Κεντρικό Οριακό Θεϊρθμα Central Limit Theorem

Transcript

1 Κεντρικό Οριακό Θεϊρθμα Central Limit Theorem Αν από ζναν πλθκυςμό που ακολουκεί οποιαδιποτε κατανομι με μζςθ τιμι μ και διαςπορά ς, επιλζξουμε όλα τα δυνατά τυχαία δείγματα μεγζκουσ n και υπολογίςουμε τουσ μζςουσ τουσ, τότε για μεγάλα Ν (θεωρητικά n ), θ κατανομι αυτϊν των δειγματικϊν μζςων είναι κατά προςζγγιςθ κανονικι κατανομι με μζςθ τιμι επίςθσ μ και διαςπορά σ Όζο πιο μεγάλο είναι ηο μέγεθος Ν ηων δειγμάηων, ηόζο καλύηερη (ακριβέζηερη) είναι η προζέγγιζη ηης καηανομής ηων δειγμαηικών μέζων από ηην κανονική καηανομή Ν

2 Δειγματολθπτικζσ κατανομζσ Καηαλνκέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηνλ έιεγρν ππνζέζεσλ ζηα δείγκαηα Κανονικι κατανομι (z-κατανομι) t-κατανομι Χ κατανομι F-κατανομι Ζθτάμε να προςδιορίςουμε τισ παραμζτρουσ τθσ κατανομισ ενόσ πλθκυςμοφ (π.χ. μ και ς) από τισ αντίςτοιχεσ παραμζτρουσ δειγμάτων που παίρνουμε από τον πλθκυςμό (X και S)

3 Κανονικι κατανομι (Gauian ditribution) κ=κέζε ηηκή ζ=ηππηθή απόθιηζε y Ν(κ,ζ) x κ-ζ κ-ζ κ κ+ζ κ+ζ 68.7% 95.45%

4 Συποποιθμζνθ κανονικι κατανομι (Standardied Gauian ditribution) If XZ=(X-κ)/ζ ηόηε y Y e Ν(0,) z κ=0 ζ= z -ζ -ζ 0 ζ ζ 68.7% 95.45%

5 Σιμι του z με ζνα δεκαδικό ψθφίο z Standardied Gauian ditribution: table Δεφτερο δεκαδικό ψθφίο του z Ποια είναι θ πικανότθτα το z να πάρει τιμζσ από 0 μζχρι z a : 0<p<z a z Πικανότθτα p(0<z<z)

6 Standardied Gauian ditribution Τπολογιςμόσ άλλων πικανοτιτων γνωρίηοντασ από τον πίνακα τθν πικανότθτα 0<p<z a P(-Za<z<0)=P(0<z<Za) P(z<-Za)=0.5- P(0<z<Za) -Za y 0 Za P(0<z<Za) από ηνλ πίλαθα P(z>Za)=0.5-P(0<z<Zaa) z P(z<Za)=0.5+P(0<z<Z) P(z>-Za)=0.5+P(0<z<Z)

7 Standardied Gauian ditribution Παράδειγμα: Μια παράμετροσ ακολουκεί τθν κανονικι κατανομι με μ=0 min και ς=.3 min. Ποια είναι θ πικανότθτα μια τιμι να βρίςκεται μεταξφ 8 και 3? P(8<x<3) =? x=8z = (8-0)/.3 = x=3z = (3-0)/.3 =.3 P(8<x<3) = P(-0.87<z<.3) = P(-0.87<z<0) + P(0<z<.3) = P(0<z<0.87) +P(0<z<.3) = = 0.7

8 Πίλαθαο z-θαηαλνκήο

9 t-κατανομι t X x όπνπ x Όηαλ ην δείγκα είλαη κηθξό Ν<30 ή όηαλ δελ γλσξίδνπκε ην ζ ηνπ πιεζπζκνύ 0 λ ΒΔ λ ΒΔ Σν t a (λ) δειώλεη ηελ θξίζηκε ηηκή δεμηά ηεο νπνίαο είλαη ην a.00% ηνπ εκβαδνύ θάησ από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε t-θαηαλνκήθαλνληθή θαηαλνκή γηα >0 a/ a/ -ta ta

10 ΒΑΘΜΟΙ ΔΛΔΤΘΔΡΙΑ (freedom degree) Βαζκνί ειεπζεξίαο (λ): ν αξηζκόο ησλ αλεμάξηεησλ κεηξήζεσλ ηνπ δείγκαηνο (i.e. Μέγεζνο δείγκαηνο) κείνλ ηνλ αξηζκό k ησλ παξακέηξσλ ηνπ πιεζπζκνύ πνπ πξέπεη λα ππνινγηζηνύλ από ηηο κεηξήζεηο ηνπ δείγκαηνο (π.ρ. κέζε ηηκή, απόθιηζε) λ=-k

11 Ο πίνακασ παρζχει τισ κρίςιμεσ τιμζσ ta τθσ t-κατανομισ για διάφορεσ τιμζσ ςτάκμθσ ςθμαντικότθτασ (a) ΒΕ a δίπλεσρος μονόπλεσρος

12 X -κατανομι x ( ) λ ΒΔ λ ΒΔ Σν x a (λ) δειώλεη ηελ θξίζηκε ηηκή δεμηά ηεο νπνίαο είλαη ην a.00% ηνπ εκβαδνύ 0 (-a)x00% ax00% x a

13 Ο πίλαθαο παξέρεη ηηο θξίζηκεο ηηκέο ηεο X θαηαλνκήο γηα δηάθνξεο ηηκέο ζηάζκεο ζεκαληηθόηεηαο (a) ΒΕ a

14 ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ (ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ) ηαηηζηηθή δηαδηθαζία πνπ ρξεζηκνπνηεί ηα δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο γηα λα εθηηκήζεη ηελ αμηνπηζηία κηαο ππόζεζεο πνπ έγηλε γηα ηνλ πιεζπζκό H 0 : μθδενικι υπόκεςθ (null hypothei) (hypothei under examination) H : εναλλακτικι υπόκεςθ (alternative hypothei) (αντίκετο ενδεχόμενο τθσ Η 0 ) Ορίηονται πριν τον ζλεγχο ςτθ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ a που είναι θ μζγιςτθ πικανότθτα ςφάλματοσ τφπου Ι

15 φάλματα κατά τον ζλεγχο υποκζςεων θάικα ηύπνπ Ι: απνξξίπηνπκε ηελ Η 0 ελώ είλαη αιεζήο θάικα ηύπνπ ΙΙ: δερόκαζηε ηελ Η 0 ελώ είλαη ςεπδήο Πιθανόηηηα να έτοσμε ζθάλμα ηύποσ Ι= α Πηζαλόηεηα λα έρνπκε ζθάικα ηύπνπ ΙΙ=β Πραγματικι κατάςταςθ τθσ Η 0 Αληθήσ Η 0 Ψευδήσ Η 0 τατιςτικι απόφαςθ Απόρριψη Η 0 Αποδοχή Η 0 φάλμα τφπου Ι με πικανότθτα α ωςτι απόφαςθ με πικανότθτα -α ωςτι απόφαςθ με πικανότθτα -β φάλμα τφπου ΙΙ με πικανότθτα β Παξάδεηγκα: Όηαλ α=0.05 ή 5% θαη απνδερόκαζηε ηελ Η0 ηόηε είκαζηε 95% ζίγνπξνη όηη έρνπκε πάξεη ηε ζσζηή απόθαζε ή Η Η0 γίλεηαη απνδεθηή ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05, κε πηζαλόηεηα λα έρνπκε θάλεη ιάζνο 5%

16 ΟΡΟΙ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ηάζκε ζεκαληηθόηεηαο - Significance level (α): αλ ε Η 0 γίλεη απνδεθηή, ηόηε ε πηζαλόηεηα λα θάλνπκε ιάζνο είλαη α% (δειαδή εθθξάδεη ηελ πηζαλόηεηα κηα εθηηκώκελε παξάκεηξνο λα κελ αλήθεη ζην δηάζηεκα [- z α, z α ] ) Δπίπεδν ζεκαληηθόηεηαο - Confidence level (-α)% : αλ ε Η 0 γίλεη απνδεθηή ηόηε ε πηζαλόηεηα λα είλαη ζσζηή ε απόθαζε είλαη -a, (δειαδή εθθξάδεη ηελ πηζαλόηεηα ε εθηηκώκελε παξάκεηξνο λα αλήθεη ζην δηάζηεκα [-z α, z α ] ) Απνξξίπηνπκε ηελ Η0 -α α/ α/ -z κ z Confidence interval Απνξξίπηνπκε ηελ Η0 π.ρ. α=0.05 (-α)=0.95=95%

17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ Γίπιεπξνο έιεγρνο (Two ided tet): όηαλ εμεηάδνπκε ηζόηεηα (αλ κηα παξάκεηξνο είλαη ίζε κε έλαλ αξηζκό) πεξηνρή απόξξηςεο θαη ζηα δύν άθξα ηεο θαηαλνκήο a/ -a a/

18 Μνλόπιεπξνο έιεγρνο (One ided tet): όηαλ εμεηάδνπκε αληζόηεηα (κηα παξάκεηξνο είλαη κεγαιύηεξε ή κηθξόηεξε από έλαλ αξηζκό) a -a πεξηνρή απόξξηςεο ζηε κηα άθξε ηεο θαηαλνκήο a -a

19 Βιματα επεξεργαςίασ ςτουσ ελζγχουσ υποκζςεων Τπολογιςμόσ τθσ παραμζτρου που κα ελεγχκεί ςτο δείγμα Ορίηονται θ μθδενικι και θ εναλλακτικι υπόκεςθ Ορίηεται θ ςτάκμθ ςθμαντικότθτασ α Ορίηεται το είδοσ του ελζγχου (μονόπλευροσ ι δίπλευροσ) Ορίηεται θ δειγματολθπτικι κατανομι που κα χρθςιμοποιθκεί Ορίηονται οι βακμοί ελευκερίασ (αν απαιτείται) Τπολογίηονται οι κρίςιμεσ τιμζσ από πίνακεσ Τπολογίηονται οι ηϊνεσ αποδοχισ/απόρριψθσ τθσ Η0 Εξάγεται το τελικό ςυμπζραςμα

20 ΕΛΕΓΧΟΙ ΤΠΟΘΕΕΩΝ t-tet (: ι z-tet): εξετάηουν τθ ςθμαντικότθτα τθσ μζςθσ τιμισ χ tet: εξετάηουν τθ ςθμαντικότθτα τθσ διαςποράσ

21 ΔΛΔΓΥΟΙ ΓΙΑ ΣΗ ΜΔΗ ΣΙΜΗ ΔΝΌ ΓΔΙΓΜΑΣΟ H 0 : x (κέζε ηηκή δείγκαηνο κε κέγεζνο )=κ (κέζε ηηκή ηνπ πιεζπζκνύ) H : xκ t X Απόξξηςε ηεο H 0 x where x Απόξξηςε ηεο H 0 Γίπιεπξνο έιεγρνο t a (-) από ηνλ πίλαθα ηεο t- θαηαλνκήο γηα δηπιό έιεγρν Αλ -t a (-)<t< t a (- ) H 0 γίλεηαη απνδεθηή -ta Απνδνρή ηεο H 0 ta αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη

22 Παξάδεηγκα: Η κέζε ηηκή ζεξκνθξαζίαο ην Μάτν ζε έλα ζηαζκό είλαη ẋ=3. C θαη ε ηππηθή απόθιηζε S=.87 γηα =4 κεηξήζεηο. Να ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή δηαθέξεη ζηαηηζηηθά από ηε κέζε ηηκή ηεο ζεξκνθξαζίαο ηεο πεξηνρήο ηνλ ίδην κήλα κ= C Λύζε: Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε x ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Η 0 : ẋ=κ Η : ẋ κ α=0.05 x t-tet t. 89 x βε=ν-=4-=3 Απόξξηςε Η0 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα ta=.069 -ta ta δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 3 βε Δπεηδή -ta<t<ta ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή Απνδνρή Η0 Απόξξηςε Η0

23 Πίλαθαο t-θαηαλνκήο

24 ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΓΙΑ ΣΗ ΜΔΗ ΣΙΜΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ. H 0 : x>κ H : xκ Όπσο ζην δίπιεπξν έιεγρν Απόξξηςε ηεο H 0 -ta ta Απνδνρή ηεο H 0. H 0 : x<κ H : xκ Απνδνρή ηεο H 0 Απόξξηςε ηεο H 0 Μνλόπιεπξνο έιεγρνο t a (-) από ηνλ Πίλαθα γηα κνλόπιεπξν έιεγρν Αλ t> t a (-) H 0 απνδεθηή αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη Αλ t<- t a (-) H 0 απνδεθηή αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη

25 Παξάδεηγκα: Η κέζε ηηκή ειάρηζηεο ζεξκνθξαζίαο ηνλ Ιαλνπάξην ζε έλα ζηαζκό είλαη ẋ= -0.6 C θαη ε ηππηθή απόθιηζε S= 0.63 γηα = κεηξήζεηο. Να ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο είλαη ζηαηηζηηθά κηθξόηεξε ηεο ηηκήο 0 C Λύζε: x 0. 8 Η 0 : ẋ<0 x c Η : ẋ 0 t-tet t x Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε=ν-=-= Απνδνρή Η 0 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα t a = ta κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη βε Δπεηδή t < -t a ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή Απόξξηςε Η 0

26 Πίλαθαο t-θαηαλνκήο

27 Αλ ην δείγκα πξνέξρεηαη από θαλνληθά θαηελεκεκέλν πιεζπζκό κε γλσζηό ζ Z-tet X Z x όπνπ ή αλ >30 x Οπσο ζην t-tet Αιιά γηα ζηαζεξό z a Πνπ εμαξηάηαη κόλν από ην a θαη όρη από ηνπο ΒΔ a=0.0 a= (δίπιεπξνο) (κνλόπιεπξνο) Γίπιεπξνο: If -Z a <Z< Z a H 0 απνδεθηή Μνλόπιεπξνο: z > z a or z < -z a απνδεθηή αλάινγα κε ηε θνξά ηεο αληζόηεηαο ζην Ho

28 Πώο πξνθύπηεη ε ηηκή.96 γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05? a/ a/ P(0 < z < z a ) = a/ = / = Z a Z a Από ηνλ πίλαθα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο γηα P=0.475, z a =.96 a Z a Πώο πξνθύπηεη ε ηηκή.64 γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05? P(0 < z < z a ) =0.5 a = = 0.45 Από ηνλ πίλαθα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο γηα P=0.45, z a.64

29 Πίλαθαο z-θαηαλνκήο.64.96

30 Παξάδεηγκα: Τπνηίζεηαη όηη έλα ζπγθεθξηκέλνο αζηέξαο έρεη ζήκα έληαζεο 0, όπσο ην αληηιακβάλεηαη έλα αζηεξνζθνπείν ζηε γε. Η έληαζε ηνπ ζήκαηνο αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή κε ηππηθή απόθιηζε ζ=4. Να ειεγρζεί αλ ην ζήκα πνπ έρεη κεηξεζεί 0 θνξέο αλεμάξηεηα, κε κέζε έληαζε, είλαη ην ίδην κε ην ζήκα ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ αζηέξα. Λύζε: Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε x 0.89 ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Η 0 : ẋ=κ Η : ẋ κ α=0.05 z-tet x z. 79 x Κξίζηκε ηηκή ηνπ z γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Z a =.96 Απόξξηςε Η 0 Δπεηδή -.96<z<.96 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή -za za Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0

31 ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ H 0 : =ζ H : ζ Γίπιεπξνο έιεγρνο x (-a/)(-) θαη x (a/)(-) από ηνλ πίλαθα κε - ΒΔ x ( ) Αλ x (-a/)(-)< X < x (a/)(-)> H 0 απνδεθηή Acceptance of H 0 αιιηώο H 0 απνξξίπηεηαη X (-a/) X a/

32 Παξάδεηγκα: ε έλα δείγκα ε ηηκή ηεο δηαθύκαλζεο είλαη =8.4. Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε απηή είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή ίζε κε ηελ ηηκή δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ =4. Σν κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο είλαη Ν=4. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Λύζε: α=0.05 θαη βε=ν-=4-=3 Η 0 : =ζ Η : ζ x -tet x ( ) Γύν θξίζηκεο ηηκέο ηνπ x γηα δίπιεπξν έιεγρν, βε=3 θαη α= x a/ = x 0.05= 38. Δπεηδή x >x a/ ε H 0 απνξξίπηεηαη Απόξξηςε Η 0 x -a/ x -a/ = x 0.975=.7 x a/ Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0

33 Πίλαθαο x -θαηαλνκήο α

34 ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ. H 0 : >ζ H : ζ Μνλόπιεπξνο x (-a)(-) από ηνλ πίλαθα κε - β.ε Αλ X >x (-a)(-)> H 0 είλαη απνδεθηή Acceptance of H 0 X (-a). H 0 : <ζ H : ζ x a(-) από ηνλ πίλαθα κε - β.ε Acceptance Αλ X <x a(-) H 0 είλαη απνδεθηή of H 0 X a

35 Παξάδεηγκα: Αλ ε δηαθύκαλζε ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο είλαη =0.3969, λα ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε απηή είλαη κηθξόηεξε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ =. Λύζε: Η 0 : <ζ Η : ζ ( ) x -tet x Κξίζηκε ηηκή ηνπ x γηα δίπιεπξν έιεγρν, βε= θαη α=0.05 x a = x 0.05= 9.7 Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 θαη βε=ν-=-= x a Απνδνρή Η 0 Απόξξηςε Η 0 Δπεηδή x <x a ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή.

36 Πίλαθαο x -θαηαλνκήο α

37 ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΩΝ ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΣΩΝ ΓΙΑΚΤΜΑΝΔΩΝ ΓΤΟ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ t ample, d ample, H 0 : = H : F > F> Γίπιεπξνο έιεγρνο Τπνινγίδεηαη ε θξίζηκε ηηκή F a ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α γηα ΒΔ - (αξηζκεηήο) θαη - (παξνλνκαζηήο) από ηνλ πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο Αλ F <F a=0.05 H 0 απνδεθηή. Γηαθνξεηηθά απνξξίπηεηαη. Ιζρύνπλ θαη ηα παξαθάησ: Αλ F 0.05 <F <F 0.0 H 0 πηζαλόλ λα ηζρύεη Αλ F >F 0.0 Η 0 απνξξίπηεηαη

38 F-κατανομι ΒΔ αξηζκεηή= ΒΔ=... a() a() ΒΔ παξαλνκαζηή

39 Παξάδεηγκα: Από δύν πιεζπζκνύο κηαο κεηαβιεηήο, θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο, έρεη ιεθζεί έλα δείγκα από ην θαζέλα. Αλ ηα δείγκαηα είλαη αλεμάξηεηα θαη έρνπλ δηαθπκάλζεηο =.79 θαη (Ν =) θαη =.48 (Ν =8) λα ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο. Αλ λαη, λα ππνινγηζηεί ε δηαθύκαλζε ησλ πιεζπζκώλ ζ από ηνπο νπνίνπο πξνέξρνληαη. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε Λύζε: Η 0 : = Η : ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο F-tet Δπεηδή > α=0.05 F.09 βε (αξηζκεηή)=ν -=-=0 βε (παξαλνκαζηή)=8-=7 Τπνινγίδεηαη ε θξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 F a = F 0.05= 4.76 Δπεηδή F<F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. ( ) ( ) S ().79 (8 )

40 δίπλεσρος έλεγτος Πίλαθαο F-θαηαλνκήο βε αριθμηηή βε παρανομαζηή

41 ΔΛΔΓΥΟ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΣΩΝ ΓΙΑΚΤΜΑΝΔΩΝ ΓΤΟ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ H 0 : > H : F > F> Μνλόπιεπξνο έιεγρνο γηα α=0.05 F 0.05 βε= -(αξηζκεηήο) Αλ F >F 0.05 Η 0 γίλεηαη απνδεθηή βε= - (παξνλνκαζηήο) από ηνλ πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο

42 Παξάδεηγκα: Γύν δείγκαηα είλαη αλεμάξηεηα θαη πξνέξρνληαη από θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο πιεζπζκνύο κε κέγεζνο Ν =5 Ν =3. Δρνπλ ηππηθέο απνθιίζεηο =5.3 θαη =7.94. Να ειεγρζεί αλ ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ ελόο δείγκαηνο είλαη ζηαηηζηηθά κεγαιύηεξε από απηή ηνπ δεύηεξνπ δείγκαηνο. Λύζε: F-tet F Η 0 : > Η :.36 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Δπεηδή > F a = F 0.05=.94 Δπεηδή F>F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. Μνλόπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=3-=30 βε (παξαλνκαζηή)=ν -=5-=4

43 ΕΛΕΓΧΟ ΣΩΝ ΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ ΔΤΟ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΩΝ ΔΕΙΓΜΑΣΩΝ t ample x,, d ample x,, H 0 : x =x H : x x. Οηαλ νη δηαθπκάλζεηο είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο ηόηε: t ( x ). ( ). x ( ) -t a t a t a (Ν+Ν-) από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν - t a <t< t a Acceptance of H 0

44 Παξάδεηγκα: Γηα δύν αλεμάξηεηα δείγκαηα ηζρύεη: ẋ =4.07, = θαη Ν =30 θαη ẋ = 76.6, = , Ν =0. α ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Λύζε: Έιεγρνο δηαθπκάλζεσλ F-tet Η 0 : = Η : Δπεηδή < F.737 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 Δπεηδή F<F 0.05 ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. Οη δηαθπκάλζεηο είλαη ίζεο. Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=0-=9 βε (παξαλνκαζηή)=ν -=30-=9 F a = F 0.05=.3

45 Έιεγρνο κέζσλ ηηκώλ t-tet Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 t ( ) x x ( ) S ( βε=ν +Ν -=30+0-=48 ).88 Δπεηδή -ta<t<ta ε H 0 γίλεηαη απνδεθηή. πλεπώο ηα δείγκαηα έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο, άξα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο κε ίζεο κέζεο ηηκέο Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 48 βε ta=.0 Σα δείγκαηα κπνξνύλ λα ελσζνύλ ζε έλα δείγκα ηνπ νπνίνπ ε κέζε ηηκή είλαη: x x x 55.8

46 ΕΛΕΓΧΟ ΣΩΝ ΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ ΔΤΟ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΩΝ ΔΕΙΓΜΑΣΩΝ H 0 : x =x H : x x. Οηαλ νη δηαθπκάλζεηο δελ είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο ηόηε: t* x x * όπνπ * Οη ηηκέο ησλ t (Ν-) θαη t (-) ππνινγίδνληαη από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν -t* a t* a - t* a <t*< t* a Acceptance of H 0 ta * t t

47 Παξάδεηγκα: Γηα δύν αλεμάξηεηα δείγκαηα ηζρύεη: ẋ =7., =0 θαη Ν =7 θαη ẋ = 98., =660. θαη Ν =3. α ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Λύζε: Έιεγρνο δηαθπκάλζεσλ F-tet Η 0 : = Η : Δπεηδή < F 3.5 Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βε (αξηζκεηή)=ν -=3-= βε (παξαλνκαζηή)=ν -=7-=6 Κξίζηκε ηηκή ηνπ Fa γηα δίπιεπξν έιεγρν F a = F 0.05=.4 θαη F a = F 0.0=.9 Δπεηδή F>F 0.05 θαη F>F 0.0 ε H 0 απνξξίπηεηαη. Οη δηαθπκάλζεηο είλαη άληζεο.

48 Έιεγρνο κέζσλ ηηκώλ t-tet Γίπιεπξνο έιεγρνο ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 Η 0 : ẋ = ẋ Η : ẋ ẋ t* x x.76 ta * Δπεηδή t* a >t* ε H 0 απνξξίπηεηαη Σα δείγκαηα δελ έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο Κξίζηκε ηηκή ηνπ t θαη t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 t Γηα βε=ν -=3-= t =.074 Γηα βε=ν -=7-=6 t =.056 t.07

49 ΔΛΔΓΥΟ ΣΩΝ ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΣΩΝ ΜΔΩΝ ΣΙΜΩΝ ΓΤΟ ΜΗ ΑΝΔΞΑΡΣΗΣΩΝ ΓΔΙΓΜΑΣΩΝ t ample x,κ, Κ=,...Ν d ample x,κ, Κ=,...Ν d K =X,K -X,K H 0 : d=0 H : d 0 όπνπ d ( x k x k K K ) t d k d d -t a t a όπνπ - t Acceptance a <t< t a of H 0 t a (Ν-) από ηνλ Πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν d k ( d k d) ( )

50 Παξάδεηγκα: ε κηα νκάδα ππεξηαζηθώλ αηόκσλ Ν=5 ρνξεγείηαη θάπνην θάξκαθν. Μεηξήζεθε ε αξηεξηαθή ηνπο πίεζε πξηλ θαη κεηά ηε ρνξήγεζε ηνπ θαξκάθνπ. Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο Πριν Μετά Λύζε: Σα δείγκαηα δελ είλαη αλεμάξηεηα. Διεγρνο θαηά δεύγε. Μετά- Πριν (d k ) H 0 : d=0 (κε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά) H : d 0 (ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά)

51 d ( x k x k K K ) d k d t k ( d k d) ( ) d d βε=ν-=5-=4 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα δίπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 4 βε ta=.45 Δπεηδή t > ta ε H 0 απνξξίπηεηαη Σα δείγκαηα δελ έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο ηηκέο

52 Παξάδεηγκα: ηνλ επόκελν πίλαθα θαίλνληαη ηα βάξε 8 αλζξώπσλ πξηλ ζηακαηήζνπλ ην θάπληζκα θαη πέληε βδνκάδεο αθνύ ζηακάηεζαλ ην θάπληζκα. Να ειεγρζεί ζε α=0.05 αλ ην βάξνο ηνπ θαπληζηή πνπ ζηακαηά ην θάπληζκα απμάλεη. Πριν Μετά Λύζε: Σα δείγκαηα δελ είλαη αλεμάξηεηα. Διεγρνο θαηά δεύγε. Μετά- Πριν (d k ) H 0 : d>0 (απμάλεη ην βάξνο κεηά ην θόςηκν ηνπ θαπλίζκαηνο) H : d 0

53 d ( xk xk) dk.5 K K d t k ( d k d) ( ) d d βε=ν-=8-=7 Κξίζηκε ηηκή ηνπ t από ηνλ πίλαθα γηα κνλόπιεπξν έιεγρν θαη α=0.05 θαη 7 βε ta=.895 Δπεηδή t > ta ε H 0 ηζρύεη Άξα ζηεξίδεηαη ζηαηηζηηθά ε άπνςε όηη ην βάξνο ηνπ θαπληζηή κεηά ην θόςηκν ηνπ ηζηγάξνπ απμάλεη