Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:"

Transcript

1 Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί να ειλύει τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημx =α, συνx=α, εφx=α και άλλες ου ανάγονται σ αυτές. Να γνωρίζει τους τύους του αθροίσματος της διαφοράς και του διλάσιου τόξου, καθώς και τις αοδείξεις αυτών και με την βοήθεια αυτών να υολογίζει την τιμή αραστάσεων των τριγωνομετρικών α- ριθμών. Να ειλύει τριγωνομετρικές εξισώσεις. Να αοδεικνύει τριγωνομετρικές ταυτότητες.

2 . Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ: Τύοι - Βασικές έννοιες Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω Τεταρτημόρια ημω συνω εφω σφω Ι ΙΙ ΙΙΙ - - ΙV Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών γωνιών ω (μοίρες) ω (rad) ημω συνω εφω σφω o ο ο o o o o o Ταυτότητα Με την ροϋόθεση ημ ω συν ω= ω R ημω εφω = συνω ω R, συνω συνω σφω = ημω ω R, ημω εφω σφω = ω R, ημω συνω ημ εφ ω ω εφ ω = ω R, συνω = ω R, συνω συν ω εφ ω

3 Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 5. ημ συν εφ σφ x ημx συνx εφx σφx x 9 x συνx ημx σφx εφx x 9 x συνx ημx σφx εφx x 8 x ημx συνx εφx σφx x 8 x ημx συνx εφx σφx x 7 x συνx ημx σφx εφx x 7 x συνx ημx σφx εφx x 6 x ημx συνx εφx σφx x 6 x ημx συνx εφx σφx Περιοδική συνάρτηση * Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T R τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύουν: i. x T A, x T A, ii. f( x T) = f( x T) = f( x) O αριθμός T λέγεται ερίοδος της συνάρτησης f. Η συνάρτηση ημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και τη συμβολίζουμε με: ημx = ημ(x rad) Η συνάρτηση ημίτονο είναι εριοδική με ερίοδο διότι: ημ(x) = ημx, για κάθε x R Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση συνημίτονο Η συνάρτηση με την οοία κάθε ραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν (x rad) λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και τη συμβολίζουμε με: συνx = συν (x rad) Η συνάρτηση αυτή είναι εριοδική με ερίοδο., διότι: συν(x)=συνx για κάθε x R

4 6. Τριγωνομετρία Τύοι - Βασικές έννοιες Αυτό σημαίνει ότι η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα λάτους. Η μονοτονία της συνάρτησης αυτής στο διάστημα [,] φαίνεται στον διλανό ίνακα. Η συνάρτηση εφατομένη Η συνάρτηση εφατόμενη ορίζεται ως το ηλίκο του ημιτόνου ρος το συνημίτονο. ημx Είναι: f(x) = εφx = με εδίο ορισμού το A = {x R:συνx } συνx Η συνάρτηση εφx είναι εριοδική με ερίοδο διότι: εφ( x) = εφx, για κάθε x A. Άρα η γραφική της αράσταση εαναλαμβάνεται η ίδια σε κάθε διάστημα λάτους. Όταν το x λησιάζει ( τείνει ) στο με x < η εφx τείνει στο γι αυτό λέμε ότι η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f με f(x) = εφx. Οι συναρτήσεις f(x) = ρημ(ωx), όου ρ, ω > και g(x) = ρσυν(ωx), όου ρ, ω > Εειδή ημx έχουμε ημx(ωx) και εειδή ρ > είναι: ρ ρημ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι το ρ και η ελάχιστη τιμή της είναι το - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο Τ της f ου είναι: T = ω

5 Τύοι - Βασικές έννοιες Τριγωνομετρία 7 Τριγωνομετρικές εξισώσεις ημx = ημθ x = κ θ ή x = κ θ, κ Ζ συνx = συνθ x = κ ± θ, κ Ζ εφx = εφθ x = κ θ, κ Ζ σφx = σφθ x = κ θ, κ Ζ Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς συν(α β) = συνασυνβ - ημαημβ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ συν(α - β) = συνασυνβ ημαημβ ημ(α - β) = ημασυνβ - συναημβ εφα εφβ εφα εφβ εφ(α β) = εφ(α β) = εφαεφβ εφαεφβ σφασφβ σφ(α β) = σφα σφβ σφασφβ σφ(α β) = σφβ σφα Τριγωνομετρικοί αριθμοί του α. ημα = ημασυνα α. συνα = συν α ημ α β. συνα = συν α γ. συνα = ημ α εφα. εφα σφ α =. σφα = 5. εφ α σφα εφα ημα = εφ α 6. συνα εφ α συνα συνα = 7. εφ α = 8. ημ α = εφ α συνα συνα 9. συν α =. =. συνα = συν α συνα ημα ημα ημ α

6 8 Τριγωνομετρία [Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφορές γωνίων] ΘΕΩΡΙΑ συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ Αόδειξη Χωρίς αόδειξη ΘΕΩΡΙΑ συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ Αόδειξη Αν στον τύο () αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : συν[α ( β)] = συν(α β) συν[α ( β)] = συνασυν( β) ημαημ( β) = συνασυνβ ημαημβ ΘΕΩΡΙΑ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ Αόδειξη Εειδή συν( / x) = ημx και ημ( / x) = συνx έχουμε : ημ(α β) = συν[ / (α β)] = συν[( / α) β] = = συν(/ α)συνβ ημ(/ α)ημβ= ημασυνβ συναημβ ΘΕΩΡΙΑ ημ(α β) = ημασυνβ συναημβ Αόδειξη Αν στον τύο () αντικαταστήσουμε το β με το β έχουμε : ημ[α ( β)] = ημ(α β) ημ[α ( β)] = ημασυν( β) συναημ( β) = ημασυνβ συναημβ

7 Τριγωνομετρία 9 ΘΕΩΡΙΑ 5 Αόδειξη εφα εφβ εφ(α β) =, συν(α β) και συνα και εφαεφβ συνβ. ημ(α β) ημασυνβ συναημβ εφ(α β) = = συν(α β) συνασυνβ ημαημβ = (Διαιρούμε με συνασυνβ ) ημασυνβ συναημβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ = = συνασυνβ ημαημβ εφαεφβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ ΘΕΩΡΙΑ 6 εφ(α β) = εφαεφβ Αόδειξη Aν στον τύο (5) αντικαταστήσουμε το β με β έχουμε : εφ(α β) = εφ[α ( β)] εφα εφ( β) εφα εφβ εφ[α ( β)] = = εφαεφ( β) εφαεφβ [Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α] ΘΕΩΡΙΑ 7 ημα = ημασυνα Αόδειξη ημα = ημ(α α) = ημασυνα συναημα = ημασυνα ΘΕΩΡΙΑ 8 συνα = συν α ημ α = συν α = ημ α Αόδειξη συνα = συν(α α) = συνασυνα ημαημα= συνα ημ α συν α ημ α = συν α ( συν α) = συν α συν α = συν α

8 Τριγωνομετρία συν α ημ α= ημ α ημ α= ημ α εφα ΘΕΩΡΙΑ 9 εφα = εφ α Αόδειξη εφα εφα εφα εφα = εφ(α α) = = εφαεφα εφ α συνα ΘΕΩΡΙΑ συν α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: συνα συνα = συν α συνα = συν α συν α = συνα ΘΕΩΡΙΑ ημ α = Αόδειξη Αό τον τύο () έχουμε: συνα συνα = ημ α ημ α = συνα ημ α = ΘΕΩΡΙΑ συνα εφ α = συνα Αόδειξη εφ α συνα ημ α συνα συν α συνα συνα = = =

9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Oι συναρτήσεις ηµx, συνx, εφx, σφx Ερωτήσεις κατανόησης. Πότε µια συνάρτηση λέγεται εριοδική;. Ποια είναι η ερίοδος για τη συνάρτηση ηµίτονο, συνηµίτονο, εφατόµενη, συνεφατοµένη;. Τι σχέση υάρχει ανάµεσα στις γραφικές αραστάσεις του ηµίτονου και του συνηµίτονου;. Ποιο είναι το εδίο ορισµού της f (x) = εφx ; 5. Ποιο είναι το εδίο ορισµού της f (x) = σφx ; 6. Ποιο είναι το εδίο τιµών της f (x) = συνx ; 7. Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει µέγιστο. Σωστό Λάθος 8. Η συνάρτηση f (x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ]. Σωστό Λάθος 9. Η συνάρτηση f (x) = συνx είναι άρτια. Σωστό Λάθος. Η συνάρτηση f (x) = σφx είναι άρτια. Σωστό Λάθος. Η συνάρτηση f (x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο,. Σωστό Λάθος. Το σύνολο τιµών της συνάρτησης Σωστό Λάθος ηµx f (x) = είναι [-, ]. ηµx. Οι συναρτήσεις f (x) = ηµx και g(x) = εφx έχουν την ίδια ερίοδο. Σωστό Λάθος. Η µέγιστη τιµή της αράστασης ηµ ( ω ) είναι: - 5. Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει ερίοδο: 6

10 6. Η µέγιστη τιµή της αράστασης ηµω είναι: 7. Η ελάχιστη τιµή της αράστασης συνx είναι: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 8. Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f (x) = ηµ(x ) τέµνει τον άξονα χ χ στο: 9. Η συνάρτηση f (x) = ηµ x είναι: άρτια εριττή γν. αύξουσα γν. φθίνουσα. Η συνάρτηση f (x) = εφx είναι: εριττή εριοδική γν. αύξουσα όλα τα ροηγούµενα. Αν η συνάρτηση f (x) = συνωx έχει ερίοδο, τότε το ω είναι ίσο µε: Α: Β: Γ: : 6 Ε:. Στην ρώτη στήλη δίνονται συναρτήσεις και στη δεύτερη στήλη οι αντίστοιχες ερίοδοι τους. Να συνδέσετε καθεµία συνάρτηση µε την αντίστοιχη ερίοδο. συνάρτηση Περίοδος x ηµ x συν ηµ x x εφ x ηµ ηµ (x ) 8. Να συµληρώσετε τα κενά στις αρακάτω ροτάσεις. α) Όταν < x < y <, τότε το συνχ είναι... αό το συνy. β) Όταν < x < y <, τότε το συνχ είναι...αό το συνy. γ) Όταν < y < x <, τότε το ηµχ είναι... αό το ηµy.

11 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Στην ρώτη στήλη δίνονται µερικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις και στη δεύτερη στήλη το σύνολο τιµών τους. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση µε το σύνολο τιµών της. συνάρτηση σύνολο τιµών εφχ [-, ] ηµ x R -συνχ [-7,] ηµχ- [, ] εφχ R/ {} 5. Να συµληρώσετε τα κενά στις αρακάτω ροτάσεις. α) Η συνάρτηση f (x) = εφx έχει εδίο ορισµού το σύνολο... β) Η συνάρτηση f (x) = σφx έχει εδίο ορισµού το σύνολο... γ) Η συνάρτηση f (x) = έχει εδίο ορισµού το σύνολο... συνx δ) Η συνάρτηση f (x) = ηµ x έχει εδίο ορισµού το σύνολο Η τιµή της αράστασης συνx δεν ορίζεται όταν το χ είναι ίσο µε: Α: Β: Γ: : 9 Ε: 7 Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση. 7. Η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = συνx είναι: Α: Β: Γ: : Ε: Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση. 8. Να σηµειώσετε οιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές και οιες λανθασµένες. Η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = ηµ x είναι. Αν το χ είναι σε µοίρες, η ερίοδος της συνάρτησης f (x) = συνx είναι 9. 5 Τα σηµεία, και, ανήκουν στη γραφική αράσταση της συνάρτησης f (x) = συν(x ). Το λάτος της γραφικής αράστασης της συνάρτηση f (x) = ηµ x είναι -. Η συνάρτηση f (x) = ηµ x, x R, έχει µέγιστο το και ελάχιστο το -. Η συνάρτηση f (x) = εφx, x,, δεν έχει ακρότατα. 9. Να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση σε καθεµία αό τις αρακάτω ερωτήσεις. α) Η τιµή του χ για την οοία δεν ορίζεται η συνάρτηση f (x) = είναι η: συνx Α: Β: Γ: 5 : 9 Ε: 7 β) Η συνάρτηση f (x) = ηµ x έχει σε µοίρες ερίοδο: Α: 8 Β: 6 Γ: 9 : γ) Η ερίοδο της συνάρτησης f (x) = συνx είναι ίση µε: 7 Ε:

12 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α: Β: Γ: : Ε: δ) Στο εδίο ορισµού της συνάρτησης εφχ δεν ανήκει η τιµή του χ η οοία είναι ίση µε: Α: Β: Γ: : Ε:. Σε καθεµία αό τις ακόλουθες ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή αάντηση Η ηµιτονοειδής καµύλη µε λάτος και ερίοδο Τ= έχει εξίσωση την: Α: y = ηµ x Β: y = ηµ x Γ: y = ηµx : y = ηµ x x Ε: y = ηµ. Όταν είναι < x <, τότε η τιµή του ηµχ: Α: αυξάνεται αό το - στο Β: αυξάνεται αό το στο Γ: ελαττώνεται αό το στο - : ελαττώνεται αό το στο Ε: δεν συµβαίνει κανένα αό τα ροηγούµενα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. είξτε ότι η συνάρτηση εφ x (x) = είναι σταθερή. εφ x συν x ηµ x f. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f (x) = ηµ x, g(x) = ηµ x, h(x) = ηµ x. Όµοια των συναρτήσεων: f (x) = ηµ x, g(x) = ηµ x, h(x) = ηµ ( 5x) x. Έστω η συνάρτηση f (x) = ηµ. Ποια είναι η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της; Ποια 5 η ερίοδος της; Ποια η γραφική της αράσταση; 5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: f (x) = εφx, g(x) = εφx, h(x) = εφx < x < 6. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων: x f (x) = σφx, σφ, σφx 7. Έστω η συνάρτηση f (x) = ηµ x ηµ x, x. α) Για τις διάφορες τιµές του χ να αλοοιήσετε τον τύο της. β) Να κάνετε τη γραφική της αράσταση της f όταν x [,]. 8. Έστω η συνάρτηση f (x) = συνx συνx, x. α) Για τις διάφορες τιµές του χ να αλοοιήσετε τον τύο της. β) Να κάνετε τη γραφική της αράσταση.

13 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Ερωτήσεις κατανόησης. Ισχύει η ισοδυναµία συν x συνx =. Σωστό Λάθος. Η γενική λύση της εξίσωσης συν x = συνθ είναι: x = κ θ x = κ x = κ x = κ. Η γενική λύση της εξίσωσης ηµ x = συνx είναι: x = κ x = κ x = κ x = κ α 5. Σε κάθε εξίσωση αντιστοιχείστε τις λύσεις της x = κ 5 ηµ x = ηµ x = κ 5 5 συν x = συν x = κ 5 5 εφ x = εφ x = κ 5 5 x = κ 5 x = κ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: x i) ηµ x = ηµ x ii) συν ( x) = συν iii) συν x = iv) συν x =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) σφ x = εφx ii) ηµ (x ) = συν(x ) x x iii) συν = ηµ x iv) συν ηµ(x ) =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφ x ( )εφx = ii) ηµ x συνx = συν x iii) συν x = iv) ( ηµx ) ( ηµx)( ηµx ) = ηµ x

14 6 v) ( ηµx ) = ( ηµx)(ηµx ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να λυθούν οι εξισώσεις: συνx 7 συνx 5 συνx συνx i) = ηµx ii) ηµx = ηµx ηµx. Έστω η συνάρτηση f(x) = α εφx α. Αν η C f τέµνει τον άξονα y y στο να βρείτε το α. x β. Για α= να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f(x ) = x. Έστω η συνάρτηση f(x) = συν. α. Να βρείτε την ερίοδο της f. β. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της f και την τιµή του x ου την αρουσιάζει, όταν x [,]. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f(x ) =. 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ηµ x συν x = ii) σφ x εφ x = 6 x συν συνx 5 iii) = x συνx συν 5 6. Να λυθούν στα αντίστοιχα διαστήµατα οι εξισώσεις: x i) συν =,[,] ii) ηµ x συνx =, (, )

15 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7 ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ ÁÈÑÏÉÓÌÁÔÏÓ - ÄÉÁÖÏÑÁÓ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Υολογισµός - αλοοίηση αραστάσεων µε εφαρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών αριθµών αθροίσµατος - διαφοράς. Να υολογιστούν οι αραστάσεις: α) ηµ συν ηµ συν = 6 6 β) ηµ ( x) συν( x) ηµ ( x) συν( x) = εφx εφx γ) = δ) συν συν ηµ ηµ = εφx εφx 6 6 Υολογισµός τριγ-κων αριθµών γωνιών οι οοίοι µορούν να γραφούν σαν άθροισµα γωνιών αό γνωστούς τρι-κους αριθµούς. Να βρεθούν οι τριγ-κοι αριθµοί ηµ 5 = ηµ (6 5) = συν 5 = ηµ75 = εφ5 = εφ65 = Αόδειξη διάφορων τριγ-κων ταυτοτήτων χρησιµοοιώντας τους τύους αθροίσµατος - διαφοράς. Να δείξετε ότι: α) συν ( x ) συν(x ) = συνx β) ( ηµα συνα) ( ηµβ συνβ) = ηµ ( α β) συν( α β) ηµ ( α β) γ) εφα εφβ = συνα συνβ ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) δ) = συνα συνβ συνβ συνγ συνγ συνα ε) συνα( 6 α) συν(6 α) συν(5 α) = συνα Αόδειξη σχέσεων όταν δίνονται συνθήκες για τις γωνίες Α.Εάν α β = δείξτε ότι ( εφα) ( εφβ) = Β. Σε κάθε Τρ. ΑΒΓ δείξτε ότι: α) εφ Α εφβ εφγ = εφα εφβ εφγ β) σφ Α σφβ σφβ συνγ σφγ σφα = συνα συνβ συνγ γ) = ηµβ ηµγ ηµβ ηµγ ηµα ηµβ

16 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Υολογισµός γωνιών όταν δίνονται κάοιες σχέσεις. Εάν σε Τρ. ΑΒΓ ισχύει: ηµα ηµ ( Β Γ) συν( Β Γ) = εφβ δείξτε ότι: Α = Είλυση ροβληµάτων. Στην λευρά ορθογωνίου τρίγωνου ΑΒΓ ( Α = 9 ) αίρνουµε σηµείο ώστε ΑΓ = Α δείξτε ότι: εφβ α) εφω = όου ω = ΒΓ β) Εάν Β = 6 τότε Β διχοτόµος της Β. εφ Β Είλυση εξισώσεων µε την βοήθεια των τύων αθροίσµατος - διαφοράς. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) εφ x εφ( x) = β) ηµ ( x α) = ηµ (x α) εάν εφα = - γ) εφ (x ) = εφ(x ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β. Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δυο στηλών. Στήλη Στήλη Β συν x ηµ xηµ x συνxηµ x συν xσυνx ηµ xηµ x ηµ 5x ηµ xηµ x συνxσυνx συν xσυνx ηµ xηµ x συν 7x συν xσυνx ηµ xηµ x ηµ xσυνx ηµ xσυνx ηµ x συν xηµ x ηµ xσυνx. Αντιστοιχίστε τους σωστούς τύους: ηµ ( α β) συνα συνβ ηµα ηµβ συν ( α β) συνα συνβ ηµα ηµβ ηµ ( α β) ηµα συνβ ηµβ συνα συν ( α β) ηµα συνβ ηµβ συνα ηµ ( β α) ηµβ συνα ηµα συνβ. Ισχύει συν 7 ηµ 5 συν5 ηµ 7 Σωστό Λάθος =

17 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 εφx εφy. Αν x = και y = τότε εφ(x y) = 6 εφxεφy Σωστό Λάθος 5. Αν ω = και θ = τότε σφ(ω θ) = 5 Σωστό Λάθος σφωσφθ σφω σφθ 6. Η αράσταση συνxηµx συνxηµx είναι ίση µε: συνχ ηµ5χ ηµχ -ηµχ 7. Η αράσταση συν( x)συν( x) ηµ( x)ηµ(x ) είναι ίση µε: συν 6 κανένα αό τα ροηγούµενα 8. Η αράσταση 5 εφ εφ 5 εφ εφ είναι ίση µε: εφ δεν ορίζεται 9. Η αράσταση: y = ηµ ( x) συν( x) ηµ ( x) ηµ (x ) είναι ίση µε: Α. συν Β: συν Γ. ηµ. ηµ 6 Ε. ηµ 6. Το συν 5 είναι ίσο µε: 6 Α. Β. Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα Γ Η εφ 5 είναι ίση µε: Α. Β. Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα Γ. ( ).. Αν εφα = τότε εφ (5 α) είναι ίση µε: Α, - Β. - Γ.. Η αράσταση Α. συν 97 Β.. Ε. συν 86 συν ηµ 86 ηµ είναι ίση µε: συν Γ. ηµ. ηµ 97

18 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΑσυνΒ ηµβσυνα = τότε το τρίγωνο είναι: Α. οξυγώνιο Β. αµβλυγώνιο Γ. ορθογώνιο. οξυγώνιο ισοσκελές Ε. ισόλευρο 5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΑηµΒ συνασυνβ = τότε για τις γωνίες του τρίγωνου είναι: Α. Α = 9 Β. Β = 9 Γ. Γ = 9. Β = Γ Ε. Γ > 9 6. Αν σε τρίγωνου ΑΒΓ ισχύει: ηµ ΒσυνΓ ηµγσυνβ = τότε για τις γωνίες του τρίγωνου είναι: Α. Β > Γ Β. Β < Γ Γ. Β = Γ. Β > 9 Ε. Γ > 9 7. Αν Α = συνφσυνθ ηµφηµθ και 5 < φ < 9, 5 < θ < 9 τότε είναι: Α. Α > Β. Α < Γ. x = y. x = y = Ε. δεν υάρχει σταθερή σχέση ισότητας η ανισότητας µεταξύ χ,y 8. εφ6 εφ ίνεται η αράσταση x = εφ6 εφ τότε: Α. x > Β. x < Γ. x =. η χ δεν ορίζεται Ε. x = 9. εφ6 εφ σφ6 σφ Αν x =, y = τότε ισχύει: εφ6 εφ σφ6 σφ Α. x = y Β. xy = Γ. xy =. x y = Ε. x y =. Αν x = ηµασυνβ ηµβσυνα και y = συνασυνβ ηµαηµβ, τότε: x = y = x y = x > y τα χ,y δεν συνδέονται

19 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν οι τιµές των αραστάσεων: ð ð ð ð ð 9ð ð Á = óõí óõí çì çì Â = óõí óõí çì çì 9ð ð ð ð ð Ã = óõí óõí çì çì Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών: i)óõí 5 ii)çì 75 iii)çì 65 iv) åö 75 v)çì 5 vi)óõí5. Να υολογισθούν τα çì ( á â), óõí( á â), åö ( á â), óö ( á â) αν είναι: ð ð óõí â =, < â < êáé å ö á =, < á < 5. Να αοδειχθεί ότι: ð ð ð i))ç ì x óõí y óõí x çì( ð y óõí ( x y) = ii)óõí ð x óõí ð x ç ì ð x ç ì ð x = 5. Να υολογιστεί η τιµή της αράστασης: συν συν συν57 ηµ 6. Να δειχθεί ότι: συνω ηµω α) εφ (5 ω) = συνω ηµω β) εφ α εφ β εφ( α β) εφ( α β) = εφ αεφ β 7. Να αοδειχθεί ότι: i) óõí ð x = ç ìx óõí x ii) çì ð x = óõíx çìx 8. Να αοδειχθεί ότι: i)óõí( á â) óõí( á â) = óõí á çì â ii)çì ( á â) çì ( á â) = çì â çì â iii)çì ( á â) çì ( á â) = óõí â óõí á 9. Αν x, y (, ), εφx = και εφ y =, να δείξετε ότι: x y =.. Αν ηµ x ηµ y = κ και συνx συνy = λ, τότε: κ λ α) να δείξετε ότι συν(x y) = β) για κ = και λ = να βρείτε το x y.. Να δείξετε ότι συν(5 x) συν(5 y) ηµ (5 ο - x) ηµ(5 y) = ηµ(x y).

20 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Να δείξετε ότι συν(α β) συν(α β) = συν α συν β.. Nα δείξετε ότι: i) ηµ (α β) ηµ(α - β) = ηµασυνβ ii) συν(α β) συν(α - β) = συνασυνβ iii) συν( α β) συν( α β) = ηµα ηµβ iv) ηµ ( x ) συν(x 6) = συνx vi) ηµ ( α β) συν( α β) = ( ηµα συνα)( ηµβ συνβ). είξτε ότι: ηµ ( α β) i) = σφβ σφα ηµα ηµβ ii) συν( α β) συν( α β) ηµ ( α β) ηµ ( α β) = συνα iii) ηµ ( α β) συν( α β) συν( α β) = εφα εφβ 5. Eαν α β γ = είξτε ότι: α β β γ γ α i) εφ εφ εφ εφ εφ εφ = ii) α β β γ α γ iii) εφ εφ εφ εφ εφ εφ = 6. Να αοδείξετε ότι: i) ( ηµα ηµβ) ( συνα συνβ) = [ συν( α β)] ii) ( ηµα ηµβ) ( συνα συνβ) = [ συν( α β)] iii) ηµ ( α β) συνβ ηµβ συν( α β) = ηµα iv) ηµα ηµ ( β γ) ηµβ ηµ ( γ α) ηµγ ηµ ( α β) = 7. Να αοδείξετε ότι: συνχ ηµχ i) εφ( x) = ii) συνχ ηµχ α β γ α β γ σφ σφ σφ = σφ σφ σφ εφ( χ) = συνχ συνχ ηµχ ηµχ εφ α εφ α iii) εφ ( χ) εφ( χ) = iv) = εφα εφα εφ α εφ α ð 8. Αν á â = êáé åö â = να υολογιστεί η åö á 9. Αν x y = 6 και εφ y = να βρεθεί η εφχ. 5. Αν α,β θετικοί µε α β = δείξετε ότι: ( σφα )( σφβ) =. Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω συναρτήσεις είναι σταθερές. i) f(x) = συν χ συνχσυνα συν( α χ) συν ( α χ) ii) f(x) = συν χ συν ( χ) συν ( χ)

21 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) f(x) = ηµ ( χ λ) ηµ λ ηµ ( χ λ) ηµλ συνχ. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) συνχ = ηµ ( χ ) ii) ηµχ = συν( χ ) 6 6 iii) εφ ( χ) εφ( χ) = iv) εφ ( χ) σφχ = v) εφ ( 5 x) εφ(5 x) =

22 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ α ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ - ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Υολογισµός - αλοοίηση αραστάσεων µε εφαρµογή των τύων των τριγωνοµετρικών αριθµών διλασίου τόξου. Να γραφούν σε αλούστερη µορφή οι αραστάσεις : i) συν x ii) συν x Αόδειξη διάφορων τριγ-κων ταυτοτήτων χρησιµοοιώντας τους τύους διλασίου τόξου. Να δείξετε ότι: συνα ηµ α α) = εφα συνα ηµ α συνα γ) εφ( 5 α) = = εφα ηµ α συνα β) εφα εφα εφα = εφα σφα Εύρεση των τριγ-κων αριθµών των γωνιών α η α/ εφόσον δίνεται τριγ-κος αριθµός της γωνίας α. Α. Να υολογιστούν οι τριγ-κοι αριθµοί της α αν: συνα = µε < α < 5 Β. Να υολογιστούν οι τριγ-κοι αριθµοί του α εάν: συνα = και < α <. 5 Γ. Να υολογιστούν οι τριγ-και αριθµοί του 6. Αόδειξη σχέσεων µε την βοήθεια των τύων αοτετραγωνισµου. Α. είξτε ότι: ηµ συν = α β Β. Εάν συνx = συνy = και β γ γ α x y z εφ εφ εφ = γ συνz = είξτε ότι: α β

23 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 5 Είλυση εξισώσεων µε την βοήθεια των τύων του διλασίου τόξου. Να λυθούν οι εξισώσεις. α) συν x ηµ x = x β) συν x = ηµ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ α α. Ισχύει ηµα = ηµ συν Σωστό Λάθος. Ισχύει συνα = συν α Σωστό Λάθος. Το κλάσµα Σωστό συνα είναι αρνητικό για οοιαδήοτε γωνία α Λάθος. Αν συνα =, τότε συν α είναι ίσο µε: Ισχύει: ηµ φ = συνφ Σωστό Λάθος 6. Η τιµή της αράστασης ηµ α συν α είναι: συνα συνα -συνα -συνα 7. Αν ηµ x συνx = α, τότε η τιµή του ηµχ είναι: α α α -α 8. Α Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει ηµ = τότε το τρίγωνο είναι: ορθογώνιο ισοσκελές ισόλευρο δεν υάρχει τέτοιο τρίγωνο 9. Αν σε ένα τρίγωνο Ισχύει συν Α = ηµ Β τότε το τρίγωνο είναι: ορθογώνιο ισοσκελές ισόλευρο δεν υάρχει τέτοιο τρίγωνο

24 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αντιστοιχείστε τους σωστούς τύους: συνα συνα ηµ α συνα συν α συνα εφ α συνα συνα συνα εφ5. Η τιµή του κλάσµατος είναι η: εφ 5 Α. Β. 6 Ε. καµία αό τις ροηγούµενες Γ.. 6. Αν ηµα = και 9 < α < 8 το συνα είναι ίσο µε: 5 Α. Β. Γ Ε. κανένα αό τα ροηγούµενα Αν x = ηµασυνα και y = συν α ηµ α τότε η αράσταση Α. Β. Γ. x y είναι:. Ε. - εφ6 εφ. Αν x =, y = τότε: εφ 6 φ Α. x = y Β. x = y = Γ. x < y. x = y Ε. δεν ορίζονται τα χ,y Α Β 5. Αν για γωνίες Α, Β τρίγωνου ΑΒΓ ισχύει: συν = ηµ τότε είναι: Α. Α > B Β. A < B Γ. A = B. A = B Ε. A = B ο 6. Το συν5 είναι ίσο µε: ο ηµ 5 ο ηµ ο ηµ5 7. Ισχύει ότι: εφ Σωστό,5 = Λάθος συν ηµ 5 ο ο

25 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7 α α 8. Ισχύει ότι: ηµα = ηµ (5 ) συν(5 ) Σωστό Λάθος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γραφούν σε αλούστερη µορφή οι αραστάσεις : ð i)óõí ð x ii)óõí á x ð ð x iii) óõí iv) çì. Να δείξετε ότι : i) ηµ α = ηµα ηµ α ii) συνα = συν α συνα iii) ηµ 5ηµ 75 = iv) συν συν 8 = συν v) ( ηµα συνα) = ηµ α vi) συν α ηµ α = συνα. Να δείξετε ότι : ηµ α i) = εφα συνα συνα iii) = εφ α συνα ηµ α ii) = σφα συνα συνα iv) = σφα ηµ α. Να δείξετε ότι: συνα i) εφ α = ii) ηµ α iii) ο εφ( 5 α) εφ(5 α) = εφα ο εφ α = ηµ α ηµ α 5. Να δείξετε ότι: ηµ α εφα συνα ηµα συνα ηµα i) = ii) συνα εφα συνα ηµα συνα ηµα ηµ α εφα iii) εφα εφα = iv) = συνα συνα εφα = εφα 6. Να αοδειχθεί ότι: i) ( συνα συνβ) ii) ( ηµα ηµβ) iii) ( συνα συνβ) ( ηµα ηµβ) = συν α α α β β ( συνα συνβ) ( ηµα ηµβ) = συν β = ηµ

26 8 7. είξτε ότι: συνα α i) = σφ ηµα ηµ α συνα iii) συνα συνα = εφα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ α συνα συν i) α = σφ α ηµα ηµ ηµ α συνα α iv) = εφ συνα συνα 8. είξτε ότι: i) συν α ηµ α = ηµ α ii) α ηµ = ηµα συνχ ηµ α iii) ηµ χ συν χ = iv) = ηµ α 8 ηµ α 9. Αν συν x 5συνx = και ηµ x > να υολογιστούν το ηµχ και το συνχ.. Να αοδειχθεί ότι ηµ θ συν θ = συνθ. Να δείξετε ότι η αράσταση συν x συν ( x) συν ( x) είναι ανεξάρτητη του χ.. Αν Α,Β,Γ γωνίες τρίγωνου, εφ Α = και εφ Β =, να δείξετε ότι Γ = 5.. Αν < y < και 5ηµ y 5ηµ y =, να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ηµ y και συν y. ηµα ηµα. Να δείξετε ότι = εφα συνα συνα 5. Να δείξετε ότι 6. Να δείξετε ότι σφα συνα = σφα ηµ α ηµ ηµ 6 ηµ 6 5 ηµ 6 7 = 6 7. Αν ηµ x συνx = α, να βρεθεί το ηµ x και να δειχθεί ότι α 8. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) ηµ χ ηµ χ = συν χ ii) συν χ = συν χ iii) ηµ χ ηµχ = συνχ iv) ηµ χ συνχ = 9. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) συν χ ηµ χ = ii) συν χ ηµ χ =

27 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 iii) συν χ ηµ χ = 6 6 iv) ηµχ συνχ = v) συν χ συνχ =. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: χ χ i) συν χ ηµ = ii) ηµ = ηµ χ χ iii) συνχ συν = iv) συν χ ηµ χ = εφχ. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: i) εφ χ = εφχ ii) εφχ εφ χ = iii) συν χ = εφχ iv) συν χ ηµ χ = εφχ

28 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ * * * * *. Έστω ( ηµα συνβ) = και ( συνα ηµβ) =. α. Να δείξετε ότι: ηµ ( α β) = β. Αν α, β, τότε να δείξετε ότι: i. α β = 6 ιι. εφα εφβ εφα εφβ =.. a. Να δείξετε ότι: ηµ ( α β) ηµ ( α β) = συνα ηµβ. β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ ( x ) ηµ (x ) = στο, ο ο ο. γ. Να δείξετε ότι: ηµ 6 ηµ 59 = ηµ. α. Να δείξετε ότι: ( ηµ x συνx) ( ηµ x συνx) = συνx ηµ 5x β. Να λύσετε την εξίσωση: ( ηµ x συνx) ( ηµ x συνx) = συνx. Έστω η συνάρτηση: f(x) = ηµαx µε ερίοδο το. α. Να βρείτε το α. β. Να βρείτε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή της f. x γ. Να λύσετε την εξίσωση: f f x = Έστω η συνάρτηση: f (x) = α συνβx, α >, β > µε ερίοδο το και ελάχιστη τιµή το. α. Να βρείτε τα α και β. β. Να δείξετε ότι η γραφική αράσταση της f έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα των y. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f x =. 6. Έστω η συνάρτηση f (x) = α βηµαx, β >, α > ου έχει ερίοδο και µέγιστη τιµή το 6. α. Να βρείτε τα α και β. β. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f. x γ. Να λύσετε την εξίσωση; f f x =.

29 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 7. Έστω η συνάρτηση : f(x) = ηµ x ηµ 9x συν 9x συνx α. Να δείξετε ότι: f (x) = συν x β. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) f x =. 8. Έστω οι συναρτήσεις: f (x) = συν x συν x ηµ x συν x x x x x g (x) = ηµ ηµ συν ηµ 6 α. Να δείξετε: f (x) = ηµ x και g(x) = ηµ x 6 β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g,. στο [ ] x 9. a. Να δείξετε ότι: συν x συνx ηµ = συν x συνx. x β. Να λύσετε την εξίσωση; συν x συνx ηµ =.. α.να δείξετε την ταυτότητα: ηµ α ηµ α ηµα = ηµ α ( συνα ). β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ x ηµ x = ηµ x.. Έστω ότι ισχύει: 9ηµ α ηµ α = α. Να δείξετε ότι: συν α = β. Αν < α < να υολογίσετε τις εφα και εφα.. Αν οι γωνίες Α και Β ενός τριγώνου είναι οξείες και α. να δείξετε ότι: εφ Α = και εφ Β =. β. να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου. εφ Α =, συνβ = 5.. Αν < α < και α. να βρείτε την εφα εφ α = β. να λύσετε την εξίσωση: ( x α) =, x [,] εφ.. Έστω η εξίσωση : ηµ x συνx =,x (,) α. Να βρείτε τις x x (x < x ) της εξίσωσης.

30 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ β. Αν εφα = x και εφβ = x τότε να βρείτε την: i. εφ(αβ). ii. την εφα. 5. Αν ισχύει: συν α ηµ α =, ηµ τότε: α. να δείξετε ότι σφα = β. να υολογίσετε τα συν α και ηµ α γ. να λύσετε την εξίσωση: εφ ( x α) = 6. Αν εφα = τότε: α. να δείξετε ότι: συν α ηµ α = β. να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: i. συνα,ηµα α ii. εφ αν α (, ) 7. Έστω α (, ) και εφ α = εφα. α. Να δείξετε ότι α = 6 α β. Αν εφ β = να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: i. εφβ ii.εφβ iii. συνβ x x x x 8. Έστω η συνάρτηση : f (x) = συν ηµ συν ηµ x α. Να δείξετε ότι: f(x) = συν β. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της f µε τη ευθεία όταν x [,5]. y = 9. Έστω η συνάρτηση; f(x) = συν x ηµ x. α. Να δείξετε ότι: f(x) = ηµ x. f(x) f x β. Να δείξετε ότι: = εφx. f(x) f x γ. Αν x (, ) να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της f µε την ευθεία y =.

31 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. α. Να δείξετε την ταυτότητα: συνα ηµα = συν α. β. Να λύσετε την εξίσωση: συν x ηµx = συν x () στο διάστηµα,. γ. Αν η εφα ισούται µε τη ρίζα της εξίσωσης () και εφβ.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α 6 β. Έστω η συνάρτηση: f(x) = ηµ x συνx ηµ x. α β = να υολογίσετε την i. Να δείξετε ότι: f (x) = ηµ x =. 6 ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της f µε την ευθεία ε : y = όταν x (, ).. α.να δείξετε την ταυτότητα: συνα ηµα = συν α. β. Να δείξετε ότι: συν x ηµ x συνx ηµ x = συν x. γ. Να λύσετε την εξίσωση; συν x ηµ x συνx = ηµ x.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α. β. Να λύσετε την εξίσωση: ηµ x = εφx, στο διάστηµα,.. α. Να δείξετε την ταυτότητα: ηµα συνα = ηµ α. β. Έστω η συνάρτηση: f (x) = ηµ x ηµ x. i. Να δείξετε ότι: f (x) = ηµ x. ii. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f και την τιµή του xρουιάζει, αν x,. ( ) 5. Έστω η συνάρτηση: f(x) = συν x συν x ηµ x ηµ x α. Να δείξετε ότι; f(x) = ηµ x. β. Να δείξετε ότι: f(x ) f(x) = συνx.

32 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γ. Να λύσετε τη εξίσωση: f x f(x) = σφx.

33 Τριγωνομετρία 5 α. Αν α, β, α β κ, με κ Ζ Θέμα ο, δείξτε ότι: εφ( α β) εφα εφβ = εφαεφβ (Μονάδες 5) β.i. Αν το 6 είναι ρίζα της εξίσωσης αημ x συν x =, βρείτε το α. (Μονάδες 5) βγ ii. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Δείξτε ότι: ημβ = α (Μονάδες 5) iii. Δείξτε ότι: iv. Δείξτε ότι: συν α ημ α = ημα α α ημα = ημ συν (Μονάδες 5) (Μονάδες 5)

34 Θέμα ο Αοδείξτε τις ισότητες: α. β. ημ9 συν6 ημ7 συν6 = (Μονάδες 5) εφ 5α εφ α εφ 5αεφ α = εφ8α εφα (Μονάδες ) γ. ημ συν συν = (Μονάδες ) 8 8 Λύστε τις εξισώσεις: α. Θέμα ο εφ x εφ x = (Μονάδες )

35 β. συνx ημ = (Μονάδες 5) x Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = ημ x συν x με x R. α. Δείξτε ότι ( ) συνx f x =, με x R. (Μονάδες 5) β. Να κάνετε την γραφική αράσταση της f. (Μονάδες ) γ. Λύστε την εξίσωση 8f ( x) = 7 στο διάστημα,. (Μονάδες )

36

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4

Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4 Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 6 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τριγωνομετρικές εξισώσεις 1. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει T τέτοιος ώστε για κάθε x A να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Ποια συνάρτηση ονομάζουμε εριοδική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x

α) Αν ονομάσουμε x το πλάτος του Νείλου στην συγκεκριμένη θέση ΑΒ έχουμε: Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εφ45 o = 1 = ΒΓ = x ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αιγύτιοι μηχανικοί, για να ροσδιορίσουν το λάτος του οταμού Νείλου μεταξύ δύο σημείων A και B, ροσδιόρισαν με το θεοδόλιχο μια διεύθυνση κάθετη ρος την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια )

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. εφχ = εφθ χ = κ + θ χ = κ π + θ ( τύποι λύσεων σε ακτίνια ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις

Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Σχολικό βιβλίο: Ααντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ Έχουμε: y i 6 + y + y y Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 3 ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. τριγωνομετρικοι αριθμοι γωνιασ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν άνω στη μία αό τις δύο λευρές της γωνίας άρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου

Έργο του καλλιτέχνη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Έργο του καλλιτένη Άγγελου Γεωργίου ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ γράφτηκε σαν ένα ξεωριστό εγειρίδιο γιατί αφ ενός η τριγωνοµετρία

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ

Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία. Μάκος Σπύρος. Πανούσης Γιώργος. Παπαθανάση Κέλλυ. Ραμαντάνης Βαγγέλης. Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σύρος Πανούσης Γιώργος Πααθανάση Κέλλυ Ραμαντάνης Βαγγέλης Σαμάνης Νίκος Τόλης Ευάγγελος -1-01 18808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Περιοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού το Α ονομάζεται εριοδική, όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος ώστε: για κάθε A να ισχύει T A και T A, ισχύει f

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 2o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (26/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (6/11/014) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών των φακέλων του

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις . Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ = ημ = i = iv) =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) εφ = εφ = i σφ = iv) σφ =. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ημ = = i εφ = iv) σφ = 4. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Στασίνου 6, Γραφ., Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-78 Φαξ: 57-79 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Παρασκευή, 9/5/7 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΜΕΡΟΣ Α ln( x). Να υολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία. Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης

Άλγεβρα Β Λσκείοσ. Τριγωμομετρία.  Στέλιος Μιταήλογλοσ. Εσάγγελος Τόλης Άλγεβρα Β Λσκείοσ Τριγωμομετρία Στέλιος Μιταήλογλοσ Εσάγγελος Τόλης www.askisopolis.gr 1. ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ 1.1. ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙ Οι αρακάτω έννοιες ου θα αναφέρουµε συµεριλαµβάνονται στη διδακτέα

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx 1.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αηµx + βσυνx Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Oµάδας 1.i) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη τιµή και την ελάχιστη τιµή της αρακάτω συνάρτησης και στη συνέχεια να την αραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία Παραδείγματα Ασκήσεις... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...7 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ... 9 Θεωρία... 9 Ερωτήσεις... 9 Μεθοδολογία... 16 Παραδείγματα... 6 Ασκήσεις... 33 ΕΝΟΤΗΤΑ : ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ... 39 Θεωρία... 39 Ερωτήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πώς ; ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας.

Πώς ; ΣΤ)Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. π 4 rad 60 ο ή. π 6 rad 45 ο ή εν ορ-ζεται. ΙΙ. Τύποι της Τριγωνοµετρίας. ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.

ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Tριγωνομετρικές εξισώσεις

Tριγωνομετρικές εξισώσεις Tριγωνομετρικές εξισώσεις Εχουμε μάθει να λύνουμε εξισώσεις ρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού ου είναι ισότητες ου εριέχουν έναν άγνωστο και ροσαθούμε να βρούμε για οιά (ή οιές) τιμές αυτού του αγνώστου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία)

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 1ο µονάδες 1 Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών στήλη Α συν (y

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορίζω: Ορίζω: ηµω= y ρ. x x 1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΑ [1].Τυολόγιο τριγνοµετρίας (Εαναλήψεις) α. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε ορθογώνιο τρίγνο αέναντι Γ Α β υοτείνουσα α γ ροσκείµενη ρίζ: β. Τριγνοµετρικοί αριθµοί σε σύστηµα συντεταγµένν ηµβ=

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017

Πανελλαδικές Εξετάσεις 2017 Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού 9/6/7 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α. Έστω, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

1.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1 η Μορφ Ασκσεων: Μας ζητούν να λύσουμε μια εξίσωση της μορφς: = α, α 0 = α, α 0 εφx = α, α 0 σφx = α, α 0 1. Να λυθούν οι εξ ισώσεις: i. ημ x =, ii. ημ x= 0, iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ .3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες : ηµ ω + συν ω εφω συνω ΣΧΟΛΙΑ. Χρησιµότητα των τύπων : Ξέρω έναν τριγωνοµετρικό αριθµό και βρίσκω τους

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 6ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ. ,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα από τα σύνολα (α, x. lim. lim g(x) , λ σταθερά lim g(x) (ισχύει και για περισσότερες από 2 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ Έστω μια συνάρτηση f η οοία ορίζεται όσο κοντά θέλουμε στο,δηλαδή ορίζεται τουλάχιστον σ ένα αό τα σύνολα (α, ) (,β) ή (α, ) ή (,β). Όταν οι τιμές της f()ροσεγγίζουν όσο θέλουμε τον ραγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ Λύσεις των βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων ηµx = ηµθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ Z συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ Z εφx = εφθ x = κ + θ, κ Z σφx = σφθ x =

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του

Διαβάστε περισσότερα