Physics by Chris Simopoulos

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της αλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Α) Αομάκρυνση (x ή y): ονομάζεται η αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x= ή y=) Β) Το λάτος της ταλάντωσης: ονομάζεται η μέγιστη αόσταση του σώματος αό την θέση ισορροίας (x=±α, ή y=±α) Γ) Περίοδος : ονομάζεται ο χρόνος ου ααιτείται για να εκτελέσει το σώμα μια λήρη ταλάντωση δηλαδή να εράσει διαδοχικά δύο φορές αό τη θέση ισορροίας και να καταλήξει στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του. Δ) Συχνότητα : ονομάζεται ο αριθμός των λήρων ταλαντώσεων ου εκτελεί το σώμα στη μονάδα του χρόνου Ε) Φάση : ονομάζεται η γωνία η οοία αντιστοιχεί στην αόσταση του σώματος κάθε χρονική στιγμή αό την θέση ισορροίας (x=). Εειδή όλα τα αραάνω αναφέρονται αναλυτικά στην θεωρία θα μελετήσουμε ιδιαίτερα τα μεγέθη ου έχουν ιδιαίτερη σημασία. Όως γνωρίζουμε κάθε αλή αρμονική ταλάντωση μορούμε να την αντιστοιχήσουμε σε μια λήρη κυκλική κίνηση. Για το λόγο αυτό στα σχήματα θα χρησιμοοιήσουμε το τριγωνομετρικό κύκλο για την λήρη ανααράσταση της κίνησης μιας αλής αρμονικής ταλάντωσης και την κατανόηση των εννοιών. Φάση ονομάζουμε την γωνία ου καθορίζει την αομάκρυνση του σώματος ή του συστήματος σωμάτων αό την θέση ισορροίας κάθε χρονική στιγμή t. Για αράδειγμα όταν το σώμα έχει φάση rad σημαίνει ότι βρίσκεται στη θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του και έχει εκτελέσει μία λήρη ταλάντωση. Παρατηρείστε το διλανό σχήμα όου φαίνεται ότι κάοια τυχαία χρονική στιγμή t το σώμα έχει φάση φ. Αυτή αντιστοιχεί στη αομάκρυνση x 1 του σώματος αό τη θέση ισορροίας. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Κάθε φάση αντιστοιχεί σε μία αομάκρυνση. Θα λέμε ότι δυο ταλαντώσεις βρίσκονται σε φάση όταν διαφέρουν κατά ακέραιο ολλαλάσιο της εριόδου Τ δηλαδή Δφ=κ όου κ=,1,,3... Αρχική φάση ονομάζουμε την αρχική γωνία, αό την θέση ισορροίας, αό την οοία ξεκινά το σώμα ή το σύστημα σωμάτων την ταλάντωσή του την χρονική στιγμή t= δηλαδή μόλις αρχίζει την κίνησή του και η οοία αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη αομάκρυνση. x y + - y φ Τυχαία χρονική στιγμή t x 1 x

2 Το σώμα (ή το σύστημα) ου ταλαντώνεται έχει αρχική φάση όταν: Ι) Την χρονική στιγμή t= έχει αομάκρυνση x διάφορη του μηδενός (x ) δηλαδή ξεκινά την ταλάντωσή του αό οοιαδήοτε θέση εκτός του μηδενός ή αό τη θέση x= έχοντας αρνητική ταχύτητα. ΙΙ) Την χρονική στιγμή t με t κτ όου κ=1,,3... και Τ η ερίοδος ταλάντωσης, η αομάκρυνση του σώματος (ή του συστήματος) είναι μηδέν (x=) δηλαδή κάοια χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση x=. Αυτό σημαίνει ότι ξεκινήσει την ταλάντωσή του αό μια θέση διάφορη της θέσης ισορροίας του. ΙΙΙ) Η εξίσωση της αομάκρυνσης ου δίνεται αό το ρόβλημα είναι διαφορετικής μορφής αό την γνωστή εξίσωση φάση στο αράδειγμα είναι /). x =. ημ (.χ x =. συν οότε θα έχω x =. ημ ( + ) άρα η αρχική ΙV) Την χρονική στιγμή t= η ταχύτητα του σώματος (ή του συστήματος) έχει τιμή μικρότερη αό τη μέγιστη τιμή της. μηδενός. V) Την χρονική στιγμή t= η ειτάχυνση του σώματος (ή του συστήματος) έχει τιμή διάφορη του Τέλος διαφορά φάσης μεταξύ δύο μεγεθών ονομάζεται η γωνία ου αντιστοιχεί στο χρόνο ου ααιτείται για να άρει το ένα μέγεθος κάοια αντίστοιχη τιμή ενός άλλου μεγέθους. Για αράδειγμα αν τη χρονική στιγμή t 1 η ταχύτητα είναι μηδέν για να άρει η αομάκρυνση την ίδια τιμή (δηλ. μηδέν) ερνά κάοιος χρόνος Δt. Αυτός ο χρόνος αντιστοιχεί σε κάοια γωνία η οοία ονομάζεται διαφορά φάσης. Η αντιστοιχία αυτή δίνεται αό την αλή μέθοδο των τριών για τα μεγέθη χρόνος-φάση. Σε χρονικό διάστηματ secαντιστοιχεί διαφορά φάσης }. Δ ϕ = Σε χρονικό διάστημα Δt secαντιστοιχεί διαφορά φάσης Δφ Δt (1) ή αλλιώς Δ ϕ = ϕ t t ( t t ) t 1 ϕ Δ = ω 1 ω = ω 1 Δϕ = Για να υολογίσουμε τη φάση ρέει να γνωρίζουμε τις τριγωνομετρικές σχέσεις ου ροκύτουν αό εξίσωση ημιτόνων, συνημιτόνων και εφατομένης. Συγκεκριμένα: α) Εάν ημφ = α όου α ένας αριθμός ϕ = k + θ Βρίσκω το τόξο θ ου έχει ημίτονο τον αριθμό α οότε έχω ημϕ = ημθ ϕ = k + θ x y + - y φ Χρονική στιγμή t= x x

3 Θέτοντας κ= υολογίζω τις τιμές της γωνίας φ ου αντιστοιχούν στην κίνηση του σώματος κατά την ρώτη λήρη ταλάντωση. Για αράδειγμα β) Εάν συνφ=α 1 ημφ = ημφ = ημ3 ϕ = k ϑ Κατά τον ίδιο τρόο θα έχω συνϕ = συνϑ ϕ = k + ϑ Για αράδειγμα γ) Εάν εφφ=α συνφ = 3 συνφ = συν3 ϕ = k + ϑ Όμοια όως ροηγούμενα εφϕ = εφϑ ϕ = k ϑ Για αράδειγμα ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: εφφ = 3 εφφ = εφ3 3 φ = κ + ημφ = ημ φ = κ + φ = κ + συνφ = συν φ = κ - φ = κ + εφφ = εφ φ = κ - Θα ρέει να αναφέρουμε τη σημασία της σταθεράς κ στα ροβλήματα των ταλαντώσεων. Η σταθερά κ δηλώνει σε οια ταλάντωση βρίσκεται το σώμα κατά την κίνησή του και όχι όσες λήρεις ταλαντώσεις έχει διαγράψει το σώμα. Αυτό σημαίνει ότι η σταθερά κ αλλάζει κάθε φορά ου το σώμα ερνά αό την θέση ισορροίας (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των τριγωνομετρικό κύκλο) κινούμενο άντα ρος τον θετικό ημιάξονα (η οοία αντιστοιχεί στη θέση των 9 στο τριγωνομετρικό κύκλο). Με βάση τις σχέσεις της ταλάντωσης και τις γραφικές αραστάσεις αυτών θα έχουμε τις αρακάτω διαφορές φάσεις μεταξύ των μεγεθών της αομάκρυνσης, της ταχύτητας, της ειτάχυνσης και της δύναμης : Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της ταχύτητας υ κατά γωνία / rad. υ(m/sec) στο

4 Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία / rad. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της ειτάχυνσης α κατά γωνία rad. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και της δύναμης εαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η ταχύτητα υ υστερεί της δύναμης εαναφοράς F ε κατά γωνία / rad. Αό τη σύγκριση των διαγραμμάτων της αομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και της δύναμης εαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο αρατηρούμε ότι η αομάκρυνση x υστερεί της δύναμης εαναφοράς F ε κατά γωνία rad. Σχέσεις μεταξύ μεγεθών: Στις ασκήσεις των ταλαντώσεων αρκετές φορές θα χρειαστεί να γνωρίζουμε σχέσεις μεταξύ διαφόρων μεγεθών. Ο τρόος εργασίας στις εριτώσεις αυτές είναι ίδιος και οι σχέσεις αυτές αοδεικνύονται τις ερισσότερες φορές με τη χρήση τριγωνομετρικών σχέσεων. Έτσι: 1. Αόδειξη της σχέσης ου συνδέει την αομάκρυνση με την ταχύτητα: x = ημ ω φ ημ ω φ (1) x. ( t + ) ( t + ) = υ = (). ω υ. ω. συν( + φ ) συν ( + φ ) = Αό την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι ισχύει ημ φ + συν φ = 1 οότε αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) και () σε αυτή έχουμε υ(m/sec) α(m/sec ) υ(m/sec) α(m/sec ) F(Nt) F(Nt)

5 x υ ημ ( + φ ) + συν ( + φ ) = 1 + Α ω Α υ = ω Α ω x υ = ± ω x υ = ± ω x = 1 υ + ω x = ω Α. Με τον ίδιο ακριβώς τρόο ροκύτει και η σχέση μεταξύ ταχύτητας και ειτάχυνσης α = ± ω. υ υ 3. Προσέξτε ιδιαίτερα την σχέση ου συνδέει την αομάκρυνση με την ειτάχυνση διότι είναι ολύ αλή και χρησιμοοιείται σε ολλές εριτώσεις ασκήσεων. α = ω.. ημ( + ϕ ) α = ω.x 4. Η εξίσωση της δύναμης είναι ίσως η βασικότερη εξίσωση των ταλαντώσεων. Αό την εξίσωση αυτή καθορίζεται αν ένα σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, οια είναι η συνισταμένη δύναμη ου ενεργεί στο σώμα ου ταλαντώνεται κάθε χρονική στιγμή κλ. Η συνισταμένη δύναμη εκφράζεται σε συνάρτηση με την αομάκρυνση ή σε συνάρτηση με το χρόνο αό τις σχέσεις Σ F F = D.x ή = ε ΣF = Fε = m. ω.. ημ( + φ ) Εκτός των τριών γραφικών αραστάσεων αομάκρυνσης, ταχύτητας και ειτάχυνσης ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο μορούμε να σχεδιάσουμε και τη γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο καθώς είσης και τη γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση. Η γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι ίδια με τη γραφική αράσταση της ειτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο διότι η δύναμη είναι ανάλογη της ειτάχυνσης έτσι δεν χρειάζεται να την σχεδιάσουμε. F = m. α Η γραφική αράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την αομάκρυνση είναι εξίσωση ρώτου βαθμού αφού σχεδιάζεται όως φαίνεται στο διλανό διάγραμμα. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ F = D. x και Εειδή στην φυσική δεν μας ενδιαφέρει ο λετομερής σχεδιασμός μιας γραφικής αράστασης θα αναφέρουμε ένα εύκολο τρόο για τον σχεδιασμό μιας γραφικής αράστασης με αρχική φάση όως αυτές ου αναφέρει το σχολικό βιβλίο. Εάν για αράδειγμα μας ζητηθεί η γραφική αράσταση της αομάκρυνσης με βάση την εξίσωση x =.ημ( + ) τότε σχεδιάζω την κλασσική γραφική αράσταση της αομάκρυνσης με -x 1 / - F (Nt) -D.x 1 D.x 1 x 1 x (m)

6 το χρόνο χωρίς αρχική φάση και μετατοίζω τον άξονα της αομάκρυνσης ρος τα δεξιά. Η μετατόιση γίνεται με τον εξής τρόο: χωρίζω τα τεταρτημόριο ( ) σε τρία ίσα μέρη αό τα οοία το καθένα 4 αντιστοιχεί σε γωνία ( ) rad και μεταφέρω τον άξονα κατά το αντίστοιχο τμήμα. Τέλος για να υολογίσω τη τιμή ου αρχίζει η γραφική αράσταση θέτω στην εξίσωση της αομάκρυνσης t= και έχω 1 x =.ημ( ω + ) x =.ημ x =. x = Όμοια εργάζομαι για οοιαδήοτε άλλη γωνία. Εάν δε η εξίσωση έχει αρνητική αρχική φάση η μετατόιση του άξονα γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόο ρος τα αριστερά. Δηλαδή η γραφική αράσταση της εξίσωσης x =. ημ( ) θα είναι όως δείχνει το διλανό σχήμα. Ο τρόος εργασίας στις ασκήσεις είναι αυτός ου αναφέρουμε στη συνέχεια. α. Σχεδιάζω το σχεδιάγραμμα ταλάντωσης του σώματος και τοοθετώ άντα τη χρονική στιγμή t= για να γνωρίζω το τεταρτημόριο αό το οοίο αρχίζει τη ταλάντωση το σώμα. β. Γράφω τις χρονικές εξισώσεις ου μας ενδιαφέρουν. γ. Ελέγχω τις ειδικές συνθήκες αν υάρχουν. δ. Αντικαθιστώ τις τιμές του ροβλήματος στις εξισώσεις. ε. Λύνω το σύστημα των εξισώσεων ου ροκύτει ελέγχοντας τις δεκτές τιμές των γωνιών με το σχεδιάγραμμα της ταλάντωσης. Ιδιαίτερη ροσοχή ααιτείται στα ιο κάτω θέματα. 1. Ααραίτητη ροϋόθεση για τη λύση των ασκήσεων είναι ο σχεδιασμός του διαγράμματος ου ακολουθεί για να καταλαβαίνουμε την αρχική θέση εκκίνησης του ταλαντευόμενου σώματος αλλά και την θέση του κάθε χρονική στιγμή. Το διάγραμμα μορεί να σχεδιαστεί ή με τη μορφή τριγωνομετρικού κύκλου, οότε η λύση τότε είναι ερισσότερο μαθηματική και λιγότερο φυσική, ή αλό σχεδιάγραμμα του σχολικού βιβλίου στο οοίο φαίνεται κάθε χρονική στιγμή η θέση του κινητού και η φορά κίνησής του και το οοίο αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. κύκλου. Προσέξτε την λήρη αντιστοιχία μεταξύ του διαγράμματος του σχολικού και του τριγωνομετρικού - ο ο 3 τεταρτημόριο τεταρτημόριο υ< υ< υ > υ > ο ο 4 τεταρτημόριο 1 τεταρτημόριο Θετική φορά κίνησης x -/ - y y y 1 υ> υ< υ< - υ> x

7 . Όταν η εξίσωση της αομάκρυνσης και της ειτάχυνσης εκφράζεται με συνημίτονο (συν) ή εξίσωση της ταχύτητας με ημίτονο (ημ) τη μετατρέω σε εξίσωση ημίτονου (ημ) ή συνημιτόνου (συν) αντίστοιχα για να καθορίσω την αρχική φάση της ταλάντωσης. Οι σχέσεις ου χρησιμοοιώ είναι οι εξής: ημ( + + ϕ ) συν( + ϕ ) = ημ( ϕ ) 3. Όταν δίνεται η αόσταση x των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης ενός σώματος τότε το λάτος της ταλάντωσης δίνεται αό τη σχέση x= => = x. 4. Όταν ένα σώμα ου εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση ερνά αό την θέση ισορροίας του με ταχύτητα υ αυτή δηλώνει ταυτόχρονα και την μέγιστη ταχύτητα ταλαντώσεως. 5. Η φορά λαμβάνεται υόψη άντα στο σχήμα και καθορίζεται σαν θετική η φορά εκείνη ρος το άκρο της οοίας κατευθύνεται το σώμα για ρώτη φορά εκτός αν αναφέρεται αό την εκφώνηση κάτι άλλο.. Εάν το σώμα ξεκινά αό ακραία θέση αυτή καθορίζεται άντα η θέση, του +Α εκτός αν το ρόβλημα καθορίζει διαφορετική και η αρχική του φάση είναι / δηλαδή x =. ημ ( + ) 7. Εάν το σώμα ξεκινά αό τη θέση ισορροίας κινούμενο ρος την αρνητική κατεύθυνση τότε έχει αρχική φάση δηλαδή x =. ημ ( + ) 8. Κάθε μετατόιση μεταξύ του Α και της θέσης ισορροίας (Θ ΙΣ) ορίζεται σαν αρνητική όως και κάθε ταχύτητα αντίθετη της θετικής φοράς δηλαδή στην εξίσωση της αομάκρυνσης τοοθετούμε την αομάκρυνση x με αρνητικό ρόσημο x =. ημ ( + ϕ ) 9. Κάθε φορά ου το σώμα ερνά αό τη θέση ισορροίας κινούμενο ρος το θετικό άκρο +Α αλλάζει η σταθερά κ στις τριγωνομετρικές σχέσεις ημίτονου, συνημίτονου και εφατομένης διότι το σώμα αρχίζει τότε να κινείται σε μια νέα τροχιά (νέος κύκλος) ανεξάρτητα αό την θέση ου ξεκίνησε την ταλάντωσή του έτσι για αράδειγμα εάν το σώμα αρχίζει την ταλάντωσή του αό την θέση x=-α/ τότε στην σχέση της αομάκρυνσης θα είναι κ= αό τη θέση x= Α/ μέχρι την θέση x= και κ=1 αό την θέση x= και μετά. 1. Για να υολογίσετε το χρόνο ου ααιτείται για τη μετακίνηση ενός σώματος αό τη θέση x 1 στη θέση x αρκεί να τοοθετήσω τις τιμές αυτές στην εξίσωση της αομάκρυνσης και να ροσέξω να - - υ< υ< υ> υ> υ< υ< - t= υ> υ> Θετική φορά t= Θετική φορά t= κ= κ=1 Θετική φορά

8 αορρίψω τις σωστές τιμές των χρόνων με βάση τη φορά κίνησης του σώματος και το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται το σώμα τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές. Προσέξτε το αρακάτω λυμένο αράδειγμα για τη κατανόηση της αρατήρησης. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο τέταρτο τεταρτημόριο η γωνία δεν γράφεται οτέ με αρνητικό ρόσημο (.χ. -/4 rad). Πάντα την γράφουμε σαν γωνία ολόκληρου κύκλου δηλαδή -/4=7/4 rad.