Φσζική Γ Λσκείοσ. Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης. Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι απαμηήζεις. Καλοκαίρι Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης

Transcript

1 Φσζική Γ Λσκείοσ Θεηικής & Τετμολογικής Καηεύθσμζης Μηταμικές Ταλαμηώζεις Οι ααμηήζεις Καλοκαίρι - Διδάζκωμ: Καραδημηηρίοσ Μιτάλης Πηγή: Study4exams.gr

2 Οι Ααμτήσεις στις ερωτήσεις ολλαλής ειλογής 7 -> β -> α 3 -> β 4 -> α 5 -> δ 6 -> δ 7 -> γ 8 -> α 9 -> δ -> β -> Λ/Λ/Σ/Λ -> τ(i)\u(iv)\a(ii) 3 -> β 5 -> δ 6 -> α 7 -> β 8 -> α 9 -> δ -> β -> δ -> Λ/Λ/Λ/Λ 3 -> δ 4 -> γ 5 -> γ 6 -> β 7 -> Σ/Σ/Σ/Σ 4 -> δ

3 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 4 Λύση άσκησης 6. Σωστή αάντηση είναι η (β). Η ενέργεια του ταλαντωτή είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης: E= K = mυ. Η νέα ενέργεια του ταλαντωτή θα είναι: E = E + 3E = 4E, ενώ δεν αλλάζει τη μάζα του. Αντικαθιστώντας τώρα έχουμε: K = 4K mυ = 4 mυ υ = 4υ υ = υ. Λύση άσκησης 7. Σωστή αάντηση είναι η (γ). Παρατηρούμε αό το διάγραμμα Κ t, ότι τη χρονική στιγμή t=, η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή είναι μηδέν. Αυτό συμβαίνει στα ακρότατα της τροχιάς του. Είσης τη χρονική στιγμή t η κινητική του ενέργεια είναι μέγιστη. Αυτό συμβαίνει όταν ερνά αό τη Θέση Ισορροίας του. Αν αρχικά (t=) ήταν στο θετικό ακρότατο, σε χρόνο t, θα ερνούσε α τη Θ.Ι. του έχοντας αρνητική ταχύτητα. Όμως με βάση την εκφώνηση, τη χρονική στιγμή t, έχει θετική ταχύτητα. Άρα τη στιγμή της εκκίνησης ήταν στο αρνητικό ακρότατο, συνεώς το σωστό διάγραμμα χ-t είναι το (γ). Λύση άσκησης 8. Σωστή αάντηση είναι το (α). Εφόσον έχουν ίδια ερίοδο: m m m m m 4m T = T = = k = k = k k = 4k. k k k k m m Εφόσον έχουν ίδια ενέργεια: A A E = E ka = ka ka = ka 4kA = ka A = A 4 A Η μέγιστη δύναμη εαναφοράς του ταλαντωτή () είναι: F, = ka = 4k = ka = F,.

4 Συνεώς ο ταλαντωτής () έχει το μισό λάτος και τη διλάσια μέγιστη δύναμη εαναφοράς αό τον ταλαντωτή (). Λύση άσκησης 9. Σωστή αάντηση είναι η (α). Όταν εκτρέψουμε το σώμα αό τη Θ.Ι. του και το αφήσουμε ελεύθερο, στο σημείο αυτό έχει μηδενική ταχύτητα, άρα αοτελεί ακρότατο της ταλάντωσης και το μέτρο της αομάκρυνσής του είναι τότε ίσο με το λάτος ταλάντωσης: d = A. Όταν ένα σώμα είναι δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο και εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, η σταθερά της ταλάντωσης είναι ίση με τη σταθερά του ελατηρίου: D= k. (Σχολικό βιβλίο σελ., αράδειγμα.) Με βάση τη Διατήρηση της ενέργειας, η ενέργεια, ου ροσφέρουμε στο σώμα για να το θέσουμε σε ταλάντωση είναι ίση με την ολική ενέργεια της ταλάντωσης: E =Ε= ροσ DA ka Οι ταλαντώσεις των σωμάτων Α και Β έχουν το ίδιο λάτος, την ίδια σταθερά ταλάντωσης, ενώ η ενέργεια ταλάντωσης Ε είναι ανεξάρτητη της μάζας του ταλαντούμενου σώματος. Συνεώς E = E. Λύση άσκησης. Α) Σωστή αάντηση είναι η (β). Β) Σωστή αάντηση είναι η (α). Α) Η μέγιστη δύναμη εαναφοράς της ταλάντωσης ενός σώματος δεμένου σε ελατήριο, με βάση τη Συνθήκη της αρμονικής ταλάντωσης, θα είναι: F = k A. Η σταθερά k του ελατηρίου δεν αλλάζει με την αλλαγή της μάζας, ενώ και το λάτος ταλάντωσης, σύμφωνα με την εκφώνηση, είναι σταθερό. Συνεώς η μέγιστη δύναμη εαναφοράς είναι η ίδια. F Β) Η μέγιστη ειτάχυνση, σύμφωνα με το Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής, θα είναι: a = m. Α τη σχέση αυτή ροκύτει ότι, αφού η μέγιστη δύναμη εαναφοράς είναι σταθερή, η μέγιστη ειτάχυνση είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του ταλαντωτή. Σύμφωνα με την εκφώνηση, το σώμα Σ έχει μεγαλύτερη μάζα α το Σ, συνεώς η μέγιστη ειτάχυνσή του θα είναι μικρότερη α του Σ.

5 Λύση άσκησης. α) Η ερίοδος T της αρμονικής ταλάντωσης, υολογίζεται α τη γωνιακή συχνότητα: ω= Τ= =, s. Τ ω Γνωρίζουμε ότι η σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση: = ω = = Ν. m D m N / m Αό τη συνθήκη της αλής αρμονικής ταλάντωσης (ΑΑΤ) F = D x, καταλαβαίνουμε ότι τη χρονική στιγμή t=, η σφαίρα δέχεται τη μέγιστη δύναμη εαναφοράς όταν βρίσκεται στο F N αρνητικό ακρότατο. Έτσι: F = D ( A) A =, m D = N / m β) Για να βρω την αρχική φάση φ, θέτω στη χρονική εξίσωση αομάκρυνσης χρόνου, t= Α 3 και χ αρχ =-Α, οότε: A = Aηµϕ ηµϕ = = ϕ = k +. Εειδή όμως η αρχική Α φάση βρίσκεται μεταξύ και, θέτουμε k=, οότε: 3 Συνεώς η χρονική εξίσωση x t είναι η: x =, ηµ ( t + ) (S.I.). Η γραφική αράσταση φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. γ) Η χρονική εξίσωση ταχύτητας χρόνου t είναι η: υ = υσυν( ω t + ϕ ), με υ m = ωα = rad / s,m =. s Έτσι την t 3 = s, η ταχύτητα είναι: υ = συν ( + ) = συν(4 ) υ = m. 4 4 s δ) Η κινητική ενέργεια τη χρονική στιγμή t είναι: K = mυ = kg m / s Κ = J. Η δυναμική ενέργεια θα υολογιστεί αό τη Διατήρηση της Ενέργειας: K+ U = E U = E K = mυm αχ K = U = J.

6 Λύση άσκησης. α) Γνωρίζομε ότι η αόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης είναι Α, άρα: d d = A A = A =, m. Με βάση τη Διατήρηση της Ενέργειας, εξισώνουμε την ενέργεια ταλάντωσης στην αρχική θέση χ και στη θέση μέγιστη αομάκρυνσης, έχουμε: mυ kg (4 3)m / s K + U = E mυ + Dx = DA mυ = D(A x ) D = D = A x (, 4, )m D = 8 N. m β) Βρίσκουμε ρώτα τη συνάρτηση Κινητικής ενέργειας Κ αομάκρυνσης χ, σε μια τυχαία θέση της αλής αρμονικής ταλάντωσης, εφαρμόζοντας τη Διατήρηση της Ενέργειας: K U E K Dx DA K DA Dx K 4, 4 4x + = + = = = K = 6 4x (S.I.). Αυτή είναι μια εξίσωση αραβολής με «τα κοίλα» ρος τα κάτω, ου φαίνεται στο διλανό σχήμα. γ) Γνωρίζουμε ότι χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης είναι της μορφής: x = A ηµ ( ω t + ϕ ), οότε χρειαζόμαστε ακόμη την γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση φ. Αό τη σχέση ορισμού της σταθεράς εαναφοράς, έχουμε: D 8 D = m ω ω= rad rad m = s = s. Αό την εκφώνηση ροκύτει ότι τη χρονική στιγμή t=, το υλικό σημείο έχει αομάκρυνση χ =, m και εφόσον έχει φορά ρος τη θέση ισορροίας του, θα έχει αρνητική φορά κίνησης, άρα αρνητική ταχύτητα. Έτσι: 5,=, ημ( +ϕ) ημϕ = = ημ ϕ = k+ ή ϕ = k+ ϕ = k+ και για k=, ϕ = ή ϕ 6 6

7 5 Η η λύση δίνει υ = υσυν > ενώ η η υ = υσυν <, οότε δεχόμαστε τη η λύση, δηλαδή ϕ 6 δ) Η εξίσωση της αομάκρυνσης αό τη θέση ισορροίας σε συνάρτηση με το χρόνο t είναι της μορφής: x = A ηµ ( ω t + ϕ ). Αντικαθιστώντας τις τιμές των Α, ω και φ, ου υολογίσαμε 5 ροηγουμένως, έχουμε x =, ηµ (t + ) (S.I.). 6 Όταν ερνά αό το θετικό ακρότατο, θα έχει x = +, m. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση χ- t και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση ως ρος το χρόνο t: 5 5, =, ηµ (t + ) ηµ (t + ) = = ηµ t + = k+ t = k+ = k, με k =,,... (το k = δεν είναι δεκτό διότι «δίνει» αρνητικό χρόνο). Η η φορά ου ερνά αό το +, m αντιστοιχεί στην η δεκτή τιμή του k, ου είναι η k =, 5 άρα: t = = t = s. 3 3 Λύση άσκησης 3. α) Αό το διάγραμμα ταχύτητας υ χρόνου t, ου δίνεται, αρατηρούμε (α τον οριζόντιο άξονα των t), ότι T,5 s T= s 4 =. rad Η γωνιακή συχνότητα υολογίζεται α τη σχέση: ω= = ω Τ s Γνωρίζουμε ότι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: υ = ω Α. Αό το διάγραμμα ταχύτητας υ χρόνου t, ου δίνεται, αρατηρούμε (α τον κατακόρυφο άξονα των υ), ότι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι: υ = cm m 4, 4 s = s. υ, 4m / s Άρα: A = = Α=, 4 m. ω rad / s

8 β) Γνωρίζουμε αό τη θεωρία, ότι όταν ο αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται στα δύο ακραία σημεία της ταλάντωσης, έχει μηδενική ταχύτητα. Πιο συγκεκριμένα αν βρίσκεται στο θετικό ακρότατο, αμέσως μετά κινείται ρος τη Θ.Ι. κινούμενος στην αρνητική φορά (άρα έχει αρνητική ταχύτητα), ενώ αν βρίσκεται στο αρνητικό ακρότατο, κινείται ρος τη Θ.Ι. έχοντας θετική φορά κίνησης, δηλαδή θετική ταχύτητα. Αό το διάγραμμα αρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=, το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα και αμέσως μετά το σώμα έχει αρνητική τιμή ταχύτητας. Συνεώς με βάση τα αραάνω το σώμα θα βρίσκεται στο θετικό ακρότατο, δηλαδή x = +Α. Αντικαθιστώντας τώρα στη χρονική εξίσωση αομάκρυνσης, βρίσκουμε την αρχική φάση ως εξής: A = A ηµ ( ω + ϕ) ηµϕ = = ηµ ϕ = k + και για k=, ροκύτει: ϕ γ) Γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη δύναμη εαναφοράς βρίσκεται αό τη Συνθήκη της αλής αρμονικής ταλάντωσης: F= D x = m ω Αηµ ( ω t + ϕ ). Αντικαθιστώντας στο S.I. έχουμε: F =,5, 4 ηµ ( t + ) =,5, 4 ηµ ( t + ) F= ηµ ( t + )(S.I.). δ) Γνωρίζουμε ότι, σε μια αλή αρμονική ταλάντωση, η ειτάχυνση υολογίζεται αό τη σχέση: a = ω x και το μέτρο της: a =ω x. Με βάση το γεγονός ότι σε μια αμείωτη αλή αρμονική ταλάντωση, η ολική ενέργεια διατηρείται: K+ U= E, αφού η κινητική ενέργεια είναι το 75% της ολικής ενέργειας Ε, συμεραίνουμε ότι η δυναμική ενέργεια θα είναι το 5% της Ε. Άρα: 5 A A U= E= E D x = D A x = A x =± ή το μέτρο της x Α, 4 m Έτσι: α=ω = rad / s m α=. s Λύση άσκησης 4. α) Γνωρίζουμε ότι η αόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων μιας αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι Α, οότε: d = A =, 4m A =, m. Είσης γνωρίζουμε ότι ο ελάχιστος χρόνος μετάβασης αό τη μια ακραία θέση στην άλλη είναι T. Άρα T t = =, s T =, s.

9 rad rad Η σχέση γωνιακής συχνότητας εριόδου είναι: T = ω= = =. ω Τ, s s β) Γνωρίζουμε ότι η ενέργεια ου ροσφέρουμε για να το θέσουμε σε ταλάντωση είναι ίση με την ολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης, η οοία θα υολογιστεί αό τη σχέση: E DA m,kg rad / s, m = = ω Α Ε= Ε=, J. γ) Η δυναμική ενέργεια του σώματος σε συνάρτηση της ταχύτητας θα ροκύψει αό τη Διατήρηση της Ενέργειας: K+ U= E U= E K = E mυ. Αντικαθιστώντας στο S.I. έχουμε: U =, J,kg ( 3) m / s = (,,5)J U =,5 J. δ) Στη χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης, εειδή για t= s έχω x και βρίσκω την αρχική φάση: =, m, αντικαθιστώ, =, ηµ ( + ϕο ) ηµϕ = = ηµ φ = k+ ή φ = k+ φ = k+ και για k=, ϕ = ή ϕ Η η λύση δίνει υ = υσυν >, ενώ η η υ = υσυν <. Εειδή το μέτρο της 4 4 ταχύτητάς του μειώνεται, το σώμα κινείται ρος το ακραίο σημείο, δηλαδή έχει φορά (και συνεώς ταχύτητα) θετική. Έτσι δεχόμαστε την η λύση, δηλαδή ϕ 4 ε) Η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης είναι της μορφής: x = A ηµ ( ω t + ϕ) και αντικαθιστώντας τις τιμές των Α, ω, φ, ου ήδη έχουμε βρει: x =, ηµ ( t + ) (S.Ι). 4 3T 3,,3 Τη χρονική στιγμή t = = = s η αομάκρυνση είναι: 4 4,3 5 x =, ηµ ( + ) =, ηµ =, m. 4 4

10 Γνωρίζουμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι ίση με: U = Dx και αντικαθιστώντας βρίσκουμε: U = Dx =, (, ) J U =, J. Λύση άσκησης 5. d α) Εειδή σε κάθε λήρη ταλάντωση το σώμα διανύει διάστημα d = 4A A = A =,5 m. 4 5 rad rad Η γωνιακή συχνότητα ω ισούται με: ω= f = =. Γνωρίζουμε ότι η σταθερά s s εαναφοράς της ταλάντωσης, δίνεται αό τη σχέση: N D = 5. m S.I. D = m ω D =,5 N / m β) Στην αλή αρμονική ταλάντωση, η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης έχει τη μορφή: x = A ηµ ( ω t + ϕ ). Εειδή για t= s έχω x 3 = m, αντικαθιστώ τα δεδομένα αυτά και: =,5ηµ ( + ϕο ) ηµϕ = = ηµ ( ) φ = k ή φ = k++ φ = k+. Για k=, η η δίνει ϕ = και για k= η η δίνει ϕ Η η λύση δίνει υ = υσυν > ενώ η η υ = υσυν <. 3 3 Εειδή το σώμα βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα (αομάκρυνση αρνητική) και ειταχύνεται, άρα κινείται ρος τη θέση ισορροίας του, οότε α το σχήμα φαίνεται ότι έχει φορά κίνησης 5 (και συνεώς ταχύτητα) θετική. Έτσι δεχόμαστε την η λύση, δηλαδή ϕ 3

11 K γ) Το ζητούμενο οσοστό είναι: %. E Η κινητική ενέργεια θα υολογιστεί αό τη Διατήρηση της Ενέργειας: K = E U = DA Dx = D(A x ), οότε: 3 D(A x ),5 m ( ) m K A x 4 % = % = % = % = % E DA A,5 m 4 K % = 5%. E δ) Γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη των δυνάμεων Σ F= F+ F (όου F, F είναι οι αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων) είναι η δύναμη εαναφοράς της ταλάντωσης. Άρα: Σ F= F+ F = D x F+ F = D A ηµ ( ω t +ϕ ) και αντικαθιστώντας στο S.I. έχουμε: 5 5 F + ( ) = 5,5 ηµ (t + ) F = 5 ηµ (t + ) (S.I.). 3 3 Λύση άσκησης 6. α) Εειδή το διάστημα, ου διανύει το σώμα, μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων α τη Θ.Ι. s του είναι: s = A A = A =, m. Η χρονική διάρκεια μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων α τη Θ.Ι. του σώματος είναι: T rad rad t = T= t T= s και η γωνιακή συχνότητα ω ισούται με: ω= = =. 5 T s s 5 Γνωρίζουμε ότι όταν ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση δεμένο στο άκρο ελατηρίου, η σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης ισούται με τη σταθερά του ελατηρίου: k = D= mω. (Σχολικό βιβλίο, αράδειγμα., σελ. ).

12 Υολογίζουμε τη μάζα του σώματος αό τη Συνθήκη Ισορροίας: Σ F= Fελ mg= m= =, k g Άρα: F k = D = m ω = (, ) N / m N k =. m β) Γνωρίζουμε ότι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου υολογίζεται αό τη σχέση: U ελ = k, όου είναι η αόσταση αό τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου. Η θέση, ου η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν, είναι η θέση ισορροίας της ταλάντωσης. Άρα ζητείται η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη ΘΙ, ου φαίνεται α το σχήμα, αέχει d αό τη Θέση Φυσικού Μήκους, οότε αρκεί να υολογίσουμε την d, α το F N Νόμο του Hooke στη Θ.Ι. της ταλάντωσης: F = kd d = = =, m. k N / m Συνεώς η ζητούμενη δυναμική ενέργεια ελατηρίου θα είναι: U kd N / m, m = = U,5 J ελ ελ γ) Για να υολογίσουμε την αρχική ταχύτητα, θα εφαρμόσουμε τη Διατήρηση της Ενέργειας στην αρχική θέση και στη θέση μέγιστης αομάκρυνσης: k(a d ) k(a d ) K + U = E mυ + kd = ka υ = υ = m m (,4,) υ = m/s υ m = 3., s δ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος υολογίζεται ως εξής: WΣ F dk ΣF dx dx = = =ΣF =ΣF υ= D x υ. dt dt dt dt Τη χρονική στιγμή t=, το σώμα βρίσκεται σε αομάκρυνση x = d =, m και έχει ταχύτητα μέτρου 3 m s με φορά αρνητική, άρα: υ= 3 m. s Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε: dk N / m,m ( 3)m / s dt = dk = 3 J. dt s

13 Λύση άσκησης 7. α) Σημειώνουμε τις δυνάμεις στη θέση ισορροίας (ΘΙ), αναλύουμε το βάρος w σε συνιστώσες w x και w y και εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροίας στον χ-άξονα: Σ F = w = F w = k d. x x ελ x Θεωρούμε θετική φορά την ρος τα κάτω και τοοθετούμε το σώμα σε μια τυχαία θέση (ΤΘ) θετικής αομάκρυνσης χ α τη ΘΙ του. Υολογίζομε τώρα τη συνισταμένη δύναμη: Σ F = w -F =k d k(x+d) = k d k x-k d = k x. x x ελ Συγκρίνοντάς την με τη Συνθήκη της αλής αρμονικής ταλάντωσης: Σ F= D x, ροκύτει ότι το σώμα θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση με D= k, και συχνότητα: f = k N / m f m = kg f 5 = Hz. β) Το λάτος ταλάντωσης θα υολογιστεί με εφαρμογή της Διατήρησης της ενέργειας αρχική θέση και στη θέση μέγιστης αομάκρυνσης: στην mυ + kx mυ + kx K + U = E mυ + kx = ka A = A = k k. kg 3m / s + N / m m A = A =, m N / m γ) Η εξίσωση αομάκρυνσης είναι της μορφής: x = A ηµ ( ω t + ϕ ), οότε ρέει να βρούμε ειλέον τη γωνιακή συχνότητα και την αρχική φάση. 5 rad rad Η γωνιακή συχνότητα είναι: ω= f = ω=. s s

14 Εειδή για t= s έχω χ =, m, αντικαθιστώ και βρίσκω την αρχική φάση: 5, =, ηµ ( + ϕ) ηµϕ = = ηµ φ = k+ ή φ = k+- φ = k+ και για να είναι ϕ < θέτω k=, δηλαδή: ϕ = ή ϕ Η η λύση δίνει υ = υσυν > ενώ η η υ = υσυν <. Εειδή η αρχική ταχύτητα 6 6 έχει θετική φορά, δεχόμαστε την η λύση, δηλαδή ϕ 6 Άρα η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης είναι: x =, ηµ ( t + ) (S.I.). 6 δ) Οι θέσεις όου μηδενίζεται η κινητική ενέργεια του σώματος είναι τα δύο ακρότατα της ταλάντωσης. Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου, σύμφωνα με το Νόμο του Hooke, υολογίζεται αό τη σχέση: F = ελ k, όου είναι η αόσταση αό τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου. Η Θέση Ισορροίας (Θ.Ι.) αέχει d αό τη ΘΦΜ, ου μορεί να υολογιστεί αό τη Συνθήκη kg m / s mg ηµθ Ισορροίας: w x = k d d = d = d =, 5 m. k N / m Α το σχήμα φαίνεται ότι: το άνω (αρνητικό) ακρότατο αέχει A d =,,5 =,5 m αό τη Θ.Φ.Μ., και η δύναμη ελατηρίου έχει φορά ρος τα κάτω (θετική), άρα: ( Α) ( Α) Fελ k(a d) Fελ N / m,5m = = ( Α) Fελ = 5 N. το κάτω (θετικό) ακρότατο αέχει A + d =, +,5 =, 5 m αό τη Θ.Φ.Μ., και η δύναμη ελατηρίου έχει φορά ρος τα άνω (αρνητική), άρα: ( +Α ) ( +Α) ( +Α) Fελ = k(a + d) Fελ = N / m,5m Fελ = 5 N.

15 Λύση άσκησης 8. α) Η σφαίρα θα ισορροήσει σε αόσταση χ αριστερά της Θέσης φυσικού μήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου, δεχόμενη τη σταθερή δύναμη F και την δύναμη ελατηρίου, ου έχει φορά ρος τη ΘΦΜ, δηλαδή ρος τα δεξιά. F Στη Θέση Ισορροίας: Σ Fx = Fελ F= F= k x(), οότε: x k Μετατρέουμε τη σταθερά ελατηρίου στο S.I.: x = m x =, m. N N N k cm m m 3 = = =, οότε στο S.I.: β) Τοοθετούμε τη σφαίρα σε μια τυχαία θέση (ΤΘ) θετικής αομάκρυνσης χ α τη θέση ισορροίας της (ΘΙ) και υολογίζομε τη συνισταμένη δύναμη στον χ-άξονα: Σ F = F ελ F=k(x x) F και με βάση την (), ελ Σ F = F F=k(x x) kx = k x. Συγκρίνοντάς την με τη Συνθήκη της αλής αρμονικής ταλάντωσης: Σ F= D x, ροκύτει ότι η σφαίρα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση με D= k, με γωνιακή συχνότητα: 3 k rad rad ω= = m s s Το σημείο, ου την αφήνουμε ελεύθερη είναι το αρνητικό ακρότατο της ταλάντωσης (διότι υ =), άρα το λάτος είναι: A = d =,m. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση: = = = = E = 5 J. 3 3 E DA ka N / m( ) m J γ) Η δύναμη εαναφοράς της ταλάντωσης μεγιστοοιείται όταν μεγιστοοιείται η αόσταση αό τη ΘΙ, ενώ η δύναμη ελατηρίου μεγιστοοιείται όταν μεγιστοοιείται η αόσταση αό τη ΘΦΜ. Οι δύο συνθήκες, με βάση το σχήμα, εαληθεύονται ταυτόχρονα όταν το σώμα βρίσκεται στο αρνητικό ακρότατο.

16 Η αόσταση, με βάση το σχήμα, αό τη ΘΦΜ είναι x + A, οότε: ( ) F k(x A) N/m,, m 3 N = + = + = ελ Fε Η αόσταση αό τη ΘΙ είναι A, οότε: Fε = k A = k, = N. Άρα: = F ε F 3 F 3 ελ ελ δ) Αν καταργηθεί δύναμη F, τότε ΘΙ του σώματος γίνεται τώρα η ΘΦΜ και η αρχική ΘΙ γίνεται ένα τυχαίο σημείο της ταλάντωσης. Οότε στο σημείο αυτό υάρχει και δυναμική ενέργεια με x ' =, m και κινητική ενέργεια με ταχύτητα αυτήν, ου είχε όταν καταργήθηκε η F στην αρχική ΘΙ, δηλαδή της μέγιστης ταχύτητας της ροηγούμενης ταλάντωσης: υ = ω A = rad / s,m = m / s. 3 Έτσι, E = K + U = mυ + kx = kg m / s + N / m 4 m = (5 + )J E = 5 J. Συνεώς ο λόγος των ενεργειών είναι: E 5 E = = 5. E 5 E Λύση άσκησης 9. α) Οι δυνάμεις ου δέχεται το σώμα είναι η σταθερή οριζόντια δύναμη F και η δύναμη ελατηρίου, ου έχει άντα φορά ρος τη Θέση Φυσικού Μήκους του. Στη θέση Ισορροίας, ου βρίσκεται στη θετική φορά και αόσταση d αό τη Θ.Φ.Μ., εφαρμόζω τη Συνθήκη Ισορροίας στον οριζόντιο άξονα: F 5N Σ Fχ = F F ελ = Fελ = k d d= = d =, 5 m. k N / m Τοοθετούμε κατόιν τη σφαίρα σε μια τυχαία θέση θετικής αομάκρυνσης χ α τη Θ.Ι. της και υολογίζουμε τη συνισταμένη δύναμη: Σ F = F-F =kd k(d+x) = kd kd k x= k x. x Συγκρίνοντάς την με τη Συνθήκη της αλής αρμονικής ταλάντωσης: Σ F = D x, ροκύτει ότι η σφαίρα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση με D ελ = k. x

17 β) Η θέση, ου μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, είναι η Θ.Φ.Μ., ενώ η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μεγιστοοιείται στα ακρότατα. Συνεώς, με βάση την εκφώνηση, το (αριστερό) ακρότατο θα είναι η Θ.Φ.Μ., δηλαδή A = d =, 5 m. Η ενέργεια ταλάντωσης υολογίζεται α τη σχέση: E = DA = N / m ( ) m 4 E = 6, 5 J. γ) Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου μεγιστοοιείται στη θέση μέγιστης αόστασης αό τη Θ.Φ.Μ., δηλαδή στη δεξιά ακραία θέση της ταλάντωσης. Εκεί το σώμα έχει ταχύτητα υ = και αέχει d αό τη Θ.Ι. και d αό τη Θ.Φ.Μ. Μετά την κοή του νήματος, η μόνη δύναμη του σώματος είναι η δύναμη ελατηρίου, οότε έχουμε «μετατόιση» της Θ.Ι. στη Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου. Έτσι τη χρονική στιγμή t=, το σώμα θα αέχει d αό τη Νέα Θ.Ι. και θα έχει ταχύτητα μηδενική, δηλαδή η θέση εκκίνησης της Νέας αλής αρμονικής ταλάντωσης, θα είναι το θετικό ακρότατο, με νέο λάτος: A = d =,5 m. k rad rad Η γωνιακή συχνότητα θα είναι ίδια με την αρχική, δηλαδή: ω =ω= = =. m,5 s s Η αρχική φάση θα υολογιστεί με βάση το ότι για t=, x = + A, άρα: + A = A ηµϕ ηµϕ = ϕ = k + και για να είναι ϕ <, θέτουμε k=, οότε ϕ Συνεώς η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης για τη νέα αρμονική ταλάντωση θα είναι: x =,5 ηµ (t + ) (S.I.). δ) Η ενέργεια της νέας ταλάντωσης είναι: E = ka, ενώ της αρχικής ήταν: E = ka, έτσι ο λόγος τους θα είναι: ka E A A ( ) ( ) E ka A A = = = E E 4 Λύση άσκησης. α) Για την Αρχική Θέση Ισορροίας (ΑΘΙ) των m m, εφαρμόζω τη Συνθήκη Ισορροίας:

18 (m + m )g k Σ F = Fελ = w+ w k d = (m+ m )g d = d m Για την Νέα Θέση Ισορροίας (ΝΘΙ) του m, εφαρμόζω άλι τη Συνθήκη Ισορροίας: mg k Σ F = F = w ελ k d = mg d = d = m. β) Η εκκίνηση της ταλάντωσης είναι αό την Αρχική Θέση Ισορροίας (ΑΘΙ) με ταχύτητα μηδέν (άρα αοτελεί ακρότατο της ταλάντωση του m ), ενώ η Θέση Ισορροίας της ταλάντωσης του Σ είναι η Νέα Θέση Ισορροίας (ΝΘΙ). Συνεώς η αόσταση των δύο θέσεων ισορροίας αοτελεί το λάτος ταλάντωσης και ισούται με: A= d d = A = m. Το m εκτελεί αρμονική ταλάντωση δεμένο στο κάτω άκρο του ελατηρίου, με σταθερά N ταλάντωσης: D = k = και η ενέργεια ταλάντωσης θα υολογιστεί αό τη σχέση: m E DA N / m m = = E 5 J k rad rad γ) Η γωνιακή συχνότητα θα είναι: ω= = = ω και η ερίοδος m s s Τ= Τ= Τ= s. ω Η αρχική φάση θα υολογιστεί με βάση το ότι για t=, x = A, άρα: A = Aηµϕ ηµϕ = ϕ = k και για να είναι ϕ <, θέτουμε k=, οότε: 3 ϕ

19 3 Συνεώς η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης θα είναι: x = ηµ ( t + ) (S.I.). Με βάση τον ίνακα τιμών: t (s) x (m) - - και το ότι η συνάρτηση είναι ημιτονική, σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση του διαγράμματος. δ) Γνωρίζουμε ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σώματος δίνεται αό τη σχέση: U βαρ = mgh, όου h είναι η κατακόρυφη αόσταση του σώματος αό το είεδο αναφοράς. Στην ερίτωσή μας, αό τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του Σ ως ρος το έδαφος, U 8 μορούμε να υολογίσουμε το ύψος h: U = m g h h = βαρ βαρ m h, 8 m m g = Το σώμα Σ εκτελεί ελεύθερη τώση ως το έδαφος, οότε μορούμε να βρούμε το χρόνο τώσης t ως εξής: h, 8 h = gt t = = s t =,6 s. g Ο χρόνος t για να φτάσει το Σ στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του, ξεκινώντας αό το κάτω T ακρότατο, είναι: t = = t = s. Άρα το Σ θα φτάσει ρώτο στο έδαφος. Λύση άσκησης. α) Το σύστημα των Σ και Σ, εφόσον είναι δεμένο στο κατακόρυφο ελατήριο θα ταλαντώνεται N αρμονικά με σταθερά ταλάντωσης: D = k = ολ. m Το λάτος ταλάντωσης του συστήματος, θα υολογιστεί αό τη σχέση, ου δίνει την ολική Ε ενέργεια Ε: E= DολΑ Α= = m A =, m. k

20 mολ Η ερίοδος ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: T= = s T = s. k 5 rad rad Η γωνιακή συχνότητα του συστήματος είναι: ω= = ω=. Τ s s 5 Η θέση εκκίνησης είναι το κάτω ακρότατο της ταλάντωσης και ο χρόνος ου ααιτείται για να T φτάσει για η φορά στη θέση ισορροίας του είναι: t = t =,5 s. 4 β) Για να βρούμε μια έκφραση για την αλγεβρική τιμή της δύναμης εαφής Ν, ου ασκεί ο δίσκος στον κύβο, εργαζόμαστε ως εξής: Τοοθετούμε τον κύβο σε μια Τυχαία Θέση χ του θετικού ημιάξονα και σχεδιάζουμε τις δυνάμεις m g και Ν ου δέχεται. Εφαρμόζουμε για τον κύβο Σ τη συνθήκη της ταλάντωσης: Σ F = D x N mg= mω x N= mg mω x A x A, x, (στο S.I.). N = x, με γ) Όταν χάνεται η εαφή των δύο σωμάτων, τότε μηδενίζεται η δύναμη Ν. Ας δούμε σε οιες θέσεις μορεί να χαθεί η εαφή των δύο σωμάτων. Όταν το σύστημα βρίσκεται στη θέση ισορροίας (χ=): N ΘΙ.. = ( )N = N >. Άρα, στη θέση ισορροίας δεν χάνεται η εαφή των δύο σωμάτων. Όταν το σύστημα βρίσκεται κάτω αό τη θέση ισορροίας (χ< ή x=- χ ): N = ( x ) = + x >. Άρα, και κάτω αό τη θέση ισορροίας δεν χάνεται η εαφή των δύο σωμάτων. Όταν το σώμα βρίσκεται άνω αό τη θέση ισορροίας (x>), έχουμε: N = x = x, ου είναι μια φθίνουσα ρωτοβάθμια συνάρτηση του χ. Έτσι μορεί σε κάοια θέση y (όου < y + A) άνω α τη Θ.Ι. να χαθεί η εαφή του κύβου με το δίσκο. Στη θέση αυτή θα είναι: N = y = y = m y =, m.

21 δ) Έστω υ το μέτρο της ταχύτητας του κύβου στη θέση y, ου χάνεται η εαφή με το δίσκο. Αό τη Διατήρηση της Ενέργειας της ταλάντωσης του συστήματος, στη θέση αώλειας εαφής y και στη μέγιστη αομάκρυνση, έχουμε: k(a y ) k(a y ) N / m(,, )m m ky ka m m kg ολυ + = υ = υ= = ολ ολ m υ= 3. s Το ζητούμενο μέγιστο ύψος θα ροκύψει με εφαρμογή της Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας του κύβου (η μόνη ασκούμενη δύναμη είναι το βάρος συντηρητική δύναμη), αό τη θέση εκτόξευσης (όου h = ) έως το μέγιστο ύψος (όου υ= ): υ ( 3) m / s K + Uβαρ =Κ + U βαρ mυ + = + mgh h = h = g m / s =,5 m. h Λύση άσκησης. α) Τα δύο σώματα του συστήματος, έχουν κοινή γωνιακή συχνότητα ω, αλλά έχουν διαφορετική σταθερά Ταλάντωσης ( D D D ολ ). N Το σύστημα έχει σταθερά ταλάντωσης: D = k = ολ 4 και ολική μάζα m = m + ολ m. m k 4 rad Η γωνιακή συχνότητα του συστήματος είναι: ω= = rad / s ω=. m + m 4 s Εξισώνουμε τις γωνιακές συχνότητες: D D D D k m ω =ω = = = D = k D ολ ολ ολ m mολ m mολ m+ m m+ m D D D D k m ω =ω = = = D = k D ολ ολ ολ m mολ m mολ m+ m m+ m N = 3 m N =. m β) Οι ασκούμενες δυνάμεις είναι: i) στο σύστημα Σ Σ : Στον χ-άξονα: Η δύναμη αό το ελατήριο F ελ. Στον y-άξονα: Το βάρος w = w + ολ w, η δύναμη εαφής Ν αό το λείο οριζόντιο δάεδο.

22 ii) στο Σ : Στον χ-άξονα: Η δύναμη αό το ελατήριο F ελ και η δύναμη της στατικής τριβής Τ αό το Σ. Στον y-άξονα: Το βάρος w, η δύναμη εαφής Ν αό το λείο οριζόντιο δάεδο και η δύναμη εαφής N αό το Σ. iii) στο Σ : Στον χ-άξονα: Η δύναμη της στατικής τριβής Τ αό το Σ. Στον y-άξονα: Το βάρος w και η δύναμη εαφής N αό το Σ. γ) Εφαρμόζουμε τη Συνθήκη ταλάντωσης για το Σ και λαμβάνουμε υόψη ότι η μοναδική δύναμη, ου δέχεται στον οριζόντιο άξονα είναι η στατική τριβή Τα, άρα αοτελεί τη δύναμη εαναφοράς του Σ : Σ F = D x T= D x. () x Άρα η αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής δίνεται αό τη συνάρτηση: T = x, με A x A,3 x,3, οότε και 3 T 3(όλες οι τιμές στο S.I.). Η γραφική αράσταση φαίνεται στο αρακάτω σχήμα.

23 () δ) Εφαρμόζουμε τη Συνθήκη ταλάντωσης για το Σ : Σ F = D x. Θεωρώντας θετική φορά την ρος τα δεξιά, έχουμε: T= D x T= D x. x Παρατηρούμε ότι το μέτρο της στατικής τριβής είναι ανάλογο της αομάκρυνσης χ, άρα η στατική τριβή μεγιστοοιείται στα ακρότατα, δηλαδή: T = D A. Γνωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή της στατικής, δηλαδή η οριακή τριβή είναι ίση με: T ορ =µ σ Ν, όου μ σ είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων και Ν είναι η κάθετη αντίδραση στο Σ, η οοία υολογίζεται αό τη Συνθήκη Ισορροίας στον y-άξονα: Σ F = N= mg. () y Τελικά, η οριακή τριβή είναι ίση με: T =µ m g =,5 kgm / s T = 5 N. ορ σ ορ Για να μην ολισθήσει το Σ άνω στο Σ ρέει: Tορ 5 T Tορ D A Tορ A A A, 5m. D u Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: u = ω Α Α =, οότε με ω βάση την ροηγούμενη ανισότητα θα ισχύει: u ω,5 u ω,5 u m,5. s Λύση άσκησης 3. α) Εφόσον το Σ αφήνεται στην αρχική του θέση, αυτό σημαίνει ότι είναι ακρότατο της ταλάντωσής του, συνεώς: A = d =, 4 m. Εειδή D =k, για την ταλάντωση του Σ, η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του Σ είναι: k 3 rad = = ω = = rad / s ω = και η ερίοδός της είναι: T m 3 s ω Το Σ θα φτάσει αό την ακραία θέση στη Θέση Ισορροίας σε χρόνο: t = t = s. 4 Η ταχύτητα του Σ στη Θέση Ισορροίας θα είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης, άρα: m υ =υ =ω Α = rad / s,4m υ = 4. s s 5. T β) Όταν το συσσωμάτωμα είναι στη Θ.Ι. του, τα ελατήρια είναι στη Θέση Φυσικού Μήκους τους, οότε δεν ασκούν δυνάμεις.

24 Σημειώνουμε κατόιν το συσσωμάτωμα σε μια Τυχαία Θέση (ΤΘ) θετικής αομάκρυνσης χ α τη ΘΙ του, οότε οι ασκούμενες δυνάμεις ελατηρίου είναι F και F, των οοίων η φορά, όως φαίνεται στο σχήμα, είναι αριστερά ρος τη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ) τους. Θεωρούμε θετική φορά την ρος τα δεξιά και υολογίζουμε τη συνισταμένη δύναμη: Σ F = F F = k x k x = (k + k )x. Συγκρίνοντάς την με τη γενική συνθήκη της αρμονικής ταλάντωσης: Σ F= D x, ροκύτει ότι το συσσωμάτωμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με σταθερά της ταλάντωσης: D= k+ k N D = 9. m γ) Για την λαστική κρούση εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής και βρίσκουμε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση: m υ 3 4m m. (m m ) 4 s s p+ p = pολ mυ + = (m+ m )V V = V = V = 3 + Η ταχύτητα αυτή είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης, γιατί η κρούση έγινε στη Θ.Ι. (η οοία δεν μετατοίστηκε λόγω της κρούση, γιατί η διάρκεια κρούσης θεωρείται αμελητέα), άρα: V =υ =ωα. Η νέα γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι: k + k 9 rad ω= ω= rad / s ω= 5. m m 4 s + V 3m / s Άρα το νέο λάτος ταλάντωσης θα είναι: A = A = ω 5rad / s A =, m. δ) Η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης του συσσωματώματος είναι της μορφής: x = A ηµ ( ω t + ϕ ), οότε χρειαζόμαστε ειλέον την αρχική φάση. Αυτή θα υολογιστεί με βάση το γεγονός ότι για t=, x' =, άρα: = A ηµϕ ηµϕ = και εειδή ρέει: ϕ < θα είναι: ϕ = ή ϕ =.

25 Παρατηρούμε ότι το συσσωμάτωμα, αμέσως μετά την κρούση κινείται στη θετική φορά. Έτσι θα δεχτούμε τη λύση ϕ =, η οοία δίνει θετική ταχύτητα ( υ = υσυν > ). Συνεώς η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης θα είναι: x =, ηµ (5 t) (S.I.). ε) Η ερίοδος της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι: T = = s. ω 5 Ο χρόνος και το αντίστοιχο διάστημα, αό τη στιγμή ου αφήσαμε το σώμα m, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος για η φορά φαίνονται στον ίνακα. Το Σ αό το αρνητικό ακρότατο έως τη Θ.Ι.: Το Σ -Σ αό τη Θ.Ι. έως το θετικό ακρότατο: Το Σ -Σ αό το θετικό ακρότατο έως το αρνητικό ακρότατο: Χρονική διάρκεια Τ = s 4 Τ = s 4 3 Τ = s 3 Διάστημα κίνησης A =, 4 m A =, m A =, 4 m Τ 3Τ 3 Άρα ο ολικός χρόνος είναι: tολ = + = s+ s tολ = s και το ολικό διάστημα 4 4 κίνησης είναι: sολ = A + 3A s ολ = (, 4 +,6)m s = ολ m. Λύση άσκησης 4. α) Στο σημείο εαφής ελατηρίου νήματος ασκούνται η F ελ αό το ελατήριο στο νήμα και η τάση του νήματος T στο ελατήριο. Εειδή το σημείο αυτό έχει αμελητέα μάζα, οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες, άρα κατά μέτρο ίσες: F ελ = Τ. Το νήμα, εφόσον είναι τεντωμένο, ασκεί τάσεις κατά μέτρο ίσες στο ελατήριο και στο σώμα: T = T. Α τις σχέσεις αυτές ροκύτει ότι η δύναμη ελατηρίου F ελ στο νήμα είναι ίση με την τάση Τ του νήματος στο σώμα: F ελ = Τ. N 3 N β) Η σταθερά του ελατηρίου στο S.I. είναι: k = cm = m.

26 Εφαρμόζω τη Συνθήκη Ισορροίας για το σώμα: Σ F = T = mg, και εειδή F ελ = Τ, έχουμε: mg k = mg = = m =, m. k γ) Θεωρούμε θετική φορά την ρος τα άνω και τοοθετούμε το σώμα σε μια τυχαία θέση θετικής αομάκρυνσης χ κάτω α τη Θ.Ι. του. Υολογίζομε τώρα τη συνισταμένη δύναμη: Σ F = T w = F -w = k( -x) k = k k x -k = k x. ελ Με βάση την Αρχή διατήρησης της ενέργειας, η μεταφερόμενη ενέργεια είναι ίση με την ενέργεια της ταλάντωσης: E µετ = Ε, ενώ το σημείο ου αφήνουμε ελεύθερο το σώμα είναι η κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης. Το λάτος ταλάντωσης Α θα υολογιστεί αό τη σχέση, ου δίνει την ενέργεια ταλάντωσης: E 5J = = = A =, m. k N / m E ka A δ) Τοοθετούμε το σώμα σε μια τυχαία θέση χ του θετικού ημιάξονα και σχεδιάζουμε τις δυνάμεις mg και Τ ου δέχεται. Εφαρμόζουμε τη Συνθήκη της ταλάντωσης: Σ F = D x T mg = k x T = mg k x T = x (S.I.). ε) Παρατηρούμε ότι όταν το σώμα είναι κάτω αό τη Θ.Ι. του (χ<) ή στη ΘΙ (χ=), η τάση είναι θετική. Αντίθετα όταν είναι άνω αό τη Θ.Ι. του και λησιάζει στην άνω ακραία θέση, τότε η τάση μειώνεται και μορεί να μηδενιστεί. Έστω ότι η τάση του νήματος θα μηδενιστεί σε κάοιο σημείο χ της τροχιάς, οότε: = x x =, m. Σχόλιο: Όταν η τάση μηδενίζεται, το νήμα χαλαρώνει. Εειδή το λάτος ταλάντωσης είναι είσης Α=, m, το νήμα θα χαλαρώσει οριακά στην θέση μέγιστης αομάκρυνσης της τροχιάς, συνεώς το σώμα θα συνεχίσει την αρμονική ταλάντωσή του έστω και οριακά.