ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Ένα σώμα μάζας = kg εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση σε οριζόντια διεύθυνση. Στη θέση με αομάκρυνση x = + το μέτρο της ταχύτητας του είναι u = 4 /, ενώ στη θέση με αομάκρυνση x = +4 το μέτρο της ταχύτητας του είναι u = /. Να βρείτε: a. Τη σταθερά εαναφοράς D b. Την ερίοδο T της ταλάντωσης c. Την ενέργεια της ταλάντωσης d. Το λάτος A της ταλάντωσης., ec, j, 5. Ένα σώμα μάζας = kg κάνει αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = 8. Όταν το σώμα βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του, η δύναμη εαναφοράς έχει μέτρο F = 6. Να βρείτε: a. τη σταθερά εαναφοράς D b. τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος c. το μέτρο της δύναμης εαναφοράς όταν το μέτρο της αομάκρυνσης είναι x = 3 3. Ένα σώμα μάζας = kg κάνει αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = 5. Όταν η αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας είναι x=3, η δύναμη εαναφοράς έχει μέτρο F = 96. Να βρείτε: a. τη σταθερά εαναφοράς D b. τη συχνότητα f της ταλάντωσης c. το μέτρο της ταχύτητας και της ειτάχυνσης του σώματος στη θέση όου η αομάκρυνση είναι x = + 3 3, Hz,6,48 ec ec 4. Ένα σώμα μάζας = 4kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο είεδο και είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου. Αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά Δx = c στη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και στη συνεχεία το αφήνουμε ελεύθερο. Αν στη θέση της μέγιστης αομάκρυνσης η δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο F = 6, 4, να βρείτε: a. τη σταθερά k του ελατηρίου b. τη σταθερά εαναφοράς D c. την ερίοδο T της ταλάντωσης του σώματος d. την αομάκρυνση x του σώματος αό τη θέση ισορροίας και την ταχύτητα του μετά αό χρόνο t = / 6 ec αό τη στιγμή ου το αφήνουμε ελεύθερο. c 64,64, ec, 3 ec 5. Ελατήριο σταθεράς K τοοθετείται κατακόρυφα με το άνω άκρο του στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Ένα σώμα μάζας M = kg δένεται στο κάτω άκρο του ελατηρίου και η ειμήκυνση ου ροκαλεί σε αυτό είναι x =,. Μετακινούμε το σώμα κατά Δx και το αφήνουμε ελεύθερο. Στο σώμα κατά την διάρκεια της κίνησης του η μέγιστη δύναμη ου ασκείται αό το ελατήριο είναι 5.

2 Α. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να υολογίσετε την ερίοδο της. Β. Να βρείτε την ενέργεια της ταλάντωσης Γ. Να γράψετε τις εξισώσεις της αομάκρυνσης της ταχύτητας και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές αραστάσεις. Δ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. 6. Σώμα μάζας = kg είναι δεμένο στο δεξιό ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 64 / του οοίου το άλλο άκρο είναι σταθερά ροσαρμοσμένο σε κατακόρυφο τοίχο και ισορροεί σε λείο οριζόντιο είεδο. Το σώμα είναι φορτισμένο με φορτίο Q = +6, 4C και στην εριοχή υάρχει οριζόντιο ομογενές ηλεκτρικό εδίο αράλληλο ρος τον άξονα του ελατηρίου και με φορά ρος τα δεξιά, με ένταση E = / C. Αν το ηλεκτρικό εδίο καταργηθεί, να αοδείξετε ότι το σώμα θα κάνει αλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε: α. Το λάτος της ταλάντωσης β. Την ερίοδο της ταλάντωσης γ. Την μέγιστη ταχύτητα και την χρονική στιγμή ου το σώμα αοκτά την μέγιστη ταχύτητα του μετά την κατάργηση του ηλεκτρικού εδίου.,, ec,,8, ec 4 ec 6 7. Σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. Η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο Δίνεται αό την εξίσωση u = συν (t + ) (S.I.). 6 Α. Να υολογίσετε την αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του τη χρονική στιγμή t =. Β. Να ροσδιορίσετε τη χρονική στιγμή ου το σώμα, κινούμενο ρος τη θετική κατεύθυνση, διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. Γ. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης εαναφοράς ου δέχεται το σώμα, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δ. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t =. 8. Σώμα μάζας =kg είναι δεμένο στο δεξιό άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=64/ του οοίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα είναι φορτισμένο με 3 φορτίο Q = + 6,4 C και βρίσκεται σε μια εριοχή όου υάρχει ομογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης E = / C αράλληλης με τον άξονα του ελατηρίου και με φορά ρος τα δεξιά. Αν το ηλεκτρικό εδίο καταργηθεί, να αοδείξετε ότι το σώμα θα κάνει α.α.τ. και να βρείτε το λάτος και την ερίοδο της ταλάντωσης καθώς και τη μέγιστη ταχύτητα του σώματος. μετά αό όσο χρόνο αό τη στιγμή κατάργησης του ηλεκτρικού εδίου το σώμα αοκτά τη μέγιστη ταχύτητα; Σε όλες τις ασκήσεις θεωρείστε γνωστό ότι g = 9. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. εριόδου T = και λάτους Α. Αν για T = είναι ψ = και Α u <, να βρείτε τις χρονικές στιγμές κατά τις οοίες είναι ψ = για ρώτη φορά, όταν το υλικό σημείο κινείται: a. Κατά τη θετική κατεύθυνση

3 b. Κατά την αρνητική κατεύθυνση 7 (,,, ) 6 6. Ένα σωμάτιο μάζας = g εκτελεί γ.α.τ. με εξίσωση x =,ημ(4t) (S.I.). Να βρεθούν: a. η μεταβολή της ορμής του σωματιδίου στο χρονικό διάστημα [,Τ/4]. b. Η κινητική και η δυναμική του ενέργεια τη στιγμή Τ/8 4 5 ( 6,,,3,,,8 5 ) rad. Ένα σώμα μάζας = Kg κάνει γ.α.τ. με ω = Τη στιγμή t = είναι ψ = c και έχει ταχύτητα u =, 3 με φορά ρος τη θέση ισορροίας. Να βρεθούν: a. Οι εξισώσεις ψ = f (t), u = f (t) και α = f (t). b. Ο ελάχιστος χρόνος για να γίνει u =. 5 ( φ =,,, ) 6 5. Ελατήριο σταθεράς k = 4 είναι δεμένο στο άνω άκρο ενός λείου κεκλιμένου ειέδου γωνίας 3 και έχει τον άξονα του αράλληλο ρος το κεκλιμένο είεδο. Ένα σώμα μάζας = 4kg είναι δεμένο στο κάτω ελεύθερο άκρο του ελατήριου και ισορροεί ακουμώντας άνω στο λείο κεκλιμένο είεδο. a. Αν αομακρύνουμε το σώμα αό την θέση ισορροίας του και το αφήσουμε ελεύθερο, να αοδείξετε ότι θα εκτελέσει α.α.τ. και να βρείτε την ερίοδο του b. Αν το σώμα αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί αό τη θέση ου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, να βρείτε i. Την θέση στην οοία αοκτά μέγιστη ταχύτητα και να την υολογίσετε ii. Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου iii. Το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος (,,,,5,,,,,, ) 5 3. Τα δυο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k = και k = 36 θεωρούνται ιδανικά. Ανάμεσα στα ελατήρια υάρχει δεμένο ένα σώμα και το σύστημα ισορροεί όως φαίνεται στο σχήμα. Αν εκτρέψουμε το σώμα κατακόρυφα ρος τα κάτω και το αφήσουμε ελεύθερο να αοδείξετε ότι θα εκτελέσει α.α.τ. και να βρείτε την ερίοδο της. Στη θέση ισορροίας να θεωρήσετε ότι το άνω ελατήριο είναι ειμηκυμενο και το κάτω συσειρωμένο. 3

4 ( ) 8 4. Κύλινδρος βάρους, ύψους Η και διατομής S = c δένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 38, του οοίου το άλλο άκρο ροσδένεται σε 3 kg σταθερό σημείο. Ο κύλινδρος είναι βυθισμένος σε υγρό υκνότητας d = όως 3 φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέουμε τον κύλινδρο κατά ερισσότερο και τον αφήνουμε ελεύθερο A =., ώστε να βυθιστεί a. Να δείξετε ότι ο κύλινδρος θα εκτελέσει α.α.τ. και να υολογίσετε την ερίοδο του b. Μετά αό όσο χρόνο αό τη στιγμή ου αφέθηκε ελεύθερος ο κύλινδρος θα εράσει για ρώτη φορά αό την θέση ισορροίας του; c. Να γράψετε την εξίσωση ου εριγράφει την κίνηση του κυλίνδρου αν για t= είναι y=+ A και u<. 3 (,,,,,, φ = ) Το σώμα του σχήματος μάζας = kg και φορτίου Q = μc ηρεμεί σε λείο οριζόντιο 5 είεδο. Ξαφνικά δημιουργούμε οριζόντιο ηλεκτρικό εδίο έντασης E = και το σύστημα αρχίζει να εκτελεί ταλαντώσεις. a. Να δείξετε ότι το σύστημα κάνει α.α.τ. και να βρείτε το λάτος και την ερίοδο της b. Όταν το σώμα αοκτήσει την μέγιστη ταχύτητα του καταργείται το εδίο. Να υολογίσετε: i. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή ου καταργείται το εδίο ii. Το νέο λάτος ταλάντωσης (,,,,,,,,,, ) 5 6. Το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάεδο. Στο άνω άκρο του είναι σταθερά δεμένος δίσκος μάζας M = kg, άνω στον οοίο έχει τοοθετηθεί σώμα μάζας = kg όως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα ισορροεί. Πιέζουμε το σύστημα ρος τα κάτω κατά l =, και το αφήνουμε ελεύθερο. 4

5 a. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα χάσει την εαφή του με το δίσκο Μ. b. Ποιο θα είναι τότε το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της ειτάχυνσης του σώματος; Θεωρείστε γνωστά k, g και ότι =. (,,,, 3,,,) 7. Σώμα μάζας = kg είναι δεμένο ανάμεσα σε δυο οριζόντια ελατήρια σταθερών k = και k = 8 όως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα εκτελεί α.α.τ. σε λείο οριζόντιο είεδο και την στιγμή ου βρίσκεται σε αομάκρυνση x =, αό τη θέση ισορροίας του ένα άλλο σώμα μάζας = καθώς έφτει κατακόρυφα ενσωματώνεται μαζί του. a. Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης. b. Να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης αν: i. x = ii. x = ± A,5 (,,,,,, ) 8. /9. Αό την κορυφή λείου κεκλιμένου ειέδου γωνίας κλίσης φ = 3 στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας = 3kg και το σύστημα ισορροεί άνω στο κεκλιμένο είεδο. Αό τη βάση του κεκλιμένου ειέδου κινείται ρος τα άνω σώμα μάζας = kg και αρχικής ταχύτητας u = 5 κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Η αρχική αόσταση των σωμάτων είναι x =. 9 και η σταθερά του ελατηρίου k = 3. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και λαστικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Να βρείτε: a. Το λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος b. Τη μέγιστη αραμόρφωση του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος. 7 (,,, ) 6 6. Σώμα μάζας = kg εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση γύρω αό μία θέση ισορροίας και την χρονική στιγμή t = διέρχεται αό αυτή με κατεύθυνση ρος τον αρνητικό ημιάξονα. Το 5

6 σώμα ερνά αό τη θέση ισορροίας φορές σε χρόνο t =. Εάν η μέγιστη δύναμη ου δέχεται το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του είναι Σ F =, να βρείτε: Α. Την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας σε συνάρτηση με τον χρόνο. Β. Εάν στο ίδιο σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του αρχίζει να ασκείται δύναμη αόσβεσης F = bu όου b = kg / και θεωρήσουμε ότι η ερίοδος του δεν αλλάζει, να βρείτε σε όσο χρόνο το λάτος του θα γίνει A =,5. Γ. Για την αραάνω χρονική στιγμή να υολογίσετε τον μέγιστο ρυθμό με τον οοίο χάνει ενέργεια το σύστημα εξαιτίας της δύναμης F. b Δίνονται: Λ =, ln =,7, =.. Σώμα μάζας = kg είναι συνδεδεμένο στο δεξιό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς K = /, το αριστερό άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα είναι τοοθετημένο άνω σε λείο οριζόντιο δάεδο και εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A =, (θετική η φορά ρος τα δεξιά). Κάοια χρονική στιγμή, ου το σώμα διέρχεται αό τη θέση x = +, αομακρυνόμενο αό τη θέση ισορροίας του, συναντά δεύτερο σώμα μάζας = Kg, το οοίο ηρεμεί άνω στο λείο οριζόντιο δάεδο και συγκρούεται μαζί του κεντρικά και λαστικά. α. Βρείτε την ταχύτητα της μάζας λίγο ριν την λαστική κρούση καθώς και την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την λαστική κρούση. β. Βρείτε το νέο λάτος A της ταλάντωσης του συσσωματώματος. γ. Υολογίστε την εί τοις εκατό αώλεια της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης, εξαιτίας της λαστικής κρούσης. δ. Αν θεωρήσουμε χρονική στιγμή t = τη στιγμή της σύγκρουσης, να γράψετε τις χρονικές συναρτήσεις της αομάκρυνσης αό τη θέση ισορροίας και της ταχύτητας της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Δεχθείτε ότι η σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης είναι D= k και ότι η κρούση διαρκεί αειροελάχιστο χρονικό διάστημα [ u = 3 /,,, V = /,,, A = ±,,,, 6%,,, x =,ημ ( t + / 6),,, u = συν ( t + / 6)] Σώμα με μάζα = kg δένεται αό το ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς Κ = Ν/. Το άλλο άκρο είναι στερεωμένο στην κορυφή λείου κεκλιμένου ειέδου και το σύστημα ελατήριο - μάζα βρίσκεται σε ισορροία. Μετακινούμε το σώμα κατά αόσταση Δχ ρος τα κάτω και την χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο. Η μέγιστη δύναμη ου ασκείται στο σώμα είναι. A. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την ερίοδο της. Β. Να βρείτε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης και το συνολικό διάστημα ου θα διανύσει το σώμα στην διάρκεια μιας εριόδου. Γ. Να γράψετε τις εξισώσεις της αομάκρυνσης του σώματος αό την θέση ισορροίας και της ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές αραστάσεις. Δ. Την χρονική στιγμή t για την οοία η κινητική ενέργεια αίρνει για ρώτη φορά την τιμή,375 j. ax 6

7 3. Δυο αλλόμενα διαασών αράγουν ήχους, οι οοίοι έχουν το ίδιο λάτος και συχνότητες f = 9Hz και f 9 = Hz, αντίστοιχα. Πόσα μέγιστα αντιλαμβάνεται σε χρόνο t = 3 ένας άνθρωος ου ακούει τα δυο δια ασών; Να δικαιολογήσετε την αάντηση σας. 4. Δυο σώματα Α και Β της ίδιας μάζας =, 5kg κρέμονται αό ένα ελατήριο σταθεράς K = 5 / και ισορροούν, όως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = το νήμα κόβεται και το σώμα Α, το οοίο αραμένει ροσδεμένο στο ελατήριο, εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Α) να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης Β) να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης Γ) να υολογίσετε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης Δ) οια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συστήματος; Δίνεται g = /. [ ω = rad /,,, A =,5,,, E =, 565 j,,, Fax =,,, Fin = 5] 4.Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. λάτους A = c και εριόδου T = 6. Τη χρονική στιγμή t = το υλικό σημείο διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά του άξονα των αομακρύνσεων. Να βρείτε τις χρονικές στιγμές της εριόδου, κατά τις οοίες το σώμα διέρχεται αό τη θέση στην οοία η αομάκρυνση του είναι x = 5 3c. Ποια είναι τότε η ταχύτητα του; (.33/5)p [,,,,,, / 6,,, / 6] 5. Ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Η αομάκρυνση του σε συνάρτηση με το χρόνο είναι x = 4ημ ( ωt + ). Το σώμα εκτελεί 5 λήρεις ταλαντώσεις σε χρόνο in. 3 Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οοία το σώμα διέρχεται για δεύτερη φορά αό τη θέση x = με αρνητική κατεύθυνσης κίνησης. [5] 6. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Δυο σημεία της τροχιάς του, Α και Β, αέχουν αόσταση d =. Το υλικό σημείο διέρχεται αό καθένα αό αυτά με ταχύτητες ίσου μέτρου, ενώ κατά την αευθείας μετάβαση αό το σημείο Α στο Β μεσολαβεί χρονικό διάστημα Δ t =, 5. Αφού το υλικό σημείο διέλθει αό το σημείο Β, στη συνεχεία ααιτείται χρονικό διάστημα Δ t =, 5 για να εράσει και άλι αό το σημείο Β, κινούμενο με αντίθετη φορά. Να υολογίσετε: a. την ερίοδο Τ της ταλάντωσης b. το λάτος Α της ταλάντωσης. [,,,] 7. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Αν γνωρίζετε ότι, για τις τιμές x =, 5 και x =, 3 της αομάκρυνσης οι τιμές της ταχύτητας του είναι u = 3 και u = 5 αντίστοιχα, να βρείτε: a. την ερίοδο Τ της ταλάντωσης 7

8 b. Το λάτος Α της ταλάντωσης [,,,,,] 8. Ένα υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. λάτους A = και εριόδου T =. Να υολογίσετε το ελάχιστο χρονικό διάστ ημα ου ααιτείται για να μεταβεί το υλικό σημείο αό τη θέση x =, 5 στη θέση x 5 =,, αν κατά τη διέλευση του αό τη θέση x κινείται: a. Κατά τη θετική κατεύθυνση b. Κατά την αρνητική κατεύθυνση. [,,,/ 3]. 9. Υλικό σημείο εκτελεί α.α.τ. Η μέγιστη αόσταση ου μορεί να διανύσει το σημείο, κινούμενο κατά την ίδια φορά, είναι d =, ενώ κάθε φορά ου ολοκληρώνει μια τέτοια κίνηση η ειτάχυνση του είναι a =. Τη στιγμή t = το σημείο βρίσκεται στη θέση x =, 5 και έχει αρνητική ταχύτητα. Να βρεθούν οι εξισώσεις της αομάκρυνσης και της ταχύτητας του υλικού σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο. [,5ημ (t + 5 / 6),,,συν (t + 5 / 6)] 3. Σώμα μάζας =kgr ταλαντώνεται χωρίς τριβές εξαρτημένο αό το άκρο ελατηρίου σταθεράς k=/. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι E=4j. Στην αρχή των χρόνων (t=), το σώμα βρίσκεται σε μια θέση του θετικού ημιαξονα, όου η κινητική του ενέργεια είναι K=3j, και κινείται ρος τη θετική κατεύθυνση a. Να βρεθεί η αρχική φάση της ταλάντωσης b. Να δοθεί η χρονική έκφραση της αομάκρυνσης της ταλάντωσης c. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης εαναφοράς στη θέση όου η κινητική ενέργεια μηδενίζεται ( /6 rad, x=,ημ(t+/6), 4Ν) 3. Ένα σώμα μάζας =,5kgr ισορροεί εξαρτημένο αό το κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου με σταθερά k=5/. Εκτρέουμε το σώμα τραβώντας το με το χέρι μας ρος τα κάτω κατά, και τη χρονική στιγμή t= το αφήνουμε ελεύθερο. a. Ποια δύναμη ασκούσε το χέρι μας στο σώμα λίγο ριν το αφήσουμε ελεύθερο; b. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση c. Θεωρώντας ως θετική την κατακόρυφη ρος τα κάτω φορά, να δώσετε τη χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος d. Να σχεδιάσετε το χρονικό διάγραμμα της συνισταμένης δύναμης ου ενεργεί στο σώμα. Στο διάγραμμα να αναγράφουν όλες οι χαρακτηριστικές τιμές. (Ν, x=,ημ(t+/) 3. Οι ακραίες θέσεις μιας αλής αρμονικής τ αλάντωσης αέχουν l=c. Τη χρονική στιγμή c t= η ταχύτητα της ταλάντωσης είναι u= 3 και η ειτάχυνση a= 8 c. ec ec a. Να εξετάσετε αν η ταλάντωση έχει αρχική φάση b. Να βρεθεί η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης της ταλάντωσης c. Να βρεθεί οια χρονική στιγμή η ταχύτητα θα μηδενιστεί για ρώτη φορά d. Να βρεθεί οια χρονική στιγμή η δύναμη εαναφοράς θα μηδενιστεί για ρώτη φορά (x=,ημ(4t+/6), / ec, 5/4 ec) 33. Συμαγής μεταλλικός κύλινδρος με υκνότητα d=x 4 kgr/ 3, ύψους h=, και εμβαδού βάσης S=5x -4, είναι κρεμασμένος αό το κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς k=35/, του οοίου το άλλο άκρο είναι δεμένο ακλόνητα σε οριζόντιο ταβάνι. Ο κύλινδρος είναι βυθισμένος κατά το μισό του ύψος σε υγρό ου έχει υκνότητα d = 4 kgr/ 3 και ισορροεί σε κατακόρυφη θέση. a. Να βρείτε τη δύναμη του ελατηρίου όταν ο κύλινδρος ισορροεί 8

9 b. Να αοδείξετε ότι αν μετατοίσουμε λίγο τον κύλινδρο κατακόρυφα και στη συνέχεια τον αφήσουμε ελεύθερο, ο κύλινδρος θα κάνει αλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρείστε ότι η στάθμη του υγρού δεν μεταβάλλεται και ότι οι τριβές είναι αμελητέες. c. Να υολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης του κυλίνδρου. Δίνεται g=/ec. 7,5,4, Hz 34. Ένα σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. με λάτος A =, και μέγιστη ταχύτητα μέτρου u ax = /. Να υολογίσετε: a. Τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης b. Τη μέγιστη τιμή του μέτρου της ειτάχυνσης του σώματος c. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, όταν βρίσκεται στη θέση x =, d. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος, όταν βρίσκεται στη θέση x =, και κινείται κατά τη θετική φορά. [ D = /,,, a = /,,, u = 3 /,,, dk / dt = 3 j / ] 35. Σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. με ερίοδο T και ολική ενέργεια E =, 5 j. Η δύναμη εαναφοράς ου ασκείται στο σώμα τη χρονική στιγμή t = έχει μέτρο F ax = και αρνητική κατεύθυνση. a. Να υολογίσετε το διάστημα ου διανύει το σώμα αό τη χρονική στιγμή t = έως τη στιγμή t = T. b. Να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. c. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο d. Να υολογίσετε τη μεταβολή της ορμής του σώματος αό τη χρονική στιγμή t = T έως τη χρονική στιγμή t =. 4 [ =,,, ω = rad /,,, x =,5ημ(t + ),,, Δp = 5kg / ]. 36. Ένα σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα βρίσκεται στη θέση x =, του θετικού ημιαξονα, έχει ταχύτητα u = 3 / και ειτάχυνση a = /. a. Να υολογίσετε την ερίοδο της ταλάντωσης b. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης c. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. d. Να αραστήσετε γραφικά σε βαθμολογημένους άξονες τη συνισταμένη δύναμη ου δέχεται το σώμα, σε συνάρτηση με την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του. Δίνεται ημ 5 6 =, [ T = / 5ec,,, A =,,,, u = συν (t + / 6)] 37. Σώμα μάζας =, 5kg εκτελεί α.α.τ. με ερίοδο T. Η συνολική ενέργεια ταλάντωσης είναι E = 4 j. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα έχει την μέγιστη κινητική του ενέργεια 9

10 T και κινείται ρος την αρνητική κατεύθυνση, ενώ τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στη θέση x =,. a. Να δικαιολογήσετε ότι η ταλάντωση έχει αρχική φάση και να υολογίσετε την τιμή της. b. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης. c. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή T t =. d. Να υολογίσετε το έργο της συνισταμένης δύναμης ου δέχεται το σώμα αό τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή 7 Δίνονται συν = και ημ =, 5. 6 [ φ,,, T t =. = A =,4,,, dp / dt = kg /,,, WΣF = j] 38. Σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. με λάτος A και γωνιακή συχνότητα ω = rad /. Τη χρονική στιγμή t = ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι dp / dt = και η κλίση της γραφικής αράστασης στο διάγραμμα αομάκρυνσης χρόνου είναι θετική. Όταν το σώμα μεταβαίνει αό τη θέση x = στη θέση x = + A, το έργο της δύναμης εαναφοράς F ου δέχεται το σώμα είναι W F = 8 j. a. Να αοδείξετε ότι η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ =. b. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης c. Σε οια θέση x του αρνητικού ημιαξονα βρίσκεται το σώμα, αν το μέτρο της ταχύτητας του στη θέση αυτή είναι u = 3 / ; d. Ποιος είναι ο λόγος της δυναμικής ρος την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης, όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση x ; K 3 [ A =,,,, x =,,,, = ] U 39. Σώμα μάζας = kg εκτελεί α.α.τ. Η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο Δίνεται αό την εξίσωση u = συν (t + ) (S.I.). 6 a. Να υολογίσετε την αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του τη χρονική στιγμή t =. b. Να ροσδιορίσετε τη χρονική στιγμή ου το σώμα, κινούμενο ρος τη θετική κατεύθυνση, διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. c. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης εαναφοράς ου δέχεται το σώμα, σε συνάρτηση με το χρόνο. d. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t =. [ x =,,,, t = / 6ec,,, F = ημ(t + / 6),,, du / dt = 3 j / ] 4. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. με ερίοδο T = και λάτος Α. τη χρονική στιγμή t = το 5 σώμα διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του, κινούμενο ρος τη θετική κατεύθυνση. Η

11 αλγεβρική τιμή της συνισταμένης δύναμης ου δέχεται το σώμα, σε συνάρτηση με την αομάκρυνση του αό τη θέση ισορροίας του, Δίνεται αό την εξίσωση F = x T (S.I.). Στο χρονικό διάστημα αό τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή t = η 6 κινητική ενέργεια του σώματος μεταβάλλεται κατά Δ K = 6 j. Να υολογίσετε: a. Τη μάζα του σώματος. b. Την ολική ενέργεια της ταλάντωσης c. Το λάτος της ταλάντωσης d. Το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, τη χρονική στιγμή ου διέρχεται A αό τη θέση x =. [ = kg,,, E = 8 j,,, A =,4,,, du / dt = / ] 4. Σώμα εκτελεί α.α.τ. με ερίοδο T =. Η κινητική ενέργεια K του σώματος, σε 5 συνάρτηση με την αομάκρυνση x του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, Δίνεται αό τη σχέση: K = 8 5x (S.I.). Α. Να υολογίσετε: i. Το λάτος της ταλάντωσης ii. Τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης iii. Τη μάζα του σώματος Β. Κατά την κίνηση του σώματος αό τη μια ακραία θέση της ταλάντωσης του στην άλλη, υάρχουν δυο θέσεις όου η κινητική ενέργεια είναι τριλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης. Να υολογίσετε την αόσταση μεταξύ των δυο αυτών θέσεων. [ A =,4,,, D = /,,, = kg,,, d =, 4] 4. Σώμα μάζας = kg βρίσκεται άνω σε λείο οριζόντιο είεδο και είναι ροσδεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο ακλόνητα. Το σώμα εκτελεί α.α.τ. λάτους A =,. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα βρίσκεται στη θέση x =, και κινείται ρος τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου u = 3 /. a. Να υολογίσετε την ερίοδο της ταλάντωσης b. Να υολογίσετε το οσοστό εί τοις εκατό της ολικής ενέργειας ου αντιστοιχεί στην κινητική ενέργεια της ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t =. c. Να υολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος d. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. [ T =,,, a = 75%,,, dp / dt = kg /,,, x =,ημ( t + )] Σώμα μάζας = kg βρίσκεται άνω σε λείο οριζόντιο είεδο και είναι ροσδεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο ακλόνητα, εκτρέουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του ρος τα δεξιά και τη χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο. Το διάγραμμα U x του σχήματος αριστάνεται

12 γραφικά η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του a. Να υολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου b. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης c. Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο d. Αφού μεταφέρετε στο τετράδιο σας το δοθέν διάγραμμα U x, να αραστήσετε γραφικά στο διάγραμμα αυτό την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης και να ροσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των δυο καμυλών. [ k = /,,, φ = / rad,,, K = συν (t = / )] 44. Μια μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας =, 5kg φέρει ηλεκτρικό φορτίο q = 3 C. Η σφαίρα είναι δεμένη μέσω μονωτικού συνδέσμου στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = /, του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακίνητο σημείο. Το σύστημα βρίσκεται μέσα σε οριζόντιο ομογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης μέτρου 4 E = / C, του οοίου οι δυναμικές γραμμές είναι αράλληλες ρος τον άξονα του ελατηρίου. Η σφαίρα ισορροεί άνω σε λείο οριζόντιο είεδο αό μονωτικό υλικό και το ελατήριο είναι αρχικά ειμηκυμενο. εκτρέουμε τη σφαίρα αό τη θέση ισορροίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, κατά x =, και την αφήνουμε ελεύθερη. a. Να αοδείξετε ότι θα κάνει α.α.τ. b. Να υολογίσετε το λάτος και τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης της σφαίρας c. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης ου δέχεται η σφαίρα αό το ελατήριο, σε συνάρτηση με το χρόνο. Ως χρονική στιγμή t = να θεωρηθεί η χρονική στιγμή ου η σφαίρα διέρχεται αό τη θέση ισορροίας της και κινείται κατά τη θετική φορά d. Όταν η σφαίρα βρίσκεται στη μέγιστη θετική αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας της καταργούμε ακαριαία το ηλεκτρικό εδίο. Ποιο θα είναι το λάτος ταλάντωσης της σφαίρας μετά την κατάργηση του ηλεκτρικού εδίου; [ A =,,,, ω = rad /,,, F t,,, A ελ = + ημ =,3] 45. Σώμα άγνωστης μάζας κρέμεται στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Το σώμα εκτελεί κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω = 5rad /. Η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι E =, 5 j. Τη χρονική στιγμή t το σώμα διέρχεται αό τη θέση =

13 ισορροίας, του ενώ τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στη θέση x, = για ρώτη φορά. a. Να αοδείξετε ότι η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση και να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης b. Να υολογίσετε τη μάζα του σώματος c. Να υολογίσετε το λόγο του μέτρου της δύναμης εαναφοράς ρος το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου, όταν το σώμα βρίσκεται στην κατώτερη θέση της τροχιάς του d. Να αραστήσετε γραφικά σε βαθμολογημένους άξονες τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο Δίνεται 4 = ημ και g = / Fε [ A =,,,, = kg,,, = ] F Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = /, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, ροσδένουμε σώμα μάζας = kg. Ανυψώνουμε το σώμα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αοκτήσει το φυσικό του μήκος, και τη χρονική στιγμή t = του ροσδίδουμε κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου u = 3 / με φορά ρος τα κάτω. Το σύστημα εκτελεί α.α.τ. Να υολογίσετε: ελ a. Το λάτος της ταλάντωσης b. Το λόγο της κινητικής ενέργειας ρος τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t = c. Το έργο της δύναμης εαναφοράς ου δέχεται το σώμα αό τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή ου φτάνει στην κατώτερη θέση της τροχιάς του d. Τη χρονική στιγμή ου το σώμα φτάνει για ρώτη φορά στην κατώτερη θέση της τροχιάς του Δίνεται g = /. Να θεωρήσετε ως θετική φορά την φορά ρος τα εάνω. K 3 [ A =,,,, =,,, WF =,5 j,,, t = ] U Μικρή σφαίρα άγνωστης μάζας κρέμεται στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Όταν η σφαίρα ισορροεί, η ειμήκυνση του ελατηρίου είναι Δl =,. Αομακρύνουμε τη σφαίρα αό τη θέση ισορροίας της κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά x =, και την αφήνουμε ελεύθερη. a. Να αοδείξετε ότι η κίνηση ου θα εκτελέσει η σφαίρα είναι α.α.τ. b. Να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης 3

14 c. Να υολογίσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης, όταν το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, ρος την ολική ενέργεια της ταλάντωσης d. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης της σφαίρας αό τη θέση ισορροίας της σε συνάρτηση με το χρόνο, αν τη χρονική στιγμή t = η σφαίρα διέρχεται αό τη θέση όου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και κινείται ρος τα εάνω. Ως θετική φορά να θεωρηθεί η φορά ρος τα εάνω. Δίνεται g = /. U [ ω = rad /,,, =,,, x =,ημ(t + )] E Σώμα μάζας = kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = /, του οοίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά d =, και τη χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο, οότε εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. a. Να υολογίσετε την ενέργεια ου ααιτήθηκε για να αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά d. b. Να γράψετε την εξίσωση της ειτάχυνσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο c. Να υολογίσετε την δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος και τη T δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t =, όου T η ερίοδος της ταλάντωσης d. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, τη χρονική στιγμή ου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ειμηκύνεται. e. Δίνεται g = /. Να θεωρήσετε ως θετική φορά την φορά ρος τα κάτω. [ E = j,,, a = ημ (t + / ),,, Uταλ = j,,, U ελατ =,5 j,,, dx / dt = 3 / ] 49. Μικρή σφαίρα μάζας = kg ισορροεί δεμένη στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = /, του οοίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε r σταθερό σημείο. Με κατάλληλο μηχανισμό δίνουμε στη σφαίρα κατακόρυφη ταχύτητα u με φορά ρος τα άνω, οότε το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με λάτος A =, 4 και ερίοδο T. a. Να υολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας u r της σφαίρας. b. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας της σφαίρας, σε συνάρτηση με το χρόνο, αν τη χρονική στιγμή t = η κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι μηδενική και η ειτάχυνση της έχει αρνητική κατεύθυνση. c. Να υολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου. d. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή t = T / 3 Δίνεται g = / και ότι συν =,,, ημ =. Να θεωρήσετε ως 3 3 θετική φορά τη φορά ρος τα εάνω. [ u = 4 /,,, u = 4συν (t + / ),,, Fελ (ax) =,,, Fελ (in) =,,, dk / dt = 8 3 j / ]. 5. Σώμα μάζας = kg είναι ροσαρμοσμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = / του οοίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε σταθερό 4

15 σημείο. Ανυψώνουμε το σώμα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αοκτήσει το φυσικό του μήκος και τη χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο. a. Να αοδείξετε ότι η κίνηση ου θα εκτελέσει το σώμα είναι αλή αρμονική ταλάντωση b. Να υολογίσετε την ενέργεια ου ααιτήθηκε για την ανύψωση του σώματος c. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του σε συνάρτηση με το χρόνο d. Να ροσδιορίσετε τη χρονική στιγμή ου η δύναμη του ελατηρίου και η δύναμη εαναφοράς της ταλάντωσης έχουν ίσα μέτρα για δεύτερη φορά. Δίνεται g = /. Να θεωρήσετε ως θετική φορά τη φορά ρος τα εάνω. [ E = j,,, x =,ημ (t + / ),,, t = / 6ec] 5. Σώμα μάζας = kg αφήνεται αό ύψος h =, άνω αό το ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, το άλλο άκρο του οοίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε δάεδο. Η ευθεία κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου. Όταν το σώμα συναντά το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου, ροσκολλάται μόνιμα σ αυτό και το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, η μέγιστη συσείρωση του ελατηρίου αό το φυσικό του μήκος, είναι Δl ax =,6. a. Να υολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου b. Να υολογίσετε το λάτος A και τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης c. Να ροσδιορίσετε την αομάκρυνση x του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, όταν η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου d. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος, όταν βρίσκεται στη θέση x. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = / [ k = /,,, A =,5,,, ω = rad / ec,,, x =,5,,, dp / dt = 5kg / 5. Σώμα μάζας = kg είναι ροσαρμοσμένο στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου του οοίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο ακλόνητο σε δάεδο. Όταν αομακρύνουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατακόρυφα ρος τα άνω και το αφήνουμε ελεύθερο, το σύστημα εκτελεί α.α.τ. με ερίοδο T. Η κινητική ενέργεια της της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο Δίνεται αό την εξίσωση K = 6συν (t + φ ) (S.I.) a. Να υολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου b. Να υολογίσετε το λάτος ταλάντωσης c. Να ροσδιορίσετε τη γωνία φ, αν τη χρονική στιγμή t = ο ρυθμός μεταβολής dp της ορμής του σώματος είναι = 8kg. dt d. Να υολογίσετε τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης αό τη T χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή t = Δίνεται συν =. 3 [ K = /,,, A =,4,,, φ = /,,, ΔU = 4 j] ] 5

16 53. Σώμα μάζας = kg είναι ροσαρμοσμένο στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου άγνωστης σταθεράς του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε σταθερό σημείο. Όταν το σώμα αομακρύνεται αό τη θέση ισορροίας του και αφήνεται ελεύθερο, εκτελεί α.α.τ. Στο διάγραμμα του σχήματος αριστάνεται γραφικά η αομάκρυνση x αό τη θέση ισορροίας του σε συνάρτηση με το χρόνο t. a. Να υολογίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης του σώματος b. Να υολογίσετε τη σταθερά K του ελατηρίου c. Να υολογίσετε το χρονικό διάστημα κατά το οοίο το σώμα βρίσκεται άνω αό το άκρο του φυσικού μήκους του ελατηρίου d. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης ου ασκεί το ελατήριο στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = /. Ως θετική φορά να θεωρήσετε τη φορά ρος τα άνω. [ φ = / 6,,, K = /,,, Δt = /5ec,,, Fελ = ημ(t + / 6)] 54. Σώμα μάζας = kg ισορροεί ροσδεμένο μέσω αβαρούς νήματος στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 5 /, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Όταν ροσφέρουμε στο σύστημα ενέργεια W = J, αυτό αρχίζει να εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση σε κατακόρυφη διεύθυνση. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα βρίσκεται σε μια θέση του θετικού ημιαξονα και έχει κινητική ενέργεια K =,75J. Να υολογίσετε: a. Το λάτος της ταλάντωσης. b. Την αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, τη χρονική στιγμή t =. c. Το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, τη χρονική στιγμή t =. d. Το μέγιστο λάτος ταλάντωσης, για το οοίο το νήμα αραμένει συνεχώς τεντωμένο. Δίνεται g = /. A =,,,, x =,,,, du / dt =,5 /,,, A =,4] [ ax 55. Ελατήριο σταθεράς K βρίσκεται άνω σε λείο κεκλιμένο είεδο, γωνίας φ = 3, όως φαίνεται στο σχήμα. Το ένα άκρο του ελατηρίου είναι ροσδεμένο σε σώμα μάζας = kgr, ενώ το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σύστημα αρχικά ισορροεί. Τη χρονική στιγμή t = ροσδίδουμε στο σώμα ταχύτητα μέτρου u = 4 /, η οοία έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και φορά ρος τα εάνω. Το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση και εανέρχεται στη θέση ισορροίας του για ρώτη φορά τη χρονική στιγμή t =. 6

17 a. Να υολογίσετε τη σταθερά του ελατηρίου b. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης c. Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με το χρόνο d. Να υολογίσετε το λόγο του μέτρου της δύναμης ου ασκεί το ελατήριο στο σώμα ρος το μέτρο της δύναμης εαναφοράς ου δέχεται το σώμα, τη χρονική στιγμή ου η κινητική ενέργεια είναι τριλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης για ρώτη φορά. Να θεωρήσετε ως θετική φορά, τη φορά αό τη βάση ρος την κορυφή του κεκλιμένου ειέδου. Δίνεται g = /. Fελ 7 [ K = 4 /,,, A =,,,, K = 8συν t,,, = ] Fε Κάθε ελατήριο του σχήματος έχει το ένα άκρο του στερεωμένο σε ακίνητο σημείο και το άλλο άκρο του ροσδεμένο στο ίδιο σώμα Σ μάζας = kg. Οι σταθερές των ελατηρίων, τα οοία αρχικά έχουν το φυσικό τους μήκος, είναι K = / και K = 8 / αντίστοιχα. Το σώμα Σ μορεί να κινείται χωρίς τριβές σε οριζόντιο είεδο. Εκτρέουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά τη διεύθυνση του κοινού άξονα των δυο ελατηρίων κατά x =, και τη χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο. a. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. b. Να υολογίσετε τη συνολική ενέργεια της ταλάντωσης c. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, ειλέγοντας κατά την κρίση σας τη θετική φορά. d. Να υολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή ου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου σταθεράς K είναι U =, 8 j. [ E = 4 j,,, x =,ημ(t + ),,, u = / ] 4/5di 57. Σώμα μάζας = kg ισορροεί άνω σε λείο οριζόντιο είεδο, στερεωμένο στα άκρα δυο οριζόντιων ελατηρίων της ίδιας σταθεράς K, όως φαίνεται στο σχήμα. Τα δυο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Όταν το σώμα εκτραεί αό τη θέση ισορροίας του κατά μήκος του κοινού άξονα των δυο ελατηρίων, εκτελεί α.α.τ. Το διάγραμμα του σχήματος αριστάνει τη μεταβολή της δύναμης εαναφοράς F ου δέχεται το σώμα, σε συνάρτηση με το χρόνο t. 7

18 a. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης του σώματος b. Να αοδείξετε ότι η ταλάντωση έχει αρχική φάση και να ροσδιορίσετε την τιμή της. c. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο και να αραστήσετε γραφικά την αομάκρυνση, σε συνάρτηση με το χρόνο. d. Να υολογίσετε τη σταθερά κάθε ελατηρίου. [ A =,,,, φ = 3 /,,, x =,ημ(t + 3 / ),,, K = / ] 58. Σώμα μάζας = kg είναι ροσδεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = /, το άλλο άκρο του οοίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους A = άνω στο λείο οριζόντιο είεδο. Λείος κατακόρυφος κυκλικός οδηγός ακτίνας R =,5 εφάτεται στο οριζόντιο είεδο, όως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα, κινούμενο στον θετικό ημιαξονα ρος τα δεξιά, αοχωρίζεται ακαριαία αό το ελατήριο και μόλις κάνει ανακύκλωση. a. Να υολογίσετε την ταχύτητα του σώματος στο ανώτερο σημείο Λ του κυκλικού οδηγού b. Να υολογίσετε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t = ου αοχωρίζεται αό το ελατήριο. c. Να υολογίσετε την αομάκρυνση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του τη χρονική στιγμή t = ου αοχωρίζεται αό το ελατήριο. d. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο, ριν αοχωριστεί αό το ελατήριο. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = /. Να θεωρήσετε ότι το σώμα έχει μικρές διαστάσεις. [ u (in) = 5 /,,, u = 5 /,,, x = 3 /,,, x = ημ (t + / 3)] Λ 59. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = / έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο σε ακίνητο σημείο. Στο άνω άκρο του ελατηρίου έχει ροσδεθεί σώμα Σ μάζας = 8kg, ενώ ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας = kg βρίσκεται άνω στο σώμα Σ. Το σύστημα αρχικά ισορροεί. Αομακρύνουμε το σύστημα των δυο σωμάτων κατακόρυφα ρος τα 8

19 κάτω κατά d =, 5 και το αφήνουμε ελεύθερο. Το σύστημα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση και τα δυο σώματα Σ και Σ βρίσκονται συνεχώς σε εαφή. a. Να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. b. Να υολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου της δύναμης ου δέχεται το σώμα Σ αό το Σ. c. Ποιο είναι το μέγιστο λάτος της ταλάντωσης του συστήματος, ώστε το σώμα Σ να βρίσκεται συνεχώς σε εαφή με το σώμα Σ ; d. Αν αομακρύνουμε το σύστημα των δυο σωμάτων αό τη θέση ισορροίας κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά d =, και το αφήσουμε ελεύθερο, σε οια θέση θα χαθεί η εαφή των δυο σωμάτων και οιο θα είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ στη θέση αυτή; Δίνεται g = / [ ω = rad /,,, = ax 3,,, in =,,, Aax =,,,, u = 3 / ] 6. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = / είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεμένος δίσκος Α μάζας M =, 5kg. Πάνω στο δίσκο είναι τοοθετημένο σώμα Β μάζας =, 5kg. Το σύστημα ισορροεί. Πιέζουμε το σύστημα κατακόρυφα ρος τα κάτω κατά 5 A = και το αφήνουμε ελεύθερο. Α. να δείξετε ότι το σώμα Β θα εγκαταλείψει το δίσκο Α Β. οια είναι η ταχύτητα και η ειτάχυνση του σώματος Β όταν εγκαταλείει το δίσκο; Γ. σε όσο ύψος θα φτάσει το σώμα Β άνω αό τη θέση στην οοία εγκαταλείει το δίσκο; Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g = / 5/7kee 9

20 6. Υλικό σημείο μάζας =, kg εκτελεί α.α.τ. λάτους A =, με ερίοδο T =. Τη χρονική στιγμή t= το υλικό σημείο ερνάει αό τη θέση x = 5 3 κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. Α) να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του υλικού σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο Β) τη χρονική στιγμή t = T / 4 να βρείτε για το υλικό σημείο α. τη δυναμική του ενέργεια β. την κινητική του ενέργεια γ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής του Να θεωρήσετε ότι η αομάκρυνση του υλικού σημείου αό την θέση ισορροίας του είναι ημιτονικη συνάρτηση του χρόνου. 3 3 [ x =,ημ ( t + ),,,,5 j,,,3,75 j,,,5 ] 3 6. Δίσκος μάζας M = kg είναι δεμένος στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = /, του οοίου το άλλο άκρο είναι δεμένο στο οριζόντιο έδαφος. Πάνω στο δίσκο βρίσκεται ένα ουλί μάζας =, kg και το σύστημα αρχικά ισορροεί. Αν το ουλί ετάξει κατακόρυφα ρος τα άνω με αρχική ταχύτητα u = /, να βρείτε: a. Το μέτρο της ταχύτητας ου αοκτά ο δίσκος b. Το λάτος ταλάντωσης του δίσκου c. Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης d. Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου Δίνεται g = / ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.. Σώμα μάζας = Kg ισορροεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 4 /, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. Δεύτερο σώμα, μάζας =, κινούμενο κατακόρυφα ρος τα άνω, συγκρούεται λαστικά με το τη χρονική στιγμή t =, έχοντας, τη στιγμή ριν τη σύγκρουση, ταχύτητα υ = 3 /. Θεωρώντας θετική τη φορά ρος τα άνω, τη διάρκεια της κρούσης αμελητέα και ότι η ειτάχυνση της βαρύτητας είναι g = /, να υολογίσετε: α. Την αρχική αραμόρφωση Δl του ελατηρίου. β. Την κοινή ταχύτητα V του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. Την εξίσωση της αομάκρυνσης της αλής αρμονικής ταλάντωσης ου εκτελεί το συσσωμάτωμα, ως συνάρτηση του

21 χρόνου. δ. Τη δυναμική και την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή t =. 3 ε. Τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t =. 3. Ένα σώμα μάζας M =, 9kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = /. Ένα βλήμα μάζας =, kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα και σφηνώνεται στο σώμα. Να υολογίσετε: Α) το λάτος της α.α.τ. ου εκτελεί το συσσωμάτωμα μετά την κρούση Β) το χρόνο στον οοίο μηδενίζεται στιγμιαία για ρώτη φορά η ταχύτητα του συσσωματώματος Γ) την κυκλική συχνότητα της α.α.τ. Δ) την μέγιστη δύναμη ου δέχεται το συσσωμάτωμα αό το ελατήριο 3. Σώμα μάζας M = 9kg ισορροεί σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 6 /. Βλήμα μάζας = kg κινούμενο με οριζόντια ταχύτητα u = / σφηνώνεται στο σώμα και το συσσωμάτωμα εκτελεί α.α.τ. Να βρείτε: Α) το λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος Β) τη χρονική στιγμή ου το συσσωμάτωμα έχει τη μέγιστη αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του για ρώτη φορά Γ) την κυκλική συχνότητα ταλάντωσης Δ) την μέγιστη ειτάχυνση του συσσωματώματος 4. Σώμα μάζας = kg αναρτάται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς K = /, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα ισορροεί σε ύψος h =, 75 αό το οριζόντιο δάεδο. Τη στιγμή t = το σώμα διασάται ακαριαία σε δυο κομμάτια Α και Β ου έχουν ίσες μάζες. Το κομμάτι Β αμέσως μετά τη διάσαση κινείται κατακόρυφα ρος τα κάτω και συναντά το δάεδο τη χρονική στιγμή t =,5. Το κομμάτι Α μετά τη διάσαση αραμένει ροσδεμένο στο ελατήριο. Να υολογίσετε: Α) το μέτρο της ταχύτητας του κομματιού Β, αμέσως μετά τη διάσαση Β) το μέτρο της ταχύτητας του κομματιού Α, αμέσως μετά τη διάσαση Γ) το λάτος της ταλάντωσης του κομματιού Α μετά τη διάσαση Δ) τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του κομματιού Α μετά τη διάσαση Δίνεται g = /. 5. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = 4 ου είναι δεμένο με το άνω άκρο του σε σταθερό σημείο, έχει στο άλλο άκρο του δεμένο ένα δίσκο μάζας M = kg και το σύστημα ισορροεί όως φαίνεται στο σχήμα. Ένα σφαιρίδιο μάζας = kg αφήνεται αό ύψος h =, 8 άνω αό το δίσκο και ενσωματώνεται με αυτόν. Να βρείτε:

22 a. Το λάτος της α.α.τ. ου θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα b. Τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου c. Το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής του συστήματος. (,75,,,,5,,,7) 6.Κατακόρυφο ελατήριο σταθερές k = ου είναι ροσαρμοσμένο με το άνω άκρο του σε σταθερό σημείο, έχει στο άλλο άκρο του δεμένο ένα δίσκο μάζας = kg και το σύστημα ισορροεί όως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας =, το οοίο βρίσκεται κάτω αό το σώμα σε αόσταση h =, 5 και έχει ταχύτητα u = 6 κινούμενο ρος τα άνω συγκρούεται μετωικά και λαστικά με το δίσκο. Να βρείτε: α. Το λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος β. Μετά αό όσο χρόνο αό τη στιγμή της κρούσης το συσσωμάτωμα θα αοκτήσει ταχύτητα μηδέν; γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος.αμέσως μετά την κρούση.όταν βρίσκεται στις ακραίες θέσεις της κίνησης του. Θεωρείστε την ρος τα εάνω φορά ως θετική. (,,,,,,,,,,,,, + ) 3 7. Ένας δίσκος μάζας M = kg ισορροεί συνδεδεμένος στη μια άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k =, όως φαίνεται στο σχήμα. Μια σφαίρα μάζας

23 = kg αφήνεται να έσει ελεύθερα αό ύψος h = 3, άνω αό το δίσκο και αφού συγκρουσθεί μετωικά με αυτόν, ανεβαίνει σε ύψος h =, 8. Να υολογίσετε: a. Τα μέτρα των ταχυτήτων του δίσκου και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. b. Το λάτος της α.α.τ. ου θα εκτελέσει ο δίσκος. c. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του δίσκου, όταν διέρχεται αό τις ακραίες θέσεις της τροχιάς του. Δίνεται g =. [ 8,,,,,,,,,,, ± ] 8. Σώμα μάζας =, 5kg στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου αό την κορυφή λείου κεκλιμένου ειέδου, γωνίας κλίσης φ = 3, και το σύστημα ισορροεί άνω στο κεκλιμένο είεδο. σώμα μάζας =, 5kg εκτοξεύεται ρος τα άνω αό τη βάση του κεκλιμένου ειέδου με αρχική ταχύτητα u = 5, η οοία έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όως φαίνεται στο σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k =. Τα δυο σώματα αρχικά αέχουν αόσταση S =, 9. Αν τα σώματα συγκρούονται μετωικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα, να βρείτε: a. Το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελεί το σώμα, όταν η κρούση είναι ελαστική b. Το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελεί το σώμα, όταν η κρούση είναι λαστική c. Τη μέγιστη αραμόρφωση του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος όταν η κρούση είναι λαστική. Δίνεται g = [,,,,,, ] Το σώμα Σ του σχήματος είναι μάζας = kg και ροσδένεται στα ιδανικά ελατήρια ου έχουν σταθερές k = και k = 8. Εκτρέουμε το σώμα Σ αό τη θέση 3

24 ισορροίας του κατά Α = c και τη στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο. Την ίδια χρονική στιγμή αφήνουμε να έσει ελεύθερα αό ύψος h άνω αό τη θέση ισορροίας ένα σώμα Σ μάζας =, kg. a. Να υολογίσετε το ύψος h αό το οοίο αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, ώστε να συναντήσει το σώμα Σ, όταν διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του για ρώτη φορά. b. Αν τα σώματα Σ, Σ συγκρουσθούν μετωικά και λαστικά στο σημείο Ο, να υολογίσετε το λάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος. Δίνεται g =. [ /6,,,/].Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθερές k = 4 είναι στερεωμένο σε οροφή αό το ένα άκρο του. Στο άλλο άκρο του συνδέουμε σώμα Σ μάζας = kg, το οοίο εκτελεί α.α.τ. λάτους A =,. Τη στιγμή κατά την οοία το σώμα βρίσκεται στο μισό του λάτους της ταλάντωσης του, κατερχόμενο ρος τη θέση ισορροίας του, συγκρούεται μετωικά με σώμα Σ ίσης μάζας, ου έχει αντίθετη ταχύτητα. Αν θεωρήσουμε τη στιγμή της κρούσης ως αρχή του χρόνου t =, να βρείτε τις εξισώσεις ου εριγράφουν την κίνηση κάθε σώματος, στις ακόλουθες εριτώσεις Α. Αν η κρούση είναι ελαστική Β. Αν η κρούση είναι λαστική. Δίνεται g =. [,ημ (t + 7 / 6),,,,75ημ( t + 3 / )]. Ξύλινο σώμα μάζας M = 4kg είναι ροσαρμοσμένο στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 5, και ισορροεί άνω σε λείο οριζόντιο είεδο. Βλήμα μάζας = kg κινείται με ταχύτητα u = κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και σφηνώνεται στο ξύλινο σώμα. Να υολογίσετε: a. Το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα 4

25 b. Την ταχύτητα του συσσωματώματος όταν διέρχεται αό τη θέση x =, c. Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος όταν αυτό κινείται με ταχύτητα u =. [,4,,, ± 3,,, ± 3]. Το σώμα του ακόλουθου σχήματος έχει μάζα και εκτελεί α.α.τ. λάτους ( ΟΔ ) = A = c, ροσαρμοσμένο στο άκρο ελατηρίου, κατά μήκος του λείου οριζόντιου ειέδου. Όταν το σώμα διέρχεται αό τη θέση Γ με ( ΟΓ ) = x = 6c και ταχύτητα θετική, ένα κομμάτι λαστελίνης μάζας τοοθετείται άνω του. Να υολογίσετε: a. Το λάτος της ταλάντωσης ου εκτελεί το συσσωμάτωμα b. Το οσοστό μεταβολής της ενέργειας, το οοίο αρατηρείται κατά τη στιγμή της τοοθέτησης της λαστελίνης. [ 7,,,,5%] 3. Οριζόντιος δίσκος μάζας M = 4kg ισορροεί στερεωμένος στα άκρα των όμοιων ελατηρίων με σταθερά k = 5. Αό ύψος h = 75c άνω αό το δίσκο αφήνεται να έσει ελεύθερα κομμάτι λαστελίνης μάζας = kg. Η λαστελίνη συγκρούεται με το δίσκο λαστικά. Να υολογίσετε το λάτος και την ερίοδο της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα. Δίνεται g =. 5 [,,,, ] 5 4.Σώμα μάζας M = 4kg ισορροεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθερές k =. Βλήμα μάζας = g κινείται με ταχύτητα u = 8 κατακόρυφα ρος τα άνω, και διαερνά το σώμα χάνοντας το 75% της κινητικής του ενέργειας. Αν γνωρίζετε ότι g =, να υολογίσετε: 5

26 Α. Το λάτος της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το σώμα M Β. Σε όσο χρόνο αό τη στιγμή της κρούσης το σώμα θα εράσει αό τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου; Γ. Τη μέγιστη τιμή της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου. [,4,,,,,,3] 5.Ένας δίσκος μάζας M =, 5kg ισορροεί δεμένος στην άνω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθερές k = 5. Αό ύψος h =, 6 άνω αό το δίσκο αφήνεται να έσει ένα άλλο σώμα μάζας =, 5kg, το οοίο συγκρούεται μετωικά και λαστικά με το δίσκο. Αν γνωρίζετε ότι g =, να υολογίσετε: Α. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Β. Το οσοστό αώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση Γ. Την εξίσωση της αομάκρυνσης του συσσωματώματος, θεωρώντας ως t = τη στιγμή της κρούσης Δ. Το χρονικό διάστημα Δt ου μεσολαβεί αό τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή ου η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για ρώτη φορά. Ε. Την μέγιστη ταχύτητα του συσσωματώματος καθώς και τη μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου Ζ. Τους ρυθμούς μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της βαρυτικης δυναμικής ενέργειας στη θέση x = +, 3. [ 3,,, 5%,,,,4ημ (5t + / 6),,, /5,,,,,,,,,5 3,,,] 6. Δίσκος μάζας M = 9kg ισορροεί δεμένο στο άνω ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = / του οοίου το άλλο άκρο είναι σταθερά ροσαρμοσμένο στο οριζόντιο έδαφος. Αό ύψος h = 5 άνω αό το δίσκο ρίχνουμε 6

27 κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα u = / ένα σώμα μάζας = kg, το οοίο συγκρούεται λαστικά με το δίσκο. a. Να αοδείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα κάνει αλή αρμονική ταλάντωση b. Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης c. Να ροσδιορίσετε τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης d. Να βρείτε το λάτος Α της ταλάντωσης. Δίνεται g = /, ec,,, 7. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ. σε λείο οριζόντιο είεδο, χωρίς αρχική φάση. Η αόσταση των δυο ακραίων θέσεων της τροχιάς του σώματος είναι d =,4 και ο χρόνος μετάβασης του αό τη μια ακραία θέση στην άλλη είναι Δ t =. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση x =,, η κινητική του ενέργεια είναι K = 3 j. Α. Να υολογίσετε: i. Το λάτος και τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ii. Τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης iii. Το έργο της συνισταμένης δύναμης ου ασκείται στο σώμα κατά την κίνηση του αό τη θέση x =, έως τη θέση όου η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι U = j. Β. Τη στιγμή ου το σώμα φθάνει στη μέγιστη θετική αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας του, συνενώνεται ακαριαία με άλλο αρχικά ακίνητο σώμα τριλάσιας μάζας. Ποια αό τα μεγέθη: λάτος, σταθερά εαναφοράς και γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης μεταβάλλονται και οιες είναι οι νέες τιμές τους; [ A =,,,, ω = rad /,,, D = /,,, WF = j,,, ω = 5rad / ] 8. Δίσκος μάζας M = kg έχει ροσδεθεί στο άνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = /, του οοίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάεδο. άνω στο δίσκο τοοθετείται σώμα μάζας = kg και το σύστημα ισορροεί. Τη χρονική στιγμή t = με κατάλληλο μηχανισμό το σώμα εκτινάσσεται αότομα κατακόρυφα ρος τα εάνω με ταχύτητα μέτρου u = 4 / και στη συνέχεια αομακρύνεται. Μετά την εκτίναξη του σώματος, ο δίσκος εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με ερίοδο Τ. a. το μέτρο της ταχύτητας ου αοκτά ο δίσκος, αμέσως μετά την εκτίναξη του σώματος. b. Το λάτος της ταλάντωσης του δίσκου. c. Το λόγο της κινητικής ενέργειας ρος τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του δίσκου τη χρονική στιγμή t = T. d. Τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης ου ασκεί το ελατήριο στο δίσκο. e. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = /. [ u = /,,, A =,3,,, K / U = 8 /,,, F ελ (ax) = 5] 9. Σώμα Σ μάζας kg βρίσκεται άνω σε λείο οριζόντιο είεδο και είναι ροσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατήριου, σταθεράς K = /, το άλλο άκρο του οοίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα Σ εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση x =,ημω t (S.I.). Ακριβώς άνω αό τη θέση ισορροίας του σώματος Σ και σε ύψος h βρίσκεται ένα δεύτερο σώμα Σ μάζας = kg. Το σώμα Σ αφήνεται ελεύθερο, όταν το σώμα Σ βρίσκεται στη μέγιστη αρνητική αομάκρυνση του, και ροσκολλάται στην άνω ειφάνεια του σώματος Σ, όταν αυτό διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του για ρώτη φορά. Να υολογίσετε: 7