ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ. Σώμα μάζας m = kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου με το άλλο άκρο του σε ακλόνητο τοίχο) και αό την άλλη άκρη είναι δεμένο με νήμα τεταμένο με τάση Τ = Ν. Το είεδο είναι οριζόντιο και μόλις κόψουμε το νήμα το σώμα ειταχύνεται και αόκτα την μέγιστη του κινητική ενέργεια έειτα αό t. Ένας ανιχνευτής βρίσκεται άνω στον τοίχο και στην ευθεία ταλάντωσης του σώματος m και μετρά την αόσταση τοίχου σώματος. Κάοιες χρονικές στιγμές η αόσταση αυτή είναι διλάσια α αυτή ου είχε το σώμα ριν κόψουμε το νήμα. Να βρείτε: α. την σταθερά του ελατηρίου k β. την μέγιστη κινητική ενέργεια γ. την αρχική αόσταση σώματος τοίχου δ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής κάθε ορά ου ερνά αό την θέση στην οοία η αόσταση του σώματος αό τον τοίχο είναι ενταλάσια α την αόσταση αό τη Λύση α. Το σώμα ξεκινά αό την ηρεμία και την μέγιστη κινητική ενέργεια την αοκτά στη ου χρειάζεται χρόνο t 4 4 Τ = 5 είσης ra ω = Για την ταλάντωση ισχύει D = k = mω k = N/m. β. Πριν κοεί το νήμα ισχύει: F F F k Δ =,m k Αυτή η ειμήκυνση ου έχει αρχικά το ελατήριο είναι και το λάτος της F ελ ταλάντωσης Α = =, m η μέγιστη ταχύτητα είναι: υ ma = ωα υ ma = m/. m 4 ma ma ma Κ ma = J ή ma Uma ka,4 Κ ma = J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

2 γ. Έστω η αρχική αόσταση σώματος τοίχου. Σύμωνα με την εκώνηση η αόσταση αυτή κάοιες στιγμές διλασιάζεται και αυτό συμβαίνει όταν το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του βρίσκεται στο αριστερό A A άκρο της ταλάντωσης, άρα σύμωνα με την εκώνηση: A A =,4m δ. Σύμωνα με την εκώνηση θα ρέει: 5 = ) αλλά ισχύει είσης + = + ). Με αντικατάσταση της ) στη ) έχουμε:,4, 5 =,m 6 6 Φ.Μ Για το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής έχουμε: p F D, t p t kg m = ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

3 . Ελατήριο σταθεράς k = Ν/m κρέμεται αό ακλόνητο σημείο και στο ελεύθερο άκρο του έρει σώμα μάζας m = kg. Ειμηκύνουμε το ελατήριο και δένουμε το σώμα με αβαρές νήμα αό το ακλόνητο δάεδο όως στο σχήμα. Το σώμα ισορροεί και η τάση του νήματος μετρήθηκε, Τ = Ν. Κόβουμε το νήμα τη χρονική στιγμή t = και το σώμα κάνει κατακόρυες ΑΑΤ. Να υολογιστούν: α. Η ειμήκυνση του ελατηρίου ριν κοεί το νήμα. β. Το λάτος της ταλάντωσης. γ. Ο χρόνος ου χρειάζεται για να τάσει το σώμα μέχρι το υψηλότερο σημείο της τροχιάς του. δ. Η εξίσωση αομάκρυνσης των ΑΑΤ, μετά την κοή του νήματος και θετική η κατεύθυνση ρος τα άνω. ε. Τα έργα της δύναμης εαναοράς και της δύναμης του ελατηρίου αό τη στιγμή t = έως να εράσει αό τη θέση ισορροίας του. Δίνεται g = m/. Λύση α. Στην αρχική ισορροία ριν κοεί το νήμα) στο σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις όως αίνεται στο σχήμα. Ισχύει λοιόν: F F w k mg, mg k Δ =,m β. Μόλις κοεί το νήμα αλλάζει η θέση όου ισχύει F, αού τώρα έχουμε δύο συνολικά δυνάμεις ου ασκούνται άνω στο σώμα. F F w k mg mg k Δ =,m. F ελ A w w F ελ Το σώμα ξεκινά την ταλάντωση αό την ηρεμία έτσι η αρχική θέση είναι και η ακραία θέση της ταλάντωσης και σύμωνα με το σχήμα έχουμε Α =,m. γ. Το ψηλότερο σημείο της τροχιάς του είναι η άλλη ακραία θέση, άρα χρειάζεται χρόνο t m k Τ = 5 και τελικά t Δt = ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 3

4 δ. Το σώμα ξεκινά την ταλάντωση αό την μέγιστη αρνητική αομάκρυνση αού θετική είναι η ορά ρος 3 τα άνω. Για t = έχουμε: A A k 3 = ra Είσης 5 ra ω =. Άρα: A t ) 3 =,ημt + ) S.I. ε. Για το έργο της δύναμης εαναοράς έχουμε: W F =,5J ε WF U U U ) U U ka, και για την δύναμη του ελατηρίου WF U U U ) U U k k,4, W F =,5J ελ ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 4

5 3. Ένα σώμα Σ μάζας m ισορροεί όως στο σχήμα, όου η τάση του νήματος έχει μέτρο διλάσιο του βάρους. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = N/m, το κεκλιμένο είεδο είναι λείο με κλίση = 3, το νήμα είναι αράλληλο ρος το είεδο και g = m/. Η αραμόρωση του ελατηρίου ριν κόψουμε το νήμα είναι =,5 m. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα κινείται. α. Να υολογίσετε τη μάζα του σώματος. β. Να υολογίσετε το λάτος και την ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος. γ. Αν η μέγιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος είναι Uma J να βρεθεί η ελάχιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια. δ. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης θεωρώντας ότι η ταλάντωση ξεκινά τη στιγμή ου κόβουμε το νήμα όου ισχύει >. ε. Ποια χρονική στιγμή αέχει για ρώτη ορά αόσταση =,5 m αό τη. του ελατηρίου; Λύση α. Αό το σχήμα αίνεται ότι η αρχική θέση βρίσκεται άνω αό τη. του ελατηρίου η δύναμη του ελατηρίου θα έχει κατεύθυνση ρος τα κάτω όως αίνεται στο διλανό σχήμα. Αό την ισορροία έχουμε: w F F w w k w 3 w k w F ελ 3 k,5 mg k m m 3g 3 m = kg. β. Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης είναι η θέση για την οοία ισχύει: +) F F w F' w k mg mg,5 k Δ =,5m F ελ w ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 5

6 Άρα σύμωνα με το σχήμα το λάτος της ταλάντωσης είναι: A Α =,m. Και η ενέργεια της ταλάντωσης E ka E = 4J γ. Την μέγιστη βαρυτική δυναμική ενέργεια θα την έχει το σώμα όταν βρίσκεται στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς του άρα στην αρχική του θέση Uma Uma mgh h h mg h =,5m h H S Κατώτερη θέση Για να τάσει το σώμα στην κατώτερη θέση θα έχει διανύσει h αόσταση S = A =,4 m και σύμωνα με το εστιγμένο τρίγωνο έχουμε: S H S Η =,m οότε h h H h =,3m και τελικά Umin mgh Umin,3 βαρ U min = 6J Εναλλακτικά μορούμε να ούμε ότι: Ww U mgh Uma Umin 4 Umin βαρ U min = 6J δ. Η ταλάντωση ξεκινά αό το θετικό άκρο οότε έχουμε αρχική άση. A A k = ra D k m k m ra ω = και τελικά t ) =,ημt + ) S.I.) ε. Το σώμα αρχικά αέχει αό τη. =,5 m οότε θα +) βρίσκεται άνω αό τη. όταν θα αέχει =,5 m και σύμωνα με το σχήμα θα αέχει αό τη = + =, m. Άρα =,ημt + ),=,ημt + ) ημt + ) θ t k k t 6 6 t 5 k k t 6 6 Άρα για ρώτη ορά: t = = 6 3 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 6