ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΕΤΟΧΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΕΤΟΧΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ Μιχαηλίδης Νικόλαος Διατριβή υποβληθείσα προς μερική εκπλήρωση των απαραιτήτων προϋποθέσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης Αθήνα Φεβρουάριος,

2 Εγκρίνουμε τη διατριβή του Μιχαηλίδη Νικόλαου Υπεύθυνος Καθηγητής: Τζαβαλής Ηλίας Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών... Εξεταστής Καθηγητής: Τσιώνας Ευθύμιος Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών... Εξεταστής Καθηγητής: Παγκράτης Σπυρίδων Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών.....././2015 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Χαρτοφυλάκιο και μετοχές Χαρτοφυλάκιο Ορισμός Κατασκευή Χαρτοφυλακίου Μετοχές Ορισμός και διάκριση μετοχών Τιμολόγηση μετοχών Ονομαστική Αξία Λογιστική Αξία Τιμή Έκδοσης Χρηματιστηριακή Αξία... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Επιλογή Χαρτοφυλακίου Εισαγωγή Βασικά κριτήρια επιλογής χαρτοφυλακίου Η έννοια της απόδοσης Η έννοια του κινδύνου Επιλογή Χαρτοφυλακίου Μοντέλο μέσου-διακύμανσης (mean-variance), προσέγγιση Markowitz Μοντέλο μέσου-διακύμανσης, προσέγγιση Tobin Χρεόγραφο μηδενικού κινδύνου και εφαπτόμενο χαρτοφυλάκιο Το χαρτοφυλάκιο της αγοράς ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τιμολόγηση Μετοχών Εισαγωγή Το υπόδειγμα αποτίμησης περιουσιακών στοιχείων (CAPM) Ο συντελεστής βήτα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διαχείριση χαρτοφυλακίου και αξιολόγηση αποδοτικότητας Εισαγωγή Διαχείριση Χαρτοφυλακίου Ενεργητικές στρατηγικές Παθητικές στρατηγικές

4 4.2.3 Σύγκριση στρατηγικών διαχείρισης Μέτρα αξιολόγησης της αποδοτικότητας ενός χαρτοφυλακίου Το μέτρο του Jensen Το μέτρο του Treynor Το μέτρο του Sharpe Άλλα υποδείγματα αξιολόγησης αποδοτικότητας Το υπόδειγμα των Treynor-Mazuy Το υπόδειγμα των Henriksson και Merton ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Εμπειρική Ανάλυση Εισαγωγή Αποδόσεις μετοχών Υπολογισμός άριστων βαρών Απόδοση χαρτοφυλακίου Χαρτοφυλάκιο αγοράς και συντελεστής βήτα Μέτρηση αποδοτικότητας χαρτοφυλακίου Μέτρο του Sharpe Μέτρο του Jensen Δείκτης Treynor Το υπόδειγμα των Treynor-Mazuy Το υπόδειγμα των Henriksson-Merton ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το θέµα της παρούσας εργασίας είναι η Αριστοποίηση ενός Χαρτοφυλακίου Μετοχών και η ιαχείρισή του. Σκοπός της είναι τόσο η θεωρητική όσο και η εµπειρική ανάλυση του θέµατος, δίνοντας στον αναγνώστη µια όσο το δυνατόν πιο πλήρη εικόνα σχετικά µε έναν τύπο επένδυσης, που απασχολεί τη συντριπτική πλειοψηφία του επενδυτικού κοινού. Η επένδυση σε χαρτοφυλάκια µετοχών αποτελεί τη δηµοφιλέστερη εναλλακτική λύση για όσους αποφασίζουν να επενδύσουν το κεφάλαιό τους σε κάτι διαφορετικό από τις τραπεζικές καταθέσεις. Κάτι που ναι µεν ενέχει µεγαλύτερο κίνδυνο σε σχέση µε την ασφάλεια που µπορεί να προσφέρει ένα τραπεζικό ίδρυµα, αλλά µπορεί να ανταµείψει τον επενδυτή µε αποδόσεις που όµοιές τους δεν θα µπορέσει να επιτύχει εάν αποφασίσει να επενδύσει το κεφάλαιό του σε µια τραπεζική κατάθεση (απλή ή προθεσµιακή). Για να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο λειτουργούν οι διαχειριστές χαρτοφυλακίων, θα πρέπει να αναλύσουµε µε βάση την Οικονοµική Επιστήµη και τα εργαλεία της, διάφορα θέµατα που αφορούν την επιλογή χαρτοφυλακίων, την τιµολόγηση των µετοχών (κυρίως µέσω του CAPM), καθώς και τη µέτρηση και αξιολόγηση της αποδοτικότητας ενός χαρτοφυλακίου, όπως και τη διαχείρισή του. Θα βασιστούµε στις θεωρίες που ανέπτυξαν οικονοµολόγοι όπως ο Markowitz, o Tobin, ο Sharpe, o Treynor κ.α. για την εύρεση του άριστου χαρτοφυλακίου και τη µέτρηση της αποδοτικότητάς του και στη συνέχεια θα προσπαθήσουµε µε τη βοήθεια προγραµµάτων (Microsoft Excel, Eviews) να κατασκευάσουµε ένα άριστο χαρτοφυλάκιο αποτελούµενο από µετοχές και να το αναλύσουµε µε βάση τις προηγούµενες θεωρίες. Στο τέλος, θα παρουσιαστούν τα συµπεράσµατα της εµπειρικής µελέτης της παρούσας εργασίας. 1

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Χαρτοφυλάκιο και μετοχές 1.1 Χαρτοφυλάκιο Ορισμός Ως χαρτοφυλάκιο θεωρούµε το σύνολο των περιουσιακών στοιχείων που κατέχει ένας επενδυτής. Τα στοιχεία αυτά µπορεί να είναι ένας συνδυασµός από µετοχές, οµoλογίες, µερίδια αµοιβαίων κεφαλαίων, ακίνητα, τραπεζικές καταθέσεις, εµπορεύµατα κλπ. Σκοπός του χαρτοφυλακίου είναι η τοποθέτηση πλούτου σε αυτό µε στόχο τη µεγιστοποίηση της απόδοσης και την ελαχιστοποίηση του κινδύνου ή την επίτευξη ενός συνδυασµού απόδοσης-κινδύνου κατάλληλου για τις ανάγκες κάθε συγκεκριµένου επενδυτή Κατασκευή Χαρτοφυλακίου Κατά τη διάρκεια κατάστρωσης του χαρτοφυλακίου, συνήθως το πρώτο θέµα που εξετάζεται από τους διαχειριστές είναι η κατανοµή κεφαλαίων, η οποία συνίσταται στον καθορισµό του ποσοστού του προς επένδυση κεφαλαίου που θα τοποθετηθεί σε «ασφαλείς» αλλά χαµηλής απόδοσης επενδύσεις, και σε αυτό που θα τοποθετηθεί σε επενδύσεις µεγαλύτερης απόδοσης που ταυτόχρονα συνεπάγονται µεγαλύτερο κίνδυνο. Η δεύτερη απόφαση που πρέπει να ληφθεί, αφορά την κατανοµή κεφαλαίων µεταξύ των επικίνδυνων τοποθετήσεων. Οι διαθέσιµες κατηγορίες επενδύσεων αυτής της περίπτωσης είναι οι µετοχές, τα οµόλογα, το συνάλλαγµα, τα παράγωγα προϊόντα και τα πραγµατικά περιουσιακά στοιχεία. Η τελική απόφαση αφορά την επιλογή των συγκεκριµένων αξιογράφων από κάθε κατηγορία επενδύσεων. Ιδανικό χαρτοφυλάκιο που να αποτελεί τη βέλτιστη επιλογή για όλους τους επενδυτές δεν υπάρχει. Η σύνθεση ενός χαρτοφυλακίου επηρεάζεται από µια σειρά προσωπικών παραγόντων όπως η αποστροφή στον κίνδυνο, ο χρονικός ορίζοντας κάθε επενδυτή ή οι ατοµικές ανάγκες και οι στόχοι του. 1.2 Μετοχές Ορισμός και διάκριση μετοχών Όπως προείπαµε, η παρούσα εργασία αφορά στην αριστοποίηση ενός χαρτοφυλακίου µετοχών. Συνεπώς, θα ήταν φρόνιµο να ασχοληθούµε µε κάποιες βασικές έννοιες γύρω από το βασικό συστατικό του χαρτοφυλακίου µας. 2

