ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ"

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Τμήμα Φυσικής Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Διατριβή για την απόκτηση του Διδακτορικού Διπλώματος Φυσικών Επιστημών Aθήνα, Ιούνιος 2010

2

3

4 "The happiest moments of my life have been those few which I have passed at home, in the bosom of my family." Thomas Jefferson Ολόψυχα αφιερωμένο στην οικογένεια μου.

5 Χωρίς την υπομονή και την τελειομανία της Αθηνάς, η διατριβή αυτή δε θα είχε πάρει ποτέ αυτή της τη μορφή. Για την απίστευτη βοήθειά της και για τις πάμπολλες κρίσεις εκνευρισμού από τις οποίες με έσωσε, η διατριβή αυτή είναι δική της (όσο και αν αμφιβάλλω για την καταλληλότητά της ως δείγμα ευγνωμοσύνης). vi

6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Η διατριβή αυτή εγκρίνεται στην παρούσα μορφή της από την Τριμελή Συμβουλευτική Επιτροπή του Παναγιώτη Μερτικόπουλου ως πληρούσα τις προϋποθέσεις για την απόκτηση του Διδακτορικού Διπλώματος Φυσικών Επιστημών. ΤΑ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΤΡΙΜΕΛΟΥΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ. (Επιβλέπων) Ημ/νία Ημ/νία Ημ/νία vii

7

8 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Internet είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μίας εξαιρετικά περίπλοκης οντότητας: αποτελείται από δισεκατομμύρια (τεχνητά) μέλη που λειτουργούν σχετικά απλά σε απομόνωση, αλλά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με πολυπλοκότητα που είναι πολύ δύσκολο να κατανοηθεί από τους ανθρώπινους δημιουργούς τους. Έτσι, ένα πολλά υποσχόμενο πλαίσιο ανάλυσης αυτών των αλληλεπιδράσεων στηρίζεται στη θεωρία παιγνίων, μία επιστήμη στην οποία έχει ανατεθεί η (συχνά ουτοπική) αποστολή της κατανόησης ενός ακόμα πιο δυσνόητου και πολύπλοκου μηχανισμού, της ανθρώπινης νόησης. Ωστόσο, είναι ακριβώς αυτός ο θεμελιώδης στόχος της θεωρίας παιγνίων που φαίνεται να αντιφάσκει με την εφαρμογή της σε αυτό το πλαίσιο: είναι πράγματι δυνατό να εφαρμόσουμε τις γνώσεις μας για τις ανθρώπινες αλληλεπιδράσεις και συμπεριφορές σε δίκτυα μηχανών που στερούνται συναισθημάτων και παρορμήσεων; Η αντίφαση αυτή ωστόσο λύνεται αν θυμηθούμε πως η θεωρία παιγνίων περιλαμβάνει τη μελέτη της "λογικότητας" στην πιο αφηρημένη της μορφή και άρα μπορεί να εφαρμοστεί και σε οντότητες που έχουν περιορισμένη ή και μηδενική ικανότητα λογικής σκέψης (π.χ. ζώα, βακτήρια, ή, στην περίπτωσή μας, υπολογιστές). Αυτή η συλλογιστική έχει οδηγήσει στην εξελικτική θεωρία παιγνίων (ΕΘΠ), ένα παρακλάδι της θεωρίας παιγνίων που ασχολείται με μεγάλους πληθυσμούς μετά βίας νοημόνων οργανισμών οι οποίοι αλληλεπιδρούν σε ανταγωνιστικά περιβάλλοντα που προάγουν τη φυσική επιλογή. Έτσι, αυτές οι εξελικτικές μέθοδοι αυτές είναι ιδιαίτερα ελκυστικές για τη μελέτη των εσωτερικών διεργασιών των δικτύων επικοινωνίας, αφού οι χρήστες του Internet σχεδόν πάντα ανταγωνίζονται για τους πόρους του δικτύου τους. Ίσως το πιο πολυμελετημένο τέτοιο μοντέλο εξέλιξης πληθυσμών είναι η δυναμική των αντιγραφέων, ένα δυναμικό σύστημα που εισήχθη από τους Taylor και Jonker [1] για τη μελέτη των αλληλεπιδράσεων διαφορετικών φαινοτύπων ενός βιολογικού είδους. Αυτή η μελέτη σύντομα προκάλεσε το ενδιαφέρον των ανθρώπων που δούλευαν στη θεωρία παιγνίων και μετά από μια δεκαετία περίπου κατέληξε στο "παραδοσιακό θεώρημα" της ΕΘΠ, ένα θεώρημα που συνδέει την εξέλιξη και τη λογικότητα, δείχνοντας έτσι πως αυτό που εμφανίζεται ως αποτέλεσμα λογικής σκέψης είναι στην πραγματικότητα το αποτέλεσμα της φυσικής επιλογής που ευνοεί την επιβίωση του "ισχυρότερου". Αν, όμως, η λογικότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως το αποτέλεσμα μιας εξελικτικής διαδικασίας, τότε, με την εισαγωγή κατάλληλων κριτηρίων επιλογής, η εξέλιξη μπορεί αν καθοδηγηθεί σε οποιαδήποτε κατάσταση είναι αποδοτική με αυτά τα κριτήρια. Με αυτόν τον τρόπο η δυναμική των αντιγραφέων αποκτά μια διαφορετική λειτουργία, αυτή ενός μηχανισμού μάθησης που οι χρήστες ενός δικτύου μπορούν να χρησιμοποιήσουν ώστε να φτάσουν σε μια "κοινωνικά αποδοτική" σταθερή κατάσταση. Με άλλα λόγια, εκμεταλλευόμενοι τα κίνητρα των «παικτών», οι σχεδιαστές του "παιγνίου" μπορούν να τους οδηγήσουν σε οποιαδήποτε κατάσταση τους συμφέρει. Το κεντρικό ζήτημα που θα μας απασχολήσει σε αυτή τη διατριβή είναι το τί συμβαίνει αν, εκτός από την πολυπλοκότητα των αλληλεπιδράσεων ix

9 των παικτών (π.χ. των χρηστών ενός δικτύου), το πρόβλημα περιπλέκεται περαιτέρω από την παρουσία εξωγενών και απρόβλεπτων διαταραχών, που συχνά ονομάζονται συλλογικά «φύση». Βρίσκουμε ότι αυτές οι τυχαίες διακυμάνσεις διαφοροποιούν τελικά εξέλιξη και μάθηση και οδηγούν σε διαφορετικές (στοχαστικές) εκφράσεις της δυναμικής των αντιγραφέων. Εντυπωσιακό είναι πως στην περίπτωση της μάθησης πολλές ιδιότητες της λογικότητας παραμένουν αδιατάρακτα από την εισαγωγή του θορύβου: ανεξαρτήτως του μεγέθους των στοχαστικών διακυμάνσεων, οι παίκτες εξακολουθούν να αναγνωρίζουν τακτικές που είναι υποδεέστερες των βέλτιστων, κάτι που δεν είναι πάντα δυνατό στην περίπτωση της εξέλιξης. Επιπλέον, τα «αυστηρά σημεία ισορροπίας» (κατά Nash) του παιγνίου (μια σημαντική κλάση σταθερών καταστάσεων), προκύπτουν στοχαστικά ευσταθή και ελκτικά, πάλι ανεξαρτήτως του επιπέδου του θορύβου. Από την άποψη της θεωρίας δικτύων (όπου οι στοχαστικές διαταραχές είναι πανταχού παρούσε), η σημασία αυτών των αποτελεσμάτων είναι ότι εγγυώνται την ευρωστία (robustness) της δυναμικής των αντιγραφέων παρουσία θορύβου. Έτσι, αν οι χρήστες ενός δικτύου με στοχαστικές διακυμάνσεις ακολουθήσουν ένα σχέδιο μάθησης αντιγραφέων και αν είναι αρκετά υπομονετικοί, δείχνουμε ότι η ροή κυκλοφορίας στο δίκτυο συγκλίνει σε μια αναλλοίωτη (σταθερή) κατανομή που είναι συγκεντρωμένη σε μια μικρή περιοχή του σημείου ισορροπίας του δικτύου. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ. Κεφάλαιο. 1 Εισαγωγή. Κεφάλαιο 2 Στοιχεία θεωρίας παιγνίων. Κεφάλαιο 3 Στοιχεία λογισμού Itô. Κεφάλαιο 4 Διαταραχές σε παίγνια Nash. Κεφάλαιο 5 Διαταραγμένα παίγνια δυναμικού. Κεφάλαιο 6 Προβλήματα δρομολόγησης. Κεφάλαιο 7 Παίγνια σε ασύρματα δίκτυα. προαπαιτούμενο βοηθητικό x

10 ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ Μέρος της παρούσας διδακτορικής διατριβής έχει ήδη δημοσιευθεί στα παρακάτω άρθρα: 1. Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "Balancing traffic in networks: redundancy, learning and the effect of stochastic fluctuations", υπό κρίση. URL: 2. Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "The emergence of rational behavior in the presence of stochastic perturbations", The Annals of Applied Probability, τ. 20, αρ. 4, Ιούλιος URL: org/abs/ Π. Καζακόπουλος, Π. Μερτικόπουλος, Α. Λ. Μουστάκας και G. Caire: "Living at the edge: a large deviations approach to the outage MIMO capacity", IEEE Transactions on Information Theory (υπό δημοσίευση). URL: 4. Π. Καζακόπουλος, Π. Μερτικόπουλος, Α. Λ. Μουστάκας και G. Caire: "Distribution of MIMO mutual information: a large deviations approach", ITW '09: Proceedings of the 2009 IEEE Workshop on Networking and Information Theory. 5. Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "Learning in the presence of noise", GameNets '09: Proceedings of the 1st International Conference on Game Theory for Networks, Μάιος Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "Correlated anarchy in overlapping wireless networks", IEEE Journal on Selected Areas in Communications, τ. 26, αρ. 7, ειδικό τεύχος για τις εφαρμογές της θεωρίας παιγνίων στα δίκτυα τηλεπικοινωνιών, Σεπτέμβριος URL: http: //arxiv.org/abs/ Π. Μερτικόπουλος, Ν. Δημητρίου και Α. Λ. Μουστάκας: "Vertical handover between service providers", WiOpt '08: Proceedings of the 6th International Symposium on Modelling and Optimization of Wireless Networks, Απρίλιος Ν. Δημητρίου, Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "Vertical handover between wireless standards", ICC'08: Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Communications, Μάιος Π. Μερτικόπουλος και Α. Λ. Μουστάκας: "The Simplex Game: can selfish users learn to operate efficiently in wireless networks?", Game- Comm '07: Proceedings of the 1st International Workshop on Game Theory for Communication Networks, Οκτώβριος xi

11

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή Το φυσικό περιβάλλον της θεωρίας παιγνίων Εξέλιξη, Μάθηση, και η Δυναμική των Αντιγραφέων Η Επίδραση των Στοχαστικών Διακυμάνσεων Δομή της Διατριβής και Επισκόπηση Αποτελεσμάτων 9 Συμβολισμοί και Συμβάσεις 11 2 Στοιχεία Θεωρίας Παιγνίων Παίγνια σε Κανονική Μορφή Παίγνια N παικτών Πληθυσμοί και Εξελικτικά Παίγνια Πάιγνια Δυναμικού Παίγνια Συμφόρησης Έννοιες Λύσης στη Θεωρία Παιγνίων Κυριαρχημένες Στρατηγικές Ισορροπία κατά Nash Αιτιολογώντας την Ισορροπία: Συσχέτιση και Εξέλιξη Εξέλιξη, Μάθηση, και η Δυναμική των Αντιγραφέων Η Δυναμική των Αντιγραφέων Εντροπία και Λογικότητα 32 3 Στοιχεία Στοχαστικής Ανάλυσης Κίνηση Brown Στοχαστική Ολοκλήρωση Λογισμός Itô και Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις Διαχύσεις και οι Γεννήτορές τους 38 4 Στοχαστικές Διακυμάνσεις σε Παίγνια Nash Εκθετική Μάθηση Μάθηση και Θόρυβος Εξαφάνιση των Κυριαρχημένων Στρατηγικών Στοχαστική Ευστάθεια της Ισορροπίας Nash 50 5 Στοχαστικές Διαταραχές σε Παίγνια Πληθυσμών Αιτιοκρατική Εξέλιξη σε Παίγνια Πληθυσμών Εκθετική Μάθηση και Λογικότητα Εξέλιξη στα Παίγνια Δυναμικού Στοχαστικές Διακυμάνσεις 64 6 Προβλήματα Δρομολόγησης Δίκτυα και Μοντέλα Συμφόρησης Δίκτυα και Ροές Μοντέλα Συμφόρησης και Ισορροπία Μάθηση, Εξέλιξη, και Λογικότητα Μάθηση και η Δυναμική των Αντιγραφέων Εντροπία και Λογικότητα 78 xiii

13 xiv Περιεχόμενα 6.3 Μοντέλα Συμφόρησης με Στοχαστικές Διακυμάνσεις Η Στοχαστική Δυναμική των Αντιγραφέων Στοχαστικές Διακυμάνσεις και Λογικότητα Ορισμένα Παραλειπόμενα 86 7 Εφαρμογές σε Ασύρματα Δίκτυα Το Παίγνιο των Πλεγμάτων Εγωισμός και Απόδοση Έννοιες Ισορροπίας Αναρχία και Αποτελεσματικότητα Εξέλιξη και Στάσιμες Καταστάσεις Υπολογίζοντας το Κόστος της Αναρχίας 96 8 Συμπεράσματα Μερικά Ανοικτά Ζητήματα 105 Βιβλιογραφία 109

14 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Εσώφυλλο "Melencolia I", Albrecht Dürer (χαλκογραφία, 1514) iii Σχήμα 2.1 Το "πέτρα-ψαλίδι-χαρτί" σε στρατηγική μορφή 16 Σχήμα 5.1 Ένας ελκυστής που δεν είναι εξελικτικά ευσταθής 60 Σχήμα 5.2 Το τετραγωνικό φράγμα του Λήμματος Σχήμα 6.1 Αναγωγίσιμα και μη αναγωγίσιμα δίκτυα 74 Σχήμα 6.2 Το παράδοξο του Braess 77 Σχήμα 6.3 Μάθηση σε αναγωγίσιμα και μη αναγωγίσιμα δίκτυα 85 Σχήμα 7.1 Σύγκλιση ενός πλεγματικού παιγνίου σε ισορροπία 96 Σχήμα 7.2 Ανεξαρτησία από την απόδοση των κόμβων 97 Σχήμα 7.3 Επιλογές, στρατηγικές, και το κόστος της αναρχίας 100 Σχήμα 7.4 Ασυμπτωτικές προσεγγίσεις και μικρά N 101 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.1 Ευρετήριο παιγνιοθεωρητικών χαρακτηρισμών 19 ΑΚΡΩΝΥΜΑ BNN ΣΣΙ ΕΘΠ ΕΕΣ IEEE ΑΕΚ FP MIMO NEQ ΡΣΑ ΣΔΕ TCP δυναμική Brown-von Neumann-Nash σημείο συσχετισμένης ισορροπίας εξελικτική θεωρία παιγνίων εξελικτικά ευσταθής στρατηγική Institute of Electrical and Electronics Engineers ανασκοπική εξίσωση Kolmogorov εξίσωση Fokker-Planck multiple-input, multiple-output ισορροπία κατά Nash ρήξη συμμετρίας αντιγράφων στοχαστική διαφορική εξίσωση Transmission Control Protocol xv

15 xvi UDP WEQ WLAN User Datagram Protocol ισορροπία κατά Wardrop Wireless Local Area Network

16 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Χωρίς αμφιβολία, το Internet είναι ένα κτήνος, και μάλιστα, εξαιτίας της ιστοειδούς πολυπλοκότητάς του, φέρει πολλές ομοιότητες στα αραχνοειδή. Σύμφωνα με την τελευταία απογραφή του Δεκεμβρίου του 2009, ο τρέχων αριθμός των ανθρωπίνων χρηστών του Internet έχει φτάσει τον εντυπωσιακό αριθμό των 1.8 δισεκατομμυρίων, λίγο πάνω από το ένα τέταρτο του πληθυσμού της Γης. Ενώ αυτοί οι ανθρώπινοι χρήστες σερφάρουν ταυτόχρονα το δίκτυο, ελέγχουν το ηλεκτρονικό τους ταχυδρομείο και μοιράζονται τα αρχεία τους στο RapidShare, δημιουργούνται ταυτόχρονα ορδές εικονικών "χρηστών εφαρμογών", ο αριθμός των οποίων είναι αδύνατο να υπολογιστεί. Για να καταστεί δυνατή η ανταπόκριση στα αιτήματα όλων αυτών των χρηστών, το Internet έχει διαμοιραστεί σε περίπου αυτόνομα συστήματα (πρακτικά ανεξάρτητα τοπικά υποδίκτυα), τα οποία διαχειρίζονται περισσότεροι από διακομιστές οι οποίοι λειτουργούν στην τεράστια ταχύτητα των 100 Gbps.¹ Και παρ όλα αυτά, υπάρχουν στιγμές που αυτή η γιγαντιαία υποδομή ακινητοποιείται, αδυνατώντας να επεξεργαστεί τα δισεκατομμύρια αιτημάτων που ανταγωνίζονται μεταξύ τους στην αχανή αυτή κλίμακα. Υπάρχει λοιπόν ελπίδα να δαμάσουμε αυτόν τον πεπλεγμένο ιστό χρηστών και των τυπικά αντικρουόμενων αιτημάτων τους; Δεδομένου του ότι τα προγράμματα και οι browsers μας όντως λειτουργούν χωρίς προβλήματα (συνήθως, τουλάχιστον), θα μπορούσε κανείς να πει ότι ήδη τα έχουμε καταφέρει. Από την άλλη μεριά, όπως ο Κωστής Δασκαλάκης επισημαίνει στη διατριβή του [2], αυτό δε σημαίνει ότι κατανοούμε πραγματικά τις εσωτερικές διεργασίες του Internet: αν μια ιστοσελίδα δε φορτώσει, έχουμε όντως τα μέσα να ακολουθήσουμε την αντίστροφη πορεία που θα μας οδηγήσει από το πρόβλημα στην πραγματική του πηγή (που θα μπορούσε να είναι ένα σφάλμα πρωτοκόλλου που συνέβη στην άλλη άκρη της υφηλίου); Και, κάτι που έχει μεγαλύτερη σημασία, έχουμε κάποιου είδους ικανότητα πρόγνωσης τέτοιων σφαλμάτων; Η σύντομη απάντηση και στα δύο αυτά ερωτήματα είναι "όχι", κάτι που κατά κύριο λόγο οφείλεται στην πολυπλοκότητα του Internet: θα χρειαζόταν ένας υπολογιστής του μεγέθους του Internet για την απλή παρακολούθηση αυτής της διαδικασίας, πόσο μάλλον για την κατανόησή της. Αντιστρέφοντας, όμως, αυτό το επιχείρημα βλέπουμε ότι το ίδιο το Internet θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να κατανοηθεί η λειτουργία του: όπως συμβαίνει με τα μόρια ενός αερίου, η δυναμική κάθε χρήστη είναι σχετικά απλή, οπότε, αν και δεν μπορεί κανείς να προβλέψει τις πράξεις ενός συγκεκρι- 1 Αυτά τα στατιστικά στοιχεία για τη χρήση του Internet είναι απλώς εκτιμήσεις των πραγματικών μεγεθών. Οι πιο ακριβείς πηγές για τέτοιου είδους πληροφορίες είναι η Αμερικανική Υπηρεσία Απογραφών (http://www.census.gov) και η Κοινοπραξία Παγκόσμιων Στατιστικών του Διαδικτύου (http://internetworldstats.com/stats.htm). 1

17 2 μένου χρήστη, οι νόμοι της στατιστικής μπορούν να χρησιμοποιηθούν ώστε να συναχθούν συμπεράσματα για τη γενική ροή μελλοντικών γεγονότων. Αυτή ακριβώς είναι η ιδέα που έχει φέρει τη θεωρία παιγνίων στο προσκήνιο των θεωρητικών ερευνών σχετικά με τη φύση του Internet και κατ αυτόν τον τρόπο έδωσε νέα ώθηση σε έναν, κατά τα άλλα μη συγγενή, τομέα των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Βοηθώντας μας να κατανοήσουμε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ χρηστών σε τοπική κλίμακα (ή, αντίστροφα, να τις ελέγξουμε), η θεωρία παιγνίων ίσως μας παράσχει τα εφόδια που χρειαζόμαστε για να μελετήσουμε και να κατευθύνουμε την εξέλιξη του Διαδικτύου. 1.1 ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Ο στόχος της Θεωρίας Παιγνίων, Η θεωρία παιγνίων, όπως και η αντίστοιχή της φανταστική επιστήμη, η ψυχοϊστορία, έχει έναν πολύ φιλόδοξο στόχο: να εξηγήσει και να προβλέψει τη συμπεριφορά εγωιστικών ατόμων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και με το περιβάλλον τους. Αλλά αν και η πένα του Asimov δάνεισε την ιδιοφυΐα του δημιουργού στους ψυχοϊστορικούς της Γαλαξιακής Αυτοκρατορίας, η ψυχολογία, η επιστήμη της νόησης ή ακόμα και η φιλοσοφία είναι μάλλον πιο κατάλληλες να καταπιαστούν με το δύσκολο εγχείρημα της κατανόησης της ανθρώπινης λογικότητας (rationality). Η προσπάθεια να προσδιοριστούν ποσοτικά τα χαρακτηριστικά της ανθρώπινης συμπεριφοράς με τα μαθηματικά εργαλεία που είναι αυτή τη στιγμή στη διάθεση της θεωρίας παιγνίων είναι ένα χιμαιρικό κυνήγι που απειλεί την ίδια την αξιοπιστία του κλάδου. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το πολυ-διαφημισμένο αλλά τελικά μάλλον παρεξηγημένο Δίλημμα του Φυλακισμένου, που προτάθηκε από τον Μerrill Flood ενώ δούλευε στο RAND [3]: δύο φυγάδες συλλαμβάνονται από τις Αρχές και, ελλείψει επαρ- κών στοιχείων για καταδίκη, τους προσφέρεται η ίδια μυστική συμφωνία. Ο φυλακισμένος που θα δώσει ενοχοποιητικά στοιχεία για το συνεργό του θα αφεθεί ελεύθερος, ενώ ο εν λόγω συνεργός θα καταδικαστεί σε δεκαετή κάθειρξη. Αν προδώσουν ο ένας τον άλλον θα εκτίσουν ποινή φυλάκισης 5 ετών ο καθένας, και αν κανείς δε μιλήσει θα καταδικαστούν και οι δύο σε εξάμηνη κάθειρξη για κάποιο ασήμαντο πλημμέλημα. Πώς θα βγουν οι φυλακισμένοι από αυτή τη δύσκολη θέση; Αντίθετα με αυτό που μάλλον θα περίμενε κανείς, η Θεωρία Παιγνίων προβλέπει ότι η "ισορροπία" (κατά Nash) αυτού του διλήμματος είναι η αμοιβαία προδοσία των φυλακισμένων και οι δύο θα "προδώσουν" κατά την παιγνιοθεωρητική ορολογία. Μία δικαιολόγηση αυτής της έννοιας λύσης είναι πως τα κέρδη της προδοσίας υπερισχύουν των κερδών της σιωπής: με άλλα λόγια, δεδομένης της επιλογής που θα κάνει ο αντίπαλος (στην πραγματικότητα ανεξάρτητα από αυτήν), είναι προτιμότερη η προδοσία: η ελευθερία είναι καλύτερη από 6 μήνες φυλάκισης και 5 χρόνια στη φυλακή είναι προτιμότερα από 10. Δεν αποτελεί έκπληξη ότι η λύση αυτή είναι αμφιλεγόμενη: δεν είναι άλλωστε καλύτερο να στοχεύσει κανείς στο κοινό καλό και να μπεί στη φυλακή για έξι μόνο μήνες από το να ρισκάρει πενταετή φυλάκιση?² Είναι, όμως, πράγματι έτσι? Υπάρχουν αυτοί που θα έπαιρναν ανιδιοτελώς το ρίσκο να εμπιστευθούν το συνεργό τους επιδιώκοντας μια επωφελή και για τους δύο κατάληξη και υπάρχουν και εκείνοι που εγωιστικά θα άρπαζαν την ευκαιρία να παραμείνουν ελεύθεροι, χωρίς δεύτερη σκέψη. Αλλά τί θα οι εφαρμογές της, και οι εγγενείς δυσκολίες 2 Είναι ενδιαφέρον ότι σε ένα ψυχολογικό πείραμα που μιμούταν τις συνθήκες του Διλήμματος του φυλακισμένου, πάνω από 40% των συμμετεχόντων επέλεξε να μη μιλήσει [4].

18 1.1 3 συνέβαινε αν η ποινή της αμοιβαίας σιωπής ήταν όχι έξι μήνες αλλά έξι μόνο μέρες? Ή, αντίθετα, τί θα συνέβαινε η καταδίκη επέσειε τη θανατική ποινή? Aν και εύλογα, τέτοια ερωτήματα αναγκαστικά μας απομακρύνουν από την επιστήμη και μας βυθίζουν βαθιά στη σφαίρα της εικασίας, που είναι καλύτερο να αφεθεί στους μεγάλους λογοτέχνες των καιρών μας. Όσο τεράστιες περιοχές του ανθρώπινου μηχανισμού λήψης αποφάσεων παραμένουν αχαρτογράφητες, δεν υπάρχει μαθηματικός τρόπος να προσδιοριστούν ποσοτικά οι "λογικές" αντιδράσεις των ανθρώπων σε κάποιο ερέθισμα, ακόμα και όταν το ερέθισμα αυτό καθαυτό μπορεί να προσδιορισθεί ποσοτικά (που στο Δίλημμα του Φυλακισμένου, αυτό δεν είναι δυνατό). Συνεπώς, η εξήγηση (ή, καλύτερα, η πρόβλεψη) της ανθρώπινης συμπεριφοράς βάσει της Θεωρίας Παιγνίων δε φαίνεται ρεαλιστική προοπτική προς το παρόν. Υπάρχουν δύο τρόποι να ξεπεραστεί αυτό το αδιέξοδο. Ο ένας έγκειται στη μείωση της πολυπλοκότητας των υπό θεώρηση στρατηγικών σεναρίων, ώστε να μπορεί τουλάχιστον κανείς να κάνει επαληθεύσιμες προβλέψεις όσον αφορά ανθρώπινους παίκτες σε απλά προβλήματα αποφάσεων. Για παράδειγμα, μία ιδέα που διερευνήθηκε με ενθουσιασμό τη δεκαετία του 60 ήταν η ενσωμάτωση της επίδρασης που τα (υποκειμενικά) πιστεύω ενός ατόμου είχαν στο μηχανισμό λήψης αποφάσεών του. Αλλά, ακόμα και σε στοιχειώδες επίπεδο, αυτό οδήγησε σε μία ατέρμονη σειρά υποκειμενικών πεποιθήσεων για τις υποκειμενικές πεποιθήσεις ενός άλλου ανθρώπου, τις δικές τους πεποιθήσεις για αυτές τις πεποιθήσεις κ.ο.κ. ad nauseam. Aπό αυτή τη συζήτηση γεννήθηκαν μεγαλόπρεπες δομές της θεωρίας συνόλων όπως ο "πύργος πεποιθήσεων" του Ηarasanyi (γνωστού και ως "ιεραρχία πεποιθήσεων" [5]), αλλά, όπως και στην περίπτωση του βιβλικού του προκατόχου στη Βαβυλώνα, ο αρχικός στόχος του πύργου δεν επετεύχθει. Οι ιεραρχίες πεποιθήσεων αποτέλεσαν ένα τεράστιο βήμα στην κατανόηση της λογικότητας κατά Bayes το πρωτοποριακό έργο του Aumann [6] πάνω στην υποκειμενικότητα και τη συσχέτιση ήταν ένα άλλο πολύ σημαντικό βήμα αλλά το σημαντικότερο μέρος της πολυπλοκότητας της ανθρώπινης λογικότητας μας διαφεύγει ακόμα (και κατά πάσα πιθανότητα θα συνεχίσει να μας διαφεύγει για αρκετό καιρό). Άλλες προσπάθειες να δικαιολογηθούν οι προβλέψεις της θεωρίας παιγνίων εξειδικεύοντας την έννοια της ισορροπίας δεν ήταν τόσο επιτυχείς. Όπως μεμφόμενος παρατήρησε ο Ken Binmore "διάφορα μπιχλιμπίδια προσαρτήθηκαν στην ιδέα της λογικότητας", το καθένα μία αντικειμενική αντανάκλαση της υποκειμενικής ερμηνείας του δημιουργού του, για το τί συνιστά λογική συμπεριφορά. Έτσι, όπως θα περίμενε κανείς, αυτή η άτακτη προσέγγιση σύντομα οδήγησε στην ενοχλητική κατάσταση όπου "σχεδόν κάθε ισορροπία κατά Nash μπορούσε να δικαιολογηθεί βάσει του ενός ή του άλλου ορισμού".³ Η άλλη προσπάθεια παράκαμψης της αδυναμίας των μαθηματικών να αντιμετωπίσουν τα ανθρώπινα είναι πιο ριζοσπαστική. Όπως προαναφέρθηκε, ο στόχος που τέθηκε στη θεωρία παιγνίων ήταν η κατανόηση της συμπεριφοράς εγωιστικών ατόμων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αλλά είναι η έννοια του "εγωιστικού ατόμου" πραγματικά συνώνυμη με αυτή του "εγωιστή ανθρώπου"; Ο "εγωισμός" δεν είναι μία αποκλειστικά ανθρώπινη μάστιγα: εμφανίζεται και στις μεγαλοπρεπείς σεκόϊες που αγωνίζονται να Υποκειμενικότητα και εξειδικεύσεις 3 Από τον πρόλογο του Binmore στο βιβλίο του Weibull [7, σελ. ix]. Δεν μπορώ παρά να αναρωτηθώ αν μοιράζονται αυτό το συναίσθημα οι φυσικοί και οι μαθηματικοί που δουλεύουν στη θεωρία χορδών, όπου σχεδόν κάθε κατάσταση κενού είναι αρκετά ασαφής ώστε να εξηγεί οποιοδήποτε παρατηρήσιμο φαινόμενο σε χαμηλότερες ενέργειες.

19 4 Εξελικτική Θεωρία Παιγνίων και οι δικτυακές εφαρμογές της διαπεράσουν τη σκιά των ίδιων των συστάδων τους προκειμένου να φτάσουν στο φως του Ήλιου σε μια πιο βίαιη εκδήλωση, το νέο αρσενικό λιοντάρι μιας αγέλης επιτίθεται στα μικρά του προηγούμενου αρσενικού για να διασφαλίσει τη θέση του και ακόμα και στον αυστηρά ρυθμιζόμενο χώρο της τεχνολογίας, υπάρχουν αχόρταγες οντότητες όπως οι υπολογιστές, που συνεχώς ανταγωνίζονται για περισσότερους πόρους προκειμένου να ολοκληρώσουν τα εντεταλμένα τους καθήκοντα. Έτσι, αντί να εξετάζουμε τη συμπεριφορά των ανθρώπων (ίσως των πιο περίπλοκων υπάρξεων στο γνωστό σύμπαν), μπορούμε να αρχίσουμε να μελετάμε τη λογικότητα πιο ταπεινά, εξετάζοντας τη συμπεριφορά ατόμων των οποίων τα κίνητρα και οι αντιδράσεις μπορούν να προσδιοριστούν ποσοτικά με αντικειμενικό τρόπο. Αυτή η ιδέα προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Maynard Smith και Price [8], τους εμπνευστές της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων. Όπως ήδη είπαμε, η βασική τους ιδέα ήταν αφοπλιστικά απλή: εστίασαν σε είδη των οποίων τα χαρακτηριστικά ερεθίσματος-απόκρισης προσδιορίζονται πλήρως από τον γενετικό τους προγραμματισμό (π.χ. τα χαρακτηριστικά ανάπτυξης και αναπαραγωγής των βακτηρίων). Κατ αυτόν τον τρόπο, χωρίς πια να παρεμποδίζονται από την πολυπλοκότητα των υψηλού επιπέδου νοητικών διεργασιών του ανθρώπου, οι Maynard Smith και Price άνοιξαν το δρόμο για μία πληθώρα χειροπιαστών εφαρμογών της θεωρίας παιγνίων στη βιολογία πληθυσμών. Έχει ενδιαφέρον το πώς, ενώ η υποχώρηση του πιο αδύναμου ζώου από διαγωνισμούς δύναμης πριν υπάρξουν θανατηφόρα τραύματα είχε προηγουμένως αποδοθεί σε αλτρουιστική συμπεριφορά που εξυπηρετούσε το "καλό του είδους", δείχτηκε ότι αυτό στην πραγματικότητα είναι μία (εγγενώς εγωιστική) εξελικτικά ευσταθής στρατηγική (ΕΕΣ). Είναι ειρωνικό το πως, προχωρώντας αυτό το συλλογισμό στα άκρα, βλέπουμε ότι το πιο πρόσφορο έδαφος για τέτοια εξελικτικά παίγνια είναι εκεί όπου οι βιολογικοί οργανισμοί απουσιάζουν παντελώς: ο κόσμος των δικτύων υπολογιστών. Πράγματι, εξαιρώντας δυσλειτουργίες και παρόμοια (σχετικά σπάνια) προβλήματα, ένας υπολογιστής θα αντιδράσει σε ένα δεδομένο ερέθισμα ακριβώς όπως προγραμματίστηκε να αντιδράσει. Έτσι, οι αλληλεπιδράσεις υπολογιστών θα διέπονται από ένα σύνολο πολύ συγκεκριμένων κανόνων και πρωτοκόλλων, που δεν αφήνουν περιθώρια αμφιβολίας ή αβεβαιότητας. Επομένως, δεδομένου του ότι ο άνους (αλλά και εγωιστικός) στόχος πίσω από τον προγραμματισμό κάθε υπολογιστή είναι η διεκπεραίωση των εντεταλμένων του καθηκόντων ανεξάρτητα από το περιβάλλον του (οτιδήποτε δεν εισάγεται ως δεδομένο), βλέπουμε ότι τέτοια δίκτυα είναι τα καλύτερα υποκείμενα παιγνιοθεωρητικών θεωρήσεων.⁴ 1.2 ΕΞΕΛΙΞΗ, ΜΑΘΗΣΗ, ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΑΝΤΙΓΡΑΦΕΩΝ Εξέλιξη και μάθηση Οι εφαρμογές της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων στα δίκτυα είναι διττές. Κατ αρχήν, όπως και στη βιολογία πληθυσμών, ένα ζητούμενο είναι η κατανόηση της εξέλιξης του δικτύου, εξετάζοντας τις εγωιστικές αλληλεπιδράσεις των μερών του και καθορίζοντας τις καταστάσεις που είναι "ευσταθείς" ως προς τις αλληλεπιδράσεις αυτές. Αυτή η κατεύθυνση περιγράφεται συνήθως από τον όρο "εξέλιξη" και βρίσκεται στο προσκήνιο των παιγνιοθεωρητικών ερευνών μετά την πρωτοποριακή δουλειά των Maynard 4 Για μια διεξοδική μελέτη δείτε το άρθρο των Altman et al. και τις εκεί αναφορές.

20 1.2,, 5 Smith και Price [8] ανατρέξτε και στις επισκοπήσεις των Weibull [7] και Ηofbauer και Sigmund [9, 10] για περισσότερες πληροφορίες. Απ την άλλη μεριά, τίθεται το ακόλουθο ερώτημα: αν θέλουμε ένα σύστημα αλληλεπιδρώντων οντοτήτων (π.χ. ένα δίκτυο) να λειτουργεί σε κάποια "βέλτιστη" κατάσταση, μπορούμε με κάποιον τρόπο να εκπαιδεύσουμε τις ανταγωνιζόμενες οντότητες ώστε τα εγωιστικά τους κίνητρα να τις οδηγήσουν τελικά σε αυτή την κατάσταση? Αυτή η όψη της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων εύστοχα αποκαλείται "μάθηση" και έχει μελετηθεί εξίσου διεξοδικά το βιβλίο των Fudenberg και Levine [11] είναι μια εξαιρετική αρχή, ενώ το άρθρο του Hart [12] κάνει έναν πιο πρόσφατο απολογισμό. Και τα δύο ερωτήματα περιστρέφονται γύρω από δύο βασικούς άξονες. Ο πρώτος είναι ο καθορισμός του "στρατηγικού παιγνίου" στο οποίο συμμετέχουν οι παίκτες, του συγκεκριμένου, δηλαδή, πλαισίου που θα χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση και τον ποσοτικό προσδιορισμό των αλληλεπιδράσεων που συμβαίνουν, ήτοι ο ορισμός των επιλογών των παικτών (π.χ. να εκπέμψουν ή να σιγήσουν) και των κερδών που αντιστοιχούν σε αυτές. Ο δεύτερος άξονας αφορά στο μηχανισμό επιλογής που οι παίκτες χρησιμοποιούν για να αποτιμήσουν τις αποφάσεις και τις αντιδράσεις τους μιμούμενοι, για παράδειγμα, τους πιο επιτυχείς παίκτες ή μαθαίνοντας να αποφεύγουν τα λάθη που έκαναν στο παρελθόν. ⁵ Προφανώς το πρώτο ζητούμενο (η επιλογή του παιγνίου) εξαρτάται από τις ιδιαιτερότητες της συγκεκριμένης εφαρμογής, άρα είναι καλύτερο να αντιμετωπιστεί κατά περίπτωση. Αντίθετα, η διαδικασία της φυσικής επιλογής που αποτελεί τον πυρήνα του δεύτερου ζητούμενου μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα από το πρώτο, εξετάζοντας τις ιδιότητες σύγκλισης και ευστάθειας του εξελικτικού μηχανισμού (ή μηχανισμού μάθησης) γύρω από τα σημεία ισορροπίας (ή όποια άλλη έννοια λύσης) του υποκείμενου παιγνίου. Ένα από τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα εξέλιξης και μάθησης σε αυτό το πλαίσιο είναι η δυναμική των αντιγραφέων, ένα δυναμικό σύστημα που εισήγαγαν πρώτοι οι Taylor και Jonker [1] για να προσομοιώσουν μεγάλους πληθυσμούς που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω τυχαίων σχηματισμών ζευγών σε διαγωνισμούς αναπαραγωγικής ισχύος (όπως μονομαχίες μεταξύ ελαφιών). Με λίγα λόγια, αυτή η δυναμική εμφανίζεται ως παραπροϊόν ενός μηχανισμού "μίμησης του ισχυρότερου" που αντικατοπτρίζει το αποτέλεσμα τέτοιων αγώνων. Πιο συγκεκριμένα, ο κατα κεφαλήν ρυθμός αύξησης ενός φαινοτύπου, δηλαδή ο αριθμός απογόνων στη μονάδα του χρόνου, θεωρείται ανάλογος των απολαβών που κερδίζουν στον ίδιο χρόνο τα άτομα του συγκεκριμένου φαινοτύπου.⁶ Έτσι, αν z iα ο πληθυσμός του φαινοτύπου α του είδους i και u i η αναπαραγωγική του ισχύς (όπως καθορίζεται από την κατανομή των διαφόρων Η δυναμική των αντιγραφέων 5 Εδώ βλέπουμε πως η αρχή των "απλών οργανισμών" της εξελικτικής θεωρίας παιγνίων έχει καθοριστική σημασία: η προσομοίωση ανθρώπινων αλληλεπιδράσεων είναι ένα σισύφειο εγχείρημα η προσπάθεια περαιτέρω εμβάθυνσης στην ανθρώπινη νόηση προτείνοντας ένα μαθηματικό μοντέλο για την ανθρώπινη μάθηση έχει σίγουρα πολύ μικρή σχέση με την πραγματικότητα. 6 Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε εδώ τη σημαντική διάκριση μεταξύ του "γονότυπου" ενός οργανισμού (δηλ. το σύνολο των κληρονομικών πληροφοριών που είναι κωδικοποιημένες στο γενετικό του υλικό) και το "φαινότυπό" του, δηλαδή τις παρατηρήσιμες ιδιότητές του, όπως τη μορφολογία του και τα πρότυπα συμπεριφοράς του [13, 14]. Στη θεωρία της εξελικτικής σύνθεσης, η φυσική επιλογή βασίζεται στο φαινότυπο ενός οργανισμού (που καθορίζει την αλληλεπίδραση του με άλλους οργανισμούς), ενώ η κληρονομικότητα καθορίζεται από το γονότυπό του. Δυστυχώς, η επιγενετική διαδικασία που απεικονίζει γονοτύπους σε φαινοτύπους δεν είναι ακόμα γνωστή, έτσι θα ακολουθήσουμε τη βιομετρική προσέγγιση της γενετικής πληθυσμών και θα περιοριστούμε στο χώρο των φαινοτύπων.

21 6 ειδών και το εν λόγω εξελικτικό παίγνιο), το εξελικτικό αξίωμα που μόλις περιγράψαμε γράφεται: dz iα dt = z iα u iα. (1.1) Έτσι, αν z i = β z iβ ο συνολικός πληθυσμός του i-στού είδους και x iα = z iα /z i το σχετικό μερίδιο του φαινοτύπου α στον πληθυσμό, με απλή εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας προκύπτει η εξίσωση των αντιγραφέων: dx iα dt = x iα (u iα u i ), (1.2) όπου u i o πληθυσμιακός μέσος του i-στού είδους: u i = β x iβ u iβ. Δεδομένου του ότι αυτή η εξελικτική προσέγγιση αφορά ραγδαία εξελισσόμενα είδη και πληθυσμούς που σπάνια απαντώνται εκτός της βιολογίας πληθυσμών, το περιεχόμενο "μάθησης" της (1.2) δεν είναι άμεσα προφανές. Όμως, αν θεωρηθεί πως ο δείκτης α αναφέρεται σε μία από τις πιθανές επιλογές ενός ατόμου i (για παράδειγμα την επιλογή μιας διαδρομής σε ένα δίκτυο) και το u iα αντιπροσωπεύει τα κέρδη που σχετίζονται με αυτή την επιλογή, τότε η (1.2) μπορεί να ιδωθεί ως μια διαδικασία μάθησης, αρκεί να επανερμηνεύσουμε το x iα ως την πιθανότητα ο i-στός παίκτης να επιλέξει α.⁷ Κατ αυτόν τον τρόπο η δυναμική των αντιγραφέων αναπαριστά ένα αναπροσαρμοζόμενο σχήμα μάθησης, με τις διαφορές των κερδών u iα u i να μετρούν την προδιάθεση του παίκτη i να επιλέξει την αντίδραση α. Υπάρχει και μία εναλλακτική ερμηνεία "μάθησης" της δυναμικής των αντιγραφέων, που, αν και όχι τόσο προφανής, θα μας είναι εξίσου σημαντική. Θεωρείστε ότι ο κάθε παίκτης κρατά ένα αθροιστικό σκορ των επιλογών του μέσω της διαφορικής εξίσωσης: du iα = u iα dt. (1.3) Προφανώς, όσο υψηλότερο το σκορ U iα της επιλογής α, τόσο πιο επικερδής θα έχει αποβεί αυτή η επιλογή με την πάροδο του χρόνου για τον παίκτη i. Δεδομένου αυτού, οι παίκτες ενημερώνουν τις πιθανότητες x iα με τις οποίες επιλέγουν τις αντιδράσεις τους σύμφωνα με την κατανομή του Boltzmann: x iα = e U iα/ β e U iβ (1.4) που μετά από μία απλή παραγώγιση δίνει τη δυναμική των αντιγραφέων (1.2). Αυτό το σχήμα μάθησης λέγεται "εκθετική μάθηση",⁸ και, μαζί με την πιο άμεση μαθησιακή ερμηνεία της (1.2), δείχνει ότι η δυναμική των αντιγραφέων προκύπτει ως κοινός παρονομαστής εξέλιξης και μάθησης. Βέβαια θα πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι η δυναμική των αντιγραφέων δεν είναι η μόνη εξελικτική δυναμική που χρησιμοποιείται στη θεωρία παιγνίων. Έχει, όμως, μοναδικά χαρακτηριστικά που έχουν μαγνητίσει τους μαθηματικούς: οι εξισώσεις της αʹ) είναι απλές και ξεκάθαρες; βʹ) προκύπτουν με φυσικό τρόπο από πρώτες αρχές; και γʹ) έχουν αυτό το ακαθόριστο προσόν που οι μαθηματικοί αποκαλούν "κομψότητα" και το οποίο γίνεται γρήγορα 7 Φυσικά, αυτό προϋποθέτει ότι οι επιλογές των παικτών ανήκουν σε ένα πεπερασμένο σύνολο και ότι οι "απολαβές" τους εξαρτώνται από την πιθανότητα με την οποία οι παίκτες κάνουν μια επιλογή. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε το Κεφάλαιο 4. 8 Ή μάθηση "logit", αν και "λογιστική" θα ταίριαζε καλύτερα- δείτε το Κεφάλαιο 4 για περισσότερες πληροφορίες.

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων

Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων ιδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πολύπλοκα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων

Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων Βασικές Αρχές της Θεωρίας Παιγνίων - Ορισμός. Αν οι επιλογές μιας επιχείρησης εξαρτώνται από την αναμενόμενη αντίδραση των υπόλοιπων επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, τότε υπάρχει στρατηγική αλληλεπίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να

- Παράδειγμα 2. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να - Παράδειγμα. Εκτέλεση Πέναλτι ή Κορώνα-Γράμματα (Heads or Tails) - Ένας ποδοσφαιριστής ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι, το οποίο προσπαθεί να αποκρούσει ένας τερματοφύλακας. - Αν οι δύο παίκτες επιλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών παίγνια και δίκτυα Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών 1 Διαδίκτυο (1) Είναι µάλλον αποδεκτό ότι το Διαδίκτυο έχει ξεπεράσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Μονάδα 1.1: Τεχνικές δεξιότητες και προσόντα

Εκπαιδευτική Μονάδα 1.1: Τεχνικές δεξιότητες και προσόντα Εκπαιδευτική Μονάδα 1.1: Τεχνικές δεξιότητες και προσόντα Πέρα από την τυπολογία της χρηματοδότησης, των εμπλεκόμενων ομάδων-στόχων και την διάρκεια, κάθε project διακρατικής κινητικότητας αποτελεί μια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ιανουάριος 2011 Ψυχομετρία Η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

1. Σκοπός της έρευνας

1. Σκοπός της έρευνας Στατιστική ανάλυση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων των εξετάσεων πιστοποίησης ελληνομάθειας 1. Σκοπός της έρευνας Ο σκοπός αυτής της έρευνας είναι κυριότατα πρακτικός. Η εξέταση των δεκτικών/αντιληπτικών

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων

Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων Μελέτη Επίδοσης Συστημάτων Πολλαπλών Εισόδων Πολλαπλών Εξόδων Γεώργιος Χ. Αλεξανδρόπουλος Διπλ. Μηχανικός Η/Υ & Πληροφορικής MSc Συστήματα Επεξεργασίας Σημάτων & Εικόνων Εργαστήριο Ασυρμάτων Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΜΑΝΟΥΣΟΣ ΕΜΜ. ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ, ΒΙΟΛΟΓΟΣ, PhD ΙΑΤΡΙΚHΣ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΜΑΝΟΥΣΟΣ ΕΜΜ. ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ, ΒΙΟΛΟΓΟΣ, PhD ΙΑΤΡΙΚHΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΑΝΟΥΣΟΣ ΕΜΜ. ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ, ΒΙΟΛΟΓΟΣ, PhD ΙΑΤΡΙΚHΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η επιστημονική έρευνα στηρίζεται αποκλειστικά στη συστηματική μελέτη της εμπειρικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ. Θεωρία και Πολιτική ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ Θεωρία και Πολιτική Παντελής Καλαϊτζιδάκης Σαράντης Καλυβίτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην οικονομική μεγέθυνση Ορισμός της οικονομικής μεγέθυνσης 15 Μια σύντομη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο του μαθήματος

Περιεχόμενο του μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Απαιτήσεις Λογισμικού Περιπτώσεις χρήσης Δρ Βαγγελιώ Καβακλή Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας Πανεπιστήμιο Αιγαίου Εαρινό Εξάμηνο 2012-2013 1 Περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1 Η ιστορία της εξελικτικής βιολογίας: Εξέλιξη και Γενετική 2 Η Προέλευση της Μοριακής Βιολογίας 3 Αποδείξεις για την εξέλιξη 89

Περιεχόμενα. 1 Η ιστορία της εξελικτικής βιολογίας: Εξέλιξη και Γενετική 2 Η Προέλευση της Μοριακής Βιολογίας 3 Αποδείξεις για την εξέλιξη 89 Περιεχόμενα Οι Συγγραφείς Πρόλογος της Ελληνικής Έκδοσης Πρόλογος της Αμερικανικής Έκδοσης Σκοπός και Αντικείμενο του Βιβλίου ΜΕΡΟΣ Ι ΜΙΑ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ 1 Η ιστορία της εξελικτικής

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

DPSDbeyond: The font Σκέψεις, παρατηρήσεις, συμπεράσματα

DPSDbeyond: The font Σκέψεις, παρατηρήσεις, συμπεράσματα DPSDbeyond: The font Σκέψεις, παρατηρήσεις, συμπεράσματα Η διαδικασία που ακολουθήθηκε στο ολιγόωρο workshop εκείνου του Σαββάτου (12/11/2011) είχε ως αποτέλεσμα την δημιουργία 59 σχεδίων, ένα (ή και περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation

Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7. Ασκήσεις στο IP Fragmentation Συνοπτική Μεθοδολογία Ασκήσεων Κεφαλαίου 7 Οι σημειώσεις που ακολουθούν περιγράφουν τις ασκήσεις που θα συναντήσετε στο κεφάλαιο 7. Η πιο συνηθισμένη και βασική άσκηση αναφέρεται στο IP Fragmentation,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Σκορδούλης Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 7756 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χαλικιάς Μιλτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ

ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Ποια είναι τα βασικά στοιχεία, τα οποία χαρακτηρίζουν το ISDN; Η ψηφιακή μετάδοση. Όλα τα σήματα μεταδίδονται σε ψηφιακή μορφή απ' άκρη σ' άκρη του δικτύου,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7.4 Πρωτόκολλο Μέχρι τώρα περιγράψαμε συνδέσεις, που χρησιμοποιούν το πρωτόκολλο TCP. Θυμηθείτε, ότι το TCP είναι υπεύθυνο για το τεμαχισμό των μηνυμάτων σε τμήματα και την επανασύνδεση τους στον προορισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8

Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Συμπληρωματικές Σημειώσεις για τη Διάλεξη 8 Ένα από τα παράδοξα της ισορροπίας Nash που μπορεί να θεωρηθεί και σαν αδυναμία της είναι ότι σε κάποια παίγνια οι παίκτες έχουν μεγαλύτερο όφελος αν δεν διαλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Επαφή p- Στάθμη Fermi Χαρακτηριστική ρεύματος-τάσης Ορθή και ανάστροφη πόλωση Περιεχόμενο της άσκησης Οι επαφές p- παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον επειδή βρίσκουν εφαρμογή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα