Απλη αρμονική ταλάντωση - δύναμη μεταβλητού μέτρου - πλαστική κρούση - αλλαγή της σταθεράς επαναφοράς.

Transcript

1 Αλη αρμονική ταλάντωση - δύναμη μεταβλητού μέτρο - λαστική κρούση - αλλαγή της σταθεράς εαναφοράς. Σώμα Σ μάζας = g είναι δεμένο στο δεξιό άκρο οριζόντιο ιδανικού ελατηρίο σταθεράς = 5N / το οοίο το άλλο άκρο είναι δεμένο σε κατακόρφο ακλόνητο τοίχο. Το σώμα ισορροεί άνω σε λείο Σ οριζόντιο δάεδο με το ελατήριο να έχει το φσικό το μήκος. Τη χρονική στιγμή t = ασκείται στο σώμα οριζόντια δύναμη με φορά ρος τα δεξιά μεταβλητού μέτρο ο δίνεται αό τη σχέση = 8,8 +8Δ ( όο Δ η ειμήκνση το ελατηρίο αό το φσικό το μήκος ). Τη χρονική στιγμή t = s η εξωτερική δύναμη καταργείται και την ίδια χρονική 8 στιγμή σφηνώνεται στο σώμα Σ βλήμα μάζας =,5g το οοίο κινείται οριζόντια και με ταχύτητα = 4,44 3 / s της ίδιας φοράς με το Σ. Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και ο άξονας θετικός ρος τα δεξιά τότε: Να αοδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση ό την είδραση της εξωτερικής δύναμης και να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της αομάκρνσης f () t και της ταχύτητας f() t για t [, s] 8 Να ολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης το σσσωματώματος μετά την λαστική κρούση και να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της αομάκρνσης f () t και της ταχύτητας f() t για t > s θεωρώντας την ίδια αρχή μέτρησης χρόνο με το ροηγούμενο ερώτημα. 8 Να βρείτε οια χρονική στιγμή (μετά την λαστική κρούση): η κινητική ενέργεια το ταλαντωτή γίνεται μέγιστη για ρώτη φορά, το μέτρο το ρθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας το σσσωματώματος μεγιστοοιείται για ρώτη φορά. Αν το φσικό μήκος το ελατηρίο είναι = c να βρείτε για όσο χρονικό διάστημα μετά την κρούση (στην ρώτη ερίοδο της ταλάντωσης ατής ) το μήκος το ελατηρίο είναι μεγαλύτερο αό 3c.

2 Αάντηση α) Η θέση ισορροίας το ταλαντωτή με την δράση και της - ροσδιορίζεται αό την σχέση Σ= - ελ = 8,8 +8Δ - 5Δ = Δ =,. Ειλέγομε άξονα ταλάντωσης - όως στο σχήμα- και θεωρούμε τον ταλαντωτή σε μια τχαία αομάκρνση. Για τη σνισταμένη των ασκούμενων δνάμεων στον ταλαντωτή στη θέση ατή ισχύει, Σ = + ελ Σ = - ελ Σ = 8,8+8(Δl + )- 5(Δl + ) Σ = -44 άρα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά εαναφοράς N D = 44 ( ροσοχή είναι D ) και κκλική σχνότητα ταλάντωσης 44 rad. s D= ω ω= Φ.Μ -, Δ Θ.I N = g +, Η τχαία θέση Η θέση ισορροίας Μόλις αρχίζει να δρα η και αρχίζει η ταλάντωση (t = )ο ταλαντωτής ήταν ακίνητος στη θέση ο το ελατήριο είχε το φσικό το μήκος και αείχε αό το κέντρο της ταλάντωσης ο ακολοθεί αόσταση,. Εειδή στη θέση ατή η ταχύτητα είναι μηδέν ατή είναι η ακραία θέση της ταλάντωσης, άρα το λάτος είναι A=,. Οι χρονικές εξισώσεις της αομάκρνσης f () t και της ταχύτητας f() t για την ταλάντωση ατή εύκολα αοδεικνύεται ότι είναι: =,ημ t + 3 και 3 =,4σνt + (S.I). β) Τη χρονική στιγμή t = s αό τις ροηγούμενε εξισώσεις βρίσκομε =+, 8 =+, 3. Τώρα όμως καταργείται η δύναμη και η όοια ταλάντωση θα έχει κέντρο τη s θέση ο το ελατήριο έχει το φσικό το μήκος.

3 Μετά την κρούση ταλαντωτής είναι το σσσωμάτωμα με μάζα ολ =,5g, σταθερά εαναφοράς D 5 N και κκλική σχνότητα D = ολω ω= rad. s Η ταλάντωση αρχίζει την t = s και εκείνη τη στιγμή ο νέος ταλαντωτής για τον νέο άξονα 8 ταλάντωσης έχει αομάκρνση =+,3 (!!) και ταχύτητα ο ροκύτει αό τη διατήρηση της ορμής ολ= +,5=., 3 +,5.4,4 3 = 3 3 / s -, Φ.Μ Το νέο λάτος της ταλάντωσης A ολογίζεται ενεργειακά. =, =,3 ολ + = A A =, Οι χρονικές εξισώσεις της αομάκρνσης f () t και της ταχύτητας f() t για την ταλάντωση ατή θα είναι: =,ημ (t - t )+φ με t = s 8 και για t = t = s θα έχομε =+,3 και > 8 5 +,3=,ημφ ημφ = φ = rad ή φ = rad. Δεκτή είναι ατή ο την t = t = s δίνει θετική ταχύτητα και ατή είναι η φ = rad. 8 =,ημ (t - )+ 8 και =σν(t - )+ ( SI. ) και για t s. Οι 8 8 εξισώσεις ατές μορούν να αλοοιηθούν στη μορφή 7 =,ημt - 8 και 7 =σνt - 8 ( SI. ) και για t s. 8 ολ, Η ταλάντωση ριν την κρούση και την δράση της Η ταλάντωση μετά την κρούση και την αύση της

4 γ) Αν θεωρούσαμε τη στιγμή της κρούσης ως μηδέν οι ανωτέρω εξισώσεις θα έχον την μορφή =,ημ t + και =σν t + ( SI. ) Μέγιστη κινητική ενέργεια έχομε όταν έχομε την μέγιστη ταχύτητα οότε =σν t + σν t + t + k και για ρώτη φορά 5 5 t = s και θέλομε αό την αρχική αρχή των χρόνων t = + s t = 5 s 8 8 Ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι. d d 5.,ημ t +. σν t + d 8 ημ t +. ν t + d 45. ημ t +. ν t + d J = 45 s όταν ημ t + 3 a ελάχιστη τιμή είναι για t = s t = + s t = 3 s 8 3 d 45. ημt + 3 t + k t k και η 3 3 και θέλομε αό την αρχική αρχή των χρόνων δ) Με αλή αρατήρηση το σχήματος φαίνεται ότι για να έχει το ελατήριο μήκος μεγαλύτερο αό 3c ρέει ο ταλαντωτής να έχει αομάκρνση >+,3. Ξεκινώντας αό την εξίσωση αομάκρνσης =,ημ t + βρίσκομε ότε ο ταλαντωτής είναι στην =,3 =,ημ t + =+,3 ημt + = και οι ρώτες χρονικές στιγμές είναι t + t = ( αναμενόμενο αφού τότε 5 4 μηδενίσαμε τον χρόνο) και t + t t = s 3 άρα Δt = s 3. Στο ίδιο ροφανώς αοτέλεσμα καταλήγομε αν μελετήσομε την ταλάντωση με στρεφόμενο διάνσμα. Όσο ο ταλαντωτής να έχει αομάκρνση >+,3 το

5 στρεφόμενο διάνσμα διαγράφει με ομαλή στροφική κίνηση και ω=rad / s την γωνία Δθ ο αό την γεωμετρία το σχήματος εύκολα φαίνεται ότι είναι Δθ = rad άρα Δθ = t = Δt 3 3 Δt =. 3 +, +,3 Δθ άξονας φάσεων -, Την άσκηση ατή την έδωσε ο φσικός το ο ΓΕΛ Αγρινίο Άρης Μαρκαντωνάτος.