ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. H επηινγή αλαιύζεσλ ANOVA ζην ζηαηηζηηθό παθέην MINITAB
|
|
- Ζώσιμη Παπακώστας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Μέρξη ηώξα όηαλ ζπγθξίλακε κέζεο ηηκέο είρακε λα ζπγθξίλνπκε κηα κέζε ηηκή κε έλα ζηαζεξό αξηζκό ή δύν κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο. Πνιιέο θνξέο όκσο ζηελ ζηαηηζηηθή πξέπεη λα ζπγθξίλνπκε πνιιέο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο πνπ πξνέξρνληαη από δηαθνξεηηθά δείγκαηα. Σηελ πεξίπησζε απηή ζα κπνξνύζακε λα θάλνπκε όηη ήδε μέξνπκε δειαδή λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπο, δειαδή δηαδνρηθά ηελ κηα κεηά ηελ άιιε κέρξη λα εμαληιεζνύλ όινη νη ζπλδπαζκνί. Απηό όκσο όπσο αληηιακβαλόκαζηε είλαη ηδηαίηεξα δύζθνιν, ρξνλνβόξν αιιά θαη ππνθξύπηεη ηνλ θίλδπλν λα γίλνπλ πνιιά ιάζε. Πξάγκαηη όπσο μέξνπκε ζε θάζε έιεγρν ππνζέζεσλ ππάξρνπλ θάπνηα ζθάικαηα εθ ησλ νπνίσλ ην ζπνπδαηόηεξν είλαη ην ζθάικα ηύπνπ I πνπ δειώλεηαη από ηνλ ρξήζηε. Αλ θάλνπκε πνιιαπιέο ζπγθξίζεηο ην ζθάικα ηύπνπ Η ζα πνιιαπιαζηαζηεί ηζάξηζκεο θνξέο όζνη θαη νη επηκέξνπο έιεγρνη κέζσλ ηηκώλ κε ηειηθό απνηέιεζκα παληειώο αλαμηόπηζην. Γη απηνύο ηνπο ιόγνπο ν έιεγρνο πνιιώλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ηνπο γίλεηαη κε εηδηθή δηαδηθαζία ε νπνία νλνκάδεηαη ανάλσζη διακύμανζης ή όπσο είλαη δηεζλώο γλσζηή «ανάλσζη AOVA». Ζ νλνκαζία «αλάιπζε δηαθύκαλζεο» νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη κε ηελ κεζνδνινγία απηή δελ ζπγθξίλνληαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα νη ίδηεο νη κέζεο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ αιιά νη δηαθπκάλζεηο ηνπο. Αλ νη δηαθπκάλζεηο ηνπο αιιεινεπηθαιύπηνληαη ηόηε ζεσξνύληαη νη κέζεο ηηκέο ίζεο ή ηνπιάρηζηνλ όρη δηαθνξεηηθέο. Παξαθάησ ζα κειεηήζνπκε δύν πεξηπηώζεηο αλάιπζεο AOVA: ηελ ανάλσζη καηά ένα κριηήριο θαη ηελ ανάλσζη καηά δύο κριηήρια. H επηινγή αλαιύζεσλ AOVA ζην ζηαηηζηηθό παθέην MIIAB 74
2 Ανάλσζη AOVA καηά ένα κριηήριο Έζησ όηη έρνπκε λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο ελόο κεγάινπ αξηζκνύ δεηγκάησλ ηα νπνία ζηελ αλάιπζε AOVA νλνκάδνληαη επιδράζεις. Κάζε επίδξαζε απνηειείηαη από έλα νξηζκέλν αξηζκό παραηηρήζεων έζησ n. Με ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ επηπέδσλ θαη κε ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ από όια ηα επίπεδα ( = x n). Με i ζπκβνιίδεηαη ν αύμνληαο αξηζκόο ησλ επηδξάζεσλ θαη κε j ν αύμνληαο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ. Γηα λα θάλνπκε ηελ αλάιπζε ΑΝΟVA θαηά έλα θξηηήξην πηλαθνπνηνύκε ηηο παξαηεξήζεηο σο αθνινύζσο: πιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα n 1. 1 n. 1 n. 1 n. Σρεηηθά κε ηνπο ζπκβνιηζκνύο ηνπ πίλαθα ηζρύνπλ ηα αθόινπζα: Ζ παξαηήξεζε π.ρ. είλαη ε δεύηεξε παξαηήξεζε ηεο δεύηεξεο επίδξαζεο θαη π.ρ. ε n είλαη ε ηειεπηαία παξαηήξεζε (n) ηεο ηειεπηαίαο επίδξαζεο (). π.ρ. 1. είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο επίδξαζεο 1 θαη ην π.ρ.. είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο ηειεπηαίαο επίδξαζεο. Ζ ηειεία (.) ρξεζηκνπνηείηαη σο ζύκβνιν κπαιαληέξ θαη ζπκβνιίδεη κηα νπνηαδήπνηε ηηκή. Τν είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ παξαηεξήζεσλ ηνπ πίλαθα. Ζ κεδεληθή ππόζεζε πνπ ζέινπκε λα απνξξίςνπκε θαζώο θαη ε ελαιιαθηηθή ππόζεζε είλαη νη αθόινπζεο: H : Όιεο νη κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο Ζ 1 : Οη κέζεο ηηκέο δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηνλ έιεγρν απηώλ ησλ ππνζέζεσλ ζπκβνιίδεηαη ν θαη αθνινπζεί ηελ ιεγόκελε θαηαλνκή ηεο νπνίαο ηα εθαηνζηεκόξηα δίλνληαη ζην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ. Πξνεγνπκέλσο ζα πξέπεη λα ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ ηζόηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ ηνπο είλαη απαξαίηεηε γηαηί αιιηώο δελ έρεη λόεκα ν έιεγρνο ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ ηνπο. Δπηπιένλ πξηλ ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ πξέπεη λα γίλνπλ κηα ζεηξά από ππνινγηζκνύο νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ηνλ ππνινγηζκό ηεο θνηλήο δηαθύκαλζεο ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ, ηνλ ππνινγηζκό ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ ζπλνιηθνύ 75
3 ζθάικαηνο, ηνλ ππνινγηζκό ησλ ζρεηηθώλ βαζκώλ ειεπζεξίαο θαζώο θαη θιάζκαηα κεηαμύ ησλ πξνεγνπκέλσλ. Αξρηθά ζα ππνινγηζηεί ε ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ησλ παξαηεξήζεσλ όισλ ησλ επηδξάζεσλ. Ο ζρεηηθόο ηύπνο είλαη: Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) είλαη: n j 1 H ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ηζνύληαη κε ην άζξνηζκα ηεο δηαθύκαλζεο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) κε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ). 1 i. n Γειαδή: Γηα θάζε δηαθύκαλζε ζα ππνινγηζηνύλ θαηάιιεινη βαζκνί ειεπζεξίαο. Σπγθεθξηκέλα: Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - Οξίδνπκε: θαη 1 Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ είλαη πιένλ έηνηκε λα ππνινγηζηεί ζύκθσλα κε ηελ ζρέζε: Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Σην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ δίλνληαη ηα εθαηνζηεκόξηα ηεο θαηαλνκήο σο πξνο δηαθνξεηηθέο παξακέηξνπο α, -1 θαη Ν-. Τν -1 ιέγεηαη αξηζκεηήο θαη ην - παξαλνκαζηήο. Απνηειέζκαηα AOVA αλάιπζεο θαηά έλα θξηηήξην από ην πξόγξακκα MIIAB. Surce D P reamen ,49 0,74 rrr al S = 11,9 R-Sq = 11,0% R-Sq(adj) = 0,00% Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev Level Mean SDev ,50 9,98 ( * ) 4 79,5 15,84 ( * ) 4 7,00 1,99 ( * ) ,00 1,19 ( * ) 5 4 7,00 4,4 ( * )
4 Παράδειγμα 1 Μία ηάμε 0 καζεηώλ ρσξίζηεθε, κε ηπραίν ηξόπν ζε 5 ηκήκαηα κε ηνλ ζθνπό λα κειεηεζεί ε απνηειεζκαηηθόηεηα 5 δηαθνξεηηθώλ κεζόδσλ εθγύκλαζεο ζην αληηθείκελν ηνπ κπάζθεη. Μεηά από εβδνκάδεο νη καζεηέο εμεηάζζεθαλ θαη βαζκνινγήζεθαλ πξνθεηκέλνπ λα θαλεί ε απνδνηηθόηεηα ηεο θάζε κεζόδνπ. Οη βαζκνί δίλνληαη παξαθάησ. Να εμεηαζζεί αλ νη βαζκνί απηνί δίλνπλ θάπνηα έλδεημε ζηαηηζηηθά ζεκαληηθήο δηαθνξάο κεηαμύ ησλ κεζόδσλ δηδαζθαιίαο. Μέζνδνο Α Μέζνδνο Β Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Δ Απάνηηζη. Ζ κεδεληθή ππόζεζε είλαη όηη νη πέληε κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο. Σπγθεθξηκέλα: H : κ Α =κ Β = κ Γ =κ Γ = κ Δ Ζ 1 : κ i κ j Οκαδνπνηνύκε ηα απνηειέζκαηα ζύκθσλα κε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Δπιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα Mέζνδνο Α Μέζνδνο Β Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Γ Μέζνδνο Δ Σηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Aξρηθά βξίζθνπκε ην άζξνηζκα 5 4 j n j 1 59 ην νπνίν ηζνύληαη κε: 105 Oπόηε: 5 4 j Kαηόπηλ βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Αξρηθά 1 ππνινγίδεηαη ην κέγεζνο i. ην νπνίν ηζνύληαη κε: n i. i n 4 4 Oπόηε: 1 n i
5 Ζ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίπεδν ( ) ηζνύληαη κε: = = = 45. Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 = 5 1 = 4 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - = 0 5 = 15 Oη κέζεο δηαθπκάλζεηο θαη ηζνύληαη κε: H ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ είλαη: 1, 0 Τα απνηειέζκαηα ηεο αλάιπζεο AOVA θαηά έλα θξηηήξην ζπλνςίδνληαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα: Αιηία διαζποράς Βαθμοί ελεσθερίας Αναλύζεις διακύμανζης Μέζες διακσμάνζεις Μεηαμύ επηδξάζεσλ () 4 = 190 ΜS = 490 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 15 = 45 = 0 Σύλνιν (Τ) 19 = 41 P 0,49 0,74 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Βξίζθνπκε ζηνπο πίλαθεο ησλ εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο ηελ ηηκή 0,05, 4, 15 (επηιέγνπκε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 0,05). Ψάρλνπκε ζηνλ πίλαθα 0,95 γηα ηηκή αξηζκεηνύ 4 θαη παξαλνκαζηή 15. Ζ ηηκή πνπ βξίζθνπκε είλαη,0. Αθνύ 1, >,0 ε ηηκή Ζ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ απόξξηςε ηεο Ζ ν θαίλεηαη θαη από ην επίπεδν P. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη. 78
6 Παράδειγμα Τξεηο νκάδεο αζιεηώλ ππνβάιινληαη ζηελ ίδηα δίαηηα. Μεηά από ην πέξαο ηεο δίαηηαο κεηξηέηαη ζε όινπο ηνπο αζιεηέο ε απώιεηα βάξνπο. Οη απώιεηεο βάξνπο ησλ ηξηώλ νκάδσλ αζζελώλ είλαη: Oκάδα Α Οκάδα Β Οκάδα Γ εξώηεκα είλαη αλ νη ηξεηο νκάδεο αζζελώλ έρνπλ αδπλαηίζεη ην ίδην. Αλ θαη ε νκάδα Γ είλαη θαλεξό όηη έρεη ράζεη πεξηζζόηεξν βάξνο από ηηο άιιεο δύν ζα αθνινπζήζνπκε ηελ δηαδηθαζία AOVA γηα λα απνδείμνπκε όηη νη ηξεηο κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο. Απάνηηζη. Ζ κεδεληθή ππόζεζε είλαη όηη νη ηξεηο κέζεο ηηκέο είλαη ίζεο. Σπγθεθξηκέλα: H : κ Α =κ Β = κ Γ Ζ 1 : κ i κ j Οκαδνπνηνύκε ηα απνηειέζκαηα ζύκθσλα κε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Δπιδράζεις Παραηηρήζεις Αθροίζμαηα Oκάδα Α Οκάδα Β Οκάδα Γ Σηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Aξρηθά βξίζθνπκε ην άζξνηζκα 5 j 1 n j ην νπνίν ηζνύληαη κε: Oπόηε: n j , 9 Kαηόπηλ βξίζθνπκε ηελ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ). Αξρηθά 1 ππνινγίδεηαη ην κέγεζνο i. ην νπνίν ηζνύληαη κε: n i. i n , 79
7 Oπόηε: 1 n i. 158, , 5 Ζ δηαθύκαλζε κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ) ηζνύληαη κε: = = 4,9 18,5 = 8,40. Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 = 1 = Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: - = 15 = 1 Oη κέζεο δηαθπκάλζεηο θαη ηζνύληαη κε: 1 18, 5 1 9, 7 8, 4 15, 7 9, 7 H ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο ειέγρνπ είλαη:, 91, 7 Τα απνηειέζκαηα θάζε αλάιπζεο AOVA ζπλνςίδνληαη ζε πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Αιηία διαζποράς Βαθμοί ελεσθερίας Αναλύζεις διακύμανζης Μέζες διακσμάνζεις Μεηαμύ επηδξάζεσλ (ΤR) = 18,5 =9,7 Μέζα ζην επίδξαζε () 1 = 8,4 =,7 Σύλνιν () 14 = 4,9 P,91 0,049 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, Ν-. Αλαδεηνύκε ζηνπο πίλαθεο ησλ εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο ηελ ηηκή 0,05,, 1 (επηιέγνπκε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο α = 0,05). Σπγθεθξηκέλα ςάρλνπκε ζηνλ πίλαθα 0,95 γηα ηηκή αξηζκεηνύ θαη παξαλνκαζηή 1. Ζ ηηκή πνπ βξίζθνπκε είλαη,81. Αθνύ,91,89 ε ηηκή Ζ απνξξίπηεηαη νξηαθά δειαδή νη κέζεο ηηκέο δελ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Ζ νξηαθή απόξξηςε ηεο Ζ ν θαίλεηαη θαη από ην επίπεδν P. Όπσο έρεη ήδε εηπσζεί ην επίπεδν P είλαη έλαο ελαιιαθηηθόο ηξόπνο γηα λα απνξξηθζεί ή όρη ε κεδεληθή ππόζεζε. Όηαλ ην P είλαη κηθξόηεξν από 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη. Δδώ ε ηηκή P είλαη αθξηβώο πάλσ ζην όξην. 80
8 Ανάλσζη AOVA καηά δύο κριηήρια Σηα πξνεγνύκελα παξαδείγκαηα ζπγθξίλακε ηηο κέζεο ηηκέο δηαθόξσλ επηδξάζεσλ ησλ νπνίσλ νη παξαηεξήζεηο είραλ όιεο ηελ ίδηα ζεκαζία. Τη ζα ζπκβεί όκσο αλ νη παξαηεξήζεηο αλήθνπλ κε ηελ ζεηξά ηνπο ζε επηκέξνπο ππννκάδεο; Έζησ π.ρ. όηη ε γξακκαηεία ηνπ ΟΔΔΚ ελδηαθέξεηαη λα πξνκεζεπηεί έλα λέν επεμεξγαζηή θεηκέλνπ. Υπνςήθηα είλαη ηξία δηαθνξεηηθά πξνγξάκκαηα. Πξνθεηκέλνπ λα επηηεπρζεί κηα επηηπρήο επηινγή ζρεδηάδεηαη έλα ηεζη ζην νπνίν κεηξηέηαη ν αξηζκόο εηζαγσγήο ησλ ιέμεσλ αλά ιεπηό. Γηα ηνλ ιόγν απηό επηιέγνληαη έμη δαθηπινγξάθνη θαη θαηαγξάθεηαη ε απόδνζή ηνπο (ιέμεηο αλά ιεπηό) ζηνπο ηξεηο επεμεξγαζηέο. Τν πξνεγνύκελν πξόβιεκα ζα κπνξνύζε λα πξνζεγγηζζεί κε δύν ηξόπνπο. Ο πξώηνο είλαη λα ζπγθξίλνπκε ρσξηζηά ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ δαθηπινγξάθσλ θαη ρσξηζηά ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ επεμεξγαζηώλ θεηκέλνπ. Ο δεύηεξνο ηξόπνο είλαη λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο απόδνζεο ησλ δαθηπινγξάθσλ ιακβάλνληαο όκσο ππόςε ηηο δηαθύκαλζε πνπ νθείιεηαη ζηνπο δηαθνξεηηθνύο επεμεξγαζηέο. Ζ δεύηεξε πξνζέγγηζε είλαη ε πξνηηκόηεξε θαη νλνκάδεηαη αλάιπζε AOVA καηά δύο κριηήρια. Ζ δηαδηθαζία πνπ ζα πεξηγξαθεί εδώ νλνκάδεηαη «ζτεδιαζμός ησταιοποιημένων πλήρων ζτημάηων». Όπσο ππνλνεί θαη ην όλνκα ηεο πξόθεηηαη γηα έλα ζρεδηαζκό όπνπ έρνπκε επιδράζεις ζε θάζε έλα από b ομοιογενή ζηρώμαηα ηα νπνία νλνκάδνληαη cks. H ζηαηηζηηθή αλάιπζε εδώ παίξλεη ππόςε ηεο ηελ παξνπζία ησλ κπινθο θαη ηελ ζπλεηζθνξά ηνπο ζηε ζπλνιηθή δηαζπνξά νπόηε ε δηαζπνξά πνπ ζεσξείηαη όηη πξνέξρεηαη από ηηο επηδξάζεηο θαζνξίδεηαη θαιύηεξα. Όπσο θαη ζηελ αλάιπζε AOVA θαηά έλα θξηηήξην έηζη θαη εδώ νη κέζεο ηηκέο πνπ ζπγθξίλνληαη πξνέξρνληαη από δηαθνξεηηθά επίπεδα. Οη παξαηεξήζεηο όκσο αλά επίπεδν (πιήζνπο n) ππνδηαηξνύληαη ζε κπινθο ηα νπνία δηαηξέρνπλ όια ηα επίπεδα. Τα ζηξώκαηα απηά είλαη όζεο θαη νη παξαηεξήζεηο. Με ζπκβνιίδεηαη ν ζπλνιηθόο αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ από όια ηα επίπεδα ( = x n). Γηα λα θάλνπκε ηελ αλάιπζε ΑΝΟVA θαηά δύν θξηηήξηα πηλαθνπνηνύκε ηηο παξαηεξήζεηο όπσο θαη θαηά έλα θξηηήξην κε ηελ δηαθνξά όηη ππνινγίδνληαη θαη ηα αζξνίζκαηα ησλ ζπρλνηήησλ θάζε κπινθ. πιδράζεις Ομάδες b 1 b b b Αθροίζμαηα Y 1b 1. 1 Y b. 1 b. 1 b..1..b 81
9 Oη ηύπνη πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ πεξηιακβάλνπλ ηελ γλσζηή δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ) θαζώο θαη ηελ ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ε νπνία είλαη ην άζξνηζκα όισλ ησλ ππνινίπσλ. Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: b j 1 1 i. b Θα πξνζηεζεί όκσο κηα θαηλνύξηα δηαθύκαλζε ε νπνία είλαη ε δηαθύκαλζε κέζα ζηηο νκάδεο ( ). b 1 O ηύπνο ηεο είλαη:. j H ζπλνιηθή δηαθύκαλζε ( ) ηζνύληαη κε ην άζξνηζκα ηεο δηαθύκαλζεο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ ( ), ηεο δηαθύκαλζεο κέζα ζηα κπινθο ( ) θαη ηεο δηαθύκαλζεο κέζα ζε θάζε επίδξαζε ( ). Γειαδή: Γηα θάζε δηαθύκαλζε ζα ππνινγηζηνύλ θαηάιιεινη βαζκνί ειεπζεξίαο. Σπγθεθξηκέλα: Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: -1 Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: (-1) (b-1) Γηα ην νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: b-1 Οξίδνπκε: θαη 1 ( 1)( b 1) Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ είλαη πιένλ έηνηκε λα ππνινγηζηεί ζύκθσλα κε ηελ ζρέζε: Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Σην ηέινο ησλ ζεκεηώζεσλ δίλνληαη ηα εθαηνζηεκόξηα ηεο θαηαλνκήο σο πξνο ηηο παξακέηξνπο α, -1 (αξηζκεηήο) θαη (-1)(b-1) (παξνλνκαζηήο). H ζπλάξηεζε ειέγρνπ πνπ κόιηο πεξηγξάςακε ζπγθξίλεη ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ. Αλ ζέιακε λα ζπγθξίλνπκε ηηο κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ νκάδσλ ζα έπξεπε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ζρέζε: όπνπ: b 1 8
10 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). b-1 είλαη ν αξηζκεηήο θαη ην (-1)(b-1) είλαη ν παξνλνκαζηήο ζην πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο. Παξόια απηά επεηδή κηα ηέηνηα δνθηκαζία δελ ζα είρε κεγάιε ηζρύ είλαη πξνηηκόηεξν λα αληηζηξέςνπκε ηα δεδνκέλα θαη λα βάινπκε ηηο νκάδεο ζηελ ζέζε ησλ επηδξάζεσλ θαη λα επαλαιάβνπκε όινπο ηνπο ππνινγηζκνύο. Παράδειγμα. Έμη δαθηπινγξάθνη πιεθηξνινγνύλ ζε ηξεηο δηαθνξεηηθνύο επεμεξγαζηέο θεηκέλνπ επί κία ώξα. Εεηείηαη λα ππνινγηζηεί αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ ιέμεσλ αλά ιεπηό πνπ πιεθηξνιόγεζαλ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο ιακβάλνληαο ππόςε ηελ δηαθνξεηηθή κάξθα επεμεξγαζηή όπνπ έγηλαλ νη κεηξήζεηο. α απνηειέζκαηα είλαη ηα αθόινπζα: Γαθηπινγξάθνο Μάξθα επεμεξγαζηή Α Β Γ Φηηάρλνπκε αξρηθά ηνλ γλσζηό πίλαθα AOVA. Δπιδράζεις Βlcks Α Β Γ Αθροίζμαηα Αθροίζμαηα Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: b j 1 j Καη j Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: 559, 78 1 i. b 1 1 i. ( ) 455 8
11 1 i H δηαθύκαλζε κέζα ζην κπινθ είλαη: 1 1. j ( ) 4049 b 1. j 1. j Γηα λα βξνύκε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζηηο επηδξάζεηο ( ) ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Γειαδή: Oη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: Γηα ην : -1 = -1 = 5 Γηα ην : (-1) (b-1) = ( - 1) ( 1) = 10 Γηα ην : b-1 = 1 = , ( 1)( b 1) , b , Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο 500 1, 10 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Τν α, -1, (-1) (b-1) είλαη 0,05, -1, (-1) (-1) ή 0,05, 5, 10. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 5, 10 ηζνύληαη κε,. 84
12 Αθνύ 10 >, ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο. Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ κπινθο είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο 1, 5 1, 4, 5 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). Τν α, b-1, (- 1) (b-1) είλαη 0,05,, 10. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 5, 10 ηζνύληαη κε 4,1. Αθνύ 4,5 > 4,1 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη (έζησ θαη νξηαθά) θαη θαηά ζπλέπεηα νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο. Τα απνηειέζκαηα ηεο AOVA αλάιπζεο θαηά δύν θξηηήξηα ζπλνςίδνληαη ζε εηδηθνύο πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Βαθμοί Αναλύζεις Μέζες Αιηία διαζποράς ελεσθερίας διακύμανζης διακσμάνζεις P Μεηαμύ επηδξάζεσλ () = 5, ΜS =, Μέζα ην κπινθ () 4 = 17,7 ΜS = 579,4 0, 0,5 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 8 =,47 = 4,1 18,5 0,00 Σύλνιν (Τ) 14 = 5,4 O πξνεγνύκελνο πίλαθαο δείρλεη ηελ κεγάιε ζεκαζία ηνπ επηπέδνπ P ζηελ αμηνιόγεζε ελόο ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ. Δδώ ε ηηκή P = 0,5 δίλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηπρόλ ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Αληίζεηα ε ηηκή P 0 δείρλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθ. Αθνύ P < 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθ δελ είλαη ίζεο. 85
13 Παράδειγμα 4. Σηηο Ζλσκέλεο Πνιηηείαο ηεο Ακεξηθήο ε Δζληθή Οκνζπνλδία Καιαζνζθαίξηζεο (BA) θάλεη κηα κειέηε γηα λα ζπγθξίλεη ηελ απόδνζε ησλ νκάδσλ πνπ ζπγθξνηνύλ ηελ Αλαηνιηθή, Κεληξηθή θαη Γπηηθή πεξηθέξεηα ηνπ πξσηαζιήκαηνο. Γηα ηνλ ζθνπό απηό ζπγθξίλνπλ ηελ κέζε επίζεζε πνπ είραλ 5 νκάδεο θάζε πεξηθέξεηαο πνπ βξίζθνληαλ ζηελ ίδηα ζέζε ηνπ βαζκνινγηθνύ πίλαθα. α απνηειέζκαηα ήηαλ ηα αθόινπζα: Περιθέρεια 1 η ομάδα η ομάδα η ομάδα 4 η ομάδα 5 η ομάδα Αναηολική Κενηρική Γσηική Γηα ηελ αλάιπζε AOVA δύν θξηηεξίσλ ζα ρξεηαζηεί ε εμήο κεηαηξνπή ηνπ πίλαθα. Blcks Δπιδράζεις Αθροίζμαηα Αθροίζμαηα Ο ηύπνο ηεο ζπλνιηθήο δηαθύκαλζεο είλαη: b j 1 5 j Καη 5 j Ζ δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: 5 1 i. b 1 1 i. ( ) i H δηαθύκαλζε κέζα ζην κπινθ είλαη: 5, b 1. j j ( ) j
14 Γηα λα βξνύκε ηελ δηαθύκαλζε κέζα ζηηο επηδξάζεηο ( ) ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Γειαδή: 5 5, 17, 47 Oη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη: Γηα ην : -1 = -1 = Γηα ην : (-1) (b-1) = ( - 1) (5 1) = 8 Γηα ην : b-1 = 5 1 = 4 1 5,, ( 1)( b 1), , b Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ δελ είλαη ίζεο 5, 418, 14, Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, -1, (-1) (b-1). Τν α, -1, (-1) (b-1) είλαη 0,05, -1, (-1) (5-1) ή 0,05,, 8. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05,, 8 ηζνύληαη κε 4,4. Αθνύ 1,4 < 4,4 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη. Ζ παξαηεξνύκελε αληζόηεηα κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ είλαη ηπραία ή πην πξαθηηθά νη κέζεο ηηκέο ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Ζ ζπλάξηεζε ειέγρνπ γηα ηνλ έιεγρν ηεο ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ κπινθο είλαη: H : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο είλαη ίζεο H 1 : Οη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο 17, 47 9, 87
15 Ζ ζπλζήθε απόξξηςεο ηεο κεδεληθήο ππόζεζεο είλαη ε: > α, b-1, (-1) (b-1). Τν α, b-1, (- 1) (b-1) είλαη 0,05, 4, 8. Από ηνλ πίλαθα εθαηνζηεκνξίσλ ηεο θαηαλνκήο βξίζθνπκε όηη ε 0,05, 4, 8 ηζνύληαη κε,84. Αθνύ 9 >,84 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη (έζησ θαη νξηαθά) θαη θαηά ζπλέπεηα νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθο δελ είλαη ίζεο. Τα απνηειέζκαηα ηεο AOVA αλάιπζεο θαηά δύν θξηηήξηα ζπλνςίδνληαη ζε εηδηθνύο πίλαθεο όπσο αθνινύζσο: Βαθμοί Αναλύζεις Μέζες Αιηία διαζποράς ελεσθερίας διακύμανζης διακσμάνζεις P Μεηαμύ επηδξάζεσλ () = 5, ΜS =, 1,4 0,5 Μέζα ην κπινθ () 4 = 17,7 ΜS = 579,4 9, 0,00 Μέζα ζηελ επίδξαζε () 8 =,47 = 4,8 Σύλνιν (Τ) 14 = 5,4 O πξνεγνύκελνο πίλαθαο δείρλεη ηελ κεγάιε ζεκαζία ηνπ επηπέδνπ P ζηελ αμηνιόγεζε ελόο ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ. Δδώ ε ηηκή P = 0,5 δίλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηπρόλ ηζόηεηαο κεηαμύ ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ επηδξάζεσλ. Αθνύ P > 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε δελ απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ είλαη ίζεο. Αληίζεηα ε ηηκή P 0 δείρλεη ην απνηέιεζκα ηνπ ειέγρνπ ηεο ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθ. Αθνύ P < 0,05 ε κεδεληθή ππόζεζε απνξξίπηεηαη δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ κπινθ δελ είλαη ίζεο. 88
16 requenc Residual Percen Residual Σηαηηζηηθή γηα Πξνπνλεηέο Αζιεκάησλ Μέξνο Β Έλεγτος ηης εγκσρόηηηας ηης AOVA ανάλσζης Ζ AOVA αλάιπζε δελ είλαη απιά θάπνηεο καζεκαηηθέο πξάμεηο θαη αληηθαηάζηαζε ηύπσλ. Αληηζέησο νη αλαιύζεηο AOVA ζα πξέπεη λα ηεξνύλ κηα ζεηξά από πξνϋπνζέζεηο γηα λα είλαη έγθπξεο. Πρώηη προϋπόθεζη. Ζ κεηαβιεηή πνπ κειεηάκε πξέπεη λα αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Απηό ειέγρεηαη κε εηδηθά es. Γεύηερη προϋπόθεζη. Οη δηαθπκάλζεηο ησλ επηδξάζεσλ πξέπεη λα είλαη ίζεο ή ζρεδόλ ίζεο. Ζ ηζόηεηα απηή ειέγρεηαη επίζεο κε εηδηθά es θαη δηαγξάκκαηα. Τρίηη προϋπόθεζη. Τα ιεγόκελα «καηάλοιπα» πξέπεη λα αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Ο όξνο θαηάινηπα αλαθέξεηαη ζηα ιάζε πνπ γίλνληαη ζηηο κεηξήζεηο. Σηελ αλάιπζε AOVA ηα θαηάινηπα (ζπκβνιίδνληαη σο e) είλαη ε δηαθνξά πνπ παξνπζηάδεη θάζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο πνπ κειεηάκε από ηελ ηηκή πνπ ζα είρε αλ αθνινπζνύζε πιήξσο ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Ο έιεγρνο ησλ θαηαινίπσλ γίλεηαη κε κηα ζεηξά δηαγξακκάησλ ηα νπνία είλαη ηα αθόινπζα: Residual Pls fr reamen 99 rmal Prbabili Pl f he Residuals Residuals Versus he ied Values Residual ied Value Hisgram f he Residuals Residuals Versus he Order f he Daa,0 4,5,0 0 1,5-0, Residual Observ ain Order Τα θαηάινηπα (residuals) πξέπεη λα αθνινπζνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή πξάγκα πνπ θαίλεηαη ζηα δύν αξηζηεξά δηαγξάκκαηα. Σπγθεθξηκέλα ην πάλσ αξηζηεξό δηάγξακκα (rmal prbabili pls f residuals) ειέγρεη ηελ θαλνληθόηεηα. Σύκθσλα κε απηό όηαλ νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο πνπ ειέγρνπκε είλαη πάλσ ζηελ δηαγώλην ηόηε ε θαηαλνκή είλαη θαλνληθή. Τν ίδην αθξηβώο θαίλεηαη θαη ζην ηζηόγξακκα από θάησ (Hisgram f residuals). Σε απηό ε θαηαλνκή ησλ θαηαινίπσλ αθνινπζεί ην ραξαθηεξηζηηθό ζρήκα ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο. Τέηαρηη προϋπόθεζη α θαηάινηπα πξέπεη λα αθνινπζνύλ θαλνληθή θαηαλνκή ηεο κνξθήο Ν~(0, ζ ) δειαδή λα έρνπλ κέζε ηηκή κεδέλ θαη ζηαζεξή δηαθύκαλζε (ζπκβνιίδεηαη γεληθά σο ζ ). Απηό θαίλεηαη ζην πάλσ δεμηό δηάγξακκα 89
17 (Residuals versus he fied values). Σην δηάγξακκα απηό νη ηηκέο ησλ θαηαινίπσλ θαηαλέκνληαη νκνηόκνξθα κε νκνηόκνξθε δηαζπνξά (ζηαζεξή ηππηθή απόθιηζε). Παξόκνηα ζεκαζία έρεη ην θάησ δεμηό δηάγξακκα (Residuals versus he rder f he daa). Σην δηάγξακκα απηό θαίλεηαη όηη ηα θαηάινηπα δελ παξνπζηάδνπλ θάπνηα ζπζηεκαηηθή ζπκπεξηθνξά δειαδή θαηαλέκνληαη πάλσ θαη θάησ από ηελ κέζε ηηκή ρσξίο λα πεξηνξίδνληαη ζε κηα ζπγθεθξηκέλε πεξηνρή ηνπ δηαγξάκκαηνο (π.ρ. πην πνιιά ζεκεία πάλσ από ηελ κέζε ηηκή). Παξαθάησ δίλεηαη ην θείκελν απάληεζεο ηεο AOVA w wa (Αλάιπζεο δηαθύκαλζεο θαηά δύν θξηηήξηα) όπσο πξνθύπηεη από ην ζηαηηζηηθό παθέην Miniab. Σπγθεθξηκέλα: Ο πίλαθαο απνηειεζκάησλ AOVA w wa Surce D P reamen 5 501,11 500, 158,5 0,000 Blck 7,11 1,55 4,0 0,045 rrr 10 1,5,15 al ,78 Παξαθάησ δίλεηαη ε ηηκή ηεο ηππηθήο απόθιηζεο (S) ε νπνία θπζηθά είλαη ίδηα γηα όια ηα επίπεδα. Δπηπιένλ δίλεηαη ε ηηκή ηνπ ιεγόκελνπ ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ (ζπκβνιίδεηαη r θαη γξάθεηαη σο R-sq) πνπ δείρλεη ηελ βεβαηόηεηα κε ηελ νπνία κπνξνύκε λα δερηνύκε ηα πξνεγνύκελα απνηειέζκαηα. Αλώηεξε ηηκή ηνπ r είλαη ην 100%. Καηά ζπλέπεηα εδώ ηα απνηειέζκαηα είλαη ηθαλνπνηεηηθόηαηα αθνύ ην r είλαη 98,77%. Τν R-Sq(adj) είλαη κηα θαιύηεξε πξνζαξκνγή ηνπ r θαη ζπκβνιίδεηαη σο r adj. S = 1,77 R-Sq = 98,77% R-Sq(adj) = 97,90% Αθνινπζνύλ νη ζπγθξίζεηο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ επηδξάζεσλ νη νπνίεο είλαη θαλεξό όηη δηαθέξνπλ πνιύ κεηαμύ ηνπο. Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev reamen Mean ,0000 (-*-) 7,7 (--*-) 54,7 (--*-) 4 7,0000 (-*-) 5 4,7 (--*-) 8, (-*--) Παξαθάησ δίλνληαη νη ζπγθξίζεηο ησλ κέζσλ ηηκώλ κεηαμύ ησλ κπινθο. Δίλαη θαλεξό όηη κπνξεί κελ νη κέζεο ηηκέο λα δηαθέξνπλ κεηαμύ ηνπο νη δηαθπκάλζεηο ηνπο όκσο αιιεινεπηθαιύπηνληαη θαη θαηά ζπλέπεηα δελ κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ όηη δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Individual 95% CIs r Mean Based n Pled SDev Blck Mean , ( * ) 49,0000 ( * ) 50, ( * ) ,4 48,0 49, 51, 90
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
Διαβάστε περισσότεραΑ Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος)
1 Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος) Άζκηζη 1.(5) Οη κέζεο κεληαίεο ζεξκνθξαζίεο ηνπ Ματνπ θαηά ηα ηειεπηαία ρξόληα ζε έλα ζηαζκό δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα [Πίλαθαο
Διαβάστε περισσότεραH ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
Διαβάστε περισσότεραΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότεραΚευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΜονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότεραεπαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP
ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη
Διαβάστε περισσότεραΑνάλσση παλινδρόμησης
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο
Διαβάστε περισσότεραΓοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ
Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε
Διαβάστε περισσότεραQ Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε
Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ
ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα
Διαβάστε περισσότεραα) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραiii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραΑιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου
Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Σηηο παξαθάησ γξακκέο εθαξκόζηε ηε κνξθνπνίεζε πνπ πεξηγξάθνπλ Γξακκή κε έληνλε γξαθή Γξακκή κε πιάγηα γξαθή Γξακκή κε ππνγξακκηζκέλε γξαθή Γξακκή κε Arial Font κεγέζνπο
Διαβάστε περισσότεραβ) (βαζκνί: 2) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά έρεη κέζε ηηκή 0 θαη είλαη αληηζηξέςηκε. Δίλεηαη ην αθόινπζν απνηέιεζκα από ην EViews γηα ηε :
1 ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ 2 ΑΠΟ ΤΑ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 α) (βαζκνί: 3) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά είλαη ζηάζηκε, αληηζηξέςηκε θαη αθνινπζεί ην ΑR(1) ππόδεηγκα. Να βξεζνύλ ε κέζε ηηκή, ε δηαζπνξά θαη ε απηνζπζρέηηζε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότεραImage J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων
Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,
Διαβάστε περισσότεραΤν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.
Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΆμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)
Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016
Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε
Διαβάστε περισσότερα(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε
Διαβάστε περισσότεραΣήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΝα ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.
Διαβάστε περισσότεραConstructors and Destructors in C++
Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη
Διαβάστε περισσότεραΕςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη
Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Μάθημα 11 Τμήμα Μάπκεηινγκ και Διοίκηζηρ Λειηοςπγιών Τα δηαγξάκκαηα θαηάζηαζεο (state diagrams) ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα βνεζήζνπλ ηνλ πξνγξακκαηηζηή λα θαηαιάβεη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2
ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ
Διαβάστε περισσότεραΆζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΔιαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ
Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Διαβάστε περισσότεραΔξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:
ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν
Διαβάστε περισσότεραΑντισταθμιστική ανάλυση
Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.
ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2
ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS
ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο
Διαβάστε περισσότεραΑνάλσση παλινδρόμησης
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς, Πολλαπλή Παλινδρόμηζη Ιδιότητεσ των υπολοίπων Ανάλυςη διακφμανςησ Οι προζαρμοζμένες ηιμές,... p p x x,,,..., ηεο κεηαβιεηήο
Διαβάστε περισσότεραΕπωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότεραΑ Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ. Τν βάξνο ησλ 28 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(2).
1 Α Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ ΑΣΚΗΣΗ 1.() Τν βάξνο ησλ 8 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(). ΠΗΝΑΚΑΣ 1.().Βάξε καζεηώλ κηαο ηάμεο 77.4 75.8 75.8 74.5 71.5 68.8 66.6 73.9 70.1 73.0 71.9 66.6 73.4
Διαβάστε περισσότεραΗ. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ
Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων
Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα
Διαβάστε περισσότεραΑ Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ.
Άσκηση cash flow tunnel Δίζηε επικεθαλήρ ηηρ ομάδαρ διασείπιζηρ κινδύνος πος αζσολείηαι με ηη λειηοςπγική ανάλςζη κινδύνυν μεγάληρ εηαιπείαρ διασείπιζηρ αςηοκινηηοδπόμυν. Έσεηε να παπαδώζεηε μελέηη πος
Διαβάστε περισσότεραΑπνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;
Διαβάστε περισσότεραΠαιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!
Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΗ/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ
Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0
Διαβάστε περισσότεραTOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2
TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε
Διαβάστε περισσότεραΣημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.
Διαβάστε περισσότεραΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ
ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ
ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό
Διαβάστε περισσότεραΤπολογιςτικέσ Εφαρμογέσ ςτην τατιςτική Επεξεργαςία Δεδομένων. Παραδείγματα Επίλυςησ παλαιοτέρων Θεμάτων
Τπολογιςτικέσ Εφαρμογέσ ςτην τατιςτική Επεξεργαςία Δεδομένων τα πλαίςια του μαθήματοσ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ, ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΣΟΙΦΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Δ. Υαςουλιώτησ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 0-06 Παραδείγματα Επίλυςησ παλαιοτέρων
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ
Διαβάστε περισσότεραΈκδοζη /10/2014. Νέα λειηοσργικόηηηα - Βεληιώζεις
Έκδοζη 2.89.31 08/10/2014 Η έκδοζη 2.89.31, περιλαμβάνει : Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Αναγγελία πρόζληυης (Ε3) 08/10/2014 1 Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Επεηδή ζηελ ειεθηξνληθή ππνβνιή
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ
1 Σ. Δ. Ι. ΓΤ Σ Ι Κ Η Μ Α Κ Δ Γ Ο Ν Ι Α ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ Σ Μ Η Μ Α Μ Η Υ Α Ν ΟΛΟ Γ Ι Α Δξγαζηήξην Μεραλνπξγηθώλ Καηεξγαζηώλ & CAD ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 2: Πνηόηεηα Δπηθάλεηαο Γξ. Βαξύηεο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγσορ Υποθέζεων Ολνκαηεπώλπκν: ΑΜ:. Όλνκα Παηξόο:...
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ Σηαηιζηική ΙΙ: Έλεγσορ Υποθέζεων Ολνκαηεπώλπκν: ΑΜ:. Όλνκα Παηξόο:... Ηκεξνκελία: Παπακαλώ μη γπάθεηε ζηα παπακάηω ηεηπάγωνα Μέρος Ι Μέρος ΙΙ ύνολο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότεραMaster Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
Διαβάστε περισσότερα5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη
5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital
Διαβάστε περισσότεραΈλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:
Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ
Διαβάστε περισσότεραΓηζδηάζηαηνη Πίλαθεο
Γηζδηάζηαηνη Πίλαθεο Άζθεζε 1. Να αλαπηύμεηε αιγόξηζκν ν νπνίνο κε δεδνκέλα ηα ζηνηρεία δπν δηζδηάζηαησλ πηλάθσλ αξηζκώλ ηδίσλ δηαζηάζεσλ ζα εμεηάδεη αλ νη πίλαθεο είλαη ίζνη, ελώ ζηελ πεξίπησζε πνπ δελ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότεραB-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.
B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν
Διαβάστε περισσότεραΔνκέο Επαλάιεςεο - Άιπηεο αζθήζεηο. 1. Να ζρεκαηίζεηε ηνλ πίλαθα ηηκώλ γηα ηα παξαθάησ ηκήκαηα αιγνξίζκσλ. Τί ζα εθηππσζεί ηειηθά;
Δνκέο Επαλάιεςεο - Άιπηεο αζθήζεηο 1. Να ζρεκαηίζεηε ηνλ πίλαθα ηηκώλ γηα ηα παξαθάησ ηκήκαηα αιγνξίζκσλ. Τί ζα εθηππσζεί β -5 Όζν β
Διαβάστε περισσότεραΑγορές Χρήματος & Κεφαλαίου
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ενότητα 9: ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ
1 ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ ΝΟΗΠΚΝΠ 2 Τν πεηξέιαην, πνπ κεξηθέο θνξέο ζηελ θαζεκεξηλή γιώζζα απνθαιείηαη θαη μαύπορ σπςσόρ ή τσάι τος Ρέξαρ, είλαη
Διαβάστε περισσότεραΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ
ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά
Διαβάστε περισσότερα