Να βρίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντρου.
|
|
|
- Σοφός Μπουκουβαλαίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ενότητα 6 Κύκλος Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να βίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντου. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε τις σχέσεις εγγεγαμμένων και επίκεντων γωνιών. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε το Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης.
2 Έχουμε Μάθει Επίκεντη γωνία Η γωνία ( ) που έχει την κουφή της στο κέντο του κύκλου. Αντίστοιχο τόξο της επίκεντης Το τόξο Β λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντης γωνίας. Η εγγεγαμμένη γωνία βαίνει στο τόξο Β. Μέτο Τόξου Σε τόξο μ μοιών (συμβολικά ) βαίνει επίκεντη γωνία επίσης Π.χ. το τόξο = Σχέση επίκεντης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Στον ίδιο κύκλο (ή σε ίσους κύκλους ) αν δύο επίκεντες γωνίες είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα και αντίστοφα. Π.χ. ΕΖ Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι αντίστοιχες χοδές είναι ίσες και αντίστοφα. E Z ΕΖ Εφαπτομένη Η ευθεία (ε) που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Η εφαπτομένη είναι κάθετη της ακτίνας ΟΑ στο σημείο Α του κύκλου. ε 142 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
3 Θέσεις σημείου ως πος κύκλο Θέσεις σημείου ως πος κύκλο με κέντο Κ και ακτίνα. (α) ( ) (β)( ) (γ)( ) Το Α βίσκεται μέσα στον κύκλο. Το Β βίσκεται πάνω στον κύκλο. Το βίσκεται εκτός κύκλου. Θέσεις ευθείας ως πος κύκλο Ευθεία (ε) που βίσκεται σε απόσταση d από το κέντο Κ κύκλου ακτίνας : (α) Τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. d ε (β) Εφάπτεται του κύκλου. d (γ) Είναι εξωτεική του κύκλου. ε d ε ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 143
4 Θέση ύο Κύκλων Εξεεύνηση Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το μεσαιωνικό αστονομικό ολόι που βίσκεται στην Πάγα της Τσεχίας. Το σημεινό ολόι είναι ένα πιστό αντίγαφο του αχικού, το οποίου καταστάφηκε στον Παγκόσμιο Πόλεμο. Να επιλέξετε δύο από τους κύκλους που εμφανίζονται και να εντοπίσετε τη θέση των δύο κύκλων. ιεεύνηση Να ανοίξετε το αχείο «lken02_thesis2klon.ggb». Να μετακινήσετε τον δομέα για να μεταβάλετε την απόσταση μεταξύ των κέντων των δύο κύκλων έτσι ώστε οι κύκλοι: (α) να έχουν δύο κοινά σημεία (β) να έχουν ένα κοινό σημείο (γ) να μην έχουν σημεία τομής ια κάθε πείπτωση να κάνετε μια εικασία για τη σχέση που συνδέει την απόσταση των δύο κέντων με το άθοισμα και τη διαφοά των δύο ακτινών. 144 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
5 Μαθαίνω ιάκεντος ονομάζεται το ευθύγαμμο τμήμα που ενώνει τα κέντα δύο κύκλων δ Λ Θέση Συνθήκη Σχήμα ύο κύκλοι τέμνονται, όταν έχουν δύο κοινά σημεία ( ) R δ Λ ύο κύκλοι εφάπτονται εξωτεικά, όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι ίσο με το άθοισμα των ακτινών. ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτεικά, όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι ίσο με τη διαφοά των ακτινών. R δ Λ R δ Λ ύο κύκλοι είναι εξωτεικοί, όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι μεγαλύτεο από το άθοισμα των ακτινών. R δ Λ Ένας κύκλος είναι εσωτεικός άλλου κύκλου όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι μικότεο από την διαφοά των ακτινών. R δ Λ Θεώημα: Αν δύο κύκλοι ( ) και ( ) με τέμνονται, ισχύει ότι, όπου. Απόδειξη: Οι δύο κύκλοι τέμνονται με το Α να είναι ένα από τα σημεία τομής τους. Σε αυτή την πείπτωση σχηματίζεται το τίγωνο ΑΚΛ. Σύμφωνα με την τιγωνική ανίσωση. R δ Λ ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 145
6 αστηιότητες 1. Να βείτε τη θέση των δύο κύκλων σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις (α) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (β) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (γ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (δ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (ε) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (στ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση 2. ίνονται κύκλοι με κέντο ( ) και ( ) και. Να υπολογίσετε την τιμή ή τις τιμές του έτσι ώστε οι κύκλοι: (α) Να εφάπτονται εξωτεικά. (β) Να τέμνονται. (γ) Να είναι ο ένας κύκλος μέσα στον άλλο. 3. ίνεται κύκλος με κέντο ( ) και κύκλος ( ). Να υπολογίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος ώστε οι δύο κύκλοι να τέμνονται. 4. Να βείτε δύο πααδείγματα από την καθημεινή ζωή στα οποία να εντοπίζονται σχέσεις δύο κύκλων. 5. Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντου των κύκλων ( ) και ( ), ώστε (α) οι κύκλοι να εφάπτονται εξωτεικά, (β) οι κύκλοι να εφάπτονται εσωτεικά. 6. Να αποδείξετε ότι η διάκεντος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι η μεσοκάθετη της κοινής χοδής τους. 7. Να αποδείξετε ότι αν δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτεικά τότε το μήκος της διακέντου είναι ίσο με το άθοισμα της ακτίνας τους. 8. Να αποδείξετε ότι αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτεικά τότε το μήκος της διακέντου είναι ίσο με τη διαφοά της ακτίνας τους. 146 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
7 Εγγεγαμμένες ωνίες Εξεεύνηση Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη μιας αίθουσας κινηματογάφου. Ένας φωτογάφος τοποθέτησε μια φωτογαφική μηχανή ( ), που έχει άνοιγμα φακού, στο μέσο της τελευταίας σειάς έτσι ώστε να βλέπει όλη την οθόνη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη συνέχεια θα τοποθετήσει ακόμα μια φωτογαφική μηχανή ( ) με φακό ανοίγματος. (α) Σε ποιες άλλες θέσεις θα μποούσε να τοποθετήσει τη φωτογαφική μηχανή ( ) ώστε να βλέπει ολόκληη την οθόνη; (β) Σε ποια θέση πέπει να τοποθετήσει τη φωτογαφική μηχανή ( ) ώστε να βλέπει ολόκληη την οθόνη; ιεεύνηση (1) Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoorthi.ggb». Να μετακινήσετε την κουφή σε διάφοες θέσεις Nα κάνετε μια εικασία όσον αφοά τις θέσεις της κουφής για τις οποίες η γωνία γίνεται οθή. ιεεύνηση (2) Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoeggegrammeniepikentri.ggb» και να εντοπίσετε τη σχέση που συνδέει το μέτο της εγγεγαμμένης γωνίας με το μέτο της αντίστοιχης επίκεντης. Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoeggegrameniidiotoo.ggb» και να εντοπίσετε τη σχέση που συνδέει το μέτο των εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 147
8 Μαθαίνω Εγγεγαμμένη ωνία είναι η γωνία ( ) που έχει κουφή ένα σημείο του κύκλου και οι πλευές της είναι τέμνουσες του κύκλου. Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν άπειες εγγεγαμμένες γωνίες. Θεώημα Σχήμα Κάθε εγγεγαμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντης γωνίας. 2 Ποίσματα Σχήμα Το μέτο κάθε εγγεγαμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτου του αντίστοιχου τόξου. Β Β Κάθε εγγεγαμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι οθή. Εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους. Β Εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων ή του ίδιου κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους και αντίστοφα. ΕΒ Ζ ΕΖ E Z Mεταξύ δύο παάλληλων ευθειών πειέχονται ίσα τόξα. Β 148 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
9 Σχέση εγγεγαμμένης και αντίστοιχης επίκεντης Θεώημα: Κάθε εγγεγαμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντης γωνίας. 2 Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι Πείπτωση Α: Το κέντο Ο ανήκει σε μια πλευά της εγγεγαμμένης γωνίας. Το τίγωνο είναι ισοσκελές, γιατί άα H είναι εξωτεική γωνία του τιγώνου Άα Πείπτωση Β: Το κέντο βίσκεται εντός της εγγεγαμμένης γωνίας. Φένουμε τη διάμετο και ποκύπτει ότι και Εγαζόμαστε όπως στην πείπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 1 2 και ( ) 2 1 Πείπτωση : Το κέντο βίσκεται εκτός της εγγεγαμμένης γωνίας. Φένουμε τη διάμετο και ποκύπτει ότι και 1 Εγαζόμαστε όπως στην πείπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 2 και ( ) 1 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 149
10 Πααδείγματα 1. Να υπολογίσετε τη γωνία στα διπλανό σχήμα. Λύση: Η εγγεγαμμένη γωνία βαίνει στο τόξο Β. Η επίκεντη γωνία βαίνει στο ίδιο τόξοβ. Άα, (θεώημα εγγεγαμμένης και αντίστοιχης επίκεντης γωνίας). 2. Να υπολογίσετε τις γωνίες και στο διπλανό σχήμα. Λύση: Οι γωνίες και είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο Άα. Οι γωνίες και είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο. Άα Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο παάλληλων χοδών πειέχονται ίσα τόξα. Απόδειξη: εδομένο (παάλληλες χοδές) (εντός εναλλάξ γωνίες ίσες) Β (σε ίσες εγγεγαμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο αντιστοιχούν ίσα τόξα) Άα μεταξύ παάλληλων χοδών πειέχονται ίσα τόξα. 150 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
11 4. Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία που σχηματίζεται από δύο τέμνουσες του κύκλου, όταν τέμνονται εντός του κύκλου, είναι ίση με το άθοισμα των εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που πειέχονται από τη γωνία και την κατακουφήν της γωνία. Απόδειξη: Αν και είναι η γωνία μεταξύ των δύο τεμνουσών Τότε, το ζητούμενο είναι Ε Η γωνία πειέχει το τόξο με αντίστοιχη εγγεγαμμένη τη. Η, κατακουφήν της, πειέχει το τόξο με αντίστοιχη εγγεγαμμένη τη (Εξωτεική γωνία του τιγώνου ) Άα,. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 151
12 αστηιότητες 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του και σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις: (α) 80 (β) 86 (γ) (δ) 34 ιάμετος (ε) (ζ) 32 Β (η) 30 (θ) ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
13 2. Να αναφέετε κατά πόσο οι πιο κάτω ποτάσεις είναι οθές ή λανθασμένες. Να υποστηίξετε την απάντησή σας με παάδειγμα ή αντιπαάδειγμα. (α) ύο εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. (β) ύο εγγεγαμμένες γωνίες που είναι ίσες βαίνουν σίγουα στο ίδιο τόξο. (γ) Αν μία εγγεγαμμένη γωνία είναι οθή, τότε σίγουα βαίνει σε ημικύκλιο. (δ) Στους κύκλους ( ) και ( ) οι επίκεντες γωνίες τους και αντίστοιχα είναι ίσες και βαίνουν σε ίσα τόξα. 3. Να υπολογίσετε την ακτίνα κύκλου με διάμετο, αν το ισοσκελές τίγωνο με είναι εγγεγαμμένο στον κύκλο ( σημεία του κύκλου). 4. Στον διπλανό κύκλο ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι Ε ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 153
14 Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης ιεεύνηση Να κατασκευάσετε έναν κύκλο ( ) Να εγγάψετε στον κύκλο τίγωνο ( σημεία του κύκλου). Να φέετε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο. Να μετήσετε τις γωνίες και. Μποείτε επίσης να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoxordiefaptomeni.ggb». Να κάνετε μια εικασία για τη σχέση μεταξύ των γωνιών και. Να μετακινήσετε τις κουφές του τιγώνου σε διάφοες θέσεις. Να αλλάξετε το μέγεθος του κύκλου. Μαθαίνω Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης Η γωνία που σχηματίζεται από μια χοδή του κύκλου και την εφαπτομένη στο άκο της χοδής είναι ίση με την εγγεγαμμένη που βαίνει στο τόξο της χοδής Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι Φέουμε τις ακτίνες και. Tο τίγωνο είναι ισοσκελές. Άα. (Η επίκεντη γωνία είναι διπλάσια της εγγεγαμμένης) (άθοισμα γωνιών του τιγώνου Β ) ( ) (Η ακτίνα είναι κάθετη με την εφαπτομένη) ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) ποκύπτει ότι ω ω Κ Β φ φ Β 154 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
15 Πααδείγματα 1. Στο διπλανό σχήμα το τίγωνο είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν και είναι εφαπτόμενα τμήματα στα και αντίστοιχα, να υπολογίσετε τις γωνίες Λύση: Η γωνία σχηματίζεται από το εφαπτόμενο τμήμα και τη χοδή και η γωνία βαίνει στο τόξο Α. Άα από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι 62 α 72 ω z ε Με παόμοιο τόπο έχουμε και. (άθοισμα γωνιών τιγώνου Α) 2. Στο διπλανό σχήμα η γωνία βαίνει σε ημικύκλιο και η ευθεία ( ) είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο. Να υπολογίσετε τις τιμές των. Λύση: Η γωνία βαίνει σε ημικύκλιο άα. (άθοισμα γωνιών Β ). 4 z ε Από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι 3. Από σημείο εκτός του κύκλου ( )φέουμε εφαπτόμενα τμήματα και ΕΒ πος τον κύκλο Να αποδείξετε ότι Λύση: Από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι και είναι εφαπτόμενα τμήματα και είναι χοδές κύκλου E } Β Άα, το τίγωνο είναι ισοσκελές με Παατήηση: Τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο έξω από τον κύκλο είναι ίσα. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 155
16 αστηιότητες 1. Να υπολογίσετε την τιμή του και του στις πιο κάτω πειπτώσεις. (α) Β (β) Β 63 E (γ) ίνεται κύκλος ( ). Αν η είναι χοδή του κύκλου, η εφαπτομένη στο σημείο και η γωνία να υπολογίσετε τη γωνία. 3. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που δημιουγείται από τη χοδή και την εφαπτομένη του κύκλου ( ) στο σημείο Β Λ M, αν ισχύει ότι 5 M με και σημεία του κύκλου όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 4. Σε κύκλο με κέντο φέουμε τη διάμετο. Το είναι σημείο της πειφέειας τέτοιο ώστε η γωνία και η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την ποέκταση της στο σημείο Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. E 5. Από σημείο εκτός κύκλου φέουμε την εφαπτομένη του κύκλου, όπου είναι το σημείο επαφής, και την τέμνουσα, όπου και τα σημεία του κύκλου. Αν να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. Β 6. Από σημείο που βίσκεται εκτός του κύκλου ( ) φέουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και Αν η γωνία να υπολογίσετε το τόξο που αντιστοιχεί στην κυτή γωνία. 7. Στα άκα της διαμέτου ενός ημικυκλίου φέουμε εφαπτόμενες. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε ένα σημείο τέμνει τις εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β, σε σημεία και αντίστοιχα. (α) Να δείξετε ότι η γωνία είναι οθή. (β) Να καθοίσετε τη θέση του κέντου του κύκλου που πενά από τα σημεία 156 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
17 αστηιότητες Ενότητας 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του και σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Β Ε 2. Ένα τετάπλευο ΑΒ είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο με o ο ο 120,Β Να υπολογίσετε τις γωνίες του τεταπλεύου. 3. Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντο και ακτίνα. Να πάετε ένα σημείο εκτός κύκλου και να βείτε το μέσο του. Με κέντο το και ακτίνα να κατασκευάσετε ημικύκλιο. Αν είναι το σημείο τομής του κύκλου ( ) με το ημικύκλιο να υπολογίσετε τη γωνία. Να εξηγήσετε γιατί η ευθεία που πενά από τα σημεία και είναι εφαπτομένη του κύκλου. 4. Στο διπλανό σχήμα παουσιάζεται η κάτοψη ενός αγγλικού μνημείου φτιαγμένο από βάχους (Stonehedge). Τμήματα του μνημείου δημιουγούν δύο ομόκεντος κύκλους. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 157
18 5. Σε οθογώνιο σύστημα αξόνων δίνεται κύκλος με κέντο το σημείο ( ) και ακτίνα. Να βείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής και του κύκλου με τους άξονες και αντίστοιχα. Αν είναι σημείο της πειφέειας του κύκλου με συντεταγμένες ( ) να υπολογίσετε το μέτο της γωνίας 6. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω γωνίες του τιγώνου Σε κύκλο με κέντο είναι εγγεγαμμένο ισόπλευο τίγωνο. Αν είναι η εφαπτομένη του κύκλου στο να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος της αμβλείας γωνίας. 8. ίνεται οθογώνιο ταπέζιο ( ), στο οποίο η είναι εφαπτομένη του κύκλου που γάφεται με διάμετο την. Να αποδείξετε ότι 4 9. Το ισοσκελές τίγωνο, είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν είναι τυχαίο σημείο της και η ποέκταση της τέμνει τον κύκλο στο να δείξετε ότι. 10. Να αποδείξετε τα πιο κάτω θεωήματα (α) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και είναι κάθετη πος τη χοδή πενά από το μέσο της χοδής και από το μέσο του τόξου. (β) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και από το μέσο μιας χοδής είναι κάθετη στη χοδή και πενά από το μέσο του τόξου. (γ) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και από το μέσο ενός τόξου είναι μεσοκάθετη της χοδής. (δ) Ευθεία που πενά από το μέσο μιας χοδής και το μέσο του αντίστοιχου τόξου, πενά από το κέντο του κύκλου και είναι κάθετη με τη χοδή. 158 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
19 αστηιότητες Εμπλουτισμού 1. (α) Να κατασκευάσετε ένα ταπέζιο με τις κουφές του να είναι σημεία κύκλου. (β) Τι είδους ταπέζιο έχετε κατασκευάσει; 2. Σε κύκλο ( ) φέουμε χοδή και την εφαπτομένη του. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον κύκλο στο σημείο. Να δείξετε ότι. 3. ίνεται κύκλος με διάμετο, εφαπτομένη και ένα σημείο του κύκλου. Η τέμνουσα όταν ποεκταθεί τέμνει την στο σημείο. Επίσης η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την στο σημείο. Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. 4. ύο ίσοι κύκλοι τέμνονται στα και. Από το φένουμε ευθεία που τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία και. Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. 5. Το τίγωνο είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν είναι το ύψος του τιγώνου και η διάμετος του κύκλου, να δείξετε ότι. 6. Σε κύκλο φέουμε χοδή και την εφαπτομένη του κύκλου. Αν είναι χοδή του κύκλου που βίσκεται πάνω στη διχοτόμο, να δείξετε ότι το τίγωνο. είναι ισοσκελές 7. Να αποδείξετε ότι η γωνία που δημιουγείται από δύο τέμνουσες του κύκλου και βίσκεται έξω από το κύκλο, έχει μέτο ίσο με τη διαφοά των δύο εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που πειέχει η γωνία. 8. ίνεται τετάγωνο με πλευά Στο εσωτεικό του κύκλου γάφουμε ημικύκλιο με διάμετο και τόξο κύκλου ( ) Από το Α φέουμε ημιευθεία που τέμνει το τόξο στο σημείο και το ημικύκλιο στο σημείο Αν, να αποδείξετε ότι ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 159
Μαθηματι ά ατεύθυνσης
Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Σχεδίαση με τη χήση Η/Υ ΚΕΦΛΙ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΤΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΣ ΝΘΠΥΛΣ, ΕΠΙΚΥΡΣ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΔΙΙΚΗΣΗΣ ΚΙ ΔΙΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΡΙΣΣ Θέμα 24 ο : κατασκευή ασκευή κύκλου εφαπτομένου στις πλευές γωνίας Έστω
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας μ ενός κύκλου με ακτίνα ρ δίνεται από τον τύπο: μ 360
ΜΡΟΣ Β 36 ΜΒΑΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΑ 35 36 ΜΒΑΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΑ βαδόν κυκλικού τοέα Το εβαδόν κυκλικού τοέα γωνίας ενός κύκλου ε ακτίνα δίνεται από τον τύπο: ΣΧΗΜΑ π ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να συµπληώσετε τον παακάτω
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016
εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο. 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω ΜΕ
ΚΕΦΛΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙ 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΣ ω ΜΕ o ω 18 o 1. Πώς οίζονται οι τιγωνομετικοί αιθμοί μίας οξείας γωνίας σε οθογώνιο τίγωνο; ΠΝΤΗΣΗ Γ β α γ Το ημίτονο της οξείας γωνίας σε οθογώνιο
Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.
Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε
6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
H 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ =
. Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση
Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση
Απόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά
1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει:
1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων
1) Ηλεκτικό πεδίο φοτισμένου φύλλου απείων διαστάσεων Σε αυτό το εδάφιο θα υπολογιστεί το ηλεκτικό πεδίο παντού στο χώο ενός φοτισμένου λεπτού φύλλου απείων διαστάσεων και αμελητέου πάχους όπως αυτό που
B ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το
ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΤ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΕΜ 1. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθµός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να
ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Ο Μ. Γ α Γ Κ. σκαληνό. ισοσκελές. οξυγώνιο Β >90. ισογώνιο. αμβλυγώνιο. δ α. ισόπλευρο. ορθογώνιο. μ α. μ β
17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1
2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα
Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:
Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)
Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και
ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012
ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ
Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων
υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10
ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά
Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R
Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο
Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν
Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ
ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε
Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x
2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο
ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης
1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β
ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Μεθοδολογία Υπερβολής
Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β
1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;
5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο