Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1 Α2 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα την απάντησή της. Α1. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 2 Α2. Ποιος είναι ο ορισμός της άρτιας συνάρτησης; Μονάδες 2 Στη πρόταση Α3 υπάρχουν κάποια κενά. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και να μεταφέρετε την πρόταση συμπληρώνοντας τα κενά της. Α3. Όταν για μια γωνία ω ισχύει ότι π < ω < 3π 2 και σφω 0. τότε ημω 0, συνω 0, εφω 0 Μονάδες 8 Α4. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α. Το σύστημα { x + y = 6 x = 2y έχει λύση το ζεύγος (x,y) = (4,2). β. H συνάρτηση f(x) = 3x 4 + 2x με Df = R είναι περιττή συνάρτηση. γ. Υπάρχουν τιμές για τις οποίες να ισχύει συγχρόνως ημx = 4 5 και συνx = 3 5. δ. H συνάρτηση f :[-2,3] R με f(x) = 4x 2 είναι άρτια. ε. Αν για τη γωνία x ισχύει ότι 3π 2 < x < 2π, τότε ημx > 0. Μονάδες 13 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

2 ΘΕΜΑ Β Β1. Ένας κτηνοτρόφος έχει πουλερικά και πρόβατα. Αν όλα τα ζώα έχουν 40 κεφάλια και 140 πόδια, τότε πόσα είναι τα πουλερικά και πόσα είναι τα πρόβατα; α. Είναι 35 τα πουλερικά και 5 τα πρόβατα. β. Είναι 15 τα πουλερικά και 25 τα πρόβατα. γ. Είναι 10 τα πουλερικά και 30 τα πρόβατα. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 3 Μονάδες 10 Β2. Η συνάρτηση f(x) = 3x 4 + 2x με Df = R είναι: α. άρτια β. περιττή γ. δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 2 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι γωνίες α και β για τις οποίες ισχύει ότι ημα = 4 και συνβ = 3, όπου π < α < π και < β < π. 2 Γ1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α. Μονάδες 7 Γ2. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας β. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 3

3 Γ3. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α + β. Μονάδες 11 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 1 ημ4χ, όπου χ είναι πραγματικός αριθμός. 3 Δ1. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. Δ2. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Μονάδες 7 Δ3. Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σύστημα αξόνων για μία περίοδο. Μονάδες 12 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σελίδα 32 από σχολικό βιβλίο. Α2. Θεωρία. Σελίδα 35 από σχολικό βιβλίο. Α3. Όταν για μια γωνία ω ισχύει ότι π < ω < 3π 2 τότε ημω<0, συνω <0, εφω>0 και σφω >0. Α4. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β1. Η σωστή απάντηση είναι το γ. 10 πουλερικά και 30 πρόβατα. Αιτιολόγηση: Έστω x το πλήθος των πουλερικών και y το πλήθος των προβάτων. Επειδή όλα τα ζώα έχουν 40 κεφάλια τότε θα ισχύει η σχέση x + y = 40. Ακόμη, συνολικά τα πόδια των πουλερικών και των προβάτων είναι 140 οπότε θα ισχύει η σχέση 2x + 4y = 140. Άρα, προκύπτει το γραμμικό σύστημα 2 2: x + y = 40 (1) { 2x + 4y = 140 (2) Οπότε, από (1) προκύπτει ότι x = 40 y, άρα η (2) 2(40 y) + 4y = y + 4y = 140 2y = 60 y = 30. Τότε, x = = 10. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

5 Β2. Η σωστή απάντηση είναι το α. άρτια. Αιτιολόγηση: Η συνάρτηση f(x) = 3x 4 + 2x έχει Df = R. Τότε x ϵ R ισχύουν τα εξής: i) x ϵ R και ii) f ( x) = 3( x) 4 + 2( x) = 3x 4 + 2x = f (x). Άρα η f είναι άρτια. ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι γωνίες α και β για τις οποίες ισχύει ότι ημα = 4 5 και συνβ = 3 5, όπου π 2 < α < π και 0 < β < π 2. Γ1. Ισχύει η σχέση ημ 2 α + συν 2 α = 1. Άρα, έχω ότι ( 4 5 )2 + συν 2 α = 1 συν 2 α = συν 2 α = 9 συνα = 3 ή συνα = 3. Όμως, π < α < π άρα συνα < 0. Οπότε, δεχόμαστε ως λύση το συνα = 3, ενώ το συνα = 3 ημα απορρίπτεται. Οπότε, εφα = = 4 και σφα = 5 5 συνα 3 συνα = 3. ημα 4 Γ2. Ισχύει η σχέση συν 2 β + ημ 2 β = 1. Άρα, έχω ότι ( 3 5 )2 + ημ 2 β = 1 ημ 2 β = ημ 2 β = 16 ημβ = 4 ή ημβ = 4. Όμως, 0 < β < π άρα ημβ > 0. Οπότε, δεχόμαστε ως λύση το ημβ = 4, ενώ το ημβ = 4 ημβ απορρίπτεται. Οπότε, εφβ = = 4 συνβ και σφβ = = 5 5 συνβ 3 ημβ 3 4. Γ3. Έχω ημ(α+β) = ημασυνβ + συναημβ = ( 3 5 ) 4 5 = = 0 συν(α+β)= συνασυνβ ημαημβ = ( 3 5 ) = = = 1 εφ(α+β) = ημ(α+β) συν(α+β) = 0 δεν ορίζεται σφ(α+β) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 3

6 ΘΕΜΑ Δ Η συνάρτηση f είναι της μορφής f (x) = ρημ(ωx). Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 1 ημ4χ, όπου 3 χ είναι πραγματικός αριθμός. Δ1. Οπότε, η συνάρτηση f έχει μέγιστη τιμή ρ = 1 3, ενώ ως ελάχιστη τιμή έχει το ρ = 1 3 Δ2. Ισχύει ότι Τ = 2π ω, άρα η περίοδος της συνάρτησης f είναι Τ = 2π 4 = π 2. Δ3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σύστημα αξόνων είναι η ακόλουθη: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3