ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η σπουδαιότητα και η σηµασία του εξωτερικού ελέγχου της ποιότητας των εργαστηριακών αναλύσεων είναι σήµερα διαδεδοµένη ανάµεσα σε όλους τους εργαστηριακούς επιστήµονες, ιδιαίτερα σε όσους εργάζονται σε βιοχηµικά και ορµονολογικά εργαστήρια. Με τον όρο «εξωτερικός έλεγχος» έχει καθιερωθεί να εννοούµε τις διαδικασίες ελέγχου της ακρίβειας των εργαστηριακών αναλύσεων, οι οποίες διενεργούνται µέσω ενός εθνικού ή διεθνή κέντρου αναφοράς (). Συγκεκριµένα ο εξωτερικός έλεγχος (external quality control ή roficiency teting ή external quality aement) ελέγχει την ακρίβεια, την αληθινότητα και την αναπαραγωγιµότητα των εργαστηριακών αποτελεσµάτων. Ως ακρίβεια (accuracy) χαρακτηρίζουµε την εγγύτητα ανάµεσα σε µία µεµονωµένη τιµή µέτρησης και την «αποδεχόµενη τιµή αναφοράς». Η ακρίβεια επηρεάζεται από τυχαία και συστηµατικά σφάλµατα καθώς και τον αναµενόµενο «θόρυβο» στις µετρήσεις του αναλυτή. Ακόµα και αν ο καθηµερινός έλεγχος της επαναληψιµότητας (εσωτερικός έλεγχος) δεν εντοπίσει τυχαία και συστηµατικά σφάλµατα, ο θόρυβος του αναλυτή παραµένει, αφού εξαρτάται από ποικίλες κατασκευαστικές, τεχνικές και χηµικές παραµέτρους. Για το λόγο αυτό στον ορισµό της ακρίβειας δεν χρησιµοποιείται ο όρος «πραγµατική τιµή» αλλά αντίθετα ο όρος «αποδεχόµενη τιµή αναφοράς», που χαρακτηρίζεται από µια µέση τιµή-στόχο, η οποία προσδιορίζεται µε χηµικές ή και στατιστικές µεθόδους και ταυτίζεται µε την έννοια της «πραγµατικής τιµής». Ως αληθινότητα (truene) ορίζεται την εγγύτητα µεταξύ της µέσης τιµής µιας µεγάλης σειράς αριθµών και της «αποδεχόµενης τιµής αναφοράς». Ως αναπαραγωγιµότητα (reroducibility) ορίζουµε την εγγύτητα των τιµών που δίνουν τα εργαστήρια που συµµετέχουν στο ίδιο πρόγραµµα εξωτερικού ελέγχου (). Ο διεθνής οργανισµός ISO (International Standard Organization) δίνει κατευθυντήριες οδηγίες για την καλύτερη δυνατή εφαρµογή του εξωτερικού ελέγχου (Πίνακας, σειρές ISO IEC 43, ISO 575). Τα πρότυπα της σειράς ISO IEC 43-, ISO IEC 43- δίνουν γενικές οδηγίες για την καλύτερη οργάνωση των προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου, προτείνοντας ανάλογα µε την περίσταση το καταλληλότερο πρόγραµµα. Τα πρότυπα της σειράς ISO 575 προτείνουν εξειδικευµένες στατιστικές µεθοδολογίες για την εκπλήρωση των στόχων του προγράµµατος δηλ. τον υπολογισµό της τιµής στόχου και της αναπαραγωγιµότητας.

2 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): ΙSO/IEC Οδηγός 43-:997 Εξωτερικός έλεγχος της ποιότητας µε διεργαστηριακές συγκρίσεις. Μέρος. Ανάπτυξη και λειτουργία προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου. ISO/IEC Οδηγός 43-:997 Εξωτερικός έλεγχος της ποιότητας µε διεργαστηριακές συγκρίσεις. Μέρος. Επιλογή και χρήση σχεδίων εξωτερικού ελέγχου ποιότητας από φορείς πιστοποίησης εργαστηρίων. ΙSO 575-: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Μέρος : Γενικές αρχές και ορισµοί. ISO 575-: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος : Bασικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό της επαναληψιµότητας και τη αναπαραγωγιµότητας προτύπων αναλυτικών µεθόδων. ISO 575-3: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 3: Ενδιάµεσες µετρήσεις για την επαναληψιµότητα µιας πρότυπης µεθόδου µέτρησης. ISO 575-4: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 4: Bασικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό της ακρίβειας µιας πρότυπης µεθόδου µέτρησης. ISO 575-5: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 5: Χρήση των τιµών ακρίβειας. Πίνακας ιεθνή πρότυπα ISO για την πληρέστερη εφαρµογή προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου της ποιότητας των εργαστηριακών αποτελεσµάτων Στόχος των προτύπων της σειράς ISO 575 Σε γενικές γραµµές τα πρότυπα ISO 575 δίνουν κατευθυντήριες οδηγίες για την επίτευξη της βέλτιστης αναπαραγωγιµότητας και ακρίβειας όλων των εργαστηρίων που συµµετέχουν σε ένα πρόγραµµα εξωτερικού ελέγχου. Αξιοσηµείωτο είναι ότι τα πρότυπα ISO 575 θεωρούν εξίσου σηµαντικό τον ταυτόχρονο έλεγχο της ενδοεργαστηριακής επαναληψιµότητας καθενός εργαστηρίου χωριστά. Η ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα υπολογίζεται από επαναλαµβανόµενες µετρήσεις (within run) που πραγµατοποιεί το εργαστήριο σε κάθε ένα από τα επίπεδα ορών ελέγχου που αποστέλλονται σε αυτό. Είναι φανερό ότι οι συντάκτες των προτύπων έλαβαν σοβαρά υπόψη το γεγονός ότι πολλά εργαστήρια συµµετέχουν σε προγράµµατα εξωτερικής αξιολόγησης χωρίς να έχουν καλή επίδοση στο εσωτερικό έλεγχο ποιότητας, ο οποίος προηγείται πάντα του εξωτερικού. Σύµφωνα µε τα ISO 575 κάθε εργαστήριο αποστέλλει στο συντονιστικό κέντρο µία σειρά µετρήσεων, ο αριθµός των οποίων καθορίζεται από το συντονιστικό κέντρο. Εδώ δηλαδή υπάρχει µια Στα πρότυπα ISO 575 χρησιµοποιούµε τον όρο ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα (ή ενδοεργαστηριακή διακύµανση) για να περιγράψουµε την τυπική απόκλιση των επαναλαµβανόµενων µετρήσεων κάθε εργαστηρίου χωριστά. Συµβολίζεται ως r.

3 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): σηµαντική διαφορά από τα πιο διαδεδοµένα προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου που είναι γνωστά στην Ελληνική επικράτεια (π.χ. πρόγραµµα ΕΣΕΑΠ), τα οποία ζητούν από τα εργαστήρια µία µόνο τιµή. Πρώτος στόχος των προτύπων ISO 575 είναι ο υπολογισµός της «αποδεχόµενης τιµής αναφοράς» (acceted reference value). Στην ουσία πρόκειται για την µέση τιµή όλων των µέσων τιµών των συµµετεχόντων εργαστηρίων. Για τον υπολογισµό της πρέπει προηγουµένως να απορριφθούν όλα τα εργαστήρια που έχουν κακή ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα ή υπερβολικά µεγάλη ή µικρή µέση τιµή. Για τον σκοπό αυτό τα πρότυπα της σειράς ISO 575 παρέχουν µια σειρά από στατιστικά εργαλεία για τον εντοπισµό και την απόρριψη των εργαστηρίων µε «ακραία» επαναληψιµότητα ή «ακραία» µέση τιµή. Ο δεύτερος στόχος των ISO 575 είναι ο υπολογισµός της αναπαραγωγιµότητας όλων των εργαστηρίων του προγράµµατος. Η αναπαραγωγιµότητα είναι ένα σύνθετο µέγεθος και εξαρτάται από την ενδοεργαστηριακή ( r ) και διαεργαστηριακή επαναληψιµότητα 3 ( R ) υπολογίζεται στο τέλος αφού έχουν υπολογιστεί ήδη τα r και R (σχέση βλ. παρακάτω).. Προκαταρκτικά στάδια Πριν αναλύσουµε τις επιµέρους στατιστικές µεθοδολογίες θα πρέπει να αναφέρουµε τα στάδια που προηγούνται αυτής. Έτσι το συντονιστικό κέντρο οφείλει να λάβει µέριµνα για τα ακόλουθα: την οµαδοποίηση των εργαστηρίων Το κέντρο αναφοράς οµαδοποιεί τα αποτελέσµατα ανάλογα την χηµική µέθοδο, τον αναλυτή ή οτιδήποτε άλλο κρίνει απαραίτητο. Σε αρκετές περιπτώσεις µπορεί και τα ίδια τα συµµετέχοντα εργαστήρια να ζητήσουν να συµµετάσχουν σε επιµέρους ιδιαίτερες οµάδες. τον ορισµό του πλήθους των τιµών που πρέπει να υπολογίζει κάθε εργαστήριο την καταγραφή των τιµών σε εύχρηστους πίνακες την απαλοιφή των ακραίων τιµών.. Τυποποίηση των απαντήσεων εξωτερικού ελέγχου ποιότητας Το διεθνές πρότυπο ISO 575- προτείνει µια αυστηρή τυποποίηση του τρόπου καταγραφής των αποτελεσµάτων που αποστέλλονται στο συντονιστικό κέντρο. Συγκεκριµένα χρησιµοποιεί τρεις φόρµες Α (πίνακας ), Β (πίνακας 3) και Γ (πίνακας 4), εκ των οποίων η κάθε µία προκύπτει από την αµέσως προηγούµενή της. Κάθε φόρµα διαιρείται σε επιµέρους κελιά τα οποία κατά κύριο λόγο χρησιµοποιούνται στους υπολογισµούς. Οι συµβολισµοί που προτείνονται από το ISO 575- είναι οι ακόλουθοι: Αριθµός εργαστηρίων i =. Aριθµός επιπέδων j = q Σύνολο επαναλήψεων k =.n Ονοµάζεται αλλιώς και τιµή στόχος (target value). 3 Ως διαεργαστηριακή επαναληψιµότητα (ή διαεργαστηριακή διακύµανση) ορίζουµε την τυπική απόκλιση όλων των µέσων τιµών των εργαστηρίων. Συµβολίζεται ως R. 3

4 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Kατά συνέπεια: Σύνολο κελιών: q Σύνολο τιµών: qn Σύνολο αποτελεσµάτων σε ένα κελί: n Συµβολισµός ενός αποτελέσµατος: y k Αριθµός εργαστηρίων σε κάθε επίπεδο: j Φόρµα Α Φόρµα συλλογής αρχικών δεδοµένων Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. Y k i.. Πίνακας Φόρµα συµπλήρωσης των αποτελεσµάτων των εργαστηρίων για όλα τα επίπεδα (control) όπως ζητείται από το συντονιστικό κέντρο αναφοράς H µέση τιµή κάθε κελιού της φόρµας Β (πίνακας 3) προσδιορίζεται από τον τύπο: Y n = y n k = k Εξίσωση Φόρµα B Φόρµα συλλογής µέσων τιµών Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. Ŷ k i.. Πίνακας 3 4

5 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Φόρµα υπολογισµού των µέσων τιµών των αποτελεσµάτων τις φόρµας Α To εύρος των τιµών στα κελιά της φόρµας Γ (πίνακας 4) υπολογίζεται από τον τύπο: = n n k = ( y k y ) Εξίσωση Φόρµα Γ Φόρµα συλλογής τυπικών αποκλίσεων Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. S i.. P Πίνακας 4 Φόρµα υπολογισµού των τυπικών αποκλίσεων των αποτελεσµάτων της φόρµας Α Στα κελιά που περιέχουν µόνο δύο τιµές µπορεί να παραλειφθεί ο προσδιορισµός της τυπικής απόκλισης και να χρησιµοποιηθούν οι απόλυτες διαφορές των δύο τιµών. Το ISO 575- ζητεί για τις τυπικές αποκλίσεις διπλάσια δεκαδικά ψηφία από τα δεκαδικά ψηφία των αρχικών δεδοµένων..3 Απαλοιφή των ακραίων τιµών Ως ακραίες τιµές (outlier) χαρακτηρίζονται οι τιµές των εργαστηρίων, οι οποίες πρέπει να απαλειφθούν από την στατιστική µεθοδολογία για να µην επηρεάσουν την µέτρηση της τιµής στόχου. Οι ακραίες τιµές µπορεί να είναι µεµονωµένες µετρήσεις ή ακόµα σύνολα µετρήσεων στην περίπτωση που οι οδηγίες ζητούν από τα συµµετέχοντα εργαστήρια να πραγµατοποιούν επαναλαµβανόµενες µετρήσεις. Έχουν προταθεί διάφορες µέθοδοι για την εύρεση και απαλοιφή των ακραίων τιµών. Πολύ γνωστή στην Ελλάδα είναι η µέθοδος της «αποδεκτής τιµής» (conenu mean) που χρησιµοποιείται από το πρόγραµµα ΕΣΕΑΠ του Eυαγγελισµού (). Το πρότυπο ISO 575- παρέχει µια σειρά από πολύπλοκα στατιστικά εργαλεία για την απόρριψη των εργαστηρίων που έχουν ακραία µέση τιµή ή ακραία ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα. Στην περίπτωση που αποδειχθεί στατιστικώς ότι κάποια µεµονωµένη τιµή, µέση τιµή ή τυπική απόκλιση πρέπει να απαλειφθεί ελέγχουµε αρχικά για τυχόν τυχαία λάθη. Συγκεκριµένα ελέγχουµε αν: έγινε λάθος στην µέτρηση στον αναλυτή µετρήθηκε λάθος δείγµα έγινε λάθος υπολογισµός του αντίστοιχου στατιστικού κριτηρίου έγινε λάθος στην αντιγραφή. 5

6 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Αν απορριφθεί ως ακραία τιµή (outlier) µία µέση τιµή τότε θα απορριφθεί και η αντίστοιχη τυπική απόκλιση και το αντίστροφο..3. Κριτήρια Mandel (4) Ο Μandel προτείνει τον υπολογισµό δύο στατιστικών µεγεθών των h και k. Τα κριτήρια αυτά µας βοηθούν να εντοπίσουµε έγκαιρα ακραίες τιµές µεταξύ των τιµών που αποστέλλουν τα εργαστήρια στο συντονιστικό κέντρο. Συγκεκριµένα το µέγεθος h ελέγχει την ύπαρξη ακραίων µέσων τιµών ενώ το k ακραίες τυπικές αποκλίσεις κατά τον υπολογισµό της ενδοεργαστηριακής επαναληψιµότητας. Τα µεγέθη h και k υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. h = i y j i= y ( y j y ) j Εξίσωση 3 k = j Εξίσωση 4 Οι τιµές h και k υπολογίζονται για κάθε επίπεδο όλων των εργαστηρίων. Αν οι τιµές h και k ενός εργαστηρίου απέχουν πολύ από τα υπόλοιπα εργαστήρια, τότε το εργαστήριο απορρίπτεται και ειδοποιείται να επαναλάβει την µέτρηση. Κανονικά υπάρχουν ίσες πιθανότητες θετικών και αρνητικών h και k µεταξύ των επιπέδων που χρησιµoποιεί κάθε εργαστήριο. Για παράδειγµα αν ένα εργαστήριο έχει τα h όλων των επιπέδων θετικά ενώ όλα τα άλλα εργαστήρια έχουν τα h αρνητικά, θα πρέπει να αναζητήσουµε την αιτία της διαφοράς. Για την καλύτερη σύγκριση των τιµών h και k µπορούν να σχεδιαστούν ανάλογα διαγράµµατα (βλ. εικόνα ). Παρ όλα αυτά η ασφαλέστερη εκτίµηση της στατιστικής σηµαντικότητας των κριτηρίων Mandel γίνεται µε κατάλληλους στατιστικούς πίνακες (πίνακες 5 και 6). 6

7 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Eπίπεδο σηµαντικότητας P=% h k n= n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 N=0 3,5,7,64,58,53,49,46,43,4,39 4,49,9,77,67,60,55,5,48,45,43 5,7,05,85,73,65,59,55,5,48,46 6,87,4,90,77,68,6,57,53,50,47 7,98,0,94,79,70,63,58,54,5,48 8,06,5,97,8,7,65,59,55,5,49 9,3,9,99,8,73,66,60,56,53,50 0,8,3,00,84,74,67,6,57,53,50,,34,0,85,74,67,6,57,54,5,5,36,0,85,75,68,6,58,54,5 3,7,38,03,86,76,68,63,58,55,5 4,30,39,04,87,76,69,63,58,55,5 5,3,4,05,87,76,69,63,59,55,5 6,33,4,05,88,77,69,63,59,56,5 7,35,44,06,88,77,69,64,59,56,53 8,36,44,06,88,77,69,64,60,56,53 9,37,44,07,89,78,70,64,60,56,53 0,39,45,07,89,78,70,64,60,56,53,39,46,07,89,78,70,64,60,56,53,40,46,08,90,78,7,65,60,56,53 3,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 4,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 5,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 6,43,48,09,90,79,7,65,60,56,53 7,44,48,09,90,79,7,65,60,56,53 8,44,49,09,9,79,7,65,60,56,53 9,45,49,09,9,79,7,65,60,56,53 30,45,49,0,9,79,7,65,6,57,53 Πίνακας 5 Στατιστικός πίνακας ελέγχου στατιστικής σηµαντικότητας των κριτηρίων Mandel για P=% 7

8 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Eπίπεδο σηµαντικότητας P=5% P h k n= n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=0 3,5,65,53,45,40,37,34,3,30,9 4,4,76,59,50,44,40,37,35,33,3 5,57,8,6,53,46,4,39,36,34,3 6,66,85,64,54,48,43,40,37,35,33 7,7,87,66,55,49,44,4,38,36,34 8,75,88,67,56,50,45,4,38,36,35 9,78,90,68,57,50,45,4,39,36,35 0,80,90,69,57,50,46,4,39,37,35,8,9,69,58,5,46,4,40,37,35,83,9,69,58,5,46,4,40,37,35 3,84,9,69,58,5,46,43,40,37,35 4,85,9,70,59,5,47,43,40,37,35 5,86,93,70,59,5,47,43,40,38,36 6,86,93,70,59,5,47,43,40,38,36 7,87,93,70,59,5,47,43,40,38,36 8,88,93,7,59,5,47,43,40,38,36 9,88,93,7,59,5,47,43,40,38,36 0,89,94,7,59,5,47,43,40,38,36,89,94,7,60,5,47,44,4,38,36,89,94,7,60,5,47,44,4,38,36 3,90,94,7,60,53,47,44,4,38,36 4,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 5,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 6,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 7,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 8,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 9,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 30,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 Πίνακας 6 Στατιστικός πίνακας ελέγχου στατιστικής σηµαντικότητας κριτηρίων Mandel για P=5% 8

9 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Κριτήριο Cochan (4) Στα προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου οι διαφορές των ενδοεργαστηριακών διακυµάνσεων των συµµετεχόντων εργαστηρίων οφείλουν να είναι πρακτικά αµελητέες ( σ r 0). Αυτό στην πράξη ενδεχοµένως να µην συµβαίνει αφού µπορεί να υπάρχουν εργαστήρια µε µεγάλη ενδοεργαστηριακή διακύµανση, δηλαδή, κακή επαναληψιµότητα. Τα εργαστήρια µε κακή επαναληψιµότητα πρέπει να αποκλειστούν από τον υπολογισµό της τιµής-στόχου και της αναπαραγωγιµότητας. Παρόµοια µε το κριτήριο k του Mandel το κριτήριο Cochan χρησιµοποιείται ως εργαλείο για τον αποκλεισµό των εργαστηρίων που έχουν µεγάλη ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα ( r ). Το κριτήριο Cochan χρησιµοποιεί σαν άκυρη υπόθεση Ηο το συλλογιστικό ότι οι διαφορές των ενδοεργαστηριακών διακυµάνσεων είναι αµελητέες. Με την βοήθεια της σχέσης 5 και αντίστοιχων στατιστικών πινάκων (πίνακας 7) απορρίπτουµε ή όχι την αρχική µας υπόθεση (Ho: µ= max, H : µ> max ) C max = i i= Εξίσωση 5 Όπου: max : η τυπική απόκλιση που υποπτευόµαστε ως «ακραία» και πρέπει να απορριφθεί. i (i = ) : η τυπική απόκλιση των ενδοεργαστηριακών µετρήσεων. : o συνολικός αριθµός των εργαστηρίων. Το κριτήριο Cochan εφαρµόζεται σε προγράµµατα που τα εργαστήρια εκτελούν τον ίδιο αριθµό επαναλήψεων. Το max είναι κάθε φορά η µέγιστη τυπική απόκλιση που έχει παρατηρηθεί µεταξύ των εργαστηρίων. Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου Cochan ελέγχουµε αρχικά αν η µεγαλύτερη τυπική απόκλιση (την ονοµάζουµε max ) θα πρέπει να απορριφθεί ως «ακραία». Αν η πρώτη max θεωρηθεί «ακραία» τότε την απαλείφουµε και ελέγχουµε µε το κριτήριο Cochan την αµέσως µικρότερη. Αν και η δεύτερη max θεωρηθεί «ακραία» την απαλείφουµε και αυτή και επαναλαµβάνουµε την µέτρηση Cochan. Aν η τρίτη max δεν είναι «ακραία» τότε σταµατάµε την µέτρηση του κριτηρίου Cochan. Η λύση της εξίσωσης Cochan µας δίνει έναν αριθµό για τον οποίο ελέγχουµε την σχέση του ως προς συγκεκριµένες οριακές τιµές Cochan για επίπεδα σηµαντικότητας 5% και % (πίνακας 7). Οι οριακές αυτές τιµές εξαρτώνται από τον αριθµό των συµµετεχόντων εργαστηρίων () και τον αριθµό των επαναλήψεων ανά εργαστήριο (n). Ο πίνακας 8 χρησιµοποιείται ως ακολούθως: Εάν η τιµή Cochan είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του % τότε θεωρούµε την τυπική απόκλιση max ως «ακραία» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Cochan είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του 5% αλλά µικρότερη του % τότε θεωρούµε την τυπική απόκλιση max ως «αµφίβολη» τιµή και επίσης δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Cochan είναι µικρότερη από την οριακή τιµή του 5% τότε θεωρούµε δεκτή την τυπική απόκλιση max και την χρησιµοποιούµε στους υπολογισµούς µας. 9

10 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): n= n= n=3 n=3 n=4 n=4 n=5 n=5 n=6 n=6 % 5% % 5% % 5% % 5% % 5% 0,995 0,975 0,979 0,939 0,959 0,906 0,937 0, ,993 0,967 0,94 0,87 0,883 0,798 0,834 0,746 0,793 0, ,968 0,906 0,864 0,768 0,78 0,684 0,7 0,69 0,767 0,59 5 0,98 0,84 0,788 0,684 0,696 0,598 0,633 0,544 0,588 0, ,883 0,78 0,7 0,66 0,66 0,53 0,564 0,48 0,5 0, ,838 0,77 0,664 0,56 0,568 0,48 0,508 0,43 0,466 0, ,794 0,68 0,65 0,56 0,5 0,438 0,463 0,39 0,43 0, ,754 0,638 0,573 0,478 0,48 0,403 0,45 0,358 0,387 0,39 0 0,78 0,60 0,536 0,445 0,447 0,373 0,393 0,33 0,357 0,303 0,684 0,57 0,504 0,47 0,48 0,348 0,366 0,308 0,33 0,8 0,653 0,54 0,475 0,39 0,39 0,36 0,343 0,88 0,3 0,6 3 0,64 0,55 0,45 0,37 0,369 0,307 0,3 0,7 0,9 0,43 4 0,599 0,49 0,47 0,35 0,349 0,9 0,304 0,55 0,74 0,3 5 0,575 0,47 0,407 0,335 0,33 0,76 0,88 0,4 0,59 0,0 6 0,553 0,45 0,388 0,39 0,36 0,6 0,74 0,3 0,46 0,08 7 0,53 0,434 0,37 0,305 0,30 0,5 0,6 0,9 0,74 0,98 8 0,54 0,48 0,356 0,93 0,88 0,4 0,49 0,09 0,3 0,89 9 0,496 0,403 0,343 0,8 0,76 0,3 0,38 0, 0,4 0,8 0 0,48 0,389 0,33 0,7 0,65 0, 0,9 0,9 0,05 0,74 0,465 0,377 0,38 0,6 0,55 0, 0, 0,85 0,97 0,67 0,45 0,365 0,307 0,5 0,46 0,04 0, 0,78 0,89 0,6 3 0,437 0,354 0,97 0,43 0,38 0,97 0,04 0,7 0,8 0,55 4 0,45 0,343 0,87 0,35 0,3 0,9 0,97 0,66 0,76 0,49 5 0,43 0,334 0,78 0,8 0, 0,85 0,9 0,6 0,7 0,44 6 0,40 0,35 0,7 0, 0,5 0,79 0,84 0,55 0,64 0,4 7 0,39 0,36 0,6 0,5 0,09 0,73 0,79 0,5 0,59 0,35 8 0,38 0,308 0,55 0,09 0,0 0,68 0,73 0,46 0,54 0,3 9 0,37 0,3 0,48 0,03 0,96 0,64 0,68 0,4 0,5 0,7 30 0,363 0,93 0,4 0,98 0,9 0,59 0,64 0,38 0,45 0,4 3 0,355 0,86 0,35 0,93 0,86 0,55 0,59 0,34 0,4 0, 3 0,347 0,8 0,9 0,88 0,8 0,5 0,55 0,3 0,38 0,7 33 0,339 0,73 0,4 0,84 0,77 0,47 0,5 0,7 0,34 0,4 34 0,33 0,67 0,8 0,79 0,7 0,44 0,47 0,4 0,3 0, 35 0,35 0,6 0,3 0,75 0,68 0,4 0,44 0, 0,7 0, ,38 0,56 0,08 0,7 0,65 0,37 0,4 0,8 0,4 0, ,3 0,5 0,04 0,68 0,3 0,34 0,37 0,6 0, 0, ,306 0,46 0,00 0,64 0,57 0,3 0,34 0,3 0,9 0,0 39 0,300 0,4 0,96 0,6 0,54 0,9 0,3 0, 0,6 0, ,94 0,37 0,9 0,58 0,5 0,6 0,8 0,08 0,4 0,097 Πίνακας 7 Στατιστικός πίνακας ελέγχου της στατιστικής σηµαντικότητας του κριτηρίου Cochan 0

11 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Kριτήριο Grubb (4) Το κριτήριο Grubb ελέγχει αν οι µέσες τιµές ενός εργαστηρίου είναι «ακραία» υψηλές ή χαµηλές σε σχέση µε τις τιµές των υπολοίπων. Το κριτήριο Grubb µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο για µέσες τιµές των εργαστηρίων όσο και για µοναδικές τιµές (στην περιπτώσεις που τα εργαστήρια µετράνε µόνο µία τιµή). Αντιστοιχεί στον κριτήριο h του Mandel. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισµού του κριτηρίου Grubb. Στην πρώτη περίπτωση ελέγχουµε ένα κάθε φορά «ύποπτο» εργαστήριο ενώ στην δεύτερη περίπτωση ένα ζευγάρι εργαστηρίων. Για τον υπολογισµό του κριτηρίου χρησιµοποιούνται οι µέσες τιµές της φόρµας Β (πίνακας 3) αφού προηγουµένως ταξινοµηθούν σε αύξουσα σειρά. Για τον έλεγχο της µεγαλύτερης ακραίας τιµής εφαρµόζεται η σχέση 6. G = ( x x) Εξίσωση 6 Όπου x : η µέση τιµή όλων των τιµών ενός επιπέδου : η τυπική απόκλιση των τιµών ενός επιπέδου x : η µεγαλύτερη µέση τιµή ενός επιπέδου G : η τιµή Grubb του εργαστηρίου µε την µεγαλύτερη τιµή Αντίστοιχα για τον έλεγχο της µικρότερης ακραίας τιµής εφαρµόζεται η σχέση 7. G ( x x = ) Εξίσωση 7 Όπου x : η µέση τιµή όλων των τιµών ενός επιπέδου : η τυπική απόκλιση των τιµών ενός επιπέδου x : η µικρότερη µέση τιµή ενός επιπέδου G : η τιµή Grubb του εργαστηρίου µε την µικρότερη τιµή Για τον έλεγχο εγκυρότητας των δύο µεγαλύτερων τιµών ο τύπος του κριτηρίου Grubb είναι ο ακόλουθος: G = X 0, P Εξίσωση 8 Όπου: = ( x) Εξίσωση 9 o x i i= Όπου x : η µέση τιµή όλων των µέσων τιµών ενός επιπέδου : συνολικός αριθµός εργαστηρίων x i : όλες οι µέσες τιµές του συγκεκριµένου επιπέδου i : αύξοντας αριθµός εργαστηρίου

12 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): 7-86., = ( xi x, ) i= Εξίσωση 0, = i= x i ` Εξίσωση Aντίστοιχα για να ελέγξουµε αν οι δύο µικρότερες τιµές µπορούν να θεωρηθούν ως «ακραίες» υπολογίζουµε το G από τις ακόλουθες σχέσεις. G =, 0 Εξίσωση, = ( x i x, ) i= 3 Εξίσωση 3 Όπου : συνολικός αριθµός εργαστηρίων x i : όλες οι µέσες τιµές του συγκεκριµένου επιπέδου i : αύξοντας αριθµός εργαστηρίου, = xi i= 3 x i = y i : µέση τιµή των µετρήσεων ενός εργαστηρίου = j : αριθµός εργαστηρίων που συµµετέχουν στο πρόγραµµα Εξίσωση 4 Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου Grubb, αν µία µέση τιµή αποδειχθεί ως «ακραία» τότε αυτή απαλείφεται και ελέγχουµε µε το κριτήριο Grubb την αµέσως επόµενη. Ελέγχουµε δηλαδή διαδοχικά την µία µετά την άλλη υψηλή (ή χαµηλή τιµή) προκειµένου να φτάσουµε σε µία τιµή η οποία δεν χρειάζεται να απαλειφθεί οπότε και ο έλεγχος του κριτηρίου Grubb σταµατάει. Όπως είπαµε για να γίνει ο έλεγχος σωστά τοποθετούµε αρχικά τις τιµές των εργαστηρίων σε αύξουσα και ξεκινούµε τον έλεγχο από την πιο ακραία. Ο έλεγχος γίνεται πάντα είτε µε τον τύπο του Grubb για µία παρατήρηση είτε για δύο παρατηρήσεις, αλλά ποτέ εναλλάξ. Ο τύπος του Grubb µας δίνει µια τιµή P την οποία ελέγχουµε ως προς δεδοµένες οριακές τιµές Grubb για τα επίπεδα σηµαντικότητας 5% και % (πίνακας 8). Οι οριακές τιµές Grubb για % και 5% εξαρτώνται από τον αριθµό των συµµετεχόντων εργαστηρίων n. H σχέση τιµών Grubb µε τις οριακές τιµές του % και 5% αξιολογείται µε τρόπο παρόµοιο µε το κριτήριο Cochan. Εάν η τιµή Grubb είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του % τότε θεωρούµε την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) «ακραία» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Grubb είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του 5% αλλά µικρότερη από αυτή του % τότε θεωρούµε την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) ως «αµφίβολη» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Grubb είναι µικρότερη από την οριακή τιµή του 5% τότε θεωρούµε δεκτή την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) και την συµπεριλαµβάνουµε στους υπολογισµούς µας

13 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Mία µεγαλύτερη ή µικρότερη ύο µεγαλύτερες ή µικρότερες Μεγαλύτερο % Μικρότερο 5% Μεγαλύτερο % Μικρότερο 5% 3,55,55 4,496,48 0, ,000 5,764,75 0,00 8 0, ,973,887 0,0 6 0, ,39,00 0, , ,74,6 0, ,0 9,387,5 0,085 0,49 0,48,9 0,5 0 0,86 4,564,355 0,44 8 0, 3,636,4 0,73 8 0,53 7 3,699,46 0,0 6 0,83 6 4,755,507 0,8 0 0,3 5,806,549 0,53 0 0, ,85,585 0,76 7 0, ,894,6 0,99 0 0,38 8,93,65 0, ,40 5 9,968,98 0, , ,00,709 0, ,439 3,03,733 0,376 0, ,060,758 0,39 7 0,47 3 3,087,78 0, , ,,80 0,43 4 0, ,35,8 0, , ,57,84 0,45 0 0, ,78,859 0, , ,99,876 0, , ,8,893 0, , ,36,908 0, , ,53,94 0,509 0, ,70,938 0,59 0, ,86,95 0,58 8 0, ,30,965 0,538 0, ,36,979 0, , ,33,99 0, , ,343 3,003 0, , ,356 3,04 0,57 4 0, ,369 3,05 0, , ,38 3,036 0,586 0,644 5 Πίνακας 8 Στατιστικός πίνακας ελέγχου της στατιστικής σηµαντικότητας του κριτηρίου Grubb 3

14 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Υπολογισµός της τιµής στόχου Η γενική µέση τιµή ή τιµή στόχος υπολογίζεται χωριστά για κάθε επίπεδο. Για τον υπολογισµό της βασιζόµαστε στην φόρµα Β (πίνακας 3). O γενικός τύπος είναι: n i= i = y i= n y Εξίσωση 5 Όπου y : µέση τιµή κάθε κελιού που δεν έχει απορριφθεί ως ακραία (βλ. κριτήριο Grubb ή h) n : αριθµός επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου : αριθµός εργαστηρίων κάθε επίπεδου Φυσικά για τον υπολογισµό της µέσης τιµής απαλείφονται τα εργαστήρια των οποίων η µέση τιµή, ή η τυπική απόκλιση έχουν τεθεί εκτός ορίων («ακραίες τιµές») από την εφαρµογή των κριτηρίων Cochan, Grubb και Mandel h και k..5 Υπολογισµός διακυµάνσεων Για κάθε επίπεδο υπολογίζουµε τρεις τυπικές αποκλίσεις, την τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης rj, την τυπική απόκλιση διαεργαστηριακής διακύµανσης Lj και την αναπαραγωγιµότητα Ri. Α. Τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης rj i= = i= ( n ( n ) ) Εξίσωση 6 Όπου: n : αριθµός επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου : τυπική απόκλιση κάθε εργαστηρίου B. Tυπική απόκλιση διαεργαστηριακής διακύµανσης Lj = dj n rj Εξίσωση 7 Όπου: rj = τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης Αν υπολογίσουµε αρνητική τιµή για το Lj τότε η τιµή θα πρέπει να θεωρηθεί µηδέν. 4

15 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): dj = n ( y i= y j ) Εξίσωση 8 y j : η µέση τιµή επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου Για n = έχουµε: rj ( y i= = y ) Εξίσωση 9 ri rj = ( y y j ) i = Εξίσωση 0 Γ. Αναπαραγωγιµότητα = + Rj rj Lj Εξίσωση 3 Συζήτηση Στην Ελληνική αγορά κυκλοφορούν σήµερα αρκετά προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου (EΣΕΑΠ, Murex, Biorad, IQAS, DGKC κ.α.). Τα πιο πολλά ζητούν από τα εργαστήρια να αποστέλλουν έντυπο µε µία µόνο µέτρηση για κάθε εξέταση. Πιστεύουµε όµως ότι στην Ελληνική πραγµατικότητα κάτι τέτοιο δεν είναι αρκετό. Για να είναι αρκετή µόνο µία µέτρηση θα πρέπει τα συµµετέχοντα εργαστήρια να κάνουν πιστή εφαρµογή όλων των κανόνων του εσωτερικού ελέγχου (διαγράµµατα Levey-Jenning, κριτήρια Wetgard, κλπ). Mόνο αν όλα τα εργαστήρια έχουν καλή επαναληψιµότητα µέσα στην ηµέρα (within run), καθώς και από ηµέρα σε ηµέρα (between run), το σύστηµα του εξωτερικού ελέγχου θα είναι αξιόπιστο. Σε αντίθετη περίπτωση ο υπολογισµός της γενικής µέσης τιµής-στόχου θα είναι εσφαλµένη. Τα πρότυπα της σειράς ISO 575 απαιτούν ως βασική προϋπόθεση για την αξιοπιστία του προγράµµατος τον ταυτόχρονο έλεγχο της επαναληψιµότητας των συµµετεχόντων εργαστηρίων. Ελέγχεται όµως µόνο η επαναληψιµότητα µέσα στην ηµέρα (within run) ενώ θα ήταν σίγουρα καλύτερα να ελέγχεται και η επαναληψιµότητα από ηµέρα σε ηµέρα (between run). Κάτι τέτοιο όµως δεν θα µπορούσε να γίνει µόνο µε τα υλικά ελέγχου που αποστέλλει στα εργαστήρια το συντονιστικό κέντρο αναφοράς. Παρόλα αυτά έστω και αυτός ο έλεγχος είναι σίγουρα καλύτερος από την µία και µοναδική µέτρηση. Αξίζει να αναφέρουµε ότι σήµερα υπάρχουν προτάσεις για ταυτόχρονο εσωτερικό και εξωτερικό έλεγχο (πρόγραµµα Biorad). Μεγάλο µέρος της όλης στατιστικής επεξεργασίας κατέχουν οι υπολογισµοί για τον εντοπισµό τυχόν ακραίων τιµών. Η απόρριψη των ακραίων τιµών είναι το πιο σηµαντικό στάδιο. Φυσικά δεν χρειάζεται να εφαρµοστούν όλες οι στατιστικές µεθοδολογίες που προτείνει η βιβλιογραφία. Αρκεί µια στατιστική δοκιµή για την απόρριψη «ακραίων» µέσων τιµών και µια άλλη για την απόρριψη των «ακραίων» τυπικών αποκλίσεων. 5

16 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Παραδείγµατα Συµπλήρωση των φορµών Α, Β και Γ σύµφωνα µε το πρότυπο ISO Στους πίνακες 8, 9 και 0 υλοποιούµε τις φόρµες Α, Β και Γ. Η εξεταζόµενη εξέταση είναι η γλυκόζη. Στο πρόγραµµα συµµετέχουν 0 εργαστήρια στα οποία αποστέλλονται από 3 επίπεδα (χαµηλό µεσαίο υψηλό). Η γλυκόζη µετριέται σε κάθε επίπεδο από πέντε φορές. Φόρµα Α Επίπεδο Εργαστήριο

17 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Πίνακας 9 Συµπλήρωση της φόρµας Α από το συντονιστικό κέντρο µε τιµές γλυκόζης. Στο παράδειγµα συµµετέχουν 0 εργαστήρια τα οποία µετρούν από 5 επαναλαµβανόµενες τιµές την γλυκόζη για τρία διαφορετικά επίπεδα (:χαµηλό, :µεσαίο, 3:υψηλό) Φόρµα Β Επίπεδο Εργαστήριο Πίνακας 0 Μέσες τιµές κάθε εργαστηρίου για τα τρία επίπεδα,, 3 7

18 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Φόρµα Γ Επίπεδο Εργαστήριο 3,30,4 3,54,58,67,35 3 3,39,00 3,70 4,30 5,89 3,95 5,45 0, 9,4 6 4,95,44 4,39 7 8,5 8,67 5,3 8 8,5 7,69 4,97 9 5,66 4,93 6,87 0 4,9,05 5,59 Πίνακας Τυπική απόκλιση των µετρήσεων κάθε εργαστηρίου για τα τρία επίπεδα,, 3 4. Κριτήριο Mandel Οι τιµές h (πίνακας ) υπολογίζονται από την σχέση 3 και µε τα δεδοµένα των πινάκων 9 και 0. Οι τιµές k (πίνακας 3) υπολογίζονται από την σχέση 4 µε τα δεδοµένα των πινάκων και. Ειδικά για τις τιµές h σχεδιάζουµε το αντίστοιχο διάγραµµα (εικόνα ). Κριτήριο h Eπίπεδο Eργαστήριο 3-0,69-0,33-0,4-0,4 0,6-0,83 3-0,0 0,60-0,03 4 0,5 -,50,09 5 -,63-0,69-0,8 6 0,8-0,05-0,03 7 0,48,00-0,94 8 0,4 -,07 0,09 9 -,0,86 -,09 0,9-0,39,6 Πίνακας Πίνακας κριτηρίων h του Mandel 8

19 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Κριτήριο k Eπίπεδο Eργαστήριο 3 0,34 0,7,84 0,50 0,38 0,8 3,3 0,54,0 4,07 4,65 8,68 5, 3,69,57 6 4,93 7,5,84 7 3,38 0,07 3,87 8 4,59 7,93 3,64 9 6,44 3,6 6,95 0 4,87 6,37 4,60 Πίνακας 3 Πίνακας κριτηρίων h του Mandel Εικόνα Γραφική απεικόνιση των τιµών h των κριτηρίων Mandel. Ύποπτο εργαστήριο είναι το πρώτο () αφού οι τιµές h και των τριών επιπέδων είναι µικρότερες του µηδενός 9

20 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Κριτήριο Cochan Ελέγχουµε µε το κριτήριο Cochan αν στον πίνακα υπάρχουν τυπικές αποκλίσεις που θα πρέπει να απορριφθούν. Πριν ξεκινήσουµε τον έλεγχο ανατρέχουµε στον πίνακα 7 του κριτηρίου Cochan και βρίσκουµε ότι για n=5 και =0 οι οριακές τιµές Cochan είναι 0,393 (%) και 0,33 (5%). Τα βήµατα που ακολουθούµε για το επίπεδο είναι τα ακόλουθα. Στο επίπεδο η µεγαλύτερη τυπική απόκλιση παρατηρείται στο κελί y 8, όπου η τυπική απόκλιση είναι 8, = max =8,5. Το max =7,4. Το Σ i =556. Άρα σύµφωνα µε τoν τύπο του Cochan έχουµε C=7,4/46=0,94. Αυτή η τιµή C είναι µικρότερη από τις αντίστοιχες τιµές 0,393 (%) και 0,33 (5%) και άρα η τυπική απόκλιση 8,5 δεν απορρίπτεται. Παρόµοια διαδικασία ακολουθούµε και για τα υπόλοιπα δύο επίπεδα. Οι υπολογισµοί και τα συµπεράσµατα µας συγκεντρώνονται στον πίνακα 4. Επίπεδο 3 Εργαστήριο Τιµή Cochan 0,94 0,3 0,4 Tιµή C για P=% 0,393 0,393 0,393 Tιµή C για P=5% 0,33 0,33 0,33 Σχόλιο: εκτό εκτό Απορρίπτεται Πίνακας 4 Τιµές κριτηρίου Cochan 4.3 Κριτηρίου Grubb Έλεγχος µιας ακραίας µέσης τιµής Πριν από τον υπολογισµό του κριτηρίου Grubb απαιτείται η ταξινόµηση των µέσων τιµών της φόρµας Β (πίνακας 0) σε αύξουσα σειρά (πίνακες 5, 6 και 7). Εργαστήριο Μέση τιµή Πίνακας 5 Ταξινόµηση επιπέδου Εργαστήριο Μέση τιµή Πίνακας 6 Ταξινόµηση επιπέδου 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συχνοτήτων. Μέτρα κεντρικής τάσης. Μέτρα διασποράς. Σφάλματα μέτρησης. Εγκυρότητα. Ακρίβεια

Κατανομή συχνοτήτων. Μέτρα κεντρικής τάσης. Μέτρα διασποράς. Σφάλματα μέτρησης. Εγκυρότητα. Ακρίβεια Ενότητα 2α: Τρόποι παρουσίασης επιδημιολογικών δεδομένων Εγκυρότητα, ακρίβεια Ροβίθης Μιχαήλ 2006 Τρόποι παρουσίασης επιδημιολογικών δεδομένων Κατανομή συχνοτήτων Μέτρα κεντρικής τάσης Μέτρα διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚ ΟΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΟΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΕΚ ΟΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΟΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Κωδικός:.540 Αρ. Έκδοσης: 3 Ηµ/νία: 01-02-2012 Σελ 1 από 5 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα ιαδικασία περιγράφει τον τρόπο µε τον οποίο το ΕΣΕΑΠ εκδίδει και παραδίδει τα αποτελέσµατα του εξωτερικού ελέγχου ποιότητας

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ELQA

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ELQA ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 1 http:elqa.teilar.gr 2 Τηλ. : (+30) 2410684448 Fax : (+30) 2410684650 1o Email : elqa@teilar.gr 2o Email : papaioannou@teilar.gr Website : http://elqa.teilar.gr Πνευματικά Δικαιώματα

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira

O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira Επιμέλεια: Πέτρος Καρκαλούσος Εισαγωγή Ο αναλυτής Cobas Mira είναι βιοχημικός αναλυτής που εκτελεί φωτομετρικές αναλύσεις (σάκχαρο, ουρία κτλ), μετρήσεις φαρμάκων

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600

O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600 O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600 Επιμέλεια: Πέτρος Καρκαλούσος O ILAB 600 είναι ένας βιοχημικός αναλυτής 67 παραμέτρων με ταχύτητα 400 τεστ/ώρα. Κατασκευάστηκε από την ιαπωνική εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 5: Εκτίμηση αβεβαιότητας στην ενόργανη ανάλυση Θωμαΐδης Νικόλαος Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ISO/IEC 1705 ΟΡΙΣΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α. Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών

Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α. Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Πίνακας των προς διαπίστευση δοκιμών Περιγραφή Δοκιμής/Ανάλυσης Υλικό/α που ελέγχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

«Διεργαστηριακά σχήματα»

«Διεργαστηριακά σχήματα» Εργαστήριο Υγιεινής Τμήμα Ιατρικής Πανεπιστήμιο Πατρών «Διεργαστηριακά σχήματα» Κατερίνα Φράγκου, M.Sc Υποψήφια Διδάκτωρ Ιατρικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Τηλ/fax 2610969876 email: fragou@med.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY) ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ACCURACY) 1) Ανάλυση 1 δείγματος (Πιστοποιημένο Υλικό Αναφοράς (CRM), εμπορικό δείγμα ελέγχου (control sample), υπόλειμμα διεργαστηριακού) με γνωστή τιμή αναφοράς (μ). Αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε πολλές από τις εργαστηριακές ασκήσεις θα ζητηθεί στην έκθεσή σας να περιλάβετε µια ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις. Αυτές οι γραφικές παραστάσεις µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτες ύλες. Πιθανοί κίνδυνοι σε όλα τα στάδια της παραγωγής. Καθορισµός πιθανότητας επιβίωσης µικροοργανισµών. Εκτίµηση επικινδυνότητας

Πρώτες ύλες. Πιθανοί κίνδυνοι σε όλα τα στάδια της παραγωγής. Καθορισµός πιθανότητας επιβίωσης µικροοργανισµών. Εκτίµηση επικινδυνότητας 1 ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ HACCP Αρχή 1η: Προσδιορισµός των πιθανών κινδύνων που σχετίζονται µε την παραγωγή τροφίµων σε όλα τα στάδια, από την ανάπτυξη και τη συγκοµιδή των πρώτων υλών, την παραγωγική διαδικασία, την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τυποποίηση και ποιότητα στη σύγχρονη κοινωνία ΜΕ-ΤΠ Π ΤΕΕ, 2008

Τυποποίηση και ποιότητα στη σύγχρονη κοινωνία ΜΕ-ΤΠ Π ΤΕΕ, 2008 8. ιακρίβωση 8.1 Εισαγωγή Η ανάγκη µιας διαδικασίας προκειµένου να ελέγχεται η µέτρηση για την αξιοπιστία της είναι, θα µπορούσαµε να πούµε προφανής. Και την απαντάµε ως πράξη και στις καθηµερινές µας

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Διασφάλιση Ποιότητας στο Εργαστήριο Κλινικής Βιοχημείας

Διασφάλιση Ποιότητας στο Εργαστήριο Κλινικής Βιοχημείας Διασφάλιση Ποιότητας στο Εργαστήριο Κλινικής Βιοχημείας Χρήστος Κρούπης, MSc, PhD Επίκουρος Καθηγητής Κλινικής Βιοχημείας και Μοριακής Διαγνωστικής, Εργαστήριο Κλινικής Βιοχημείας, Αττικόν Πανεπιστημιακό

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

Επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Η έννοια πρόβληµα Ανάλυση προβλήµατος Με τον όρο πρόβληµα εννοούµε µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή ούτε προφανής. Μερικά προβλήµατα είναι τα εξής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Πρώτο στάδιο: λειτουργικοί ορισμοί της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής Επιλογή της ανεξάρτητης μεταβλητής Επιλέγουμε μια ανεξάρτητη μεταβλητή (ΑΜ), την οποία

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINATION OF THERMAL PERFORMANCE OF GLAZED LIQUID HEATING SOLAR COLLECTORS

DETERMINATION OF THERMAL PERFORMANCE OF GLAZED LIQUID HEATING SOLAR COLLECTORS ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΑΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ / DEMOKRITOS NATIONAL CENTER FOR SCIENTIFIC RESEARCH ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΚΙΜΩΝ ΗΛΙΑΚΩΝ & ΑΛΛΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ LABORATORY OF TESTIN SOLAR & OTHER ENERY

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1

Εισαγωγή. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1 ΘΕΜΑ : Γράψτε αναλυτικά τις διαδικασίες ελέγχου ποιότητας ενός αναλυτή. Μέσα στην εργασία εκτός από κείμενο να συμπεριλάβετε διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τα δηµογραφικά δεδοµένα τα οποία προέρχονται από τις απογραφές πληθυσµού, τις καταγραφές της φυσικής και µεταναστευτικής κίνησης του πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

H ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΩΝ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

H ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΩΝ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ H ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΩΝ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ 1.1 Εισαγωγή H εµφάνιση των πλήρως αυτοµατοποιηµένων αναλυτών στα σύγχρονα διαγνωστικά εργαστήρια συνοδεύτηκε

Διαβάστε περισσότερα

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση

α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση Λύση ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η γενική εξίσωση του αρµονικού κύµατος είναι. Συγκρίνοντάς την µε µία από τις δύο εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων, έστω την εξίσωση, προκύπτει: και Με αντικατάσταση στη θεµελιώδη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

" ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα"

 ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ National Member of Eurolab " ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα" Dr. Περικλής Αγάθωνος ΑΝΤΙΠΡΟΕ ΡΟΣ HELLASLAB Ποια είναι η HELLASLAB ; - Ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ Μαθήµατα γενικής παιδείας Ιστορία. Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ Μαθήµατα γενικής παιδείας Ιστορία. Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ 3.1.1 Μαθήµατα γενικής παιδείας. 3.1.1.1 Ιστορία Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας Στο µάθηµα της ιστορίας εξετάσθηκαν 862 µαθητές. Από τα αποτελέσµατα για το σύνολο του νοµού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES. Daily calorie intake ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο 5.1 Εντολή EXPLORE 5.2 Εντολή CROSSTABS 5.3 Εντολή RAΤΙΟ STΑTISTIC 5.4 Εντολή OLAP CUBES 5000 Daily calorie

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΧΑΛΥΒΩΝ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ

ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΧΑΛΥΒΩΝ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΕΛΟΤ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙ ΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΧΑΛΥΒΩΝ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΙΜΟΙ ΧΑΛΥΒΕΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΡΑΒ ΟΙ, ΡΟΛΛΟΙ, ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΙΣΜΕΝΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ Έκδοση/ Τροποποίηση : 02/00

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα