ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω."

Transcript

1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν( ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως ii) ( 660 ) ( ) ( ) 0 (60 ) Να βρείτε τους αριθμούς: 5 i) ii)συν i)είναι 5 5 Αν διαιρέσουμε το 5 με το 6 βρίσκουμε 5,δηλαδή 5 Εομένως 5 και ii)είναι και 8 8 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

2 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες i) 5 v) rad ii) rad iii) 7 6 rad iv) rad 5 rad vi) rad vii) -00 rad viii) 0 rad Να εκφράσετε σε rad τις γωνίες i) 60 0 ii)75 0 iii)50 0 iv)-90 0 v)85 0 vi) vii)500 0 viii) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: i)70 0 ii)- rad iii) iv) v) 5 6 rad vi)-5 0 vii) rad viii)-50 0 rad Να βρεθούν οι αριθμοί: i)ημ5 0 ii)συν( ) iii)εφ70 0 iv)ημ90 0 v)συν765 0 vi)ημ890 0 vii)εφ0 0 viii)ημ( ) 5Aν <χ<,να αοδείξετε ότι : συν > ημ + εφ + σφ 6Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω τέτοια ώστε να ισχύει συνω = α α + 7Να βρείτε τις τιμές των αραστάσεων Α=ημ0 0 -συν5 0 +εφ60 0 -σφ0 0 Β=ημ συν εφ85 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

3 8Να αοδειχτεί ότι : = 9Να βρεθούν οι αριθμοί i)εφ ii)ημ iii)συν00 iv) 9 7 v) vi) 0Να βρείτε την τιμή της αράστασης vii) 9 Αν f()=ημχ-συνχ+εφ χ να βρείτε τις τιμές 7 7 f ( ), f ( ), f (0), f, f 0 0 Υάρχει γωνία ω [0,60 ] για την οοία είναι ημω=χ +; Αν,να αοδείξετε ότι συνχ-εφχ>ημχ+σφχ Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της αράστασης Γ=-συνχ-ημy 5Να δειχτεί ότι δεν υάρχει ραγματικός αριθμός ώστε : Α)ημ χ-ημχ+<0 Β)συν χ-5συνχ+6>0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν και τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 0 0 να βρείτε τους άλλους Αφού είναι συνω<0 και εομένως EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

5 Ακόμη έχουμε 5 και 5 Αν και να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ έχω και εειδή ημχ<0 θα έχω και εειδή συνχ<0 θα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

6 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Αν <χ< και συνχ = - να βρεθούν οι άλλοι τριγω- νομετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad Αν <χ< Αν και εφχ= μετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad <χ< και σφχ= - να βρεθούν οι άλλοι τριγωνο- 5 8 να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας χ rad Αν ημω= 5 και 90 0 <ω<80 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 5Αν συνω=- 5 και 80 0 <ω<70 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω 6Αν εφω= 5 και 0 0 <ω<90 0 να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνιας ω 7Αν ημ χ-ημχ+=0 και 0<χ< να βρείτε την τιμή της αράστασης 8Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω τέτοια ώστε Α)ημω=συνω=0 Β)ημω=συνω= EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -

7 9Να αοδείξετε ότι: 0Να αοδείξετε ότι: Να αοδείξετε ότι: ημ χ-συν χ=-συν χ=ημ χ- Να αοδείξετε ότι: συν χ-ημ χ=συν χ-=-ημ χ Να αοδείξετε ότι: ημ χεφχ+συν χσφχ+ημχσυνχ=εφχ+σφχ Να αοδείξετε ότι 5Να αοδείξετε ότι: 6Να εξετάσετε αν υάρχουν τιμές του χ για τις οοίες ισχύει: ι)ημχ= ιι)ημχ=α- και συνχ= και συνχ=α+ 7Να αοδείξετε ότι : συν α ημ α = ημ α EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -

8 8Να αοδείξετε ότι συν α = - ημ α 9Να αοδείξετε ότι : συν α +σφ α = 0Να αοδείξετε ότι : i) (ημα + συνα) + (ημα συνα) =5 ii) iii) iv) v) εφα+ vi) vii) viii) i) ) i) - =+ημ θ = εφ α = = εφ α = +συνα = = εφ θ +εφ θ σφ α συν α = σφ α συν α - = εφ θ (+ημα+συνα) = (+ημα)(+συνα) ii) (+ ) (+ ) = iii) (ημθ+συνθ) (ημθ συνθ) = 8ημθ συνθ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -

9 Να αοδειξετε τις αρακάτω ταυτότητες: ) ii) iii) a 5 iv) Να αοδείξετε ότι: i) ii) iii) Να αοδείξετε ότι: ) ) ) Να αοδείξετε ότι: εφ ωσυν ω+σφ ωημ ω= 5Να αοδείξετε ότι: ) ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

10 6Να αοδείξετε ότι: 7Να αοδείξετε ότι: (ημχ+εφχ)(συνχ+σφχ)=(+ημχ)(+συνχ) 8Να αοδείξετε ότι: 9Να αοδείξετε ότι: 0Να αοδείξετε ότι: (ημασυνβ+συναημβ) +(συνασυνβ-ημαημβ) = Αν να υολογίσετε τις αραστάσεις i) ii)ημ iii)ημ Αν ημχσυνχ=α και 0 να βρείτε τις τιμές των i) αραστάσεων ii) Αν ημχ+συνχ= να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -

11 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών i) ω ii)70 0 -ω iii)70 0 +ω Εειδή ω=90 0 -(-ω) έχουμε: ημ(90 0 +ω)=συν(-ω)=συνω συν(90 0 +ω)=ημ(-ω)=-ημω εφ(90 0 +ω)=σφ(-ω)=-σφω Εειδή ω=80 +(90 0 -ω) έχουμε ημ(70 0 -ω)=-ημ(90 0 -ω)=-συνω συν(70 0 -ω)=-συν(90 0 -ω)=-ημω εφ(70 0 -ω)=εφ(90 0 -ω)=σφω Εειδή ω=60 0 +(ω-90 0 ) έχουμε: ημ(70 0 +ω)=ημ(ω-90 0 )=-ημ(90 0 -ω)=-συνω συν(70 0 +ω)=συν(ω-90 0 )=συν(90 0 -ω)=ημω εφ(70 0 +ω)=εφ(ω-90 0 )=-εφ(90 0 -ω)=-σφω EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

12 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: i)σφα + σφ(β+γ) = 0 iii)συν A + συν B ii)εφ = iv)συν Α= ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ εφ B = ( ) Δίνονται οι αραστάσεις Α=εφ 0 εφ9 0 εφ 0 εφ9 0 και Β=συν ( +χ) ημ(-χ) ημ(-χ) - ημ( Να αοδειχτεί ότι Β=Α +χ) συν (-χ) Να αοδειχτεί ότι : i)εφ9 0 εφ9 0 εφ5 0 σφ7 0 σφ7 0 σφ5 0 = ii)σφ 0 σφ 0 σφ5 0 εφ8 0 εφ8 0 εφ5 0 = Να αοδείξετε ότι: i)ημ(-χ)+ημ( + χ)+ημ(χ-) ημ(χ- ) = 0 ii)συν( + α)+ημ(-α) ημ(-α)+συν( - α) =0 5 Αν εφθ= να βρεθεί η τιμή της αράστασης: 6Να υολογιστεί η αράσταση: Α =συν( -χ) ημ( 7 +χ) +ημ ( +χ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

13 7Να υολογιστεί η αράσταση: Α= ( ) ( ) (7 ) 7 (9 ) ( ) ( ) 8Να υολογιστεί η αράσταση Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9Να αλοοιηθούν οι αραστάσεις : Α= Β= (80 ) (50 ) (50) (90 ) (80 ) ( 70) 5 ( ) ( ) ( ) (7 ) ( ) 0Να βρεθούν οι τιμές των αραστάσεων: Α= Β= Να βρείτε την τιμή της αράστασης: Α=ημ50 0 -συν0 0 +εφ0 0 -σφ(-5 0 ) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας i) rad ii) rad iii) 6 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

14 Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας i)5 0 ii)0 0 iii)-50 0 iv)5 0 v)80 0 Να βρεθεί η τιμή της αράστασης: Να βρεθεί η τιμή της αράστασης: Να υολογίσετε το γινόμενο: Να αοδείξετε ότι: ( ) ( ) 0 0 8Να αοδείξετε ότι: ( ) 0 9Να αοδείξετε ότι: Να αοδείξετε ότι: Να αοδείξετε ότι: EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

15 (80 ) Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: Να αλοοιήσετε το κλάσμα: EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

16 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή για Ο ίνακας τιμών της :, το, το 0, 0 ημ Παρατηρήστε ότι στα σημεία ου κατέχουν την η, η, 5 η θέση, το ημ είναι 0, ενώ στη η και η θέση λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -

17 Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ημ κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f ημ κ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου συντελεστής του κ 0, κ, και, εομένως Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 κ κ κ ο ο ο ο 5 ο κ Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, κ κ Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για κ, το κ, το Ο ίνακας τιμών της : 0 κ κ κ κ f EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -

18 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 0, ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της :, το, το 0 f Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -

19 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση f ημ έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ f ημ ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0, 0 ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 f Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -

20 Να αρασταθεί η γραφική συνάρτηση f, με f ημ Η συνάρτηση f ημ έχει : Περίοδο T ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου, και εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα 0, Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 8 ο ο ο ο 5 ο 8 Μηδενίζεται, συνεώς στην η, η, 5 η θέση, δηλαδή για 0,, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της : 8, το 8, το f Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -

21 Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f συν Η συνάρτηση f συν έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται για και Λαμβάνει μέγιστη τιμή για 0 ή, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή για, το 0, Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Παρατηρήστε ότι στα σημεία ου κατέχουν την η, η θέση, το συν είναι 0, ενώ στη η, η και 5 η θέση λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

22 Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f συν κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f συν κ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου συντελεστής του κ 0, κ, και, εομένως Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 κ κ κ ο ο ο ο 5 ο κ Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, κ κ Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0 ή, το κ Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για κ, το Ο ίνακας τιμών της : 0 κ κ κ κ f 0 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

23 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f συν Η συνάρτηση f συν έχει : ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 0, ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

24 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση f συν έχει : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ f συν ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου Περίοδο T, και, συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0, 0 ο ο ο ο 5 ο Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για, το Ο ίνακας τιμών της : 0 συν 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα 0,, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

25 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f συν Η συνάρτηση f συν έχει : Περίοδο T ρωτεύουσα ερίοδος ημιτόνου, και, εομένως συντελεστής του σχεδιάζεται στο διάστημα 0, Τα «βασικά» σημεία αυτού του διαστήματος είναι τα : 0 8 ο ο ο ο 5 ο 8 Μηδενίζεται, συνεώς στην η και η θέση, δηλαδή για, 8 8 Λαμβάνει μέγιστη τιμή στην η και 5 η θέση, δηλαδή για 0,, το Λαμβάνει ελάχιστη τιμή στην η θέση, δηλαδή για Ο ίνακας τιμών της :, το f 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

26 Α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f εφ (βασική) Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T, και εομένως σχεδιάζεται σε διάστημα λάτους, αρκεί βέβαια στο διάστημα αυτό να ορίζεται η εφ Ένα τέτοιο διάστημα είναι το, Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξίσωση γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, και, δηλαδή στο 0 είναι ασύμτωτες για το 0 εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -

27 Β Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f εφ κ, κ θετικός αριθμός Η συνάρτηση f εφ κ έχει : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης Περίοδο T, και, εομένως συντελεστής του κ σχεδιάζεται στο διάστημα, κ κ Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, κ κ, δηλαδή για 0 κ και κ είναι ασύμτωτες για κ 0 κ εφ 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -

28 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f εφ Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του,, και, δηλαδή για 0, και, εομένως είναι ασύμτωτες για 0 εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -

29 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με Η συνάρτηση Περίοδο f εφ έχει : T ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του εομένως σχεδιάζεται στο διάστημα, Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις γράφημα Ο ίνακας τιμών της :, και f εφ, δηλαδή για 0, και, είναι ασύμτωτες για το εφ 0 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση στο διάστημα αρακάτω :,, είναι η EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -

30 Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f, με f εφ Η συνάρτηση f εφ έχει : Περίοδο T σχεδιάζεται στο διάστημα Μηδενίζεται στο μέσο του Δε λαμβάνει άκρες τιμές Οι ευθείες με εξισώσεις το γράφημα Ο ίνακας τιμών της : ρωτεύουσα ερίοδος εφατομένης συντελεστής του, 8 8, 8 8, δηλαδή για 0 8 και 8, και, εομένως είναι ασύμτωτες για εφ 0 Μια ρόχειρη γραφική αράσταση, είναι η αρακάτω : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -

31 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να σχεδιαστούν οι γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων i) f()= ημ ii)g()= - ημ με [0,] Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων i) f()=ημ(- ) και g()= -συν(+ Δίνονται οι συναρτήσεις : f()=συν ( ) g()=-ημ( ) ) h()= - συν Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η ερίοδος για καθεμιά αό τις αραάνω συναρτήσεις Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η ερίοδος για καθεμιά αό τις αρακάτω συναρτήσεις: f()=ημ g()= -ημ(- ) h()=-συν(+ 5Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) Η γραφική αράσταση της f διέρχεται αό τα σημεία, και Β(,-) Α)Να βρείτε τα α,β Β)Να δείξετε ότι η f έχει ερίοδο Γ)Να δείξετε ότι: 9 f ( ) 5 6Δίνεται η συνάρτηση: f()=αημ+βσυν, της οοίας η γραφική, Β -, αράσταση διέρχεται αό τα σημεία: Α)Να ροσδιορίσετε τις τιμές των α,β Β)η f έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή το - 0, Γ)η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0 Δ)ημα +συνβ<ημβ+συνα για κάθε α,β με 6 ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

32 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εξίσωση ημ ημα ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Περιορισμός για το β μέρος Γενική λύση ημα κ α ή κ α, κ συν συνα συνα κ α ή κ α, κ εφ εφα εφα κ α, κ σφ σφα σφα κ α, κ ημ 0 συν 0 Κανένας Κανένας κ, κ κ, κ εφ 0 Κανένας κ, κ σφ 0 Κανένας κ, κ Αλγεβρικές εξισώσεις ως ρος ημ, συν, εφ, σφ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται γενικά, ως εξής : Χρησιμοοιούμε τους τύους : εφ εφ εφ ημ, συν, εφ εφ εφ εφ και εν συνεχεία θέτουμε εφ t EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

33 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ iv) ημ ii) ημ 0 v) ημ iii) ημ i) ημ ημ ημ k ή k k όου k ii) ημ 0 ημ ημ0 k ή k Άρα k, k iii) Άρα ημ ημ ημ ημ ημ 6 6 k 6 ή 7 k k, k 6 6 iv) ημ η εξίσωση είναι αδύνατη v) ημ ημ ημ Άρα k Να λυθούν οι εξισώσεις : i) εφ ii) εφ 0 iii) εφ 0 i) εφ εφ εφ Άρα k, k ii) εφ 0 εφ εφ0 k, k iii) εφ 0 εφ εφ εφ εφ εφ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

34 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ ημ 0 ii) εφ εφ 0 i) ημ ημ 0 ημ 0 ή ημ 0 ημ ή ημ ημ ημ ή ημ ημ k ή k ή k, k ii) εφ εφ 0 εφ 0 ή εφ 0 εφ ή εφ εφ εφ ή εφ εφ k ή k, k Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ ημ ii) συν συν 0 iii) εφ εφ 0 6 i) ημ ημ k ή k 0 k (αδύνατη) ή k k k, k ii) συν συν 0 συν συν k ή k k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

35 ή k k k ή, k iii) εφ εφ 0 εφ εφ 6 6 εφ εφ k k k, k 5 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) iii) ημ συν ημ συν ii) εφ σφ 0 i) ii) iii) ημ συν συν συν k ή k k ή k k ή 6 k k ή k, k εφ σφ 0 εφ σφ εφ εφ k k k, k 6 ημ συν ημ ημ ημ ημ k 6 6 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

36 ή ή k 0 k 6 6 αδύνατη 8 k k k, k Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ συν ημ ii) εφ εφ εφ i) ημ συν ημ ημ συν ημ 0 ημ ημ ημ 0 ημ ημ ημ 0 ημ ημ 0 Θέτω ω Άρα ημ ημ οότε αδύνατη ή ω ω 0 ω ή ω ημ ημ ημ k, k ii) εφ εφ εφ εφ εφ εφ 0 εφ εφ 0 Θέτω ω εφ οότε Άρα εφ k, k ή ω ω 0 ω ή ω εφ εφ εφ ή εφ k ή 7 Να λύσετε την εξίσωση : ημ στο 0, ημ ημ ημ k ή k k ή k k 7 k, k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -

37 Πρέει : i) k 0 k k k, k Άρα k 0 Εομένως ii) 0 k 0 k k k, k Δεν υάρχει k οότε η μοναδική λύση είναι 7 8 Να λύσετε την εξίσωση : συν ημ Χρησιμοοιώντας τους τύους ημ εφ εφ, συν= εφ εφ θέτοντας εφ t αίρνουμε : t t t t t t t 0 t t 0 t t και Έτσι : t 0 εφ 0 k k, k t εφ εφ εφ k k, k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -

38 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να λυθούν οι εξισώσεις : i)ημ =ημ iv) σφ(- 7 5 )=σφ( 5 - ) ii)συν( - )=συν iii)εφ=εφ Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν=0 ii) - εφ=0 iii)σφ( - 6 ) = iv) ημ = 0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ημ= - ii) συν= - iii) + εφ = 0 iv) εφ =0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) εφ(- iii) ημ = συν(- ) + εφ =0 ii) συν + συν=0 ) iv) εφ( - 6 ) =σφ 5 Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ +συν 5 iii) ημ συν( - = 0 ii) εφ + σφ 5 =0 ) =0 iv) εφ+σφ( - ) = 0 6 Να λυθούν οι εξισώσεις i) (+ημ)(+συν) = 0 ii) (εφ+ )(-συν )= 0 iii) ( ημ )(+συν ) =0 iv) (+συν)( - )=0 7 Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ +5ημ =0 ii) συν +=5ημ iii) ημ =5ημ συν iv)συν +5συν=0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -

39 8 Να λυθεί στο [0,] η εξίσωση : συν(- 9 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ=-σφ στο (, ii) σφ5+σφ(+ iii) σφ(+ 7 9 iv) εφ = - σφ 5 ) = 0 στο [- )+σφ5=0 στο [0, 5 στο (0,) ],0] ] 5 ) = ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 0 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ( - ) = στο (,) ii) σφ=0 στο (- iii) εφ+εφ=0 στο (-,0), ) Να λυθούν οι εξισώσεις : i) = ii) εφ= σφ Να λυθούν οι εξισώσεις i)εφ = ημ ii)συν = σφ Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ= συν ii) ημ συν= συν iii) ημ+ συν=0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i)εφ συν = ημ ii)ημ + εφ=0 5Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -

40 f ( ) g( ) και στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές του στο διάστημα (0,) για τις οοίες: i)η f αρουσιάζει μέγιστο και ii)η g αρουσιάζει ελάχιστο 6Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 6 ii ) 7 0 iii) 7 Δίνεται η συνάρτηση: 9 7 f( ),, α,β με α<0 και β>0 5 i)να αοδείξετε ότι 9 και f()=αημ ii)αν η f έχει μέγιστο το και ερίοδο, τότε να βρείτε τα α,β iii)αν α=- και β=, τότε: α)να αοδείξετε ότι η f είναι εριττή β)να λύσετε την εξίσωση: f ( ) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 0 -

41 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΩΝΙΩΝ ημ α β ημα συνβ συνα ημβ συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφ α β εφα εφβ εφα εφβ σφ α β σφα σφβ σφβ σφα ημ α β ημα συνβ συνα ημβ συν α β συνα συνβ ημα ημβ εφ α β εφα εφβ εφα εφβ σφ α β σφα σφβ σφβ σφα Να δείξετε ότι : εφ 5 εφ εφ 5 εφ εφ8 εφ Παρατηρούμε ότι 8 5 και 5 οότε : εφ5 εφ εφ5 εφ εφ 5 εφ εφ8 εφ εφ5 εφ εφ5 εφ εφ 5 εφ Να υολογιστούν το 7 ημ και το 7 συν Εειδή 7 έχουμε 7 ημ ημ ημ συν ημ συν 7 συν συν συν συν ημ ημ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

42 Να δείξτε ότι : ημ ημ συν ημ ημ ημ συν συν ημ ημ συν συν ημ ημ συν συν συν Να αοδείξτε ότι : ημ α β εφα εφβ συνα συνβ ημ α β ημα συνβ ημβ συνα ημα συνβ ημβ συνα συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ημα συνα ημβ συνβ εφα εφβ 5 Να αοδείξτε ότι : ημ α β ημ β γ ημ γ α 0 ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα Πρέει ημα 0, ημβ 0, ημγ 0 ημ α β ημα συνβ συνα ημβ σφβ σφα ημα ημβ ημα ημβ ημ β γ ημ γ α Ομοίως σφγ σφβ, σφα σφγ ημβ ημγ ημγ ημα ημ α β ημ β γ ημ γ α ημα ημβ ημβ ημγ ημγ ημα σφβ σφα σφγ σφβ σφα σφγ 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

43 6 Αν ημ α συν α να αοδειχτεί ότι εφα εφ Έχουμε ημ α ημ α συν α συν α, όου α k εφ εφα Άρα εφ α εφ εφα εφ εφα εφ εφα εφ εφ εφα εφ εφα, όου εφ 0 εφ εφ εφ δηλ εφα εφχ 7 Αν οι γωνίες α, β, γ ικανοοιούν την ισότητα α β γ, αν αοδειχτεί ότι : συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ Έχουμε α β γ α β γ συν α β συν γ συνγ συνα συνβ ημα ημβ συνγ συνα συνβ συνγ ημα ημβ () Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο : συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ ημ α ημ β συν α συν β συν α συν β συν α συν β συν α συν β συν γ συνα συνβ συνγ 8 Να λυθεί η εξίσωση : συν ημ Αν θέσω εφ έχουμε : συν εφ ημ συν συν ημ ημ συν συν συν k k ή EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

44 k k, k 9 Αν α β 5, να δείξετε ότι : σφα σφβ σφα σφβ Έχουμε σφ α β σφ5 σφ 80 5 σφ5 Άρα σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφβ 0 Αν σφα, να λύσετε στο 0, την εξίσωση : συν α συν α συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα συν συνα ημ ημα () Εξάλλου ημα 0 (αφού ορίζεται η σφα ) οότε : συν συνα ημ ημα συν σφα ημα ημα ημα συν ημ ημ συν () Παρατηρούμε ότι συν 0, γιατί αν ισχύει το αντίθετο, δηλαδή ότι συν 0 τότε αό την () αίρνουμε ημ 0,οότε : ημ συν άτοο ημ συν Άρα () εφ k, k () συν συν 0 0 k 0 k 7 k k EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - -

45 άρα ο ακέραιος k είναι 0 ή Εομένως ή 5 Αν α β γ 90 να αοδειχθεί ότι : i) εφα εφβ εφβ εφγ εφγ εφα ii) σφα σφβ σφγ σφα σφβ σφγ i) Αό τη σχέση α β γ 90 α β 90 γ εφ α β εφ 90 γ εφα εφβ εφα εφβ σφγ εφα εφβ εφγ εφα εφβ εφα εφβ εφα εφβ εφγ εφα εφγ εφβ εφγ εφα εφβ εφα εφγ εφβ εφγ εφα εφβ ii) Αό τη σχέση α β γ 90 α β 90 γ σφ α β σφ 90 γ σφα σφβ σφα σφβ εφγ σφα σφβ σφγ σφγ σφβ σφα σφβ σφα σφβ σφα σφγ σφα σφβ σφγ σφβ σφα σφγ Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου, 5 εφ και εφ, να δείξετε ότι Έχουμε : άρα 5 5 εφ εφ 6 6 εφ εφ εφ εφ κ και για κ 0, η 5 δηλ, 5 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

46 Σημείωση Όμως : κ κ κ 0 0 κ 0 κ κ κ κ άρα κ 0 () ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν ημα= - 5,<α< και συνβ= οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α β 5, <β< να υολογιστούν Να αοδείξετε ότι : i) ημ( - ) + ημ(+ ) = ημ ii) ημ ( - ) ημ (+ ) = - ημσυν Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις Α=συν(+ )συν + ημ(+ )ημ εφ( ) εφ( ) Β= 8 8 εφ( )εφ( ) σφ( )σφ( ) Γ= σφ( ) σφ( ) 6 6 Δ=συν98 0 ημ8 0 ημ98 0 συν8 0 EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 6 -

47 Ε=ημ 0 ημ 5 - συν 0 συν ΣΤ= Να αοδείξετε ότι : ( ) i) εφα+σφβ= ( ) ii) σφα-σφβ = 5 Να αοδείξετε ότι : i) συν(α+β)συν(α-β) =συν α ημ α ii) = εφ(α+β)εφ(α-β) 6 Να υολογιστούν το ημ 7 και το συν 7 7 Να αοδειχτεί ότι : ( ) i) =εφα +εφβ ( ) ii) =σφβ-σφα 8 Αν α+β= και εφβ= να υολογιστεί η εφα 9 Να αοδειχτεί ότι το κλάσμα Α= ανεξάρτητο του ημ(α ) ημ(α ) συν(β ) συν(β ) είναι EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 7 -

48 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α ημα εφα ημα συνα εφα εφ α α α ημα ημ συν α εφ εφα α εφ συνα συν α συνα συν α ημ α συν α ημ α α α συνα συν ημ α συν α ημ συνα εφ α συνα συνα ημ α ημα ημα ημ α συνα συν α συνα ημα εφα εφ α συνα εφ α εφ α EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 8 -

49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δείξτε ότι : i) ημ5 ημ75 συν 0 συν 80 συν0 ii) i) Εειδή , είναι ημ75 συν5, οότε: ημ5 ημ75 ημ5 συν5 ημ 5 ημ0 ii) Εειδή , είναι συν80 ημ0, οότε: συν 0 συν 80 συν 0 ημ 0 συν 0 συν0 Δείξτε ότι: συνα εφα ημα συνα ημ α και ημα ημα συνα οότε: συνα ημ α ημ α ημα ημα ημα συνα ημα συνα συνα εφα Να δείξετε ότι : α β συνα συνβ ημα ημβ συν συνα συνβ ημα ημβ συν α συν β συνα συνβ ημ α ημ β ημα ημβ συν α ημ α συν β ημ β συνα συνβ ημα ημβ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 9 -

50 συν α β συν α β συν α β συν α β α β συν Να λύσετε την εξίσωση : συν ημ 0 συν ημ 0 συν συν 0 συν συν 0 συν συν 0 συν 0 ή συν 0 συν 0 ή συν συν 0 ή συν συν k ή k, k 5 Να αοδειχτεί ότι 8 συν συν συν ημα Αό τον τύο ημα ημα συνα έχουμε συνα ημα οότε ημ ημ ημ ημ συν συν συν, γιατί ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ Να αοδειχτεί ότι: ημα συνα α εφ ημα συνα α α α ημ συν ημ α α α ημ συν ημ α α α α α α ημ συν συν ημ συν συν α α α ημ συν ημ α ημ εφ α α α α α συν συν ημ συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

51 7 Να αοδειχτεί ότι: συν80 ημ80 ημ60 Έχουμε 0 εφ60 συν60 ημ60 ημ60 Άρα: συν60 συν80 ημ80 συν80 ημ80 συν80 συν60 ημ80 συν60 ημ80 ημ60 συν80 ημ ημ0 συν80 συν60 ημ80 συν80 ημ80 συν80 ημ80 ημ0 ημ0 ημ60 ημ0 8 Να αοδειχτεί ότι : εφ 5 α εφ 5 α εφα εφ5 εφα εφ5 εφα εφ 5 α εφ 5 α εφ5 εφα εφ5 εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφα εφ α εφα 9 Να αοδειχτεί ότι : εφ α 0 εφ α 0 συνα συνα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

52 εφα εφ0 εφα εφ0 εφ α 0 εφ α 0 εφα εφ0 εφα εφ0 ημ α εφα εφα εφ α εφ α συν α εφ α ημ α εφα εφα εφ α συν α ημ α συν α συν α συν α συν α συν α ημ α συν α συν α συν α συν α συν α συνα συν α συνα συν α 0 Αφού δείξετε ότι : ημ 8 συν 8 να υολογίσετε : i) Tο ημ8 ii) Το συν8 iii) Το ημ6 Είναι : , άρα : ημ 8 συν 8 i) συν 8 ημ 8 συν 8 συν8 ημ8 συν8 συν8 0 συν 8 ημ8 ημ 8 ημ8 ημ 8 ημ8 () Στην () θέτουμε ημ8 0, αφού 0 8, και αίρνουμε: Η διακρίνουσα της () είναι : 0, και οι ρίζες της : ημ8 και εειδή 0, θα είναι : 0 () ii) Αό την ταυτότητα: ημ 8 συν 8 αίρνουμε: EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

53 συν 8 ημ 8 συν 8 συν 8 συν 8 συν 8 συν συν ημ6 ημ8 συν8 8 συνθ Να αοδειχθεί ότι : ημ θ συν θ Είναι : ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημ θ συν θ ημθ συνθ ημθ ημ θ συν θ συν θ συν θ συνθ συνθ Να δείξετε ότι : ημα συνα α εφ συνα συνα Είναι : α α α ημ συν ημ ημα συνα ημα συνα συνα ημα α εφ α α συν συν συνα συνα συν α συνα συνα EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

54 Να δείξετε ότι : ημα ημα συνα συνα εφα ημα ημα ημα συνα ημα ημα συνα ημα συνα συνα συν α συνα συνα συνα συνα εφα Σημείωση Πρέει συνα 0 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να αοδείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) i) + + = 0 ii) εφ( +α) εφ( -α)=εφα iii) =εφθ iv) =εφ v) =σφα ( ) vi) =ημα ( ) Αν συν(α-β)=0,να αοδείξετε ότι ημ(α-β)=ημα Αν ημ(α+β)=0 να αοδείξετε ότι συν(α+β)=συνα Αν εφα= να λυθεί στο [-,] η εξίσωση ημ(α+)=ημ(α-) EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM - 5 -

55 5 Να λυθεί η εξίσωση : ημ=συν(- 6 ) 6 Στο διλανό σχήμα είναι ΑΓ=ΑΔ Να αοδειχτεί ότι i) εφω= ii) η ΒΔ είναι διχοτόμος της Β αν εφβ= 7 Να λυθεί στο [0,] η εξίσωση : σφ( - ) σφ( + ) = 8 Αν σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Β= και αντιστρόφως ( ) ( ) =εφγ, να αοδειχτεί ότι 9 Να αοδειχτεί ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει: i) σφ +σφ +σφ = σφ ii) σφα σφβ +σφβσφγ+σφγσφα = iii) + + = iv) συν Α+συν Β+συν Γ = + συνα συνβ συνγ σφ σφ 0 Να αοδειχτεί ότι η αράσταση Α=ημ +ημ ( είναι ανεξάρτητη του - ) +ημ ( +) Αν εφα,εφβ είναι ρίζες της εξίσωσης: (- ) + - =0,να βρεθεί η εφ(α+β) και να αοδειχτεί ότι α+β =κ+,κ Αν <y< και 5ημ y+5ημy-=0 να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημy και συνy EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

56 Να λυθεί η εξίσωση : εφ(- )+σφ = Να λυθεί η εξίσωση: εφ( +) - εφ( - )=6 5 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ορθογώνιο ( ) ( ) = σφβ δείξτε ότι είναι 6 Αν ημ+ημy= και συν+συνy= να αοδειχτεί ότι συν(-y)= 7 Να αοδείξετε ότι : i) συν ημ =συν ii) συν α+ημ α= - iii) εφα+σφα = ημ α 8 Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημα, συνα, εφα όταν εφ a = 9 Να υολογίσετε την εφ(α+β) αν εφα= και εφβ= 0 Να αοδείξετε ότι : i) ημ = ii) συν = iii) ημ=ημ συν iv) = ημ EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

57 Δείξτε ότι : - = εφα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Δείξτε ότι : 8ημ = συν +συν Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α όταν : ημα= - και <α< Δείξτε ότι : = σφ 5 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν ημ = ii) ημ συν=ημ 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) συν συν = ii) +συν+ημ =0 7 Να λυθούν οι εξισώσεις : i)+συν+συν+συν =0 ii) συν + ημ = 0 8 Να λυθούν οι εξισώσεις: i)+συν=6ημ ii) συν+ημ = 9 Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συν =συν ii) συν =συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

58 0 Να λυθούν οι εξισώσεις i) εφ = ημ ii) εφ εφ = - Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Να αοδείξετε ότι: ημ - συν = 6 Να αοδείξετε ότι : i) = ii) = εφ Να αοδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 0 ισχύουν: i) ημβ = ii) συνβ = iii) ημ = iv) συν = 5 Να αοδείξετε ότι : συνα συνα συνα συν8α = 6 6 Π6 Για κάθε ραγματικό αριθμό να αοδείξετε ότι : συν ημ ημ συν συν ημ Π 7Αν ημ 5 και συν, να υολογίσετε τις τιμές : 5 i) Της εφ ii) Της αράστασης A ημ 6ημ συν συν iii) Της εφ Π8 Α Να λυθεί η εξίσωση : συν συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

59 Β Να λυθεί η εξίσωση : συν συν και να υολογιστεί το συν α β Π 9Να αοδείξετε ότι : συνα συνα συνβ ημα ημα ημβ συν Π0 Να λυθεί η εξίσωση συν ημ Π Α Να αοδείξετε ότι : ημ συν συν ημ ημ Β Να λύσετε την εξίσωση : ημ συν συν ημ Π Αν και ημ ημ ημ 6 0, να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημ, συν, εφ Π Δίνεται η συνάρτηση f με f συν ημ ημ συν, i) Να αοδείξετε ότι f συν συν ii) Να λυθεί η εξίσωση f συν iii) Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της συνάρτησης g f συν EFSTATHIOUPETROSWEEBLYCOM

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9

1.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. 1. i) f(x) = 5 ii) f(x) = x 4 iii) f(x) = x 9 . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 5 8 A ΟΜΑ ΑΣ (Να βρείτε τις αραγώγους των συναρτήσεων στις ασκήσεις 8). f() 5 f() 4 i f() 9 f () ( 5) 0 f () ( 4 ) 4 i f () ( 9 ) 9 8.. f() f() i f() 5 f () f () ( ) 4 i

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

επιπεδη τριγωνομετρια

επιπεδη τριγωνομετρια ειεδη τριγωνομετρια ο μερος Ш τακης τσακαλακος ... Θυμηθηκα τα αλια. Μια ροσεγγιση σε θεματα Τριγωνομετριας, σαφως ε ηρεασμενος α'τους Δασκαλους μου (Συρο Κανελλο -Παναγιωτη Μαγειρα). Πιστευω να ειναι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 12. = e dt. Να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) Να αοδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f() = ln, [,] αντιστρέφεται και να ορίσετε την f. β) ln d + d =. Β) Δίνεται η συνάρτηση α) h() h(), για κάθε [, + ). = d. Να αοδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3)

γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x = 1 και x = 2. lim lim (x 3) ) = 9α οπότε: (1 e ) (x 3) (1 e )(x 3) (x 3) ΘΕΜΑΤΑ Έστω f µια ραγµατική συνάρτηση µε τύο f() α) Αν η f είναι συνεχής, να αοδείξετε ότι α - 9 α,, > β) Να βρείτε την εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης C f της συνάρτησης f στο σηµείο Α(4,

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης-1 ο /2017 ΛΥΣΕΙΣ Λύσεις θεμάτων ροσομοίωσης- ο /7 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 =

Τριγωνοµετρία. β α. γ συν = α. συν Γ = εφ Β = + γ α ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα) , σφγ=γ/β. 1 εφ30 0 =σφ60 0 = Τριγωνοµετρί Στο ορθογώνιο τρίγωνο : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 0 90 ) ισχύουν: + γ ( Πυθγόρειο Θεώρηµ) ηµ Β γ συν εφ Β Β, γ 0 B + Γ 90, ηµγγ/ συν Γ, σφγγ/ Γι την µεττροή µοιρών ( µ 0 ) σε κτίνι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ x. Η f είναι συνεχής στο x0. lim lim 1. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2.

[f(x)] [f(x)] [f (x)] (x 2 + 2) x 2-2 x 2. 99 ΘΕΜΑΤΑ. α) ίνεται η συνάρτηση f ορισµένη και δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα µε τιµές στο (, + ). Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g µε g() = lnf(),, έχει την ιδιότητα «g (), για κάθε» αν και µόνο αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ TΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 9/6/7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 6 A OΜΑ ΑΣ. Αν ηµ και π <

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμών Γ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αρχική ή αράγουσα της f στο ; Μονάδες 4 Α. Να διατυώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες (1+1+1+1)4 Α3. Να διατυώσετε και να

Διαβάστε περισσότερα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Λύσεις των θεμάτων. Παρασκευή 9 Ιουνίου 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Παρασκευή 9 Ιουνίου 7 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/7, 6:3) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π

ΘΕΜΑ 1. θ (0, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z. Δ = 4εφ θ 4= 4(εφ θ 1) < 0 γιατί π ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση: z (εφθ)z + =, θ (, ). 4 α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη ραγματικοί αριθμοί. β) Έστω z,z οι ρίζες της αραάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Σωστό. Σωστό. Σωστό 4. Σωστό 5. Σωστό 6. Σωστό 7. Λάθος 8. Λάθος 9. Σωστό 10. Σωστό 11. Σωστό 1. Λάθος 1. Λάθος 14. Σωστό 15. Σωστό 16. Σωστό 17. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Ευάγγελος Τόλης.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Ευάγγελος Τόλης. Άλγεβρα Β Λυκείου Ευάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ..ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.....ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.. 9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ..ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία

, x > 0. Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f. Γ) να δείξετε ότι η C f είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σηµεία f ( t ) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) R µε: f ( ) = + ( + ), > t Α ) να δείξετε ότι: α) f ( ) = ln +, > β) f ( ) = Β) να µελετηθεί η µονοτονία και τα ακρότατα της f Γ) να δείξετε ότι η C f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14 " ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ "

Εργασία 1 η & Λύσεις 2009/10 Θεματική Ενότητα ΦΥΕ14  ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Άσκηση Εργασία η & Λύσεις 9/ Θεματική Ενότητα ΦΥΕ4 Παράδοση 6//9 Αν υοθέσουμε ως στο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων yz ο άξονας των z συμίτει με τη διεύθυνση της κατακόρυφου, να γράψετε αναλυτικά (με την

Διαβάστε περισσότερα

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α

lim f x lim g x. ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α1. Έστω µια συνάρτηση f αραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο οοίο όµως η

Διαβάστε περισσότερα