7 Ξεκινώντας µε έναν µικρό ορισµό, η µετοχή είναι ένα από τα ίσα µερίδια στα οποία διαιρείται το κεφάλαιο µιας ανώνυµης εταιρείας. Οι µετοχές διακρίνονται σε κοινές και προνοµιούχες. Η κοινή µετοχή είναι ο πιο συνηθισµένος τύπος µετοχής και περιλαµβάνει όλα τα βασικά δικαιώµατα ενός µετόχου, όπως δικαίωµα συµµετοχής στα κέρδη, στην έκδοση νέων µετοχών, στο προϊόν της εκκαθάρισης, καθώς και δικαίωµα ψήφου στη Γενική Συνέλευση της εταιρείας και συµµετοχής στη διαχείρισή της. Εκδίδεται από την εταιρεία µε σκοπό την άντληση κεφαλαίων από το Χρηµατιστήριο. Η προνοµιούχος µετοχή προσφέρει απλά ένα προβάδισµα έναντι των κατόχων κοινών µετοχών, στη λήψη µερίσµατος και στη λήψη του προϊόντος της εκκαθάρισης σε περίπτωση διάλυσης της επιχείρησης, αλλά συνήθως στερείται του δικαιώµατος ψήφου και συµµετοχής στη διαχείριση της επιχείρησης. Μέρισµα είναι ένα µέρος των κερδών της επιχείρησης, το οποίο µοιράζεται στους µετόχους κατ αναλογία του ποσοστού µετοχών που αυτοί διακρατούν Τιμολόγηση μετοχών Οι µετοχές των ανωνύµων εταιριών µπορούν να διαµορφώσουν τέσσερα είδη τιµών (αξιών): ονοµαστική, λογιστική ή εσωτερική, έκδοσης και χρηµατιστηριακή Ονομαστική Αξία Ονοµαστική αξία ή αξία στο άρτιο είναι η αξία που αναγράφεται στο σώµα της µετοχής και στο καταστατικό της εταιρίας. Κύριος σκοπός της ονοµαστικής αξίας είναι να καθορίσει την αναλογία κάθε µετοχής στην ιδιοκτησία της εταιρίας. Η συνολική ονοµαστική αξία της εταιρίας είναι το γινόµενο του αριθµού των µετοχών επί την ονοµαστική αξία της µετοχής. Η ονοµαστική αξία δεν εκφράζει απαραίτητα το ύψος των εισφορών των µετόχων ανά µετοχή κατά τη σύσταση της εταιρίας, επειδή είναι πιθανόν οι µετοχές να εκδόθηκαν υπέρ το άρτιο Λογιστική Αξία Η ονοµαστική αξία δεν πρέπει να συγχέεται µε τη λογιστική αξία (εσωτερική). Η ονοµαστική αξία είναι νοµική έννοια, ενώ η λογιστική αξία είναι λογιστική έννοια. Η ονοµαστική αξία καθορίζεται από την εταιρία, ενώ η λογιστική αξία είναι συνήθως το πηλίκο της καθαρής περιουσίας διά του αριθµού των µετοχών της εταιρίας. Ειδικότερα, ο προσδιορισµός της λογιστικής αξίας της µετοχής προϋποθέτει την κατάταξη των προνοµιούχων µετοχών σε δύο κατηγορίες. Οι προνοµιούχες µετοχές που δικαιούνται µόνο σταθερό µέρισµα (στην ουσία επιτόκιο) αποτελούν µικτή αξία (έχουν χαρακτηριστικά κοινής µετοχής και οµολογίας) και ανταποκρίνονται στην κυρίως έννοια της προνοµιούχου µετοχής. Αντίθετα, οι συµµετοχικές προνοµιούχες µετοχές χωρίς ψήφο ταυτίζονται περισσότερο µε τις κοινές από τις οποίες ουσιαστικά 3

8 διαφέρουν µόνο κατά το δικαίωµα ψήφου. Αυτές οι προνοµιούχες µετοχές αυξάνουν τον αριθµό των κοινών µετοχών και κατά συνέπεια τα κέρδη που αντιστοιχούν στις µετοχές αυτές, ενώ οι προνοµιούχες µετοχές σταθερού µερίσµατος υπολογίζονται ξεχωριστά και µειώνουν τα κέρδη που αντιστοιχούν στους κοινούς µετόχους κατά το ύψος του µερίσµατος τους. Στην Ελλάδα, οι προνοµιούχες µετοχές που προέκυψαν από την κεφαλαιοποίηση της υπεραξίας των πάγιων περιουσιακών στοιχείων (Ν. 1249/82) είναι όλες συµµετοχικές και διαφέρουν ουσιαστικά των κοινών µετοχών στο δικαίωµα της ψήφου. Έτσι, οι µετοχές αυτές µπορούν να πωληθούν στο κοινό, χωρίς να εξασθενήσει ο έλεγχος της εταιρίας Τιμή Έκδοσης Η τιµή διάθεσης των µετοχών στους αγοραστές κατά την έκδοσή τους αντιπροσωπεύει την τιµή έκδοσης των µετοχών. Στην Ελλάδα, η τιµή έκδοσης απαγορεύεται να είναι µικρότερη από την ονοµαστική αξία των µετοχών Χρηματιστηριακή Αξία Η χρηµατιστηριακή αξία είναι η τρέχουσα αξία της µετοχής στην επίσηµη χρηµατιστηριακή αγορά στην οποία διαπραγµατεύονται οι µετοχές. Η πραγµατική αξία της µετοχής για τις εισηγµένες εταιρίες αντιπροσωπεύεται από τη χρηµατιστηριακή αξία και όχι από τη λογιστική αυξηµένη κατά τη διαφορά που προκύπτει από την υπεραξία των περιουσιακών στοιχείων. Η χρηµατιστηριακή αξία είναι συνάρτηση µίας σειράς παραγόντων, οι οποίοι είναι συνυφασµένοι τόσο µε τις γενικές συνθήκες της αγοράς όσο και µε την ίδια την ανώνυµη εταιρία (π.χ. προοπτικές κερδών και µερισµάτων, βαθµός δανειακής επιβάρυνσης και αυτοχρηµατοδότησης, µέγεθος κινδύνου κ.λπ.). Γενικότερα, το µακροοικονοµικό περιβάλλον µιας χώρας ασκεί τη µεγαλύτερη επιρροή στη µεταβολή των τιµών των µετοχών. Ρυθµός ανάπτυξης, ΑΕΠ, πληθωρισµός, ανεργία, ισοζύγιο τρεχουσών συναλλαγών είναι µερικοί από τους µακροοικονοµικούς δείκτες που διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο στην πορεία του γενικού δείκτη τιµών. Ιστορικά, έχει αποδειχθεί ότι ο δείκτης τιµών των µετοχών αποτελεί έναν καθρέφτη του δείκτη ευηµερίας µιας κοινωνίας, καθώς επηρεάζεται τόσο από τις οικονοµικές, όσο και από τις πολιτικές και κοινωνικές εξελίξεις που λαµβάνουν χώρα εντός της. 4

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Επιλογή Χαρτοφυλακίου Εισαγωγή Αρχικά θα πρέπει να εξετάσουµε τον τρόπο µε τον οποίο ένας επενδυτής επιλέγει τη σύνθεση του χαρτοφυλακίου του. Είναι σοφό να επενδύσει το κεφάλαιό του σε µία µετοχή ή θα ήταν καλύτερο να το διασπάσει σε περισσότερες; Η επιλογή του εξαρτάται από τη βαρύτητα που δίνει στην έννοια του κινδύνου και φυσικά από την απόδοση που θα ήθελε να πετύχει. Θα ξεκινήσουµε αυτό το κεφάλαιο µε την ανάλυση των δύο αυτών εννοιών (κίνδυνος-απόδοση) και θα συνεχίσουµε µε τους τρόπους επιλογής χαρτοφυλακίων Βασικά κριτήρια επιλογής χαρτοφυλακίου Η έννοια της απόδοσης Στην πλέον διαδεδοµένη θεώρηση η έννοια της απόδοσης ορίζεται ως η ποσοστιαία µεταβολή της αξίας της επένδυσης κατά τη διάρκεια ενός δεδοµένου χρονικού διαστήµατος. Γενικά, θεωρώντας ότι η αξία κτήσης ενός χρεογράφου τη χρονική ' στιγµή t είναι P t και η αξία του τη χρονική στιγµή t+ t είναι P + ' τότε η απόδοση της επένδυσης στο χρεόγραφο κατά τη χρονική περίοδο r t P P t+ t ' t = (2.1) P t t t ' t = t t υπολογίζεται ως εξής: Τη στιγµή που πραγµατοποιείται η επένδυση, ο επενδυτής προφανώς δεν µπορεί να γνωρίζει µε απόλυτη βεβαιότητα την µελλοντική της εξέλιξη. Άρα η αξιολόγηση της επένδυσης δεν µπορεί παρά να βασίζεται σε εκτιµήσεις όσον αφορά την απόδοσή της, οι οποίες αναπόφευκτα εµπεριέχουν κάποιο βαθµό αβεβαιότητας. Με τον τρόπο λοιπόν αυτό, εντάσσεται στην ανάλυση και η έννοια του κινδύνου. Ως κίνδυνος θεωρείται η διακύµανση των αποτελεσµάτων της επένδυσης από τις εκτιµήσεις του επενδυτή για αυτές. Στην περίπτωση που η επένδυση αφορά κάποια χρεόγραφα, η ανάλυση των δύο παραπάνω βασικών κριτηρίων µπορεί να υλοποιηθεί χρησιµοποιώντας πληροφορίες που αντλούνται από την ανάλυση της µέχρι σήµερα συµπεριφοράς τους και των µεταβολών στις τιµές των χρεογράφων στην αγορά. Η προσέγγιση αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι η ανάλυση του παρελθόντος µπορεί να δώσει χρήσιµες πληροφορίες για την εξέλιξη της αξίας των χρεογράφων στο µέλλον. Υιοθετώντας την προσέγγιση αυτή η ανάλυση της αναµενόµενης απόδοσης και του κινδύνου µπορεί να πραγµατοποιηθεί χρησιµοποιώντας τα γνωστά στατιστικά µεγέθη της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης. 5

10 Γενικά, ο υπολογισµός της αναµενόµενης απόδοσης όταν υπάρχει διαθέσιµο ένα δείγµα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους πραγµατοποιείται ως εξής: n rt = (2.2) n t= 1 ( ) E r Η απόδοση η οποία υπολογίζεται σύµφωνα µε τη σχέση (2.1) και η αντίστοιχη µέση τιµή της σχέσης (2.2) είναι γνωστές ως αριθµητική απόδοση και µέση αριθµητική απόδοση. Τα δύο αυτά µέτρα αποτελούν τον συνηθέστερο τρόπο προσδιορισµού της απόδοσης µιας επένδυσης. Συχνά, όµως, η χρήση τους παρουσιάζει ορισµένες δυσκολίες κυρίως όσον αφορά την ερµηνεία τους. Αυτά οφείλονται στο γεγονός ότι η αριθµητική απόδοση υποθέτει ότι τα αποτελέσµατα της επένδυσης που επιτυγχάνονται σε κάθε χρονική περίοδο ρευστοποιούνται και το επενδυµένο ποσό παραµένει σταθερό. Εισάγουµε ακόµα τις έννοιες της γεωµετρικής απόδοσης και της µέσης γεωµετρικής απόδοσης. Θεωρώντας ότι η αξία µιας επένδυσης σε δύο διαδοχικές χρονικές στιγµές t και t+1 είναι P t και P t + 1 αντίστοιχα, η γεωµετρική απόδοση ορίζεται ως r ( P P) = ln. εδοµένου ενός συνόλου γεωµετρικών αποδόσεων για n χρονικές G t t+ 1 t περιόδους, η µέση γεωµετρική απόδοση υπολογίζεται απλά ως η µέση τιµή των αποδόσεων αυτών, χρησιµοποιώντας τη σχέση (2) και αντικαθιστώντας σε αυτήν το tr µε το G r t. Στην περίπτωση όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αφορούν τις αριθµητικές αποδόσεις µιας επένδυσης για n χρονικές περιόδους ( r1, r2,..., r n), τότε η µέση γεωµετρική απόδοση µπορεί να υπολογιστεί σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: n G ( ) ( rt ) E r 1/ n = 1+ 1 (2.3) t= 1 Η µέση γεωµετρική απόδοση ουσιαστικά προσδιορίζει την απόδοση µε την οποία επανεπενδύονται τα αποτελέσµατα κάθε χρονικής περιόδου µιας επένδυσης µέχρι τη λήξη της. Γίνεται δηλαδή η υπόθεση ότι τα κέρδη ή οι ζηµίες κάθε περιόδου από την επένδυση επανεπενδύονται σε αυτή και µεταφέρονται έτσι στην αµέσως επόµενη χρονική περίοδο. Γενικά η διαφορά µεταξύ της αριθµητικής και γεωµετρικής απόδοσης µπορεί να θεωρηθεί ως µάλλον «λεπτή» δεδοµένου ότι οι µεταβολές στην αξία µιας επένδυσης σε µικρά χρονικά διαστήµατα (για παράδειγµα, ηµερήσια στοιχεία) είναι περιορισµένες. Σε τέτοιες περιπτώσεις η αριθµητική και γεωµετρική απόδοση σχεδόν συµπίπτουν. Σε περίπτωση όµως όπου τα χρονικά διαστήµατα είναι µεγαλύτερα (µήνες, έτη, κλπ.) οι µεταβολές στην αξία µιας επένδυσης µεγαλώνουν και παρουσιάζονται διαφοροποιήσεις µεταξύ της αριθµητικής και γεωµετρικής απόδοσης. εδοµένου ότι η βασική θεωρία των χρηµατιστηριακών αγορών και των επενδύσεων βασίζεται στην έννοια της αριθµητικής απόδοσης, στο εξής η χρήση του όρου 6

11 «απόδοση» θα αναφέρεται στην αριθµητική απόδοση. Θα πρέπει πάντως να τονιστεί ότι η έννοια της γεωµετρικής απόδοσης είναι ιδιαίτερα σηµαντική σε θέµατα αποτίµησης και διαχείρισης χρηµατοοικονοµικών παραγώγων Η έννοια του κινδύνου Έχοντας υπολογίσει την αναµενόµενη απόδοση, µένει να εκτιµηθεί και ο αναµενόµενος κίνδυνος. Ως µέτρο κινδύνου χρησιµοποιείται η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. Η τυπική απόκλιση αποτελεί ένα µέτρο της διακύµανσης της απόδοσης γύρω από την αναµενόµενη µέση τιµή. Προφανώς όσο υψηλότερη η τυπική απόκλιση, τόσο υψηλότερη είναι αυτή η διακύµανση και συνεπώς τόσο υψηλότερος ο κίνδυνος. Γενικά, ο υπολογισµός της τυπικής απόκλισης στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιµο ένα δείγµα ιστορικών στοιχείων για n περιόδους πραγµατοποιείται ως εξής: n t= 1 σ = ( ) 2 rt E r n 2.3 Επιλογή Χαρτοφυλακίου Η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου ασχολείται µε την αποδοτική διαχείριση ενός χαρτοφυλακίου και στόχο έχει την επίτευξη συγκεκριµένων επενδυτικών σκοπών. Η επιστήµη της διαχείρισης χαρτοφυλακίου ουσιαστικά βοηθάει τον επενδυτή να αποκοµίσει τα µέγιστα δυνατά κέρδη από µια επενδυτική επιλογή, έχοντας παράλληλα υποστεί το µικρότερο δυνατό κίνδυνο, σε µακροπρόθεσµο χρονικό ορίζοντα. Το 1952 ήταν µια από τις πιο καθοριστικές χρονιές για την εξέλιξη της σύγχρονης θεωρίας χαρτοφυλακίου, αφού το Μάρτιο εκείνου του έτους έγινε η πρώτη δηµοσίευση του Harry Markowitz στη Journal of Finance. Ο τίτλος της ήταν Portfolio Selection, περιέγραφε µια µέθοδο δηµιουργίας αποδοτικά διαφοροποιηµένων χαρτοφυλακίων και αποτέλεσε τον ακρογωνιαίο λίθο όλης της σύγχρονης θεωρίας, ενώ έδωσε στον Markowitz το 1990 το βραβείο Nobel οικονοµικών επιστηµών (µαζί µε τους Merton Miller και William Sharpe). Μέχρι την εποχή που γράφτηκε δεν είχε διατυπωθεί αντίστοιχη ολοκληρωµένη θεωρία, δηλαδή γεννήθηκε σε σχεδόν µηδενική βάση και εισήγαγε ως πρωταρχική την έννοια της διαφοροποίησης των επενδύσεων. Η διαφοροποίηση (diversification) υπήρχε σαν ιδέα και πριν από τον Markowitz, ως τρόπος εξάλειψης του επενδυτικού κινδύνου. Ο ίδιος όχι µόνο επιβεβαίωσε µαθηµατικά τη διαφοροποίηση αλλά έδειξε και ότι ο κίνδυνος δε µηδενίζεται µέσω αυτής, αλλά µπορεί να µειωθεί αρκετά, κρατώντας σταθερή τη δεύτερη βασική συνιστώσα του προβλήµατος, δηλαδή την αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. 7

12 Ο Markowitz λοιπόν ποσοτικοποίησε το ρίσκο και απέδειξε πως ο κατάλληλος συνδυασµός χρεογράφων µέσω της διαφοροποίησης σε συγκεκριµένες αναλογίες και µε κατάλληλα χαρακτηριστικά µπορεί να εξασφαλίσει την υψηλότερη δυνατή απόδοση σε ένα χαρτοφυλάκιο για δεδοµένο επίπεδο ρίσκου. Ένα χαρτοφυλάκιο θεωρείται αποτελεσµατικό (efficient portfolio) εάν και µόνο εάν δεν υπάρχει κάποιο άλλο το οποίο να προσφέρει υψηλότερη αναµενόµενη απόδοση µε το ίδιο (ή χαµηλότερο) ρίσκο, ή αντίστοιχα χαµηλότερο ρίσκο µε την ίδια (ή υψηλότερη) αναµενόµενη απόδοση. Πριν τον Markowitz η προσέγγιση ήταν σχετικά απλή και µονοδιάστατη και είχε ως εξής: ο επενδυτής επέλεγε κάθε αξιόγραφο ανεξάρτητα από τα άλλα, µε κριτήριο την απόδοση και τον κίνδυνό του. Ο Markowitz µέσω της διαφοροποίησης έκανε την καινοτόµο πρόταση να επιλέγονται τα αξιόγραφα µε στόχο το τελικό συνολικό χαρτοφυλάκιο να είναι αποτελεσµατικό (βέλτιστο), χωρίς να δίνεται αποκλειστική βάση στα επιµέρους στοιχεία των χρεογράφων, αλλά στη µεταξύ τους σχέση. Όπως θα δούµε και στις επόµενες παραγράφους, µετά την αρχική δηµοσίευση του 1952, ήρθε ο Tobin το 1958 και εισήγαγε στην αρχική θεωρία το χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου (risk free asset). Αν έχουµε ένα χαρτοφυλάκιο που είναι αποτελεσµατικό και το συνδυάσουµε µε το χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου, µπορούµε να επιτύχουµε µεγαλύτερη απόδοση, µε το ίδιο ρίσκο. Ακολούθησε η έκδοση του βιβλίου του Markowitz το 1959 και η επέκταση της θεωρίας του το 1964 από το Sharpe, ο οποίος ήταν ένας εκ των θεµελιωτών του υποδείγµατος αποτίµησης κεφαλαιακών στοιχείων (capital asset pricing model - CAPM). Το CAPM εισήγαγε τις έννοιες του συστηµατικού και ειδικού ή µη συστηµατικού κινδύνου. Κατά το CAPM, το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο ταυτίζεται µε το χαρτοφυλάκιο της αγοράς (market portfolio). Ακολούθησαν και άλλα υποδείγµατα όπως η θεωρία αντισταθµιστικής αποτίµησης (arbitrage pricing theory-apt) (Stephen Ross 1976) και έγιναν αρκετές µελέτες όχι µόνο προς την κατεύθυνση του υποδείγµατος του Markowitz αλλά και µε διαφορετικές προσεγγίσεις Μοντέλο μέσου-διακύμανσης (mean-variance), προσέγγιση Markowitz Στην παρούσα φάση, θα αναλύσουµε το µοντέλο µέσου-διακύµανσης του Markowitz για ένα χαρτοφυλάκιο µετοχών. Στα χαρτοφυλάκια µετοχών, η κάθε µετοχή συµµετέχει µε διαφορετικό βάρος (στάθµιση) από τις υπόλοιπες. Με βάση το συγκεκριµένο µοντέλο, λαµβάνοντας υπόψη το διάνυσµα των αναµενόµενων αποδόσεων των µετοχών, καθώς και τη µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης των αποδόσεών τους, θα µπορέσουµε να υπολογίσουµε τα άριστα βάρη για κάθε µετοχή. Προϋπόθεση για να βρούµε τα άριστα βάρη είναι η µεγιστοποίηση της αναµενόµενης απόδοσης του χαρτοφυλακίου για ένα δεδοµένο επίπεδο κινδύνου. Αυτό ισοδυναµεί µε την ελαχιστοποίηση της διακύµανσης του χαρτοφυλακίου για ένα δεδοµένο επίπεδο αναµενόµενης απόδοσης. 8

13 Καθώς το µοντέλο είναι στατικό, δηλαδή αφορά µία δεδοµένη περίοδο εξέτασης, έχει ως εξής: Έστω χαρτοφυλάκιο P, το οποίο αποτελείται από Ν µετοχές. Κάθε µετοχή έχει και µια απόδοση, την οποία θεωρούµε τυχαία µεταβλητή. Σύµφωνα µε τη σχέση (2.1) που έχουµε ορίσει νωρίτερα, η απόδοση, ή καλύτερα ο ρυθµός απόδοσης µιας µετοχής για την χρονική περίοδο 0 είναι: = Έτσι λοιπόν, µε το µετράµε το ρυθµό απόδοσης της µετοχής, όπου είναι η χρηµατιστηριακή τιµή της µετοχής στην περίοδο 1 και η τιµή της στην περίοδο 0. Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί και ως: = 1 = (2.4) Όπου είναι η απόδοση της µετοχής. Είτε αναφερόµαστε σε αποδόσεις, είτε σε ρυθµούς αποδόσεων, η ανάλυση παραµένει η ίδια. Συνεπώς, στη συνέχεια της εργασίας, θα τα αναφέρουµε όλα ως αποδόσεις. Η απόδοση ενός χαρτοφυλακίου για µια συγκεκριµένη περίοδο ορίζεται ως ο σταθµισµένος µέσος των αποδόσεων: = = =1 (2.5) Η απόδοση αυτή, µπορεί να εκφραστεί και σε µορφή διανυσµάτων, κάνοντας πιο απλή την ανάλυση: =.. #=$ & (2.6) " Το διάνυσµα w είναι το διάνυσµα των βαρών και έχει τη µορφή NX1. To διάνυσµα r είναι το διάνυσµα των αποδόσεων και είναι και αυτό της µορφής NX1. Για τη σωστή εφαρµογή του υποδείγµατος, ο επενδυτής θα χρειαστεί την αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. Λαµβάνοντας υπόψη ότι οι αποδόσεις είναι τυχαίες µεταβλητές που έχουν µία συγκεκριµένη κατανοµή και διάφορες ροπές, η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου δίνεται από τον τύπο: '''' )* += ), -=$. ),/-=$ /' (2.7) Η διακύµανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου για την ίδια περίοδο υπολογίζεται ως εξής: 0 12* += =

14 = = = = 9 <. #=$. >$ (2.8) = " Η µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης των µετοχών έχει µέγεθος ΝΧΝ. Σύµφωνα µε τον Markowitz, ελαχιστοποιώντας τη διακύµανση των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου, θα καταλήξουµε στα άριστα βάρη των µετοχών που το αποτελούν. Η λύση του προβλήµατος ελαχιστοποίησης θα µας δώσει έναν γεωµετρικό τόπο αποτελεσµατικών (efficient) χαρτοφυλακίων. Συγκεκριµένα, έχουµε:?@ $ >$ (2.9) υπό τους περιορισµούς: $. &' =A (2.10) B. $=1 (2.11) Το παραπάνω πρόβληµα µας καλεί να ψάξουµε το χαρτοφυλάκιο µε τη µικρότερη διακύµανση, ελαχιστοποιώντας τη διακύµανση ως προς τα ζητούµενα βάρη υπό την προϋπόθεση ότι η αναµενόµενη απόδοση καθορίζεται σε ένα συγκεκριµένο επίπεδο µ (2.10) και ότι το άθροισµα των βαρών είναι 1 (2.11). Προχωράµε λοιπόν στη λύση του προβλήµατος, κατασκευάζοντας τη συνάρτηση Lagrange ως ακολούθως: C = $. >$+D,A $. &'-+D,1 B. $- (2.12) Οι συνθήκες πρώτης τάξης (F.O.C.) είναι: α) β) EF EG =H$ D &' D B=I,J- (2.13) EF EK =B. $ 1=I,J- (2.14) γ) EF EK =&'. $ A =I,J- (2.15) Λύνοντας την (2.13) ως προς $, βρίσκουµε τα άριστα βάρη του χαρτοφυλακίου εκφρασµένα σε διάνυσµα ΝΧ1. $ =D H 8 &'+D H 8 B (2.13*) Το διάνυσµα αυτό µας δείχνει σε τι ποσοστό πρέπει ένας επενδυτής να κατανείµει το κεφάλαιό του ανάµεσα στις µετοχές 1 έως Ν, ώστε το χαρτοφυλάκιο να θεωρείται 10

15 αποτελεσµατικό. Αντικαθιστώντας το γνωστό πλέον $ στις συναρτήσεις (2.14) και (2.15), µπορούµε να βρούµε τους πολλαπλασιαστές D και D. (2.14) B. $ 1=0 B. $ =1 B. D H 8 &'+D H 8 B=1 D B. H 8 &'+D B. H 8 B=1 D N+D O=1 (2.14*) Όπου: N P =B. H 8 &' =&'. H 8 B και O P =B. H 8 B (2.15) &'. $ A =0 &'. D H 8 &'+D H 8 B=A D &'. H 8 &'+D &' H 8 B=A D Q+D R=A (2.15*) Όπου Q =&'. H 8 &' Λύνοντας τις (2.14*) και (2.15*) ως σύστηµα, θα µπορέσουµε να βρούµε τις πραγµατικές ποσότητες των πολλαπλασιαστών Lagrange, D και D. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας τις ποσότητες αυτές στη συνάρτηση (2.13*), θα πάρουµε και την πραγµατική τιµή του διανύσµατος των άριστων βαρών. Όπου Y=QS R D = TU8V W D Q+D R=A D R+D S=1 D = X8TV W Συνεπώς, η εξίσωση των άριστων βαρών (2.13*) θα είναι: $ =D H 8 &'+D H 8 B=Z TU8V W [H8 &'+Z X8TV W [H8 B (2.16) Άρα, παρατηρούµε πως το διάνυσµα των άριστων βαρών είναι συνάρτηση της µήτρας διακύµανσης-συνδιακύµανσης των αποδόσεων των µετοχών, καθώς και των αποδόσεών τους. Οι ποσότητες των δύο αυτών µεγεθών είναι γνωστές στον επενδυτή, καθώς τις αντλεί από τα ιστορικά δεδοµένα κάθε µετοχής. Αφού λοιπόν µπορούµε πλέον να προσδιορίσουµε το αποτελεσµατικό χαρτοφυλάκιο, είναι σχετικά απλό να κατασκευάσουµε και τον γεωµετρικό τόπο των αποτελεσµατικών χαρτοφυλακίων σε συνάρτηση του κινδύνου και της απόδοσης. Σε 11

16 κάθε συνδυασµό απόδοσης και κινδύνου (διακύµανσης), θα αντιστοιχούν τα άριστα βάρη, τα οποία θα έχουν υπολογιστεί µε τρόπο ώστε το συγκεκριµένο χαρτοφυλάκιο να είναι αποτελεσµατικό. ηλαδή να έχει τη µεγαλύτερη αναµενόµενη απόδοση για ένα δεδοµένο επίπεδο κινδύνου, ή αντίστοιχα την ελάχιστη διακύµανση για ένα δεδοµένο επίπεδο απόδοσης. Το σύνολο των συνδυασµών αυτών θα αποτυπωθεί στο διάγραµµα του αποτελεσµατικού συνόρου χαρτοφυλακίων µετοχών (efficient portfolio frontier), το οποίο δεν είναι άλλο από ένα διάγραµµα δύο διαστάσεων, του οποίου ο κάθετος άξονας είναι η απόδοση και ο οριζόντιος η διακύµανση (κίνδυνος). Για να µπορέσουµε να ολοκληρώσουµε την κατασκευή του διαγράµµατος, θα χρειαστεί να αντικαταστήσουµε στη συνάρτηση της διακύµανσης (2.8) τα άριστα βάρη w µε την πραγµατική τους τιµή (2.16). 0 =$. >$=$. >\Z TU8 W 8V W [H8 &'+Z X8TV W [H8 B\=Z TU8V Z TU8V X8TV 8VT^X [A+Z W W [1=]T W W [$. &'+Z (2.17) Z X8TV W [$B. = Πλέον, γνωρίζοντας και τη διακύµανση ως συνάρτηση των άριστων βαρών, µπορούµε να αποτυπώσουµε σε διάγραµµα τη µορφή του αποτελεσµατικού συνόρου χαρτοφυλακίων µετοχών. ιάγραµµα 2.1 Εξετάζοντας το ιάγραµ µµα 2.1 αρχικά παρατηρούµε τη σχέση αναµενόµενης απόδοσης κινδύνου. Εδώ ο κίνδυνος εκφράζεται µε τη µορφή της τυπικής απόκλισης, η οποία δεν είναι τίποτα άλλο από την τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης 12

17 των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου. Τα αποτελεσµατικά χαρτοφυλάκια, όπως µπορούµε να δούµε, βρίσκονται στο πάνω µέρος της υπερβολής, δηλαδή στο κοµµάτι της κόκκινης διακεκοµµένης γραµµής. Σε αυτή την περιοχή, κάθε χαρτοφυλάκιο έχει την ιδιότητα για κάποια δεδοµένη αναµενόµενη απόδοση (&') να παρέχει την ελάχιστη δυνατή τυπική απόκλιση (0 ) και αντίστροφα. ηλαδή, για κάποια τιµή της τυπικής απόκλισης, να παρέχει τη µέγιστη δυνατή αναµενόµενη απόδοση. Συνεπώς, η περιοχή αυτή είναι το αποτελεσµατικό σύνορο χαρτοφυλακίων µετοχών που αναλύσαµε προηγουµένως. Τα χαρτοφυλάκια του συνόρου έχουν το µεγαλύτερο λόγο µέσης τιµής-τυπικής απόκλισης 3 &' _ 5 µεταξύ όλων των εφικτών χαρτοφυλακίων που `a περιλαµβάνονται πάνω και εντός της συνάρτησης υπερβολής. Αντίθετα, όσον αφορά στα χαρτοφυλάκια που βρίσκονται στο κάτω µέρος της υπερβολής, δηλαδή στην πράσινη γραµµή, παρόλο που για κάποια τιµή της µέσης απόδοσης έχουν τη µικρότερη τυπική απόκλιση, δεν ισχύει το αντίστροφο. ηλαδή, για κάθε επίπεδο τυπικής απόκλισης, θα υπάρχει πάντοτε ένα χαρτοφυλάκιο µε µεγαλύτερη απόδοση, το οποίο θα βρίσκεται στο πάνω µέρος του συνόρου. Συνεπώς, τα χαρτοφυλάκια αυτά δεν είναι δυνατόν να επιλεχθούν από έναν ορθολογικό επενδυτή, καθώς δεν προσφέρουν το βέλτιστο συνδυασµό απόδοσης-κινδύνου. Όσα χαρτοφυλάκια βρίσκονται εντός της υπερβολής, αλλά όχι πάνω της, είναι µεν εφικτά, αλλά δεν είναι αποτελεσµατικά, καθώς για κάθε επίπεδο κινδύνου, θα υπάρχει πάντα ένα χαρτοφυλάκιο µε µεγαλύτερη απόδοση. Επίσης, όσα χαρτοφυλάκια βρίσκονται πάνω από την υπερβολή, δεν είναι εφικτά, διότι η µέση απόδοσή τους είναι µεγαλύτερη από εκείνη που προβλέπεται από το αποτελεσµατικό σύνορο των εφικτών χαρτοφυλακίων. Καταλήγουµε λοιπόν, πως αποτελεσµατικά χαρτοφυλάκια αποτελούν µόνο αυτά που βρίσκονται στο πάνω µέρος της υπερβολής. Ένα πολύ ενδιαφέρον χαρτοφυλάκιο είναι αυτό που βρίσκεται στην κορυφή της υπερβολής, δηλαδή στο σηµείο όπου τέµνεται η περιοχή της κόκκινης διακεκοµµένης γραµµής και αυτή της πράσινης. Η σηµαντική ιδιότητα του συγκεκριµένου χαρτοφυλακίου είναι ότι επιτυγχάνει το ελάχιστο ποσοστό κινδύνου, δηλαδή την ελάχιστη διακύµανση/τυπική απόκλιση. Γι αυτό το λόγο, ονοµάστηκε χαρτοφυλάκιο της ολικής ελάχιστης διακύµανσης (global minimum variance portfolio GMVP). Στο σηµείο που βρίσκεται, ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση: E`a ET =0 E 8VT^X ET b]t c=0 UT8d W W =0 A efg = V U (2.18) Η διακύµανση του εν λόγω χαρτοφυλακίου βρίσκεται αν απλά αντικαταστήσουµε την αναµενόµενη απόδοση στην εξίσωση του αποτελεσµατικού συνόρου. 0 efg = UT 8dT^X W 0 efg = UZh i [ 8VZ h i [^X W = U (2.19) 13

18 Από τη σχέση (2.19) συµπεραίνουµε πως η διακύµανση του χαρτοφυλακίου ολικής ελάχιστης διακύµανσης είναι συνάρτηση της µήτρας διακύµανσης-συνδιακύµανσης των αποδόσεων των µετοχών του χαρτοφυλακίου, καθώς και των µέσων αποδόσεών τους, αν κρίνουµε από τα διανύσµατα Α, Β, C και. Για να προσδιορίσουµε πλήρως το χαρτοφυλάκιο GMVP, θα χρειαστεί να υπολογίσουµε τα άριστα βάρη των µετοχών που το αποτελούν. Για να το κάνουµε αυτό, θα πρέπει να βρούµε τους πολλαπλασιαστές Lagrange που αντιστοιχούν στη συνθήκη ελαχιστοποίησης της διακύµανσης. Έτσι, έχουµε: D,efg = Zh i [U8V =0 και D,efg = X8Zh i [V W W = ] Φτάνοντας στο τελικό βήµα, αρκεί να αντικαταστήσουµε τους πολλαπλασιαστές Lagrange στη συνάρτηση άριστων βαρών. $ efg =D H 8 &'+D H 8 B=,0-H 8 &'+ U H8 B=Z B.k l B [H8 B (2.20) Η τελική µας παρατήρηση είναι ότι τόσο η διακύµανση όσο και τα άριστα βάρη του χαρτοφυλακίου ολικής ελάχιστης διακύµανσης εξαρτώνται µόνο από τις διακυµάνσεις των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου, καθώς όπως έχουµε επισηµάνει προηγουµένως, O P =B.kl B Μοντέλο μέσου-διακύμανσης, προσέγγιση Tobin Χρεόγραφο μηδενικού κινδύνου και εφαπτόμενο χαρτοφυλάκιο Είδαµε νωρίτερα την προσέγγιση του Markowitz στο µοντέλο του µέσουδιακύµανσης ενός χαρτοφυλακίου. Στηριζόµενος σε αυτό, ο Tobin (1958) εισήγαγε την έννοια του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου. Ουσιαστικά πρόκειται για ένα χρεόγραφο, το οποίο δεν περιέχει κίνδυνο και η απόδοσή του είναι σταθερή καθ όλη τη διάρκεια του χρόνου. Ένα παράδειγµα τέτοιου χρεογράφου είναι το έντοκο γραµµάτιο του δηµοσίου, συγκεκριµένης χρονικής διάρκειας, το οποίο δεν αποφέρει κουπόνια, αλλά πληρώνει την απόδοση στη λήξη του. Έτσι, ο Tobin κατασκεύασε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείτο από µετοχές και ένα χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου (risk-free asset). Με αυτή την παρέµβαση του Tobin, δεν αλλάζει κάτι στο σκοπό του επενδυτή, που δεν είναι άλλος από την ελαχιστοποίηση της διακύµανσης και τη µεγιστοποίηση της αναµενόµενης απόδοσης. Πλέον, η απόδοση του χαρτοφυλακίου µετράται ως το άθροισµα της απόδοσης του χρεογράφου µηδενικού 14

19 κινδύνου και του διανύσµατος των αποδόσεων των µετοχών, µε τα ανάλογα βάρη. ηλαδή θα έχουµε: = m + (2.21) Υπολογίζοντας την αναµενόµενη απόδοση και τη διακύµανση του χαρτοφυλακίου, έχουµε: n* += m + n, -= m +$ ),&- (2.22) 12* o +=12Z 0 p + =1 n, -[=$ H$ (2.23) Παρατηρούµε ότι η διακύµανση του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου είναι 0. Αυτό είναι λογικό εξ ορισµού και σηµαίνει πως η διακύµανση θα υπολογιστεί µε τον ίδιο τρόπο που υπολογίστηκε στην προσέγγιση του Markowitz. Άρα, η ελάχιστη διακύµανση θα είναι ίδια. Τα βάρη είναι λογικό να αθροίζουν στη µονάδα, µε τη διαφορά ότι πλέον συνυπολογίζουµε και το βάρος του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου =1 =1 $ B Χρησιµοποιώντας αυτή τη σχέση, έχουµε τη δυνατότητα να εκφράσουµε την απόδοση του χαρτοφυλακίου (2.21) και την αναµενόµενη απόδοσή του (2.22) µε τον εξής τρόπο: =,1 $. B- m +$. & = m +$. *& B m + )* += m +$. *&' B m +=A (2.24) Όπου µ είναι η απαιτούµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. Βλέπουµε πως η αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου ισούται µε το άθροισµα της απόδοσης του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου και των σταθµισµένων µέσων επιπλέον αποδόσεων των µετοχών, δηλαδή των *&' B m +, που ονοµάζονται και υπερβάλλουσες αποδόσεις. Για να λύσουµε το πρόβληµα θα κατασκευάσουµε τη συνάρτηση Lagrange όπως κάναµε και στην περίπτωση της προσέγγισης του Markowitz. Σκοπός µας λοιπόν, είναι να ελαχιστοποιήσουµε τη συνάρτηση της διακύµανσης (2.23):?@ $. H$ υπό τον περιορισµό: m +$. *&' B m +=A Οπότε, η συνάρτηση Lagrange θα έχει την ακόλουθη µορφή: Οι συνθήκες πρώτης τάξης (F.O.C.) είναι: q= 1 2 $. H$+rZA m $. *&' B m +[ α) EF E$ =0 $=DH 1 *&' B m + (2.25) 15

20 β) EF EK =0 A m =$. *&' B m + (2.26) Για να µπορέσουµε να βρούµε τα άριστα βάρη, πρέπει πρώτα να βρούµε τον πολλαπλασιαστή λ, αντικαθιστώντας τη σχέση (2.25) µε το w της σχέσης (2.26): A m = ZDH 1 *&' B m +[. *&' B m + D= T8s t e (2.27) όπου u = *&' B m + H 1 *&' B m + Έτσι, αντικαθιστώντας τη σχέση (2.27) στη σχέση (2.25), έχουµε τα άριστα βάρη του χαρτοφυλακίου: $ = T8s t e H 1 *&' B m + (2.28) Παρατηρούµε πως τα άριστα βάρη του χαρτοφυλακίου µε χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου είναι διαφορετικά από αυτά του χαρτοφυλακίου που δεν περιέχει το συγκεκριµένο χρεόγραφο. Τώρα, είµαστε σε θέση να υπολογίσουµε και το αποτελεσµατικό σύνορο χαρτοφυλακίων που περιέχουν και το χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου εκτός από µετοχές: 0 =$. >$ =Z A m u [*&' B m+. H 1 HZ A m u [H 1 *&' B m +=Z A m u [ u = e *A m+ (2.29) ιάγραµµα

21 Μέσα από το ιάγραµµα 2.2 βλέπουµε πως τα δύο σύνορα που υπολογίσαµε διαφέρουν αρκετά µεταξύ τους. Το σύνορο του χαρτοφυλακίου µε το χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου φαίνεται να είναι προτιµότερο από αυτό του χαρτοφυλακίου που αποτελείται µόνο από µετοχές, διότι για ίδια επίπεδα κινδύνου, το νέο σύνορο µπορεί να επιτύχει µεγαλύτερα επίπεδα απόδοσης. ύο είναι τα σηµεία στα οποία θα πρέπει να στρέψουµε την προσοχή µας. Αφενός έχουµε το σηµείο όπου ο κίνδυνος είναι µηδενικός και η µέση απόδοση είναι ίση µε την απόδοση του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου. Το συγκεκριµένο σηµείο είναι το αποτελεσµατικό χαρτοφυλάκιο µε την ελάχιστη διακύµανση του νέου συνόρου, που αποτελείται από την ευθεία γραµµή του διαγράµµατος. Αφετέρου, έχουµε το σηµείο στο οποίο τέµνονται τα δύο σύνορα. Στο σηµείο αυτό βρίσκεται το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο (tangency portfolio) και παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την εξαγωγή µέτρων αξιολόγησης της αποδοτικότητας των χαρτοφυλακίων. Το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο, από τη στιγµή που βρίσκεται πάνω στο αποτελεσµατικό σύνορο, αποτελείται µόνο από µετοχές, συνεπώς το άριστο βάρος του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου είναι ίσο µε το µηδέν. Θα έχει ενδιαφέρον να εξετάσουµε τα άριστα βάρη και τη διακύµανση του συγκεκριµένου χαρτοφυλακίου. Όπως είπαµε, το βάρος του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου ισούται µε το µηδέν, συνεπώς =0, άρα θα έχουµε: =1 $ v. B $ v. B=1 Αφού το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο βρίσκεται στο αποτελεσµατικό σύνορο του χαρτοφυλακίου µε χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου, τα βάρη του θα δίνονται από τη σχέση (2.25): $ w =DH 1 *&' B m + Αν διαιρέσουµε τη σχέση αυτή µε την προηγούµενη, θα έχουµε: $ w = DH 1 *&' B m + $ v. B = = DH 1 *&' B m + ZDH 1 *&' B m +[. = H 1 *&' B m + B *&' B m +. H 1 B = H 1 *&' B m + &'. H 1 B B H 1 B m 1 R S m H 1 *&'. B. m + Παρατηρούµε ότι κανένα από τα παραπάνω στοιχεία της τελικής µορφής των βαρών του εφαπτόµενου χαρτοφυλακίου δεν είναι άγνωστο. Συνεπώς, δε χρειάζονται παρά µόνο στοιχεία της αγοράς για να προσδιοριστεί. Άρα, είναι πλέον απλό να υπολογίσουµε την αναµενόµενη απόδοση, καθώς και τη διακύµανσή του. A x =$ v. &' = = Q R m R S m 17

22 0 x =$. B v H$ w = = *R S m +,Q 2R m+s m Το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο, όταν η αγορά βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, θα πρέπει να έχει τα χαρακτηριστικά του χαρτοφυλακίου µετοχών της αγοράς. ηλαδή, θα πρέπει να έχει την ίδια αναµενόµενη απόδοση, καθώς και την ίδια διακύµανση. Το χαρτοφυλάκιο της αγοράς αποτελείται από όλες τις µετοχές που βρίσκονται σε καθαρή, µη µηδενική ζήτηση στην αγορά. Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων, οι αποδόσεις του χαρτοφυλακίου της αγοράς προσεγγίζονται ικανοποιητικά από αυτές των δεικτών µετοχών που βρίσκονται στην αγορά και περιλαµβάνουν ένα µεγάλο αριθµό µετοχών αυτής. Η κατάσταση ισορροπίας που αναφέραµε προηγουµένως περιλαµβάνει τις ίδιες συνθήκες µε εκείνες που χαρακτηρίζουν µια αγορά ως αποτελεσµατική. ηλαδή: α) Όλοι οι επενδυτές στην αγορά µετοχών έχουν τις ίδιες προτιµήσεις αποστροφής στον κίνδυνο και επιλέγουν τα χαρτοφυλάκιά τους µεγιστοποιώντας την αναµενόµενη χρησιµότητα του εισοδήµατός τους. Η µεγιστοποίηση της αναµενόµενης χρησιµότητας ισοδυναµεί µε την ελαχιστοποίηση της διακύµανσης, στην περίπτωση που η συνάρτηση χρησιµότητας αποτελεί τετραγωνική συνάρτηση του εισοδήµατος ή οι αποδόσεις των µετοχών είναι κανονικά κατανεµηµένες. β) Υπάρχει ένας αρκετά µεγάλος αριθµός επενδυτών στην αγορά που εγγυάται την ύπαρξη ανταγωνιστικών συνθηκών έτσι ώστε οι τιµές των µετοχών να θεωρούνται ως δεδοµένες για όλους τους επενδυτές. Η υπόθεση αυτή σηµαίνει ότι κανείς από τους επενδυτές στην αγορά δεν έχει τη δύναµη να καθορίσει τις τιµές από µόνος του. γ) Υπάρχει ένα περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο στην αγορά, που έχει βέβαιη απόδοση m, στο οποίο οι επενδυτές µπορούν να δανείσουν ή να δανεισθούν απεριόριστη ποσότητα χρήµατος. δ) Οι προσφερόµενες ποσότητες των µετοχών είναι σταθερές και όλες οι µετοχές συναλλάσσονται σε οργανωµένες αγορές. ε) Η αγορά µετοχών είναι τέλεια και κάθε επενδυτής έχει την ίδια πληροφόρηση για τις τιµές τους ή άλλα στοιχεία τους που αφορούν τους επενδυτές χωρίς κανένα κόστος. Στην αγορά αυτή επίσης δεν υπάρχουν ατέλειες όπως φόροι, ειδικοί κανονισµοί ή περιορισµοί στην ακάλυπτη πώληση. Για την απόδειξη της πρότασης ότι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς θα πρέπει να ταυτίζεται µε το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο, θα στηριχθούµε στο ιάγραµµα 2.3 και θα υποθέσουµε αρχικά ότι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς βρίσκεται σε κάποιο άλλο σηµείο της καµπύλης του αποτελεσµατικού συνόρου (10), έστω το σηµείο y ή το y. Τα δύο αυτά σηµεία βρίσκονται αριστερά και δεξιά του σηµείου Τ, αντίστοιχα. 18

23 Αυτά αντιπροσωπεύουν χαρτοφυλάκια των όποιων οι µέσες επιπλέον αποδόσεις σε σχέση µε το επιτόκιο m ανά µονάδα της τυπικής απόκλισής τους είναι µικρότερες από την κλίση του αποτελεσµατικού συνόρου όταν υπάρχει και περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, που δίνεται ως,t z8s t - `z = u. Εποµένως, σύµφωνα µε τη θεωρία, αυτά δε θα πρέπει να αντιπροσωπεύουν άριστα χαρτοφυλάκια για τους επενδυτές και συνεπώς, δεν είναι λογικό να κρατούνται κάτω από συνθήκες ισορροπίας της αγοράς. Όµως, επειδή το χαρτοφυλάκιο αγοράς θεωρείται πως αποτελεί χαρτοφυλάκιο ισορροπίας (δηλ. έχει µη µηδενική ζήτηση), αναγκαστικά θα πρέπει να ταυτίζεται µε το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο. ιαφορετικά, δε θα αποτελεί επιλογή των επενδυτών και έτσι δε θα θεωρείται χαρτοφυλάκιο σε συνθήκες ισορροπίας. Εφόσον το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο αντιστοιχεί σε αυτό της αγοράς µετοχών, η ευθεία γραµµή m γράφεται ως m y και αναφέρεται ως γραµµή κεφαλαιαγοράς (Capital Market Line - CML). Η ονοµασία αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι ενώνει τις αποδόσεις δύο αγορών, της αγοράς χρήµατος (που έχει απόδοση m ) και εκείνης των µετοχών (που έχει απόδοση µ). ιάγραµµα 2.3 Οι συνθήκες ισορροπίας που αναφέρθηκαν προηγουµένως ότι καθορίζουν µια αποτελεσµατική αγορά αποτελούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να κρατούν οι επενδυτές το χαρτοφυλάκιο της αγοράς σε ισορροπία. Αυτές αποκλείουν περιπτώσεις 19

24 όπου οι επενδυτές κρατούν διαφορετικά χαρτοφυλάκια λόγω διαφορετικών προτιµήσεων. Σε µια τέτοια κατάσταση, τα χαρτοφυλάκια που βρίσκονται στα σηµεία y και y θα έχουν διαφορετικά οφέλη µεταξύ διαφορετικών επενδυτών. Επίσης, οι συνθήκες αυτές αποκλείουν περιπτώσεις όπου οι επενδυτές έχουν διαφορετική πληροφόρηση ή προβλέψεις για τις µελλοντικές αποδόσεις των µετοχών ή, πιθανά, δεν µπορούν να δανειστούν στην αγορά χρήµατος. Στην πράξη, είναι πιθανόν το χαρτοφυλάκιο της αγοράς να διαφέρει από το εφαπτόµενο και να βρίσκεται λόγου χάρη στο σηµείο y. Όµως, κάτω από τις συνθήκες ισορροπίας στην αγορά µετοχών, µια τέτοια κατάσταση θα ήταν µόνο προσωρινή. Αυτή µπορεί να αποδοθεί σε κάποια λάθη εκτίµησης ή πληροφόρησης των επενδυτών, τα οποία θα διορθωθούν στην αγορά, µε συνέπεια οι επενδυτές σε ισορροπία να καταλήγουν πάντα να κρατούν το χαρτοφυλάκιο της αγοράς ως πιο αποτελεσµατικό, καθώς αυτό δίνει υψηλότερες µέσες αποδόσεις στην αγορά ανά µονάδα τυπικής απόκλισης. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τιμολόγηση Μετοχών Εισαγωγή Στο προηγούµενο κεφάλαιο αναλύσαµε τους τρόπους µε τους οποίους θα µπορούσε να επιτευχθεί η άριστη σύνθεση ενός χαρτοφυλακίου µετοχών. Στηριζόµενοι σε αυτές τις θεωρητικές προσεγγίσεις, θα παρουσιάσουµε στο παρόν κεφάλαιο ένα υπόδειγµα µε το οποίο θα επιχειρήσουµε να αποτιµήσουµε την αναµενόµενη απόδοση των µετοχών του χαρτοφυλακίου. Πιο συγκεκριµένα, θα µας επιτρέψει να υπολογίσουµε το ποσοστό κινδύνου που ενσωµατώνεται στην απόδοση µιας µετοχής σε ισορροπία, σε σχέση µε εκείνο του χαρτοφυλακίου αγοράς. Αυτό το υπόδειγµα είναι γνωστό ως µοντέλο αποτίµησης περιουσιακών στοιχείων (capital asset pricing model - CAPM). Στη συνέχεια, µε τη βοήθεια του CAPM, θα προσπαθήσουµε να εκτιµήσουµε έναν συνεπή εκτιµητή για το συντελεστή βήτα και θα αναλύσουµε τη σηµασία του στην αξιολόγηση ενός χαρτοφυλακίου µετοχών. 20

25 3.2 Το υπόδειγμα αποτίμησης περιουσιακών στοιχείων (CAPM) Η βάση για το CAPM προήλθε από τον Markowitz (1959), µέσα από την ανάλυσή του για την αριστοποιητική διαδικασία που θα πρέπει να ακολουθήσει ο επενδυτής ώστε να µεγιστοποιήσει την αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου του, για ένα δεδοµένο επίπεδο κινδύνου, κάτι που είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Επίσης, είδαµε τον τρόπο ελαχιστοποίησης της διακύµανσης για ένα δεδοµένο επίπεδο µέσης απόδοσης. Σε αυτές τις θεωρίες του Markowitz στηρίχθηκαν οι Sharpe και Lintner (1964) για να αναπτύξουν το CAPM στη γενική του µορφή. Θεώρησαν πως αν οι επενδυτές έχουν οµοιογενείς προσδοκίες και διακρατούν αποτελεσµατικά χαρτοφυλάκια µε τον βέλτιστο τρόπο που περιγράφηκε προηγουµένως καθώς και µε την απουσία στρεβλώσεων στην αγορά, τότε το χαρτοφυλάκιο της αγοράς θα είναι από µόνο του αποτελεσµατικό σε όρους µέσου-διακύµανσης. Η µελέτη των Sharpe και Lintner περιέχει περιουσιακό στοιχείο χωρίς κίνδυνο, όπως αυτή του Tobin. Η εξίσωση στην οποία κατέληξαν, είναι η εξής: Όπου } f = X~,s,s - g s,s - n, -= m +} f *), f - m + (3.1) Γνωρίζουµε πως είναι η απόδοση της µετοχής i, f είναι η απόδοση του χαρτοφυλακίου της αγοράς, καθώς και ότι το m είναι η απόδοση του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου. Ο συντελεστής } f ονοµάζεται συντελεστής βήτα (beta) της µετοχής i και θα αναλυθεί στη συνέχεια. Ας σκεφτούµε λίγο τι είπαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Κάθε χαρτοφυλάκιο που βρίσκεται στη γραµµή κεφαλαιαγοράς (CML), θα πρέπει να έχει την ίδια επιπλέον απόδοση ανά µονάδα τυπικής απόκλισης, µε εκείνη του χαρτοφυλακίου αγοράς. ηλαδή θα πρέπει να ισχύει: p 0 = f p 0 f Ονοµάζουµε την παραπάνω σχέση ζ, για λόγους ευκολίας. Το ζ αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως τιµή κινδύνου της αγοράς µετοχών. Όπως έχουµε πει, προσδιορίζεται από τις κατάλληλες συνθήκες ισορροπίας στην αγορά. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να δώσουµε την καθαρά οικονοµική ερµηνεία του ζ. Μπορούµε να το παροµοιάσουµε µε µια επιπλέον αµοιβή που θα πρέπει να καταβληθεί από τον επενδυτή ανά µονάδα τυπικής απόκλισης ώστε να προτιµά το χαρτοφυλάκιο µετοχών από αυτό που περιέχει µόνο το χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου. Αλλιώς ονοµάζεται και ασφάλιστρο κινδύνου και δεν θα πρέπει να συγχέεται µε το ποσοστό κινδύνου, που είναι απλά η επιπλέον µέση απόδοση και ουσιαστικά πρόκειται για τον αριθµητή της σχέσης που ορίζει την τιµή κινδύνου της αγοράς. Αν θεωρήσουµε την τιµή κινδύνου της αγοράς (ζ) ως δεδοµένη και µοναδικά προσδιορισµένη σε συνθήκες ισορροπίας, µπορούµε να καθορίσουµε την αναµενόµενη απόδοση οποιουδήποτε αποτελεσµατικού χαρτοφυλακίου που βρίσκεται πάνω στη γραµµή κεφαλαιαγοράς. Αυτό θα το κάνουµε ελαχιστοποιώντας 21

26 τη συνάρτηση Lagrange µε τον τρόπο που χρησιµοποιήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας. Θα εξετάσουµε την περίπτωση που το χαρτοφυλάκιό µας αποτελείται από 2 µετοχές και ένα χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου. Έτσι, η συνάρτηση είναι η εξής: C = D A p * p + * p + (3.2) Οι περιορισµοί δεν αλλάζουν και έτσι, η δεδοµένη αναµενόµενη απόδοση του χαρτοφυλακίου πρέπει να ισούται µε µ, καθώς και το άθροισµα των βαρών των µετοχών και του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου να είναι µονάδα. ηλαδή, θα έχουµε: =)* += p +), + -= p + + (3.3) Όπου το είναι το βάρος του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου. Τα βάρη των µετοχών και του χρεογράφου πρέπει να αθροίζουν στη µονάδα, συνεπώς: + + =1 =,1 - (3.4) Προχωρώντας όπως στο Κεφάλαιο 2, θα βρούµε αρχικά τα άριστα βάρη µέσω των συνθηκών πρώτης τάξης και από την τελευταία σχέση θα προσδιορίσουµε το άριστο βάρος του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου. Σε περίπτωση που το άριστο βάρος βρεθεί θετικό, καταλαβαίνουµε πως ο επενδυτής είναι δανειστής στην αγορά χρήµατος. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή το άριστο βάρος είναι αρνητικό, ο επενδυτής θεωρείται δανειολήπτης. Αντικαθιστώντας τη σχέση (3.4) στην σχέση (3.3) έχουµε: = p + * p ++ * p +=A Έτσι, φτάνουµε στη συνάρτηση Lagrange που περιγράψαµε στη σχέση (3.2). Οι συνθήκες πρώτης τάξης µας δίνουν τα εξής: α) EF EG = D* p += =D* p + (3.5) β) EF EG = D* p += =D* p + (3.6) Αν πάµε να βρούµε τις συνδιακυµάνσεις της απόδοσης του χαρτοφυλακίου µε τις µετοχές 1 και 2, θα καταλήξουµε στις εξής σχέσεις: 0 =Q * ; +=Q, ; + -= =Q * ; +=Q, ; + -= αφού ως γνωστόν, = +. Σύµφωνα µε τις σχέσεις των συνδιακυµάνσεων, οι σχέσεις (3.5) και (3.6) µπορούν να γραφούν ως εξής: 0 =D* m + και 0 =D* m + 22

27 Στη συνέχεια, αν διαιρέσουµε τις δύο προηγούµενες σχέσεις, θα καταλήξουµε στην παρακάτω εξίσωση, που θα πρέπει να ισχύει µεταξύ των αναµενόµενων αποδόσεων των δύο µετοχών. m 0 = m 0 Αυτή η σχέση ισχύει θα πρέπει να ισχύει σε κατάσταση ισορροπίας στην αγορά, για κάθε µετοχή i του χαρτοφυλακίου της αγοράς, εφόσον και αυτό βρίσκεται στη γραµµή του αποτελεσµατικού συνόρου, δηλαδή: s 8s t ` = s 8s t ` = s 8s t ` (3.7) Ταυτόχρονα, θα πρέπει να ισχύει και για την απόδοση του χαρτοφυλακίου της αγοράς, η οποία συµβολίζεται µε Š. Άρα θα γράφεται ως ακολούθως: m 0 f = Š m 0 Š καθώς 0 Šf =0 Š. Αν λύσουµε ως προς τη µέση απόδοση της µετοχής i, δηλαδή ως προς m, συνεπάγεται η ακόλουθη σχέση: m = ` ` * Š m + = m +} * Š m + (3.8) όπου } = ` και ονοµάζεται συντελεστής βήτα (beta coefficient). Οι δύο µορφές ` της σχέσης (3.8) αποτελούν το υπόδειγµα αποτίµησης περιουσιακών στοιχείων της αγοράς. Όπως µαρτυρούν, το υπόδειγµα αυτό τιµολογεί τη µέση απόδοση µιας µετοχής i του χαρτοφυλακίου της αγοράς,, σε σχέση µε το ποσοστό κινδύνου της αγοράς µετοχών * Š m +. Όπως προαναφέρθηκε, το ποσοστό αυτό προσδιορίζεται µοναδικά σε κατάσταση ισορροπίας της αγοράς µετοχών. Εξετάσαµε την περίπτωση που το χαρτοφυλάκιο του επενδυτή απαρτίζεται από δύο µετοχές και ένα χρεόγραφο µηδενικού κινδύνου. Όµως, θα ήταν πολύ πιο ρεαλιστικό να εξετάσουµε τι θα συµβεί αν το χαρτοφυλάκιο του επενδυτή απαρτίζεται από Ν µετοχές. Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιµοποιήσουµε τη λογική του εφαπτόµενου χαρτοφυλακίου, που είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Τα άριστα βάρη του είναι: $ = 1 R S m H 1 *&'. B. m + Η αναµενόµενη απόδοσή του και η διακύµανσή του είναι: A x =$ v. &' = = Q R m R S m 23

28 0 x =$. B v H$ w = = *R S m +,Q 2R m+s m - Όπως προείπαµε, το CAPM αποτιµά τον κίνδυνο ή την απόδοση ισορροπίας κάθε µετοχής ξεχωριστά σε σχέση µε τον κίνδυνο ή την απόδοση ισορροπίας του χαρτοφυλακίου αγοράς. Εφόσον το χαρτοφυλάκιο έχει πλέον Ν µετοχές, θα κατασκευάσουµε ένα διάνυσµα αναµενόµενων αποδόσεων: Ž &' =.. Œ 6 Αντίστοιχα θα πράξουµε και για τις διακυµάνσεις των αποδόσεων της αγοράς µε το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο: Ž Q, ;A - Ž Q, ;$. v &'- Q, ;A - Q, =. ;$. Ž v &'- = = ŒQ, ;A - ŒQ, ;$. v &'- Œ Ž =9 <. 1 = = 0 6 0*R S m +. *R S m + *&' mb+ 6 Œ *&' m B+=*R S m + (3.9) Από τη διακύµανση του χαρτοφυλακίου έχουµε: 0 x =$. v H$ w =$.. v =$ *&' mb+ v *R S m + = B *R S m + *$ v. &' $. v m B+ R S m = T z8s t `z (3.10) Αν αντικαταστήσουµε τη σχέση (3.10) στην (3.9), θα έχουµε: που ουσιαστικά γράφεται και: *&' m B+= A x m 0 x Ž m m. = 1 Ž 0 0.,A. 0 x m - x. Œ 6 m Œ0 6 24

29 Αν υποθέσουµε ότι εξετάζουµε µια τυχαία µετοχή, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση αυτή ως εξής: m = X~,s ;T - `z,a x m - (3.11) Και από τη στιγµή που το εφαπτόµενο χαρτοφυλάκιο ταυτίζεται µε αυτό της αγοράς, µπορούµε να γράψουµε: όπου X~,s ;s - ` =} Š. m = X~,s ;s - ` * Š m +, =1 (3.12) Με αυτό τον τρόπο καταλήξαµε στη βασική σχέση του CAPM για ένα χαρτοφυλάκιο µε Ν µετοχές. Πλέον µπορούµε να δούµε σε τι ακριβώς µας βοηθάει το CAPM. Το υπόδειγµα αυτό υπολογίζει τη µέση απόδοση µιας µετοχής, η οποία ισούται µε την απόδοση του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου (που αποτελεί τη σίγουρη απόδοση σε περίπτωση που µια χρηµατική µονάδα δεν επενδυθεί στην αγορά), συν το βαθµό κινδύνου της µετοχής αυτής (` Z s 8s t [. ` ` ) πολλαπλασιασµένο µε την τιµή κινδύνου της µετοχής αυτής 3.3 Ο συντελεστής βήτα Ο συντελεστής βήτα (beta coefficient) είναι ένα µέτρο του βαθµού µεταβλητότητας των αποδόσεων µίας επένδυσης σε σχέση µε τις αποδόσεις του χαρτοφυλακίου αγοράς το οποίο προσεγγίζεται µε κάποιο χρηµατιστηριακό δείκτη (π.χ. το γενικό δείκτη τιµών του χρηµατιστηρίου αξιών). Μία µέση επένδυση, εξ ορισµού, θα έχει συντελεστή βήτα ίσο µε ένα, ο οποίος υποδηλώνει ότι αν η αγορά κινηθεί ανοδικά ή καθοδικά κατά ένα ποσοστό, η επένδυση επίσης θα τείνει να κινηθεί ανοδικά ή καθοδικά αντίστοιχα κατά το ίδιο ποσοστό. Ένα χαρτοφυλάκιο µε επενδύσεις που έχουν β=1 θα κινηθεί ανοδικά ή καθοδικά σε συγχρονισµό µε το µέσο όρο της αγοράς και αυτό το χαρτοφυλάκιο θα είναι εξίσου επικίνδυνο µε το µέσο όρο της αγοράς. Αν β<1, η επένδυση έχει την αντίστοιχη ποσοστιαία µεταβλητότητα σε σχέση µε τη µεταβλητότητα της αγοράς, και ένα χαρτοφυλάκιο τέτοιων επενδύσεων έχει τον αντίστοιχο κίνδυνο σε σχέση µε τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου µε µετοχές που έχουν β=1. Αν β>1, η επένδυση έχει την αντίστοιχη ποσοστιαία µεταβλητότητα σε σχέση µε τη µεταβλητότητα της αγοράς, και ένα χαρτοφυλάκιο τέτοιων επενδύσεων έχει τον αντίστοιχο κίνδυνο σε σχέση µε τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου µε µετοχές που έχουν β=1. 25

30 Πως υπολογίζουµε όµως το συντελεστή βήτα; Στηριζόµενοι στο µοντέλο CAPM, θα εκτιµήσουµε το συντελεστή βήτα µιας µετοχής ή ενός χαρτοφυλακίου. Η εκτίµηση αυτή αποτελεί σηµαντικό µέρος της εργασίας που απαιτείται για τη διαχείριση ένος χαρτοφυλακίου, καθώς και µε την αξιολόγηση της αποδοτικότητάς του. Η συγκεκριµένη µέθοδος είναι σηµαντική για πολλές εφαρµογές, όπως η εκτίµηση του κόστους κεφαλαίου, ο προσδιορισµός της δίκαιης τιµής της µετοχής, κλπ. Χρησιµοποιώντας τη βασική σχέση του CAPM µαζί µε ιστορικά στοιχεία για το ρυθµό απόδοσης της µετοχής i που έχουµε συµβολίσει µε, καθώς και για την απόδοση του χαρτοφυλακίου της αγοράς για κάποιο δείγµα χρονολογικών παρατηρήσεων =1,2,,, εκτιµούµε την παρακάτω παλινδρόµηση: m =2 +} * f m ++š (3.13) όπου ο όρος š αποτελεί το σφάλµα (διαταρακτικό όρο) της παλινδρόµησης και ο συντελεστής 2 αποτελεί τη σταθερά της. Στην παλινδρόµηση αυτή, η απόδοση του χρεογράφου µηδενικού κινδύνου m θεωρείται ως µια σταθερά. Για να την προσδιορίσουµε, χρησιµοποιούµε συνήθως το µέσο επιτόκιο της αγοράς για την περίοδο των παρατηρήσεων του δείγµατος. Εφόσον στηριζόµαστε στις προβλέψεις του CAPM, ο διαταρακτικός όρος θα πρέπει να αποτελεί µια ανεξάρτητη µη συστηµατική πηγή των µεταβολών της απόδοσης της µετοχής i, σε σχέση µε εκείνες του χαρτοφυλακίου της αγοράς. Συνεπώς, για να έχουµε αµερόληπτο και συνεπή εκτιµητή, θα θεωρήσουµε ότι η µέση απόδοση του διαταρακτικού όρου, όπως και η συνδιακύµανσή του µε την απόδοση της αγοράς, θα είναι ίση µε το µηδέν. ηλαδή, n,š - =0 και Q,š ; f -=0. Η οικονοµική ερµηνεία της µηδενικής συνδιακύµανσης είναι ότι η µεταβλητότητα της απόδοσης της µετοχής i, δε συνδέεται µε τη µεταβλητότητα της απόδοσης του χαρτοφυλακίου της αγοράς. Αντίθετα, η µεταβλητότητα της απόδοσης του χαρτοφυλακίου της αγοράς είναι µόνο συστηµατική και αποτιµάται µε βάση το CAPM. Ο κίνδυνος της µετοχής i, που δεν είναι άλλος από τη µεταβλητότητα της απόδοσής της που προέρχεται από το διαταρακτικό όρο, δεν αποτιµάται από το CAPM. Αυτός είναι ο λόγος που ο κίνδυνος αυτός ονοµάζεται µη συστηµατικός. Η εξάλειψη του κινδύνου αυτού µπορεί να γίνει µε τη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου. Για να µπορέσουµε να καταλήξουµε σε συνεπή αποτελέσµατα στην παλινδρόµησή µας, δεν αρκεί απλά να επιβάλλουµε κάποιες υποθέσεις στο διαταρακτικό όρο. Αν δούµε το βασικό µας µοντέλο και το συγκρίνουµε µε την παλινδρόµηση, θα δούµε ότι σε αυτό δεν υπάρχει σταθερά. Εποµένως, πρέπει ο όρος 2 να ισούται µε το µηδέν. Αυτό µπορεί να διαπιστωθεί αν πάρουµε τις αναµενόµενες τιµές στην παλινδρόµησή µας: n* p +=n*2 +} *? p ++š + n, - p =2 +} n*? p ++n,š - 26