"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής τάσης (Constnt tension springs). Τέτοια «αράξενα» ελατήρια μορούν να κατασκευαστούν ως εξής: α. Στο εξωτερικό μέρος ενός εμβόλου ου ολισαίνει χωρίς τριβές σε έναν κύλινδρο ου έχει κλειστό το ένα άκρο του και στο εσωτερικό του υάρχει κενό (Σχήμα ). ΚΕΝ (Σχήμα ) β. Με τη βοήεια ενός βάρους (B) ου έχει συνδεεί με μια τροχαλία (Σχήμα 2). (Σχήμα 2) =B Ως Δυναμική Ενέργεια (U) ενός ελατηρίου σταερής τάσης, ορίζεται το έργο ου ααιτείται για να ειμηκυνεί το ελατήριο αό το μήκος αναφοράς του, το οοίο εωρούμε ότι είναι μηδέν, στο δεδομένο μήκος. υτό το έργο είναι ίσο με το γινόμενο της δύναμης της τάσης εί την ειμήκυνση : U=W =. Μερικές εικόνες ελατηρίων σταερής τάσης. - -

2 ο Πρόβλημα (Η Δυναμική Ενέργεια είναι "ροίκα") Δίνονται τρία σημεία,, Γ στο ίδιο είεδο. Να βρεεί το σημείο του ειέδου για το οοίο το άροισμα των αοστάσεων των τριών σημείων αό αυτό, S=(O)+(OB)+(OΓ) είναι ελάχιστο. άντηση Θεωρούμε την ειφάνεια ενός τραεζιού στην οοία ανοίγουμε τρεις οές, στα σημεία, και Γ. Συνδέουμε τρία ελατήρια σταερής τάσης σε ένα σημείο το οοίο το ονομάζουμε. Περνάμε ένα ελατήριο αό κάε μία αό τις οές στα,, Γ και στα άκρα τους κάτω αό το τραέζι κρεμάμε ίσα βάρη. Υοέτουμε ότι τα βάρη αυτά είναι ίσα με τη μονάδα (=) (Σχήμα 3). Για να φέρουμε το ελατήριο ου διέρχεται αό την οή στη έση ρέει να ανυψώσουμε το αντίστοιχο βάρος κατά (). Δηλαδή να δαανήσουμε έργο όσο είναι η δυναμική του ενέργεια: U =(O). ντίστοιχα για τα άλλα δύο ελατήρια έχουμε: U =(O) και U Γ =(OΓ). Καταφέραμε έτσι να "ροικίσουμε" τις αοστάσεις (), () και (Γ) με την έννοια της Δυναμικής Ενέργειας. ν λοιόν το άροισμα των Δυναμικών Ενεργειών έλουμε να είναι ελάχιστο, το σύστημα ρέει να είναι σε ισορροία. Για να συμβεί αυτό ρέει οι τρεις δυνάμεις των τάσεων των ελατηρίων ροστιέμενες να δίνουν συνισταμένη μηδέν. Γ Γ B = = = (Σχήμα 3) Εειδή Γ το δυναμοολύγωνο των τάσεων είναι ένα ισόλευρο τρίγωνο (Σχήμα 4) και οι γωνίες ο = Γ=Γ =20. Άρα το άροισμα των αοστάσεων S=(O)+(OB)+(OΓ) γίνεται ελάχιστο, όταν τα τμήματα (), (), (Γ) ανά δύο σχηματίζουν γωνίες 20 ο. Γ 20 ο (Σχήμα 4) 2 ο Πρόβλημα (Η "άσκοη" ανύψωση ενός βάρους μορεί να είναι και χρήσιμη) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα: d

3 άντηση Θεωρούμε ένα σώμα με μοναδιαίο βάρος (=), το οοίο μορεί να κινείται χωρίς τριβές άνω σε κατακόρυφο οδηγό. Το σώμα έχει συνδεεί με αβαρές νήμα μήκους =, το οοίο αρχικά είναι κατακόρυφο. ρχίζουμε να κινούμε το άλλο άκρο του νήματος αό την αρχική του έση σε οριζόντια διεύυνση με σταερή ταχύτητα. Το σώμα ολισαίνει ρος τα άνω κατά μήκους του κατακόρυφου οδηγού (Σχήμα 5). ν είναι η οριζόντια μετατόιση του άνω άκρου του νήματος, καώς αυτή μεταβάλλεται αό την τιμή =0 μέχρι την τιμή =, το έργο της δύναμης ου ασκούμε στο άνω μέρος του νήματος είναι: W= ()d (). 0 2 Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε αό την αρχική του έση και μέχρι τη έση ου αυτό α έχει ανέλει κατά = =: () B B 0. 0 ΣW=ΔΚ W - W =0 W =W ()d ()d (2) ι κάετες στις διευύνσεις των δυνάμεων B και τέμνονται στο σημείο. Το σώμα κατά την κίνησή του δε στρέφεται, άρα B= 2 B Στ 0-0 (3). () 2 2 ό (2) και (3) ροκύτει ότι: d =. 0 2 =0 B= (Σχήμα 5) = Σημείωση: Η τιμή = δεν είναι εφικτή διότι τότε και το ολοκλήρωμα είναι ακατάλληλο για υολογισμό. 3 ο Πρόβλημα ( Νόμος του Snell, η ρχή του ermt και ο... ναυαγοσώστης) Ένας ναυαγοσώστης ου βρίσκεται στη έση στην αραλία σεύδει να σώσει έναν κολυμβητή ου κινδυνεύει και βρίσκεται στη άλασσα στη έση. ναυαγοσώστης τρέχει στην αραλία με ταχύτητα μέτρου και κολυμάει με ταχύτητα μέτρου. ν εωρήσουμε τον κολυμβητή ακίνητο στη έση, οια η διαδρομή ου ααιτεί τον ελάχιστο χρόνο για να φτάσει ο ναυαγοσώστης στον κολυμβητή; Ιστορική ναδρομή Ήρων ο λεξανδρινός (0μ.Χ-70μ.Χ) μηχανικός και γεωμέτρης διατυώνει τη έση ότι το φως στον αέρα διαδίδεται μεταξύ δύο σημείων μετά αό ανακλάσεις σε είεδους καρέτες ακολουώντας τη διαδρομή με το μικρότερο μήκος. Το 62 ο λλανδός αστρονόμος και μαηματικός Willerord Snell αοδεικνύει τον ομώνυμο νόμο για τη διάλαση του φωτός, τον οοίο δε δημοσίευσε όσο ήταν εν ζωή αραλία ( ) άλασσα ( )

4 ργότερα (637) ο Rene Desrtes εργαζόμενος ανεξάρτητα αράγει το νόμο: ημ = ημ. Το 662 ο Γάλλος μαηματικός Pierre de ermt αοδεικνύει την ομώνυμη αρχή: το φως όταν ταξιδεύει μεταξύ δύο σημείων ειλέγει τη διαδρομή ου ααιτεί τον ελάχιστο χρόνο. άντηση Θεωρούμε έναν δακτύλιο ου μορεί να ολισαίνει χωρίς τριβές κατά μήκος της ακτογραμμής και είναι συνδεδεμένος στο με ένα ελατήριο σταερής τάσης του οοίου η τάση ειλέγουμε να είναι, όσο και το βάρος του σώματος. ντίστοιχα ο δακτύλιος είναι συνδεδεμένος και με το σημείο με ελατήριο σταερής τάσης ου η τάση του ειλέγουμε να είναι, όσο και το βάρος του σώματος (Σχήμα 6). Η Δυναμική Ενέργεια των ελατηρίων σταερής τάσης όως έχουμε δει ισούται με το μήκος τους εί την τάση ου τους ασκείται. Άρα () (B) U= +. H αράσταση αυτή είναι ίση με το χρόνο ου χρειάζεται ο ναυαγοσώστης για να διανύσει τη διαδρομή (OB). Καταφέραμε να "ροικίσουμε" το χρόνο με την έννοια της Δυναμικής Ενέργειας!!! Για να είναι ελάχιστος ο χρόνος ου α κάνει ο ναυαγοσώστης για να διανύσει τη διαδρομή (), ρέει να είναι ελάχιστη και η Δυναμική Ενέργεια. Εφόσον το σύστημα δακτύλιος, ελατήρια σταερής τάσης, σώματα ισορροεί, κατά τη διεύυνση της ακτογραμμής ρέει να ισχύει: ημ = ημ ημ ημ. B αραλία ( ) άλασσα ( ) Η τελευταία σχέση αοτελεί το Νόμο του Snell και οδηγηήκαμε σε αυτήν "μεταφράζοντας" το Νόμο του Snell ως: ι δυνάμεις στον δακτύλιο στη διεύυνση της ακτογραμμής είναι σε ισορροία. Άρα ο ναυαγοσώστης για να φτάσει στον κολυμβητή στον ελάχιστο χρόνο ρέει να τρέξει και να κολυμήσει με τέτοιο τρόο, ώστε οι γωνίες και ου σχηματίζει η τροχιά του με την κάετη στην ακτογραμμή, να ικανοοιούν το Νόμο του Snell. Bημ ημ (Σχήμα 6) - 4 -

5 Σχόλια Είναι αλιά η συζήτηση για το εάν τα μαηματικά υηρετούν τις ανάγκες της Φυσικής ή οι δύο αυτές ειστήμες είναι συνυφασμένες τόσο στενά μεταξύ τους, ου υοφέρουν εάν τις διαχωρίσουμε. V. rnold είε: «Τα Μαηματικά είναι ένας κλάδος της Θεωρητικής Φυσικής όου τα ειράματα είναι φηνά». ι ιδέες για την αρούσα ανάρτηση ροέρχονται αό το βιβλίο The Mthemtil Mehni,του Mrk Levi, εκδόσεις Prineton. ι ααραίτητες ροσαρμογές, η εεξεργασία και η μετάφραση έγιναν αό τον γράφοντα. Μένει να αοδειχτεί αν οι φίλοι και συνάδελφοι α συμμεριστούν τον ενουσιασμό ου με οδήγησε σε αυτήν την ανάρτηση. Ξ. Στεργιάδης - 5 -