Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα"

Transcript

1 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή, έχουμε F n F n+1 F για κάθε n 0. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (X n ) n 0 στον Ω λέγεται προσαρμοσμένη στη διήθηση (F n ) n 0 αν για κάθε n 0 η X n είναι F n -μετρήσιμη. Συμβαση: Σε αυτό το κεφάλαιο, οι δείκτες των διαφόρων οικογενειών που εμφανίζονται είναι φυσικοί αριθμοί. Ετσι, όταν γράφουμε n 1, n 0, εννοούμε n N + και n N αντίστοιχα. Ορισμός 3.1. Αν η ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X = (X n ) n 0 ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) Η (X n ) n 0 είναι προσαρμοσμένη στην (F n ) n 0, (ii) E X n < για κάθε n 0, (iii) E(X n+1 F n ) = X n για κάθε n 0, τότε λέγεται martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 και το μέτρο P. Αν αντί της (iii) ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται submartingale, ενώ αν ισχύει η E(X n+1 F n ) X n, τότε η ακολουθία λέγεται supermartingale (ως προς τα (F n ) n 0 και P). Οταν είναι σαφές ποια είναι τα (F n ) n 0 και P, δεν τα αναφέρουμε όταν χαρακτηρίζουμε μια ακολουθία ως martingale, submartingale, ή supermartingale ως προς αυτά. Αν η (X n ) n 0 είναι submartingale, τότε η ( X n ) n 0 είναι supermartingale. Και η (X n ) n 0 είναι martingale αν και μόνο αν είναι ταυτόχρονα submartingale και supermartingale. Επίσης, παίρνοντας μέσες τιμές στα μέλη της (iii) έχουμε ότι η ακολουθία (E(X n )) n 0 είναι σταθερή, αύξουσα, ή φθίνουσα όταν αντίστοιχα η X είναι martingale, submartingale, supermartingale. Φανταζόμαστε έναν παίχτη που συμμετέχει σε ένα παιχνίδι που γίνεται σε βήματα και X n δηλώνει την περιουσία του μετά το βήμα n. Η E(X n+1 F n ) δίνει την καλύτερη εκτίμηση που έχουμε για την περιουσία του μετά από ένα βήμα με δεδομένη όλη την πληροφορία κατά τον χρόνο n. Επομένως, όταν η X είναι submartingale (supermartingale), το παιχνίδι είναι υπέρ (αντίστοιχα, κατά) του παίχτη, ενώ όταν η X είναι martingale, το παιχνίδι είναι δίκαιο. Ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Εστω (X i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1) = 1/2. Θέτουμε S 0 := 0, S n := X X n για κάθε n 1. Η ανέλιξη S = (S n ) n 0 λέγεται απλός τυχαίος περίπατος στο Z. Θα δούμε αμέσως δύο martingales που προκύπτουν από τον απλό τυχαίο περίπατο τα οποία μάλιστα βοηθούν στη μελέτη του. Η διήθηση που θα θεωρούμε είναι η εξής: Για κάθε n N θέτουμε M n := S 2 n n. F 0 := {, Ω}, F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. 17

2 18 Martingales S n n Σχήμα 3.1: Το γράφημα μιας πραγματοποίησης των πρώτων 9 βημάτων του απλού τυχαίου περιπάτου στο Z. Παράδειγμα 3.2. Οι ανελίξεις (α) (S n ) n 0 (β) (M n ) n 0 είναι martingales ως προς την (F n ) n 0. Πράγματι, από τον ορισμό της (F n ) n 0 προκύπτει ότι οι S, M είναι προσαρμοσμένες. Η (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιείται αφού S n n, M n n 2 + n στον Ω για κάθε n N. Σχετικά με την ιδιότητα (iii) του ορισμού, για την ανέλιξη του (α) υπολογίζουμε E(S n+1 F n ) = E(S n + X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 F n ) = S n + E(X n+1 ) = S n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε τη γραμμικότητα της δεσμευμένης τιμής και το γεγονός ότι η S n είναι F n μετρήσιμη. Στην τρίτη ισότητα, το ότι η X n+1 είναι ανεξάρτητη από την F n και την Πρόταση 2.7(iii). Για την ανέλιξη του (β), επειδή S n+1 = S n + X n+1, έχουμε S 2 n+1 S 2 n = 2X n+1 S n + X 2 n+1 = 2X n+1s n + 1 και άρα M n+1 M n = 2X n+1 S n. Παίρνοντας μέση τιμή ως προς τη σ-άλγεβρα F n έχουμε E(M n+1 F n ) M n = E(2X n+1 S n F n ) = 2S n E(X n+1 ) = 0. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση 2.10 και την Πρόταση 2.7(iii). Ας φανταστούμε έναν παίκτη Α που εμφανίζεται σε ένα καζίνο και παίζει το εξής παιχνίδι. Κάθε χρονική στιγμή 1, 2, 3,... ρίχνεται ένα τίμιο νόμισμα. Αν έρθει «Κεφαλή», ο Α κερδίζει μία μονάδα, ενώ αν έρθει «Γράμματα», ο Α χάνει μία μονάδα. Το συνολικό κέρδος του παίκτη ακριβώς μετά το παιχνίδι n είναι S n. Η μέση του τιμή διατηρείται σταθερή, ίση με 0, αφού η (S n ) n 0 είναι martingale. Παράδειγμα 3.3. Εστω (Z i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με E Z 1 < και E(Z 1 ) = 1. Θέτουμε F 0 := {, Ω}, F n := σ(z 1, Z 2,..., Z n ) για κάθε n 1, και R 0 := 1, R n := Z 1 Z 2 Z n για n 1. Η (R n ) n 0 είναι martingale ως προς την (F n ) n 0. Πάλι το (i) του ορισμού είναι προφανές. Για το (ii), χρησιμοποιούμε την ανεξαρτησία και υπολογίζουμε E Z 1 Z 2 Z n = E Z 1 E Z 2 E Z n = (E Z 1 ) n <.

3 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 19 Για το (iii), έχουμε E(R n+1 F n ) = E(R n Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 F n ) = R n E(Z n+1 ) = R n. Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την Πρόταση Παράδειγμα 3.4 (Martingale του Doob). Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P), μια διήθηση (F n ) n 0 σε αυτόν, και X L 1 (P). Ορίζουμε X n := E(X F n ) για κάθε n 0. Τότε η X = (X n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. Οτι η X είναι προσαρμοσμένη προκύπτει από τον ορισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής. Επειτα E X n = E( E(X F n ) ) E X < από το (ii) της Πρότασης 2.2. Τέλος, για n 0, E(X n+1 F n ) = E(E(X F n+1 ) F n ) = E(X F n ) = X n. Στη δεύτερη ισότητα, χρησιμοποιήσαμε ότι F n F n+1 και την Πρόταση 2.9(ii). Στο επόμενο παράδειγμα, για την απόδειξη ότι μια ακολουθία είναι martingale θα χρειαστεί να κάνουμε έναν πραγματικό υπολογισμό μιας δεσμευμένης μέσης τιμής (ενώ στα προηγούμενα παραδείγματα πάντα μια απλή ιδιότητα μας γλύτωνε από τον κόπο). Παράδειγμα 3.5 (Η κάλπη του Polya). Μια κάλπη περιέχει α άσπρες και µ μαύρες μπάλες. Επιλέγουμε στην τύχη μία από τις μπάλες που περιέχει η κάλπη, την επιστρέφουμε στην κάλπη, και προσθέτουμε ακόμα l του ίδιου χρώματος με αυτήν. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία επ άπειρον. Εστω A n και B n ο αριθμός των άσπρων και μαύρων μπαλών αντίστοιχα μετά τη n-οστή επανάληψη του πειράματος και X n := A n /(A n + B n ) το ποσοστό των άσπρων μπαλών στην κάλπη εκείνη τη στιγμή. Θέτουμε F n := σ({a i, B i : i = 1, 2,..., n}). Ισχυρισμος: Η (X n ) n 1 είναι martingale ως προς την (F n ) n 1. Οι ιδιότητες (i), (ii) του ορισμού του martingale ικανοποιούνται. Σχετικά με την (iii), για τον υπολογισμό της δεσμευμένης μέσης τιμής, θα χρησιμοποιήσουμε το Παράδειγμα 2.5. Η F n παράγεται από διαμέριση κάθε μέλος της οποίας είναι της μορφής C( j 1, k 1, j 2, k 2,..., j n, k n ) := {A r = j r, B r = k r για κάθε r = 1, 2,..., n} όπου j r, k r θετικοί ακέραιοι. Αυτό συγκεκριμενοποιεί τα αποτελέσματα των n πρώτων πειραμάτων και για να έχει θετική πιθανότητα πρέπει οι j r, k r να ικανοποιούν κάποιες προφανείς σχέσεις. Εστω λοιπόν C ένα σύνολο αυτής της μορφής με θετική πιθανότητα, και για ευκολία γράφουμε j, k αντί j n, k n. Για ω C υπολογίζουμε E(X n+1 F n )(ω) = E(X n+1; C) P(C) (3.1) = j + l P({A n+1 = j + l} C) j P({A n+1 = j} C) + j + k + l P(C) j + k + l P(C) (3.2) = j + l j + k + l P(A j n+1 = j + l C) + j + k + l P(A n+1 = j C) (3.3) = j + l j j + k + l j + k + j k j + k + l j + k = j j + k = X n, (3.4) και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Δώσαμε μια σχολαστική απόδειξη του ισχυρισμού. Ο τρόπος που την ανακαλύπτουμε, και συνήθως την γράφουμε, είναι ως εξής. Στην E(X n+1 F n ) μας δίνεται όλη η ιστορία της διαδικασίας ως τη n-οστή επανάληψη του πειράματος. Είναι στη διάθεσή μας λοιπόν οι αριθμοί j := A n, k := B n. Οι ενδεχόμενες

4 20 Martingales τιμές του X n+1 είναι ( j+l)/( j+k+l) και j/( j+k+l) και, δεδομένου του παρελθόντος, έχουν πιθανότητα P(A n+1 = j + l A n = j, B n = k), P(A n+1 = j A n = j, B n = k) αντίστοιχα. Εδώ η δεσμευμένη πιθανότητα είναι η συνηθισμένη από τις στοιχειώδεις πιθανότητες. Και έπειτα γράφουμε την τελευταία γραμμή του παραπάνω υπολογισμού. Ενα εύλογο ερώτημα είναι τι κάνει η X n καθώς το n. Συγκλίνει σε κάποιον σταθερό αριθμό; Π.χ. το 1/2, που θα σήμαινε ότι τελικά επέρχεται μια ισορροπία στον αριθμό των μπαλών στην κάλπη. Αυτό που ισχύει είναι ότι η X n πράγματι συγκλίνει σε έναν αριθμό στο (0, 1), αλλά αυτός είναι τυχαίος. Κάθε πραγματοποίηση της άπειρης διαδικασίας δίνει και διαφορετικό αριθμό. Μπορεί να αποδειχθεί το εξής: Με πιθανότητα 1, η ακολουθία (X n ) n 1 συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή X η οποία έχει κατανομή Βήτα με παραμέτρους α/l, µ/l. Στην ειδική περίπτωση που α = µ = l = 1, η οριακή τυχαία μεταβλητή έχει κατανομή την ομοιόμορφη στο (0, 1). Για λεπτομέρειες δες την Παράγραφο στο Durrett (2010). 3.2 Βασικές ιδιότητες Πρόταση 3.6. Εστω X = (X n ) n 0 μια ανέλιξη και m, n N με n > m. (i) Αν η X είναι supermartingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) X m. (ii) Αν η X είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) X m. (iii) Αν η X είναι martingale ως προς την (F n ) n 0, τότε E(X n F m ) = X m. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε το (i). Παίρνουμε σταθερό m N και εφαρμόζουμε επαγωγή στο n. Για n = m + 1 η ζητούμενη ισχύει από τον ορισμό του supermartingale. Εστω ότι ισχύει για κάποιο n > m. Τότε E(X n+1 F m ) = E(E(X n+1 F n ) F m ) E(X n F m ) X m. Η πρώτη ισότητα έπεται από την Πρόταση 2.9, η πρώτη ανισότητα από το ότι η X είναι supermartingale, και η δεύτερη είναι η επαγωγική υπόθεση. Πρόταση 3.7. Εστω (X n ) n 0 martingale ως προς την (F n ) n 0 και f κυρτή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα I R ώστε P(X n I) = 1 και E f (X n ) < για κάθε n N. Τότε η ( f (X n )) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0. Απόδειξη. Μένει να ελέγξουμε την ιδιότητα (iii) του Ορισμού 3.1 για submartingales. E( f (X n+1 ) F n ) f (E(X n+1 F n )) = f (X n ) Χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Jensen (Πρόταση 2.13) και στην τελευταία ισότητα ότι η (X n ) n 0 είναι martingale. Πρόταση 3.8. Εστω (X n ) n 0 submartingale ως προς την (F n ) n 0 και f κυρτή και αύξουσα συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα I R ώστε P(X n I) = 1 και E f (X n ) < για κάθε n N. Τότε η ( f (X n )) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0.

5 Απόδειξη. Εχουμε 3.3 Παιχνίδια και το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα 21 E( f (X n+1 ) F n ) f (E(X n+1 F n )) f (X n ). Χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα Jensen και στην τελευταία ανισότητα το γεγονός ότι η (X n ) n 0 είναι submartingale και η f είναι αύξουσα. Παράδειγμα 3.9. Η προηγούμενη πρόταση συνεπάγεται ότι αν η (X n ) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n 0 και E(X 2 n) < για κάθε n N, τότε η (X 2 n) n 0 είναι submartingale ως προς την (F n ) n Παιχνίδια και το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα Εστω μια διήθηση (F n ) n 0 και μια προσαρμοσμένη σε αυτήν ανέλιξη X = (X n ) n 0. Σε αυτή την παράγραφο, ερμηνεύουμε την ανέλιξη X ως εξής. Υποθέτουμε ότι ένα παιχνίδι παίζεται σε πολλά στάδια, τις χρονικές στιγμές 1, 2, 3, κ.ο.κ. Αν ποντάρει κανείς μία μονάδα για το στάδιο της χρονικής στιγμής n, τότε το κέρδος του είναι X n X n 1. Για παράδειγμα, X n μπορεί να είναι η τιμή μιας μετοχής τη χρονική στιγμή n. Αμέσως μετά τη χρονική στιγμή n 1, έχοντας παρατηρήσει ότι η μετοχή έχει τιμή X n 1, αγοράζουμε μία μετοχή. Τη χρονική στιγμή n αυτή η μετοχή έχει αξία X n. Αν την πουλήσουμε, το κέρδος ή η ζημιά μας είναι X n X n 1. Θεωρούμε ότι το επιτόκιο της τράπεζας είναι 0%. Ορισμός Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (A n ) n 1 λέγεται προβλέψιμη αν για κάθε n 1, η A n είναι F n 1 μετρήσιμη. Στα πλαίσια ενός παιχνιδιού, μια τέτοια ακολουθία τη λέμε στρατηγική πονταρίσματος. Συνήθως, F 0 = {, Ω}, και F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. Για το αποτέλεσμα του σταδίου n, ο παίκτης ποντάρει A n μονάδες. Η προβλεψιμότητα είναι ο μαθηματικός τρόπος να πει κανείς ότι η ποσότητα A n μπορεί να εξαρτάται μόνο από την πληροφορία που είναι διαθέσιμη πριν πραγματοποιηθεί το στάδιο n του παιχνιδιού, δηλαδή την F n 1. Για δύο ακολουθίες (X n ) n 0, (A n ) n 1 όπως πιο πάνω, ορίζουμε την ανέλιξη A X ως εξής. (A X) 0 : = 0, n (A X) n : = A k (X k X k 1 ) για κάθε n 1. k=1 Ο αριθμός (A X) n είναι το συνολικό κέρδος ενός παίκτη μετά το στάδιο n του παιχνιδιού αν ακολουθεί τη στρατηγική (A n ) n 1. Η ανέλιξη A X είναι το διακριτό στοχαστικό ολοκλήρωμα. Πρόταση Εστω (A n ) n 1 προβλέψιμη ακολουθία. (i) Αν η (X n ) n 0 είναι (sub)supermartingale και κάθε A n είναι μη αρνητική φραγμένη τυχαία μεταβλητή, τότε η A X είναι (sub)supermartingale. (ii) Αν η (X n ) n 0 είναι martingale και κάθε A n είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή, τότε η A X είναι martingale. Απόδειξη. Η (i) του Ορισμού (3.1) προκύπτει από τις υποθέσεις για τις (X n ) n 1, (A n ) n 1, ενώ η (ii) προκύπτει από το ότι, για κάθε n 1, η A n είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή. Επειτα, για κάθε n 0, έχουμε E{(A X) n+1 F n } (A X) n = E{(A X) n+1 (A X) n F n } = E{A n (X n+1 X n ) F n } = A n {E(X n+1 F n ) X n } Με τις υποθέσεις του (i), επειδή A n 0, η τελευταία ποσότητα είναι μη θετική αν η (X n ) n 0 είναι supermartingale και μη αρνητική αν η (X n ) n 0 είναι submartingale. Με τις υποθέσεις του (ii), η τελευταία ποσότητα ισούται με 0.

6 22 Martingales Η διαισθητική ερμηνεία του μέρους (ii) της προηγούμενης πρότασης είναι ότι σε ένα δίκαιο παιχνίδι (το martingale X) δεν μπορούμε να δημιουργήσουμε πλεονέκτημα (να κερδίσουμε κατά μέσο όρο) αν η στρατηγική πονταρίσματος που χρησιμοποιούμε είναι προβλέψιμη. 3.4 Χρόνοι διακοπής Ορισμός Μια συνάρτηση T : Ω N { } λέγεται χρόνος διακοπής ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 αν για κάθε n N ισχύει {T n} F n. Δηλαδή το αν ισχύει T n μπορεί να καθοριστεί με βάση τις πληροφορίες που έχουμε ως το χρόνο n. Τα επόμενα παραδείγματα το κάνουν αυτό πιο κατανοητό. S n T n Σχήμα 3.2: Ο χρόνος διακοπής T του Παραδείγματος Στη συγκεκριμένη πραγματοποίηση έχουμε T = 9. Παράδειγμα 3.13 (Χρόνος διακοπής). Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z και (F N ) n 0 η διήθηση όπως πριν το Παράδειγμα 3.2. Η τυχαία μεταβλητή T := inf{k 0 : S k = 3} παίρνει τιμές στο N { } (inf = ). Είναι ο πρώτος χρόνος που ο απλός τυχαίος περίπατος χτυπάει το 3. Για n N, {T n} = n j=0 {S j = 3} και {S j = 3} F j F n για κάθε j n αφού η S j είναι F j μετρήσιμη. Αρα ο T είναι πράγματι χρόνος διακοπής. Πρακτικά, αν μας δώσει κάποιος την πληροφορία του F n, δηλαδή τι τιμές πήρανε οι τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2,..., X n, μπορούμε να αποφανθούμε αν ισχύει T n. Γενικά οι χρόνοι πρώτης εισόδου σε ένα σύνολο για την (S n ) n 0 είναι χρόνοι διακοπής ως προς τη διήθηση (F n ) n 0 του Παραδείγματος 3.2. Τώρα θα δούμε ένα παράδειγμα χρόνου που δεν είναι χρόνος διακοπής. Παράδειγμα 3.14 (Χρόνος που δεν είναι χρόνος διακοπής). Δουλεύουμε πάλι με τον απλό τυχαίο περίπατο. Εστω ˆT := sup{k 7 : S k = 0}. Αυτό είναι το τελευταίο μηδενικό της S πριν το χρόνο 7. Το σύνολο του οποίου το sup είναι το ˆT είναι μη κενό αφού περιέχει το 0. Θα χρησιμοποιήσουμε για το χρόνο διακοπής τον ισοδύναμο χαρακτηρισμό από την Ασκηση 3.6. Για n 0 αναρωτιόμαστε αν {T = n} F n. Το ερώτημα έχει ενδιαφέρον μόνο για n 7, αλλιώς το σύνολο {T = n} είναι το κενό. Ας πάρουμε λοιπόν n = 2. Εχοντας την πληροφορία για το τι συνέβη ως

7 3.5 Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής 23 τον χρόνο 2, μπορούμε να πούμε αν συνέβη το γεγονός T = 2; Οχι, γιατί ακόμα και να ισχύει S 2 = 0, δεν ξέρουμε αν αργότερα η S ξαναχτυπήσει το 0. Είναι δυνατόν, για παράδειγμα, να ισχύει S 6 = 0, οπότε T = 6 (η S 7 = 0 δεν ειναι δυνατόν να συμβεί ποτέ), ή να ισχύει S 6 0, οπότε T = 2 ή T = 4. Πάμε τώρα να το δούμε και τυπικά. Αν {T = 2} F 2, τότε επειδή και το σύνολο A := {X 1 = 1, X 2 = 1} F 2, θα ισχύει B := {T = 2} A F 2. Τότε B A γιατί και {X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1} A \ B {X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1, X 5 = 1} B. Ομως από την περιγραφή της σ-άλγεβρας F 2 (Παράδειγμα 1.8) προκύπτει ότι το μόνο στοιχείο της που είναι γνήσιο υποσύνολο του A είναι το. 3.5 Το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής Για χρόνο διακοπής T και μια προσαρμοσμένη στοχαστική ανέλιξη X = (X n ) n 0, ορίζουμε τη σταματημένη ανέλιξη X T ως Xn T = X n T. Δηλαδή για n N η Xn T : Ω [, ] έχει τιμές Xn T X i (ω) αν T(ω) = i < n, (ω) = X n T(ω) (ω) = X n (ω) αν T(ω) n. Για κάθε ω Ω, θέτοντας r := T(ω), η X T ακολουθεί τη X στις τιμές X 0, X 1,..., X r και έπειτα σταθεροποιείται στην τιμή X r. Αν T(ω) =, τότε για αυτή την τιμή του ω η X T έχει το ίδιο μονοπάτι με τη X. Το ότι η X T είναι επίσης προσαρμοσμένη προκύπτει από την απόδειξη της παρακάτω πρότασης, αλλά μπορεί να το δει κανείς και πιο απλά ( Ασκηση 3.9). Πρόταση Εστω T χρόνος διακοπής. (i) Αν η (X n ) n 0 είναι (sub)supermartingale, τότε η X T ειναι (sub)supermartingale. (ii) Αν η (X n ) n 0 είναι martingale, τότε η X T ειναι martingale. Απόδειξη. Θεωρούμε την ανέλιξη (A n ) n 1 που ορίζεται ως A n := 1 n T για κάθε n 1. Δηλαδή 1 αν n T(ω), A n (ω) = 0 αν n > T(ω). Με την ερμηνεία της στρατηγικής που δώσαμε στην A, η συγκεκριμένη επιλογή σημαίνει ότι σε κάθε στάδιο του παιχνιδιού μέχρι και το στάδιο T ποντάρουμε μία μονάδα. Επειτα σταματάμε. Η A είναι προβλέψιμη γιατί, για κάθε n 1, η A n είναι η δείκτρια συνάρτηση του συνόλου {T n} = Ω \ {T n 1} F n 1. Επειτα (A X) n = X n T X 0, και το συμπέρασμα έπεται από την Πρόταση 3.11 και το ότι η X 0 είναι F 0 μετρήσιμη. Επεται λοιπόν ότι για χρόνο διακοπής T, supermartingale X, και n 1, ισχύει E(X n T ) E(X 0 ), (3.5) ενώ για X martingale ισχύει E(X n T ) = E(X 0 ). (3.6)

8 24 Martingales Σε πολλές περιπτώσεις ισχύει P(T < ) = 1 και τότε lim n X n T = X T με πιθανότητα 1. Για X martingale, θα θέλαμε να ισχυριστούμε ότι E(X T ) = E(X 0 ) και θα το πετυχαίναμε αν μπορούσαμε στην εκφραση lim n E(X n T ) = E(X 0 ) να βάζαμε το όριο μέσα στη μέση τιμή. Ας δούμε ένα παράδειγμα που αυτό δεν μπορεί να γίνει. Θεωρούμε (S n ) n 0 τον απλό τυχαίο περίπατο στο Z και T := inf{k 1 : S k = 1}. Ο T είναι χρόνος διακοπής και θα δείξουμε στο Παράδειγμα 3.18 πιο κάτω ότι P(T < ) = 1. Αρα S T = 1 και επομένως E(S T ) = 1 0 = E(S 0 ). Για να περάσουμε το όριο μέσα στη μέση τιμή επικαλούμαστε τα γνωστά θεωρήματα από τη θεωρία ολοκλήρωσης. Δηλαδή το θεώρημα μονότονης σύγκλισης και το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης. Το επόμενο θεώρημα απομονώνει κάποιες καταστάσεις που εμφανίζονται συχνά και στις οποίες το θεώρημα κυριαρχημένης σύγλισης μπορεί να εφαρμοστεί. Θεώρημα 3.16 (Θεώρημα επιλεκτικής διακοπής). Εστω (X n ) n 0 ακολουθία τυχαίων μεταβλητών στοιχείων του L 1 (P) και T τυχαία μεταβλητή με τιμές στο N { }. Ισχύει ότι αν μία από τις παρακάτω προϋποθέσεις ικανοποιείται: (i) Η T είναι φραγμένη τυχαία μεταβλητή. lim E(X n T ) = E(X T ) (3.7) n (ii) P(T < ) = 1 και υπάρχει M < ώστε X n (ω) M για κάθε n 0 και ω Ω. (iii) E(T), E X 0 < και υπάρχει M < ώστε X n (ω) X n 1 (ω) M για κάθε n 1 και ω Ω. Αν επιπλέον ο T είναι χρόνος διακοπής, τότε ίσχύει για X supermartingale, για X submartingale, και για X martingale. E(X T ) E(X 0 ) (3.8) E(X T ) E(X 0 ) (3.9) E(X T ) = E(X 0 ) (3.10) Απόδειξη. (i) Από την υπόθεση, υπάρχει φυσικός αριθμός N ώστε T(ω) N για κάθε ω Ω. Αρα E(X n T ) = E(X T ) για κάθε n N, και η (3.7) έπεται. (ii) Τώρα η (3.7) έπεται από το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης. Γιατί η ακολουθία (X n T ) n 0 είναι φραγμένη από το M και, με πιθανότητα 1, το όριό της ισούται με X T αφού P(T < ) = 1. (iii) Η ισότητα X n T = X 0 + n T k=1 (X k X k 1 ) δίνει X n T X 0 + MT για κάθε n 0 και ω Ω. Η E(T) < δίνει P(T < ) = 1, οπότε lim n X n T = X T με πιθανότητα 1. Επειδή E( X 0 + MT) <, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έπεται το συμπέρασμα. Τώρα, συνδυάζοντας τις (3.5), (3.6) με την (3.7), παίρνουμε τις (3.8), (3.9), (3.10). 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο Σε αυτή την παράγραφο δουλεύουμε στο πλαίσιο του Παραδείγματος 3.2. Η τιμή S n είναι το συνολικό κέρδος του παίχτη Α ακριβώς μετά το παιχνίδι n (δες ακριβώς μετά το Παράδειγμα 3.2). Για κάθε ακέραιο r, θέτουμε T r := inf{k 0 : S k = r},

9 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο 25 που είναι η στιγμή κατά την οποία το κέρδος του παίχτη γίνεται r για πρώτη φορά. Εστω ότι ο παίχτης έχει συνολικό κεφάλαιο a (a < 0) ενώ το καζίνο b, με a, b Z. Αν T b < T a, τότε ο παίχτης καταφέρνει να οδηγήσει το καζίνο σε χρεωκοπία, ενώ αν T a < T b, τότε χρεωκοπεί ο παίχτης. Το παιχνίδι τελειώνει τη χρονική στιγμή T b T a, όταν κάποιος από τους δύο χρεωκοπεί. Το επόμενο παράδειγμα δίνει τη μέση διάρκεια του παιχνιδιού και την πιθανότητα να κερδίσει ο παίχτης Α. Παράδειγμα 3.17 ( Εξοδος από διάστημα). Θεωρούμε ακεραίους a, b με a < 0 < b και θέτουμε T = T a T b. Θα δείξουμε ότι (i) E(T) <, (ii) P(T b < T a ) = (iii) E(T) = a b. a b + a, Η πρώτη είναι η πιθανότητα ο απλός τυχαίος περίπατος να βγεί από το διάστημα (a, b) στο σημείο b και T := T a T b είναι ο χρόνος εξόδου. S n b T a n T b a Σχήμα 3.3: Χρόνος ως την πρώτη έξοδο από το διάστημα (a, b). Στη συγκεκριμένη πραγματοποίηση, T = T a αφού T a < T b. (i) Χρησιμοποιώντας το Παράδειγμα 3.2 και την Πρόταση 3.15, έχουμε ότι η (Z n ) n 0 με Z n := S 2 n T (n T) για κάθε n N είναι martingale. Η E(Z n) = E(Z 0 ) = 0 δίνει E(S n T 2 ) = E(n T) (3.11) για κάθε n N. Το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας, για n, συγκλίνει στο E(T) (θεώρημα μονότονης σύγκλισης). Το αριστερό μέλος είναι φραγμένο από το max{a 2, b 2 } λόγω του ορισμού του T. Επεται ότι E(T) < και άρα P(T < ) = 1. (ii) Η (W n ) n 0 με W n := S n T για κάθε n N είναι ένα φραγμένο martingale. Ετσι η E(W n ) = E(W 0 ) = 0 δίνει E(S n T ) = 0, και το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης δίνει E(S T ) = 0 (αφού T < με πιθανότητα 1). Προφανώς {T < } = {T a < T b } {T b < T a }, και S T = a στο {T a < T b }, ενώ S T = b στο {T b < T a }. Αρα 0 = E(S T ) = E(S T 1 Ta <T b ) + E(S T 1 Ta >T b ) = a P(T a < T b ) + b P(T a > T b ) και έτσι προκύπτει ο ισχυρισμός (i). = a{1 P(T b < T a )} + b P(T b < T a ) = a + (b a) P(T b < T a ),

10 26 Martingales (iii) Συνεχίζουμε από την (3.11). Επειδή έχουμε P(T < ) = 1, εφαρμόζοντας το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης στο αριστερό μέλος της (3.11) και το θεώρημα μονότονης σύγκλισης στο δεξί, παίρνουμε E(T) = E(S T 2 ) = a2 P(T a < T b ) + b 2 P(T a < T b ) = a 2 b b + a + a b2 b + a = a b. Χρησιμοποιήσαμε το (ii) στη δεύτερη ισότητα. Παράδειγμα 3.18 (Χρόνος μέχρι κέρδος 1). Υπενθυμίζουμε ότι έχουμε ορίσει Θα δείξουμε ότι: T 1 := inf{n 0 : S n = 1}. S n T n (i) E(T 1 ) =. (ii) P(T 1 < ) = 1. (iii) Για κάθε k 1 ακέραιο ισχύει ( ) 1/2 P(T 1 = 2k 1) = ( 1) k+1 k P(T 1 = 2k) = 0. = ( ) 1 2k, (2k 1)2 2k k Η (iii) καθορίζει πλήρως την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής T 1. (i) Αν υποθέσουμε ότι E(T 1 ) <, τότε P(T 1 < ) = 1 και άρα P(S T1 = 1) = 1. Επίσης, η συνθήκη (iii) του θεωρήματος επιλεκτικής διακοπής θα ικανοποιούνταν και θα παίρναμε 1 = E(S T1 ) = E(S 0 ) = 0. Ατοπο. (ii), (iii) Εστω a > 0 σταθερό. Για n N, θέτουμε Z n := eax n cosh a. Επειδή οι (Z n ) n 0 είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με Z 1 > 0 και E(Z 1 ) = 1, έπεται ότι η (R n ) n 0 που ορίζεται όπως στο Παράδειγμα 3.3 είναι martingale. Ισχύει βέβαια R n = e as n /(cosh a) n για κάθε n N. Για n N δεδομένο, εφαρμόζουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για τον φραγμένο χρόνο διακοπής n T 1. Παίρνουμε ( e as ) n T 1 E (cosh a) n T = E(e as 0 ) = 1. 1

11 3.6 Εφαρμογές στον απλό τυχαίο περίπατο 27 Η συνάρτηση στη μέση τιμή είναι φραγμένη από το e a γιατί a > 0, S n T1 1, από τον ορισμό του T 1, και cosh a > 1. Στο {T 1 < } έχουμε S T1 = 1 και lim n e as n T 1 (cosh a) n T 1 e a = (cosh a) T, 1 ενώ στο {T 1 = } το όριο ισούται με 0 αφού (cosh a) n T 1 = (cosh a) n, cosh a > 1 και S n T1 1. Αρα το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης δίνει E ( e a (cosh a) T 1 1 T1 < ) = 1 και άρα E ( (cosh a) T 1 1 T1 < ) = e a. Τώρα εφαρμόζουμε στην τελευταία σχέση το θεώρημα φραγμένης σύγκλισης για a 0 +. Παίρνουμε έτσι P(T 1 < ) = 1. Και χρησιμοποιώντας αυτή την πληροφορία η ίδια σχέση δίνει E ( ) (cosh a) T 1 = e a για κάθε a > 0. Αυτή η ισότητα δίνει ουσιαστικά την πιθανογεννήτρια της T 1 και άρα πλήρη περιγραφή της κατανομής της T 1. Συγκεκριμένα, θέτοντας t = 1/ cosh a = 2/(e a + e a ) (0, 1), παίρνουμε e a = (1 + 1 t 2 )/t και E(t T 1 t ) = t = 1 1 t 2 ( ) 1/2 = ( 1) k+1 t 2k 1 2 t k με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος. Καθώς το a διατρέχει το (0, ), το t διατρέχει το (0, 1). Αρα η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε t (0, 1). Ομως η T 1 είναι τυχαία μεταβλητή με τιμές ακέραιες θετικές, οπότε E(t T 1 ) = j=1 P(T 1 = j)t j. Επεται ότι και P(T 1 = 2k) = 0 για κάθε k N +. P(T 1 = 2k 1) = ( 1) k+1 ( 1/2 k ) = k=1 1 (2k 1)2 2k Παρατήρηση 3.19 (Ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος στο Z). Εστω (X i ) i 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με P(X 1 = 1) = p, P(X 1 = 1) = 1 p =: q, όπου p (0, 1). Ως συνήθως, θεωρούμε την ακολουθία τυχαίων μεταβλητών (S n ) n 0, με S 0 := 0, S n := X X n για n N +. Ορίζουμε για r Z την τυχαία μεταβλητή T r := inf{k 0 : S k = r}. Θα δείξουμε ότι για a < 0 < b ακεραίους ισχύει P(T a T b < ) = 1. Δηλαδή, ο ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος βγαίνει με πιθανότητα 1 από το διάστημα (a, b). Εστω l := a +b το μήκος του διαστήματος. Για n N + θέτουμε A n := {X k = 1 για k = nl + 1, nl + 2,..., nl + l}. Τι συμβαίνει κατά τους χρόνους k τους οποίους περιορίζει το A n ; Ο τυχαίος περίπατος ξεκινάει από μια τιμή (τη S nl ) και αυξάνει για l διαδοχικά βήματα. Αν συμβεί ένα από τα A n, τότε σίγουρα ο περίπατος βγαίνει από το διάστημα (a, b). Τα {A n : n 1} είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και το καθένα έχει πιθανότητα s := p l > 0. Ισχυριζόμαστε ότι η ένωσή τους έχει πιθανότητα 1, δηλαδή με πιθανότητα 1 κάποιο από τα A n συμβαίνει [Το δεύτερο λήμμα Borel-Cantelli δίνει ότι, με πιθανότητα 1, άπειρα από τα A n συμβαίνουν, αλλά θέλουμε να το κάνουμε εντελώς στοιχειωδώς]. Εξετάζουμε την πιθανότητα του συμπληρώματος της ένωσης. Δηλαδή υπολογίζουμε P( n=1 Ac n) P( N n=1 Ac n) = (1 s) N 0 για N. Η ισότητα είναι συνέπεια της ανεξαρτησίας. Αρα P( n=1 A n) = 1. Επειδή, όπως σχολιάσαμε πιο πάνω, {T a T b = } ( n=1 A n) =, έπεται ότι P(T a T b = ) = 0. Περισσότερα για τον ασυμμετρικό τυχαίο περίπατο θα δούμε στις ασκήσεις. ( ) 2k k

12 28 Martingales 3.7 Ανισότητα Doob Θα χρειαστούμε αργότερα την εξής ισχυροποίηση της ανισότητας Markov. Θεώρημα 3.20 (Ανισότητα Doob). Εστω X = (X n ) n 0 submartingale και n N. Τότε για κάθε λ > 0 έχουμε P( sup X k λ) 1 0 k n λ E(X+ n ). Απόδειξη. Για k N με 0 k n, έστω A k := {X k λ > X i για κάθε i < k} F k. Θέτουμε M := sup 0 k n X k. Τότε {M λ} = n k=0 A k και τα σύνολα της ένωσης είναι ξένα ανά δύο. Επειτα, από την Πρόταση 3.8 έχουμε ότι η (X + n ) n 0 είναι submartingale (η f (x) = x + είναι αύξουσα και κυρτή), άρα E(X + n ) n E(X n + 1 Ak ) = k=0 n E(X k + 1 A k ) k=0 n n E(E(X n + 1 Ak F k )) = E(E(X n + F k )1 Ak ) k=0 k=0 n λ P(A k ) = λ P(M λ). k=0 Στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι η X n + 0 και το ότι τα {A k : 0 k n} είναι ξένα ανά δύο. Στη δεύτερη ισότητα, το ότι A k F k. Τέλος, στη δεύτερη ανισότητα, το ότι η (X n + ) n 0 είναι submartingale. Ασκήσεις 3.1 Εστω ότι η (X n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (G n ) n 0. Ορίζουμε F n := σ(x 0,..., X n ) για κάθε n N. Τότε F n G n, και η (X n ) n 0 είναι martingale ως προς την (F n ) n Εστω (X n ) n 0 supermartingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. (α) Να δειχθεί ότι για A F m και n > m ισχύει A X n d P A X m d P. (β) Υποθέτοντας ότι X n 0 για όλα τα n, να δειχθεί ότι για σταθερά m 0, i 1 έχουμε ότι σχεδόν παντού στο {X m = 0} ισχύει X m+i = 0, δηλαδή P({X m = 0}\{X m+i = 0}) = 0. (γ) Με την υπόθεση του (β), να δειχθεί ότι για σταθερό m 0 έχουμε ότι σχεδόν παντού στο {X m = 0} ισχύει X m+i = 0 για κάθε i Με (S n ) n 0 και (F n ) n 0 όπως στο Παράδειγμα 3.2, να δειχθεί ότι η (Z n ) n 0 με Z n := S 3 n 3nS n για κάθε n N είναι martingale ως προς την (F n ) n Εστω (S n ) n 0 ο ασυμμετρικός τυχαίος περίπατος όπως ορίστηκε στην Παρατήρηση 3.19 και ορίζουμε τη διήθηση (F n ) n 0 ως F 0 := {, Ω}, F n := σ(x 1, X 2,..., X n ) για n 1. Να δειχθεί ότι οι ακολουθίες (W n ) n 0, (M n ) n 0 με είναι martingales ως προς την (F n ) n Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z. W n := S n (p q)n, M n := (q/p) S n (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(S n = k) για τις διάφορες τιμές των n N, k Z.

13 3.7 Ανισότητα Doob 29 (β) Να δειχθεί ότι P(S 2n = 0) 1 πn καθώς n. (γ) Εστω N = {n 1 : S 2n = 0}. Να δειχθεί ότι E(N) =. 3.6 Να δειχθεί ότι η συνθήκη του Ορισμού 3.12 είναι ισοδύναμη με την {T = n} F n για κάθε n N. 3.7 Αν k N { }, να δειχθεί ότι η σταθερή τυχαία μεταβλητή T = k είναι χρόνος διακοπής. 3.8 Αν οι τυχαίες μεταβλητές S, T είναι χρόνοι διακοπής ως προς μια διήθηση (F n ) n 1, να δειχθεί ότι χρόνοι διακοπής ως προς την ίδια διήθηση είναι επίσης και οι τυχαίοι χρόνοι S T, S T, S + T. 3.9 Αν η ανέλιξη X = (X n ) n 0 είναι προσαρμοσμένη στη διήθηση (F n ) n 0, και T είναι χρόνος διακοπής ως προς την ίδια διήθηση, να δειχθεί ότι για κάθε n N η συνάρτηση X T n είναι F n -μετρήσιμη. Ιδιαιτέρως, η X T n είναι τυχαία μεταβλητή (Το πρόβλημα εξόδου για τον ασυμμετρικό τυχαίο περίπατο) Συνεχίζουμε στο πλαίσιο της Ασκησης 3.4. Υποθέτουμε ότι p > q (και άρα p > 1/2). Για κάθε ακέραιο r, θέτουμε T r := inf{k 0 : S k = r}. Και έστω φ : R R η συνάρτηση με φ(x) = (q/p) x για κάθε x R. (α) Για ακεραίους a, b με a < 0 < b, να δειχθεί ότι P(T a < T b ) = φ(b) φ(0) φ(b) φ(a). [Σημείωση: Ξέρουμε ήδη από την Παρατήρηση 3.19 ότι P(T a T b < ) = 1.] (β) Για a < 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι P(T a < ) = 1/φ(a) < 1. (γ) Για b > 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι P(T b < ) = 1. (δ) Για b > 0 ακέραιο, να δειχθεί ότι E(T b ) = b/(p q) Θεωρούμε την ειδική περίπτωση του Παραδείγματος 3.3, κατά την οποία η Z 1 παίρνει τις τιμές 0 και 2 με πιθανότητα 1/2 την καθεμία. Θεωρούμε τις (F n ) n 0, (R n ) n 0 όπως εκεί και τον χρόνο διακοπής N := min{n 1 : R n = 0}. Τι κατανομή έχει ο N; Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα επιλεκτικής διακοπής για το martingale R και τον χρόνο N; 3.12 Εστω (S n ) n 0 ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z και (F n ) n 0 η διήθηση όπως πριν το Παράδειγμα 3.2. Θέτουμε J 0 = 0 και n 1 J n := 1 S k =0 για κάθε n 1. k=0 Δηλαδή η J n μετράει τον αριθμό των επισκέψεων του περιπάτου στο 0 ως τον χρόνο n 1 (ξεκινώντας από τον χρονο 0). Θέτουμε επίσης M n = S n J n για κάθε n 0. (α) Να δειχθεί ότι η (M n ) n 0 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 0. (β) Εστω a θετικός ακέραιος και T a := min{k 0 : S k = a}. Να δειχθεί ότι E(J Ta ) = a Οι καλεσμένοι σε ένα πάρτυ έχουν πλήθος K και έχουν αφήσει στην είσοδο το σακάκι τους. Κάποια στιγμή αποφασίζουν όλοι να φύγουν και ο οικοδεσπότης τούς μοιράζει τυχαία τα σακάκια. Οσοι πάρουν το δικό τους αποχωρούν, ενώ για τους υπόλοιπους, ο οικοδεσπότης επαναλαμβάνει τη διαδικασία όσες φορές χρειαστεί ώσπου να βρει ο καθένας το σακάκι του. Εστω A n το πλήθος των καλεσμένων που δεν έχουν βρει το σακάκι τους μετά τη n μοιρασιά του οικοδεσπότη (A 0 = K). (α) Να δειχθεί ότι η (A n + n) n 0 είναι martingale. (β) Εστω T ο αριθμός των φορών που ο οικοδεσπότης κάνει τυχαία μοιρασιά ώσπου όλοι να έχουν βρει το σακάκι τους. Να δειχθεί ότι P(T > n) a n για κάθε n 1 όπου a = 1 (K!) 1 (0, 1).

14 30 Martingales (γ) Να δειχθεί ότι E(T) = K (Αλλαγή μέτρου και martingales) Εστω (Ω, F, P) χώρος πιθανότητας, (F n ) n 1 διήθηση σε αυτόν, f, Q όπως στην Ασκηση 2.14, και (X n ) n 1 ακολουθία τυχαίων μεταβητών με τιμές στο R. Ορίζουμε f n := E( f F n ) για κάθε n 1. Να δειχθεί ότι τα εξής δύο είναι ισοδύναμα. (α) Η (X n ) n 1 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 1 και το μέτρο Q. (β) Η (X n f n ) n 1 είναι martingale ως προς τη διήθηση (F n ) n 1 και το μέτρο P. [Υπόδειξη: Χρησιμοποιούμε την Ασκηση 2.14 και τις Προτάσεις 2.9, 2.10]

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2014 15 ΔΙΚΤΥΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας χρήστης μιας PDH μισθωμένης γραμμής χρησιμοποιεί μια συσκευή πρόσβασης που υλοποιεί τη στοίβα ΑΤΜ/Ε1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος υποστηριζόμενος ρυθμός (σε

Διαβάστε περισσότερα

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,

α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0, Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Παπάνα Αγγελική http://users.auth.gr/~agpapana/statlogistics E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading

Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να

- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να - 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι:

1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: 1. Ας υποθέσουμε ότι η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για όσπρια είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι: α) Ανεξάρτητα από το ύψος της τιμής των οσπρίων, ο καταναλωτής θα δαπανά πάντα ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων

Projects για το εργαστήριο. των Βάσεων Δεδομένων Projects για το εργαστήριο των Βάσεων Δεδομένων Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος Δεκέμβριος 2013 1. Το πολυκατάστημα Το πολυκατάστημα έχει ένα σύνολο από εργαζομένους. Κάθε εργαζόμενος χαρακτηρίζεται από έναν κωδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι:

3. Με βάση τη βραχυχρόνια καμπύλη Phillips η σχέση πληθωρισμού και ανεργίας είναι: 1. Σε περίπτωση που το κράτος φορολογεί τους πολίτες το διαθέσιμο εισόδημα του κάθε ατόμου είναι: α) το σύνολο του εισοδήματός του β) το σύνολο του εισοδήματός του, αφού προηγουμένως αφαιρέσουμε τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20

Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 A Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σχολή Επιστημών της ιοίκησης Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και ιοίκησης Εργαστήριο Στατιστικής Ελεγχος Στατιστικών Υποθέσεων με τη χρήση του στατιστικού προγραμμάτος SPSS v. 20 26Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ

Μεταγλωττιστές ΙΙ. nkavv@uop.gr. Καταμερισμός καταχωρητών. Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr Μεταγλωττιστές ΙΙ Μεταγλωττιστές ΙΙ Καταμερισμός καταχωρητών Νικόλαος Καββαδίας nkavv@uop.gr 01 Δεκεμβρίου 2010 Γενικά για τον καταμερισμό καταχωρητών Καταμερισμός καταχωρητών (register allocation): βελτιστοποίηση μεταγλωττιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ελεγχος γενικών γραμμικών υποθέσεων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/56 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!

Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα! Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram

Διαβάστε περισσότερα

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται

α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα του εμπορικού ισοζυγίου δεν μεταβάλλεται 1. Ο πληθωρισμός ορίζεται ως εξής: (Δ= μεταβολή, Ρ= επίπεδο τιμών, Ρ e = προσδοκώμενο επίπεδο τιμών): α) Δ Ρ e /Ρ β) Ρ e / Ρ γ) Δ Ρ/Ρ δ) (Ρ Ρ e )/Ρ 2. Όταν οι εξαγωγές αυξάνονται: α) Το έλλειμμα ή το πλεόνασμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε

Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Ποια έντομα είναι εχθροί των φυτών και πώς θα τα αντιμετωπίσετε Δυστυχώς είναι μια πραγματικότητα της ζωής ότι αν διατηρείτε στο σπίτι σας φυτά, υπάρχει πάντα η πιθανότητα να υποστούν ζημίες από βλαβερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ

ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ ΤΑ ΜΙΚΡΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ: ΠΩΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΚΑΙ ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΟΗΘΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ ΝΑ ΕΡΘΟΥΝ Eugene T. GENDLIN University of Chicago, U.S.A Αυτό το άρθρο είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της πλήρους

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων 1

Αναγνώριση Προτύπων 1 Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ HMEΡΟΜΗΝΙΑ ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗΣ: 4 ΑΠΡΙΛΙΟΥ: ΩΡΑ 10μ.μ Τα παρακάτω θέματα δημοσιεύονται αποκλειστικά και μόνο για όσους υποψήφιους του φροντιστηρίου μας δεν κατάφεραν να προσέλθουν στα επαναληπτικά μαθήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο Κείμενο ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επομένως οι αρετές δεν υπάρχουν μέσα μας εκ φύσεως ούτε αντίθετα προς τη φύση μας, αλλά έχουμε από τη φύση την ιδιότητα να τις δεχτούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. ΘΕΩΡΙ ΣΥΝΟΛΩΝ: μια σύνοψη των θεμελιακών χαρακτηριστικών. 1. ΣΥΝΟΛ: το σκεπτικό. σύνολο = πολλά στοιχεία ως «ένα», ως «μία» ολότητα. τα στοιχεία ανήκουν στο σύνολο, ή είναι μέλη του συνόλου το σύνολο περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. ελαχίστων τετραγώνων. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Απλό γραμμικό υπόδειγμα και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Οργάνωσης και ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα

To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα To παιχνίδι την Αρχαία Ελλάδα Μέχρι τα επτά του χρόνια το παιδί έμενε στο σπίτι, όπου έπαιζε διάφορα παιχνίδια. Ο Πλάτων κι ο Αριστοτέλης συμβούλευαν τους γονείς να αφήνουν τα παιδιά τους να διασκεδάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας

Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Κεφάλαιο 68 Σχεδιασμός κλινικών μελετών και διαχείριση δεδομένων έρευνας Γ. Η. Πανάγος 1195 ΟΡΘΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΚΛΙ ΝΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΏΝ Η ορθή πρακτική διεξαγωγής των κλινικών δοκιμών (GCP) είναι ένα διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Πρόβλημα Μετάδοσης Πακέτων Δύο κόμβοι, A και B, επικοινωνούν μέσω ενός δικτύου store & forward. Ο κόμβος Α συνδέεται στο δίκτυο μέσω ζεύξης 10Mbps, ενώ ο κόμβος B συνδέεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ. Μορφές δημόσιου δανεισμού. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ Μορφές δημόσιου δανεισμού Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate 1 Ανάλογα με την πηγή προελεύσεως των πόρων Με βάση το κριτήριο αυτό, ο δανεισμός διακρίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)

Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς.

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (στ.471-490) ΧΟΡΟΣ ηλοῖ τὸ γέννηµ' ὠµὸν ἐξ ὠµοῦ πατρὸς 471 τῆς παιδὸς εἴκειν δ'οὐκ ἐπίσταται κακοῖς. ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και

Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και Κεφάλαιο 2.4: Τα βασικά στοιχεία ενός Επιχειρηματικού Σχεδίου (Business Plan) Περίληψη Κεφαλαίου: Μέσα από αυτό το κεφάλαιο φαίνεται ότι αφενός η σωστή δημιουργία και αφετέρου η σωστή εφαρμογή του Επιχειρηματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ

(14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ (14 ο,15 ο,16 ο ) ΟΡΘΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ: ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΙΙ ΙΙΙ Το πρόβλημα της «ορθότητας» ενός αλγορίθμου. Θεωρούμε συχνότατα τους αλγορίθμους, (όπως και σε αυτές τις σημειώσεις), ως προγράμματα γραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ : ΜΙΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΑΣ ΣΥΝΕΡΓΑΖΟΜΕΝΟ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο

Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο ΤΡΙΤΗ 29 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Κείµενο διδαγµένο Κείµενο από το πρωτότυπο Θουκυδίδη Ιστορία Γ, 70 Καὶ (ἦν γὰρ Πειθίας ἐθελοπρόξενός τε τῶν Ἀθηναίων καὶ τοῦ δήµου προειστήκει)

Διαβάστε περισσότερα

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x] Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού

Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού Το εγχειρίδιο του καλού κηπουρού 1. Φροντίδα των φυτών Αφού αποφάσισες να φυτέψεις πρέπει να είσαι έτοιμος να ασχοληθείς με τα φυτά σου και να παρακολουθείς τις ανάγκες τους. Θα πρέπει να ποτίζεις όποτε

Διαβάστε περισσότερα

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις

Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Δίκαιο και Οικονομικά: Οι Εξετάσεις Το κείμενο αυτό ανανεώνεται με τη δική σας παρέμβαση, τις ερωτήσεις, τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας. Θα συνεχίζει να ανανεώνεται μέχρι την ημέρα των εξετάσεων. Αυτή

Διαβάστε περισσότερα