Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση κάθε έκφραση που συνδυάζει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

Transcript

1 1 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ 1 ο λγεβικές Πστάσεις Τι ονομάζετι λγεβική πάστση; Ονομάζετι λγεβική πάστση κάθε έκφση που συνδυάζει πάξεις μετξύ ιθμών κι μετβλητών.. Τι ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεβικής πάστσης; Ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεβικής πάστσης ο ιθμός που θ ποκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετβλητές της με ιθμούς κι εκτελέσουμε τις πάξεις. 3. Πότε μι λγεβική πάστση ονομάζετι κέι; Μι λγεβική πάστση ονομάζετι κέι, ότν μετξύ των μετβλητών της σημειώνοντι μόνο οι πάξεις της πόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι οι εκθέτες των μετβλητών της είνι φυσικοί ιθμοί. 4. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι πι τ μέη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγεβική πάστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πάξη του πολλπλσισμού μετξύ ιθμού κι μις ή πεισσοτέων μετβλητών. Σε έν μονώνυμο ο ιθμητικός πάγοντς που γάφετι πώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετβλητών ονομάζετι κύιο μέος του μονωνύμου. 5. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι; Ονομάζοντι όμοι δύο ή πεισσότε μονώνυμ που έχουν το ίδιο κύιο μέος. 6. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι ίσ κι ποι ντίθετ; Ονομάζοντι ίσ δύο μονώνυμ που έχουν τον ίδιο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. Ονομάζοντι ντίθετ δύο μονώνυμ που έχουν ντίθετο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. 7. Τι ονομάζετι βθμός μονωνύμου ως πος μί μετβλητή του; Ονομάζετι βθμός μονωνύμου ως πος μί μετβλητή του ο εκθέτης της μετβλητής υτής. 8. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό μονώνυμο κι ποιος ο βθμός τους; Ονομάζουμε στθεό μονωνύμο κάθε ιθμό κι μηδενικό μονώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει βθμό ενώ όλ τ άλλ στθεά μονώνυμ είνι μηδενικού βθμού. 9. Πως οίζετι το άθοισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθοισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθοισμ των συντελεστών τους. 10. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όων η πόσθεση ομοίων μονωνύμων.

2 11. Πως οίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι κύιο μέος γινόμενο όλων των μετβλητών τους με εκθέτη κάθε μετβλητής το άθοισμ των εκθετών της Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθοισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. 13. Τι ονομάζετι βθμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετβλητή του; Ονομάζετι βθμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετβλητή του ο μεγλύτεος πό τους βθμούς των όων του ως πος την μετβλητή υτή. 14. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό πολυώνυμο κι ποιος ο βθμός τους; Ονομάζουμε στθεό πολυώνυμο κάθε ιθμό κι μηδενικό πολυώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει βθμό ενώ όλ τ άλλ στθεά πολυώνυμ είνι μηδενικού βθμού Πως πολλπλσιάζουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο ; β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ; ι ν πολλπλσιάσουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όο του πολυωνύμου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων. β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε κάθε όο του ενός πολυωνύμου με κάθε όο του άλλου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων. 16. Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που πειέχει μετβλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετβλητών υτών. 17. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +β) + β + β ii. ( β) β + β iii. ( + β) β + 3β + β 3 iv. ( β) β + 3β β 3 v. ( β)( + β) β πόδειξη i. ( + β ) ( + β ) ( + β ) + β + β + β + β + β ii. ( β ) ( β )( β ) β β + β β + β

3 iii. ( + β ) 3 ( + β ) ( + β ) ( + β + β )( + β ) 3 + β + β + β + β + β β + 3β + β 3 3 iv. ( β ) 3 ( β ) ( β ) ( β + β )( β ) 3 β + β β + β β β + 3β β 3 v. ( β )( + β ) β + β β Τι ονομάζετι πγοντοποίηση; Ονομάζετι πγοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότε μις λγεβικής πάστσης η διδικσί μεττοπής της πάστσης σε γινόμενο. 19. Ποιες είνι οι χκτηιστικές πειπτώσεις πγοντοποίησης; κοινός πάγοντς Ότν όλοι οι όοι μις πάστσης έχουν κοινό πάγοντ, τότε η πάστση μεττέπετι σε γινόμενο πγόντων σύμφων επιμειστική ιδιότητ. ομδοποίηση Ότν όλοι οι όοι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό πάγοντ, τους χωίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε: με την β + γ δ ( β + γ δ) β + γ δβ δγ ( β + γ) δ( β + γ) ( β + γ )( δ ) Κάθε ομάδ που δημιουγούμε ν έχει κοινό πάγοντ, Οι πστάσεις που μένουν μετά την εξγωγή του κοινού πάγοντ ν είνι ίδιες διφοά τετγώνων β ( β )( + β) Η μέθοδος υτή πγοντοποίησης στηίζετι στην τυτότητ β ( + β), στηνοποί ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε μι διφοά δύο τελείων τετγώνων σε γινόμενο. άθοισμ ή διφοά κύβων Η πγοντοποίηση του θοίσμτος ή της διφοάς δύο κύβων βσίζετι στις δύο γνωστές μς τυτότητες: ( β)( + β + β ) 3 β 3 3 β 3 ( β)( + β + β ) ( + β)( β + β ) 3 + β β 3 ( + β)( β + β ) Σε κάθε μι πό τις οποίες ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε τη διφοά ή το άθοισμ δύο κύβων σε γινόμενο.

4 νάπτυγμ τετγώνου 4 ν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει ή μποεί ν πάει τη μοφή: τότε θ γίνει ντίστοιχ + β + β ή β + β, + β + β ( + β) β + β ( β) ( + β ) ή ( β ), που είνι γινόμεν πγόντων φού : ( + β ) ( + β)( + β) κι ( β ) ( β)( β) Πγοντοποιήσει τιωνύμου της μοφής + ( + β) +β ν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει τη μοφή + ( + β) + β έχουμε: + ( + β) +β + + β + β Ομδοποίηση + ( + β) +β ( + )( + β) ( + ) + β( + ) Κοινός πάγοντς ( + )( + β) Πότε μι λγεβική πάστση ονομάζετι ητή; Μι λγεβική πάστση ονομάζετι ητή ότν είνι κλάσμ με όους πολυώνυμ. 1. Πότε μι λγεβική πάστση οίζετι; Μι λγεβική πάστση οίζετι γι όλες τις τιμές των μετβλητών που πειέχει εκτός π υτές που μηδενίζουν τον πνομστή φού όπως γνωίζουμε δεν οίζετι κλάσμ με πονομστή μηδέν.. Πότε μι ητή λγεβική πάστση μποεί ν πλοποιηθεί; Όπως μι ιθμητική πάστση, έτσι κι μι ητή πάστση, μποεί ν πλοποιηθεί, ν ο ιθμητής κι ο πονομστής της είνι γινόμεν κι έχουν κοινό πάγοντ Πως κάνουμε πάξεις με ητές λγεβικές πστάσεις; ι ν κάνουμε πάξεις με ητές λγεβικές πστάσεις κολουθούμε τους κνόνες που ισχύουν γι τις πάξεις των κλσμάτων. ηλδή: β + γ β + γ β κι β γ β - γ β β + γ δ δ + βγ βδ κι β γ δ δ - βγ βδ βδ0

5 β γ δ γ β δ κι β : γ δ β δ γ δ β γ βγδ0 5 β γ δ β : γ δ β δ γ δ β γ βγδ0 ΚΦΛΙΟ ο ξισώσεις νισώσεις.. 4. Τι ονομάζετι εξίσωση ου βθμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση δευτέου βθμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μοφής + β + γ 0 με, β, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0. Οι ιθμοί κι β ονομάζοντι συντελεστές του δευτεοβθμίου κι πωτοβθμίου όου ντίστοιχ κι ο ιθμός γ στθεός όος. πίλυση μις εξίσωσης δευτέου βθμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί βίσκουμε τις τιμές του που την επληθεύουν. 5. Πότε μί εξίσωση δευτέου βθμού:. έχει δύο άνισες ίζες; β. έχει μι διπλή ίζ ; γ. δεν έχει ίζες; Η εξίσωση χ + βχ + γ 0 με, β, γ πγμτικούς ιθμούς, 0 κι δικίνουσ β 4γ:. έχει δύο ίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο β±, ότν 0 β. έχει δύο ίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο β, ότν 0 γ. δεν έχει ίζες, ότν 0 6. Πως πγοντοποιείτι το τιώνυμο + β + γ ότν η εξίσωση + β + γ 0 με 0 έχει λύσεις τις 1, ;

6 ν 1, είνι λύσεις της εξίσωσης + β + γ 0 με 0 το τιώνυμο + β + γ πγοντοποιείτι σύμφων με τον τύπο: + β + γ ( 1 )( ) Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε οίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που πειέχει άγνωστο στον πνομστή. ι ν οίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πέπει οι πνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοοι του μηδενός. ΚΦΛΙΟ 3 ο Συστήμτ μμικών ξισώσεων Τι ονομάζετι;. μμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι ; β. Λύση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι ; γ. πίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι ;. Ονομάζετι γμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους έν σύστημ της μοφής, + γ με έν τουλάχιστον πό τ, β,, β 0. + β γ β. Ονομάζετι λύση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι κάθε ζεύγος ( 0, 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. γ. Ονομάζετι επίλυση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι η διδικσί που κολουθούμε γι ν βούμε κάθε ζεύγος ( 0, 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. 9. Πως γίνετι η γφική επίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι κι πότε υτό έχει μί λύση, είνι δύντο, είνι όιστο; ι τη γφική επίλυση ενός γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους κι σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημ ξόνων τις ευθείες που πιστάνουν τις εξισώσεις του συστήμτος κι: ν τέμνοντι το σύστημ έχει μί λύση τις συντετγμένες του κοινού τους σημείου. ν είνι πάλληλες δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημ δεν έχει λύση κι λέμε ότι είνι δύντο. ν συμπίπτουν (τυτίζοντι) έχουν όλ τ σημεί τους κοινά κι επομένως το σύστημ έχει άπειες λύσεις κι λέμε ότι είνι όιστο.

7 ΚΦΛΙΟ 4 ο Συντήσεις Τι γνωίζετι γι την συνάτηση με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης με 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πβολή. Η πβολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης με 0 έχει κουφήτο σημείο Ο(0, 0) κι βίσκετι πό τον άξον κι πάνω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του ισχύει 0. Η συνάτηση με 0 πίνει ελάχιστη τιμή 0, ότν 0, ι ντίθετες τιμές του ντιστοιχεί η ίδι τιμή του, που σημίνει ότι η πβολή με 0 έχει άξον συμμετίςτον άξον. Ότν η τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πβολή «κλείνει». 31. Τι γνωίζετι γι την συνάτηση με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης με 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πβολή. Η πβολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης με 0 έχει κουφήτο σημείο Ο(0, 0) κι βίσκετι πό τον άξον κι κάτω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του ισχύει 0. Η συνάτηση με 0 πίνει μέγιστη τιμή 0, ότν 0, ι ντίθετες τιμές του ντιστοιχεί η ίδι τιμή του, που σημίνει ότι η πβολή με 0 έχει άξον συμμετίς τον άξον. Ότν η πόλυτη τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πβολή «κλείνει» Ποι συνάτηση ονομάζετι τετγωνική; ίνι κάθε συνάτηση της μοφής ψχ +βχ+γ 33. Τι γνωίζετι γι τη συνάτησης ψχ +βχ+γ ; Η γφική πάστση της συνάτησης γ + β + γ με 0 είνι πβολή με: Κουφή το σημείο Κ( β, 4 ) όπου β 4γ Άξον συμμετίς την κτκόυφη ευθεί που διέχετι πό την κουφή Κ κι έχει εξίσωση β

8 ν 0, η συνάτηση + β + γ πίνει ελάχιστη τιμή 4 ότν β 8 ν 0, η συνάτηση + β + γ πίνει μέγιστη τιμή 4 ότν β ΚΦΛΙΟ 1 ο εωμετί Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά σημεί τ οποί συνδέοντι με ευθύγμμ τμήμτ. γ β Τ κύι στοιχεί ενός τιγώνου είνι, οι πλευές του κι οι γωνίες του Πλευές του τιγώνου ονομάζοντι τ ευθύγμμ τμήμτ που συνδέουν τις κουφές του. ωνίες του τιγώνου ονομάζοντι οι γωνίες που οίζοντι πό τις πλευές του. 35. Ποι είνι τ είδη των τιγώνων ως πος τις πλευές, κι ως πος τις γωνίες τους; Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις πλευές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευές του είνι ίσες, ισόπλευο, ν κι οι τεις πλευές του είνι ίσες. Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις γωνίες του λέγετι: σκληνό ισοσκελές ισόπλευο οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, οθογώνιο, ν μί γωνί του είνι οθή, μβλυγώνιο, ν μί γωνί του είνι μβλεί. Ισογώνιο ν όλες οι γωνίες του είνι ίσες 36. Τι ονομάζετι διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, τιγώνου. ιάμεσος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει μι κουφή του με το μέσο της πένντι πλευάς.κάθε τίγωνο έχει τεις διάμεσους που συμβολίζοντι μ, μ β, μ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. ιχοτόμος μις γωνίς ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει την κουφή της γωνίς με την πένντι πλευά κι διχοτομεί τη γωνί υτή. Κάθε τίγωνο έχει τεις διχοτόμους που συμβολίζοντι δ, δ β, δ γ ντίστοιχ κι διέχοντι πό το ίδιο σημείο. >90 μβλυγώνιο οξυγώνιο ισογώνιο μ β μ δ δβ Κ Μ Ο οθογώνιο μγ δ γ

9 Ύψος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που φένουμε πό μι κουφή του κάθετο πος την ευθεί της πένντι πλευάς. Κάθε τίγωνο έχει τί ύψη που συμβολίζοντι υ, υ β, υ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. υ υ β Η υ γ Πότε δύο τίγων λέγοντι ίσ ; ύο τίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις ομόλογες πλευές τους ( πλευές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες μί πος μί. Έτσι ν τ τίγων κι είνι ίσ τότε: Ομόλογες πλευές ωνίες 38. Πότε δύο τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς τιγώνων) Κιτήιο (Π. Π. Π.) ύο τίγων είνι ίσ, ότν οι τεις πλευές του ενός είνι ίσες με τις τεις πλευές του άλλου μί πος μί. Τ τίγων κι έχουν: οπότε είνι Κιτήιο ( Π.. Π. ) ύο τίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευές κι η πειεχόμενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες με τις δύο πλευές κι την πειεχόμενη σ υτές γωνί του άλλου ντίστοιχ. Τ τίγων κι έχουν: οπότε είνι Κιτήιο (Π...) ύο τίγων είνι ίσ, ότν η μί πλευά κι οι ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες με την μί πλευά κι τις ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ.

10 Τ τίγων κι έχουν: οπότε είνι Πότε δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς οθογωνίων τιγώνων ) ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευές του ενός είνι ίσες με τις δύο κάθετες πλευές του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί κάθετη πλευά του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μι κάθετη πλευά του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η ποσκείμενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με τη μί κάθετη πλευά κι την ποσκείμενη της οξεί γωνί του άλλου. 1 Τ τίγων κι έχουν: o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την μί κάθετη πλευά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: o 90 οπότε είν ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του άλλου.

11 Τ τίγων κι έχουν: 11 o 90 οπότε είνι 40. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ; Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκ του. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τ άκ ενός ευθυγάμμου τμήμτος είνι σημείο της μεσοκθέτου του ευθυγάμμου τμήμτος. 41. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της διχοτόμου μις γωνίς; Κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευές της γωνίς. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τις πλευές μις γωνίς είνι σημείο της διχοτόμου της. 4. Ν ποδείξετε ότι ν πό το μέσο μις πλευάς ενός τιγώνου φέουμε πάλληλη πος μί άλλη πλευά του, υτή διέχετι κι πό το μέσο της τίτης πλευάς. πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το σημείο Μ μέσο της πλευάς του. πό το Μ φέουμε πάλληλη πος την που τέμνει την στο σημείο Ν. Θ δείξουμε ότι Ν Ν. πό το σημείο φένουμε μι βοηθητική ευθεί ε //. Οι πάλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι οίζουν ίσ τμήμτ στην, ά θ οίζουν ίσ τμήμτ πομένως Ν Ν. κι στην. ε B M N Τι ονομάζετι λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων κι με τι ισούτι; Λόγος ενός ευθύγμμου τμήμτος πος το ευθύγμμο τμήμ, που συμβολίζετι, ονομάζετι ο ιθμός λ γι τον οποίο ισχύει λ. Ο λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων ισούτι με το λόγο των μηκών τους εφόσον έχουν μετηθεί με την ίδι μονάδ μέτησης. 44. Πότε τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ β, δ; Τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ β κι δ ότν ισχύει β γ δ Η ισότητ β γ δ ονομάζετι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ, β, γ, δ. Τ ευθύγμμ τμήμτ, δ ονομάζοντι άκοι όοι, ενώ τ ευθύγμμ τμήμτ β, γ ονομάζοντι μέσοι όοι της νλογίς.

12 45. Ποιες είνι οι σημντικότεες ιδιότητες των νλογιών ; Σε μι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ, β, γ, δ εφμόζουμε τις ιδιότητες των νλογιών που ισχύουν κι στους ιθμούς χησιμοποιώντς τ μήκη των ευθυγάμμων τμημάτων. Οι σημντικότεες πό τις ιδιότητες υτές είνι: Σε κάθε νλογί το γινόμενο των άκων όων είνι ίσο με το γινόμενο των μέσων όων. Σε κάθε νλογί μποούμε ν ενλλάξουμε τους μέσους ή τους άκους όους κι ν ποκύψει πάλι νλογί. Λόγοι ίσοι μετξύ τους είνι κι ίσοι με το λόγο που έχει ιθμητή το άθοισμ πονομστή το άθοισμ των πονομστών. των ιθμητών κι ν ν ν β γ δ τότε δ βγ β γ δ τότε γ β δ β γ δ ή δ β γ τότε β γ δ + γ β + δ Ν διτυπώσετε το θεώημ του Θλή κι τις πότση που ποκύπτουν πό υτό γι έν τίγωνο. δ ζ Ότν πάλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ που ε 1 οίζοντι στη μι είνι νάλογ πος τ ντίστοιχ τμήμτ της άλλης. ε ηλδή ν ε 1 // ε // ε 3 τότε ε 3 Κάθε πάλληλη πος μι πλευά τιγώνου χωίζει τις άλλες πλευές του, σε ίσους λόγους. ηλδή ν // τότε ντίστοφ: B ν μι ευθεί που τέμνει δύο πλευές τιγώνου τις χωίζει σε ίσους λόγους, είνι πάλληλη πος την τίτη πλευά. ηλδή ν τότε // B 47. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όμοι; ύο πολύγων λέγοντι όμοι, ότν το έν είνι μεγέθυνση ή σμίκυνση του άλλου. υτό σημίνει ότι έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες(ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων κι ΟΚΛΜΝ που έχουν, B Ο Κ Λ Ν Μ

13 Ο, Κ, Λ, Μ, Ν 13 κι λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ Το λ ονομάζετι λόγος ομοιότητς. είνι όμοι. 48. Ποιες ποτάσεις ποκύπτουν πό τον οισμό της ομοιότητ δύο πολυγώνων; πό τον οισμό της ομοιότητς δύο πολυγώνων ποκύπτουν οι επόμενες ποτάσεις. ύο κνονικά πολύγων με τον ίδιο ιθμό πλευών είνι όμοι μετξύ τους. ύο ίσ πολύγων είνι κι όμοι, με λόγο ομοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όμοιο με τον ευτό του. ύο πολύγων όμοι πος τίτο είνι κι όμοι μετξύ τους. 49. Πότε δύο τίγων λέγοντι όμοι; ύο τίγων λέγοντι όμοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες (ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. ηλδή ν κι, τότε,, Ο λόγος των ντιστοίχων (ομολόγων) πλευών τους ονομάζετι λόγος ομοιότητς κι συμβολίζετι με λ. B 50. Πότε δύο τίγων είνι όμοι; (Κιτήιο ομοιότητς τιγώνων) ύο τίγων είνι όμοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες με δύο γωνίες του άλλου μί πος μί. ν δηλδή τ τίγων κι έχουν,, τότε,, κι επομένως κι B. 1. 5Με τι ισούτι ο λόγος των εμβδών δύο ομοίων σχημάτων; Ο λόγος των εμβδών δύο ομοίων σχημάτων είνι ίσος με το τετάγωνο του λόγου ομοιότητς τους. ΚΦΛΙΟ 1 ο Τιγωνομετί Πως οίζοντι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω (0 ω 180 )η γωνί που πάγετι πό τον ημιάξον Ο, ότν υτός στφεί κτά τη θετική φοά.

14 ν πάουμε έν οποιοδήποτε σημείο Μ(, ) με OM ω κι ΟΜ + τότε οίζουμε: 14 ημω συνω M(, ) ω εφω Ο Το ημω κι συνω πίνουν τιμές πό το 1 έως το +1. ίνι δηλδή 1 ημω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίνει οποιδήποτε τιμή. ν το Μ(, ) βίσκετι στο 1 ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 ν το Μ(, ) βίσκετι στο ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 5. Ποιοι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις γωνίς ω 0 ή ω 90 ή ω 180; ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το Μ(1,0), τότε ω OM 0 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ συν εφ O M(1,0) ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το Μ(0, 1), τότε ω OM 90 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ M(0,1) συν εφ90 δεν οίζετι, φού 0 O ω ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το σημείο Μ( 1, 0), τότε ω OM 180 κι ΟΜ 1 οπότε έχουμε: ημ συν εφ M(-1, 0) O v

15 53. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τιγωνομετικούς ιθμούς δύο ππληωμτικών γωνιών; 15 ι δύο ππληωμτικές γωνίες ω κι ω ιοχύουν: ημ(180 ω) ημω συν(180 ω) συνω εφ(180 ω) εφω 54. Ν ποδείξετε ότι γι μι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι:. ημ ω +συν ημω ω 1 κι β. εφω συνω πόδειξη. ημ ω +συν ω + + M(, ) () + + Ο + Ο B () Ο ω Ο + Μ ΟΜ πόδειξη β. ημω εφω συνω M(, ) B () Ο () ω 55. Ν διτυπώσετε τον νόμο των ημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο ισχύει: β γ ημ ημ ημγ 56. Ν διτυπώσετε τον νόμο των συνημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο ισχύουν οι σχέσεις β + γ βγσυν β γ + γσυν γ + β βσυν