Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η μείωση του πλάτους δεν είναι εκθετική.

Transcript

1 Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική. Το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς =100N/, το οοίο έχει το φυσικό του μήκος, είναι ακλόνητα στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Στο άλλο άκρο του ισορροεί σε οριζόντιο δάεδο σώμα μάζας =1Kg, το οοίο αρουσιάζει με το δάεδο συντελεστή τριβής μ=0,. ΦΜ Ειμηκύνουμε το ελατήριο κατά Δl=S 1 =19c και την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί. Α) Για οιες τιμές της ειμήκυνσης S 1 το σώμα θα αρχίσει να κινείται; Β) Υοθέτοντας ότι το σώμα θα αρχίσει να κινείται, Β 1 ) να αοδείξετε ότι, μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για ρώτη φορά, η κίνησή του είναι τμήμα αλής αρμονικής ταλάντωσης της οοίας να βρείτε τα χαρακτηριστικά. Β ) να υογίσετε το διάστημα ου θα διανύσει μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για ρώτη φορά. Ποια χρονική στιγμή συμβαίνει αυτό; Γ) Να υογίσετε την χρονική στιγμή ου το σώμα σταματά οριστικά. Δ) Να υογίσετε την θερμότητα ου εκλύεται λόγω τριβής μέχρι το σώμα να σταματήσει οριστικά. E) Να υογίσετε το συνικό διάστημα ου διανύει το σώμα. ΣΤ) Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό την θέση φυσικού μήκους και να την αραστήσετε γραφικά. Υοθέτουμε ότι ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής και ο συντελεστής τριβής ίσθησης είναι ίσοι μ s =μ. Αντίσταση του αέρα αμελητέα. Ειτάχυνση της βαρύτητας g=10/s. Λύση Α) ΦΜ Θ 1 S 1 F ελ Τ Οι δυνάμεις ου ασκούνται στο σώμα στην οριζόντια διεύθυνση είναι: Η δύναμη F ελ ου ασκεί το ελατήριο και η τριβή Τ. Για να κινηθεί το σώμα θα ρέει η δύναμη του ελατηρίου να είναι μεγαλύτερη αό την οριακή στατική τριβή. Συνεώς,

2 Ε. Κορφιάτης μg Fελ >Τορ S1 >μg S1 > (1) Β) Έστω S 0 η αόσταση, αό την θέση φυσικού μήκους, της θέσης Σ όου η δύναμη του ελατηρίου είναι ίση με την οριακή στατική τριβή. Προφανώς μg Fελ = T S0 = T S0 =μg S0 = () Θεωρούμε μια τυχαία θέση στην οοία το σώμα έχει αομάκρυνση x αό την θέση Σ. ΦΜ Σ S 0 x F ελ Τ Ισχύει ότι: Σ F= T F = T (S + x) = x ελ 0 Εειδή η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη και ετερόσημη της αομάκρυνσης αό την θέση Σ, η αομάκρυνση αό την θέση Σ θα είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. x = A ημ( ω t +ϕ 0) (3) με ω= (4α) Α=S 1 -S 0 (4β) ϕ 0 = (4γ) Συνεώς, η θέση Θ στην οοία θα μηδενιστεί η ταχύτητα για ρώτη φορά θα είναι συμμετρική της Θ 1 ως ρος την θέση Σ και το χρονικό διάστημα μέχρι να συμβεί αυτό είναι: 1 Δ t = =. (5) ω Για να βρούμε την θέση Θ διακρίνουμε εριτώσεις: Περίτωση 1: S 1 >S 0 S 1 -S 0 >S 0 S S 0 S 1 Θ ΦΜ Σ Θ 1 Εειδή η θέση Θ είναι συμμετρική της θέσης Θ 1 ως ρος Σ, θα βρίσκεται αριστερά αό την θέση φυσικού μήκους. Για να είναι οι θέσεις Θ 1 και Θ συμμετρικές ως ρος την θέση Σ θα ρέει: S1 S0 = S + S0 S = S1 S0. (6α)

3 Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική Το διάστημα ου διανύει το σώμα, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του για ρώτη φορά είναι S1+ S = (S1 S 0). (7α) Σχόλια: Αν στην θέση Θ ισχύει ότι S <S 0 τότε η δύναμη του ελατηρίου είναι μικρότερη της οριακής στατικής τριβής και το σώμα σταματά οριστικά. Αν στην θέση Θ ισχύει ότι S >S 0 τότε η δύναμη του ελατηρίου είναι μεγαλύτερη της οριακής στατικής τριβής και το σώμα αρχίζει να κινείται ρος τα δεξιά. Η θέση στην οοία θα μηδενιστεί η ταχύτητά του για ρώτη φορά θα είναι συμμετρική της Θ ως ρος την θέση Σ, η οοία βρίσκεται αριστερά αό την θέση φυσικού μήκους και αέχει αό αυτήν αόσταση S 0. Περίτωση : S 0 <S 1 S 0 0<S 1 -S 0 S 0. S 0 S 1 ΦΜ Σ Θ 1 S Θ Η θέση Θ ως συμμετρική της θέσης Θ 1 ως ρος Σ θα βρίσκεται δεξιά αό την θέση φυσικού μήκους. Για να είναι οι θέσεις Θ 1 και Θ συμμετρικές ως ρος την θέση Σ θα ρέει: S1 S0 = S0 S S = S0 S1 (6β) Στην ερίτωση αυτή, στην θέση Θ η δύναμη του ελατηρίου είναι μικρότερη της οριακής στατικής τριβής και το σώμα σταματά οριστικά. Το διάστημα ου διανύει το σώμα, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του για ρώτη φορά είναι S1 S = (S1 S 0). (7β). Γ) Πριν εξάγουμε γενικό τύο για το συνικό χρονικό διάστημα μέχρι να σταματήσει ας ξεκινήσουμε με δύο αραδείγματα. Παράδειγμα 1 Έστω ότι S 1 =9,S 0 >S 0. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για 1 η φορά αριστερά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S =9,S 0 -S 0 =7,S 0 >S 0. για η φορά δεξιά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 3 =7,S 0 -S 0 =5,S 0 >S 0. για 3 η φορά αριστερά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 4 =5,S 0 -S 0 =3,S 0 >S 0. για 4 η φορά δεξιά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 5 =3,S 0 -S 0 =1,S 0 >S 0. 3

4 για 5 η φορά δεξιά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση Ε. Κορφιάτης S 6 =S 0-1,S 0 =0,8S 0 <S 0 και το σώμα σταματά οριστικά. Συνεώς το χρονικό διάστημα μέχρι να σταματήσει οριστικά είναι Παράδειγμα Έστω ότι S 1 =8,S 0 >S 0. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για 1 η φορά αριστερά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S =8,S 0 -S 0 =6,S 0 >S 0. για η φορά δεξιά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 3 =6,S 0 -S 0 =4,S 0 >S 0. για 3 η φορά αριστερά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 4 =4,S 0 -S 0 =,S 0 >S 0. για 4 η φορά δεξιά της θέσης φυσικού μήκους σε αόσταση S 5 =,S 0 -S 0 =0,S 0 <S 0. και το σώμα σταματά οριστικά. Δ t = 5 Συνεώς το χρονικό διάστημα μέχρι να σταματήσει οριστικά είναι Γενικεύοντας Έστω ότι S1 = ns0 + Sμε 0 S<S 0. Δ t = 4 Μετά αό n βήματα Sn 1 Περίτωση 1: + = S Αν S S 0 τότε το σώμα κάνει n βήματα και σταματά οριστικά στην θέση S n+1 =S. Το συνικό χρονικό διάστημα είναι Δ t = n (8α) Θα βρούμε το συνικό διάστημα μέχρι να σταματήσει κάνοντας χρήση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Για το σύστημα ελατήριο μάζα ισχύει ότι : EMHX( ΤΕΛ) =ΕΜΗΧ( ΑΡΧ) ΕΑΠΩΛ 1 1 S S S S S S μg n+ 1= 1 Τ = 1 n+ 1 (9α) 4

5 Περίτωση : Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική Αν S>S 0 τότε το σώμα κάνει ένα ακόμη βήμα και σταματά στην θέση Sn+ = S0 S. Το συνικό χρονικό διάστημα είναι Δ t = (n+ 1) (8β) Αό την αρχή διατήρησης της ενέργειας βρίσκουμε ότι: S S S = μg 1 n+ Εφαρμόζουμε την αραάνω λογική στα δύο ροηγούμενα αραδείγματα: (9β) Όταν S 1 =8,S 0 = 4S 0 +0,S 0 το σώμα κάνει 4 βήματα και σταματά στην θέση S 5 = 0,S 0 Όταν S 1 =9,S 0 = 4S 0 +1,S 0.το σώμα κάνει 5 βήματα και σταματά στην θέση S 6 = 0,8S 0 Αριθμητική εφαρμογή: μg Ισχύει ότι S0 = = 0,0= c Εομένως για να κινηθεί το σώμα θα ρέει η αρχική ειμήκυνση να είναι μεγαλύτερη αό c. Σε κάθε βήμα ( αό κάοια θέση μηδενισμού της ταχύτητας μέχρι την εόμενη) το χρονικό διάστημα είναι Δ t = = 0,1 sec S1 19 = = 9,5 S = 9,5S = 4S + 1,5S S Συνεώς το σώμα θα κάνει 5 βήματα και θα σταματήσει στην θέση S6 = S0 1,5S0 = 0,5S0 = 1c την στιγμή 0,5 s. Η συνική θερμότητα είναι ίση με την αώλεια δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου 1 Q= (S1 S 6) = 1,8J Για το συνικό διάστημα ου διανύει το σώμα ισχύει ότι: Q Q= TS S = = 0,9 μg Έστω x η αομάκρυνση αό την θέση φυσικού μήκους x + η αομάκρυνση αό την θέση Σ και x _ η αομάκρυνση αό την θέση Σ. Ισχύει ότι x+ = x S0 x = x+ + S0 και x = x + S 0 x = x _ S. 0 Το χρονικό διάστημα αό t 0 =0 έως t 5 =0,5 s ρέει να το διαιρέσουμε σε 5 ίσα χρονικά διαστήματα: 5

6 Ε. Κορφιάτης 1) Αό t 0 =0 έως t 1 =0,1 s Την στιγμή t 0 =0 το σώμα βρίσκεται δεξιά αό την θέση φυσικού μήκους και αέχει αό αυτήν S 1 =9,5S 0 και αό την θέση Σ αόσταση Α 1 =9,5S 0 S 0 =8,5 S 0. Εομένως θα εκτελέσει τμήμα αρμονικής ταλάντωσης με λάτος Α 1 =8,5 S 0. Εειδή την στιγμή t=0 βρίσκεται στην θέση x + =+A 1 η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: x+ = 8,5S 0ημ (10t + ). Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x+ + S0 = 8,5S 0ημ (10t + ) + S0 ) Αό t 1 =0,1 έως t =0, s Την στιγμή t 1 =0,1 το σώμα βρίσκεται αριστερά αό την θέση φυσικού μήκους και αέχει αό αυτήν S =7,5S 0 και αό την θέση Σ αόσταση Α =7,5S 0 S 0 =6,5 S 0. Εομένως θα εκτελέσει τμήμα αρμονικής ταλάντωσης με λάτος Α =6,5 S 0. Εειδή την στιγμή t 1 =0,1 βρίσκεται στην θέση x - =-A η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: 3 x = 6,5S0ημ 10(t 0,1 ) + = 6,5S 0ημ (10t + ). Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x S = 6,5S ημ (10t + ) S ) Αό t =0, έως t =0,3 s Την στιγμή t =0, το σώμα βρίσκεται δεξιά αό την θέση φυσικού μήκους και αέχει αό αυτήν S 3 =5,5S 0 και αό την θέση Σ αόσταση Α 3 =4,5 S 0. Εομένως θα εκτελέσει τμήμα αρμονικής ταλάντωσης με λάτος Α 3 =4,5 S 0. Εειδή την στιγμή t =0, βρίσκεται στην θέση x + =+A 3 η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: x+ = 4,5S0ημ 10(t 0, ) + = 4,5S 0ημ (10t + ). Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x+ + S = 4,5S ημ (10t + ) + S ) Αό t 3 =0,3 έως t 4 =0,4 s Την στιγμή t 3 =0,3 το σώμα βρίσκεται αριστερά αό την θέση φυσικού μήκους και αέχει αό αυτήν S 4 =3,5S 0 και αό την θέση Σ αόσταση Α 4 =,5 S 0. Εομένως θα εκτελέσει τμήμα αρμονικής ταλάντωσης με λάτος Α 4 =,5 S 0. 6

7 Μια φθίνουσα ταλάντωση, στην οοία η μείωση του λάτους δεν είναι εκθετική Εειδή την στιγμή t 3 =0,3 βρίσκεται στην θέση x - =-A 4 η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: 3 x =,5S0ημ 10(t 0,3 ) + =,5S 0ημ (10t + ). Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x S =,5S ημ (10t + ) S ) Αό t 4 =0,4 έως t 5 =0,5 s Την στιγμή t 4 =0,4 το σώμα αέχει αό την θέση φυσικού μήκους S 5 =1,5S 0 και αό την θέση Σ αόσταση Α 5 =0,5 S 0. Εομένως θα εκτελέσει τμήμα αρμονικής ταλάντωσης με λάτος Α 5 =0,5 S 0. Εειδή την στιγμή t 4 =0,4 βρίσκεται στην θέση x + =+A 4 η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: x+ = 0,5S0ημ 10(t 0, 4 ) + = 0,5S 0ημ (10t + ) Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x+ + S = 0,5S ημ (10t + ) + S Συνεώς η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους συναρτήσει του χρόνου είναι: 17 συν (10t) + 0 t 0,1 13 συν(10t) 0,1 t 0, x(t) = 9 συν (10t) + 0, t 0,3 5 συν (10t) 0,3 t 0,4 συν (10t) + 0, 4 t 0,5 Η αντίστοιχη γραφική αράσταση είναι: 7

8 Ε. Κορφιάτης Σχόλιο T Την στιγμή t n = (n) = nt το σώμα βρίσκεται δεξιά αό την θέση φυσικού μήκους και βρίσκεται στην θέση x+ =+ An+ 1. Η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: x+ = A n+ 1ημ ω(t nt) + = A n+ 1ημ( ω t + ) Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι: x = x + S = A ημ( ω t + ) + S + 0 n+ 1 0 T Την στιγμή t n+ 1 = (n+ 1) το σώμα βρίσκεται αριστερά αό την θέση φυσικού και βρίσκεται στην θέση x = An+. Η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση Σ είναι: (n + 1)T 3 x = An+ ημ ω t + = A n+ ημ( ω t + ) Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης αό την θέση φυσικού μήκους είναι x = x + S0 = A n+ ημ( ω t + ) S0. orfiatis@sch.gr 8