Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών"

Transcript

1 Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7

2

3 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x λe λx αν x, αν x <. (. Η παράμετρος λ της κατανομής είναι ϑετικός αριθμός. Η συνάρτηση κατανομής δίδεται από την σχέση F(x : x f(tdt, που δίνει F(x e λx αν x, αν x <. (. Σχήμα.: Εκθετική κατανομή, λ 3

4 Λήμμα.. Ισχύει ότι I n (x : n! n k x k k! e x x n e x dx, n,,,.... (.3 Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι I n(x x n e x. Πράγματι, I n(x d dx ( n! ( + x! + x x n! ( + + x!! + + xn (n! x n e x, και επομένως η (.3 ισχύει.! + + xn (n! + xn e x n! e x + n! ( + x + x!! + + xn (n! + xn e x n! Οι ροπές της κατανομής δίδονται από την σχέση EX n x n λe λx dx λ n (λx n e λx λdx λ n u n e u du (.4 όπου u λx. Λαμβάνοντας υπ όψιν μας το Λήμμα. u n e u du I n (u ( n! n!. (.5 (Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι lim u n! n ( k uk k! e u καθώς και ότι I n ( n! +! +! + + n (n! + n n! n!. Επομένως, από την (.4 προκύπτει ότι EX n n!, n,,,.... (.6 λn Συγκεκριμένα, η μέση τιμή της εκθετικής είναι EX λ, η δεύτερη ροπή είναι EX λ, και η διασπορά δίδεται από την σχέση Var(X EX (EX λ. Ο συντελεστής μεταβλητότητας μιας κατανομής ορίζεται ως c v Var(X EX Για την εκθετική κατανομή έχουμε c v. Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες της εκ- ϑετικής κατανομής, η οποία και την χαρακτηρίζει, είναι η αμνήμων ιδιότητα (ή ιδιότητα έλλειψης μνήμης: Μια μή αρνητική τ.μ. X έχει την αμνήμονα ιδιότητα αν, s, t >, P(X > t + s X > t P(X > s. (.7 4

5 Είναι στοιχειώδες να ελέγξουμε ότι η έκθετική κατανομή ικανοποιεί την (.7. Πράγματι, P(X > t + s X > t P(X > t + s, X > t P(X > t P(X > s. P(X > t + s P(X > t e λ(t+s e λt e λs Πολύ πιό ενδιαφέρον όμως είναι το γεγονός ότι η εκθετική κατανομή είναι η μοναδική η οποία έχει αυτή την ιδιότητα. Εστω λοιπόν κάποια τ.μ. X που ικανοποιεί την (.7 και ας ϑέσουμε g(t P(X > t. Οπως είδαμε, η (.7 μπορεί να γραφτεί και ως P(X > t + s P(X > tp(x > s ή g(t + s g(tg(s. (.8 Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση με s t έχουμε g( g( και επαγωγικά, Ομοια, g( g( n + + n g( n n ή g(n g( n. g(/n g( /n. Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι, για κάθε ρητό, έστω r p/q g(p/q g( p/q ή g(r g( r. Απομένει να δείξουμε ότι η σχέση αυτή ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό t. Αφού < g( <, υπάρχει λ (, τέτοιο ώστε g( e λ, Συνεπώς, αν r, s είναι ρητοί τέτοιοι ώστε r < t < s, εφόσον η g(t είναι φθίνουσα συνάρτηση ισχύει ότι e λr g(r g(t g(s e λs Αφήνοντας r t, s t προκύπτει το ζητούμενο.. Η συνάρτηση Γάμμα Η συνάρτηση Γάμμα του Euler αποτελεί γενίκευση του παραγοντικού για μή ακέραια ορίσματα. Για κάθε α > ορίζουμε την συνάρτηση Γ(α : t α e t dt. (.9 (Παρατηρείστε ότι το παραπάνω είναι ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα. Ισχύει ότι Γ( e t dt. (. 5

6 Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση βλέπουμε ότι Γ(α + + α t α e t dt t α e t dt t α ( e t dt t α e t + αt α e t dt και συνεπώς έχουμε Γ(α + α Γ(α, α >. (. Οταν το α είναι φυσικός αριθμός η παραπάνω σχέση δίνει Γ(n + nγ(n n(n Γ(n n(n (n Γ( και λαμβάνοντας υπ όψιν μας την (. έχουμε Γ(n + n!, n,,,.... (. Παρατηρείστε ότι η (. συμφωνεί με την (.5. Εφαρμόζοντας την σχέση (. επαγωγικά βλέπουμε ότι, για κάθε n N και α > Γ(α + n (α + n Γ(α + n (α + n (α + n Γ((α + n (α + n (α + n Γ(α + n (α + α Γ(α. (.3.3 Η κατανομή Γάμμα Εμείς ϑα συναντήσουμε την συνάρτηση Γ στα πλαίσια της κατανομής Γάμμα που έχει πυκνότητα πιθανότητας λ (λxα Γ(α e λx αν x > f(x (.4 αν x. Η παράμετρος λ ονομάζεται παράμετρος κλίμακος ενώ η α παράμετρος σχήματος. Η περίπτωση που η παράμετρος σχήματος είναι ακέραιος αριθμός έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και ϑα την εξετάσουμε λεπτομερέστερα στη συνέχεια. (Παρατηρείστε ότι για α παίρνουμε την εκθετική πυκνότητα πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανομής δεν μπορεί να εκφραστεί μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων (εκτός από την περίπτωση που το α είναι φυσικός αριθμός. Εκφράζεται μέσω της μη πλήρους συνάρτησης Γάμμα (incomplete Gamma function που ορίζεται ως Γ(x; α : x t α e t dt, x. 6

7 Σχήμα.: Πυκνότητα Γάμμα για διάφορες τιμές της παραμέτρου σχήματος α και λ. Η συνάρτηση αυτή συμπεριλαμβάνεται σε όλα τα προγράμματα στατιστικής ανάλυσης όπως π.χ. η R. Παρατηρείστε ότι Γ( ; α : lim x Γ(x; α lim x tα e t dt Γ(α. Χρησιμοποιώντας την μη πλήρη συνάρτηση Γάμμα έχουμε x λ(λt α e λt dt λx και επομένως η συνάρτηση κατανομής εκφράζεται ως F(x Γ(λx; α Γ(α u α e u du Γ(λx; α αν x > αν x. Οι ροπές της κατανομής Γάμμα υπολογίζονται εύκολα: EX n x n f(xdx x n λ(λx α e λx dx Γ(α λ n λ n x n λ(λx α e λx dx Γ(α λ n Γ(α t n+α e t dt Γ(n + α λ n. Γ(α Λαμβάνοντας υπ όψιν μας την (.3 βλέπουμε ότι EX n α(α + (α + n, n,,.... (.5 λn 7

8 Συγκεκριμένα, οι δύο πρώτες ροπές είναι EX α λ, EX α(α + λ και η διασπορά είναι Var(X α λ..4 Η κατανομή Erlang Η κατανομή Erlang είναι μια ειδική περίπτωση της κατανομής Γάμμα όταν η παράμετρος σχήματος είναι ακέραια. Η πυκνότητα πιθανότητας της Erlang δίδεται από τον τύπο f(x { λ (λxk (k! e λx αν x αν x <. Η παράμετρος k είναι ϑετικός ακέραιος (όταν k παίρνουμε την εκθετική κατανομή και η λ > είναι παράμετρος κλίμακας. προκύπτει ολοκληρώνοντας την f(x δίδεται από τον τύπο k (λx m e λx αν x F(x m!. m αν x < Η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής που Παραδείγματος χάριν, όταν k, έχουμε F(x ( + λxe λx, (x. Εστω X τ.μ. με κατανομή Erlang(k, λ. Η ροπή τάξης r ϑα είναι EX r x r (λxk (k! e λx λdx (k!λ r y r+k e y dy (k + r! λ r. (k! Οι δύο πρώτες ροπές της Erlang(k, λ είναι EX k λ και EX k(k+, και συνεπώς η λ διασπορά είναι Var(X k(k+ k k. Ο συντελεστής διακύμανσης που προκύπτει λ λ λ είναι k/λ c V. k/λ k Βλέπουμε δηλαδή ότι η Erlang έχει πάντα συντελεστή μεταβλητότητας μικρότερο της μονάδας (η ισότητα ισχύει όταν k οπότε παίρνουμε την εκθετική. Οσο μεγαλύτερη είναι η παράμετρος k τόσο μικρότερος γίνεται ο συντελεστής μεταβλητότητας. 8

9 Σχήμα.3: Πυκνότητα Erlang για διάφορες τιμές της παραμέτρου σχήματος k και λ. 9

10 .5 Η συνάρτηση Βήτα Μια άλλη συνάρτηση η οποία σχετίζεται με την συνάρτηση Γάμμα και διαδραματίζει σημαντικό ρόλο είναι η συνάρτηση Βήτα η οποία έχει δύο μη αρνητικά ορίσματα, και η οποία ορίζεται ως B(α, β : t α ( t β dt, α >, β >. (.6 Οπως ϑα δούμε στη συνέχεια η συνάρτηση Βήτα συνδέεται με την Γάμμα μέσω της σχέσης B(α, β Γ(αΓ(β Γ(α + β. (.7 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση Βήτα είναι συμμετρική ως προς τα ορίσματά της. Πράγματι B(α, β t α ( t β dt ( s α s β ds s β ( s α ds B(β, α όπου στην παραπάνω σχέση κάναμε την αλλαγή μεταβλητής s t. Στην γενική περίπτωση ϑα δούμε την απόδειξη της (.7 λίγο αργότερα. Προς το παρόν ϑα δώσουμε μια απόδειξη στην περίπτωση που ο α είναι φυσικός αριθμός, έστω α m N. B(m, β t m ( t β dt ( t m ( t β dt β ( t m ( t β (m t m ( t β dt m B(m, β + β β Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση επαγωγικά έχουμε B(m, β m (m (m B(m, β + B(m, β + (.8 β β(β + (m (m B(, β + m. (.9 β(β + (β + m Ομως και επομένως B(, β + m t ( t β+m dt β + m B(m, β (m (m β(β + (β + m (β + m Γ(mΓ(β Γ(β + m (m!γ(β Γ(β β(β + (β + m (β + m όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι Γ(β + m (β + m (β + m (β + β Γ(β (.3.

11 Από την (.7 παίρνουμε και το εξής ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Αν α β / ϑα έχουμε B(/, / Γ(/ Γ( (. Ομως Γ( και B(/, / t / ( t / dt. Με την αλλαγή μεταβλητής t sin u, dt sin u cos u du έχουμε B(/, / π/ π/ (sinu ( sin u / sin u cos udu (sinu (cos u sin u cos udu du π Από την σχέση αυτή και την (. παίρνουμε Γ(/ π ή Γ(/ π. (..6 Η κατανομή Βήτα Η κατανομή Βήτα έχει πυκνότητα πιθανότητας f(x B(α, β xα ( x β αν < x < διαφορετικά. (. Οπως βλέπουμε και από το σχήμα (.4 η μορφή των πυκνοτήτων ποικίλει ανάλογα με τις τιμές των παραμέτρων α > και β >. Είναι εύκολο να δούμε ότι αν α β τότε η πυκνότητα πιθανότητας γίνεται f(x { αν < x < διαφορετικά δηλαδή ομοιόμορφη στο [, ]. Το σχήμα (.5 δίνει τις αντίστοιχες συναρτήσεις κατανομής. Οι ροπές της κατανομής Βήτα υπολογίζονται εύκολα ως εξής: EX n B(α, β Γ(α + nγ(β Γ(α + β Γ(α + β + n Γ(αΓ(β x n x α ( x β dx Γ(α + n Γ(α B(α + n, β B(α, β Γ(α + β Γ(α + β + n.

12 Σχήμα.4: Πυκνότητες Βήτα για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και β.

13 Σχήμα.5: Συναρτήσεις κατανομής Βήτα για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και β. 3

14 Από την τελευταία αυτή έκφραση, χρησιμοποιώντας την (.3, παίρνουμε EX n α (α + (α + n (α + β (α + β + (α + β + n,. (.3 Συγκεκριμένα οι δύο πρώτες ροπές είναι EX α α + β, EX α(α + (α + β(α + β +, και η δισπορά είναι Var(X αβ (α + β (α + β +..7 Ροπογεννήτριες συναρτήσεις Εστω X τ.μ. με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f. Η ροπογεννήτρια της X ορίζεται ως η συνάρτηση M X (θ : E[e θx ] e θx f(xdx (.4 για κάθε θ R για το οποίο το παραπάνω ολοκλήρωμα συγκλίνει. Ακολουθούν παραδείγματα ροπογεννητριών: Η ροπογεννήτρια συνάρτηση μιας κανονικής τ.μ. Εστω X κανονική τ.μ. με μέση τιμή και διασπορά. Η ροπογεννήτρια της X ορίζεται ως M X (θ : Ee θx Ο εκθέτης μέσα στο ολοκλήρωμα γράφεται ως έχουμε M X (θ e θ e θx e x x dx θx e dx. π π αφού το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με την μονάδα. ( x θx + t + θ και επομένως e (x θ dx e θ (.5 π Τώρα ας υποθέσουμε ότι η Y είναι κανονική τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ. Τότε έχουμε Y µ + σx και επομένως η ροπογεννήτρια σ αυτή την περίπτωση είναι M Y (θ Ee θy Ee θµ+θσx e tθµ M X (σθ e µθ+ σ θ. Η ροπογεννήτρια συνάρτηση μιας εκθετικής τ.μ. Εστω X εκθετική τ.μ. με πυκνότητα πιθανότητας f(x λe λx για x, και f(x όταν x <. Η ροπογεννήτριά της δίνεται από την σχέση M X (θ e θx λe xλ dx λ 4 e x(λ θ dx λ λ θ. (.6

15 Παρατηρείστε ότι ο παραπάνω υπολογισμός έχει νόημα μόνον όταν θ < λ. Αν το θ λ το ολοκλήρωμα απειρίζεται και η ροπογεννήτρια δεν ορίζεται. Η ροπογεννήτρια συνάρτηση μιας ομοιόμορφης τ.μ. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η X είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [a, b] με πυκνότητα πιθανότητας f(x b a όταν x [a, b] και αλλού. Η αντίστοιχη ροπογεννήτρια δίδεται από τη σχέση M X (θ b a e θx b a dx eθb e θa θ(b a. (.7 Η ροπογεννήτρια συνάρτηση μιας τ.μ. Γάμμα Εστω X μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Γαμμα(α, λ δηλαδή με πυκνότητα f(x λ (λxα Γ(α e λx όταν x > (και διαφορετικά. Η ροπογεννήτρια δίνεται από την έκφραση M(θ e θx λ (λxα e λx dx λα x α e x(λ θ dx Γ(α Γ(α ( λ α y α e y dy y x(λ θ λ θ Γ(α ( λ α υπό την προϋπόθεση ότι θ < λ. (.8 λ θ (Αν θ λ το ολοκλήρωμα αποκλίνει και η πιθανογεννήτρια δεν υπάρχει. Η ροπογεννήτριες συναρτήσεις παίρνουν το όνομά τους από το την ακόλουθη ιδιότητα: Παραγωγίζοντας την ροπογεννήτρια n φορές έχουμε d n dθ n M X(θ dn dθ n e θx d n f(xdx dθ n eθx f(xdx x n e θx f(xdx, (Στην παραπάνω εξίσωση υποθέσαμε ότι η εναλλαγή ολοκλήρωσης και παραγώγισης είναι ϑεμιτή. Δεν ϑα επεκταθούμε σ αυτό το ζήτημα. Θέτοντας στην παραπάνω εξίσωση θ, και συμβολίζοντας με M (n X (θ την n-οστή παράγωγο της M X έχουμε M (n X ( x n f(xdx µ n δηλαδή παρατηρούμε ότι η n-οστή παράγωγος της ροπογεννήτριας υπολογισμένη στο συμπίπτει με την n-οστή ροπή της κατανομής. Συνεπώς γνώση της ροπογεννήτριας συνεπάγεται γνώση όλων των ροπών της κατανομής. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι οι ροπές προσδιορίζουν την ροπογεννήτρια: Πράγματι, από το ϑεώρημα του Taylor γνωρίζουμε ότι κάθε συνάρτηση που είναι αναλυτική σε μια περιοχή του μηδενός μπορεί να εκφραστεί ως μια δυναμοσειρά: M X (θ θ n n! M(n X n 5 ( n θ n n! µ n.

16 Για την τυποποιημένη κανονική κατανομή έχουμε M(θ e θ + θ! + θ4! + θ6 3 3! + + θn n n! + Παρατηρούμε ότι οι περιττές δυνάμεις του θ απουσιάζουν πράγμα που σημαίνει ότι οι ροπές περιττής τάξης είναι. Για τις ροπές άρτιας τάξης έχουμε µ n (n! n n! ( n n! 3 5 (n. (.9 n n Για παράδειγμα µ, µ 4 3, µ 6 3 5, µ Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η έκφραση για την ροπή τάξης n που δίδεται στην (.9 είναι η λύση του ακόλουθου προβλήμτος συνδιαστικής ανάλυσης: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε n διαφορετικά αντικείμενα σε n ζευγάρια; Το πρώτο ζεύγος μπορούμε να το επιλέξουμε με ( ( n. Το δεύτερο ζευγάρι με n (επειδή μετά την επιλογή του πρώτου ζεύγους έχουν μείνει n αντικείμενα. Το τρίτο ζευγάρι με ( n 4 τρόπους και ούτω καθ εξής. Το προτελευταίο (n -οστό ζευγάρι με ( ( 4 τρόπους και το τελευταίο με τρόπους. Συνεπώς μπορούμε να φτιάξουμε n αριθμημένα (πρώτο, δεύτερο, τρίτο κ.ο.κ. ζευγάρια από n αντικείμενα με ( n ( n n(n ( n 4 ( 4 (n (n 3 ( (n 4(n (n! n. Δεδομένου όμως ότι δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των ζευγαριών και ότι μπορούμε να διατάξουμε n ζευγάρια με n! τρόπους, ο συνολικός αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να φτιάξουμε n ζευγάρια από n διαφορετικά αντικείμενα είναι (n! n n!. Αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί με τον τύπο (.9..8 Παράμετροι ϑέσης και κλίμακας Θεώρημα.. Εστω X και Y τυχαίες μεταβλητές με συναρτήσεις κατανομής F και G αντίστοιχα. Αν Y µ + σx όπου µ R, σ > τότε ( x µ G(x F. (.3 σ 6

17 Αν επιπλέον η κατανομή F είναι συνεχής με πυκνότητα πιθανότητας f τότε και η κατανομή G είναι συνεχής με πυκνότητα πιθανότητας g(x ( x µ σ f. (.3 σ Απόδειξη Πράγματι ( G(x P(Y x P (µ + σx x P X x µ ( x µ F σ σ Παραγωγίζοντας την (.3 ως προς x παίρνουμε την (.3. Αν η συνάρτηση κατανομής μιας τ.μ. X μπορεί να γραφτεί υπό την μορφή ( x µ F(x G σ όπου µ R, σ >, και G είναι κάποια άλλη συνάρτηση τότε το µ ονομάζεται παράμετρος ϑέσης και το σ παράμετρος κλίμακας. Η συνάρτηση G είναι τότε G(x F(µ + σx και κατά συνέπεια είναι επίσης μια συνάρτηση κατανομής..9 Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών Εστω X πραγματική τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F X (x P(X x και πυκνότητα πιθανότητας f X (x F (x, x R. Εστω επίσης g : R R μια πραγματική συνάρτηση. Τότε η Y : g(x είναι τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση κατανομής της Y, δίδεται από την σχέση F Y (y : P(Y y P(g(X y. (.3 Δεν ϑα εξετάσουμε το πρόβλημα στην πλήρη γενικότητά του εδώ. Θα περιοριστούμε στις εξής δύο σημαντικές περιπτώσεις..9. Η g είναι γνησίως μονοτονική, παραγωγίσιμη συνάρτηση Εστω g : I J όπου I, J ανοικτά υποσύνολα του R. Εφ όσον η g είναι γνησίως μονοτονική, η αντίστροφη συνάρτηση g : J I υπάρχει και είναι παραγωγίσιμη με (g (y g (g (y για κάθε y J. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα και επομένως η (.3 δίδει F Y (y P(X g (y F X (g (y. (g γνησίως αύξουσα 7

18 Συνεπώς, η πυκνότητα πιθανότητας της Y δίνεται από την σχέση f Y (y d dy F Y(y f X (g (y g (g (y. (.33 Στην περίπτωση που η g είναι γνησίως φθίνουσα το ίδιο ισχύει και για την g και επομένως F Y (y P(X g (y F X (g (y. (g γνησίως φθίνουσα Παραγωγίζοντας παίρνουμε σ αυτή την περίπτωση f Y (y d dy F Y(y f X (g (y g (g (y. (.34 Παρατηρούμε όμως ότι g (g (y < στην περίπτωση αυτή. Συνδιάζοντας τις (.33, (.34 έχουμε, ανεξαρτήτως αν η g είναι αύξουσα ή φθίνουσα, f Y (y f X (g (y g (g (y. (.35 Παράδειγμα. Εστω ότι η τυχαία μεταβλητή X είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (,, δηλαδή f X (x ( < x < και g : (, (, είναι η συνάρτηση g(x log( x. (Παρατηρούμε ότι η g είναι αύξουσα. Αν y log( x τότε x e y δηλαδή g (y e y. Επίσης g (x x και g (g (y ( e y ey. Συνεπώς από την (.35 έχουμε f y (y f X ( e y e y ( < e y e y e y για y > δηλαδή η Y είναι εκθετικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με ρυθμό. Παράδειγμα. Οπως ϑα δούμε είναι απλούστερο να ακολουθούμε την διαδικασία α- πό την αρχή αντί να εφαρμόζουμε τον τύπο (.35. Είναι όμως σημαντικό να κατανούμε ποιοτικά την συμπεριφορά της συνάρτησης g (πεδίο ορισμου, πεδίο τιμών και μονοτονικότητα. Εστω και πάλι ότι η X είναι ομοιόμορφη στο (, και g(x tan(π(x. g(x arctan(π(x, x R. Στο σχήμα.6 βλέπουμε το γράφημα της arctan. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και το πεδίο τιμών είναι το σύνολο ( π, π. Επίσης γνωρίζουμε ότι d dx arctan(x. Αν Y arctan(x τότε +x F y (y P(tan(π(X y P(π(X arctan(y P(X + π arctan(y + π arctan(y (αφού η συνάρτηση κατανομής της X είναι F X (x x όταν x (,. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση f Y (y d ( dy + π arctan(y π + y, y R. 8

19 Σχήμα.6: Η συνάρτηση arctan. Σχήμα.7: Πυκνότητα και συνάρτηση κατανομής Cauchy. 9

20 Σχήμα.8: Λογαριθμοκανονική πυκνότητα και συνάρτηση κατανομής. Η κατανομή Cauchy δεν έχει ροπές, ούτε καν μέση τιμή. Ο λόγος είναι ότι το ολοκλήρωμα που ορίζει την μέση τιμή δεν συγκλίνει! Παράδειγμα 3. Η λογαριθμοκανονική κατανομή. Αν η X είναι τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή η Y : e X ονομάζεται τυποποιημένη λογαριθμοκανονική τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση κατανομής της X είναι βεβαίως η Φ(x : x π e t dt. Η συνάρτηση κατανομής της Y είναι F Y (y P(Y y P(e X y P(X log(y log y e t dt. π Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε f Y (y y π e (log y, y >. Οι ροπές της λογαριμθμοκανονικής κατανομής μπορούν να υπολογισθούν εύκολα από την σχέση που την ορίζει. E[Y n ] E[(e X n ] E[e nx ] e n Στην παραπάνω σχέση χρησιμοποιήσαμε την ροπογεννήτρια της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Συνεπώς E[Y] e, E[Y ] e, Var(Y e e e(e. Παράδειγμα 4. Εστω X τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή με κατανομή Φ(x : P(X x x π e u du και πυκνότητα πιθανότητας ϕ(x : Φ (x π e x. Εστω Y X. Θέλουμε να βρούμε την συνάρτηση κατανομής και την πυκνότητα πι- ϑανότητας της Y. Παρατηρείστε ότι Y g(x όπου η συνάρτηση g(x x δεν είναι

21 μονοτονική. Εστω F(y : P(Y y P(X y. Αν y τότε F(y. Αν y > τότε F(y P( y X y Φ( y Φ( y. Η πυκνότητα της τυχαίας μεταβλητής Y για y > ϑα είναι επομένως f(y F (y (Φ( y Φ( y e ( y + y π e ( y y π π y e y π (y/ e (y/ (y/ Γ(/ e (y/ Στην παραπάνω σχέση χρησιμοποιήσαμε την (.. Παρατηρείστε ότι η Y έχει κατανομή Γαμμα(/, /. Παράδειγμα 5. Εστω X ομοιόμορφη τυχαία μεταβλητή στο [, ] και Y g(x όπου g(x x( x. Παρατηρούμε ότι η g δεν είναι μονοτονική και στο διάστημα [, ], όπου παίρνει τιμές η X, για κάθε τιμή y [, 4 ] η εξίσωση y x( x έχει δύο λύσεις, x + 4y και x 4y. Παρατηρούμε επίσης ότι το μέγιστο της συνάρτησης g βρίσκεται στο σημείο x / και είναι g(/ /4. Συνεπώς P(Y y P(X( X y όταν y /4. Επίσης, δεδομένου ότι η X παίρνει τιμές στο [, ], P(Y y P(X( X y όταν y αφού η x( x είναι μη αρντητική για x [, ]. Μένει να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(Y y όταν y (, 4. ( 4y F Y (y : P(Y > y P(X( X > y P < X < + 4y + 4y 4y. 4y Συνεπώς η συνάρτηση κατανομής της Y είναι F Y (y και η πυκνότητα πιθανότητας επειδή η X είναι ομοιόμορφη στο [, ] αν y 4y αν < y 4 αν y > 4. f Y (y { 4y αν < y 4 διαφορετικά.

22 Σχήμα.9: Η συνάρτηση g(x x( x. Σχήμα.: Η συνάρτηση κατανομής και η πυκνότητα πιθανότητας της Y.

23 Κεφάλαιο Από κοινού κατανομή τυχαίων μεταβλητών. Από κοινού κατανομή δύο τυχαίων μεταβλητών Εστω δυο τυχαίες μεταβλητές X, Y, με τιμές στο N πιθανοτήτων (Ω, A, P. Το σύνολο των πιθανοτήτων ορισμένες πάνω στο ίδιο χώρο p X,Y (i, j : P(X i, Y j, i, j N, ονομάζεται από κοινού κατανομή των X, Y. Ισχύει ασφαλώς ότι i j p XY(i, j. Οι p X (i : P(X i p Y (j : P(Y j p X,Y (i, j j p X,Y (i, j ονομάζονται περιθώριες κατανομές των X και Y αντίστοιχα. Τα παραπάνω αθροίσματα γράφονται ως άπειρα αθροίσματα μη αρνητικών αριθμών, σε πολλές περιπτώσεις όμως είναι πεπερασμένα αθροίσματα αφού όλοι οι όροι πλην πεπερασμένων μπορεί να είναι μηδέν. Παράδειγμα.. Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές X με τιμές {,, 3, 4} και Y με τιμές {, }. Εστω ότι η από κοινού κατανομή τους δίνεται από τον πίνακα. i Y/X 3 4 / / / /6 /6 / /6 3

24 Οι περιθώριες πιθανότητες δίνονται από τις p X ( /4, p X ( /6, p X (3 /, p X (4 /, p Y ( 5/, p Y ( 7/. Ορισμός.. Δύο τυχαίες μεταβλητές, X, Y, ονομάζονται ανεξάρτητες αν, P(X i, Y j P(X ip(y j, για κάθε i, j. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί επίσης να διατυπωθεί λέγοντας ότι η από κοινού κατανομή είναι το γινόμενο των περιθωρίων. Αυτό σημαίνει ότι, για να είναι οι δύο τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες, ϑα πρέπει όλα τα ενδεχόμενα της μορφής {X i}, {Y j}, να είναι ανεξάρτητα. Οταν οι τυχαίες μεταβλητές X, Y, δεν είναι ανεξάρτητες τότε ϑα ονομάζονται εξαρτημένες. Για παράδειγμα οι τυχαίες μεταβλητές με την από κοινού κατανομή που δίνεται στον πίνακα. δεν είναι ανεξάρτητες αφού P(X, Y /6 ενώ P(X P(Y /3 5/ 5/36. Ορισμός.. Η δεσμευμένη κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X, δεδομένης της Y δίδεται από την σχέση P(X i, Y j P(X i Y j. P(Y j Εστω f : N N R, μία συνάρτηση δύο μεταβλητών στους πραγματικούς αριθμούς. Τότε η μέση τιμή Ef(X, Y δίδεται από την σχέση E[f(X, Y] f(i, jp X,Y (i, j. (. i j Το επόμενο ϑεώρημα εκφράζει την ϑεμελιώδη ιδιότητα της γραμμικότητας της μέσης τιμής. Θεώρημα.. Αν X, Y δύο οποιεσδήποτε τυχαίες μεταβλητές και a, b, πραγματικοί αριθμοί, τότε E[aX + by] aex + bey. Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (., όπου f(i, j a i + b j, E[aX + by] (ai + bjp X,Y (i, j a i p X,Y (i, j + b j p X,Y (i, j i j i j j i j a i p X,Y (i, j + b j p X,Y (i, j i i a ip(x i + b jp(y j aex + bey. j i j 4

25 Θεώρημα.. Εστω f i, i,, δύο συναρτήσεις από τους φυσικούς στους πραγματικούς και X, X, δύο ανεξάρτητες τ.μ. Τότε E[f (X f (X ] E[f (X ] E[f (X ]. (. Το αποτέλεσμα αυτό επεκτείνεται επαγωγικά για οποιοδήποτε αριθμό τ.μ. Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (. έχουμε E[f (X f (X ] f (n f (n P(X n P(X n n n f (n P(X n f (n P(X n n n E[f (X ] E[f (X ]. Η συνδιακύμανση δύο τυχαίων μεταβλητών, X, X, ορίζεται ως Cov(X, X E [(X EX (X EX ] E[X X ] (EX (EX. Δυο τ.μ. των οποίων η συνδιακύμανση είναι ονομάζονται ασυσχέτιστες. Από την (. προκύπτει ότι όταν δύο τ.μ. είναι ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες αφού σ αυτή την περίπτωση E[X X ] (EX (EX. Το αντίθετο όμως δεν ισχύει, δηλαδή δύο ασυσχέτιστες τ.μ. δεν είναι υποχρεωτικά ανεξάρτητητες. Ας δούμε το ακόλουθο χαρακτηριστικό αντιπαράδειγμα. Εστω X, Y τυχαίες μεταβλητές, ορισμένες στον ίδιο χώρο με τιμές στο σύνολο {,, } και από κοινού κατανομή που δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα. Y/X /8 /8 / /8 /8 Η περιθώρια κατανομή της X είναι p X ( /4, p X ( /, p X ( /4. Η περιθώρια κατανομή της Y είναι ίδια με αυτή της X. Εχουμε συνεπώς ότι EX EY Η μέση τιμή του γινομένου των X και Y, γράφοντας μόνο τους μη μηδενικούς όρους, είναι EXY + 8 και επομένως η συνδιακύμανση είναι Cov(X, Y E[XY] EX EY. Άρα οι X και Y είναι ασυσχέτιστες. Δεν είναι όμως ανεξάρτητες. Για παράδειγμα P(X, Y 4 P(X P(Y, και επομένως η από κοινού κατανομή δεν είναι το γινόμενο των περιθωρίων. 5

26 Θεώρημα.3. Για δύο οποιεσδήποτε τ.μ. X, X, Var(X + X Var(X + Var(X + Cov(X, X. (.3 Όταν οι X, X είναι ασυσχέτιστες, Var(X + X Var(X + Var(X. Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε την ακόλουθη έκφραση για την διασπορά Var(X + X E[(X + X ] (E[X + X ] E[X + X X + X ] ( (EX + EX EX + (EX E[X ] + E[X X ] + E[X ] (EX (EX EX EX όπου χρησιμοποιήσαμε κατ επανάληψη τη γραμμικότητα της μέσης τιμής. Συλλέγοντας όρους στο τελευταίο μέλος των παραπάνω εξισώσεων και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι Var(X i EX i (EX i, i,, Cov(X, X E[X X ] EX EX, προκύπτει η (.3.. Η ανισότητα του Chebyshev Θεώρημα.4. Αν X είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο µ και διασπορά σ τότε, για κάθε ɛ >, P( X µ > ɛ σ ɛ. (.4 Απόδειξη. σ (k µ p k k (k µ p k {k: k µ >ɛ} ɛ {k: k µ >ɛ} p k ɛ P( X µ > ɛ. (k µ p k + {k: k µ >ɛ} {k: k µ ɛ} (k µ p k Πόρισμα.. Αν για μια τυχαία μεταβλητή με μέσο µ και διασπορά σ ισχύει ότι σ τότε P(X µ. Απόδειξη. Από το δεξί μέλος της ανισότητας του Chebyshev ισχύει ότι P( X µ > ɛ για κάθε ɛ >. 6

27 Η παραπάνω ανισότητα μας δίνει ένα άνω όριο για την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να απέχει περισσότερο από ɛ από τη μέση της τιμή. Το άνω όριο δεν είναι εν γένει ικανοποιητικό για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, έχει όμως μεγάλη ϑεωρητική σημασία. Εδώ ϑα το χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξη του Νόμου των Μεγάλων Αριθμών. Ως ένα παράδειγμα εφαρμογής της ανισότητας του Chebyshev, ας πάρουμε την X ομοιόμορφη στο σύνολο {,,..., }. Εχουμε EX 5, 5 και Var(X 833, 5. Με ɛ 4 η ανισότητα μας λέει ότι P( X 5, 5 > 4 833, 5 6, 5. Είναι όμως P( X 5, 5 > 4 P(X 9 + P(X,. Για μικρές τιμές του ɛ το δεξί μέλος της (.4 γίνεται μεγαλύτερο από την μονάδα κι έτσι η ανισότητα δεν μας δίνει καμία χρήσιμη πληροφορία. Οπως ϑα δούμε όμως, σαν ϑεωρητικό εργαλείο μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμη..3 Η ανισότητα Cauchy Schwarz Θεώρημα.5. Για δύο οποιεσδήποτε τυχαίες μεταβλητές X, Y, με πεπερασμένες διασπορές ισχύει ότι Cov(X, Y Var(XVar(Y. (.5 Αν η (.5 ισχύει ως ισότητα, τότε υπάρχουν a, b R τέτοια ώστε Y ax + b. Απόδειξη. Θεωρούμε την συνάρτηση f(t : Var(Y tx Var(Y + t Var(X tcov(x, Y με t R. Εφ όσον η f(t είναι διασπορά ϑα είναι υποχρεωτικά f(t για κάθε t R. Συνεπώς η διακρίνουσα του τριωνύμου ϑα είναι αρνητική ή μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι (Cov(X, Y Var(XVar(Y. Από την σχέση αυτή προκύπτει άμεσα η (.5. Αν η (.5 ισχύει ως ισότητα τότε η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι και υπάρχει ακριβώς μια τιμή του t, έστω t a τέτοια ώστε f(a. Αυτό όμως σημαίνει ότι Var(Y ax και συνεπώς ότι P(Y ax b με b E[Y ax] από το πόρισμα της ανισότητας του Chebyshev. Η τιμή του a είναι Cov(X,Y Var(X. Ορισμός.3. Η ποσότητα Cov(X, Y ρ : Var(XVar(Y ονομάζεται συντελεστής συσχέτισης και παίρνει τιμές στο διάστημα [, ]. (.6 Το γεγονός ότι ο συντελεστής συσχέτισης ανήκει πάντα στο διάστημα [, ] είναι απόρροια της ανισότητας Cauchy Schwarz. 7

28 .4 Ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Θεώρημα.6. Αν X, X, X 3,... είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με μέσο µ και διασπορά σ τότε ο αριθμητικός μέσος X +X + +X n n πιθανότητα στην μέση τιμή όταν το n δηλαδή ( X + X + + X n P n τείνει κατά µ > ɛ ɛ > όταν n. (.7 Απόδειξη. Ας ϑέσουμε Y n : n (X + + X n. Θα έχουμε EY n n (µ + + µ µ από την γραμμικότητα της μέσης τιμής και αφού οι X i, i,,..., n, είναι ανεξάρτητες ϑα έχουμε επίσης ότι Var(Y n n (σ + + σ σ n. Το αριστερό μέλος της (.7 γράφεται ως P( Y n µ ɛ και από την ανισότητα του Chebyshev έχουμε ότι P( Y n µ > ɛ Var(Y n ɛ σ nɛ. Για ɛ > οσοδήποτε μικρό αλλά σταθερό, καθώς το n τείνει στο άπειρο το δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης τείνει στο μηδέν! Αυτό αποδεικνύει την (.7. (Ισόνομες τυχαίες μεταβλητές είναι τυχαίες μεταβλητές που έχουν τον ίδιο «νόμο πιθανοτήτων» δηλαδή την ίδια κατανομή. Η υπόθεση αυτή δεν ήταν πραγματικά α- παραίτητη εδώ. Αρκεί οι τυχαίες μεταβλητές να είναι ανεξάρτητες (ή ακόμα και απλά ασυσχέτιστες και να έχουν την ίδια μέση τιμή και διασπορά..5 Κατανομή του αθροίσματος ανεξαρτήτων τ.μ. Εστω X, Y, ανεξάρτητες τ.μ. με δεδομένες κατανομές P(X n, P(Y m, n, m,,,.... Εστω Z X + Y, το άθροισμα των δύο τ.μ. Η κατανομή της Z υπολογίζεται ως εξής P(Z k P(X + Y k k P(X n, Y k n n k P(X np(y k n. (.8 n Η τελευταία σχέση οφείλεται στην ανεξαρτησία των X και Y το δε άθροισμα ονομάζεται συνέλιξη των δύο κατανομών. 8

29 Παράδειγμα.. Εστω X διωνυμική τ.μ. με παραμέτρους n και p δηλαδή P(X i ( n i p i q n i, για i,,,..., n, όπου q p. Η τ.μ. Y είναι επίσης διωνυμική με παραμέτρους m και p και ανεξάρτητη από την X. Η κατανομή της Z : X + Y δίνεται τότε από την συνέλιξη των δύο διωνυμικών κατανομών δηλαδή P(Z k k P(X ip(y k i i k ( ( n m p k q m+n k i k i i ( m + n p k q m+n k. k k i ( ( n m p i q n i p k i q m k+i i k i Στην τελευταία εξίσωση της παραπάνω σχέσης χρησιμοποιήσαμε την συνδυαστική ταυτότητα k ( n i i ( m k i ( m + n k. (.9 Παράδειγμα.3. Εστω X, Y ανεξάρτητες γεωμετρικές τ.μ. με παράμετρο p. Η κατανομή της Z : X + Y δίνεται από την συνέλιξη P(Z k k k P(X ip(y k i pq i pq k i i (k q k p. i (Η κατανομή αυτή όπως ϑα δούμε αργότερα είναι μια ειδική περίπτωση της αρνητικής διωνυμικής κατανομής ή κατανομής Pascal. Παράδειγμα.4. Εστω X τ.μ. Poisson με παράμετρο α, δηλαδή P(X k αk k! e α, k,,,.... Η τ.μ. Y είναι επίσης Poisson με παράμετρο α και ανεξάρτητη της X. Η κατανομή της Z : X + Y δίνεται τότε από την συνέλιξη των δύο κατανομών Poisson δηλαδή P(Z k k P(X np(y k n n e (α +α k n (α + α k e (α +α. k! k α n n! e α n α n α k n n! (k n! k! e (α +α α k n (k n! e α k n ( k α n n αk n Επομένως το άθροισμα δύο ανεξαρτήτων τ.μ. Poisson είναι πάλι Poisson με παράμετρο το άθροισμα των παραμέτρων. 9

30 .6 Παραδείγματα. Ας υποθέσουμε ότι ρίχνουμε δύο ζάρια διακριτά μεταξύ τους, π.χ. ένα κόκκινο και ένα πράσινο. Εστω X το αποτέλεσμα της ρίψης του κόκκινου ζαριού και Y το αποτέλεσμα της ρίψης του πράσινου. Η από κοινού κατανομή των X, Y, δίνεται από τον πίνακα Y/X /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 4 /36 /36 /36 /36 /36 /36 5 /36 /36 /36 /36 /36 /36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Εστω Z : min(x, Y και W : max(x, Y το μικρότερο και το μεγαλύτερο από τα δύο αποτελέσματα των δύο ζαριών. Οι Z και W είναι βεβαίως τυχαίες μεταβλητές. Η από κοινού κατανομή της X και της Z είναι Z/X /36 /36 /36 /36 /36 /36 5/36 /36 /36 /36 /36 3 4/36 /36 /36 /36 4 3/36 /36 /36 5 /36 /36 6 /36 (Κενές τιμές στον πίνακα είναι μηδέν. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε πώς συμπληρώνεται αυτός ο πίνακας. Για παράδειγμα P(X, Z 3 αφού είναι αδύνατον το μικρότερο από τα αποτελέσματα να είναι μεγαλύτερο από τό ελάχιστο των δύο. P(X 3, Z P(X 3, Y /36 αφού σ αυτή την περίπτωση η τιμή του Z αποκαλύπτει και την τιμή του Y. Τέλος P(X 3, Z 3 P(X 3, Y + P(X 3, Y + P(X 3, Y 3 3/36. Οι υπόλοιπες τιμές συμπληρώνονται με παρόμοιο τρόπο. Εντελώς ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι W/X /36 /36 /36 3 /36 /36 3/36 4 /36 /36 /36 4/36 5 /36 /36 /36 /36 5/36 6 /36 /36 /36 /36 /36 6/36 3

31 Τέλος η από κοινού κατανομή του maximum και του minimum είναι W/Z /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 4 /36 /36 /36 /36 5 /36 /36 /36 /36 /36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Για να καταλάβουμε πώς συμπληρώνεται ο τελευταίος πίνακας παρατηρούμε ότι P(W, Z P(X, Y /36. Τό ίδιο ισχύει βέβαια και για τα άλλα διαγώνια στοιχεία. Παρόμοια, P(W, Z 4 αφού το maximum δεν μπορεί να είναι μικρότερο από το minimum. Τέλος P(W 4, Z P(X, Y 4 + P(X 4, Y /36. Ας υπολογίσουμε τώρα τις περιθώριες κατανομές των Z και W. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τρίτο πίνακα αλλά ϑα μπορούσαμε εναλλακτικά να χρησιμοποιήσουμε και τους δύο πρώτους. Εχουμε W /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 Z /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Η μέση τιμή της W είναι EW 36 ( , 47. Δεν πρέπει να μας εκπλήσσει το γεγονός ότι η μέση τιμή της W είναι μεγαλύτερη από την EX 3, 5. Την μέση τιμή της Z ϑα μπορούσαμε να την υπολογίσουμε από τον ορισμό. Ομως είναι απλούστερο (και πιο διδακτικό να παρατηρήσουμε ότι X + Y min(x, Y + max(x, Y Z + W. Από την γραμμικότητα της μέσης τιμής ϑα έχουμε EX + EY EZ + EW και συνεπώς EZ 7 4, 47, 578. Οι διασπορές υπολογίζονται επίσης από τον ορισμό: Var(X, 967, Var(W Var(Z, 975. Παρατηρείστε ότι λόγω συμμετρίας οι διασπορές των Z και W είναι ίσες. Οι συνδιακυμάνσεις που υπολογίζονται από τον ορισμό είναι Cov(X, Z, 4583, Cov(X, W, 4583, Cov(Z, W, 945. Τέλος οι συντελεστές συσχέτισης είναι ρ XZ, 68, ρ XW, 68, ρ ZW, Παρατηρείστε ότι όλοι οι συντελεστές συσχέτισης είναι ϑετικοί. Αυτό είναι αναμενόμενο. Αν ξέρουμε ότι το X είναι μεγάλο τότε το minimum των X και Y επίσης ϑα τείνει 3

32 να είναι μεγαλύτερο από τη μέση του τιμή, όπως και το maximum. Αν ξέρουμε ότι το minimum είναι μεγαλύτερο από την μέση του τιμή τότε και το maximum ϑα τείνει να είναι μεγαλύτερο από τη δική του μέση τιμή. Ομως η γνώση του X μας δίνει μεγαλύτερη πληροφορία για το maximum απ ότι η γνώση του minimum και γι αυτό ρ XZ > ρ WZ..7 Ασκήσεις Πρόβλημα.. Εστω X, X ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Poisson με παραμέτρους α, α αντίστοιχα. Αν S X + X είναι το άθροισμά τους να ευρεθεί η πιθανότητα P(X k S n, k,,,..., n. Πρόβλημα.. X i, i,, 3, είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή Poisson με παραμέτρους α i αντίστοιχα. Αν W X + X 3 και V X + X 3 να υπολογίσετε τους μέσους των W, V, τις διακυμάνσεις, την συνδιακύμανση και τον συντελεστή συσχέτισης. Να υπολογίσετε επίσης και την από κοινού κατανομή των W και V. Πρόβλημα.3. Η από κοινού κατανομή των τυχαίων μεταβλητών X, Y, που παίρνουν τιμές στο σύνολο {,, } δίδεται από τον πίνακα /6 /6 /6 /6 /6 /6 Y/X Να ευρεθούν οι μέσοι, οι διακυμάνσεις και η συνδιακύμανση των X, Y. Είναι οι X, Y ανεξάρτητες;.8 Πιθανογεννήτριες Εστω X μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με κατανομή P(X k p k, k,,,.... Η πιθανογεννήτρια της X είναι η συνάρτηση G(z : p k z k (. Η μεταβλητή z παίρνει πραγματικές τιμές (στις εφαρμογές που ϑα συζητήσουμε και κυμαίνεται στο διάστημα στο οποίο η σειρά (. συγκλίνει. Παρατηρείστε ότι η (. σημαίνει ότι G(z : E[z X ]. k 3

33 Η σειρά (. που ορίζει την πιθανογεννήτρια συγκλίνει τουλάχιστον όταν z [, ]. Συμβολίζουμε με G (k (z την παράγωγο τάξης k υπολογισμένη στην τιμή z. Τότε p k k! G(k (, k,,,..., (. Παρατηρούμε ότι η κατανομή {p k } προφανώς προσδιορίζει με μοναδικό τρόπο την πι- ϑανογεννήτρια G(z αλλά και η πιθανογεννήτρια G(z προσδιορίζει με μοναδικά την κατανομή {p k } μέσω της (.. Οι πιθανογεννήτριες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για τον προσδιορισμό της κατανομής αθροισμάτων ανεξάρτητων διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Αν οι X, Y, είναι α- νεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με πιθανογεννήτριες G X (z, G Y (z αντίστοιχα, η πι- ϑανογεννήτρια του αθροίσματος Z X + Y είναι G Z (z G X (zg Y (z. Πράγματι, G Z (z E[z X+Y ] E[z X z Y ] Ez X Ez Y, όπου, η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω της ανεξαρτησίας των X, Y. Η σχέση αυτή επεκτείνεται επαγωγικά για οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος ανεξάρτητων τ.μ.. Αν X i, i,,..., n είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τ.μ. με (κοινή πιθανογεννήτρια G X (z, τότε το άθροισμά τους S n : X + + X n έχει πιθανογεννήτρια G Sn (z (G X (z n. Παρ ότι η πιθανογεννήτρια του αθροίσματος S n προκύπτει εύκολα ως το γινόμενο των πιθανογεννητριών των X i, η κατανομή της S n είναι δυσκολότερο να υπολογιστεί. Βάσει των ανωτέρω, P(S n k d k k! dz k (G X(z n, z μια ποσότητα η οποία, εν γένει, δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί..8. Παραδείγματα πιθανογεννητριών.8. Η κατανομή Bernoulli Η τυχαία μεταβλητή X { με πιθανότητα q με πιθανότητα p όπου p [, ] και q p ονομάζεται Bernoulli. Η κατανομή Bernouli ειναι η πλέον στοιχειώδης και αποτελεί δομικό λίθο για πιο περίπλοκες κατανομές. Η πιθανογεννήτρια της κατανομής αυτής είναι G(z z P(X + z P(X + z P(X + q + pz. Η μέση τιμή της X είναι E[X] G ( p. Η δεύτερη παραγοντική ροπή είναι E[X(X ] G (. Συνεπώς E[X X] και E[X ] E[X], δηλαδή E[X ] p. Συνεπώς Var(X E[X ] (E[X] p p p( p pq. 33

34 .8.3 Η Διωνυμική κατανομή Μια τυχαία μεταβλητή X με κατανομή ( n P(X k p k q n k, k αν k,,,..., n και διαφορετικά ονομάζεται διωνυμική. Περιγράφει την πιθανότητα να έχουμε k επιτυχίες σε n ανεξάρτητες δοκιμές, κάθε μια από τις οποίες έχει πιθανότητα επιτυχίας p [, ] (και πιθανότητα αποτυχίας q p. Η πιθανογεννήτρια της διωνυμικής κατανομής είναι G(z n k ( n p k q n k z k (q + pz n k όπου στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε το διωνυμικό ϑεώρημα. Ο μέσος και η διασπορά μπορούν να υπολογισθούν από την πιθανογεννήτρια ως εξής: G (z np(q+ pz n και G (z n(n p (q + pz n (υποθέτουμε ότι n. E[X] G ( np (χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι p + q. E[X(X ] n(n p. Συνεπώς E[X ] n(n p + E[X] n(n p + np και κατά συνέπεια Var(X E[X ] (E[X] n(n p + np n p np np np( p npq..8.4 Η κατανομή Poisson Η τυχαία μεταβλητή X έχει κατανομή Poisson με παράμετρο α > αν Η πιθανογεννήτριά της δίδεται από την G(z k P(X k k! αk e α, k,,,.... z k k! αk e α e α k! (αzk e α e zα e α( z. k Η μέση τιμή και η διασπορά της κατανομής Poisson υπολογίζεται εύκολα ως EX Var(X α. Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες της κατανομής Poisson είναι ότι προκύπτει ως το όριο της διωνυμικής κατανομής Binom(n, α/n όταν n (δηλαδή στην περίπτωση που έχουμε ένα μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων δοκιμών, n, η κάθε μια από τις οποίες έχει μικρή πιθανότητα επιτυχίας, α/n. Αυτό είναι εύκολο να διαπιστωθεί εξετάζοντας την πιθανογεννήτρια της διωνυμικής κατανομής (n, α/n και παίρνοντας το όριο n. Πράγματι, ( lim α ( n n n n + zα lim n 34 α( z n e α( z n

35 το οποίο δείχνει ότι Binom(α/n, n Poi(α όταν n. Ισχύει επίσης ότι, αν X, X είναι ανεξέαρτητες τυχαίες μεταβλητές Poisson με παραμέτρους α, α αντίστοιχα, τότε X + X Poi(α + α. Ο απλούστερος τρόπος να το διαπιστώσουμε είναι να εξετάσουμε την πιθανογεννήτρια Ez X +X Ez X Ez X e α ( z e α ( z e (α +α ( z..8.5 Η Γεωμετρική Κατανόμή Η τυχαία μεταβλητή X είναι γεωμετρική με παράμετρο p όταν η κατανομή της δίδεται από την P(X k q k p, k,, 3,..., (. όπου p (, και q p. δίδεται από την σχέση G(z Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της κατανομής αυτής q k pz k k ( qz qz. (.3 Η παράμετρος p ονομάζεται συνήθως πιθανότητα επιτυχίας και η τιμή της X είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων δοκιμών που απαιτούνται μέχρι την πρώτη επιτυχία αν κάθε δοκιμή έχει πιθανότητα επιτυχίας p. Εναλλακτικά, μπορούμε να εξετάσουμε τον αριθμό των αποτυχιών, Y, μέχρι την πρώτη επιτυχία. Στην περίπτωση αυτή Y X και με πιθανογεννήτρια P(Y k q k p, k,,,..., (.4 Ez Y q qz. (.5 Μπορούμε να δούμε εύκολα ότι EY q/p και Var(Y q/p. Επίσης, EX +EY /p και Var(X Var(Y q/p..8.6 Η Αρνητική Διωνυμική Κατανομή (Κατανομή Pascal Ξεκινάμε με τον ορισμό του διωνυμικού συντελεστή στην περίπτωση που a R και n N ως ( a a(a... (a n + :. n n! Αν ο a είναι φυσικός αριθμός τότε ( a n για κάθε n > a. Αν ο a είναι αρνητικός ακέραιος ή μη ακέραιος πραγματικός αριθμός, τότε ( a n για κάθε n N. Σύμφωνα με το διωνυμικό ϑεώρημα, για κάθε x < και α R: ( + x α k 35 ( α x k. (.6 k

36 (Αν ο α είναι ϑετικός ακέραιος τότε ( α k για κάθε k α +, α +, και συνεπώς η άπειρη σειρά (.6 γίνεται ένα άθροισμα με πεπερασμένο πλήθος όρων: ( + x α x k. α ( α k k Ο διωνυμικός συντελεστής ( α n γράφεται ως ( α n ( α( α ( α n + ( α n + n! n (α + n (α + n (α + α ( n! Συνεπώς, για κάθε x < ισχύει η ταυτότητα ( x α k ( α + n ( n. n ( α ( α + k ( x k x k. (.7 k k k Αν p (, και q p τότε η αρνητική διωνυμική κατανομή με παραμέτρους p και α > ορίζεται ως ( α + k P(X k p α q k, k,,,.... (.8 k Η παραπάνω έκφραση ορίζει πράγματι μια κατανομή πιθανότητας στους μη αρνητικούς ακεραίους δεδομένου ότι ( α+k k > όταν α > για κάθε k N και ( α+k k k p α q k p α ( q α, λόγω της σχέσης (.7. Η πιθανογεννήτρια της αρνητικής διωνυμικής κατανομής δίδεται από την G(z ( α + k k k p α q k z k ( p α. qz Η μέση τιμή της αρνητικής διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής X είναι EX G ( αq pα ή ( q α+ EX α q p. ( Ομοίως, EX(X G ( α(α + q pα α(α + q. ( q p Τηυς ωε ηαε EX ( α+ ( ( α(α + q p + α q p ανδ τηυς Var(X α(α + q p + α q p (α q p α q p + q p ή Var(X α q p. Οταν α m N η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι η κατανομή του αθροίσματος m ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών γεωμετρικά κατανεμημένων (του τύπου (.4», η κάθε μια με πιθανότητα επιτυχίας p. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα με την βοήθεια των πιθανογεννητριών. 36

37 Επίσης E[X(X (X k + ] G (k (. (.9 Η έκφραση (.9 ονομάζεται κατιούσα παραγοντική ροπή τάξης k. Οι συνήθεις ροπές μπορούν να υπολογιστούν από αυτές. 37

38 38

39 Κεφάλαιο 3 Πολυμεταβλητές Κατανομές 3. Πολυωνυμική Κατανομή Εστω ένα πείραμα που μπορεί να έχει m διαφορετικά αποτελέσματα, τα οποία ονομάζουμε a, a,..., a m. Η πιθανότητα το αποτέλεσμα του πειράματος να είναι το a i είναι p i και m i p i. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι η η ρίψη ενός τίμιου ζαριού όπου υπάρχουν έξι διαφορετικά ισοπίθανα αποτελέσματα. Εκτελούμε το πείραμα n φορές και υποθέτουμε ότι κάθε επανάληψη είναι ανεξάρτητη από όλες τις άλλες. Εστω X ο αριθμός των πειραμάτων στα οποία το αποτέλεσμα ήταν a, X ο αριθμός των πειραμάτων στα οποία το αποτέλεσμα ήταν a και X n ο αριθμός των πειραμάτων στα οποία το αποτέλεσμα ήταν a m. Τα X, X,..., X m είναι τυχαίες μεταβλητές οι οποίες βεβαίως δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ισχύει μάλιστα, αναγκαστικά, ότι X + X + + X m n. Η από κοινού κατανομή των τυχαίων αυτών μεταβλητών ονομάζεται πολυωνυμική. Αν n, n,..., n m είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τέτοιοι ώστε m i n i n, τότε ( n P(X n, X n,..., X m n m p n n, n,..., n pn pnm m. (3. m Ας δούμε πρώτα ένα παράδειγμα. Εστω ένα πείραμα που έχει τρία δυνατά αποτελέσματα, τα a, a, και a 3 τα οποία συμβαίνουν με πιθανότητες p, p και p 3 αντίστοιχα, όπου βεβαίως p + p + p 3 εφόσον ένα από τα τρία αποτελέσματα ϑα συμβεί κάθε φορά. Ας υποθέσουμε ότι το εκτελούμε φορές και κάθε επανάληψη είναι ανεξάρτητη από όλες τις άλλες. X i, i,, 3, είναι ο αριθμός των πειραμάτων των οποίων το αποτέλεσμα ήταν a i. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X 3, X 5, X 3. Η πιθανότητα να έχουμε τα αποτελέσματα a a a a a a a a a 3 a 3 είναι p 3 p5 p 3 λόγω της ανεξαρτησίας των πειραμάτων. Η πιθανότητα μιας οποιασδήποτε άλλης πραγματοποίησης με 3 a, 5 a και a 3 είναι η ίδια. Το μόνο ϑέμα που υπάρχει 39

40 είναι να δούμε πόσες διαφορετικές πραγματοποιήσεις υπάρχουν με τον συγκεκριμένο αριθμό των τριών αποτελεσμάτων, με πόσους διαφορετικούς τρόπους δηλαδή μπορούμε να βάλουμε στη σειρά 3 a, 5 a και a 3. Αυτός ο αριθμός όμως είναι ο αριθμός των επαναληπτικών μεταθέσεων που είναι ( 3,5, 5. Συνεπώς P(X 3, X 5, X 3 ( 3,5, p 3 p 5 p 3. Ως ένα δεύτερο παράδειγμα επιβεβαιώστε ότι η πιθανότητα σε 6 ρίψεις ενός τιμίου ζαριού να έχουμε δυάρια, τεσσάρια και εξάρια είναι ( 6 (,,,,, 6 ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 ( 6 6!, 9.!!!!!! 66 Η από κοινού κατανομή του αριθμού των διαφορετικών αποτελεσμάτων, (X, X,..., X m, ονομάζεται πολυωνυμική κατανομή. Το αθροισμα των πολυωνυμικών πιθανοτήτων (3. για όλα τα n, n,..., n m τέτοια ώστε m i n i n είναι μονάδα λόγω του πολυωνυμικού ϑεωρήματος: {(n,...,n m: m i n in} ( n n, n,..., n m p n pn pnm m (p + + p m n n. Η περιθώρια κατανομή της X i μπορεί να υπολογισθεί αθροίζοντας τις πολυωνυμικές πιθανότητες. Ας δούμε ξανά το πείραμα που έχει τρία διαφορετικά αποτελέσματα, a, a, και a 3 τα οποία συμβαίνουν με πιθανότητες p, p και p 3 αντίστοιχα, όπου p + p + p 3, και το οποίο επαναλαμβάνουμε ανεξάρτητα n φορές. Εστω X, X, X 3, ο αριθμός των αποτελεσμάτων τύπου a, a, και a 3 στις n επαναλήψεις. Η από κοινού κατανομή των (X, X, X 3 ϑα είναι, σύμφωνα με τον τύπο (3. για m 3, P(X i, X j, X 3 k ( n p i i, j, k pj pk 3. (3. Για να βρούμε την περιθώρια κατανομή του X αρκεί να αθροίσουμε ως εξής: P(X i {(j,k:j+kn i, j,k N } ( n p i i, j, k pj pk 3 i,,,..., n. Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι i + j + k n και ( n i, j, k n! (n i! (n i!i! (n i j!j! 4 ( ( n n i i j

41 η παραπάνω έκφραση γράφεται ισοδύναμα ως P(X i n i ( ( n n i i j j ( n i p i (p + p 3 n i p i pj pn i j 3 ( n n i ( n i p i p j i j pn i j 3 j ( n p i i ( p n i (3.3 όπου, στην προτελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το διωνυμικό ϑεώρημα και στην τελευταία το γεγονός ότι p + p 3 p. Από την (3.3 είναι σαφές ότι η X έχει Διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p και αριθμό δοκιμών n. Αυτό μπορεί να το καταλάβει κανείς άμεσα ϑεωρόντας ότι το πείραμα δεν έχει τρία αποτελέσματα αλλά μόνο δύο: το αποτέλεσμα a που συμβαίνει με πιθανότητα p και το αποτέλεσμα «όχι a» (δηλαδή a ή a 3 που συμβαίνει με πιθανότητα p + p 3 p. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε γενικά (και οι δείκτες δεν πρέπει να μας αποθαρρύνουν ότι η περιθώριος κατανομή του X i για την γενική πολυωνυμική κατανομή (3. είναι διωνυμική: ( n P(X i n i p n i i ( p i n n i, n i,,..., n. (3.4 n i Από τις ιδιότητες της διωνυμικής κατανομής συμπεραίνουμε ότι EX i np i και Var(X i np i ( p i. Στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε την από κοινού κατανομή των (X, X για την πολυωνυμική κατανομή (3. με τρία διαφορετικά αποτελέσματα. Αν i, j είναι δύο μη αρνητικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε i+j n τότε, λαμβάνοντας υπ όψιν ότι i+j+k n έχουμε P(X i, X j ( n p i i, j, k pj pk 3 ( n p i i, j, n i j pj ( p p n i j, i + j n. Προκειμένου να υπολογίσουμε την συνδιακύμανση των X, X, υπολογίζουμε πρώτα την μέση τιμή του γινομένου ( n E[X X ] ij p i i, j, n i j pj ( p p n i j {(i,j: i+j n, i, j } {(i,j: i+j n, i, j } n(n p p n! (i!(j!(n i j! pi pj ( p p n i j {(i,j: i +j n, i, j } 4 (n! (i!(j!(n (i (j! p i p j ( p p n (i (j.

42 Αν ϑέσουμε i i, j j, το τελευταίο σκέλος της παραπάνω εξίσωσης γράφεται ως n(n p p {(i,j : i +j n, i, j } (n! i!j!(n i j! pi pj ( p p n i j Ας ϑέσουμε k n i j. Παρατηρείστε ότι όταν προσδιορίζονται τα i, j, προσδιορίζεται ταυτόχρονα και το k. Το παραπάνω άθροισμα μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως n(n p p {(i,j,k : i +j +k n, i,j,k } (n! i!j!k! pi pj ( p p k n(n p p (p + p + p p n n(n p p (3.5 όπου χρησιμοποιήσαμε το πολυωνυμικό ϑεώρημα. Συνεπώς Cov(X, X E[X X ] EX EX n(n p p np np np p. (3.6 Ο συντελεστής συσχέτισης ανάμεσα στο X και X είναι np p ρ np ( p np ( p p p ( p ( p. (3.7 Παρατηρήστε ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι αρνητικός. Αυτό είναι λογικό. Δεδομένου ότι ο αριθμός των πειραμάτων είναι σταθερός, αν έχουμε μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων a τότε αναγκαστικά ϑα τείνουμε να έχουμε μικρότερο αριθμό αποτελεσμάτων a. Πρόβλημα 3.. Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές. Ποιά είναι η πιθανότητα να πάρουμε 4 εξάρια, 3 πεντάρια, τεσσάρια και ένα τριάρι (με οποιαδήποτε σειρά; ( (Απ. 4,3,, Η πολυμεταβλητή υπεργεωμετρική κατανομή Ας υποθέσουμε ότι σε μια κάλπη έχουμε K μπάλες χρώματος, K μπάλες χρώματος, κλπ. και K m μπάλες χρώματος m. Συνολικά δηλαδή στην κάλπη υπάρχουν N : K + K + + K m μπάλες, ασχέτως χρώματος. Από αυτές παίρνουμε, χωρίς ε- πανατοποθέτηση, n μπάλες με n N. Εστω X i ο αριθμός των μπαλών χρώματος i, i,,..., m στο δείγμα μεγέθους n που πήραμε. Τότε P(X n, X n,..., X m n m ( K ( K ( n n Km ( N, n i N, n nm m n i n. (3.8 Επισημαίνουμε πάλι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω έκφραση α- κόμα και στην περίπτωση που n i > K i μια και ο αντίστοιχος διωνυμικός συντελεστής 4 i

43 μηδενίζεται. Συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση (3.8 για κάθε διάνυσμα μη αρνητικών ακεραίων (n,..., n m. Ο λόγος που ισχύει η (3.8 είναι ότι μπορούμε να διαλέξουμε n i μπάλες χρώματος i από K i που υπάρχουν στην κάλπη με ( K n i τρόπους ενώ μπορούμε να διαλέξουμε n μπάλες ασχέτως χρώματος από τις N που υπάρχουν στην κάλπη με ( N n τρόπους. Ας επαληθεύσουμε τώρα ότι {(n,...,n m} : m i n in P(X n,..., X m n m. (3.9 Προκειμένου να το δείξουμε αρκεί να δούμε ότι Ας εξετάσουμε το γινόμενο {(n,...,n m} : m i n in ( ( K K n n ( Km n m ( N. (3. n Ο συντελεστής του όρου x n xn xnm m ( + x K ( + x K ( + x m Km. ( ( K K n ϑα είναι n Αν ϑέσουμε τώρα x x x m x τότε ( Km n m. ( + x K ( + x K ( + x Km ( + x N (3. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, ο συντελεστής του x n (n N m i K i στο αριστερό μέλος της (3. δίνεται από το αριστερό μέλος της (3. ενώ ο συντελεστής του x n στο δεξί μέλος της (3. δίνεται από το δεξί μέλος της (3.. Η περιθώρια κατανομή του X i είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι είναι υπεργεωμετρική. Αρκεί να ϑεωρήσουμε ότι όλες οι μπάλες που δεν είναι χρώματος i είναι κάποιου άλλου χρώματος που δεν μας ενδιαφέρει και να διαπιστώσουμε ότι P(X i n i ( Ki ( N Ki n i n n i ( N n, n i,,..., n. (3. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δούμε ότι η από κοινού κατανομή των X i, X j είναι P(X i n i, X n j ( Ki ( Kj ( N Ki K j n i n j n n i n j ( N, n i + n j n. (3.3 n 43

44 Η μέση τιμή και η διασπορά των X i, X j δίνεται από τις γνωστές εκφράσεις για την υπεργεωμετρική κατανομή. EX i n K i N, Var(X i n K i N N K i N N n N. (3.4 Για να προσδιορίσουμε την συνδιακύμανση αρκεί να δούμε ότι EX X (n,n : n i,n j,{n +n n} K ik j ( N n {(n,n : n i,n, n +n n} ( Ki ( Kj n n n i ( N n ( N Ki K j n j n n i n j ( ( ( Ki Kj N Ki K j n i n j n n i n j Αν ϑέσουμε l i n i, l j n j η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως EX X K ik j ( ( ( Ki Kj N (Ki (K j ( N n l i l j n l i l j {(l,l : l i,l, l +l n } ( N n K K K K ( N n(n n N(N. Συνεπώς η συνδιακύμανση των X, X είναι K K Cov(X, X E[X X ] EX EX n(n N(N nk N nk N n(n n K K N N N. (3.5 Τέλος ο συντελεστής συσχέτισης προσδιορίζεται εύκολα από την (3.5 και την (3.4 και μετά από εύκολες απλοποιήσεις προκύπτει ότι K i K j ρ (N K i (N K j. (3.6 Πρόβλημα 3.. Ενα κιβώτιο περιέχει χίλιους λαμπτήρες, από τους οποίους δεν λειτουργούν. Οι χίλιοι αυτοί λαμπτήρες τοποθετούνται τυχαία σε κουτιά. Ποιά είναι η πιθανότητα και οι χαλασμένοι λαμπτήρες να βρεθούν στο ίδιο κουτί; Αν X i, i,,...,, είναι ο αριθμός των χαλασμένων δοχείων στο κουτί i, ποιά είναι η από κοινού κατανομή των τυχαίων μεταβλητών αυτών; Πρόβλημα 3.3. Μια κάλπη έχει N σφαιρίδια που γράφουν τον αριθμό, N που γράφουν τον αριθμό και N 3 που γράφουν τον αριθμό 3. Διαλέγω (χωρίς επανατοποθέτηση n σφαιρίδια. Αν X i ο αριθμός των σφαιριδίων, μεταξύ αυτών που επέλεξα, που γράφουν τον αριθμό i, i,, 3, να βρείτε την από κοινού κατανομή των X, X, X 3. Επίσης να ευρεθούν οι μέσοι, διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις. 44

45 Κεφάλαιο 4 Από κοινού κατανομή δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών 4. Από κοινού συνάρτηση κατανομής δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών Εστω X, Y, δύο τυχαίες μεταβλητές. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής είναι η συνάρτηση F(x, y : P(X x, Y y, x, y R. (4. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής έχει τις εξής ιδιότητες:. Είναι αύξουσα ως προς κάθε ένα από τα δύο ορίσματα, δηλαδή αν x x και y y τότε F(x, y F(x, y και F(x, y F(x, y. (4.. Ισχύει ότι lim Y(y x (Η περιθώρια συνάρτηση κατανομής της Y lim X(x y (Η περιθώρια συνάρτηση κατανομής της X lim F(x, y x y lim F(x, y x για κάθε y και lim F(x, y y για κάθε x. 3. Για κάθε x < x και y < y ισχύει ότι P(x < X x, y < Y y F(x, y F(x, y F(x, y + F(x, y. (4.3 Η ϑεμελιώδης σχέση (4.3 αποδεικνύεται ως εξής: Ορίζουμε τα σύνολα A {X x, Y y }, A {X x, Y y }, A {X x, Y y }, A {X x, Y y }, R {x < X x, y < Y y }. 45

46 Παρατηρείστε ότι R (A A και ότι A R (A A. Συνεπώς Επίσης A A A και συνεπώς Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι P(A P(R + P(A A P(A A P(A + P(A P(A. P(R P(A P(A P(A + P(A. Η απόδειξη είναι πλήρης δεδομένου ότι P(A ij F(x i, y j για i, j {, } και ότι P(R είναι το αριστερό μέρος της ( Μερικές παράγωγοι και διπλά ολοκληρώματα - Μια πρακτική εισαγωγή Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών φ(x, y. Η μερική παράγωγος της φ ως προς την μεταβλητή x συμβολίζεται με xφ και ορίζεται ως το όριο φ(x, y lim x δ Αντίστοιχα ορίζουμε την μερική παράγωγο της φ ως προς y ως φ(x, y lim y δ φ(x + δ, y φ(x, y. (4.4 δ φ(x, y + δ φ(x, y. δ Οπως βλέπουμε από τον ορισμό η μερική παράγωγος ως προς x υπολογίζεται κρατώντας το y σταθερό και παραγωγίζοντας ως προς x. Για παράδειγμα x (x y xy, (e xy + xy x + y ye xy + y, (e xy + xy y + y xe xy x y +, x + y x y x y x + x + y (y x. Η μερικές παράγωγοι φ y, ϑα είναι εν γένει συναρτήσεις των x και y και επομένως (αν είναι παραγωγίσιμες ϑα μπορούμε να τις παραγωγίσουμε εκ νέου. Αποδεικνύεται ότι, ύπο ορισμένες συνθήκες που πάντοτε ικανοποιούνται στις περιπτώσεις που ϑα ( ( εξετάσουμε, οι δεύτερες μερικές παράγωγοι y x φ και x y φ είναι πάντα ίσες. Η κοινή τιμή τους ονομάζεται δεύτερη μεικτή μερική παράγωγος ως προς x και y και συμβολίζεται ως x y φ ή y xφ αφού η σειρά με την οποία εκτελούνται οι παραγωγήσεις δεν επηρρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. Δείτε τα ακόλουθα παραδείγματα: ( y x (x y ( (xy x, y x y (x y ( x x y x, φ 46

47 ( (e xy + xy y x + y ( ye xy + (xy e xy y y y ( (e xy + xy x y + y ( xe xy xy x + (xy e xy y 4.. Διπλά ολοκληρώματα Εστω g μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ορισμένη σε ένα παραλληλόγραμμο χωρίο του R, g : [a, b] [c, d] R +. Η συνάρτηση αυτή ορίζει μια επιφάνεια αν ϑεωρήσουμε το σύνολο των σημείων του R 3 {(x, y, z : x [a, b], y [c, d], z g(x, y} καθώς επίσης και ένα στερεό, το υποσύνολο του R 3 που απαρτίζεται από τα σημεία S {(x, y, z : x [a, b], y [c, d], z g(x, y}. ( Εχουμε υποθέσει ότι η g παίρνει μη αρνητικές τιμές στο πεδίο ορισμού της. Εστω P x : {x i } i,,...,m μια διαμέριση του [a, b] δηλαδή a x < x < x <... < x m b και παρομοίως P y : {y j } j,,...,n μια διαμέριση του [c, d] με c y < y <... < y n d. Κατ αυτό τον τρόπο διαμερίσουμε το ορθογώνιο [a, b] [c, d] σε m n ορθογώνια, [x i, x i + x i ] [y j, y j + y j ] όπου x i x i+ x i και y j y j+ y j. Συμβολίζουμε την διαμέριση ως P : {(x i, y j } i,,...,m και ως μέγεθός της ορίζουμε την ποσότητα P : j,,...,n max( P x, P y όπου P x max i,,...,m x i και P y : max j,,...,n y j. Αν V είναι ο όγκος του στερεού S τότε η ποσότητα g(x i, y j x i y j (4.5 m n i j αποτελεί μια προσέγγιση του όγκου από ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Αποδεικνύεται ότι, για ομαλές συναρτήσεις g (πρακτικά μιλώντας, σε κάθε περίπτωση που πρόκειται να μας απασχολήσει ο όγκος του στερεού S είναι το όριο του αθροίσματος της (4.5 όταν το μέγεθος της διαμέρισης P τείνει στο (πράγμα που σημαίνει ότι τόσο το m όσο και το n τείνουν στο άπειρο δηλαδή V m lim P i n g(x i, y j x i y j. (4.6 j Στον μαθηματικό λογισμό αποδεικνύεται ότι, κάτω από συνθήκες που πάντα ισχύουν στην πράξη, μπορούμε να υπολογίσουμε το όριο στην (4.6 ως ένα διπλό όριο V lim V lim lim g(x i, y j x i y j, ή ως (4.7 m n P x P y i j lim P y P x j i n m g(x i, y j x i y j. (4.8 47

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΘΕΜΕΛΙΑΚΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ και ΚΤΜΤΡΗΣΗ ΘΜΛΙΚΩΝ ΣΥΝ ΥΣΤΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ. ΣΥΝΥΣΤΙΚΣ ΜΟΡΦΣ: η μορφολογία. Όλες οι συνδυαστικές μορφές που θα εξετάσουμε είναι διαφόρων ειδών συναρτήσεις. Οι «παράμετροι» που παραλλάσονται είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133

ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí. www.mathematica.gr. Ìáèçìáôéêü Äåëôßï. Ôåý ïò 13ï. Ïêôþâñéïò 2014 ISSN: 2241-7133 ÅéêïóéäùäåêÜåäñïí Ìáèçìáôéêü Äåëôßï Ôåý ïò 3ï Ïêôþâñéïò 04 www.mathematica.gr ISSN: 4-733 Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΣΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Βασίλειος Σταματόπουλος, Δικηγόρος, Δ.Μ.Σ. Συνάντηση 4 η ΕΝΟΧΕΣ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΕΣ Εννοιολογική προσέγγιση. Διαζευκτική είναι η ενοχή που έχει ως αντικείμενο δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα!

Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα! Kατάτμηση εικόνας Σήμερα! Κατωφλίωση (binarization) Καθολικό ό( (global) κατώφλι LocalΤhresholding Φωτισμός και Ανακλαστικότητα Τεχνικές ανίχνευσης ακμών Τελεστές κλίσης (gradient operators) (gradient

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Απλό γραμμικό υπόδειγμα και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.

Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ DYCK ΚΑΙ GRAND DYCK

ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ DYCK ΚΑΙ GRAND DYCK ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΕ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ DYCK ΚΑΙ GRAND DYCK ΚΩΝ/ΝΟΣ Β. ΜΑΝΕΣ ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2014 Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Διατριβή για

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του mathematica.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα!

Περιγραφή Περιοχής. Σήμερα! Περιγραφή Περιοχής Σήμερα! Υφή (texture) Ιστόγραμμα & Ροπές Ιστογράμματος Πίνακες συνεμφάνισης Φασματική περιγραφή Ροπές (moments) Στροφορμή (angular momentum) 1 Υφή (texture) Ο ορισμός της έννοιας της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Αγρίνιο, 28 06 2012 ΑΓΡΟΤΙΚΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ & ΤΡΟΦΙΜΩΝ Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η Σχετικά με τις ΚΑΤΑΤΑΞΕΙΣ πτυχιούχων Α.Ε.Ι., Τ.Ε.Ι., ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Υπερδιετούς

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης 2 ιά ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Δρ Φασουλάς Χαράλαμπος Συντονιστής, Υπεύθυνος του Τμήματος Γεωποικιλότητας του Μουσείο Φυσικής Ιστορίας Κρήτης ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ Δρ Αμπαρτζάκη Μαρία, Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα