ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008"

Transcript

1

2

3 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008

4 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας Τηλέφωνα επικοινωνίας και διάθεσης βιβλίων Απαγορεύεται η αναδημοσίευση όλου ή μέρους του περιεχομένου με οποιοδήποτε τρόπο χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα Πρόλογος ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο. Τριγωνομετρία Τυπολόγιο τριγωνομετρίας. 5 Ενότητα Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 7» Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις» Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 9» 4 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Κεφάλαιο. Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις 4 Ενότητα Πολυώνυμα 4» Διαίρεση πολυωνύμων 50» Πολυωνυμικές εξισώσεις 58» 4 Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 6 Κεφάλαιο. Πρόοδοι 67 Ενότητα Ακολουθίες 69» Αριθμητική πρόοδος 7» Γεωμετρική πρόοδος 85 Κεφάλαιο 4. Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση 95 Ενότητα Εκθετική συνάρτηση 97» Λογάριθμοι 07» Λογαριθμική συνάρτηση ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 Ενότητα Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο 7» Γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος» Θεωρήματα διαμέσων 6» 4 Μετρικές σχέσεις σε κύκλο.. 40» 5 Εμβαδόν βασικών ευθυγράμμων σχημάτων.. 44» 6 Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου... 48» 7 Εμβαδόν και ομοιότητα... 5» 8 Κανονικά πολύγωνα... 56» 9 Εγγραφή κανονικών πολυγώνων 57» 0 Μήκος κύκλου. 59» Εμβαδόν κυκλικού δίσκου. 60

6 ΜΕΡΟΣ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Κεφάλαιο. Διανύσματα 65 Ενότητα Η έννοια του διανύσματος 67 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων» Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 7» Συντεταγμένες στο επίπεδο 84» 4 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 94 Κεφάλαιο. Η ευθεία στο επίπεδο Ενότητα Εξίσωση ευθείας» Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας» Εμβαδόν τριγώνου. Κεφάλαιο. Κωνικές τομές 9 Ενότητα Ο κύκλος 4» Η παραβολή 55» Η έλλειψη 65» 4 Η υπερβολή 7 Κεφάλαιο 4. Θεωρία Αριθμών 8 Ενότητα Η Μαθηματική Επαγωγή 8» Ευκλείδεια διαίρεση 87» Διαιρετότητα 90

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τ ο βιβλίο αυτό αποτελείται από τρία μέρη. Το πρώτο αναφέρεται στην άλγεβρα, το δεύτερο στη Γεωμετρία και το τρίτο καλύπτει την ύλη που περιέχουν τα Μαθηματικά της κατεύθυνσης. Τα περιοδικά φαινόμενα είναι πανταχού παρόντα. Η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο, η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονά της, οι κινήσεις των δορυφόρων φυσικών και τεχνικών, ταλαντώσεις σωμάτων, παλιρροιακές κινήσεις κ.τ.λ. Τα μαθηματικά μοντέλα για τη μελέτη των φαινομένων αυτών περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Έτσι φαίνεται η αναγκαιότητα για τη μελέτη των συναρτήσεων αυτών. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι το επόμενο βήμα, το οποίο απαιτεί τη χρήση ορισμένων βασικών τύπων που δίνουν τις λύσεις στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Η λίστα των βασικών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων που γνωρίζουμε, συμπληρώνεται με ορισμένες άλλες, απαραίτητες για το λογισμό. Αυτές αναφέρονται στο άθροισμα και τη διαφορά δύο γωνιών, καθώς και στο διπλάσιο μιας γωνίας. Τα πολυώνυμα είναι οι απλούστερες αγλεβρικές παραστάσεις και εδώ αποκτούμε όλο το απαραίτητο υπόβαθρο όπως είναι ο ορισμός, η ισότητα μεταξύ πολυωνύμων και ο λογισμός των πράξεων. Δίνεται ο αλγόριθμος της διαίρεσης δύο πολυωνύμων, καθώς και προτάσεις που αναφέρονται στη διαίρεση ενός πολυωνύμου από ένα άλλο πρώτου βαθμού. Παρόλο που έχει επινοηθεί τρόπος επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων τρίτου και τετάρτου βαθμού, εδώ αναφέρεται ο κλασσικός τρόπος με παραγοντοποίηση καθώς η εύρεση ακεραίων ριζών όταν οι συντελεστές του είναι ακέραιοι. Επίσης επιλύουμε και άλλες εξισώσεις οι οποίες μπορούν να αναχθούν σε πολυωνυμικές. Η τοποθέτηση αντικειμένων σε μία σειρά και η αντιστοίχισή τους με το σύνολο των φυσικών αριθμών, μας οδηγεί στην έννοια της ακολουθίας. Έτσι μπορούμε να αναφερθούμε στον προηγούμενο ή τον επόμενο κάποιου όρου, τον νιοστό όρο κ.τ.λ. Δύο ακολουθίες με πολλές εφαρμογές ακόμα και στην καθημερινή πρακτική έχουν σχέση με τις δύο βασικές πράξεις, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος, όπως ονομάζονται οι δύο κλάσεις ακολουθιών, δημιουργούνται με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό του ίδιου αριθμού στον προηγούμενο προκειμένου να δημιουργήσουμε τον επόμενο όρο. Στην τελευταία ενότητα της Άλγεβρας παρουσιάζεται η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση. Γίνεται η μελέτη τους και παρουσιάζονται μέθοδοι για την επίλυση εξισώσεις, ανισώσεων και συστημάτων που περιέχουν τέτοιες συναρτήσεις. Παρουσιάζονται οι ιδιότητές τους και σημειώνεται ότι εμφανίζουν μία αντιστρεπτή διαδικασία. Οι ενότητες που αφορούν τη Γεωμετρία αναφέρονται σε μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο και στον κύκλο. Επίσης παρουσιάζονται οι τύποι που δίνουν το εμβαδόν όλων των βασικών ευθυγράμμων τμημάτων καθώς και του κυκλικού δίσκου.

8 Τα Μαθηματικά της κατεύθυνσης ξεκινούν με τον διανυσματικό λογισμό. Η έννοια του διανύσματος η οποία είναι στενά συνυφασμένη με τη Φυσική, απ ό- που προέρχονται και οι μέχρι τώρα γνώσεις, αφού έχει χρησιμοποιηθεί για να παραστήσει την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη δύναμη κ.τ.λ. Εκτός από τη γεωμετρική παράσταση του διανύσματος, εισάγεται και η αναλυτική παράστασή του από ένα ζεύγος συντεταγμένων σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Τέλος παρουσιάζεται το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, μία εξωτερική πράξη, για την ο- ποία αφιερώνεται αρκετό μέρος από παραδείγματα, εφαρμογές και ασκήσεις εξ αιτίας της μεγάλης σημασίας του και εφαρμογής του σε πολλά προβλήματα. Ακολουθεί η παρουσίαση της εξίσωσης μιας ευθείας, της απλούστερης από τις γραμμές που θα μελετήσουμε. Δίνονται οι διάφορες μορφές της εξίσωσής της, οι συνθήκες ώστε δύο ευθείες να είναι παράλληλες ή κάθετες καθώς και η εύρεση της γωνίας δύο ευθειών. Παρουσιάζονται οι τύποι απόστασης ενός σημείου από μία ευθεία, καθώς και ο τύπος που δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι κωνικές τομές, ο κύκλος, η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή. Δίνονται οι διάφορες μορφές των εξισώσεών τους, οι ιδιότητές τους καθώς και οι εξισώσεις των εφαπτόμενων τους. Ειδικά για την παραβολή, την έλλειψη και την υπερβολή, τα περισσότερα από τα θέματα που θα αντιμετωπίσουμε είναι παρόμοια, οπότε και οι μέθοδοι είναι ίδιες και στο μόνο που υπάρχει διαφορά είναι οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται. Στον κύκλο υ- πάρχει μία μεγαλύτερη ποικιλία θεμάτων, σε μερικά από αυτά χρησιμοποιούνται και γνώσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα πιο ενδιαφέροντα θέματα έχουν την εφαπτόμενη της κωνικής τομής και έτσι χρησιμοποιούνται γνώσεις από το προηγούμενο κεφάλαιο. Στο τελευταίο κεφάλαιο γίνεται μία στοιχειώδης εισαγωγή στην θεωρία αριθμών. Διατυπώνεται η αρχή της Μαθηματικής επαγωγής, το θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης καθώς και ορισμένα βασικά θεωρήματα της διαιρετότητας μεταξύ ακεραίων. Στράτης Αντωνέας Σπάρτη, Ιούνιος 008

9 ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Οι Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Βασικές Τριγωνομετρικές εξισώσεις Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Η τριγωνομετρία, όπως φαίνεται από τα συνθετικά της λέξης, γεννήθηκε από την προσπάθεια σύνδεσης γωνιών και πλευρών ενός τριγώνου, που παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του, όταν μεγεθύνεται ή σμικρύνεται. Έτσι αφού δημιουργήσαμε πίνακες με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών, μπορέσαμε να υπολογίζουμε μήκη γνωρίζοντας κάποια άλλα. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί συνέχεια της εισαγωγής στην τριγωνομετρία που παρουσιάστηκε στην ύλη της Α Λυκείου. Στο τυπολόγιο που υ- πάρχει αμέσως μετά υπενθυμίζονται οι τύποι που χρειαζόμαστε, όπως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μερικών γωνιών, οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες καθώς και οι τύποι αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο. Αρχικά γίνεται μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, οι οποίες εφαρμόζονται στην περιγραφή περιοδικών φαινομένων όπως π.χ. τις ταλαντώσεις, τα κύματα κ.τ.λ. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τέλος σχεδιάζουμε τη γραφική παράστασή τους. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι τύποι για την επίλυση των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Με βάση αυτές μπορούμε να λύσουμε άλλες τριγωνομετρικές εξισώσεις με τη βοήθεια και του αλγεβρικού λογισμού. Ακολουθούν οι τύποι που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς αθροίσματος γωνιών και έπειτα για το διπλάσιο μιας γωνίας. Οι ασκήσεις και οι μέθοδοι επίλυσής τους στις δύο τελευταίες ενότητες είναι παρόμοιες. Αυτό που κάνει τη διαφορά είναι οι επιπλέον τύποι και ο συνδυασμός με τα προηγούμενα προσφέρουν μία ποικιλία νέων θεμάτων.

10

11 5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Γωνίες μεγαλύτερες των 60 0 ημ(κ ω) ημω, κ εφ(κ ω) εφω, κ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω συν(κ ω) συνω, κ σφ(κ ω) σφω, κ Τριγωνομετρικός κύκλος Τεταρτημόρια ο ο ο 4 ο ημω + + συνω + + εφω + + σφω + + Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών ω σε μοίρες ω σε rad 0 ημω 0 συνω εφω 0 π 6 π 4 σφω π π π π π Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ ω συν ω ημ ω + συν ω συν ω ημ ω εφω ημ ω, συνω 0, σφω συνω συνω ημω, ημω 0 εφω. σφω + εφ ω συν ω, συνω 0, + σφ ω ημ ω, ημω 0

12 6 Γωνίες αντίθετες ημ( ω) ημω συν( ω) συνω εφ( ω) εφω σφ( ω) σφω Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Γωνίες με άθροισμα Γωνίες με διαφορά ημ(80 0 ω) ημω ημ(80 0 +ω) ημω συν(80 0 ω) συνω συν(80 0 +ω) συνω εφ(80 0 ω) εφω εφ(80 0 +ω) εφω σφ(80 0 ω) σφω σφ(80 0 +ω) σφω Γωνίες με άθροισμα 90 0 ημ(90 0 ω) συνω συν(90 0 ω) ημω εφ(90 0 ω) σφω σφ(90 0 ω) εφω ημ(90 0 +ω) ημ[90 0 ( ω)] συν( ω) συνω συν(90 0 +ω) ημω εφ(90 0 +ω) σφω σφ(90 0 +ω) εφω Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις κπ + θ ημ α ημ ημθ κπ + ( π θ), κ ( α ) κπ + θ συν α συν συνθ κπ θ, κ ( α ) εφ α εφ εφθ κπ + θ, κ σφ α σφ σφθ κπ + θ, κ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ημ(α + β) ημα. συνβ + συνα. ημβ συν(α + β) συνα. συνβ ημα. ημβ εφα+ εφβ εφ(α + β) εφα εφβ σφα σφβ σφ(α + β) σφβ + σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί διαφοράς γωνιών ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ συν(α β) συνα. συνβ + ημα. ημβ εφ(α β) σφ(α β) εφα εφβ + εφα εφβ σφα σφβ+ σφβ σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α ημα ημα. συνα συνα συν α ημ α συν α ημ α εφα εφα. εφ α Τύποι αποτετραγωνισμού ημ α συν α συν α + συν α εφ α συν α + συνα

13 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε Α να ισχύει: (i) + T Α, T Α και (ii) f ( + T) f ( T) f () Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f.. Η συνάρτηση f () ημ. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () ημ, όταν 0 π, είναι: 0 π π π π f () ημ 0 μεγ. 0 ελαχ. 0 β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () ημ είναι:. Η συνάρτηση f () συν. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () συν, όταν 0 π, είναι: 0 π π π π f () συν μεγ. 0 ελαχ. 0 μεγ.

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () συν είναι:. Η συνάρτηση f () εφ. Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης f () συν, όταν 0 π, είναι: π π π π f () εφ β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () εφ είναι:.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Κάθε μια από τις δύο συναρτήσεις f () ρ.ημ(ω) και g() ρ.συν(ω) με ρ, ω > 0 έχει: Μέγιστη τιμή την ρ και ελάχιστη τιμή την ρ. Περίοδο Τ π ω....σημειωση: Αν δεν γνωρίζουμε ότι το ρ > 0, τότε η μέγιστη τιμή των συναρτήσεων είναι ρ, ενώ η ελάχιστη τιμή είναι το ρ.

15 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.. Δίνεται η συνάρτηση f () α.συν( π +4).ημ(π+4), με α >0. i) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω). ii) Να βρείτε τον α αν η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή. iii) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση, όταν 0 π. Λύση: i) f () α.συν( π + 4).ημ(π + 4) α.συν[( π ( 4)].( ημ4) α.ημ( 4) +.ημ4 α.ημ4 +.ημ4 ( α).ημ4. ii) Η συνάρτηση f έχει μέγιστη τιμή το αν και μόνο αν α α ή α α ή α α ή α 5 α (απορρίπτεται) ή α 5 α 5. iii) Για α 5 έχουμε: f (). ημ4. Η περίοδος της συνάρτησης f είναι Τ π π. 4 Όταν 0 π η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.4. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Συνάρτηση f () συν Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή Θέσεις ακροτάτων f ().ημ5 f ().συν ( ) 4.5. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα: Συνάρτηση f () 5 ημ ( ) f ().συν4 f () ημ + Περίοδος Μέγιστη- Ελάχιστη τιμή Διαστήματα μονοτονίας

16 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.6. Δίνεται η συνάρτηση f () συν 4. i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου..7. Δίνονται οι συναρτήσεις f () ημ και g() συν. i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, όταν 0 π. ii) Από το σχέδιο του ερωτήματος (i) να λύσετε την ανίσωση f () > g()..8. Δίνεται η συνάρτηση f () συν( π + 4). i) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f για 0 π..9. Δίνεται η συνάρτηση f () συν( π ) ημ(π + ). i) Να απλοποιήσετε τον τύπο της. ii) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης..0. Έστω η συνάρτηση f () ημ ( ημ ) συν( π + ) συν ημ(π + ). α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω) + κ. β) Να κατασκευάσετε τον πίνακα τιμών και μονοτονίας της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου της... Δίνεται η συνάρτηση f () ημ(π ) ημ[( π + )]. α) Να γράψετε τη συνάρτηση στη μορφή f () ρ.ημ(ω). β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Να λύσετε την εξίσωση f ()... Δίνονται οι συναρτήσεις f () 5ημ[( κ+ λ )] + λ και g() (κ + )συν με κ, λ *. Να βρείτε τα κ, λ αν οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της g είναι διπλάσια της περιόδου της f... Στο διπλανό σχέδιο η f () είναι ημιτονοειδής και η g() είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση. i) Να βρείτε τις δύο συναρτήσεις. ii) Να λυθεί η εξίσωση εφ,5 στο διάστημα [0,π]. [Απ. ii) 5π 6, π 6 ] [Απ. κ, λ]

17 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.4. α) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () ημ και g() συν όταν [0,π]. β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f ( ) g( ) για κάθε [0,π]. γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η προηγούμενη παράσταση γίνεται μέγιστη. [Απ. β) γ) π 4, 7π 4 ] Β Ομάδα.5. i) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () συν και g() + στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii) Να λύσετε την εξίσωση συν Θεωρούμε τη συνάρτηση f () ( α).ημ(β) με α > και β > 0. Η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή και περίοδο π. i) Να βρείτε τα α, β. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε διάστημα μιας περιόδου..7. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος, σε χιλιάδες κομμάτια, δίνονται κατά προσέγγιση π t όπου t ο χρόνος σε έτη και 0 t 8. από τον τύπο f (t) + 5.συν ( ) 4 i) Να βρείτε τη μέγιστη, την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδό της. ii) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii) Σε ποιο έτος θα έχουμε τον μικρότερο αριθμό πωλήσεων; iv) Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φθάσουν τα 5500 κομμάτια. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.8. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η συνάρτηση f () ημ είναι περιττή. II. Η περίοδος της συνάρτησης f () συν( π) είναι π. III. Η συνάρτηση f () εφ έχει άπειρες κατακόρυφες ασύμπτωτες..9. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Αν η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () (κ + )ημ + 4κ είναι, τότε η τιμή του κ είναι: Α. Β. Γ. 4 Δ. 0 Ε. II. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () συν είναι: Α. το (,) Β. το [,] Γ. το Δ. το III.Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f () εφ είναι: Α. το {,} Β. το [,] Γ. το * Ε. το {,} * Δ. το Ε. το (,)

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Οι τύποι που δίνουν τις λύσεις των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι: κπ + θ i) ημ α ημ ημθ η, κ. κπ + ( π θ).. Βασική εφαρμογή: ii) συν α συν συνθ κπ + θ η κπ θ, κ. iii) εφ α εφ εφθ κπ + θ, κ. iv) σφ α σφ σφθ κπ + θ, κ. κπ + 0 (i) ημ 0 ημ ημ0 ή κπ + ( π 0) λπ, λ. (ii) συν 0 συν συν π κπ + ή κπ π π κπ ή κπ+π κπ ή, κ ( κ+) π, κ λπ + π, λ....σημειωση: Στις εξισώσεις ημ 0 και συν 0 οι δύο οικογένειες λύσεων μπορούν να συμπτυχθούν σε μία... Βασική εφαρμογή: (i) ημ ημ ημ π π κπ+ ή π κπ + ( π ) π κπ+ ή π κπ +

19 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ κπ + π, κ. (ii) συν συν συν0 κπ + 0 ή κπ 0 κπ, κ....σημειωση: Στις εξισώσεις ημ και συν οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν..4. Βασική εφαρμογή: π κπ (i) ημ ημ ημ( π ) ή π κπ + ( π + ) κπ π, κ. κπ ή κπ + π π (ii) συν συν συνπ κπ + π ή κπ π κπ + π, κ..4..σημειωση: Στις εξισώσεις ημ και συν οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.5. Να λυθεί η εξίσωση: σφ συν σφ.συν. Λύση: Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν ημ 0. σφ συν σφ.συν σφ συν + σφ.συν 0 σφ.(+συν) (+συν) 0 (+συν)(σφ ) 0 +συν 0 ή σφ 0 συν ή σφ. συν αδύνατη γιατί τότε θα ήταν ημ 0. σφ σφ σφ π κπ + π, κ Να λυθούν οι εξισώσεις: (i) ημ + 0 (ii) συν(+ π 5 ) + 0. Λύση: π κπ + ( ) (i) ημ + 0 ημ ημ ημ( π ) ή π κπ + π ( )

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π κπ ή π κπ + π + π κπ ή π κπ+ κπ π κπ π, κ. 6 (i) συν(+ 5 π ) + 0 συν(+ 5 π ) συν(+ 5 π ) π π + κπ + συν(+ π ) συν π 5 ή 5 π π + κπ - 5 7π κπ + 0 ή, κ. π κπ 0 π π κπ + 5 ή π π κπ 5 7π κπ + 5 ή π κπ 5.6..ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν το ημ, εφ, σφ είναι αρνητικά, δηλαδή ημ α, εφ α, σφ α, όπου α > 0 τότε παίρνουμε ημ( θ) α, με ημθ α, εφ( θ) α, με εφθ α, σφ( θ) α, με σφθ α. Όταν όμως έχουμε συν α, τότε παίρνουμε συν(π θ) α, με συνθ α..7. Να λυθεί η εξίσωση: 6ημ + 5συν. Λύση: 6ημ + 5συν 6ημ + 5συν 0 6( συν ) + 5συν 0 6 6συν + 5συν 0 6συν + 5συν συν 5συν 4 0. Δ ( 5) ( 4) συν 5 ± 6 Άρα συν 5 ± συν συν π > απορριπτεται 5 6 κπ ± π, κ..8. Να λυθεί η εξίσωση: ημ ( +).ημ.συν +.συν 0. Λύση: Αν συν 0 τότε η εξίσωση ισοδυναμεί με ημ 0 ημ 0 αδύνατο. Επομένως, ημ ( +). ημ. συν +. συν 0 ημ συν ( +). ημ συν +. συν συν συν 0 συν εφ ( +). εφ + 0. Δ [ ( +)] 4.. ( +) 4. ( ) ( ) + ( ).

21 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 εφ ( + ) ± ( ) ( + ) ± ( ) εφ εφ εφ π κπ + π, κ. 4 4 εφ εφ εφ π κπ + π, κ Να λυθεί η εξίσωση:.εφ + 0, στο διάστημα [ π, π]. Λύση:.εφ + 0.εφ εφ εφ εφ( π ) κπ π 6 6 κπ π, κ. Είναι: π π π κπ π π π π κπ π + π π κπ π κ κ 6 6. Επειδή κ θα είναι κ ή κ 0 ή κ ή κ. Επομένως οι ζητούμενες λύσεις είναι: π π 7π, 0 π π π π π 5π, π π π..0. Να λυθεί η εξίσωση: ημ + συν( 4 π ) 0, στο διάστημα [0,π]. Λύση: ημ + συν( 4 π ) 0 συν( 4 π ) ημ συν( 4 π ) ημ( ) π π κπ συν( π ) συν( π + ) η 4 π π κπ 4 π κπ + + π κπ 4 4 η η 5 π κπ π κπ π 0 4 κπ + π π π 4κπ π π π 4κπ π π π κπ η π π + κπ κπ + π η. 4 κπ π π 0 4 κπ π π 5 0 π 0 π 0 4 κπ π + π κπ π 5 0

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 4 κ 8 κ 9 8. Επειδή κ θα είναι κ 0 ή κ. Άρα 40 π + π π ή 4 π + π 4π + π π κ κ 8. Επειδή κ θα είναι κ ή κ. Άρα 4 π π 4π π 7π ή π π 8π π 5π ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.. Να λυθεί η εξίσωση: (εφ )(ημ+) 0. [Απ. κπ+ π 4, κπ- π ].. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν+ 0 ii) ημ + 0 [Απ. i) κπ ± π 9 ii)4κπ-π].. Να λυθεί η εξίσωση: ημ. συν + συν ημ..4. Να λυθεί η εξίσωση: συν + ημ Να λυθεί η εξίσωση: (ημ+) + (συν )..6. Να λυθεί η εξίσωση: 9σφ Να λυθεί η εξίσωση: ημ 4 συν 0. [Απ. κπ- π 6 [Απ. κπ+ π 4 ], κπ+ 7π 6 ] [Απ. κπ+ π 4 ] [Απ. κπ ± π ] [Απ. κπ ± π ].8. Να λύσετε την εξίσωση: ημ + συν.9. Να λυθεί η εξίσωση: εφ + ημ. συν συν..0. Να λυθεί η εξίσωση: ημ(π) + συν(π) 0. [Απ. κπ+ π, κπ+ π 4 ] [Απ. κπ] [Απ. κ- ]

23 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7.. Να λυθεί η εξίσωση: συν εφ... Να λυθεί η εξίσωση: εφ 4συν. [Απ. κπ+ π 4 ] [Απ. κπ ± π 4, κπ ± π 4 ].. Να λυθεί η εξίσωση: συν.(+εφ ) εφ συν..4. Δίνεται η συνάρτηση f () α. ημ ( ) + β,, α > 0. [Απ. κπ] Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( π,) και η μέγιστη τιμή f είναι 5. Να βρείτε: i) Τα α, β. ii) Την περίοδο της συνάρτησης. iii) Τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y Να λύσετε την εξίσωση: σφ + ημ +συν. [Απ. κπ+ π, κπ+ 5π 6 6 ].6. Να λυθεί η εξίσωση ημ + συν 0. [Απ. κπ- π, κπ + π ].7. Να λυθεί η εξίσωση εφ + 0, στο διάστημα (0,π). [Απ. 5π 4, π 4 ].8. Να λύσετε την εξίσωση σφ 0, στο διάστημα ( π,π)..9. Να λυθεί η εξίσωση σφ 4 0, όταν [0,π]. [Απ. - π, - 5π, π, 7π, π, 9π ] [Απ. π 8, π 8, 5π 8, 7π 8, 9π 8, π 8, π 8, 5π 8 ].0. Να λύσετε την εξίσωση ημ σφ, στο διάστημα [ π, π]. [Απ. - π 4, π 4 ].. Δίνονται οι συναρτήσεις f () ημ(+π) + συν( π +) + ημ ( ) + και g() ημ[( π )] συν (π ), με [0,π]. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων.

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ [Απ. ( π 4, ),( π 4,- )].. Να λύσετε την εξίσωση συν ημ + συν + 0, στο διάστημα ( π,π]. [Απ. - 4π, - π, π ] Β Ομάδα.. Να λυθεί η εξίσωση: + ημ + συν συν + ημ 4. [Απ. κπ ± π ].4. Να λύσετε την εξίσωση ( +)ημ + ( )ημ.συν. [Απ. κπ- π 4, κπ+ π 6 ] ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ.5. Να χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μια από τις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η εξίσωση ημ έχει άπειρο πλήθος λύσεων. II. Η εξίσωση συν ρ έχει λύση μόνο όταν < ρ <. III. Η εξίσωση ημ ημα έχει λύση μόνο όταν α. IV. Η εξίσωση συν κ κ+ έχει λύση μόνο όταν κ..6. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις επόμενες προτάσεις. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. I. Η εξίσωση εφ κ 4 έχει λύση όταν: Α. κ 0 Β. κ Γ. κ Δ. κ Ε. για κάθε κ

25 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 9 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) συν(α β) συνα. συνβ + ημα. ημβ ii) συν(α + β) συνα. συνβ ημα. ημβ Απόδειξη: ii) συν(α + β) συν[α ( β)] συνα. συν( β) + ημα. ημ( β) συνα. συνβ + ημα. ( ημβ) συνα. συνβ ημα. ημβ....παραδείγματα: συν5 0 συν( ) συν45 0.συν0 0 + ημ45 0.ημ0 0 + ( + ). 4 συν75 0 συν( ) συν45 0.συν0 0 ημ45 0.ημ0 0 ( ) 4. Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: i) ημ(α + β) ημα. συνβ + συνα. ημβ ii) ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ Απόδειξη: i) ημ(α + β) συν[ π (α+β)] συν( π α β) συν[( π α) β] συν( π α). συνβ + ημ( π α). ημβ ημα. συνβ + συνα. ημβ. ii) ημ(α β) ημ[α + ( β)] ημα. συν( β) + συνα. ημ( β) ημα. συνβ + συνα. ( ημβ) ημα. συνβ συνα. ημβ.

26 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ...Παραδείγματα: ημ5 0 ημ( ) ημ45 0.συν0 0 συν45 0.ημ0 0 ημ75 0 ημ( ) ημ45 0.συν0 0 + συν45 0.ημ0 0 + ( ) 4 ( + ) 4. Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: εφα+ εφβ i) εφ(α + β) εφα εφβ εφα εφβ ii) εφ(α β) + εφα εφβ Απόδειξη: i) Οι εφα, εφβ και εφ(α+β) ορίζονται αν και μόνο αν συνα 0, συνβ 0 και συν(α+β) 0. Τότε είναι: ημα συνβ συνα ημβ εφ(α + β) ημ( α+ β ) + ημα συνβ+ συνα ημβ συνα συνβ συνα συνβ εφα+ εφβ. συν( α+ β) συνα συνβ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ εφα εφβ συνα συνβ συνα συνβ ii) Οι εφα, εφβ και εφ(α β) ορίζονται αν και μόνο αν συνα 0, συνβ 0 και συν(α β) 0 Τότε είναι: ος τρόπος: ημα συνβ συνα ημβ εφ(α β) ημ( α β ) ημα συνβ συνα ημβ συνα συνβ συνα συνβ εφα εφβ. συν( α β) συνα συνβ+ ημα ημβ συνα συνβ ημα ημβ + εφα εφβ + συνα συνβ συνα συνβ ος τρόπος: εφα+ εφ( β) εφ α+ ( εφ β) εφα εφβ εφ(α β) εφ[α + ( β)]. εφα εφ( β) εφ α ( εφ β) + εφα εφβ...παραδείγματα: εφ5 0 εφ( εφ45 εφ0 ) +εφ45 εφ0 ( )( ) + ( ) (+ )( ) ( ). 0 0 εφ75 0 εφ( εφ45 +εφ0 ) εφ45 εφ0 (+ )(+ ) + + ( ) ( )(+ ) ( ) ( ) 6 + 6( + ) 6

27 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνεφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.4. ΠΡΟΤΑΣΗ: Να αποδείξετε τους τύπους: σφα σφβ i) σφ(α + β) σφβ + σφα σφα σφβ+ ii) σφ(α β) σφβ σφα Απόδειξη: i) Οι σφα, σφβ και σφ(α+β) ορίζονται αν και μόνο αν ημα 0, ημβ 0 και ημ(α+β) 0. Τότε είναι: συνα συνβ ημα ημβ σφ(α + β) συν( α+ β ) συνα συνβ ημα ημβ ημα ημβ ημα ημβ σφα σφβ. ημ( α+ β) ημα συνβ+ συνα ημβ ημα συνβ συνα ημβ σφβ + σφα + ημα ημβ ημα ημβ ii) Οι σφα, σφβ και σφ(α β) ορίζονται αν και μόνο αν ημα 0, ημβ 0 και ημ(α β) 0 Τότε είναι: ος τρόπος: συνα συνβ ημα ημβ σφ(α β) συν( α β ) + συνα συνβ+ ημα ημβ ημα ημβ ημα ημβ σφα σφβ+. ημ( α β) ημα συνβ συνα ημβ ημα συνβ συνα ημβ σφβ σφα ημα ημβ ημα ημβ ος τρόπος: σφα σφ( β) σφ α ( σφ β) σφα σφβ σφ(α β) σφ[α + ( β)] σφ( β) + σφα σφβ + σφα σφβ + σφα σφα σφβ+ σφβ σφα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Υπολογισμού τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας που είναι άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων γωνιών, βρίσκουμε πρώτα τους τριγωνομετρικούς α- ριθμούς των δύο γωνιών και μετά εφαρμόζουμε τους προηγούμενους τύπους..5. Αν ημα 4 5 με π < α < π και συνβ 5 με π < β < π, να υπολογίσετε: i) το ημ(α β) ii) το συν(α + β) Λύση: Είναι συν α ημ α ( 4 5 ) Επειδή π < α < π θα είναι συνα Ακόμα ημ β συν β ( ) Επειδή π < β < π θα είναι ημβ

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ i) ημ(α β) ημα. συνβ συνα. ημβ 4 5 ( 5 ) ( 5 )( 4 5 ) ii) συν(α+β) συνα. συνβ ημα. ημβ 5 ( 5 ) 4 5 ( 4 5 ) Μέθοδος Απόδειξης τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μία τριγωνομετρική ταυτότητα, τότε: Προσέχουμε μήπως η ταυτότητα είναι απλή εφαρμογή των τύπων. Διαφορετικά δουλεύουμε όπως στις αλγεβρικές ταυτότητες ταυτότητες, χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς τύπους. Έτσι μπορούμε να ξεκινήσουμε από το ένα μέλος και να φθάσουμε στο δεύτερο ή να δουλέψουμε με ισοδυναμίες και να καταλήξουμε σε μία αληθή σχέση. Αν η ταυτότητα έχει και συνθήκη, τότε ξεκινούμε από αυτήν ή τη χρησιμοποιούμε κατά τη διάρκεια των πράξεων. Αν η σχέση αναφέρεται σε τρίγωνο ΑΒΓ τότε θα χρησιμοποιήσουμε την ισότητα Α + Β + Γ π ή Α + Β + Γ π. Όταν δίνεται μία σχέση που ισχύει για ένα τρίγωνο και θέλουμε να αποδείξουμε ότι αυτό είναι ισοσκελές ή ορθογώνιο κ.τ.λ, τότε μετασχηματίζουμε τη σχέση χρησιμοποιώντας τους τύπους και καταλήγουμε σε δύο γωνίες ίσες ή μία γωνία 90 0 ή κ.τ.λ..6. Αν α+β+γ π τότε να αποδειχθούν οι επόμενες ισότητες: i) εφα + εφβ + εφγ εφα. εφβ. εφγ. ii) εφ α. β εφ + εφ β. γ εφ + εφ γ. εφ α. iii) σφα. σφβ + σφβ. σφγ + σφγ. σφα. iv) σφ α β γ + σφ + σφ σφ α. σφ β. γ σφ. Λύση: εφα+ εφβ i) α + β + γ π α+β π γ εφ(α+β) εφ(π γ) εφγ εφα εφβ εφα + εφβ εφγ.( εφα+εφβ) εφα + εφβ εφγ + εφα.εφβ.εφγ εφα + εφβ + εφγ εφα.εφβ.εφγ. ii) α + β + γ π α β γ + + π α β εφ( α β + ) εφ( π γ εφ + εφ ) α εφ εφ εφ γ.(εφ α +εφ β ) εφ α.εφ β β α β + π γ α γ εφ + εφ σφ α εφ εφ β β εφ γ εφ α.εφ γ + εφ β.εφ γ εφ α.εφ β εφ α.εφ β + εφ β.εφ γ + εφ γ.εφ α.

29 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ σφα σφβ iii) α + β + γ π α + β π γ σφ(α+β) σφ(π γ) σφγ σφβ+ σφα σφα. σφβ σφγ.(σφβ + σφα) σφα. σφβ σφγ.σφβ σφγ.σφα σφα. σφβ + σφβ.σφγ + σφγ.σφα. iv) α + β + γ π α β γ + + π σφ( α β + ) σφ( π γ σφ σφ ) β α σφ + σφ α β α β + π γ α β γ σφ σφ εφ β α σφ + σφ σφ γ σφ γ.(σφ α. σφ β ) σφ β + σφ α σφ γ.σφ α.σφ β σφ γ σφ β + σφ α σφ α + σφ β + σφ γ σφ α.σφ β.σφ γ..6..σημειωση: Σε ένα μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, επειδή ˆΑ + ˆΒ + ˆΓ π θα είναι: εφα+εφβ+εφγ εφα. εφβ. εφγ, εφ Α.εφ Β + εφ Β.εφ Γ + εφ Γ.εφ Α, κ.τ.λ. Οι σχέσεις (i) και (iii) ισχύουν γενικά όταν: α + β + γ κπ, κ. Οι σχέσεις (ii) και (iv) ισχύουν γενικά όταν: α + β + γ (κ+)π, κ ημ( α+ β) ημ( α β).7. Να αποδείξετε ότι: i) εφ α εφ β. συν α συν β ημ( α+ β) ημ( α β) ημ( β+ γ) ημ( β γ) ημ( γ+ α) ημ( γ α) ii) συν α συν β συν β συν γ συν γ συν α Λύση: ημ( α+ β) ημ( α β) (ημα συνβ+ συνα ημ β)(ημ α συνβ συνα ημ β) i) συν α συν β συν α συν β (ημα συν β) (συνα ημ β) συν α συν β εφ α εφ β. ημ α συν β συν α ημ β συν α συν β ημ α συν β συν α συν β ii) Σύμφωνα με το (i) θα είναι ημ( β + γ) ημ( β γ) εφ β εφ ημ( γ+ α) ημ( γ α) γ και εφ γ εφ α. συνβ συνγ συνγ συνα ημ( α+ β) ημ( α β) ημ( β + γ) ημ( β γ) ημ( γ+ α) ημ( γ α) Άρα + + συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα εφ α εφ β + εφ β εφ γ + εφ γ εφ α 0. συν α ημ β συν α συν β.8. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημa ημb.συνγ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Λύση: ημa ημ B. συνγ ημα.ημβ.συνγ ημ[80 0 (Β+Γ)].ημΒ.συνΓ

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ημ(β+γ).ημβ.συνγ ημβ.συνγ + συνβ.ημγ.ημβ.συνγ ημβ.συνγ + συνβ.ημγ. ημβ.συνγ 0 συνβ.ημγ ημβ.συνγ 0 ημ(γ Β) 0 Γ Β 0 Γ Β. Επομένως, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές..8..σημειωση: () ημβ 0, γιατί διαφορετικά θα ήταν Β 0 0 () Αν Γ Β80 0 Γ Β αδύνατο. ή Β 80 0, πράγμα άδύνατο. Μέθοδος Επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων οι οποίες έχουν ά- θροισμα ή διαφορά γωνιών. Αν θέλουμε να επιλύσουμε μία τριγωνομετρική εξίσωση στην οποία παρουσιάζεται τριγωνομετρικός αριθμός με άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων γωνιών, τότε εφαρμόζουμε τους προηγούμενους τύπους και μετασχήματίζουμε την εξίσωση σε μία από τις γνωστές μορφές που έχουμε μελετήσει στην αντίστοιχη ενότητα..9. Να λυθεί η εξίσωση.ημ συν( 6 π ), όταν [ π,π]. Λύση:. ημ συν( 6 π ). ημ συν. συν 6 π + ημ. ημ 6 π. ημ συν. + ημ. 4. ημ. ημ. ημ συν συν εφ κπ + π κπ + π, κ συν + ημ εφ εφ 6 π Είναι π π π κπ + π π π π κπ + π π π π π π κπ 8π π 0 π κπ 7π κ κ 7. Επειδή κ θα είναι κ ή κ 0 ή κ ή κ. 6 Επομένως, οι λύσεις τις εξίσωσης είναι: π + π 6π + π 5π, 0 π + π π π + π 6π + π 7π και π + π π + π π ΣΗΜΕΙΩΣΗ: () συν 0, γιατί αν συν 0 τότε και ημ 0, το οποίο είναι αδύνατο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδα.0. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) συνθ. συνθ + ημθ. ημθ ii) ημ4θ. συνθ + συν4θ. ημθ iii) ημ(α β).συν(α+β) + συν(α β).ημ(α+β)

31 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 5.. Να αποδείξετε ότι: i) συν(45 0 α).συν(45 0 β) ημ(45 0 α).ημ(45 0 β) ημ(α+β) ii) ημ(45 0 +α).συν(45 0 β) + συν(45 0 +α).ημ(45 0 β) συν(α β).. Να αποδείξετε ότι: συν(+ π ).συν( π ) ημ(+ π ).ημ( π )... Να αποδείξετε ότι: ημ(α+8 ο ).συν( ο α) συν(α+78 ο ).ημ(α 7 ο )..4. Να αποδείξετε ότι: ημ( 4 π +φ) + ημ( 4 π φ). συνφ..5. Να αποδείξετε ότι: (συνα ημα)(συνα ημα) συνα ημα..6. Στο διπλανό σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ, ΓΔ και ΑΓ 5. Επίσης ΑΓ ΒΓ και ΑΔ ΓΔ. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ˆΑ. [Απ. ημα 6,συνΑ- 6,εφΑ- 6,σφΑ ].7. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα Α ημ( α+ ) ημ( α ) συν( β ) συν( β+ ) είναι ανεξάρτητο του..8. Να αποδείξετε ότι: ημα συνβ ημ( α β) συν( α β ) ημα ημβ εφ(α + β)..9. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει ˆΒ ˆΔ 90 0, ΑΒ 4 και ΒΓ 4 +. Να υπολογίσετε: α) το συνα β) τις γωνίες ˆΑ και ˆΓ. [Απ. α)- β) ˆΑ 0 0, ˆΓ 60 0 ].0. α) Να αποδείξετε ότι: ημ συν ημ( π ). β) Να λύσετε την εξίσωση: ημ συν... Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, με διαγώνιο και ΑΓΔ ˆθ. i) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με Ρ 4.ημ(θ + π ). 4 ii) Να βρείτε τη γωνία ˆθ αν η περίμετρος είναι ίση με.

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ημ ) + σφ =, g( ) ημ ημ = και h( ) ημ( ) αποδειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και η h ούτε άρτια ούτε περιττή Να εξετασθεί αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. ςεδς 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια στους

Διαβάστε περισσότερα

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ 1 0 ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.. ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1 Μον 10 Α. Να σημειώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα