f ( x) f ( x). lim f ( x ) l 1 και lim g ( x ) l 2, όπου l 1, l2 πραγματικοί αρικμοί και υπάρχει το f x g x,τότε ιςχφει θ ςχζςθ lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 13. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν ςτο xo o 1 o 2 f x g x l1 l 2. lim f(x)= R και lim g(x)= R τότε limf(x)+g(x) = R όρια πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι o 1 2

2 14. Μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α λζγεται ςυνεχισ ςτο Α, αν για κάκε xo ιςχφει lim f (x) f (x ). o o 15. Έςτω μία ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α και x 1 A. Aν f(x) f(x 1 ), για κάκε x ςε μια περιοχι του x 1, τότε το f(x 1 ) είναι τοπικό ελάχιςτο τθσ f. 16. Αν μία ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και ιςχφει f (x)> για κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ τότε θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ. 17. Αν f( x) για κάκε x τότε θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ. 18. Ιςχφει (χ ρ ) = ρ χ ρ-1 όπου ρ ρθτόσ αρικμόσ. 19. Αν f( x ) για x και f ( x ) για κάκε x( a, x) ( x, ) τότε θ f ζχει ζχει ακρότατα ςτο Δ 2. Αν f : A R είναι μια ςυνάρτθςθ και για κάκε x1, x2 γνθςίωσ αφξουςα. Aμε: x1 x2 f ( x1 ) f ( x2) τότε θ f είναι 21. Για κάκε παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f ιςχφει (cf(x)) =cf (x) όπου c ζνασ τυχαίοσ πραγματικόσ αρικμόσ. 22. Αν μία ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςε ζνα διάςτθμα Δ και ιςχφει fϋ(x)> για κάκε εςωτερικό ςθμείο του Δ, τότε θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο Δ. 23. Μια ςυνάρτθςθ f λζγεται γνθςίωσ αφξουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, όταν για οποιαδιποτε ςθμεία x 1, x 2 με x 1 < x 2 ιςχφει f x 1 > f(x 2 ). 24. Ιςχφει ότι ςυναρτιςεισ ςτο R f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x), όπου f, g παραγωγίςιμεσ ΣΑΣΙΣΙΚΗ 25. Αν διαιρζςουμε τθ ςυχνότθτα ν i μίασ μεταβλθτισ Χ, με το μζγεκοσ ν του δείγματοσ, προκφπτει θ ςχετικι ςυχνότθτα f i τθσ τιμισ χ i. Δθλαδι 26. Αν x x >,CV= s f i i, i=1,2,3,...,κ με κ ν. 27. Ένα δείγμα είναι ομοιογενζσ όταν ο ςυντελεςτισ μεταβολισ είναι μικρότεροσ θ ίςοσ του, Η διάμεςοσ δ ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων είναι πάντα μία από αυτζσ τισ παρατθριςεισ. 29. Για τθν ςχετικι ςυχνότθτα f i των τιμϊν x i ενόσ δείγματοσ μεγζκουσ ν ιςχφει f i Διάμεςοσ(δ)ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων οι οποίεσ ζχουν διαταχκεί ςε αφξουςα ςειρά ορίηεται ωσ θ μεςαία παρατιρθςθ αν το ν είναι περιττόσ

3 31. Σο άκροιςμα των ςχετικϊν ςυχνοτιτων f i των τιμϊν x i μιασ μεταβλθτισ είναι ίςο με Η διάμεςοσ ενόσ δείγματοσ είναι μζτρο διαςποράσ. 33. To εφροσ ενόσ δείγματοσ τιμϊν κεωρείται αξιόπιςτο μζτρο διαςποράσ. 34. Η μζςθ τιμι και θ διάμεςοσ ενόσ ςυνόλου v παρατθριςεων είναι μζτρα διαςποράσ. 35. Η διάμεςοσ είναι θ τιμι για τθν οποία το πολφ το 5% των παρατθριςεων είναι μικρότερεσ από αυτι και το πολφ το 5% των παρατθριςεων είναι μεγαλφτερεσ από αυτι. 36. τθν περίπτωςθ των ποςοτικϊν μεταβλθτϊν οι ακροιςτικζσ ςυχνότθτεσ N i εκφράηουν το πλικοσ των παρατθριςεων που είναι μικρότερεσ ι ίςεσ τθσ τιμισ 37. Διάμεςοσ (δ) ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων οι οποίεσ ζχουν διαταχκεί ςε αφξουςα ςειρά ορίηεται ωσ θ μεςαία παρατιρθςθ αν το ν είναι περιττόσ 38. Σο κυκλικό διάγραμμα χρθςιμοποιείται ςτθν απεικόνιςθ ςτατιςτικισ ζρευνασ μόνο για ποιοτικζσ μεταβλθτζσ 39. Η ςυχνότθτα τθσ τιμισ x i μιασ μεταβλθτισ X μπορεί να είναι αρνθτικόσ αρικμόσ. 4. Η μζςθ τιμι είναι μζτρο κζςθσ. 41. Η διάμεςοσ ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων διατεταγμζνων κατά αφξουςα ςειρά, ορίηεται ωσ θ μεςαία παρατιρθςθ όταν το πλικοσ ν είναι άρτιο. x i. 42. Η διάμεςοσ δ ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων είναι μζτρο κζςθσ 43. Σο κυκλικό διάγραμμα χρθςιμοποιείται μόνο ςτθν περίπτωςθ ποςοτικισ μεταβλθτισ. 44. Σο εφροσ R είναι μζτρο κζςθσ 45. Αν ο ςυντελεςτισ μεταβολισ CV είναι μικρότεροσ του 5% τότε το δείγμα είναι ομοιογενζσ 46. Ο ςυντελεςτισ μεταβολισ ενόσ δείγματοσ τιμϊν μιασ οποιαςδιποτε μεταβλθτισ X ορίηεται από το λόγο CV = x, όπου x θ μζςθ τιμι και s θ τυπικι απόκλιςθ. s 47. Αν ο ςυντελεςτισ μεταβλθτότθτασ CV ενόσ δείγματοσ είναι μεγαλφτεροσ του 1% τότε το δείγμα χαρακτθρίηεται ωσ ομοιογενζσ. 48. Η τυπικι απόκλιςθ ενόσ δείγματοσ είναι μζτρο διαςποράσ. 49. Σο ραβδόγραμμα χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ των τιμϊν μιασ ποιοτικισ μεταβλθτισ. ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ 5. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει πάντα Ρ(ΑΒ)= Ρ(Α) + Ρ(Β). 51. Αν Α και Β δφο ςφνολα με, τότε ιςχφει 52. Δφο ενδεχόμενα Α,Β του ίδιου δειγματικοφ χϊρου Ω λζγονται αςυμβίβαςτα όταν AB.

4 53. Αν A και B δφο ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω τότε ιςχφει P( A B) P( A) P( A B). 54. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω, τότε ιςχφει πάντα: Ρ(ΑᴜΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) 55. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω, τότε ιςχφει πάντα: Ρ(Α Β) Ρ(Α) 56. Αν Α Β, τότε Ρ Α + Ρ(Β) < Αν Ρ(Α) = Ρ(Α ), τότε 2 Ρ(Α) = Ρ(Ω). 58. τθν κανονικι κατανομι το 95% των παρατθριςεων βρίςκεται ςτο διάςτθμα (x -s, x +s) όπου x είναι θ μζςθ τιμι των παρατθριςεων και s θ τυπικι τουσ απόκλιςθ 59. Αν Α Β τὀτε P(Α)>P(Β) 6. Αν Α και Β είναι δυο αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω τότε ιςχφει: Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ(Β). 61. Δφο ενδεχόμενα και του ίδιου δειγματικοφ χϊρου Ω λζγονται αςυμβίβαςτα, όταν. ΕΡΩΣΗΕΙ ΤΜΠΛΗΡΩΗ ΑΝΣΙΣΟΙΧΙΗ 1. Να ςυμπλθρϊςετε τουσ παρακάτω κανόνεσ παραγϊγιςθσ f ( x). g( x).... f( x)... gx ( ).. x ( c)...,( e )...,(ln x)... v ( x)...,( x ) Να αντιςτοιχίςετε τισ ςυναρτιςεισ τθσ ςτιλθσ Ι με τισ παραγϊγουσ τουσ ςτθ ςτιλθ ΙΙ ΣΗΛΗ Ι (υνάρτθςθ f) ΣΗΛΗ ΙΙ (Παράγωγοσ f ) 1. e x 1 2 x 2. ςυνx 1 x 3 x e x 4.lnx 5.θμx -θμx υνx

5 Ε Ρ Ω Σ Η Ε Ι Ω Σ Ο Τ Λ Α Θ Ο Τ Σ Α Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Α Σ Η Γ Γ Ε Ν Ι Κ Η ( Α Π Ο Τ Π Ο Τ Ρ Γ Ε Ι Ο ) ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ 1. Ένα ςθμείο Α(χ, ψ) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f αν f(ψ)=χ. 2. Αν μια ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε ζνα διάςτθμα A, τότε είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε οποιοδιποτε υποδιάςτθμα του A. 3. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, τότε για οποιαδιποτε ςθμεία με ιςχφει. 4. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςε ζνα διάςτθμα Δ του πεδίου οριςμοφ τθσ, τότε για οποιαδιποτε ςθμεία με ιςχφει. 5. Μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο ςτο, όταν για κάκε x ςε μια περιοχι του x Μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α λζμε ότι παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο, όταν για κάκε x ςε μια περιοχι του x Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε δφο υποδιαςτιματα του πεδίου οριςμοφ τθσ, τότε είναι πάντα γνθςίωσ αφξουςα και ςτθν ζνωςθ τουσ. 8. Σα ολικά ακρότατα μιασ ςυνάρτθςθσ είναι και τοπικά ακρότατα αυτισ. 9. Ένα τοπικό μζγιςτο είναι πάντα μεγαλφτερο από ζνα τοπικό ελάχιςτο. 1. Ένα τοπικό ελάχιςτο είναι πάντα μικρότερο από ζνα τοπικό μζγιςτο. 11. Αν μια ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςε ζνα διάςτθμα A, τότε είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςε οποιοδιποτε υποδιάςτθμα του A. 12. Έςτω μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α. Αν για κάκε, τότε θ μζγιςτθ τιμι τθσ f είναι το α. 13. Έςτω μια ςυνάρτθςθ f με πεδίο οριςμοφ το Α. Αν για κάκε, τότε θ ελάχιςτθ τιμι τθσ f είναι το β. 14. Αν θ μζγιςτθ τιμι τθσ f είναι α< τότε f(x)<, για κάκε που ανικει ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ. 15. Αν θ ελάχιςτθ τιμι τθσ f είναι β>, τότε f(x)>, για κάκε που ανικει ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ

6 16. Αν το υπάρχει, αλλά τότε θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο ςθμείο αυτό. 17. Για κάκε ιςχφει 18. Ιςχφει πάντα: lim( f ( x) g( x)) lim f ( x) lim g( x) x x x 19. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν ςτο όρια πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι αν και όπου και πραγματικοί αρικμοί, τότε : 2. Αν οι ςυναρτιςεισ f και g ζχουν ςτο όρια πραγματικοφσ αρικμοφσ, δθλαδι αν και όπου και πραγματικοί αρικμοί, και τότε:. 21. Αν τότε. 22. Αν υπάρχει το, τότε θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο x του πεδίου οριςμοφ τθσ. 23. Η παράγωγοσ μιασ παραγωγίςιμθσ ςυνάρτθςθσ f ς' ζνα ςθμείο x του πεδίου οριςμοφ τθσ εκφράηει το ρυκμό μεταβολισ τoυ y=f(x), ωσ προσ x, όταν x = x. 24. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ς' ζνα ςθμείο x του πεδίου οριςμοφ τθσ τότε ιςχφει. 25. Ο ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ καμπφλθσ που είναι θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f ςτο ςθμείο x = x.. ιςοφται με το ρυκμό μεταβολισ τθσ f(x) ωσ προσ x όταν 26. Ο ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυνάρτθςθσ f ςτο ςθμείο τθσ με τετμθμζνθ x, είναι ίςοσ με.

7 27. Η ταχφτθτα ενόσ υλικοφ ςθμείου που εκτελεί ευκφγραμμθ κίνθςθ και του οποίου θ κζςθ ςτον άξονα κίνθςθσ του εκφράηεται από τθ ςυνάρτθςθ τθ χρονικι ςτιγμι t είναι. 28. Ο ρυκμόσ μεταβολισ του διαςτιματοσ που διανφει ζνα κινθτό, ωσ προσ το χρόνο, εκφράηει τθν επιτάχυνςθ του κινθτοφ. 29. Η παράγωγοσ μιασ παραγωγίςιμθσ ςυνάρτθςθσ f ςε ζνα ςθμείο x = x του πεδίου οριςμοφ τθσ ιςοφται με

8 Σ Α Σ Ι Σ Ι Κ Η 1. Σο ραβδόγραμμα χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ ποιοτικϊν και ποςοτικϊν μεταβλθτϊν. 2. Οι ακροιςτικζσ ςυχνότθτεσ, N i, χρθςιμοποιοφνται και ςτθν περίπτωςθ ποιοτικϊν μεταβλθτϊν 3. Αν τοποκετιςουμε ςε αφξουςα ςειρά τισ τιμζσ μιασ ποςοτικισ μεταβλθτισ Χ, τότε το μζγεκοσ του δείγματοσ ιςοφται με τθν ακροιςτικι ςυχνότθτα τθσ μεγαλφτερθσ τιμισ. 4. Σο διάγραμμα ςυχνοτιτων χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ μόνο ποςοτικϊν μεταβλθτϊν. 5. Σο κυκλικό διάγραμμα χρθςιμοποιείται για τθ γραφικι παράςταςθ τόςο ποιοτικϊν όςο και ποςοτικϊν μεταβλθτϊν. 6. Αν για τθν τιμι θ ςχετικι ςυχνότθτα είναι, τότε θ αντίςτοιχθ γωνία του τόξου ςτο κυκλικό διάγραμμα είναι. 7. Σο ποςοςτό των παρατθριςεων που ζχουν τιμι από x i ζωσ x k είναι F i % - F k-1 % 8. Σο πλικοσ των παρατθριςεων που ζχουν το πολφ τιμι x i είναι N i 9. ε ζνα μεγζκουσ ν, ιςχφει: N F i i 1. Αν είναι οι τιμζσ μιασ ποςοτικισ μεταβλθτισ Χ, τότε ιςχφει ότι. 11. Αν είναι οι τιμζσ μιασ ποςοτικισ μεταβλθτισ Χ, τότε ιςχφει. Αν είναι οι τιμζσ μιασ ποςοτικισ μεταβλθτισ Χ, τότε ιςχφει ότι ε δφο διαδοχικζσ κλάςεισ ίςου πλάτουσ, οι κεντρικζσ τιμζσ τουσ διαφζρουν κατά c. 12. ζνα ιςτόγραμμα ςυχνοτιτων το άκροιςμα όλων των εμβαδϊν των ορκογωνίων είναι Για να καταςκευάςουμε το πολφγωνο ςυχνοτιτων ενϊνουμε με γραμμζσ τισ επάνω δεξιά κορυφζσ των ορκογωνίων του ιςτογράμματοσ. 14. Για να καταςκευάςουμε το πολφγωνο των ακροιςτικϊν ςυχνοτιτων ενϊνουμε με γραμμζσ τισ πάνω δεξιά κορυφζσ των ορκογωνίων του ιςτογράμματοσ. 15. τθν κατανομι με κετικι αςυμμετρία ιςχφει: 16. τθν κατανομι με αρνθτικι αςυμμετρία ιςχφει: 17. τθν ομοιόμορφθ κατανομι όλεσ οι παρατθριςεισ ζχουν τθν ίδια τιμι. 18. Η μζςθ τιμι ενόσ ςυνόλου ν παρατθριςεων, δεν επθρεάηεται από τισ ακραίεσ τιμζσ του δείγματοσ. 19. Η διάμεςοσ ενόσ ςυνόλου παρατθριςεων, αντιςτοιχεί πάντοτε ςε κάποια από τισ τιμζσ τθσ μεταβλθτισ. 2. Η διάμεςοσ ενόσ ςυνόλου παρατθριςεων, δεν επθρεάηεται από τισ ακραίεσ παρατθριςεισ του δείγματοσ.

9 21. Η μζςθ τιμι δεν είναι μζτρο διαςποράσ. 22. Η μζςθ τιμι δεν υπολογίηεται για ποιοτικά δεδομζνα. 23. Η διακφμανςθ εκφράηεται με τισ ίδιεσ μονάδεσ που εκφράηονται και οι παρατθριςεισ. 24. Σο εφροσ ι κφμανςθ R ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων ορίηεται ωσ θ διαφορά τθσ ελάχιςτθσ από τθ μζγιςτθ παρατιρθςθ. 25. Σο εφροσ ι κφμανςθ R ενόσ δείγματοσ ν παρατθριςεων ορίηεται ωσ άκροιςμα τθσ μεγαλφτερθσ και τθσ ελάχιςτθσ παρατιρθςθσ. 26. Σο εφροσ ςε ομαδοποιθμζνα ενδεχόμενα είναι πάντα το ίδιο πριν ομαδοποιθκοφν. 27. Σο εφροσ ςε ομαδοποιθμζνα ενδεχόμενα ιςοφται με τθ διαφορά τθσ κεντρικισ τιμισ τθσ 1 θσ κλάςθσ από τθν κεντρικι τιμι τθσ τελευταίασ κλάςθσ 28. Σο εφροσ δεν κεωρείται αξιόπιςτο μζτρο διαςποράσ. 29. Η Διακφμανςθ ι Διαςπορά είναι ο μζςοσ όροσ των τετραγϊνων των αποκλίςεων των παρατθριςεων, μιασ μεταβλθτισ Χ από τθ μζςθ τιμι τουσ. 3. τθν κανονικι κατανομι θ διάμεςοσ ςυμπίπτει με τθ μζςθ τιμι. 31. Σο ποςοςτό των παρατθριςεων μιασ κανονικισ ι περίπου κανονικισ κατανομισ ςτο διάςτθμα είναι 95% 32. Σο ποςοςτό των παρατθριςεων μιασ κανονικισ ι περίπου κανονικισ κατανομισ ςτο διάςτθμα είναι 95% 33. Σο ποςοςτό των παρατθριςεων μιασ κανονικισ ι περίπου κανονικισ κατανομισ ςτο διάςτθμα είναι 95%. 34. τθν κανονικι κατανομι εκτόσ του διαςτιματοσ δεν υπάρχουν παρατθριςεισ. 35. Ο ςυντελεςτισ μεταβολισ ενόσ δείγματοσ τιμϊν εξαρτάται από τισ μονάδεσ μζτρθςθσ των τιμϊν. 36. Αν για το ςυντελεςτι μεταβολισ ενόσ δείγματοσ τιμϊν ιςχφει, τότε το δείγμα είναι ομοιογενζσ 37. Αν δυο δείγματα τιμϊν Α και Β μιασ μεταβλθτισ ζχουν ςυντελεςτζσ μεταβολισ και αντίςτοιχα και, τότε μεγαλφτερθ ομοιογζνεια ζχουν οι τιμζσ του δείγματοσ Α. 38. Αν ζνα δείγμα τιμϊν μιασ μεταβλθτισ Χ ζχει μζςθ τιμι αρνθτικι ( ) και τυπικι απόκλιςθ, τότε ο ςυντελεςτισ μεταβολισ του δείγματοσ είναι αρνθτικόσ αρικμόσ. 39. Όταν οι τιμζσ τθσ μεταβλθτισ Χ πολλαπλαςιαςτοφν επί μια ςτακερά τότε ο CV παραμζνει ςτακερόσ. 4. Αν ςε ζνα δείγμα είναι CV= τότε όλεσ οι παρατθριςεισ ζχουν τθν ίδια τιμι. 41. Αν ςε ζνα δείγμα είναι CV= τότε λζμε ότι θ κατανομι είναι ομοιόμορφθ.

10 Π Ι Θ Α Ν Ο Σ Η Σ Ε 1. Ένα δείγμα κεωρείται αντιπροςωπευτικό ενόσ πλθκυςμοφ, όταν κάκε μονάδα του πλθκυςμοφ ζχει τθν ίδια δυνατότθτα να επιλεγεί 2. Δειγματικόσ χϊροσ λζγεται το ςφνολο όλων των δυνατϊν αποτελεςμάτων ενόσ πειράματοσ τφχθσ. 3. Ένα αποτζλεςμα ενόσ πειράματοσ τφχθσ είναι απλό ενδεχόμενο. 4. Αςυμβίβαςτα λζγονται δφο ενδεχόμενα όταν θ ζνωςι τουσ είναι το κενό ςφνολο. 5. Πάντοτε ζνα μεγαλφτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιςτα αποτελζςματα από ζνα μικρότερο δείγμα. 6. Σο ςυμπλιρωμα Αϋ ενόσ οποιουδιποτε ενδεχομζνου Α ενόσ πειράματοσ τφχθσ με δειγματικό χϊρο Ω είναι επίςθσ ενδεχόμενο αυτοφ του πειράματοσ. 7. Αν Α είναι ζνα αδφνατο ενδεχόμενο ενόσ πειράματοσ με δειγματικό χϊρο Ω, τότε. 8. Έςτω Α και Β δφο ενδεχόμενα ενόσ πειράματοσ με δειγματικό χϊρο Ω. Οι εκφράςεισ «πραγματοποιείται είτε το ενδεχόμενο Α είτε το ενδεχόμενο Β» και «πραγματοποιείται ζνα τουλάχιςτον από τα ενδεχόμενα Α και Β» είναι ιςοδφναμεσ. 9. Έςτω Α και Β δφο ενδεχόμενα ενόσ πειράματοσ με δειγματικό χϊρο Ω. Σο ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Β και δεν πραγματοποιείται το Α. 1. Αν δφο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικοφ χϊρου είναι ξζνα μεταξφ τουσ τότε τα ςυμπλθρωματικά τουσ Αϋ και Βϋ είναι ξζνα μεταξφ τουσ. 11. Αν θ πραγματοποίθςθ ενόσ ενδ. Α ςυνεπάγεται τθν πραγματοποίθςθ του Β τότε: 12. Αν δφο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικοφ χϊρου είναι ξζνα μεταξφ τουσ τότε A B 13. Πικανότθτα ενόσ ενδεχομζνου Α, ονομάηεται ζνασ αρικμόσ που δείχνει το μζτρο τθσ «προςδοκίασ» με τθν οποία αναμζνουμε τθν πραγματοποίθςθ του ενδεχομζνου. 14. Αν είναι αντίςτοιχα οι ςχετικζσ ςυχνότθτεσ των απλϊν ενδεχομζνων ενόσ πειράματοσ τφχθσ με δειγματικό χϊρο το πεπεραςμζνο ςφνολο, τότε. 15. Αν είναι αντίςτοιχα οι ςχετικζσ ςυχνότθτεσ των απλϊν ενδεχομζνων ενόσ πειράματοσ τφχθσ με δειγματικό χϊρο το πεπεραςμζνο ςφνολο τότε. 16. Αν τα δυνατά αποτελζςματα ενόσ πειράματοσ τφχθσ είναι ιςοπίκανα, τότε ονομάηουμε πικανότθτα οποιουδιποτε ενδεχομζνου Α τον αρικμό:

11 17. Για κάκε ενδεχόμενο Α ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει. 18. Η πικανότθτα του αδφνατου ενδεχομζνου ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω είναι. 19. Η πικανότθτα του βζβαιου ενδεχομζνου ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω είναι Ρ(Ω)=1. 2. Αν για δφο ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει τότε Α=Β. 21. Αν Ω είναι ο δειγματικόσ χϊροσ ενόσ πειράματοσ τφχθσ, που αποτελείται από ιςοπίκανα απλά ενδεχόμενα και, τότε ιςχφει θ ιςοδυναμία: 22. Αν Ω είναι ο δειγματικόσ χϊροσ ενόσ πειράματοσ τφχθσ, που αποτελείται από ιςοπίκανα απλά ενδεχόμενα και, τότε ιςχφει θ ιςοδυναμία: 23. Για οποιαδιποτε αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 24. Για οποιαδιποτε αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: P( A) P( B) 25. Αν P( AB) τότε τα Α, Β είναι αςυμβίβαςτα 26. Για οποιαδιποτε αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: ( ) ( ) ( ) 27. Για οποιαδιποτε αςυμβίβαςτα ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 28. Οι κανόνεσ λογιςμοφ των πικανοτιτων ιςχφουν μόνο για ιςοπίκανα ενδεχόμενα. 29. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 3. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 31. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 32. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει:

12 33. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 34. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 35. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 36. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 37. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 38. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 39. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 4. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 41. Για δφο ςυμπλθρωματικά ενδεχόμενα Α και Αϋ ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 42. Αν Α, Β είναι δφο ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω με, τότε ιςχφει: 43. Αν Α, Β είναι δφο ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω με, τότε ιςχφει: 44. Αν Α, Β είναι δφο ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω με P( A) P( B), τότε ιςχφει: A B

13 45. Αν Α, Β είναι δφο ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω με P( A) P( B), τότε ιςχφει: A B 46. Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω, ανά δφο αςυμβίβαςτα, τότε ιςχφει: 47. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 48. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 49. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 5. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 51. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 52. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 53. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 54. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: 55. Για οποιαδιποτε ενδεχόμενα Α, Β ενόσ δειγματικοφ χϊρου Ω ιςχφει: P( B A) P( A) Α Π Α Ν Σ Η Ε Ι

14 Α Π Α Ν Σ Η Ε Ι ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ 1 Λ Λ Σ 49 Σ 2 Σ Λ Σ 5 Σ 3 Σ Σ Σ 51 Σ 4 Σ Σ Λ 52 Σ 5 Σ Σ Λ 53 Σ 6 Σ Σ Σ 54 Σ 7 Λ Λ Σ 55 Σ 8 Σ Σ Λ 9 Λ Σ Λ 1 Λ Σ Λ 11 Σ Λ Σ 12 Λ Σ Σ 13 Λ Σ Σ 14 Σ Λ Σ 15 Σ Λ Σ 16 Λ Σ Λ 17 Σ Λ Λ 18 Λ Σ Σ 19 Σ Σ Σ 2 Σ Λ Λ 21 Σ Λ Σ 22 Λ Σ Σ 23 Σ Σ Σ 24 Λ Σ Σ 25 Σ Λ Λ 26 Σ Σ Σ 27 Σ Λ Σ 28 Λ Λ Λ 29 Σ Λ Λ 3 Σ Λ 31 Σ Λ 32 Σ Λ 33 Σ Σ 34 Λ Λ 35 Λ Σ 36 Λ Λ 37 Λ Σ 38 Σ Λ 39 Λ Σ 4 Λ Σ 41 Σ Σ 42 Σ Σ 43 Σ Λ 44 Λ 45 Σ 46 Σ 47 Λ 48 Σ