ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών"

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

2 Σκοποί Ενότητας Εισαγωγή σε χαρακτηριστικά του απλού διμεταβλητού υποδείγματος χρήσιμα για την περαιτέρω σωστή μελέτη του μαθήματος Για παράδειγμα η χρήση του χρόνου ως ανεξάρτητη μεταβλητή (τάσεις στις χρονοσειρές) Μετασχηματισμοί των δεδομένων των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών (ο συντελεστής κλίσης ως ελαστικότητα) Εισαγωγή στις έννοιες της στασιμότητας και μη-στασιμότητας (χρονοσειρές). ιαδικασία τυχαίου περιπάτου ή εξέλιξης (random walk) και στοχαστικές τάσεις έναντι των προσδιοριστικών (μη-στοχαστικών) τάσεων Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας (μία εναλλακτική μέθοδος) 2/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

3 Περιεχόμενα ενότητας 4.1 Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή 4.2 Λογαριθμικός-λογαριθμικός μετασχηματισμός 4.3 Λογαριθμικός-γραμμικός μετασχηματισμός 4.4 Γραμμικός-λογαριθμικός μετασχηματισμός 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Ιεράρχηση στοχαστικών υποθέσεων χωρίς σειριακή συσχέτιση Εργοδικές χρονοσειρές (ergodic time series) Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Μη στασιμότητα 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Άσκηση 4.7 Ιδιότητες εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας 4.8 Ασκήσεις 3/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

4 4.1 Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή Εστω ότι η ερμηνευτική μεταβλητή είναι ο ίδιος ο χρόνος, δηλαδή θέτουμε X t = t, t = 1,..., T όπου T το μέγεθος του δείγματος και γράφουμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα ως Y t = α + βt + u t, t = 1,..., T (1) Το υπόδειγμα (1) είναι «μη θεωρητικό» αφού καμμία μεταβλητή πλην του χρόνου δεν εισέρχεται ως ερμηνευτική, ενώ η γραμμική συνάρτηση α + βt απλώς «περιγράφει» την ανοδική (όταν β >0) ή καθοδική (όταν β <0) πορεία της μεταβλητής στο χρόνο. Άρα, ένα υπόδειγμα της μορφης (1) εφαρμόζεται (εκτιμάται) σε περιπτώσεις χρονοσειρών Y t οι οποίες εμφανίζουν (ανοδική ή καθοδική) «τάση». Μάλιστα η «τάση» θα πρέπει να ικανοποιεί κάποια χαρακτηριστικά, συγκεκριμένα να είναι γραμμική τουλάχιστον μέσα στο δείγμα. 4/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

5 4.1 Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή Με βάση την υπόθεση ότι E(u t ) = 0, η αναμενόμενη τιμή της Y t δίνεται από την E (Y t ) = α + βt είναι δηλαδή γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Άρα για μοναδιαίες μεταβολές του χρόνου t = t (t 1) = 1 δηλαδή για μεταβολές από την μία περίοδο στην άλλη ή από το χρόνο t 1 στο χρόνο t, η μέση μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίση με E (Y t Y t 1 ) = E ( Y t t ) = α + βt α β (t 1) = β Κατά συνέπεια ο συντελεστής β μετρά τη μέση μεταβολή της μεταβλητής Y t κάθε χρονική περίοδο. Παρομοίως, η μεταβολή μετά από d περιόδους δίνεται από E (Y t ) E (Y t d ) = βd 5/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

6 4.2 Λογαριθμικός-λογαριθμικός μετασχηματισμός Συχνά θα παρατηρήσουμε στην εμπειρική οικονομετρία τη χρήση λογαριθμισμένων μεταβλητών (εξαρτημένης και ανεξάρτητης) αντί των αρχικών. Ο εν λόγω μετασχηματισμός είναι χρήσιμος για πολλούς λόγους και φυσικά εφαρμόζεται όταν οι μεταβλητές λαμβάνουν θετικές και μόνο τιμές. Εκτιμούμε λοιπόν ένα υπόδειγμα της μορφής ln (Y i ) = α + β ln (X i ) + u i (2) Ο συντελεστής κλίσης β αντιστοιχεί στην ελαστικότητα της Y i ως προς τη X i αφού β = d ln (Y i) d ln (X i ) = dy i/y i dx i /X i = ε YX Άρα δεν χρειάζεται να προβούμε σε αλγεβρικούς υπολογισμούς για την εύρεση της ελαστικότητας, η οποία είναι απαλλαγμένη από τις μονάδες μέτρησης και συχνά παρέχει μία πιο άμεση και οικονομική ερμηνεία της σχέσης των μεταβλητών. 6/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

7 4.2 Λογαριθμικός-λογαριθμικός μετασχηματισμός Άρα το υπόδειγμα (2) υποθέτει σταθερή ελαστικότητα της Y i ως προς τη X i ή ότι η αρχική εξάρτηση της Y i πάνω στη X i είναι πολλαπλασιαστικού τύπου Y i = AX β i e ui. Ενα άλλο χαρακτηριστικό του λογαριθμικού μετασχηματισμού είναι η ικανότητά του να μειώνει την ασυμμετρία και την μεταβλητότητα των υπο-εξέταση μεταβλητών, στοιχεία τα οποία είναι κοινά στα οικονομικά δεδομένα. Συχνά, στα οικονομικά δεδομένα, μεταβλητές που λαμβάνουν μόνο θετικές τιμές παρουσιάζουν δεξιά ασυμμετρία και έχουν αυξημένη μεταβλητότητα. Τέλος, ο λογαριθμικός μετασχηματισμός, μέσω της μείωσης του εύρους μεταβλητότητας των δεδομένων, καθιστά τις μεταβλητές του υποδείγματος λιγότερο ευαίσθητες σε τυχόν ακραίες τιμές. 7/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

8 4.3 Λογαριθμικός-γραμμικός μετασχηματισμός Σύμφωνα με τον ημιλογαριθμικό μετασχηματισμό, σε ορισμένες περιπτώσεις λογαριθμίζουμε μόνο την εξαρτημένη μεταβλητή ln (Y i ) = α + βx i + u i Στην περίπτωση αυτή η ελαστικότητα της Y ως προς τη X δίνεται, για δεδομένη παρατήρηση i, από τον τύπο αφού και ε YX = βx i d ln (Y i ) dx i ε YX = d ln (Y i) d ln (X i ) = d ln (Y i) dx i /X i = = β ( d ln (Yi ) dx i ) X i = βx i 8/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

9 4.3 Λογαριθμικός-γραμμικός μετασχηματισμός ηλαδή η ελαστικότητα είναι ανάλογη του επιπέδου της μεταβλητής X. Η ερμηνεία της παραμέτρου β είναι η εξής όταν β >0: μία αύξηση (μείωση) της μεταβλητής X i κατά μία μονάδα οδηγεί σε μία (100 β)% αύξηση (μείωση) της μεταβλητής Y i Μετά την εφαρμογή της μεθόδου των ΕΤ, η εκτιμημένη ελαστικότητα υπολογίζεται με βάση το δειγματικό μέσο της ερμηνευτικής μεταβλητής δηλαδή ˆε YX = ˆβ X Η χρήση του ημι-λογαριθμικού μετασχηματισμού είναι ευρέως διαδεδομένη ειδικά σε περιπτώσεις που η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει μονάδα μέτρησης το χρόνο ή είναι ψευδομεταβλητή (δηλαδή λαμβάνει μόνο τις τιμές 0 και 1) και η εξαρτημένη μεταβλητή έχει τα γνωστά χαρακτηριστικά που επιτρέπουν να λογαριθμίσουμε, δηλαδή θετικές τιμές μόνο και κατά περίπτωση θετική ασυμμετρία και/ή μεταβλητότητα που εξαρτάται από το μέσο επίπεδο της μεταβλητής. 9/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

10 4.4 Γραμμικός-λογαριθμικός μετασχηματισμός Στην περίπτωση του γραμμικού-λογαριθμικού μετασχηματισμού Y i = α + β ln (X i ) + u i υποθέτουμε ότι η ελαστικότητα της Y ως προς τη X μεταβλητή είναι αντιστρόφως ανάλογη του επιπέδου της εξαρτημένης μεταβλητής Y. ηλαδή καθώς αυξάνεται η εξαρτημένη μεταβλητή Y, η αντίδρασή της στην ανεξάρτητη μεταβλητή X μειώνεται. Αναλυτικά η ελαστικότητα της Y ως προς την X δίνεται από τον τύπο dy i/y i d ln (X i ) = ε YX = d ln (Y i) d ln (X i ) = = β 1 d ln (X i ) Y i Y i και υπολογίζεται με βάση το εκτιμημένο υπόδειγμα μέσω της dy i 1 ˆε YX = ˆβ 1 Ȳ 10/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

11 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Χρονοσειρά ή χρονολογική σειρά είναι μία χρονικά διατεταγμένη ακολουθία παρατηρήσεων μεταβλητών, για παράδειγμα των μεταβλητών Y t ή X t στο απλό γραμμικό υπόδειγμα Y t = α + βx t + u t μολονότι ο όρος επεκτείνεται και σε μη παρατηρήσιμες ή υποθετικές μεταβλητές, όπως ο διαταρακτικός όρος u t στο παραπάνω υπόδειγμα. Για δεδομένο χρόνο t, η Y t θεωρείται τυχαία μεταβλητή. Η ιδιομορφία των χρονοσειρών έγκειται στο ότι αποτελούν μία οικογένεια τυχαίων μεταβλητών που εξελίσσονται στο χρόνο (στοχαστική διαδικασία (Stochastic process). Ετσι θεωρούμε ότι οι «παρατηρήσεις» {..., Y t 2, Y t 1, Y t, Y t+1, Y t+2,...} ή {Y t} + ή {Y t} προέρχονται από μία και μόνο «πραγματοποίηση» ενός τυχαίου πειράματος, ενώ συνήθως οι οικονομολόγοι παρατηρούν όχι απλώς μία πραγματοποίηση αλλά και ένα πεπερασμένο τμήμα της ακολουθίας, π.χ., {Y 1,..., Y T }. 11/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

12 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Η φύση λοιπόν των χρονοσειρών (μία μόνο πραγματοποίηση, η Y t 1 προηγείται της Y t ενώ έπεται η Y t+1 κ.ο.κ) είναι τέτοια που αναμένουμε γενικά οι Y t να μην είναι ανεξάρτητες και ειδικότερα να συσχετίζονται τουλάχιστον γραμμικά, Cov(Y t, Y s ) 0. Άρα η κλασσική υπόθεση της ανεξαρτησίας (π.χ., των διαταρακτικών όρων) είναι πολύ αυστηρή πόσο μάλλον όταν αναφέρεται σε οικονομικές χρονοσειρές. Στη συντριπτική τους πλειοψηφία (αν όχι όλες) οι μακροοικονομικές και χρηματοοικονομικές χρονοσειρές δεν μπορούν να χαρακτηριστούν ανεξάρτητες, δηλαδή ως μία ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Για όλους τους παραπάνω λόγους, γενικεύουμε την τάξη των υπο-εξέταση χρονοσειρών και γνωρίζουμε ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών με πλουσιότερες ιδιότητες από αυτές των ανεξάρτητων και ομοιογενώς κατανεμόμενων μεταβλητών (i.i.d) 1 ή απλώς ανεξάρτητων μεταβλητών (i.n.i.d) 2. 1 Independently and identically distributed. 2 Independently and non identically distributed. 12/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

13 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Αυστηρή στασιμότητα (strict stationarity). Η Y t είναι αυστηρώς στάσιμη αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των {Y t k..., Y t 2, Y t 1, Y t, Y t+1, Y t+2,..., Y t+k } είναι ανεξάρτητη του χρόνου t για όλα τα k. Είναι η σχετική θέση και όχι η απόλυτη θέση που είναι σημασίας για την κατανομή. Άρα, η από κοινού κατανομή των {Y 6, Y 10 } σε μία αυστηρώς στάσιμη διαδικασία θεωρείται ίδια με την από κοινού κατανομή των {Y 21, Y 25 } ή αυτή των {Y 1, Y 3, Y 5 } με αυτή των {Y 2, Y 4, Y 6 } κ.ο.κ. Ο μέσος, η διακύμανση και όλες οι ροπές υψηλότερης τάξης δεν εξαρτώνται από την απόλυτη τιμή του χρόνου t. Παράδειγμα. Μία ακολουθία i.i.d μεταβλητών είναι αυστηρώς στάσιμη. Άρα ο διαταρακτικός όρος του απλού γραμμικού υποδείγματος με βάση τις κλασσικές υποθέσεις είναι μία αυστηρώς στάσιμη διαδικασία. 13/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

14 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Η ιδιότητα της στασιμότητας μίας χρονοσειράς {Y t } επεκτείνεται και σε συναρτήσεις της, π.χ., και η { Y 2 t } είναι στάσιμη. Προσοχή, διότι ακόμα και αν όλα τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι μεμονωμένα στάσιμα, το διάνυσμα ως σύνολο μπορεί να μην είναι στάσιμο. Ασθενής ή κατά συνδιακύμανση στασιμότητα (weak or covariance stationarity). Η {Y t } είναι κατά συνδιακύμανση (ασθενώς) στάσιμη αν ο μέσος και η συνδιακύμανση των Y t είναι συναρτήσεις ανεξάρτητες του χρόνου άρα αν Όταν k = 0 τότε E (Y t ) = μ Cov (Y t, Y t k ) = γ Y (k) k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... Cov (Y t, Y t ) = Var (Y t ) = σ 2 = γ Y (0) αναφέρεται στη διακύμανση της Y t. 14/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

15 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Η συνάρτηση ρ Y (k) = γ Y (k) γ Y (0) ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης 3 (autocorrelation function, ACF) και αποδεικνύεται ότι 1 ρ Y (k) 1 Το «διάγραμμα» της ρ Y (k) ως προς το k ονομάζεται κορρελόγραμμα (correlogram). Όταν είναι σαφές ότι αναφερόμαστε στη χρονοσειρά Y t μπορούμε να παραλείπουμε τον υποδείκτη Y από το συμβολισμό των συναρτήσεων/ροπών, π.χ., γράφουμε μ, γ (k), ρ (k) αντί μ Y, γ Y (k), ρ Y (k). 3 Η αυτοσυσχέτιση καλείται και σειριακή συσχέτιση (serial correlation). Για παράδειγμα, αντί της έκφρασης «η Y t δεν αυτοσυσχετίζεται» μπορεί να δείτε την έκφραση «η Yt δεν συσχετίζεται σειριακά». Αντίστοιχα η συνάρτηση Cov(Yt, Y t k ) καλείται συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης (autocovariance function). 15/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

16 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Στασιμότητα Η δειγματική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εκτιμάται μέσω του ( Yt Y ) ( Y t k Y ) T ˆρ Y (k) = t=k+1 T ( Yt Y ) 2 t=1 ενώ ένα «προσεγγιστικό 4» τυπικό σφάλμα δίνεται από 1/ T. Όταν λοιπόν η τιμή της ˆρ Y (k) είναι μεγαλύτερη σε απόλυτους όρους από δύο φορές το τυπικό σφάλμα, δηλαδή ˆρ Y (k) > 2 T, θεωρούμε ότι η εκτίμηση ˆρ Y (k) είναι στατιστικά σημαντική ή ότι απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση H 0 : ρ Y (k) = 0, k 1 H 1 : ρ Y (k) 0, k 1 σε επίπεδο σημαντικότητας 5% που θέλει την υποκείμενη χρονοσειρά να μην αυτοσυσχετίζεται γραμμικά. 4 Θα γίνει κατανοητό σε επόμενες διαλέξεις γιατί χρησιμοποιούμε τον όρο «προσεγγιστικό». 16/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

17 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Ιεράρχηση στοχαστικών υποθέσεων χωρίς σειριακή συσχέτιση Ο παρακάτω πίνακας E (u t ) = 0, E ( u 2 ) t = σ2, E (u t u s ) = 0, t s λευκός θόρυβος Yπ1 u t I t ( 0, σ 2) περίπτωση «ακολουθίας διαφορών martingale» Yπ2 u t i.i.d ( 0, σ 2) ανεξάρτητος λευκός θόρυβος Yπ3 u t N.i.d ( 0, σ 2) Gaussian ανεξάρτητος λευκός θόρυβος Yπ4 «ταξινομεί» κάποιες υποθέσεις (συνθήκες σχετικά με την κατανομή και/ή τις ροπές της κατανομής των διαταρακτικών όρων) οι οποίες είναι πολύ συχνές στη σχετική οικονομετρική βιβλιογραφία. Θεωρήστε ότι το σύνολο I t εκφράζει όλη την πληροφόρηση που έχουμε μέχρι και το χρόνο t. 17/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

18 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Ιεράρχηση στοχαστικών υποθέσεων χωρίς σειριακή συσχέτιση Συνήθως θα υποθέτουμε ότι περιλαμβάνει τουλάχιστον τις παρατηρηθείσες τιμές της υπο-εξέταση μεταβλητής, έστω u t, μέχρι το χρόνο t δηλαδή I t = (u t, u t 1,...) και αντίστοιχα I t 1 = (u t 1, u t 2,...) Κάθε υπόθεση/συνθήκη υπονοεί την ακριβώς από πάνω της χωρίς να συμβαίνει και το αντίστροφο. Καθώς «κινούμαστε» από την Υπ1 στην Υπ4 οι ιδιότητες που προσδίδουμε στη χρονοσειρά u t γίνονται ολοένα και πιο αυστηρές δηλαδή κατέχουμε (υποθέτουμε ότι κατέχουμε) ολοένα και περισσότερη πληροφόρηση σχετικά με την u t. Οπότε, καθώς κινούμαστε από την υπόθεση Υπ1 στην Υπ4, η στατιστική επαγωγή με βάση κατάλληλα τυποποιημένες συναρτήσεις των u t διευκολύνεται. 18/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

19 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Εργοδικές χρονοσειρές (ergodic time series) Θα λέμε ότι μία ασθενώς στάσιμη χρονοσειρά {Y t } είναι εργοδική όταν γ (k) = Cov (Y t, Y t k ) 0 καθώς k + Για παράδειγμα αν E (Y t ) = μ, Var (Y t ) = σ 2 και Cov (Y t, Y t k ) = 2 τότε η Y t είναι (ασθενώς) στάσιμη όμως δεν είναι εργοδική αφού η αυτοσυνδιακύμανση δεν τείνει στο μηδέν καθώς αυξάνει η χρονική απόσταση των παρατηρήσεων της Y t. Τέτοιες περιπτώσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες στην οικονομετρία αφού δεν αντιστοιχούν σε παρατηρούμενες ή θεωρητικές οικονομικές χρονοσειρές. Αν υποθέσουμε ότι η μόνη εξάρτηση που υπάρχει στη χρονοσειρά είναι γραμμική σειριακή εξάρτηση (γραμμική συσχέτιση) και η χρονοσειρά είναι στάσιμη, τότε είναι λογικό (για οικονομικές χρονοσειρές) να υποθέσουμε ότι η εξάρτηση φθίνει στο μηδέν καθώς οι παρατηρήσεις απομακρύνονται χρονικά. 19/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

20 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Το υπόδειγμα AR(1) Το υπόδειγμα που θα παρουσιάσουμε παρακάτω είναι από τα πλέον συνηθισμένα στη σύγχρονη οικονομετρία λόγω της απλότητάς του, της διαισθητικής του ερμηνείας καθώς και της «επιτυχίας» του στην υποδειγματοποίηση της εξάρτησης οικονομικών χρονοσειρών. Ονομάζεται «αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 5 πρώτης τάξης» ή αλλιώς AR(1) υπόδειγμα και λαμβάνει τη μορφή, Y t = α + 'Y t 1 + u t (3) όπου u t είναι λευκός θόρυβος 5 Η αυτοπαλίνδρομο σχήμα (autoregressive model or scheme). 20/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

21 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Το παραπάνω υπόδειγμα συνδέει τη μεταβλητή Y t με το «παρελθόν» της. Το υπόδειγμα όπως δίνεται στη σχέση (3) είναι ίσως παραπλανητικό ως προς την έκταση της σειριακής συσχέτισης της χρονοσειράς αφού μία πρώτη «αφελής» διατύπωση θα ήθελε την Y t να εξαρτάται άμεσα μόνο από το πρόσφατο παρελθόν της, και ειδικότερα από την τιμή της μεταβλητής μία χρονική περίοδο πριν, δηλαδή την Y t 1. Όμως, μία τέτοια θεώρηση θα ήταν εσφαλμένη. Y t = όταν ' <1 α + 1 ' + ' j u t j j=0 21/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

22 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Εξετάζοντας τις ροπές της AR(1) διαδικασίας έχουμε σχετικά με το μέσο ότι E (Y t ) = = = α + 1 ' + ' j E ( ) u t j j=0 α + 1 ' + ' j 0 j=0 α 1 ' Άρα η ύπαρξη σταθερού όρου στο AR(1) υπόδειγμα ισοδυναμεί με την ύπαρξη μη μηδενικού μέσου. 22/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

23 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Αναλυτικά, η διακύμανση σ 2 Y ή γ Y (0) ή Var (Y t ) της χρονοσειράς Y t δίνεται από ( + + ) Var (Y t ) = E ' j u t j ' i u t i j=0 i=0 = E ( u t + 'u t 1 + ' 2 u t ) ( u t + 'u t 1 + ' 2 u t ) = σ 2 u + ' 2 σ 2 u + ' 4 σ 2 u + ' 6 σ 2 u +... ( ) 1 + ' 2 + ' 4 + ' = σ 2 u + = σ 2 u j=0 = σ 2 u 1 ' 2 ( ' 2 ) j 23/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

24 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Η συνδιακύμανση δίνεται ως εξής. Αφού και Y t = + j=0 ' j u t j Y t k = + j=0 ' j u t k j 24/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

25 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών έχουμε ότι γ Y (k) = E (Y t Y t k ) = E (u t + 'u t ) (u t k + 'u t k ) σ 2 u = 1 ' 2 'k = σ 2 Y' k Επομένως, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για την στάσιμη AR(1) χρονοσειρά Y t του υποδείγματος (3) δίνεται από ρ Y (k) = γ Y (k) γ Y (0) = σ2 Y' k σ 2 = ' k Y 25/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

26 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Το υπόδειγμα AR(p) Εστω το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 6 τάξεως p ή αλλιώς υπόδειγμα AR(p) y t = α + ' 1 y t 1 + ' 2 y t ' p y t p + u t, όπου u t λευκός θόρυβος t = 1,..., T Μία AR(p) διαδικασία ή χρονοσειρά y t μπορεί να ξαναγραφεί ως όπου ' (L) y t = α + u t ' (L) = 1 ' 1 L ' 2 L 2... ' p L p ένα πολυώνυμο p τάξεως του τελεστή υστέρησης 7 L. 6 Θα υιοθετήσουμε μικρά γράμματα για να συμβολίσουμε τις χρονοσειρές 7 Εστω ότι j ακέραιος. Τότε ο τελεστής υστέρησης δίνει L j y t = y t j. Για σταθερούς όρους, π.χ., α, ισχύει ότι L j α = α. 26/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

27 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Επειδή το L είναι ένας τελεστής συνηθίζεται, όταν προβαίνουμε σε αλγεβρικές πράξεις, να γράφουμε ' (z) αντί ' (L). Η συνθήκη στασιμότητας γενικά για AR(p) χρονοσειρές δίνεται ως εξής: «όλες οι ρίζες r j, για j = 1,..., p του πολυωνύμου ' (z) πρέπει να βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου» ηλαδή αν ' ( r j ) = 0 τότε πρέπει η ρίζα rj >1 για κάθε j ώστε η yt να είναι ασθενώς στάσιμη. Αν κάποια ρίζα r j του πολυωνύμου είναι μιγαδική, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί ως r j = α ± bi όπου α, b είναι πραγματικοί αριθμοί και i = 1, τότε r j = a 2 + b 2 27/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

28 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Παραδείγματα ασθενώς στάσιμων χρονοσειρών Για παράδειγμα, έστω ένα AR(2) υπόδειγμα y t = 0.85y t y t 2 + u t Η συνθήκη στασιμότητας επιβάλλει οι ρίζες του πολυωνύμου ' (z) = z z 2 να βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Εχουμε ότι ' (z) = 0 r 1,2 = ± 0.966i και r 1,2 = οπότε η χρονοσειρά y t είναι στάσιμη. (1.847) 2 + (0.966) 2 = >1 28/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

29 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Μη στάσιμες (nonstationary) καλούνται οι χρονοσειρές για τις οποίες τουλάχιστον μία ροπή τους εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. Συνήθως, η οικονομετρική θεωρία περιορίζεται στις δύο πρώτες ροπές ή από κοινού ροπές δηλαδή το μέσο, τη διακύμανση και τη αυτοσυνδιακύμανση ή αυτοσυσχέτιση. Οπτικά, οι μη στάσιμες χρονοσειρές εμφανίζουν ορισμένα πρόδηλα χαρακτηριστικά. ύο από αυτά είναι η εμφάνιση έντονων «δομών» ή «σχηματισμών» (structures or patterns) και η δεύτερη είναι η εμφάνιση «τάσεων» (trends). Ως παράδειγμα μπορούμε να δούμε τα παρακάτω δύο διαγράμματα τα οποία παρουσιάζουν δύο πραγματοποιήσεις μη στάσιμων χρονοσειρών. 29/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

30 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Ενα δημοφιλές υπόδειγμα «γέννησης» μίας μη στάσιμης χρονοσειράς {y t } είναι το παρακάτω y t = α + bt + u t, t = 1, 2,..., T όπου υποθέτουμε ότι η χρονοσειρά u t των διαταρακτικών όρων του υποδείγματος είναι στάσιμη. Για παράδειγμα, μπορούμε να υιοθετήσουμε για την u t κάποια από τις υποθέσεις Υπ1, Υπ2, Υπ2α, Υπ3, Υπ4 ή γενικότερα μπορούμε να υποθέσουμε ότι η χρονοσειρά u t αυτοσυσχετίζεται αλλά είναι στάσιμη με μηδενικό μέσο. Είναι εμφανές ότι ο μέσος της σειράς {y t } (δεσμευμένος ή μη) εξαρτάται γραμμικά από το χρόνο. 30/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

31 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα E (y t ) = α + βt ενώ διακύμανση και συνδιακύμανση δεν εξαρτώνται άμεσα από το χρόνο αφού Var (y t ) = σ 2 y = σ 2 u και Cov (y t, y t k ) = γ y (k) = γ u (k) Χρονοσειρές με μη στασιμότητα αυτού του τύπου ονομάζονται και «στάσιμες γύρω από τάση» (trend stationary) και μπορούν να γενικευτούν ως προς την υποδειγματοποίηση της μέσης τιμής της y t χρησιμοποιώντας πολυώνυμα του χρόνου μεγαλύτερης τάξης, για παράδειγμα y t = β 0 + β 1 t + β 2 t β k t k + u t ή και πιο σύνθετες μη γραμμικές συναρτήσεις του χρόνου, y t = f (t) + u t, με την {u t } να θεωρείται πάντα μία ασθενώς στάσιμη χρονοσειρά μηδενικού μέσου. 31/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

32 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Ενα άλλο δημοφιλές παράδειγμα μη στάσιμων χρονοσειρών, ίσως το σημαντικότερο στη σύγχρονη οικονομετρία χρονοσειρών, είναι αυτές οι οποίες καθίστανται στάσιμες μετά την εφαρμογή του τελεστή πρώτων διαφορών. Οι χρονοσειρές αυτού του τύπου ονομάζονται «στάσιμες μέσω πρώτων διαφορών» (difference stationary). Εστω ότι η χρονοσειρά {y t } δημιουργείται από το υπόδειγμα τυχαίας εξέλιξης ή τυχαίου περιπάτου (random walk) y t = y t 1 + u t, u t i.i.d ( 0, σ 2 u ή από το υπόδειγμα τυχαίας εξέλιξης με μετατόπιση (random walk with drift) y t = a + y t 1 + u t, u t i.i.d ( 0, σ 2 ) u (5) ) (4) 32/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

33 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Αποδεικνύεται εύκολα όταν λύσουμε προς τα πίσω (backwards solution) ότι χρονοσειρές που «δημιουργούνται» σύμφωνα με τα υποδείγματα (4) και (5) μπορούν να γραφούν αντίστοιχα ως και y t = y 0 + y t = y 0 +at + όπου ο όρος t j=1 t j=1 t j=1 u j ή y t = t j=1 u j ή y t = at + u j αν θέσουμε την αρχική τιμή y 0 = 0 t j=1 u j αν θέσουμε την αρχική τιμή y 0 = 0 u j καλείται «στοχαστική τάση» (stochastic trend) σε αντίθεση με τον όρο αt ο οποίος αντιστοιχεί στην προσδιοριστική τάση. 33/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

34 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα ο μέσος, η διακύμανση, η συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης και αυτοσυσχέτισης δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις μ Y = E (y t ) = 0 σ 2 Y = γ Y (0) = Var (y t ) = tσ 2 u (6) γ Y (k) = Cov (y t, y t k ) = (t k) σ 2 u, k 1 ρ Y (k) = γ Y (k) γ Y (0) = (t k) σ2 u tσ 2 = 1 k, k 1 u t ενώ αν δημιουργείται από ένα υπόδειγμα τυχαίου περιπάτου με μετατόπιση οι αντίστοιχες ροπές δίνονται από τις σχέσεις μ Y = E (y t ) = at σ 2 Y = γ Y (0) = Var (y t ) = tσ 2 u (7) γ Y (k) = Cov (y t, y t k ) = (t k) σ 2 u, k 1 ρ Y (k) = γ Y (k) γ Y (0) = (t k) σ2 u tσ 2 u = 1 k t, k 1 34/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

35 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Είναι εμφανές ότι σε κάθε περίπτωση η χρονοσειρά είναι μη στάσιμη αφού τουλάχιστον η διακύμανση και η συνδιακύμανση αποτελούν συναρτήσεις του χρόνου. Εφαρμόζοντας τον τελεστή πρώτων διαφορών = (1 L) στην χρονοσειρά y t στο υπόδειγμα τυχαίας εξέλιξης χωρίς μετατόπιση καταλήγουμε σε μία στάσιμη χρονοσειρά, αφού y t = y t 1 + u t y t y t 1 = u t y t = u t και παρομοίως στο υπόδειγμα τυχαίας εξέλιξης με μετατόπιση y t = α + u t Αυτού του τύπου οι μη στάσιμες χρονοσειρές καλούνται και ολοκληρώσιμες πρώτης τάξης, I(1), (integrated of order 1) ενώ αντίστοιχα η σειρά y t καλείται ολοκληρώσιμη μηδενικής τάξης, I(0), αφού δεν χρειάζεται να εφαρμόσουμε πρώτες διαφορές για να έχουμε στασιμότητα. 35/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

36 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Το ζήτημα της μη στασιμότητας των οικονομικών χρονοσειρών αποτέλεσε τον κυρίαρχο άξονα έρευνας τα τελευταία - τουλάχιστον - 20 χρόνια στην οικονομετρία χρονοσειρών αφού, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, το ζήτημα των πλασματικών συσχετίσεων μεταξύ μη στάσιμων χρονοσειρών είναι άμεσο και έντονο. Η σύγχρονη οικονομετρική πρακτική αφαιρεί τις «τάσεις» είτε αυτές είναι προσδιοριστικές είτε στοχαστικές και κατόπιν προβαίνει σε εκτίμηση και επαγωγή των παραμέτρων ενδιαφέροντος, αφού σε αντίθετη περίπτωση οποιαδήποτε ευρήματα κινδυνεύουν να χαρακτηριστούν «πλασματικά». 36/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

37 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Πρέπει να αναφέρουμε ότι και οι δύο τρόποι υποδειγματοποίησης της μη στασιμότητας είναι «μη θεωρητικές» αφού υποδηλώνουν άγνοια σχετικά με τη δημιουργία της τάσης στη χρονοσειρά ενώ έχουν και γενικότερα σημαντικές επιπτώσεις στη διαδικασία της εμπειρικής έρευνας. Για παράδειγμα, αν η τάση είναι προσδιοριστική τότε η χρονοσειρά τείνει μακροχρόνια να επιστρέφει στο μέσο της (δηλαδή στην γραμμική ή άλλη προσδιοριστική τάση) οι διαταράξεις u t έχουν αποτελέσματα τα οποία φθίνουν με το πέρασμα του χρόνου 8 ενώ η διακύμανση του σφάλματος πρόβλεψης E (y t+h ŷ t+h ) 2, όπου ŷ t+h υποδηλώνει την πρόβλεψη της χρονοσειράς h περιόδους μετά το τέλος του δείγματος, T, είναι σταθερή για κάθε ορίζοντα πρόβλεψης h. 8 Τέτοιου είδους αποτελέσματα, ως συνάρτηση του χρονικού ορίζοντα στον οποίο εκδηλώνονται, ονομάζονται και «συναρτήσεις απόκρισης σε αιφνίδιες διαταραχές» (impulse response functions), ένα θέμα στο οποίο δεν θα επεκταθούμε περισσότερο. 37/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

38 4.5 Στασιμότητα και μη στασιμότητα Μη στασιμότητα Αν η τάση είναι στοχαστική τότε η υποκείμενη σειρά δεν τείνει μακροχρόνια προς κάποιο μέσο (ή τάση) οι διαταράξεις έχουν «μόνιμα» μη φθίνοντα αποτελέσματα στη χρονοσειρά ενώ η διακύμανση του σφάλματος πρόβλεψης αυξάνει καθώς αυξάνεται ο ορίζοντας της πρόβλεψης, h. 38/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

39 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Σε αυτή την ενότητα θα γνωρίσουμε μία νέα μέθοδο εκτίμησης παραμέτρων ενδιαφέροντος. Η μέθοδος ονομάζεται «μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας» (maximum likelihood method, ML) και προϋποθέτει γνώση της κατανομής από την οποία προέρχονται τα δεδομένα 9. Εστω ένα τυχαίο δείγμα {z 1, z 2,..., z n } από μία κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (z θ) όπου θ Θ R k είναι ένα k-διάστατο διάνυσμα άγνωστων παραμέτρων και Θ ένας δοσμένος παραμετρικός χώρος. ηλαδή τα δεδομένα δημιουργήθηκαν με βάση μία συγκεκριμένη κατανομή f (z ), η οποία χαρακτηρίζεται από την τιμή της παραμέτρου θ. 9 Στην οικονομετρία είναι συχνό φαινόμενο να μη γνωρίζουμε την κατανομή των δεδομένων ή του διαταρακτικού όρου. Στις περιπτώσεις αυτές συνήθως «επιβάλλουμε» την υπόθεση της κανονικής κατανομής παρότι κάτι τέτοιο μπορεί να μην ισχύει. Τότε, η μέθοδος εκτίμησης ονομάζεται «μέθοδος οιονεί μεγίστης πιθανοφάνειας» (quasi-maximum likelihood method). 39/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

40 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Η ανεξαρτησία 10 των z 1, z 2,..., z n συνεπάγεται ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (z 1, z 2,..., z n θ) γράφεται ως το γινόμενο των επιμέρους οριακών συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας f (z 1, z 2,..., z n θ) = n i=1 f (z i θ) 10 Ενα τυχαίο δείγμα z 1, z 2,..., z n συνεπάγεται ότι οι z 1, z 2,..., z n είναι ανεξάρτητες. 40/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

41 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγματος (sample likelihood) L n (θ z 1, z 2,..., z n ) ή L n (θ) ορίζεται σε αυτή την περίπτωση ως n L n (θ) = i=1 f (z i θ) όπου τα τυχαία στοιχεία της συνάρτησης πυκνότητας αντικαθιστώνται από τα αντίστοιχα παρατηρούμενα στοιχεία του δείγματος z 1, z 2,..., z n και η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μετατρέπεται σε συνάρτηση της παραμέτρου θ. 41/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

42 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Η αρχή της μεγιστοποίησης της συνάρτησης L n (θ) ως προς την παράμετρο θ ερμηνεύεται ως «εύρεση της τιμής της παραμέτρου θ που καθιστά την πιθανότητα παρατήρησης του συγκεκριμένου δείγματος z 1, z 2,..., z n όσο το δυνατόν μεγαλύτερη». Στην περίπτωση που δεν έχουμε τυχαίο δείγμα ή στην περίπτωση που υποπτευόμαστε εξάρτηση των παρατηρήσεων του δείγματος, π.χ., όταν μελετούμε χρονοσειρές, τότε αναλύουμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (z 1, z 2,..., z T θ) στο γινόμενο των δεσμευμένων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας f (z 1, z 2,..., z T θ) = f (z T z T 1, z T 2,..., z 1 ; θ) f (z T 1 z T 2, z T 3,..., z 1 ; θ)... f (z 2 z 1 ; θ) f (z 1 θ) = f (z 1 θ) 42/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61 T t=2 f (z t I t 1 ; θ)

43 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας όπου I t 1 συμβολίζει το πληροφοριακό σύνολο I t 1 = {z t 1, z t 2,..., z 1 } γιά t 2 Ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας του θ θα συμβολίζεται με θ ML και δίνεται από θ ML = arg max L n (θ) θ Ο συμβολισμός argmax (argument that maximizes) υποδηλώνει τη συχνή αδυναμία εύρεσης αναλυτικής λύσης (δηλαδή λύσης κλειστής μορφής) στο πρόβλημα μεγιστοποίησης, αφού στις περισσότερες των περιπτώσεων οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι μη γραμμικές εξισώσεις. dl n (θ) θ = 0 43/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

44 4.6 Μέθοδος εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας Πριν προβούμε στην παρουσίαση δύο παραδειγμάτων εφαρμογής της μεθόδου, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι το διάνυσμα των παραμέτρων θ θα πρέπει να ταυτοποιείται δηλαδή να είναι δυνατή η εκτίμησή του με βάση τη συνάρτηση πιθανοφάνειας. Τέλος, να αναφέρουμε, ότι η μέθοδος έχει και άλλες στατιστικές απαιτήσεις πέραν της γνώσης της υποκείμενης κατανομής και τη ταυτοποίησης, όπως την ομαλότητα της συνάρτησης πιθανοφάνειας που βεβαιώνει την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης πιθανοφάνειας κ.α. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε δύο παραδείγματα εκτίμησης παραμέτρων με άμεση εφαρμογή στην οικονομετρική πρακτική. 44/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

45 4.6.1 Άσκηση Στη δεύτερη άσκηση, σχετική με το κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα y i = α + βx i + u i, u i N.i.d(0, σ 2 u ), i = 1,..., n σκοπός μας είναι η εκτίμηση των παραμέτρων του πληθυσμού θ = ( α, β, σ 2 u ) με τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας και η σύγκριση των εκτιμητών θ ML = ( α ML, β ML, σ 2 ) u,ml με αυτών της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων (ΕΤ). 45/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

46 4.6.1 Άσκηση Για ευκολία, θεωρήστε την ερμηνευτική μεταβλητή x i, i = 1,..., n ως μη στοχαστική. Η λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας ln L n ( α, β, σ 2 u ) δίνεται από την ln L n ( α, β, σ 2 u ) = n 2 ln 2π n 2 ln σ2 1 2σ 2 = n 2 ln 2π n 2 ln σ2 1 2σ 2 n u 2 i i=1 n i=1 (y i α βx i ) 2 46/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

47 4.6.1 Άσκηση Οι συνθήκες πρώτης τάξης δίνονται από τις εξισώσεις ln L n n α = 0 (y i α βx i ) = 0 i=1 ln L n n β = 0 (y i α βx i ) x i = 0 i=1 ln L n n 2σ ( σ 2) 2 σ 2 = 0 u n i=1 (y i α βx i ) 2 = 0 47/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

48 4.6.1 Άσκηση οι οποίες έχουν λύση α ML = ȳ β ML x β ML = n (y i ȳ) (x i x) i=1 n (x i x) 2 i=1 n û 2 i i=1 σ 2 ML = 1 n με τους εκτιμημένους διαταρακτικούς όρους û = y i α ML β ML x i να ταυτίζονται με τα κατάλοιπα της μεθόδου των ΕΤ. 48/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

49 4.6.1 Άσκηση Ως άσκηση, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η εσσιανή μήτρα των δεύτερων παραγώγων 2 ln L n θ θ είναι αρνητικά ορισμένη όταν υπολογιστεί στο στάσιμο σημείο θ ML άρα οι εκτιμητές α ML, β ML, σ ( ) 2 ML μεγιστοποιούν τη συνάρτηση ln L n α, β, σ 2 u. 49/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

50 4.7 Ιδιότητες εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας Κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες «ομαλότητας» (regularity conditions) της συνάρτησης πιθανοφάνειας, οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας επιδεικνύουν έναν αριθμό ελκυστικών ασυμπτωτικών 11 ιδιοτήτων που τους καθιστούν δημοφιλείς στην εφαρμοσμένη ανάλυση. Οι ιδιότητες αυτές συνοψίζονται παρακάτω και θα γίνουν κατανοητές όταν ασχοληθούμε με την ασυμπτωτική ανάλυση στο κεφάλαιο 8: (α) καθώς το δείγμα τείνει στο άπειρο - δηλαδή καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνει ή αλλιώς σε μεγάλα δείγματα - οι εκτιμητές συμπίπτουν με τις παραμέτρους που εκτιμούν 12 (β) καθώς το δείγμα τείνει στο άπειρο, οι εκτιμητές είναι αποτελεσματικοί δηλαδή έχουν την μικρότερη δυνατή διακύμανση ή αλλιώς επιτυγχάνουν τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια, (γ) καθώς το δείγμα τείνει στο άπειρο, κατάλληλα τυποποιημένες συναρτήσεις των εκτιμητών κατανέμονται κανονικά 11 Ασυμπτωτικά σημαίνει καθώς το δείγμα τείνει στο άπειρο (θεωρητικά). 12 Ιδιότητα συνέπειας. Θα γίνει επίσης κατανοητή στο κεφάλαιο 8. 50/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

51 4.8 Ασκήσεις 51/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

52 4.8 Ασκήσεις: Άσκηση 1 52/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

53 4.8 Ασκήσεις: Άσκηση 2 53/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

54 Τέλος ενότητας 54/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

55 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 55/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

56 Σημειώματα 56/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

57 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Εργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση /61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

58 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Ιωάννης Βενέτης, Αναπλ. Καθηγητής. «Οικονομετρία. Τίτλος ενότητας». Εκδοση: 1.0. Πάτρα 2015 ιαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: eclass.upatras.gr/courses/econ /61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

59 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια ιανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, ιεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 59/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

60 ιατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση ιατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 60/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

61 Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων Το Εργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Ιωάννης Α. Βενέτης (2013). Εισαγωγή στην Οικονομετρία, GOTSIS Εκδόσεις, Πάτρα, ISBN /61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο Πατρών) Οικονομετρία, Ενότητα 4 Μάϊος / 61

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Απλό γραμμικό υπόδειγμα και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Οικονομετρία. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Οικονομετρία. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/40 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 5: Το πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 5: Το πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Το πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/96 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε:

Α) Ανάλογα με τη φύση των κονδυλίων που περιλαμβάνουν οι προϋπολογισμοί διακρίνονται σε: Ο διαγωνισμός της Εθνικής Σχολής Δημόσιας Διοίκησης προϋποθέτει, ως γνωστόν, συνδυασμό συνδυαστικής γνώσης της εξεταστέας ύλης και θεμάτων πολιτικής και οικονομικής επικαιρότητας. Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα! Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0)

Φόρμα Σχεδιασμού Διάλεξης (ημ/α: 17/03/08, έκδοση: 1.0) 1. Κωδικός Μαθήματος: (Εισαγωγή στον Προγραμματισμό) 2. Α/Α Διάλεξης: 1 1. Τίτλος: Εισαγωγή στους υπολογιστές. 2. Μαθησιακοί Στόχοι: Συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των γλωσσών προγραμματισμού και των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επιμέλεια σύνταξης απαντήσεων: Μαρία Πέτρα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κλάδος: ΠΕ 60 ΝΗΠΙΑΓΩΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Ειδική Διδακτική και Παιδαγωγικά Γενική Διδακτική) Κυριακή 1-2-2009 ΕΡΩΤΗΜΑ 2ο: Την τελευταία περίπου πενταετία εφαρμόζεται στα νηπιαγωγεία

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος

23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος 23/2/07 Sleep out Πλατεία Κλαυθμώνος Μια βραδιά στο λούκι με τους αστέγους «Έχετε ποτέ σκεφτεί να κοιμηθείτε μια χειμωνιάτικη νύχτα στο δρόμο;» Με αυτό το ερώτημα απευθύναμε και φέτος την πρόσκληση στους

Διαβάστε περισσότερα

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26

Opinion Mining. Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr. Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Opinion Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Μάιος 2014 Χριστίνα Αραβαντινού Opinion Mining Μάιος 2014 1 / 26 Περιεχόμενα Εισαγωγή Εφαρμογές ομή μιας άποψης Είδη απόψεων Προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά

Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά Κεφάλαιο 2.3: Marketing Κοινωνικών Επιχειρήσεων Περίληψη Κεφαλαίου: Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται εν τάχει τα βασικά χαρακτηριστικά του μείγματος Marketing (Μ.Κ.Τ.), στο πλαίσιο της εύρυθμης λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα