ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ

Transcript

1 ΚΕΦΛΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙ 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΣ ω ΜΕ o ω 18 o 1. Πώς οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί μίας οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο; ΠΝΤΗΣΗ Γ β α γ Το ημίτονο της οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο οίζεται ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευάς, πος την υποτείνουσα, δηλαδή: ημ = β α απεναντι καθετη υποτεινουσα Το συνημίτονο της οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο οίζεται ως το πηλίκο της ποσκείμενης κάθετης πλευάς, πος την υποτείνουσα, δηλαδή: συν = γ α ποσκειμενη καθετη υποτεινουσα Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο οίζεται ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευάς πος την ποσκείμενη δηλαδή: 88

2 εφ = β απεναντι καθετη α ποσκειμενη καθετη Ομοίως οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί της γωνίας Γ. ημγ = γ α συνγ = β α εφγ= γ β. Σε οθογώνιο σύστημα αξόνων O θεωούμε ένα σημείο Μ(,). Πώς οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί της γωνίας που σχηματίζεται από τις ημιευθείες Ο και ΟΜ; ΠΝΤΗΣΗ Μ(,) Μ(,) O ω O ω Έστω ένα οθογώνιο σύστημα αξόνων O, ένα σημείο Μ(, ) και ω η γωνία που σχηματίζεται από την ημιευθεία O, όταν αυτή πεισταφεί γύω από το Ο αντίθετα με τους δείκτες του ολογιού ή όπως λέμε κατά τη θετική φοά, μέχι να συμπέσει με την ημιυθεία ΟΜ. Η γωνία ω παίνει τιμές από ο έως 18 ο. Έστω ότι ΟΜ =. Τότε οι τιγωνομετικοί αιθμοί της γωνίας ω οίζονται ως εξής: 89

3 ημω = συνω = εφω = τεταγμενη του Μ ΟΜ τετμημενη του Μ ΟΜ τεταγμενη του Μ τετμημενη του Μ (όταν ω 9 ο ). Τι τιμές μποεί να πάει το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω; ΠΝΤΗΣΗ -1 ημω 1-1 συνω 1 3. πό τι εξατάται το πόσημο των τιγωνομετικών αιθμών μιας γωνίας ω = Χ Ο Μ; ΠΝΤΗΣΗ Το πόσημο των τιγωνομετικών αιθμών ημω, συνω και εφω εξατάται από το τετατημόιο στο οποίο βίσκεται το σημείο Μ. Συνοπτικά το πόσημο των τιγωνομετικών αιθμών φαίνεται στον παακάτω πίνακα: Τετατημόιο Τιγ. ιθ. 1 ο ο ημ + + συν + εφ + 9

4 4. Ποιοι είναι οι τιγωνομετικοί αιθμοί βασικών γωνιων; Γωνια 3 συν ημ εφ Δεν 1 3 οίζεται ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βείτε τους τιγωνομετικούς αιθμούς των οξειών γωνιών των παακάτω τιγώνων Γ α) Γ β) 4 cm 5 cm 1 cm. Να υπολογίσετε τα, σε κάθε πείπτωση: α) β) Z cm 5 cm 6 3 Γ Δ Ε 3. Σε ένα σύστημα οθογωνίων αξόνων O να φέετε την ημιευθεία Ο, ώστε Ο A = 1 o. Να υπολογίσετε τους τιγωνομετικούς αιθμούς της γωνίας αυτής. 91

5 4. Να υπολογίσετε τις πααστάσεις: α) συν ο ημ9 ο συν18 ο ημ18 ο β) (συν18 ο 1) (ημ18 ο 1) γ) (1 + ημ9 ο ) (1 + συν ο ) 5. Να υπολογίσετε τις πααστάσεις α) (συν9 ο + συν18 ο ) 15 β) (ημ ο ημ9 ο ) 15 γ) (ημ ο + ημ9 ο + ημ18 ο ) Να βείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή των πααστάσεων: α) = ημ + 5 β) = 3συν γ) Γ = 3ημ + συν δ) Δ = 4συν 3ημ 9

6 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΠΡΠΛΗΡΩΜΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 1. Ποιες γωνίες ονομάζονται πααπληωματικές; ΠΝΤΗΣΗ Πααπληωματικές ονομάζονται οι γωνίες που έχουν άθοισμα 18 ο. Η μία ονομάζεται και πααπληωματική της άλλης. Η πααπληωματικής της γωνίας ω είναι η (18 ο ω).. Τι ισχύει για τους τιγωνομετικούς αιθμούς των πααπληωματικών γωνιών; ΠΝΤΗΣΗ Για δύο πααπληωματικές γωνίες έστω ω και 18 ο ω ισχύουν: M (-,) M(,) 18 ο -ω - ω ημ(18 ο ω) = ημω συν(18 ο ω) = συνω εφ(18 ο ω) = εφω Οι πααπάνω ισότητες μας βοηθούν να υπολογίζουμε με τη χήση των πινάκων τους τιγωνομετικούς αιθμούς αμβλείας γωνίας. Π.χ. ημ1 ο = ημ(18 ο 6 ο ) = ημ6 ο = 3 93

7 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε τις ισότητες: α) ημ15 ο = ημ3 ο β) συν145 ο = - συν35 ο γ) εφ16 ο = -εφ ο. Με βάση τους τύπους των τιγωνομετικών αιθμών πααπληωματικών γωνιών να υπολογίσετε τα: α) ημ1 ο β) συν1 ο γ) εφ1 ο δ) ημ135 ο ε) συν135 ο στ)εφ135 ο ζ) ημ15 ο η) συν15 ο θ) εφ15 ο 3. ν 18 ο και ημ = να υπολογίσετε το. 4. ν 18 ο και συν -1 = να υπολογίσετε το. 5. ν 18 ο και εφ = -1 να υπολογίσετε το. 6. ν 18 ο και ημ = 3 να υπολογίσετε το. 94

8 .3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΡΙΘΜΩΝ ΜΙΣ ΓΩΝΙΣ 1. Ποιες σχέσεις μεταξύ των τιγωνομετικών αιθμών μιας γωνίας γνωίζετε; ΠΝΤΗΣΗ Οι σχέσεις μεταξύ των τιγωνομετικών αιθμών μιας γωνίας είναι: α) εφω = ημω συνω, συνω, δηλ. ω 9ο και 7 ο πόδειξη M(,) Ο ω Για τη γωνία ΟM = ω έχουμε ημω = και συνω =. Επομένως ημω συνω = = = = εφω 95

9 β) ημ ω + συν ω =1 πόδειξη M(,) Ο ω ν εφαμόσουμε το πυθαγόειο θεώημα στο τίγωνο ΟΜ, έχουμε Ο + Μ = ΟΜ + = + = (διαιούμε με ) + = 1 (συνω) + (ημω) = 1 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι: α) ημ : εφ = συν β) εφ 1 ημ = συν. Να αποδείξετε ότι: ημ συν 1 α) + = συν ημ ημ συν 4 4 ημ συν β) = ημ συν ημ + συν 96

10 3. Να αποδείξετε ότι: α) ημ 15 ο + συν 55 ο = 1 β) ημ 33 ο + συν 147 ο = 1 4. Να απλοποιήσετε τις πααστάσεις: α) = (ημ + συν) συν εφ ημ εφ β) = συν 5. ν 9 ο ω 18 ο και ημω = 5, να υπολογίσετε τους άλλους 13 τιγωνομετικούς αιθμούς της γωνίας ω. 6. ν 9 ο ω 18 ο και συνω = τιγωνομετικούς αιθμούς της γωνίας ω. να υπολογίσετε τους άλλους 7. ν 9 ο ω 18 ο και εφω = - να υπολογίσετε τους άλλους τιγωνομετικούς αιθμούς της γωνίας ω. 97

11 .4 ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ- ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ A. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το νόμο των ημιτόνων. ΠΝΤΗΣΗ Σε κάθε τίγωνο, οι πλευές του είναι ανάλογες με τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. Δηλαδή: α β γ = = ημ ημ ημγ πόδειξη Γ β α Δ γ Στο τίγωνο ΔΓ είναι ημ = ΓΔ Γ Στο τίγωνο ΔΓ είναι ημ = ΓΔ Γ ή ΓΔ = Γ ημ (1) ή ΓΔ = Γ ημ () πό τις (1) και () έχουμε Γ ημ = Γ ημ, οπότε Γ = Γ ημ ημ Η ισότητα Γ ημ = Γ ημ γάφεται α ημ = β ημ ή ακόμα Ομοίως αποδεικνύεται ότι ισχύει β ημ = γ ημγ α ημ = β ημ 98

12 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις πλευές του παακάτω τιγώνου: 8 ο 65 ο cm Γ. Να υπολογίσετε τις πλευές σε ένα τίγωνο Γ όταν = 6 ο, = 4 ο και α=1 cm. 3. Σε ένα τίγωνο Γ δίνεται ότι = 8 ο, γ = 8 cm και α = 14 cm. Να βείτε α) τις γωνίες Γ και β) την πλευά β. 4. Σε ένα τίγωνο Γ δίνεται ότι Γ = 1 ο, β = 16 cm και γ = 1 cm. Να βείτε: α) τις γωνίες και β) την πλευά α. 99

13 B. ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το νόμο των συνημιτόνων ΠΝΤΗΣΗ Σε κάθε τίγωνο Γ ισχύουν οι παακάτω ισότητες: α = β + γ βγσυν β = α + γ αγσυν γ = α + β αβσυνγ πόδειξη Γ β α Δ γ Για να υπολογίσουμε την πλευά α στο τίγωνο, φένουμε το ύψος ΓΔ, οπότε στο οθογώνιο τίγωνο ΓΔ έχουμε α = ΓΔ + Δ (1). λλά ΓΔ = βημ (από το οθογώνιο τίγωνο ΓΔ) και Δ = γ Δ = γ βσυν (αφού από το οθογώνιο τίγωνο ΓΔ έχουμε Δ = βσυν) οπότε η (1) γάφεται: α = β ημ + (γ βσυν) = β ημ + γ βγσυν + β συν = = β (ημ + συν ) + γ βγσυν Επομένως α = β + γ βγσυν 1

14 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στα παακάτω τίγωνα να υπολογίσετε σε κάθε πείπτωση την πλευά α. α) β) Γ Γ 4 cm α α 6 ο 8 cm 1 ο 6 cm 5 cm. Σε ένα τίγωνο Γ είναι = 45 ο, β = 1 cm και γ = 15 cm. Να υπολογίσετε την πλευά α. 3. Σε ένα τίγωνο Γ είναι α = 4 cm, β = 5 cm και γ = 6 cm. Να υπολογίσετε τις γωνίες του. 4. Ένα τίγωνο Γ έχει πείμετο π = 4 cm, α = 8 cm και β = 6 cm. Να υπολογίσετε: α) τις γωνίες του β) το εμβαδό του 11