ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ"

Transcript

1 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): ΙΕΘΝΗ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ (ISO) ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η σπουδαιότητα και η σηµασία του εξωτερικού ελέγχου της ποιότητας των εργαστηριακών αναλύσεων είναι σήµερα διαδεδοµένη ανάµεσα σε όλους τους εργαστηριακούς επιστήµονες, ιδιαίτερα σε όσους εργάζονται σε βιοχηµικά και ορµονολογικά εργαστήρια. Με τον όρο «εξωτερικός έλεγχος» έχει καθιερωθεί να εννοούµε τις διαδικασίες ελέγχου της ακρίβειας των εργαστηριακών αναλύσεων, οι οποίες διενεργούνται µέσω ενός εθνικού ή διεθνή κέντρου αναφοράς (). Συγκεκριµένα ο εξωτερικός έλεγχος (external quality control ή roficiency teting ή external quality aement) ελέγχει την ακρίβεια, την αληθινότητα και την αναπαραγωγιµότητα των εργαστηριακών αποτελεσµάτων. Ως ακρίβεια (accuracy) χαρακτηρίζουµε την εγγύτητα ανάµεσα σε µία µεµονωµένη τιµή µέτρησης και την «αποδεχόµενη τιµή αναφοράς». Η ακρίβεια επηρεάζεται από τυχαία και συστηµατικά σφάλµατα καθώς και τον αναµενόµενο «θόρυβο» στις µετρήσεις του αναλυτή. Ακόµα και αν ο καθηµερινός έλεγχος της επαναληψιµότητας (εσωτερικός έλεγχος) δεν εντοπίσει τυχαία και συστηµατικά σφάλµατα, ο θόρυβος του αναλυτή παραµένει, αφού εξαρτάται από ποικίλες κατασκευαστικές, τεχνικές και χηµικές παραµέτρους. Για το λόγο αυτό στον ορισµό της ακρίβειας δεν χρησιµοποιείται ο όρος «πραγµατική τιµή» αλλά αντίθετα ο όρος «αποδεχόµενη τιµή αναφοράς», που χαρακτηρίζεται από µια µέση τιµή-στόχο, η οποία προσδιορίζεται µε χηµικές ή και στατιστικές µεθόδους και ταυτίζεται µε την έννοια της «πραγµατικής τιµής». Ως αληθινότητα (truene) ορίζεται την εγγύτητα µεταξύ της µέσης τιµής µιας µεγάλης σειράς αριθµών και της «αποδεχόµενης τιµής αναφοράς». Ως αναπαραγωγιµότητα (reroducibility) ορίζουµε την εγγύτητα των τιµών που δίνουν τα εργαστήρια που συµµετέχουν στο ίδιο πρόγραµµα εξωτερικού ελέγχου (). Ο διεθνής οργανισµός ISO (International Standard Organization) δίνει κατευθυντήριες οδηγίες για την καλύτερη δυνατή εφαρµογή του εξωτερικού ελέγχου (Πίνακας, σειρές ISO IEC 43, ISO 575). Τα πρότυπα της σειράς ISO IEC 43-, ISO IEC 43- δίνουν γενικές οδηγίες για την καλύτερη οργάνωση των προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου, προτείνοντας ανάλογα µε την περίσταση το καταλληλότερο πρόγραµµα. Τα πρότυπα της σειράς ISO 575 προτείνουν εξειδικευµένες στατιστικές µεθοδολογίες για την εκπλήρωση των στόχων του προγράµµατος δηλ. τον υπολογισµό της τιµής στόχου και της αναπαραγωγιµότητας.

2 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): ΙSO/IEC Οδηγός 43-:997 Εξωτερικός έλεγχος της ποιότητας µε διεργαστηριακές συγκρίσεις. Μέρος. Ανάπτυξη και λειτουργία προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου. ISO/IEC Οδηγός 43-:997 Εξωτερικός έλεγχος της ποιότητας µε διεργαστηριακές συγκρίσεις. Μέρος. Επιλογή και χρήση σχεδίων εξωτερικού ελέγχου ποιότητας από φορείς πιστοποίησης εργαστηρίων. ΙSO 575-: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Μέρος : Γενικές αρχές και ορισµοί. ISO 575-: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος : Bασικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό της επαναληψιµότητας και τη αναπαραγωγιµότητας προτύπων αναλυτικών µεθόδων. ISO 575-3: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 3: Ενδιάµεσες µετρήσεις για την επαναληψιµότητα µιας πρότυπης µεθόδου µέτρησης. ISO 575-4: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 4: Bασικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό της ακρίβειας µιας πρότυπης µεθόδου µέτρησης. ISO 575-5: 994 Aκρίβεια (αληθείς τιµές και επαναληψιµότητα) των αναλυτικών µεθόδων και αποτελεσµάτων. Mέρος 5: Χρήση των τιµών ακρίβειας. Πίνακας ιεθνή πρότυπα ISO για την πληρέστερη εφαρµογή προγραµµάτων εξωτερικού ελέγχου της ποιότητας των εργαστηριακών αποτελεσµάτων Στόχος των προτύπων της σειράς ISO 575 Σε γενικές γραµµές τα πρότυπα ISO 575 δίνουν κατευθυντήριες οδηγίες για την επίτευξη της βέλτιστης αναπαραγωγιµότητας και ακρίβειας όλων των εργαστηρίων που συµµετέχουν σε ένα πρόγραµµα εξωτερικού ελέγχου. Αξιοσηµείωτο είναι ότι τα πρότυπα ISO 575 θεωρούν εξίσου σηµαντικό τον ταυτόχρονο έλεγχο της ενδοεργαστηριακής επαναληψιµότητας καθενός εργαστηρίου χωριστά. Η ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα υπολογίζεται από επαναλαµβανόµενες µετρήσεις (within run) που πραγµατοποιεί το εργαστήριο σε κάθε ένα από τα επίπεδα ορών ελέγχου που αποστέλλονται σε αυτό. Είναι φανερό ότι οι συντάκτες των προτύπων έλαβαν σοβαρά υπόψη το γεγονός ότι πολλά εργαστήρια συµµετέχουν σε προγράµµατα εξωτερικής αξιολόγησης χωρίς να έχουν καλή επίδοση στο εσωτερικό έλεγχο ποιότητας, ο οποίος προηγείται πάντα του εξωτερικού. Σύµφωνα µε τα ISO 575 κάθε εργαστήριο αποστέλλει στο συντονιστικό κέντρο µία σειρά µετρήσεων, ο αριθµός των οποίων καθορίζεται από το συντονιστικό κέντρο. Εδώ δηλαδή υπάρχει µια Στα πρότυπα ISO 575 χρησιµοποιούµε τον όρο ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα (ή ενδοεργαστηριακή διακύµανση) για να περιγράψουµε την τυπική απόκλιση των επαναλαµβανόµενων µετρήσεων κάθε εργαστηρίου χωριστά. Συµβολίζεται ως r.

3 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): σηµαντική διαφορά από τα πιο διαδεδοµένα προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου που είναι γνωστά στην Ελληνική επικράτεια (π.χ. πρόγραµµα ΕΣΕΑΠ), τα οποία ζητούν από τα εργαστήρια µία µόνο τιµή. Πρώτος στόχος των προτύπων ISO 575 είναι ο υπολογισµός της «αποδεχόµενης τιµής αναφοράς» (acceted reference value). Στην ουσία πρόκειται για την µέση τιµή όλων των µέσων τιµών των συµµετεχόντων εργαστηρίων. Για τον υπολογισµό της πρέπει προηγουµένως να απορριφθούν όλα τα εργαστήρια που έχουν κακή ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα ή υπερβολικά µεγάλη ή µικρή µέση τιµή. Για τον σκοπό αυτό τα πρότυπα της σειράς ISO 575 παρέχουν µια σειρά από στατιστικά εργαλεία για τον εντοπισµό και την απόρριψη των εργαστηρίων µε «ακραία» επαναληψιµότητα ή «ακραία» µέση τιµή. Ο δεύτερος στόχος των ISO 575 είναι ο υπολογισµός της αναπαραγωγιµότητας όλων των εργαστηρίων του προγράµµατος. Η αναπαραγωγιµότητα είναι ένα σύνθετο µέγεθος και εξαρτάται από την ενδοεργαστηριακή ( r ) και διαεργαστηριακή επαναληψιµότητα 3 ( R ) υπολογίζεται στο τέλος αφού έχουν υπολογιστεί ήδη τα r και R (σχέση βλ. παρακάτω).. Προκαταρκτικά στάδια Πριν αναλύσουµε τις επιµέρους στατιστικές µεθοδολογίες θα πρέπει να αναφέρουµε τα στάδια που προηγούνται αυτής. Έτσι το συντονιστικό κέντρο οφείλει να λάβει µέριµνα για τα ακόλουθα: την οµαδοποίηση των εργαστηρίων Το κέντρο αναφοράς οµαδοποιεί τα αποτελέσµατα ανάλογα την χηµική µέθοδο, τον αναλυτή ή οτιδήποτε άλλο κρίνει απαραίτητο. Σε αρκετές περιπτώσεις µπορεί και τα ίδια τα συµµετέχοντα εργαστήρια να ζητήσουν να συµµετάσχουν σε επιµέρους ιδιαίτερες οµάδες. τον ορισµό του πλήθους των τιµών που πρέπει να υπολογίζει κάθε εργαστήριο την καταγραφή των τιµών σε εύχρηστους πίνακες την απαλοιφή των ακραίων τιµών.. Τυποποίηση των απαντήσεων εξωτερικού ελέγχου ποιότητας Το διεθνές πρότυπο ISO 575- προτείνει µια αυστηρή τυποποίηση του τρόπου καταγραφής των αποτελεσµάτων που αποστέλλονται στο συντονιστικό κέντρο. Συγκεκριµένα χρησιµοποιεί τρεις φόρµες Α (πίνακας ), Β (πίνακας 3) και Γ (πίνακας 4), εκ των οποίων η κάθε µία προκύπτει από την αµέσως προηγούµενή της. Κάθε φόρµα διαιρείται σε επιµέρους κελιά τα οποία κατά κύριο λόγο χρησιµοποιούνται στους υπολογισµούς. Οι συµβολισµοί που προτείνονται από το ISO 575- είναι οι ακόλουθοι: Αριθµός εργαστηρίων i =. Aριθµός επιπέδων j = q Σύνολο επαναλήψεων k =.n Ονοµάζεται αλλιώς και τιµή στόχος (target value). 3 Ως διαεργαστηριακή επαναληψιµότητα (ή διαεργαστηριακή διακύµανση) ορίζουµε την τυπική απόκλιση όλων των µέσων τιµών των εργαστηρίων. Συµβολίζεται ως R. 3

4 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Kατά συνέπεια: Σύνολο κελιών: q Σύνολο τιµών: qn Σύνολο αποτελεσµάτων σε ένα κελί: n Συµβολισµός ενός αποτελέσµατος: y k Αριθµός εργαστηρίων σε κάθε επίπεδο: j Φόρµα Α Φόρµα συλλογής αρχικών δεδοµένων Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. Y k i.. Πίνακας Φόρµα συµπλήρωσης των αποτελεσµάτων των εργαστηρίων για όλα τα επίπεδα (control) όπως ζητείται από το συντονιστικό κέντρο αναφοράς H µέση τιµή κάθε κελιού της φόρµας Β (πίνακας 3) προσδιορίζεται από τον τύπο: Y n = y n k = k Εξίσωση Φόρµα B Φόρµα συλλογής µέσων τιµών Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. Ŷ k i.. Πίνακας 3 4

5 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Φόρµα υπολογισµού των µέσων τιµών των αποτελεσµάτων τις φόρµας Α To εύρος των τιµών στα κελιά της φόρµας Γ (πίνακας 4) υπολογίζεται από τον τύπο: = n n k = ( y k y ) Εξίσωση Φόρµα Γ Φόρµα συλλογής τυπικών αποκλίσεων Επίπεδο Εργαστήριο.. j.. q- q.. S i.. P Πίνακας 4 Φόρµα υπολογισµού των τυπικών αποκλίσεων των αποτελεσµάτων της φόρµας Α Στα κελιά που περιέχουν µόνο δύο τιµές µπορεί να παραλειφθεί ο προσδιορισµός της τυπικής απόκλισης και να χρησιµοποιηθούν οι απόλυτες διαφορές των δύο τιµών. Το ISO 575- ζητεί για τις τυπικές αποκλίσεις διπλάσια δεκαδικά ψηφία από τα δεκαδικά ψηφία των αρχικών δεδοµένων..3 Απαλοιφή των ακραίων τιµών Ως ακραίες τιµές (outlier) χαρακτηρίζονται οι τιµές των εργαστηρίων, οι οποίες πρέπει να απαλειφθούν από την στατιστική µεθοδολογία για να µην επηρεάσουν την µέτρηση της τιµής στόχου. Οι ακραίες τιµές µπορεί να είναι µεµονωµένες µετρήσεις ή ακόµα σύνολα µετρήσεων στην περίπτωση που οι οδηγίες ζητούν από τα συµµετέχοντα εργαστήρια να πραγµατοποιούν επαναλαµβανόµενες µετρήσεις. Έχουν προταθεί διάφορες µέθοδοι για την εύρεση και απαλοιφή των ακραίων τιµών. Πολύ γνωστή στην Ελλάδα είναι η µέθοδος της «αποδεκτής τιµής» (conenu mean) που χρησιµοποιείται από το πρόγραµµα ΕΣΕΑΠ του Eυαγγελισµού (). Το πρότυπο ISO 575- παρέχει µια σειρά από πολύπλοκα στατιστικά εργαλεία για την απόρριψη των εργαστηρίων που έχουν ακραία µέση τιµή ή ακραία ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα. Στην περίπτωση που αποδειχθεί στατιστικώς ότι κάποια µεµονωµένη τιµή, µέση τιµή ή τυπική απόκλιση πρέπει να απαλειφθεί ελέγχουµε αρχικά για τυχόν τυχαία λάθη. Συγκεκριµένα ελέγχουµε αν: έγινε λάθος στην µέτρηση στον αναλυτή µετρήθηκε λάθος δείγµα έγινε λάθος υπολογισµός του αντίστοιχου στατιστικού κριτηρίου έγινε λάθος στην αντιγραφή. 5

6 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Αν απορριφθεί ως ακραία τιµή (outlier) µία µέση τιµή τότε θα απορριφθεί και η αντίστοιχη τυπική απόκλιση και το αντίστροφο..3. Κριτήρια Mandel (4) Ο Μandel προτείνει τον υπολογισµό δύο στατιστικών µεγεθών των h και k. Τα κριτήρια αυτά µας βοηθούν να εντοπίσουµε έγκαιρα ακραίες τιµές µεταξύ των τιµών που αποστέλλουν τα εργαστήρια στο συντονιστικό κέντρο. Συγκεκριµένα το µέγεθος h ελέγχει την ύπαρξη ακραίων µέσων τιµών ενώ το k ακραίες τυπικές αποκλίσεις κατά τον υπολογισµό της ενδοεργαστηριακής επαναληψιµότητας. Τα µεγέθη h και k υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. h = i y j i= y ( y j y ) j Εξίσωση 3 k = j Εξίσωση 4 Οι τιµές h και k υπολογίζονται για κάθε επίπεδο όλων των εργαστηρίων. Αν οι τιµές h και k ενός εργαστηρίου απέχουν πολύ από τα υπόλοιπα εργαστήρια, τότε το εργαστήριο απορρίπτεται και ειδοποιείται να επαναλάβει την µέτρηση. Κανονικά υπάρχουν ίσες πιθανότητες θετικών και αρνητικών h και k µεταξύ των επιπέδων που χρησιµoποιεί κάθε εργαστήριο. Για παράδειγµα αν ένα εργαστήριο έχει τα h όλων των επιπέδων θετικά ενώ όλα τα άλλα εργαστήρια έχουν τα h αρνητικά, θα πρέπει να αναζητήσουµε την αιτία της διαφοράς. Για την καλύτερη σύγκριση των τιµών h και k µπορούν να σχεδιαστούν ανάλογα διαγράµµατα (βλ. εικόνα ). Παρ όλα αυτά η ασφαλέστερη εκτίµηση της στατιστικής σηµαντικότητας των κριτηρίων Mandel γίνεται µε κατάλληλους στατιστικούς πίνακες (πίνακες 5 και 6). 6

7 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Eπίπεδο σηµαντικότητας P=% h k n= n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 N=0 3,5,7,64,58,53,49,46,43,4,39 4,49,9,77,67,60,55,5,48,45,43 5,7,05,85,73,65,59,55,5,48,46 6,87,4,90,77,68,6,57,53,50,47 7,98,0,94,79,70,63,58,54,5,48 8,06,5,97,8,7,65,59,55,5,49 9,3,9,99,8,73,66,60,56,53,50 0,8,3,00,84,74,67,6,57,53,50,,34,0,85,74,67,6,57,54,5,5,36,0,85,75,68,6,58,54,5 3,7,38,03,86,76,68,63,58,55,5 4,30,39,04,87,76,69,63,58,55,5 5,3,4,05,87,76,69,63,59,55,5 6,33,4,05,88,77,69,63,59,56,5 7,35,44,06,88,77,69,64,59,56,53 8,36,44,06,88,77,69,64,60,56,53 9,37,44,07,89,78,70,64,60,56,53 0,39,45,07,89,78,70,64,60,56,53,39,46,07,89,78,70,64,60,56,53,40,46,08,90,78,7,65,60,56,53 3,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 4,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 5,4,47,08,90,79,7,65,60,56,53 6,43,48,09,90,79,7,65,60,56,53 7,44,48,09,90,79,7,65,60,56,53 8,44,49,09,9,79,7,65,60,56,53 9,45,49,09,9,79,7,65,60,56,53 30,45,49,0,9,79,7,65,6,57,53 Πίνακας 5 Στατιστικός πίνακας ελέγχου στατιστικής σηµαντικότητας των κριτηρίων Mandel για P=% 7

8 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Eπίπεδο σηµαντικότητας P=5% P h k n= n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=0 3,5,65,53,45,40,37,34,3,30,9 4,4,76,59,50,44,40,37,35,33,3 5,57,8,6,53,46,4,39,36,34,3 6,66,85,64,54,48,43,40,37,35,33 7,7,87,66,55,49,44,4,38,36,34 8,75,88,67,56,50,45,4,38,36,35 9,78,90,68,57,50,45,4,39,36,35 0,80,90,69,57,50,46,4,39,37,35,8,9,69,58,5,46,4,40,37,35,83,9,69,58,5,46,4,40,37,35 3,84,9,69,58,5,46,43,40,37,35 4,85,9,70,59,5,47,43,40,37,35 5,86,93,70,59,5,47,43,40,38,36 6,86,93,70,59,5,47,43,40,38,36 7,87,93,70,59,5,47,43,40,38,36 8,88,93,7,59,5,47,43,40,38,36 9,88,93,7,59,5,47,43,40,38,36 0,89,94,7,59,5,47,43,40,38,36,89,94,7,60,5,47,44,4,38,36,89,94,7,60,5,47,44,4,38,36 3,90,94,7,60,53,47,44,4,38,36 4,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 5,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 6,90,94,7,60,53,48,44,4,38,36 7,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 8,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 9,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 30,9,94,7,60,53,48,44,4,38,36 Πίνακας 6 Στατιστικός πίνακας ελέγχου στατιστικής σηµαντικότητας κριτηρίων Mandel για P=5% 8

9 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Κριτήριο Cochan (4) Στα προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου οι διαφορές των ενδοεργαστηριακών διακυµάνσεων των συµµετεχόντων εργαστηρίων οφείλουν να είναι πρακτικά αµελητέες ( σ r 0). Αυτό στην πράξη ενδεχοµένως να µην συµβαίνει αφού µπορεί να υπάρχουν εργαστήρια µε µεγάλη ενδοεργαστηριακή διακύµανση, δηλαδή, κακή επαναληψιµότητα. Τα εργαστήρια µε κακή επαναληψιµότητα πρέπει να αποκλειστούν από τον υπολογισµό της τιµής-στόχου και της αναπαραγωγιµότητας. Παρόµοια µε το κριτήριο k του Mandel το κριτήριο Cochan χρησιµοποιείται ως εργαλείο για τον αποκλεισµό των εργαστηρίων που έχουν µεγάλη ενδοεργαστηριακή επαναληψιµότητα ( r ). Το κριτήριο Cochan χρησιµοποιεί σαν άκυρη υπόθεση Ηο το συλλογιστικό ότι οι διαφορές των ενδοεργαστηριακών διακυµάνσεων είναι αµελητέες. Με την βοήθεια της σχέσης 5 και αντίστοιχων στατιστικών πινάκων (πίνακας 7) απορρίπτουµε ή όχι την αρχική µας υπόθεση (Ho: µ= max, H : µ> max ) C max = i i= Εξίσωση 5 Όπου: max : η τυπική απόκλιση που υποπτευόµαστε ως «ακραία» και πρέπει να απορριφθεί. i (i = ) : η τυπική απόκλιση των ενδοεργαστηριακών µετρήσεων. : o συνολικός αριθµός των εργαστηρίων. Το κριτήριο Cochan εφαρµόζεται σε προγράµµατα που τα εργαστήρια εκτελούν τον ίδιο αριθµό επαναλήψεων. Το max είναι κάθε φορά η µέγιστη τυπική απόκλιση που έχει παρατηρηθεί µεταξύ των εργαστηρίων. Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου Cochan ελέγχουµε αρχικά αν η µεγαλύτερη τυπική απόκλιση (την ονοµάζουµε max ) θα πρέπει να απορριφθεί ως «ακραία». Αν η πρώτη max θεωρηθεί «ακραία» τότε την απαλείφουµε και ελέγχουµε µε το κριτήριο Cochan την αµέσως µικρότερη. Αν και η δεύτερη max θεωρηθεί «ακραία» την απαλείφουµε και αυτή και επαναλαµβάνουµε την µέτρηση Cochan. Aν η τρίτη max δεν είναι «ακραία» τότε σταµατάµε την µέτρηση του κριτηρίου Cochan. Η λύση της εξίσωσης Cochan µας δίνει έναν αριθµό για τον οποίο ελέγχουµε την σχέση του ως προς συγκεκριµένες οριακές τιµές Cochan για επίπεδα σηµαντικότητας 5% και % (πίνακας 7). Οι οριακές αυτές τιµές εξαρτώνται από τον αριθµό των συµµετεχόντων εργαστηρίων () και τον αριθµό των επαναλήψεων ανά εργαστήριο (n). Ο πίνακας 8 χρησιµοποιείται ως ακολούθως: Εάν η τιµή Cochan είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του % τότε θεωρούµε την τυπική απόκλιση max ως «ακραία» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Cochan είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του 5% αλλά µικρότερη του % τότε θεωρούµε την τυπική απόκλιση max ως «αµφίβολη» τιµή και επίσης δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Cochan είναι µικρότερη από την οριακή τιµή του 5% τότε θεωρούµε δεκτή την τυπική απόκλιση max και την χρησιµοποιούµε στους υπολογισµούς µας. 9

10 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): n= n= n=3 n=3 n=4 n=4 n=5 n=5 n=6 n=6 % 5% % 5% % 5% % 5% % 5% 0,995 0,975 0,979 0,939 0,959 0,906 0,937 0, ,993 0,967 0,94 0,87 0,883 0,798 0,834 0,746 0,793 0, ,968 0,906 0,864 0,768 0,78 0,684 0,7 0,69 0,767 0,59 5 0,98 0,84 0,788 0,684 0,696 0,598 0,633 0,544 0,588 0, ,883 0,78 0,7 0,66 0,66 0,53 0,564 0,48 0,5 0, ,838 0,77 0,664 0,56 0,568 0,48 0,508 0,43 0,466 0, ,794 0,68 0,65 0,56 0,5 0,438 0,463 0,39 0,43 0, ,754 0,638 0,573 0,478 0,48 0,403 0,45 0,358 0,387 0,39 0 0,78 0,60 0,536 0,445 0,447 0,373 0,393 0,33 0,357 0,303 0,684 0,57 0,504 0,47 0,48 0,348 0,366 0,308 0,33 0,8 0,653 0,54 0,475 0,39 0,39 0,36 0,343 0,88 0,3 0,6 3 0,64 0,55 0,45 0,37 0,369 0,307 0,3 0,7 0,9 0,43 4 0,599 0,49 0,47 0,35 0,349 0,9 0,304 0,55 0,74 0,3 5 0,575 0,47 0,407 0,335 0,33 0,76 0,88 0,4 0,59 0,0 6 0,553 0,45 0,388 0,39 0,36 0,6 0,74 0,3 0,46 0,08 7 0,53 0,434 0,37 0,305 0,30 0,5 0,6 0,9 0,74 0,98 8 0,54 0,48 0,356 0,93 0,88 0,4 0,49 0,09 0,3 0,89 9 0,496 0,403 0,343 0,8 0,76 0,3 0,38 0, 0,4 0,8 0 0,48 0,389 0,33 0,7 0,65 0, 0,9 0,9 0,05 0,74 0,465 0,377 0,38 0,6 0,55 0, 0, 0,85 0,97 0,67 0,45 0,365 0,307 0,5 0,46 0,04 0, 0,78 0,89 0,6 3 0,437 0,354 0,97 0,43 0,38 0,97 0,04 0,7 0,8 0,55 4 0,45 0,343 0,87 0,35 0,3 0,9 0,97 0,66 0,76 0,49 5 0,43 0,334 0,78 0,8 0, 0,85 0,9 0,6 0,7 0,44 6 0,40 0,35 0,7 0, 0,5 0,79 0,84 0,55 0,64 0,4 7 0,39 0,36 0,6 0,5 0,09 0,73 0,79 0,5 0,59 0,35 8 0,38 0,308 0,55 0,09 0,0 0,68 0,73 0,46 0,54 0,3 9 0,37 0,3 0,48 0,03 0,96 0,64 0,68 0,4 0,5 0,7 30 0,363 0,93 0,4 0,98 0,9 0,59 0,64 0,38 0,45 0,4 3 0,355 0,86 0,35 0,93 0,86 0,55 0,59 0,34 0,4 0, 3 0,347 0,8 0,9 0,88 0,8 0,5 0,55 0,3 0,38 0,7 33 0,339 0,73 0,4 0,84 0,77 0,47 0,5 0,7 0,34 0,4 34 0,33 0,67 0,8 0,79 0,7 0,44 0,47 0,4 0,3 0, 35 0,35 0,6 0,3 0,75 0,68 0,4 0,44 0, 0,7 0, ,38 0,56 0,08 0,7 0,65 0,37 0,4 0,8 0,4 0, ,3 0,5 0,04 0,68 0,3 0,34 0,37 0,6 0, 0, ,306 0,46 0,00 0,64 0,57 0,3 0,34 0,3 0,9 0,0 39 0,300 0,4 0,96 0,6 0,54 0,9 0,3 0, 0,6 0, ,94 0,37 0,9 0,58 0,5 0,6 0,8 0,08 0,4 0,097 Πίνακας 7 Στατιστικός πίνακας ελέγχου της στατιστικής σηµαντικότητας του κριτηρίου Cochan 0

11 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Kριτήριο Grubb (4) Το κριτήριο Grubb ελέγχει αν οι µέσες τιµές ενός εργαστηρίου είναι «ακραία» υψηλές ή χαµηλές σε σχέση µε τις τιµές των υπολοίπων. Το κριτήριο Grubb µπορεί να χρησιµοποιηθεί τόσο για µέσες τιµές των εργαστηρίων όσο και για µοναδικές τιµές (στην περιπτώσεις που τα εργαστήρια µετράνε µόνο µία τιµή). Αντιστοιχεί στον κριτήριο h του Mandel. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισµού του κριτηρίου Grubb. Στην πρώτη περίπτωση ελέγχουµε ένα κάθε φορά «ύποπτο» εργαστήριο ενώ στην δεύτερη περίπτωση ένα ζευγάρι εργαστηρίων. Για τον υπολογισµό του κριτηρίου χρησιµοποιούνται οι µέσες τιµές της φόρµας Β (πίνακας 3) αφού προηγουµένως ταξινοµηθούν σε αύξουσα σειρά. Για τον έλεγχο της µεγαλύτερης ακραίας τιµής εφαρµόζεται η σχέση 6. G = ( x x) Εξίσωση 6 Όπου x : η µέση τιµή όλων των τιµών ενός επιπέδου : η τυπική απόκλιση των τιµών ενός επιπέδου x : η µεγαλύτερη µέση τιµή ενός επιπέδου G : η τιµή Grubb του εργαστηρίου µε την µεγαλύτερη τιµή Αντίστοιχα για τον έλεγχο της µικρότερης ακραίας τιµής εφαρµόζεται η σχέση 7. G ( x x = ) Εξίσωση 7 Όπου x : η µέση τιµή όλων των τιµών ενός επιπέδου : η τυπική απόκλιση των τιµών ενός επιπέδου x : η µικρότερη µέση τιµή ενός επιπέδου G : η τιµή Grubb του εργαστηρίου µε την µικρότερη τιµή Για τον έλεγχο εγκυρότητας των δύο µεγαλύτερων τιµών ο τύπος του κριτηρίου Grubb είναι ο ακόλουθος: G = X 0, P Εξίσωση 8 Όπου: = ( x) Εξίσωση 9 o x i i= Όπου x : η µέση τιµή όλων των µέσων τιµών ενός επιπέδου : συνολικός αριθµός εργαστηρίων x i : όλες οι µέσες τιµές του συγκεκριµένου επιπέδου i : αύξοντας αριθµός εργαστηρίου

12 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): 7-86., = ( xi x, ) i= Εξίσωση 0, = i= x i ` Εξίσωση Aντίστοιχα για να ελέγξουµε αν οι δύο µικρότερες τιµές µπορούν να θεωρηθούν ως «ακραίες» υπολογίζουµε το G από τις ακόλουθες σχέσεις. G =, 0 Εξίσωση, = ( x i x, ) i= 3 Εξίσωση 3 Όπου : συνολικός αριθµός εργαστηρίων x i : όλες οι µέσες τιµές του συγκεκριµένου επιπέδου i : αύξοντας αριθµός εργαστηρίου, = xi i= 3 x i = y i : µέση τιµή των µετρήσεων ενός εργαστηρίου = j : αριθµός εργαστηρίων που συµµετέχουν στο πρόγραµµα Εξίσωση 4 Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου Grubb, αν µία µέση τιµή αποδειχθεί ως «ακραία» τότε αυτή απαλείφεται και ελέγχουµε µε το κριτήριο Grubb την αµέσως επόµενη. Ελέγχουµε δηλαδή διαδοχικά την µία µετά την άλλη υψηλή (ή χαµηλή τιµή) προκειµένου να φτάσουµε σε µία τιµή η οποία δεν χρειάζεται να απαλειφθεί οπότε και ο έλεγχος του κριτηρίου Grubb σταµατάει. Όπως είπαµε για να γίνει ο έλεγχος σωστά τοποθετούµε αρχικά τις τιµές των εργαστηρίων σε αύξουσα και ξεκινούµε τον έλεγχο από την πιο ακραία. Ο έλεγχος γίνεται πάντα είτε µε τον τύπο του Grubb για µία παρατήρηση είτε για δύο παρατηρήσεις, αλλά ποτέ εναλλάξ. Ο τύπος του Grubb µας δίνει µια τιµή P την οποία ελέγχουµε ως προς δεδοµένες οριακές τιµές Grubb για τα επίπεδα σηµαντικότητας 5% και % (πίνακας 8). Οι οριακές τιµές Grubb για % και 5% εξαρτώνται από τον αριθµό των συµµετεχόντων εργαστηρίων n. H σχέση τιµών Grubb µε τις οριακές τιµές του % και 5% αξιολογείται µε τρόπο παρόµοιο µε το κριτήριο Cochan. Εάν η τιµή Grubb είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του % τότε θεωρούµε την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) «ακραία» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Grubb είναι µεγαλύτερη από την οριακή τιµή του 5% αλλά µικρότερη από αυτή του % τότε θεωρούµε την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) ως «αµφίβολη» τιµή και δεν την συµπεριλαµβάνουµε στους περαιτέρω υπολογισµούς. Εάν η τιµή Grubb είναι µικρότερη από την οριακή τιµή του 5% τότε θεωρούµε δεκτή την ελεγχόµενη(ες) µέση τιµή(ες) και την συµπεριλαµβάνουµε στους υπολογισµούς µας

13 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Mία µεγαλύτερη ή µικρότερη ύο µεγαλύτερες ή µικρότερες Μεγαλύτερο % Μικρότερο 5% Μεγαλύτερο % Μικρότερο 5% 3,55,55 4,496,48 0, ,000 5,764,75 0,00 8 0, ,973,887 0,0 6 0, ,39,00 0, , ,74,6 0, ,0 9,387,5 0,085 0,49 0,48,9 0,5 0 0,86 4,564,355 0,44 8 0, 3,636,4 0,73 8 0,53 7 3,699,46 0,0 6 0,83 6 4,755,507 0,8 0 0,3 5,806,549 0,53 0 0, ,85,585 0,76 7 0, ,894,6 0,99 0 0,38 8,93,65 0, ,40 5 9,968,98 0, , ,00,709 0, ,439 3,03,733 0,376 0, ,060,758 0,39 7 0,47 3 3,087,78 0, , ,,80 0,43 4 0, ,35,8 0, , ,57,84 0,45 0 0, ,78,859 0, , ,99,876 0, , ,8,893 0, , ,36,908 0, , ,53,94 0,509 0, ,70,938 0,59 0, ,86,95 0,58 8 0, ,30,965 0,538 0, ,36,979 0, , ,33,99 0, , ,343 3,003 0, , ,356 3,04 0,57 4 0, ,369 3,05 0, , ,38 3,036 0,586 0,644 5 Πίνακας 8 Στατιστικός πίνακας ελέγχου της στατιστικής σηµαντικότητας του κριτηρίου Grubb 3

14 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Υπολογισµός της τιµής στόχου Η γενική µέση τιµή ή τιµή στόχος υπολογίζεται χωριστά για κάθε επίπεδο. Για τον υπολογισµό της βασιζόµαστε στην φόρµα Β (πίνακας 3). O γενικός τύπος είναι: n i= i = y i= n y Εξίσωση 5 Όπου y : µέση τιµή κάθε κελιού που δεν έχει απορριφθεί ως ακραία (βλ. κριτήριο Grubb ή h) n : αριθµός επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου : αριθµός εργαστηρίων κάθε επίπεδου Φυσικά για τον υπολογισµό της µέσης τιµής απαλείφονται τα εργαστήρια των οποίων η µέση τιµή, ή η τυπική απόκλιση έχουν τεθεί εκτός ορίων («ακραίες τιµές») από την εφαρµογή των κριτηρίων Cochan, Grubb και Mandel h και k..5 Υπολογισµός διακυµάνσεων Για κάθε επίπεδο υπολογίζουµε τρεις τυπικές αποκλίσεις, την τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης rj, την τυπική απόκλιση διαεργαστηριακής διακύµανσης Lj και την αναπαραγωγιµότητα Ri. Α. Τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης rj i= = i= ( n ( n ) ) Εξίσωση 6 Όπου: n : αριθµός επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου : τυπική απόκλιση κάθε εργαστηρίου B. Tυπική απόκλιση διαεργαστηριακής διακύµανσης Lj = dj n rj Εξίσωση 7 Όπου: rj = τυπική απόκλιση ενδοεργαστηριακής διακύµανσης Αν υπολογίσουµε αρνητική τιµή για το Lj τότε η τιµή θα πρέπει να θεωρηθεί µηδέν. 4

15 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): dj = n ( y i= y j ) Εξίσωση 8 y j : η µέση τιµή επαναλήψεων κάθε εργαστηρίου Για n = έχουµε: rj ( y i= = y ) Εξίσωση 9 ri rj = ( y y j ) i = Εξίσωση 0 Γ. Αναπαραγωγιµότητα = + Rj rj Lj Εξίσωση 3 Συζήτηση Στην Ελληνική αγορά κυκλοφορούν σήµερα αρκετά προγράµµατα εξωτερικού ελέγχου (EΣΕΑΠ, Murex, Biorad, IQAS, DGKC κ.α.). Τα πιο πολλά ζητούν από τα εργαστήρια να αποστέλλουν έντυπο µε µία µόνο µέτρηση για κάθε εξέταση. Πιστεύουµε όµως ότι στην Ελληνική πραγµατικότητα κάτι τέτοιο δεν είναι αρκετό. Για να είναι αρκετή µόνο µία µέτρηση θα πρέπει τα συµµετέχοντα εργαστήρια να κάνουν πιστή εφαρµογή όλων των κανόνων του εσωτερικού ελέγχου (διαγράµµατα Levey-Jenning, κριτήρια Wetgard, κλπ). Mόνο αν όλα τα εργαστήρια έχουν καλή επαναληψιµότητα µέσα στην ηµέρα (within run), καθώς και από ηµέρα σε ηµέρα (between run), το σύστηµα του εξωτερικού ελέγχου θα είναι αξιόπιστο. Σε αντίθετη περίπτωση ο υπολογισµός της γενικής µέσης τιµής-στόχου θα είναι εσφαλµένη. Τα πρότυπα της σειράς ISO 575 απαιτούν ως βασική προϋπόθεση για την αξιοπιστία του προγράµµατος τον ταυτόχρονο έλεγχο της επαναληψιµότητας των συµµετεχόντων εργαστηρίων. Ελέγχεται όµως µόνο η επαναληψιµότητα µέσα στην ηµέρα (within run) ενώ θα ήταν σίγουρα καλύτερα να ελέγχεται και η επαναληψιµότητα από ηµέρα σε ηµέρα (between run). Κάτι τέτοιο όµως δεν θα µπορούσε να γίνει µόνο µε τα υλικά ελέγχου που αποστέλλει στα εργαστήρια το συντονιστικό κέντρο αναφοράς. Παρόλα αυτά έστω και αυτός ο έλεγχος είναι σίγουρα καλύτερος από την µία και µοναδική µέτρηση. Αξίζει να αναφέρουµε ότι σήµερα υπάρχουν προτάσεις για ταυτόχρονο εσωτερικό και εξωτερικό έλεγχο (πρόγραµµα Biorad). Μεγάλο µέρος της όλης στατιστικής επεξεργασίας κατέχουν οι υπολογισµοί για τον εντοπισµό τυχόν ακραίων τιµών. Η απόρριψη των ακραίων τιµών είναι το πιο σηµαντικό στάδιο. Φυσικά δεν χρειάζεται να εφαρµοστούν όλες οι στατιστικές µεθοδολογίες που προτείνει η βιβλιογραφία. Αρκεί µια στατιστική δοκιµή για την απόρριψη «ακραίων» µέσων τιµών και µια άλλη για την απόρριψη των «ακραίων» τυπικών αποκλίσεων. 5

16 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Παραδείγµατα Συµπλήρωση των φορµών Α, Β και Γ σύµφωνα µε το πρότυπο ISO Στους πίνακες 8, 9 και 0 υλοποιούµε τις φόρµες Α, Β και Γ. Η εξεταζόµενη εξέταση είναι η γλυκόζη. Στο πρόγραµµα συµµετέχουν 0 εργαστήρια στα οποία αποστέλλονται από 3 επίπεδα (χαµηλό µεσαίο υψηλό). Η γλυκόζη µετριέται σε κάθε επίπεδο από πέντε φορές. Φόρµα Α Επίπεδο Εργαστήριο

17 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Πίνακας 9 Συµπλήρωση της φόρµας Α από το συντονιστικό κέντρο µε τιµές γλυκόζης. Στο παράδειγµα συµµετέχουν 0 εργαστήρια τα οποία µετρούν από 5 επαναλαµβανόµενες τιµές την γλυκόζη για τρία διαφορετικά επίπεδα (:χαµηλό, :µεσαίο, 3:υψηλό) Φόρµα Β Επίπεδο Εργαστήριο Πίνακας 0 Μέσες τιµές κάθε εργαστηρίου για τα τρία επίπεδα,, 3 7

18 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Φόρµα Γ Επίπεδο Εργαστήριο 3,30,4 3,54,58,67,35 3 3,39,00 3,70 4,30 5,89 3,95 5,45 0, 9,4 6 4,95,44 4,39 7 8,5 8,67 5,3 8 8,5 7,69 4,97 9 5,66 4,93 6,87 0 4,9,05 5,59 Πίνακας Τυπική απόκλιση των µετρήσεων κάθε εργαστηρίου για τα τρία επίπεδα,, 3 4. Κριτήριο Mandel Οι τιµές h (πίνακας ) υπολογίζονται από την σχέση 3 και µε τα δεδοµένα των πινάκων 9 και 0. Οι τιµές k (πίνακας 3) υπολογίζονται από την σχέση 4 µε τα δεδοµένα των πινάκων και. Ειδικά για τις τιµές h σχεδιάζουµε το αντίστοιχο διάγραµµα (εικόνα ). Κριτήριο h Eπίπεδο Eργαστήριο 3-0,69-0,33-0,4-0,4 0,6-0,83 3-0,0 0,60-0,03 4 0,5 -,50,09 5 -,63-0,69-0,8 6 0,8-0,05-0,03 7 0,48,00-0,94 8 0,4 -,07 0,09 9 -,0,86 -,09 0,9-0,39,6 Πίνακας Πίνακας κριτηρίων h του Mandel 8

19 αναπαραγωγιµότητας των εργαστηριακών εξετάσεων, ελτ. Ελλην. Μικροβ. Εταιρ., Ιαν.-Φεβρ. 00, 46 (): Κριτήριο k Eπίπεδο Eργαστήριο 3 0,34 0,7,84 0,50 0,38 0,8 3,3 0,54,0 4,07 4,65 8,68 5, 3,69,57 6 4,93 7,5,84 7 3,38 0,07 3,87 8 4,59 7,93 3,64 9 6,44 3,6 6,95 0 4,87 6,37 4,60 Πίνακας 3 Πίνακας κριτηρίων h του Mandel Εικόνα Γραφική απεικόνιση των τιµών h των κριτηρίων Mandel. Ύποπτο εργαστήριο είναι το πρώτο () αφού οι τιµές h και των τριών επιπέδων είναι µικρότερες του µηδενός 9

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συχνοτήτων. Μέτρα κεντρικής τάσης. Μέτρα διασποράς. Σφάλματα μέτρησης. Εγκυρότητα. Ακρίβεια

Κατανομή συχνοτήτων. Μέτρα κεντρικής τάσης. Μέτρα διασποράς. Σφάλματα μέτρησης. Εγκυρότητα. Ακρίβεια Ενότητα 2α: Τρόποι παρουσίασης επιδημιολογικών δεδομένων Εγκυρότητα, ακρίβεια Ροβίθης Μιχαήλ 2006 Τρόποι παρουσίασης επιδημιολογικών δεδομένων Κατανομή συχνοτήτων Μέτρα κεντρικής τάσης Μέτρα διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

«Διεργαστηριακά σχήματα»

«Διεργαστηριακά σχήματα» Εργαστήριο Υγιεινής Τμήμα Ιατρικής Πανεπιστήμιο Πατρών «Διεργαστηριακά σχήματα» Κατερίνα Φράγκου, M.Sc Υποψήφια Διδάκτωρ Ιατρικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών Τηλ/fax 2610969876 email: fragou@med.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira

O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira O έλεγχος ποιότητας του αναλυτή Cobas Mira Επιμέλεια: Πέτρος Καρκαλούσος Εισαγωγή Ο αναλυτής Cobas Mira είναι βιοχημικός αναλυτής που εκτελεί φωτομετρικές αναλύσεις (σάκχαρο, ουρία κτλ), μετρήσεις φαρμάκων

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε πολλές από τις εργαστηριακές ασκήσεις θα ζητηθεί στην έκθεσή σας να περιλάβετε µια ή περισσότερες γραφικές παραστάσεις. Αυτές οι γραφικές παραστάσεις µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1

Εισαγωγή. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΠΟΛΙΤΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΞΑΜΗΝΟ: ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ Νο 1 ΘΕΜΑ : Γράψτε αναλυτικά τις διαδικασίες ελέγχου ποιότητας ενός αναλυτή. Μέσα στην εργασία εκτός από κείμενο να συμπεριλάβετε διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τυποποίηση και ποιότητα στη σύγχρονη κοινωνία ΜΕ-ΤΠ Π ΤΕΕ, 2008

Τυποποίηση και ποιότητα στη σύγχρονη κοινωνία ΜΕ-ΤΠ Π ΤΕΕ, 2008 8. ιακρίβωση 8.1 Εισαγωγή Η ανάγκη µιας διαδικασίας προκειµένου να ελέγχεται η µέτρηση για την αξιοπιστία της είναι, θα µπορούσαµε να πούµε προφανής. Και την απαντάµε ως πράξη και στις καθηµερινές µας

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINATION OF THERMAL PERFORMANCE OF GLAZED LIQUID HEATING SOLAR COLLECTORS

DETERMINATION OF THERMAL PERFORMANCE OF GLAZED LIQUID HEATING SOLAR COLLECTORS ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΑΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ / DEMOKRITOS NATIONAL CENTER FOR SCIENTIFIC RESEARCH ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΚΙΜΩΝ ΗΛΙΑΚΩΝ & ΑΛΛΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ LABORATORY OF TESTIN SOLAR & OTHER ENERY

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Νικ. Σ. Θωμαΐδης Eργ. Αναλυτικής Χημείας Τμ. Χημείας, Παν. Αθηνών Ορθότητα: Υλικά αναφοράς: Σύγκριση της πειραματικής τιμής με την «αληθή» τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

" ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα"

 ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ National Member of Eurolab " ιαπίστευση εξειδικευµένων διαδικασιών µη υπαγόµενων σε πρότυπα" Dr. Περικλής Αγάθωνος ΑΝΤΙΠΡΟΕ ΡΟΣ HELLASLAB Ποια είναι η HELLASLAB ; - Ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΤΩΝ ΗΜΟΓΡΑΦΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τα δηµογραφικά δεδοµένα τα οποία προέρχονται από τις απογραφές πληθυσµού, τις καταγραφές της φυσικής και µεταναστευτικής κίνησης του πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

T-tests One Way Anova

T-tests One Way Anova William S. Gosset Student s t Sir Ronald Fisher T-tests One Way Anova ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Ζουρμπάνος Ρούσσος, Π.Λ., & Τσαούσης, Γ. (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Ελληνικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ E. Λαμπή, Χ. Αλεξόπουλος, Η. Κακουλίδης ΓΕΝΙΚΟ ΧΗΜΕΊΟ ΤΟΥ ΚΡΆΤΟΥΣ Ε X.Y. ΑΘΗΝΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Χρήστος Κατσάνος και Νικόλαος Αβούρης Πανεπιστήµιο Πατρών Σκοπός Το παρόν κεφάλαιο, συµπληρωµατικό του κυρίως υλικού του βιβλίου, περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διακρίβωση εξοπλισμού μικροβιολογικού εργαστηρίου νερού-μέρος 2

Έλεγχος και Διακρίβωση εξοπλισμού μικροβιολογικού εργαστηρίου νερού-μέρος 2 Έλεγχος και Διακρίβωση εξοπλισμού μικροβιολογικού εργαστηρίου νερού-μέρος 2 Διήμερο Πρακτικό Σεμινάριο WATERMICRO WORKSHOP 5&6 Νοεμβρίου 2014 Εργαστήριο Μικροβιολογίας- Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Ν.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟΥ ΚΩ ΙΚΟΣ ΕAC-LAB-01

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟΥ ΚΩ ΙΚΟΣ ΕAC-LAB-01 Σελίδα 1 από 5 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟΥ ΚΩ ΙΚΟΣ ΕAC-LAB-01 Σχεδιασµός, Εφαρµογή & Επιθεώρηση Συστήµατος ISO 17025 Ηµέρα 1 η Ώρα 09:00 Ώρα 09:15 Εισαγωγή Παρουσίαση Εισηγητών & Συµµετεχόντων Εισαγωγή στη ιαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε. 761/2001 (EMAS)

Εθνικό Σύστηµα ιαπίστευσης Α.Ε. 761/2001 (EMAS) ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑ Ο ΗΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΠΙΣΤΕΥΣΗ 1. ΦΟΡΕΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΤΑ ISO/IEC GUIDE 66 2. ΦΟΡΕΩΝ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ΑΝΑΓΚΗ ΓΙΑ ΠΟΣΟΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Οι Ενόργανες Μέθοδοι Ανάλυσης είναι σχετικές μέθοδοι και σχεδόν στο σύνολο τους παρέχουν την αριθμητική τιμή μιας φυσικής ή φυσικοχημικής ιδιότητας, η

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα