Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών"

Transcript

1 Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

2

3 Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες Markov σε συνεχή χρόνο Εστω S ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο. (Για παράδειγμα τα σύνολα {, 2,..., m} όπου m N, {, 2, 3,...}, ή {..., 2,, 0,, 2,...}.) Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εξετάσουμε στοχαστικές διαδικασίες οι οποίες παίρνουν τιμές στο σύνολο S και εξελίσονται σε συνεχή χρόνο, δηλαδή διαδικασίες {X t ; t 0}. Συνεπώς για κάθε δεδομένο ω Ω η X t (ω) είναι μια συνάρτηση [0, ) : S. Θα υποθέσουμε επίσης ότι με πιθανότητα ένα η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής από τα δεξιά και έχει όρια από τα αριστερά. Αυτό σημαίνει ότι με πιθανότητα το όριο lim s t X s υπάρχει για κάθε t και X s lim t s X t. Μαρκοβιανή Ιδιότητα. Η διαδικασία {X t ; t 0} έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα αν για κάθε n N, 0 s 0 < s < < s n < t και i 0, i,..., i n, j S, P(X t j X s0 i 0, X s i,..., X sn i n ) P(X t j X sn i n ). (.) Αν η διαδικασία {X t ; t 0} έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα ϑα ονομάζεται διαδικασία Markov. Ορισμός.. Μια διαδικασία Markov ονομάζεται χρονικά ομογενής αν για κάθε 0 s < t και i, j S, P(X t j X s i) P(X t s j X 0 i). Πιθανότητες Μετάβασης. Εστω {X t ; t 0} μια χρονικά ομογενής αλυσίδα Markov. Για κάθε 0 t και κάθε i, j S ορίζουμε τις συναρτήσεις P i j (t) : P(X t j X 0 i). (.2) Αν υποθέσουμε ότι ο χώρος καταστάσεων S είναι πεπερασμένος, π.χ. S {, 2,..., N} τότε για κάθε t 0 ο πίνακας P(t) με στοιχεία P i j (t) είναι ένας στοχαστικός πίνακας με P i j (t) 0 και N j P i j (t) για κάθε i, 2,..., N. 3

4 Οι πιθανότητες μετάβασης και η αρχική κατανομή p i : P(X 0 i) προσδιορίζουν πλήρως τις πεπερασμένων διαστάσεων κατανομές της διαδικασίας υπό την έννοια ότι για κάθε 0 < t < t 2 < < t n και κάθε i,..., i n S, P(X t i, X t2 i 2,..., X tn i n ) P(X t i )P i i 2 (t 2 t )P i2 i 3 (t 3 t 2 ) P in i n (t n t ) p i0 P i0,i (t) P i i 2 (t 2 t )P i2 i 3 (t 3 t 2 ) P in i n (t n t ). (.3) i 0 S Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει εύκολα από την Μαρκοβιανή ιδιότητα, την χρονική ομογένεια και τον ορισμό των πιθανοτήτων μετάβασης..2 Ιδιότητες του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Παρατηρούμε ότι για κάθε i, j S P i j (0) P(X 0 j X 0 i) δ i j : { αν i j 0 αν i j. Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov. Οι πιθανότητες μετάβασης ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις: P i j (s + t) : P ik (s)p k j (t), για κάθε s, t > 0. (.4) k S Μπορεί να αποδειχθεί (αλλά δεν ϑα το κάνουμε εδώ για να αποφύγουμε τις μαθηματικές δυσκολίες που προκύπτουν) ότι τα εξής όρια υπάρχουν: q i j lim δ 0 δ P i j(δ), i j, (.5) q ii lim δ 0 δ (P ii(δ) ). (.6) d Παρατηρείστε ότι τα παραπάνω όρια είναι οι παράγωγοι dt P i j(t) t0 q i j. Επίσης, παρατηρείστε ότι, δεδομένου ότι αφού P i j (δ) 0, q i j 0 για i j. Επίσης, αφού P ii (δ), q ii 0. Θα υποθέσουμε επιπλέον ότι για κάθε i, j οι παράγωγοι αυτές είναι πεπερασμένοι. Υποθέτοντας ότι μπορούμε να εναλλάξουμε την σειρά άθροισης και παραγώγισης, κάτι που ισχύει πάντα όταν ο χώρος καταστάσεων S είναι πεπερασμένος, δεδομένου ότι j S P i j (t), d P i j (t) dt j S P i j (t) 0 Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για t 0 παίρνουμε j S q i j 0 ή j S q ii q i j (.7) j i

5 Ορίζουμε τον πίνακα των ρυθμών ο οποίος επίσης ονομάζεται γεννήτωρας της διαδικασίας Q ως τον πίνακα με στοιχεία q i j. Παρατηρείστε ότι τα μη διαγώνια στοιχεία του Q είναι ϑετικά ή μηδέν ενώ τα διαγώνια στοιχεία του Q είναι αρνητικά ή μηδέν. Επιπλέον, λόγω της (.7), το άθροισμα κάθε γραμμής του πίνακα είναι 0. ως Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων, οι εξισώσεις Chapman-Kolmogorov γράφονται P(s + t) P(s)P(t). (.8) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς s παίρνουμε P (s+t) P (s)p(t) και ϑέτοντας s 0 έχουμε P (t) QP(t), (.9) P (t) P(t)Q. (.0) Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει με τον ίδιο τρόπο γράφοντας την (.8) ως P(s + t) P(t)P(s) και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία. Η (.9) ονομάζεται οπισθοδρομική εξίσωση του Kolmogorov ενώ η (.0) προδρομική. Η (.8) είναι μία διαφορική εξίσωση πινάκων η οποία, μαζί με την αρχική συνθήκη P(0) I δίνει P(t) e Qt def n! Qn t n. (.) Πίνακες Μετάβασης. Θεωρούμε την οικογένεια από πίνακες (με παράμετρο t) P i j (t) : P(X t j X 0 i). Παρατηρούμε ότι P(0) I, ο μοναδιαίος πίνακας. Αν p i P(X 0 i) είναι η πιθανότητα ότι η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση i τη χρονική στιγμή t 0, τότε P(X t j) i p i P i j (t). Ρυθμοί μετάβασης. Οταν το δ είναι πολύ μικρό P k j (δ) q k j δ + o(δ) για k j, P j j (δ) δ q k j + o(δ). (.2) Ορίζουμε τον πίνακα ρυθμών μετάβασης Q με στοιχεία [Q i, j q i j, i j, [Q i,i j i q i j. Οπως ϑα δούμε αυτός ο πίνακας, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται επίσης η γεννήτρια, μαζί με την αρχική κατανομή καθορίζει πλήρως την εξέλιξη της αλυσίδας Markov. k j Στάσιμη κατανομή Η στάσιμη κατανομή (ή κατανομή ισορροπίας δίνεται από το μοναδικό διάνυσμα γραμμής π που ικανοποιεί την εξίσωση πq 0, (.3)

6 μαζί με την εξίσωση κανονικοποίησης π i. (.4) i S Υπολογισμός του πίνακα e Qt. Υποθέτουμε ότι ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένος, π.χ., το σύνολο S {, 2,..., N}. Συνεπώς ο γεννήτορας Q είναι ένας πίνακας N N. Δεδομένου ότι όλες οι γραμμές του πίνακα Q έχουν άθροισμα 0, αν e είναι ένα διάνυσμα στήλης του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με την μονάδα, δηλαδή e [,,..., T, τότε Qe 0. Αυτό σημαίνει ότι det Q 0 και ότι το μηδέν είναι ιδιοτιμή του Q. Προκειμένου να υπολογίσουμε τον e Qt μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία.. Βρίσκουμε τις N ιδιοτιμές του Q, λ,..., λ N λύνοντας την εξίσωση det(λi Q) 0. Μια από αυτές τις ιδιοτιμές, έστω η λ, είναι Βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, m,..., m N, τα οποία ικανοποιούν την σχέση Qm i λ i m i, i,..., N. Το m που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 είναι το [,,..., T. (Γενικώς, αν το m i είναι ιδιοδιάνυσμα και c 0 τότε και το cm i είναι ιδιοδιάνυσμα, αφού το m i προκύπτει ως λύση του ομογενούς συστήματος εξισώσεων (Q λ i I)m i 0. Υποθέτουμε για ευκολία ότι οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους. 3. Σχηματίζουμε τον πίνακα M : [m,..., m N ο οποίος έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα. Αν λ... Λ : λ N είναι ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών (φυσικά με την ίδια σειρά όπως και τα ιδιοδιανύσματα του M) τότε είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι QM MΛ και επομένως Q MΛM. (Από την Γραμμική Άλγεβρα γνωρίζουμε ότι, εφ όσον οι ιδιοτιμές του Q είναι διαφορετικές μεταξύ του, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως ο πίνακας M είναι αντιστρέψιμος.) 4. Παρατηρούμε ότι Q 2 (MΛM )(MΛM ) MΛ 2 M και επομένως, επαγωγικά, Q n MΛ n M. 5. Ισχύει ότι λ n Λ n... λ n N επειδή ο Λ είναι διαγώνιος.

7 6. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε εύκολα το εκθετικό του πίνακα Q: e tq M M t n n! Qn t n n! Λn M e λ t... e λnt t n n! Qn M M. t n n! MΛn M t n n! λn... t n n! λn N M Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν πώς εφαρμόζεται η διαδικασία που περιγράψαμε. Παράδειγμα. γεννήτορα Εστω μια διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0, } και Q [ 2 2 Η στάσιμη κατανομή δίνεται από τις σχέσεις (.3) και (.4) που στην περίπτωσή μας δίνουν. π 0 + 2π 0 π 0 2π 0 π 0 + π (Η μια από τις δύο πρώτες εξισώσεις είναι πολλαπλάσιο της άλλης.) Οι εξισώσεις αυτές δίνουν την στάσιμη κατανομή π [2/3, /3. Οι ιδιοτιμές δίδονται από την εξίσωση det(λi Q) λ + 2 λ + (λ + ) 2 3 (λ + )(λ + 3) 2 λ(λ + 3) 0 Στην ιδιοτιμή 0 αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα [, T. Πράγματι [ [ [ Προκειμένου να βρούμε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 3 λύνουμε το σύστημα [ 2 2 ή [ x x 2 3 [ x x 2 x + x 2 3x 2x 2x 2 3x 2 Το παραπάνω σύστημα δίνει μόνο την σχέση x 2 2x. (Η δεύτερη εξίσωση είναι ίδια με την πρώτη επειδή το σύστημα είναι ομογενές.) Μπορούμε να διαλέξουμε ως ιδιοδιάνυσμα

8 το [, 2 T. (Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του διανύσματος αυτού είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 3.) Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων M είναι επομένως M [ 2 και M 3 [ 2. Επομένως Q [ 2 [ [ 2 και e tq [ 2 2+e 3t 3 2 2e 3t 2 [ 0 e 3t 3 +2e 3t [ 2 [ 2 [ e 3t 3 [ 2 Επομένως έχουμε P(t) Παρατηρούμε ότι όταν t P(t) [ [ [ + e 3t (.5). Κάθε μια από τις δύο γραμμές του πίνακα είναι η στάσιμη κατανομή. Σε μια από τις επόμενες παραγράφους ϑα μελετήσουμε ειδικά διαδικασίες με δυο καταστάσεις και ϑα δούμε και έναν διαφορετικό τρόπο με τον οποίο μπορούμε να καταλήξουμε στην (.5). Παράδειγμα 2. Εστω μια διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0,, 2} και γεννήτορα Q Η στάσιμη κατανομή δίνεται από τις σχέσεις (.3) και (.4) που δίνουν. π 0 + π + π 2 0 π 0 2π + π 2 0 π 2π 2 0 π 0 + π + π 2 (Μία από τις τρεις πρώτες εξισώσεις είναι γραμμικός συνδιασμός των άλλων δύο.) εξισώσεις αυτές δίνουν την στάσιμη κατανομή π [/5, 2/5, 3/5. Οι Προκειμένου να υπολογίσουμε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης χρησιμοποιήσουμε την (.). Για να υπολογίσουμε τον πίνακα e tq μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη μεθοδολογία.

9 ϑα διαγωνιοποιήσουμε τον Q: οι ιδιοτιμές είναι 0, 2, και 3 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα Επομένως Q MΛM ή 0 Q 2, 2, 3 2 από την οποία προκύπτει ότι e Qt 2 e 6 2t e 3t +e 2t e 3t e 3t e 2t e 3t e 3t +e 2t e 3t e 3t. /2 /3 /6 /2 0 /2 0 /3 / Σε κάποιες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες μετάβασης χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την (.). Η διαδικασία Poisson ως διαδικασία Markov Εστω {N t ; t 0} μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ. N t είναι ο αριθμός των σημείων στο διάστημα (0, t. Τα σημεία της διαδικασίας είναι τα {T n ; n, 2,...} όπου T n τ + τ τ n. Οι τυχαίες μεταβλητές {τ i } είναι ανεξάρτητες εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό λ. Από τις γνωστές ιδιότητες της διαδικασίας Poisson είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η διαδικασία {N t ; t 0} με χώρο καταστάσεων S {0,, 2,...} ικανοποιεί την Μαρκοβιανή ιδιότητα: Αν 0 < t t 2 t n και 0 i i 2 i n όπου i,..., i n N 0, P(N t i, N t2 i 2,..., N tn i n ) P(N t i ) P(N t2 N t i 2 i ) P(N tn N tn i n i n ) P(N t i ) P(N t2 t i 2 i ) P(N tn t n i n i n ) (λt ) i i! e λt (λ(t 2 t )) i 2 i (i 2 i )! e λ(t 2 t ) (λ(t n t n )) i n i e λ(t n t n ). (i n i n )! Βλέπουμε επομένως ότι η διαδικασία {N t } είναι Markov με πιθανότητες μετάβασης (λt) j i P i j (t) P(N t j i) ( j i)! e λt αν j i 0 αν j < i. Ο γεννήτορας είναι Q λ λ λ λ λ λ λ

10 Μία εναλλακτική περιγραφή. Αντί να καθορίσουμε τον πίνακα ρυθμών μετάβασης μπορούμε να χαρακτηρίσουμε πλήρως μια μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου μέσω δύο συνόλων από παραμέτρους ν i, i S, τον εκθετικό ρυθμό παραμονής στην κατάσταση i για κάθε κατάσταση στο χώρο S και τον πίνακα P i j, τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης της αλυσίδας Markov διακριτού χρόνου που προσδιορίζει τα άλματα από μια κατάσταση στην επόμενη. εξισώσεις Η σχέση ανάμεσα σ αυτές τις παραμέτρους και την γεννήτρια δίδεται από τις ν i q i j, i S, (.6) j i και P i j q i j, j i, (.7) ν i P(i, i) 0. Ισοδύναμα, με δεδομένα τα (ν, P), μπορούμε να υπολογίσουμε την γεννήτρια από τις εξισώσεις q i j ν i P i j, i j, q ii j i q i j. Μια εναλλακτική έκφραση για την στάσιμη κατανομή. Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t 0 η αλυσίδα Markov βρίσκεται στην κατάσταση i και συμβολίζουμε με T την πρώτη χρονική στιγμή που η διαδικασία επανεισέρχεται για πρώτη φορά στην κατάσταση i αφού την έχει εγκαταλείψει. Επίσης συμβολίζουμε με N(i, j) τον αριθμό των επισκέψεων στην κατάσταση j μεταξύ δύο διαδοχικών επισκέψεων στην i. Τέλος έστω η i η στάσιμη κατανομή της αλυσίδας διακριτού χρόνου των αλμάτων P i j. Τότε π j E [ Συνολικός χρόνος στην κατάσταση j στο διάστημα [0, T (.8) ET EN(i, j) E [ χρόνος παραμονής στην κατάσταση j ET η j η i ν η j j ν j k S η k η i νk k S η, (.9) k νk όπου στις παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι EN(i, j) η j η i καθώς και το ότι ο μέσος χρόνος παραμονής σε οποιαδήποτε κατάσταση k είναι νk. Η σχέση ανάμεσα στη στάσιμη κατανομή της αρχικής αλυσίδας Markov, π, και στη στάσιμη κατανομή της αλυσίδας των αλμάτων, η, μπορεί να περιγραφεί από τις σχέσεις: Το ποσοστό του χρόνου που η αλυσίδα Markov βρίσκεται στην κατάσταση i είναι π i. Το ποσοστό των αλμάτων που καταλήγουν στην κατάσταση i είναι η i. Οι δύο κατανομές σχετίζονται μέσω των εξισώσεων π i cη i ν i, (.20) όπου c είναι σταθερά που προσδιορίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης π i. Από την (.20) συνάγουμε επίσης ότι η i π i ν i k S π k ν k. (.2)

11 .3 Αλυσίδες Markov με δύο καταστάσεις.3. Αλυσίδες Markov με δύο καταστάσεις Εστω αλυσίδα Markov με σύνολο καταστάσεων S {0, } και γεννήτρια [ λ λ Q µ µ Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης δίνεται από την (.) ως εξής: Παρατηρείστε ότι [ [ Q 2 λ 2 + λµ λ 2 λµ λ λ λµ µ 2 λµ + µ 2 (λ + µ) (λ + µ)q. µ µ Αυτό συνεπάγεται επαγωγικά ότι Q n ( ) n (λ + µ) n Q για n, 2,.... Συνεπώς, t n ( ) n (λ + µ) n t n P(t) n! Qn I + Q n! n I Q ( ) n (λ + µ) n t n I λ + µ n! λ + µ Q ( e (λ+µ)t ) n [ [ 0 e (λ+µ)t λ λ. 0 λ + µ µ µ Συμπεραίνουμε ότι [ P00 (t) P P(t) : 0 (t) P 0 (t) P (t) µ λ+µ µ λ+µ λ λ+µ λ λ+µ + λ + µ e (λ+µ)t [ λ λ µ µ Στην περίπτωση που λ µ ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης δίνεται από την 2 2 P(t) + [ 2 e 2λt 2 2. (.22) (.23) Επομένως ένα σφαιρίδιο που την χρονική στιγμή 0 ήταν στο αριστερό δοχείο σε χρόνο t έχει πιθανότητα να βρίσκεται στο αριστερό δοχείο ( ) + e 2λt 2 ενώ αν αρχικά βρισκόταν στο δεξιό δοχείο, τη χρονική στιγμή t η πιθανότητα να βρίσκεται στο αριστερό δοχείο είναι ( ) e 2λt. 2 Αν ξεκινήσουμε με 0 σφαιρίδια στο αριστερό δοχείο (X(0) 0) τότε ( ) n ( ( P(X(t) i) )) 2 e 2λt i ( ( )) 2 e 2λt n i i ( ) n ( ( )) 2 e 2λt i ( ( )) 2 + e 2λt n i i ( ) n ( 2 n e 2λt) i ( ) + e 2λt n i i

12 .4 Αναστρεψιμότης σε Συνεχή Χρόνο Με λίγη σκέψη βλέπουμε ότι μια αλυσίδα Markov συνεχούς χρόνου είναι αναστρέψιμη ανν η αντίστοιχη αλυσίδα αλμάτων σε διακριτό χρόνο είναι αναστρέψιμη. Η συνθήκη για να συμβαίνει αυτό είναι η i P i j η j P ji. (.24) Εν όψει των (.7) και (.2) η (.24) γράφεται και ως π i ν i q i j ν i π j ν j q ji ν j ή π i q i j π j q ji, για κάθε i, j S. (.25) Το κριτήριο του Kolmogorov για αλυσίδες Markov συνεχούς χρόνου μπορεί να βρεθεί εξετάζοντας την διακριτή αλυσίδα αλμάτων. Για οποιοδήποτε βρόγχο, λόγου χάριν i j k l i, εφαρμόζοντας το κριτήριο στην αλυσίδα αλμάτων δίδει την εξίσωση P i j P jk P kl P li P il P lk P k j P ji, η οποία, λαμβάνοντας υπ όψιν την (.7) είναι ισοδύναμη με την q i j q jk q kl q li q il q lk q k j q ji. (.26).5 Παραδείγματα.5. Η αλυσίδα των Ehrenfest Εστω δύο δοχεία τα οποία περιέχουν συνολικά n σφαιρίδια. Αρχικά k από αυτά βρίσκονται στο αριστερό και τα υπόλοιπα n k στο δεξιό. Το κάθε σφαιρίδιο ανεξάρτητα από τα άλλα παραμένει στο δοχείο που βρίσκεται για ένα εκθετικό χρόνο (με ρυθμό λ και κατόπιν μεταπηδά στο άλλο. Το μοντέλο αυτό περιγράφει, μεταξύ άλλων, και την διάχυση αερίου μέσα από ημιπερατή μεμβράνη. Η κατάσταση του συστήματος την χρονική στιγμή t περιγράφεται πλήρως από τον αριθμό των σωματιδίων στο αριστερό δοχείο, έστω X(t). (Ο αριθμός των σωματιδίων στο δεξιό δοχείο ϑα είναι φυσικά n X(t) ενώ οι χρόνοι που έχουν παρέλθει από τις τελευταίες μεταπηδήσεις των σωματιδίων δεν είναι απαραίτητο να είναι γνωστοί λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εκθετικής κατανομής.) Η γεννήτρια της διαδικασίας Markov X(t) για n 6 είναι Q 6λ 6λ λ 6λ 5λ λ 6λ 4λ λ 6λ 3λ λ 6λ 2λ λ 6λ λ λ 6λ

13 και γενικά, όταν ο αριθμός των σφαιριδίων είναι n, μπορούμε να την περιγράψουμε με τις σχέσεις q i j nλ αν j i iλ αν j i (n i)λ αν i i + 0 διαφορετικά Η διαδικασία είναι χρονικά αντιστρέψιμη και επομένως π i q i,i π i q i,i ή π i λ(n i + ) π i iλ, i, 2,..., n. και επομένως, για i, 2,..., n έχουμε n i + π i π i i ( ) n π 0. i π i 2 (n i + )(n i + 2) i(i ) π 0 (n i + )(n i + 2) (n )n i(i ) 2 Το προσδιορίζεται από τις εξισώσεις κανονικοποίησης ως εξής: ή κι έτσι π 0 + n π 0 i n ( ) n π 0 i i ( ) n π 0 2 n i π i ( ) n 2 n i δηλαδή η κατανομή ισορροπίας του X(t) είναι διωνυμική. Το αποτέλεσμα αυτό δεν πρέπει φυσικά να μας εκπλήσσει. Το κάθε σφαιρίδιο αναπηδά ανεξάρτητα από τα άλλα και μετά από αρκετό χρόνο η αρχική του ϑέση παύει να παίζει ρόλο. Ετσι, στο όριο, όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο το κάθε σφαιρίδιο είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται στο ένα ή στο άλλο δοχείο, ανεξάρτητα από τα άλλα, εξ ου και η διωνυμική κατανομή..5.2 Διαδικασία γεννήσεων ϑανάτων μετανάστευσης Εξετάζουμε την χρονική εξέλιξη ενός πληθυσμού που αποτελείται από άτομα των οποίων η ζωή είναι εκθετικά κατανεμημένη με ρυθμό µ. Οσο ένας οργανισμός είναι ζωντανός γεννά απογόνους με ρυθμό λ. Τέλος, ανεξέαρτητα από οτιδήποτε άλλο έχουμε όμοιους οργανισμούς οι οποίοι εισέρχονται στο σύστημα με ρυθμό ν. Ο χώρος καταστάσεων S {0,, 2,...}

14 περιγράφει τον αριθμό των οργανισμών στο σύστημα. Ο γεννήτορας της διαδικασίας δίνεται από την σχέση q i,i+ ν + iλ, i 0,, 2,... (.27) q i,i iµ, i, 2,.... (.28) Η στάσιμη κατανομή δίδεται από την λύση του συστήματος π i q i,i πq i,i, i, 2,... η οποία δίνει και επομένως, αναδρομικά έχουμε π i π i ν + (i )λ ν + iµ π i π 0 (ν + (i )λ)(ν + (i 2)λ) (ν + λ)ν (ν + iµ)(ν + (i )µ) (ν + 2µ)(ν + µ).5.3 Επίβλεψη Μηχανών Ενας τεχνίτης επιβλέπει M μηχανές. Κάθε μηχανή, ανεξέρτητα από τις άλλες, λειτουργεί για μια εκθετική χρονική περίοδο με ρυθμό λ. Στο τέλος αυτής της περιόδου υφίσταται μια βλάβη την οποία επιδιορθώνει ο τεχνίτης. Ο χρόνος επισκευής είναι εκθετικός με ρυθμό µ. Οταν μια μηχανή υποστεί βλάβη, ο τεχνίτης ξεκινά αμέσως την διαδικασία επιδιόρθωσής της εκτός αν είναι απασχολημένος επιδιορθώνοντας μια μηχανή που έχει ήδη υποστεί βλάβη. Εστω X t ο αρθμός των μηχανών που λειτουργούν την χρονική στιγμή t. Η {X t ; t 0} είναι διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0,,..., M} και γενήτορα q i,i+ µ, i 0,, 2,..., M, q i,i iλ, i, 2,..., M, Η στάσιμη κατανομή προκύπτει από τη σχέση η οποία δίνει η οποία αναδρομικά δίνει π i q i,i πq i,i, i, 2,..., M π i π i µ iλ, π i i, 2,..., M α i π 0, i 0,, 2,..., M i! όπου α µ λ Η πιθανότητα π 0 προκύπτει από την εξίσωση κανονικοποίησης M i0 π i η οποία δίνει π 0 M α k k! k0

15 Ο μέσος αριθμός μηχανών που λειτουργούν δίνεται από την σχέση m M kπ k k0 M k0 π 0 k αk k! M π 0 α k0 α k k! Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής. Ο συμβολισμός του Kendal. Ενα σύστημα απλό σύστημα αναμονής απαρτίζεται από μια διαδικασία αφίξεων η οποία στα συστήματα που εξετάζουμε ϑα ϑεωρείται πάντα Poisson. Οι πελάτες εξυπηρετούνται σύμφωνα με την σειρά άφιξης στο σύστημα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένος με ρυθμό µ (ίδιος για όλους τους servers)..5.4 Η ουρά M/M/ Το σύστημα αυτό αποτελείται από έναν υπηρέτη (server) ο οποίος εξυπηρετεί έναν πελάτη κάθε φορά. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες, εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό µ ενώ οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ, και είναι ανεξάρτητες από τους χρόνους εξυπηρέτησης. Ο γεννήτορας είναι Q λ λ µ (λ + µ) λ µ (λ + µ) λ µ (λ + µ) λ Επειδή ο γράφος της διαδικασίας είναι γραμμικός η διαδικασία είναι χρονικά αναστρέψιμη και επομένως π n λ π n µ, n, 2,... (.29) Αν ϑέσουμε ρ : λ/µ η (.29) δίνει π n ρπ n και επομένως, αναδρομικά, π n π 0 ρ n. (.30) Αν ρ < τότε η άγνωστη πιθανότητα π 0 προσδιορίζεται από την εξίσωση κανονικοποίησης ως εξής: π n π 0 ρ n π 0 ρ και συνεπώς π 0 ρ. Κατά συνέπεια η στάσιμη κατανομή είναι π n ( ρ)ρ n, n 0,, 2,.... (.3) Αντιθέτως, αν ρ, η στάσιμη κατανομή δεν υπάρχει. Ο λόγος διαισθητικά είναι ο εξής: ρ λ/µ είναι ο μέσος αριθμός πελατών που φθάνουν κατά την διάρκεια του χρόνου εξυπηρέτησης ενός πελάτη. Συνεπώς, όταν ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος της μονάδας,

16 ο αριθμός των πελατών αυξάνει συνεχώς χωρίς όριο και επομένως δεν υπάρχει στάσιμη κατανομή. Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα δίνεται από την σχέση L nπ n ( ρ)nρ n ( ρ)ρ n nρ n ( ρ)ρ ( ρ) ρ 2 ρ. Η πιθανότητα να έχουμε k ή περισσότερους πελάτες στο σύστημα είναι π n nk ( ρ)ρ n ( ρ)ρ k ρ n k ( ρ)ρ k ρ ρk nk nk.5.5 Η ουρά M/M/s Το σύστημα αυτό είναι όμοιο με το σύστημα M/M/ με μόνη διαφορά το γεγονός ότι υπάρχουν s υπηρέτες. Κάθε υπηρέτης εξυπηρετεί πελάτες με ρυθμό µ ανεξάρτητα από τους άλλους. Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ. Ο γεννήτορας της διαδικασίας δίνεται από τις σχέσεις q n,n+ λ, n 0,, 2,... nµ αν n, 2,..., s q n,n sµ αν n s +, s + 2,... (λ + nµ) αν n 0,, 2,..., s q nn (λ + sµ) αν n s +, s + 2,... και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Η διαδικασία είναι χρονικά αναστρέψιμη και επομένως π n q n,n+ π n+ q n+,n. Δεδομένου ότι ο ρυθμός εξυπηρέτησης εξαρτάται από τον αριθμό πελατών στο σύστημα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: π n λ π n nµ, n, 2,..., s (.32) π n λ π n sµ, n s +, s + 2,.... (.33) Η (.32) δίνει π n π n ρ/n όπου ρ : λ/µ ο μέσος αριθμός αφίξεων ανά εξυπηρέτηση. Επομένως, επαγωγικά, ρ n π n π 0, n 0,, 2,..., s. (.34) n! Η (.33) δίνει π n π n ρ/(sµ) και επαγωγικά π n π s ( ρ s ) n s. (.35)

17 Η (.34) δίνει Η (.35) δίνει ns+ π n π s ns+ π 0 ρ s π s ( ρ s s! (.36) ) n s π s ρ/s ρ/s. (.37) Η παραπάνω σειρά βεβαίως συγκλίνει υπό την προϋπόθεση ότι ρ/s < ή ισοδύναμα ρ < s. Αν δεν ισχύει αυτή η σχέση ο αριθμός των πελατών στο σύστημα αυξάνει απεριόριστα με την πάροδο του χρόνου. εξίσωση κανονικοποίησης δίνει Εφόσον ρ < s, λαμβάνοντας υπ όψιν και τις (.36) και (.37), η π n s π 0 ρ n n! + ns+ π s ( ρ s ) n s s ρ n π 0 n! + π ρ s ρ 0 s! s ρ. Από την παραπάνω εξίσωση συμπεραίνουμε ότι π 0 s. (.38) ρ n n! + ρs ρ s! s ρ Οι (.34), (.35) και (.38) μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε εύκολα την στάσιμη κατανομή. Ας δούμε ως παράδειγμα την περίπτωση s 2. Η στάσιμη κατανομή σ αυτή την περίπτωση, αντικαθιστώντας και κάνοντας τις στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις έχουμε π 0 2 ρ 2 + ρ, π n 2 ρ 2 + ρ ρ ( ρ 2 Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι ) n, n, 2, 3,.... L nπ n 4ρ 4 ρ 2. n n 2 ρ ( ρ ) n 2 + ρ ρ 2 ρ ρ ( ρ n 2 n ) n 2 ρ 2 + ρ ( ρ 2 ) 2 Η πιθανότητα ότι ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα ϑα εξυπηρετηθεί χωρίς να χρειαστεί να περιμένει είναι π 0 + π (2 ρ)(+ρ) 2+ρ..5.6 Το σύστημα M/M/ Το σύστημα αυτό έχει άπειρο πλήθος υπηρετών, καθένας από τους οποίους εξυπηρετεί έ- ναν πελάτη με ρυθμό µ (οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι πάντα εκθετικές ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές) και οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ, ανεξάρτητες από τις εξυπηρετήσεις.

18 Κανένας πελάτης δεν περιμένει στο σύστημα αυτό επειδή πάντα υπάρχουν διαθέσιμοι υ- πηρέτες. Ο χώρος καταστάσεων είναι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα και συνεπώς S {0,, 2,...}. Ο γεννήτορας είναι q i,i+ λ, i 0,, 2,... q i,i iµ i, 2,..., q ii (λ + iµ) i 0,, 2,... και q i j 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Το σύστημα είναι χρονικά αντιστρέψιμο και επομένως π i λ π i iµ, i, 2,.... Θέτοντας ρ λ/µ, π i ρ i π i, i, 2,... και αναδρομικά έχουμε Η εξίσωση κανονικοποίησης δίνει π i ρ i π 0, i 0,, 2,.... i! i0 π 0 ρ i i! π 0 e ρ. Η σειρά στην παραπάνω εξίσωση συγλίνει για οποιαδήποτε τιμή του ρ. Συνεπώς έχουμε την στάσιμη κατανομή π i ρi i! e ρ, i 0,, 2, Το σύστημα M/M/s/s Στο σύστημα αυτό υπάρχουν s υπηρέτες ο καθένας εκ των οποίων εξυπηρετεί έναν πελάτη ανεξάρτητα από τους άλλους με ρυθμό µ αλλά δεν υπάρχει χώρος αναμονής. Οι πελάτες φθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ και αν κάποιος πελάτης δεν βρεί κατά την άφιξή του διαθέσιμο υπηρέτη αποχωρεί από το σύστημα και δεν επιστρέφει. Ο χώρος καταστάσεων είναι κατά συνέπεια πεπερασμένος, S {0,, 2,..., s}, και ο γεννήτορας δίνεται από τις σχέσεις q n,n+ λ, n 0,, 2,..., s q n,n nµ n, 2,..., s (λ + nµ) αν n 0,, 2,..., s q nn sµ αν n s και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Από την χρονική αντιστρεψιμότητα του συστήματος έχουμε π n λ π n nµ, n, 2,...

19 και επομένως ρ n π n π 0, n 0,, 2,..., s. n! Η συνθήκη κανονικοποίησης δίνει s ρ n π 0 n! και επομένως η στάσιμη κατανομή, για κάθε τιμή του ρ, είναι π n ρ n n!, n 0,, 2,..., s. si0 ρ i i! Αν ορίσουμε την ποσότητα Ψ s : s ρ i i0, η πιθανότητα να έχουμε s πελάτες στο σύστημα, με βάση τα παραπάνω είναι i! π s : ρ s s! si0 ρ i i! Ψ s Ψ s Ψ s Ψ s Ψ s. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτή η πιθανότητα είναι ίση με το ποσοστό των πελατών οι οποίοι κατά την άφιξή τους βρίσκουν και τους s υπηρέτες απασχολημένους και επομένως αποχωρούν από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθούν. Ο μέσος αριθμώς πελατών στο σύστημα (που είναι ίδιος με τον μέσο αριθμό απασχολημένων υπηρετών) δίνεται από την σχέση L s Ψ i ρi s i! s ρ Ψ i s (i )! s Ψ s ρ ρ j j! ρ Ψ s. Ψ s i0 i j0.5.8 Το σύστημα M/M//K Το σύστημα αυτό είναι ίδιο με το M/M/ αλλά με την διαφορά ότι υπάρχει χώρος μόνο για K πελάτες στο σύστημα (συμπεριλαμβανομένου και εκείνου που εξυπηρετείται). Οταν ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα δεν βρίσκει ϑέση στον χώρο αναμονής αποχωρεί και δεν επιστρέφει. Ο χώρος καταστάσεων είναι S {0,, 2,..., K} και ο γεννήτορας είναι q n,n+ λ, n 0,, 2,..., K q n,n µ n, 2,..., s (λ + µ) αν n, 2,..., K q nn λ αν n 0 µ αν n K και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Και αυτή η διαδικασία είναι χρονικά αντιστρέψιμη και επομένως π n λ π n µ, n, 2,..., K.

20 Θέτοντας ρ λ/µ έχουμε και η εξίσωση κανονικοποίησης δίνει π n π 0 ρ n π 0 ( + ρ + ρ ρ K) και επομένως, για κάθε τιμή του ρ, λαμβάνοντας υπ όψιν ότι + ρ + ρ ρ K ρk+ ρ έχουμε π 0 ρ ρ K+ και π n ρ n ρ, n 0,, 2,..., K. ρk+

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS

ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS ΤΙΜΕΣ DISNEYLAND RESORT PARIS 09 Νοεµβρίου 2009 01 Απριλίου 2010 DISNEYLAND 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 CHD ΠΑΚΕΤΟ 2N/3Μ 350 419 558 973 392 475 641 1140 491 607 840 1538 117 ΠΑΚΕΤΟ 3N/4Μ 464 562 760 1353

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Μούλου Ευγενία ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΡΧΕΙΑ Ο πιο γνωστός τρόπος οργάνωσης δεδομένων με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι σε αρχεία. Ένα αρχείο μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε σαν ένα σύνολο που αποτελείται από οργανωμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και Υλοποίηση Αλγορίθμων Κατάταξης

Μελέτη και Υλοποίηση Αλγορίθμων Κατάταξης Μελέτη και Υλοποίηση Αλγορίθμων Κατάταξης σε Διμερή Γραφήματα arxiv:1507.05214v1 [cs.ir] 18 Jul 2015 Διπλωματική Εργασία της Αντωνίας Κορμπά Τμήμα, Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Πάτρα,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης

Συγκέντρωση Κίνησης. 6.1. Εισαγωγή. 6.2. Στατική Συγκέντρωση Κίνησης Συγκέντρωση Κίνησης 6.1. Εισαγωγή Σε ένα οπτικό WDM δίκτυο, οι κόμβοι κορμού επικοινωνούν μεταξύ τους και ανταλλάσουν πληροφορία μέσω των lightpaths. Ένα WDM δίκτυο κορμού είναι υπεύθυνο για την εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αντικειμενοστραφής. Προγραμματισμού

Αντικειμενοστραφής. Προγραμματισμού Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Σημερινό μάθημα Μειονεκτήματα Δομημένου Προγραμματισμού Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός Ορισμοί Κλάσεις Αντικείμεναμ Χαρακτηριστικά ΑΠ C++ Class 1 Δομημένος Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΤΑ ΜΕΣΑ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΠΡΟΒΑΛΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ FOUCAULT ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΥΣΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ Εργασία για το µάθηµα του εαρινού εξαµήνου του µεταπτυχιακού προγράµµατος του τµήµατος Επικοινωνίας & Μέσων Μαζικής Ενηµέρωσης του Εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1 5, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Πρόβλημα Μετάδοσης Πακέτων Δύο κόμβοι, A και B, επικοινωνούν μέσω ενός δικτύου store & forward. Ο κόμβος Α συνδέεται στο δίκτυο μέσω ζεύξης 10Mbps, ενώ ο κόμβος B συνδέεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);

(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); (1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»

Διαβάστε περισσότερα