Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου"

Transcript

1 Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου

2 Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Μετρήσεις Μεγεθών Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τα Κλάσματα Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ανάλογα Πόσα Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Οι Γωνίες Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα 6 «Σκέφτομαι άρα υπάρχω» Καρτέσιος

3

4 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί Η Θεωρία με Ερωτήσεις. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί;. Τι ονομάζουμε άξονα των πραγματικών αριθμών; Παρατήρηση: Για τους αριθμούς πάνω στον άξονα ισχύουν: Μεταξύ δύο αριθμών, μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα. Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό Το μηδέν είναι μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό.. Τι λέγεται απόλυτη τιμή ενός αριθμού ;. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίθετοι;. Πως προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς; Πως προσθέτουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς; 6. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α Προσεταιριστική ιδιότητα: α β γ α β γ Το άθροισμα δύο αντίθετων αριθμών είναι μηδέν, δηλαδή α + ( α) = 0. Όταν ο ένας προσθετέος είναι το μηδέν τότε α + 0 = α 7. Αναφέρετε δύο μεθόδους υπολογισμού αθροίσματος. 8. Πως πραγματοποιείται η αφαίρεση αριθμών; 9. Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων; 0. Πως πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πως ετερόσημους ακεραίους;

5 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πολλαπλασιασμού; Αντιμεταθετική ιδιότητα: α β β α Προσεταιριστική ιδιότητα: α β γ α β γ Επιμεριστική ιδιότητα: αβ γ αβ αγ αβ γ αβ αγ α0 = 0 & α = α. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; Δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν το γινόμενο τους ισούται με. Παρατήρηση: Επίσης ισχύουν: Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι αριθμοί. To μηδέν δεν έχει αντίστροφο γιατί δεν ορίζεται το κλάσμα / όταν = 0.. Πως υπολογίζουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων;. Πως διαιρούμε δυο ακεραίους αριθμούς; Τι ονομάζεται λόγος δυο αριθμών;. Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη ρητού αριθμού α με εκθέτη το φυσικό αριθμό ν; Πως συμβολίζεται η δύναμη αυτή και με τι ισούται; 6. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο; Ορισμοί Ιδιότητες ν α α α α... α α α α ν παραγοντες μ α μν α α 0 ν α α α α β ν α ν ν ν α ν ν α α α ν ν ν β β α β β μ ν μν α α α μ ν μν β ν 7. Πότε μια δύναμη είναι θετική; Πότε μια δύναμη είναι αρνητική; Μία δύναμη είναι θετική όταν η βάση της είναι θετικός αριθμός ή αν η βάση είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης της είναι άρτιος. πχ., ( ), ( ) 0 Μία δύναμη είναι αρνητική αν η βάση της είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός. πχ. ( ), ( ) 8. Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων σε μια παράσταση; Σε μια αριθμητική παράσταση οι πράξεις εκτελούνται με την εξής σειρά: Υπολογισμός δυνάμεων Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις Προσθέσεις και αφαιρέσεις υπάρχουν αγκύλες ή παρενθέσεις, πρώτα εκτελούμε τις πράξεις με την παραπάνω σειρά μέσα σε αυτές. 9. Τι ονομάζουμε τυποποιημένη μορφή ή εκθετική μορφή αριθμών; Να δώσετε ένα παράδειγμα. 0. Από ποια σύνολα αριθμών αποτελούνται οι ρητοί αριθμοί;

6 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί Ασκήσεις & Προβλήματα Επανάληψη Βασικών Εννοιών. Να γραφούν στη μορφή ν μ ή ν μ όπου μ, ν φυσικοί και ν 0 οι αριθμοί:,, 6, 0,,, 0,, 0,.. Να βρείτε ποιοι αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή:,, 0,,.. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι αντίθετοι; 7 i),,,,,,,,, ii), 0,7,,,,,6. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο ανισότητας μικρότερο (<) ή μεγαλύτερο (>). i) + +7 ii) -7,8 +0, iii) -, -,9 iv) - - v) -,8 -,08 vi) - -8 vii) 8 viii). Να διατάξετε τους αριθμούς: 8,,,, 0,, 6,6, i) από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. ii) από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο Να βρείτε ποιοί ακέραιοι αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη του. 7. Αν η απόσταση δύο αντίθετων αριθμών πάνω στον άξονα είναι 8 μονάδες να βρείτε τους αριθμούς αυτούς. 8. Δίνονται οι αριθμοί 7, 6,,,,,, 0, +, +, +, +, +. Από τους προηγούμενους αριθμούς να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: i) Είναι μικρότεροι του. ii). Έχουν αντίθετο μικρότερο του. iii) Είναι μεγαλύτεροι του. iv) Έχουν αντίθετο μεγαλύτερο του +. v) Η απόλυτη τιμή είναι μικρότερη του + vi) Η απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη από το +. vii) Βρίσκονται μεταξύ και +. viii) Η απόλυτη τιμή βρίσκεται μεταξύ + και +. i) Η απόστασή τους από το μηδέν στον άξονα είναι μονάδες. 9. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 7,8,7 0. Αν ο ακέραιος είναι τέτοιος ώστε < <, ποιες τιμές μπορεί να πάρει η απόλυτη τιμή του.

7 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α,,7 Β 9 Πρόσθεση Ρητών Αριθμών. Να συμπληρώσετε τις ισότητες α + β =. α + (β + γ) =.. α + 0 =.. α +. =. + α = 0 Ποια είναι η ονομασία των παραπάνω ισοτήτων;. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ( ) + ( 8) ii) ( 7,8) + ( +,6) iii) ( 0) + ( ) iv) 6 9 v) vi) vii) (,) + (9,06) viii) Nα υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) 6 iii) ( ) ii) ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) + (,) iv),8,7 6, 0,. Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i) A = (+ 0,) + (+,7) + ( 0) + ( 0,) ii) B = ( ) + ( 7) + (+ ) + ( ) + (+ 0) 6 ii) Γ = ( 0) + (+,7) + + ( 6,7) iv) Γ = + ( 9) + (,8) + + (+,8) + (+9) Αν είναι κ =, λ = 7, μ = και ν =, τότε να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) κ + λ ii) λ + μ iii) μ + ν iv) κ + λ + μ + ν 7. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα Α = + y + z και B = + y + ω όταν =, y = +, z = +, ω = 8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) A = (,8) + (,0) + (+,8) + (,0) ii) B = (+,0) + (,) + ( 7,) + (,6) 9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = ( 9) (,8) ( 9) ii) Β = 0,7 + +,, iii) Γ = iv) Δ = 0, 0, +,

8 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί Αφαίρεση Ρητών Αριθμών 0. Να υπολογίσετε τις αφαιρέσεις: i) ( ) ( ) ii) ( + 8) ( 8) iii) ( 9) ( + ) iv) 0 v) vi),6 ( +,9) vii) ( 0,) viii) 0 ( ). Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: i) 0 + ( 8) ( + ) + ( + ) ii) ( 7) + ( ) ( + 8) + ( 7) ( ) iii) ( 7) + ( + ) ( ) iv) 0 ( 0) ( + 0) + ( ) + ( 0) v),8 ( + ) + ( +,8) ( +,8) (,). Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: i) ii) iii) 0, ( +,6 9) + ( + 9,7). Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: 6 i) ( ) ( + 9) ii) ( 0,7) iii) ( ) + iii) iv) 6. Να υπολογίσετε τον αριθμό = α β όταν γνωρίζετε ότι α = και β =. Αν είναι =, y =, z = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: τότε να υπολογίσετε την παράσταση Α = + y + z i) + = 0 ii) + 8 =, iii) + = 8 iv) + = v) = vi) + = vii) = viii) 0, = 0, i) ( ) + +, = 7 +, ) + + = Να βρείτε τις τιμές των και y έτσι ώστε οι τιμές των παραστάσεων Α και Β να είναι μηδέν. i) A = ( 8) + + ( ) (+60) ( 00) ii) B = (+) + y ( 6) (+9) 8. Να συμπληρωθούν οι πίνακες: A B α β γ (α + β) γ α (β γ) (α β) + (γ + β) α β γ α β γ 7 0 6

9 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 6 Απαλοιφή Παρενθέσεων 9. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων, αφού πρώτα απαλείψετε τις παρενθέσεις: i) + 7 ( + 8 ) ii) + + ( 7 ) iii) (8 + ) + iv) ( ) 0. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: i) Α = ( + ) + ( 8 + ) ii) Β = (0 + 0) ( ) iii) Γ = ( + 9 ) ( 7 ) ( ) iv) Δ = (8, +,8,) + ( + 9, + ),. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: i) Α = [( + 8) ( + )] ( + ) ii) Β = (8 + 0) [8 + ( + 9)] iii) Γ = [ 8 + ( + ) (9 + + )] iv) Δ = [( 7 + ) ( 8 + 0)]. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = [ ( ) ( )] + [ ( 7)] ii) Β = [ ( )] +. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) Α = ( + y ) ( + y ) ii) Β = ( α + β γ) [ α ( β γ)] + γ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) A = α (β 6) + ( β + 7) ( + α ) ii) B= { [ ( ) + ] + }. Να βρείτε τους αντίθετους των: i) ii) + y iii) + y 6. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = 7 7. Αν = τότε να υπολογίσετε την παράσταση Α = ( ) + ( ) [Απ: A=6] 8. Στην παράσταση Α = [α (α β) + (α + β) ( α)] + i) Να απαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες ii) Να υπολογίσετε την τιμή της όταν α =. 9. Αν είναι =, y = και z = να υπολογιστεί η παράσταση A = [ + ( y + )] ( z) 0. Αν Α =, + 6 +, Β = να υπολογίσετε την παράσταση Α + Β Γ +, και Γ = [ (0,6 + ) ( + 0,)]. Αν είναι α β =, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = (α + β) + [ α (β α) α] + α + + β. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: i) A = ii) B =, 0, 0, 0, 0 0, [Απ: i) A= /, ii) B=0,]

10 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί. Να υπολογίσετε την παράσταση: A = 0, 7. Αν α β να υπολογίσετε την παράσταση: αν = [Απ: A= 0] Α α β β α β 7 [Απ: 8] Πολλαπλασιασμός Ρητών Αριθμών. Να υπολογίσετε τα γινόμενα: i) (+ ) ( + ) ii) ( 8) ( ) iii) (+0,6) ( 0) iv) 6 v) 6 vi) ( 8) ( ) vii) ( ) 0 viii) 6. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) ( ) ii) ( ) (0,) iii) iv) (,) (0,0) 9 7. Να συμπληρωθούν οι πίνακες: α β γ αγ βγ αγ + βγ (α + β)γ α(β + γ) 0 ( ) + ( 6) Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να υπολογισθούν οι παραστάσεις: i) ( ) ii) ( + ) ( ) iii) 7 ( ) iv) 0, 9. Αν είναι α =, β =, γ =, δ = 0 να υπολογίστε τις παραστάσεις: Α = αβ γδ Γ = αδ βδ Β = β (γ + δ) Δ = βγ + αδ 0. Να βρείτε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών:,,,, 0,, 0,, α. Να γίνουν οι πράξεις: i) ( + + 7) ii) (0, 0, + 0,9 0,) ( ) iii) ( + ) ( + ) iv) (6 + ) ( ) v) ( + ) (7 ) vi) ( 6 + ) ( ). Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα να βρείτε την τιμή των παραστάσεων όταν y = l: i) A = 0y y ii) Β = [ (0 )]y y iii) Γ = y y. Να γίνουν οι πράξεις: i) ( )( + y) ii) (l ) (l y)

11 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) ( + ) ( ) + ( ) ( ) ii) (7 + ) [ ( )] 6( 7) + [ ( + ) ] ( ) iii) ( )(+ ) iv) [ l + (7 ) (8 ) + 6] ( + ) ( + ). Av = και y = + να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A = ( + y) ( y) + y(y ) 6. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) Α = α α + α 7α ii) Β = iii) Γ = 0,,8, iv) Δ = 0, 6 7. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) A = ii) B = 6 8 [Απ: i) A= 7 ii) B= 66/] 8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = [( ) ] + [ ( + 0)] ( ). [Απ: A=] 9. Αν είναι Α = ( y) και Β = y [ (α ) + α] να δείξετε ότι Α = Β. 60. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) = ii) 0, = iii) = iv) ( ) = v) ( ) =, Γινόμενο Πολλών Παραγόντων 6. Να υπολογίσετε τα γινόμενα: i) ( 9)( )( + )( 0) ii) (,) 0 ( )( )( + )(,) iii) ( ) ( ) ( ) 7 iv) ( ) ( ) 7 v) 7 vi) ( ) 7 6. Να βρείτε, τι πρόσημο έχει ο στις παρακάτω περιπτώσεις: i) ( ) ( + ) ( ) ( ) = 7 ii) ( )( ) ( ) > 0 6. Να υπολογίσετε τον στις παρακάτω ισότητες: i) ( 0) ii) ( ) ( ) ( ) ( ) = iii) ( 0,) = Αν α =, β =, γ = και δ = να υπολογίσετε τις παραστάσεις Κ = αβγδ και Λ = αβγ +βγδ. 6. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = αβ γβ αγ όταν: α =, β = και γ =.

12 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 66. Να υπολογίσετε το γινόμενο: ( ) ( )( ) ( ) Να υπολογίσετε το γινόμενο ( ) ( )( )( ) 68. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i) A = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ii) B = Αν = τότε να υπολογίσετε την παράσταση Α = ( + )( + )( + )( + 00) 70. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ( + )( + )( )( + 0,) όταν = 7. Να υπολογίσετε την τιμή της παρακάτω παράστασης όταν = και y = +: A = ( )( y)(+)(+y) + (+)( y)( )(+y) 7. Αν είναι y =,τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = ( )y 7. Αν αβ = και γ + δ = υπολογίστε την παράσταση Α = α β γ + α β δ 7. Να δείξετε ότι η παράσταση {( ) + [ ( + )] 8} ( ) είναι ανεξάρτητη του. 7. Αν είναι = ( )( )( 8) και y = 8 να βρεθεί η τιμή της παράστασης και να δικαιολογήσετε γιατί οι αριθμοί,y είναι αντίστροφοι. 76. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: i) Α = ( α) β ii) B = ( α)( β)( )( γ) 77. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ( )( 8 ) ( ) αν =. [Απ: 7] Διαίρεση Ρητών Αριθμών 78. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: i) ( +9):( +7) ii) ( 7):( ) iii) ( 0):( ) iv) ( +):( 7) v) 8: vi),:( ) vii) ( 0,6):( +,) viii) 0:( ) i) 9,6:6 ) : i) : ii) : iii) Να κάνετε τις πράξεις: i) 8 ii) 7 6 iii) 9 iv) :

13 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί Να κάνετε τις πράξεις: i) ( 8)( ) ( ) ii) : 6 iii) : 8 iv) 7 : 0 8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = ( 7): + ( 9 + ):( 6) ii) Β = ( + ) + ( + ) : ( ) iii) Γ = [( 8) + ( )]:[ ( 0,)( 0,) (0,)] iv) Δ = 8 [ ( )] 0 + [6:( )] 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) = 0 ii) ( ) = 0 iii), = 6, iv) :( ) = 0 v) Να κάνετε τις πράξεις: i) 8 ii) 0 0 y 8. Αν = 6 και y =, να υπολογίσετε την παράσταση: Α = : y 8. Να υπολογίσετε τα α και β στις παραστάσεις: i) ( ) ( ) (+)α = 8 ii) (+) ( ) β = Να υπολογίσετε την παράσταση: Α= [ ( )] + ( ) : ( + ) 87. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = [7 ( )] + [6: ( )]. 88. Να γίνουν οι πράξεις Α = : και Β= α β α β 89. Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων A =, B =, Γ = (α + β) : γ αν είναι γ γ α = 8 + +, β = 0, ( ) + 0,, γ = 7 6 ( )( ) : ( 7) [Απ: Α= 8/, Β=0, Γ= ] Δυνάμεις Ρητών με Φυσικό Εκθέτη 90. Υπολόγισε τις δυνάμεις: i) ( ) ii) iii) ( ) iv) ( ) v) ( ) vi) 0 0 vii) (0,) 9. Υπολόγισε τις δυνάμεις i) ( ) ii) 0, iii) ( ) 9 iv) 8 v) vi)( ) 9. Υπολόγισε τις δυνάμεις: i) (0 ) ii) iii) 0 iv) (α ) v) vi) [ ( )]

14 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 9. Να γράψετε τα παρακάτω γινόμενα με μορφή μιας δύναμης: i) 7 ii)( 6) ( 6) ( 6) iii) (,) (,) (,) 8, iv) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0 0) ( 0) v) : ( ) vi) 7 ( ) vii) ( 0,) 9 : ( 0,) viii) ( 0 : ) 9. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: i) ( ) ii) [( ) ] iii) iv) [(0,) ] v) [( ) ] 0 9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = ( 7 + ) [ (6 ) + ] ii) Α = ( ) : [8. ( ) 6 : ( 0,)] iii) Γ = ( 6) iv) Δ = (: ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) 8 8 ii) 97. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) ii) : ( 7) + 6 : 8 : ( ) Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: i) ( ) : ii) 6 : ( 8 ) 99. Να υπολογίσετε την παράσταση Α = ( 0) ( ) 00. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = ii) B = ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 0. Αν είναι α = + ( ) και β = ( ) + ( ) να υπολογίσετε την παράσταση: Α = αβ(α + β) (α β) α β α 0. Αν α = και β =, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = 0. Αν είναι α = ( + 7) και β = [ + ( ) 0] (,) ποια είναι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = α β αβ + ; 0. Αν α = ( ) + ( ) και β = ( ) + ( ), τότε να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = αβ(α + β) 0. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = ( )( + ) [( 6 + )( ) ( )] και 0 Β = ( ) ( 6). i) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β. ii) Να βρείτε τον αντίθετο του αριθμού Α και τον αντίστροφο του αριθμού Β. 06. Γράψτε τη παράσταση σε μορφή μιας δύναμης: ( ) + 0 : β

15 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 07. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα: y ( + y) y Να υπολογίσετε την τιμή της παρακάτω παράστασης: A = [7 ( ) ] + [6( ) ] : ( ) Γράψτε τη παράσταση σε μορφή μιας δύναμης: Να απλοποιήσετε το κλάσμα: 6 ( ) 6 y. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) = ii) 6 = iii). Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = ( + 9) 00 + ( + 0) 00 + ( + ) 00 αν γνωρίζετε ότι: = 0.. Να υπολογίσετε την τιμή της παρακάτω παράστασης: A :6 : όταν =. Να υπολογίσετε την παράσταση Α = 7. Να υπολογίσετε την παράσταση Α = ( ) ν + ( ) ν+. αν =. [Απ: Α=] 6. Οι αριθμοί α, β είναι ομόσημοι. Πότε η παράσταση Α = αβ + α β είναι θετική και πότε αρνητική; Δυνάμεις Ρητών με Ακέραιο Εκθέτη 7. Υπολόγισε τις δυνάμεις: i) ii) ( ) iii) iv) 0 v) 6 vi) vii) Γράψτε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης : i) A = ( ) 0 ii) B = (0 (0 ) ) iii) 9 iv) Γ = vii) : v) [( ) ] vi)

16 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί 9. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = ( ) ( ) ( ) ii)β = 6 ( ) ( ) 8 0. Αν =,τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = ( + + )( + ). Αν =,τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = + ( + ) Αν =,τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α = ( ). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) Α = 6 7 ii) Β = (6 ) 7. Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α = και Β =. Να γράψετε σε μορφή δύναμης με βάση ρητό τις παραστάσεις: i) ( ) :00 ii)( ) + 7 : + ( ) + 6. i) Αν 0 = + να υπολογίσετε την τιμή του. ii) Να υπολογίσετε το όταν ισχύει 7 =. 7. Αν = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = ( ) 8. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = ( )( + ) [( 6 + )( ) ( )] και 0 Β = ( ) ( 6). α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β β) Να βρείτε τον αντίθετο του αριθμού Α και τον αντίστροφο του αριθμού Β Να αποδείξετε ότι: i) ii) Αν α = και β = τότε να επαληθεύσετε την ισότητα (α + β) = α + αβ + β. Αν και y ( ) y να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = y.. Αν α θετικός και β αρνητικός, τότε να υπολογίσετε το πρόσημο της παράστασης (αβγ ). Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.. Αν α + β = τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = α [β + ( α)] + [(α + β) ( ) ] + β

17 Κεφάλαιο Οι Ρητοί Αριθμοί. Αν Α = + y και Β = y y,τότε να αποδείξετε ότι Α = Β. Να υπολογίσετε την παράσταση Α = ( ) ν + ( ) ν + + ( ) ν Τυποποιημένη ή Εκθετική Μορφή Αριθμών 6. Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: i) ii) 0, Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: i) ,0000 ii) : Να γίνουν οι πράξεις, αφού γράψετε πρώτα καθένα από τους αριθμούς με την τυποποιημένη τους ,00000 μορφή: 0,0000 0, Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α =,0 8 +,0 8 -, Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθμούς: i) 6,0 8 και 6,00 8 ii),0 και,80. Να βρείτε πόσες φορές είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος ο αριθμός 6,0 από τον αριθμό Να γράψετε σε τυποποιημένη μορφή τους αριθμούς: i) A , ii) B 0 7 0,06 0 Δεκαδική Μορφή των Ρητών Αριθμών. Να γράψετε σε δεκαδική μορφή τους αριθμούς:,, 0 8, 0. Να γράψετε με κλασματική μορφή τους παρακάτω δεκαδικούς: 0,7, 0, 7, 0,007, 0, 60, 0,, 0,7,,,,,,, 0,0, 7,. Να βρείτε ποιους απλούς δεκαδικούς αριθμούς παριστάνουν οι αριθμοί: 0, 9,, 9, 0,09,, Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς είναι περιοδικοί (χωρίς διαίρεση):,,,, Αν είναι α = 0,, β = 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α = 000α + 00α 0α α και Β = β + 0α + 0β 8. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: A 0, 0,, και B,,00 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 00,,, ii), iii), iv) 0,

18 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις Η Θεωρία με Ερωτήσεις. Τι ονομάζεται εξίσωση;. Να εξηγήσετε τις έννοιες: ο μέλος, ο μέλος, άγνωστοι όροι, γνωστοί όροι.. Τι ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης;. Ποια εξίσωση ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη; Ποια εξίσωση ονομάζεται αδύνατη;. Παρατήρηση : Η διαδικασία της επίλυσης μιας εξίσωσης Απαλείφουμε τους παρονομαστές (αν υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας τα δυο μέλη της εξίσωσης με ένα κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους (μεταφέρουμε τους αγνώστους όρους στο ο μέλος και τους γνωστούς στο ο μέλος της εξίσωσης, προσέχοντας αν ο όρος αλλάζει μέλος να αλλάζει και το πρόσημο του) Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων (προσθέτουμε τους αγνώστους του ου μέλους και τους αριθμούς του ου μέλους) Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου (δηλαδή με τον αριθμό που είναι πολλαπλασιασμένος ο άγνωστος) Αν βρούμε 0 = 0, τότε έχουμε ταυτότητα Αν βρούμε 0 = β, με β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη ( ) 0 ο Βήμα: Βρίσκω το ΕΚΠ των παρονομαστών και πολλαπλασιάζω κάθε όρο της εξίσωσης (είτε είναι κλάσμα είτε όχι) με αυτό. ΕΚΠ(,, 0) = 0 άρα ( ) ο Βήμα: Κάνω απαλοιφή παρονομαστών, δηλαδή απλοποιώ το ΕΚΠ με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και πολλαπλασιάζω το αποτέλεσμα της απλοποίησης με τον αριθμητή κάθε κλάσματος φροντίζοντας να βάζω παρενθέσεις δηλαδή: Παράδειγμα: ( ) ( ) = ( ) + ( ) 0

19 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 6 ο Βήμα: Εκτελώ τους πολλαπλασιασμούς προσέχοντας τα πρόσημα (ιδίως αν υπάρχει πλην ( ) έξω από την παρένθεση) δηλαδή: = ο Βήμα: Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους. Δηλαδή φέρνω τους άγνωστους όρους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο μέλος, φροντίζοντας σε κάθε όρο που αλλάζει μέλος να του αλλάζω και πρόσημο, δηλαδή: 0 8 = ο Βήμα: Κάνω αναγωγή ομοίων όρων, δηλαδή κάνω τις πράξεις μεταξύ των γνωστών και των άγνωστων όρων σε κάθε μέλος, δηλαδή: 6 = 0 6 ο Βήμα: Διαιρώ και τα δυο μέλη της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου (μόνο αν ο συντελεστής είναι διάφορος του μηδέν) 6 0 άρα = ο Βήμα: Επαλήθευση. Για να ελέγξουμε ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή θέτουμε στην αρχική εξίσωση τον αριθμό που βρήκαμε και κάνουμε πράξεις σε κάθε μέλος. Αν τα δυο μέλη μας δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα τότε η λύση που βρήκαμε είναι η σωστή, αν όχι, τότε λύνουμε ξανά προσεκτικά την εξίσωση. Δηλαδή: Άρα η λύση = 0 που βρήκαμε είναι η σωστή. 0 0 (0 ) ,,6,,,9,9 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν στο τελικό βήμα ο συντελεστής του αγνώστου προκύψει μηδέν τότε ΔΕΝ διαιρούμε με αυτόν. Σ αυτές τις περιπτώσεις η εξίσωση θα είναι αδύνατη (δηλαδή δεν έχει λύση) ή ταυτότητα (δηλαδή θα έχει άπειρες λύσεις). Αυτό θα εξαρτάται από τον αριθμό που βρίσκεται στο δεύτερο μέλος. Αν αυτός είναι διάφορος του μηδέν τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν αυτός είναι ίσος με μηδέν τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα. Δηλαδή: Αν βρούμε 0 = 0 τότε έχουμε ταυτότητα, Αν βρούμε 0 = β τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 6. Παρατήρηση : Επίλυση Τύπων Τύπους που συνδέουν διάφορα μεγέθη βρίσκουμε συχνά στη Φυσική, Γεωμετρία κ.λ.π. Τα διάφορα μεγέθη παριστάνονται με μεταβλητές. Μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή μιας μεταβλητής, επιλύνοντας τον τύπο ως προ τη ζητούμενη μεταβλητή (άγνωστο μέγεθος) όπως περιγράφεται στη παρατήρηση. 7. Παρατήρηση : Λύση προβλημάτων με εξισώσεις Διαβάζουμε με προσοχή το πρόβλημα για να καταλάβουμε πια είναι τα δεδομένα και ποια τα ζητούμενα μεγέθη του προβλήματος συμβολίζουμε με μια μεταβλητή (συνήθως ένα ) ένα από τα ζητούμενα μεγέθη Με τη βοήθεια της μεταβλητής αυτής συμβολίζουμε και τα υπόλοιπα μεγέθη του προβλήματος Δημιουργούμε την εξίσωση Λύνουμε την εξίσωση και ελέγχουμε την λύση 8. Τι ονομάζεται ανίσωση; Τι ονομάζεται επίλυση μιας ανίσωσης 9. Παρατήρηση : Επίλυση Ανίσώσεων Ιδιότητες Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε στα μέλη μιας ανίσωσης τον ίδιο αριθμό προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά δηλαδή, α β α γ β γ Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μια ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά δηλαδή, α β αγ βγ όταν γ 0 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μια ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά δηλαδή, α β αγ βγ όταν γ 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση ακολουθούμε τα ίδια βήματα όπως και στις εξισώσεις

20 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις Ασκήσεις & Προβλήματα 7 Εισαγωγή Η Έννοια της Εξίσωσης. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Εξίσωση Άγνωστος Άγνωστοι όροι Γνωστοί όροι = φ + φ φ = 0 t t + = 7t + y + y + y + = y 0 = ω + ω. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω εξισώσεις επαληθεύονται από τους αντίστοιχους αριθμούς. i) ( ) ( ) ( ) και = ii) iii) 7 και = 7 iv) 7 και = 7 και =. Να γράψετε συμβολικά: i) Το τριπλάσιο ενός αριθμού ii) το διπλάσιο του ελαττωμένο κατά 6 iii) το μισό ενός αριθμού αυξημένο κατά iv) τo ενός αριθμού αυξημένο κατά. Να γράψετε συμβολικά: i) δυο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς ii) έναν άρτιο φυσικό αριθμό iii) έναν περιττό φυσικό αριθμό iv) ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του. Να γράψετε συμβολικά: i) την περίμετρο ενός ρόμβου ii) την περίμετρο ενός ισόπλευρου τριγώνου iii) την περίμετρο ενός τετράγωνου iv) την περίμετρο ενός ορθογωνίου αν η μια πλευρά του είναι 6. Να γράψετε συμβολικά: i) την πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου με περίμετρο τ ii) την ηλικία του Κώστα αν είναι χρόνια μεγαλύτερος από το Νίκο iii) από ένα αριθμό αφαιρούμε το διπλάσιο του και κατόπιν προσθέτουμε τα ¾ του παλιού αριθμού iv) Ο Νίκος έχει κάρτες περισσότερες από το / αυτών που έχει ο Κώστας v) τον έναν από τους δυο αριθμούς που έχουν γινόμενο 0 όταν ο άλλος είναι ο vi) δύο αριθμούς έχουν άθροισμα vii) το γινόμενο δυο αριθμών που διαφέρουν κατά 0 7. Να εκφράσετε με εξισώσεις τις προτάσεις: i) το άθροισμα δυο διαδοχικών αριθμών είναι 0 ii) το άθροισμα δύο αριθμών όταν ο ένας είναι διπλάσιος από τον άλλο, ισούται με iii) αν τριπλασιάσουμε τα χρήματα της Ελένης και αφαιρέσουμε από αυτά 0 θα βρούμε περισσότερα από όσα έχει. iv) ο Κώστας έχασε αυτοκινητάκια και τώρα έχει τα ¾ αυτών που είχε πρώτα

21 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 8 v) Ένας περιττός αριθμός αυξημένος κατά 9 ισούται με το διπλάσιο του επομένου του, άρτιου vi) το και το 9 ενός αριθμού έχουν διαφορά 8. i) Να παραστήσετε με μια μεταβλητή διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. ii) αν οι πάνω αριθμοί έχουν άθροισμα 90 να σχηματίσετε εξίσωση Επίλυση Εξισώσεων 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) = ii) 8 = iii) = iv) = 9 v) 7 = vi) + = 8 vii) = 9 viii) + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις i)ω = ω + ii) = iii) + = iv) z + 8 = 6z 0 v),φ. =, + φ vi) 7 + = + vii) + = + viii) 0,ω +, =,ω 0,. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + ) = ( ) + ii) 7( ) ( ) = 9 + l iii) ( + ) = iv) ( + ) = v) ( + ) = ( + 7) vi) = ( + ) +. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + ) = 6 ( 9) 7 ii) ( ) + = ( + ) iii) iv) (ω + ) + (ω ) = (ω 7) + 8 v) 0 + (y + ) + (y + 9) y = 8(y + ) + vi) + + ( + ) = 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 0 ii) 0 0 iii) ( ) = 6 iv) ( ) = ( ). Να λύσετε τις εξισώσεις i) v) 6 7 ii) iii) iv) 9 vi) vii) viii) 6. Να λύσετε τις εξισώσεις 8 7 i) 0 α α iv) α ii) v) iii) 9 α 7 α vi) Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( ) + 9 = 8 ( ) + ii) iii) 8 ( ) 6 6 iv) 9( + ) = 0( + ) +

22 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 9 7. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ii) 6 iii) iv) 6 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( + ) = + ii) iii) 6 6 v) 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 0 6 ii) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) ) ( 6 ) ( ) 7(. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 7 ii) 7 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ) 9( ) ( ) ( ) ( ii) Να λύσετε την εξίσωση: Αν λ είναι η τιμή της παράστασης : ( ) 00 + ( ) 0 + ( ) 0 να λύσετε τις εξισώσεις: i) λ ii) 0 λ λ iii) λ. Δίνεται η εξίσωση όπου ο άγνωστος και α ρητός αριθμός. Ποια πρέπει να είναι η τιμή του α για να επαληθεύεται η εξίσωση α για = ; α α α 6. Δίνεται η εξίσωση λ λ λ όπου λ είναι ένας αριθμός και ο άγνωστος. Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ για να επαληθεύεται η εξίσωση για = ; 7. Δίνεται η εξίσωση ( ) = + 8. Αν ο αριθμός λ είναι η λύση της εξίσωσης, τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = (λ + ) λ λ( λ) + λ λ (8 λ) 8. Να λύσετε την εξίσωση: 6 9. Να βρείτε τον α ώστε η εξίσωση (α ) = 6 να είναι αδύνατη

23 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 0 0. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε η εξίσωση λ να είναι αόριστη. Έστω η εξίσωση μ 9 7 όπου το είναι ο άγνωστος και το μ είναι κάποιος πραγματικός αριθμός. Να βρείτε το μ έτσι ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη. Επίλυση Τύπων. Λύστε τον τύπο ως προς F : F = F + F. Ο τύπος V α β γ του όγκου ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου να λυθεί ως προς β. Να λυθεί ο τύπος του εμβαδού τριγώνου E βυ ως προς υ. B β. Να λυθεί ο τύπος του εμβαδού τραπεζίου Ε υ ως προς Β και υ. 6. Η καταστατική εξίσωση των αερίων είναι PV = nrt. Να λυθεί ο τύπος ως προς: i) Ρ ii) V iii) R iv) Τ 7. To εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου με ακτίνα βάσης ρ και ύψος υ είναι: Ε = πρυ + πρ. Να λυθεί ο τύπος ως προς υ. 8. Να λύσετε τον τύπο V = V o ( + αθ) i) ως προς V o ii) ως προς θ 9. Να λύσετε τον τύπο E mυ mgh i) ως προς h ii) ως προς g 0. Η σχέση που συνδέει τα ακτίνια α και τις μοίρες μ είναι α π μ 80. Να λυθεί ο τύπος ως προς: i) α ii) μ. Επίλυση Προβλημάτων με Εξισώσεις. Να βρεθεί ένας αριθμός που το τριπλάσιό του ελαττωμένο κατά 7 να είναι ίσο με το διπλάσιό του αυξημένο κατά.. Υπάρχει αριθμός που να είναι ίσος με τον αντίθετό του;. Αν στο τετραπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε 0 βρίσκουμε το πενταπλάσιο του. Να βρεθεί ο αριθμός.. Δυο αριθμοί διαφέρουν κατά και ο λόγος τους είναι /7. Βρείτε τους αριθμούς.. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς με άθροισμα 8.

24 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 6. Δίνονται τα κλάσματα και. Βρείτε έναν αριθμό που αν αφαιρεθεί από τους αριθμητές τους, τότε να προκύψουν ίσα κλάσματα. 7. Αν από το πενταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρέσουμε τον, βρίσκουμε τα του αριθμού αυξημένα κατά. Ποιος είναι ο αριθμός; 8. Να βρεθεί αριθμός που το διπλάσιο του αυξημένο κατά ισούται με το τριπλάσιο του ελαττωμένο κατά Βρείτε έναν αριθμό που αν προστεθεί στους όρους του κλάσματος 7 9 θα προκύψει το κλάσμα Ένα πεπόνι ζυγίζει κιλό και μισό πεπόνι. Πόσο είναι το βάρος του;. Να χωριστεί ο αριθμός σε δύο άλλους αριθμούς, έτσι ώστε το οκταπλάσιο του πρώτου να είναι ίσο με το δεκαπλάσιο του δεύτερου.. Κάποιος αγόρασε ένα σακάκι με έκπτωση 7%. Πλήρωσε 86. Πόσο έκανε το σακάκι πριν την έκπτωση;. Ο Σπύρος έδωσε ένα τεστ 80 ερωτήσεων. Για κάθε σωστή απάντηση έπαιρνε βαθμούς. Για κάθε λάθος απάντηση έχανε βαθμό. Η τελική του βαθμολογία ήταν 9 βαθμοί. Πόσες σωστές και πόσες λάθος απαντήσεις έδωσε;. Ένας πατέρας είναι 8 χρονών και ο γιος του 7. Μετά πόσα χρόνια ο πατέρας θα έχει διπλάσια ηλικία από τον γιο του;. Ο πατέρας της Αλέκας έχει τετραπλάσια ηλικία από αυτή. Αν μετά από χρόνια θα έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη του να βρείτε τη σημερινή ηλικία της Αλέκας. 6. Χωρικός ρωτήθηκε πόσα πρόβατα και πόσες κότες έχει και απάντησε ως εξής τα ζώα μου έχουν όλα μαζί κεφάλια και 8 πόδια. Πόσα πρόβατα και πόσες κότες είχε ο χωρικός; 7. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το μήκος του είναι το τετραπλάσιο του πλάτους του ελαττωμένο κατά. Η περίμετρός του είναι cm. Βρείτε το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου. 8. Κάποιος πήρε το εφάπαξ από τη δουλειά του. Από αυτά τα χρήματα έδωσε τα μισά και πήρε ένα αυτοκίνητο. Έδωσε και το ένα τρίτο για τις σπουδές του γιου του. Τα χρήματα που του απέμειναν είναι 0. Πόσο ήταν το εφάπαξ; 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια της Γ και η Β είναι διπλάσια της Γ. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου. 60. Η γωνία Β τριγώνου ΑΒΓ είναι τα της γωνίας Α και η γωνία Γ είναι το της γωνίας Β. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου. 6. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 0cm. Η βάση του τριγώνου είναι ίση με το μισό της κάθε μιας από τις ίσες πλευρές αυξημένο κατά. Βρείτε την κάθε μια πλευρά του τριγώνου.

25 Κεφάλαιο Εξισώσεις Ανισώσεις 6. Μια βρύση γεμίζει άδεια δεξαμενή σε ώρες και μια δεύτερη βρύση την γεμίζει σε ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή αν ανοίξουμε την πρώτη βρύση και μετά από ώρες ανοίξουμε και την δεύτερη. 6. Το άθροισμα των ηλικιών ατόμων είναι 00. Ο μεγαλύτερος έχει ηλικία ίση με το άθροισμα των ηλικιών των άλλων δύο και ο μικρότερος είναι 0 χρόνια μικρότερος από τον μεσαίο. Αν είναι η ηλικία του μικρότερου να εκφράσετε: i) την ηλικία του μεσαίου με την βοήθεια του ii) την ηλικία του μεγαλύτερου με την βοήθεια του iii) να βρείτε μια εξίσωση έτσι ώστε λύνοντας την να υπολογίσετε τις ηλικίες των τριών ατόμων. Ανισώσεις 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 6 ii) < iii) > 0 iv) 0 v) y < 6 vi) φ < vii) 9 6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 7 ii) + < + iii) ( + ) < + iv) + + v) ( + ) + > 0 vi) y + (y + 8) < + 8y vii) 6t (t ) t + viii) φ ( φ) φ 66. Να λύσετε τις ανισώσεις: ii) 6 iii) iv) 0 0 i) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 6 8 και 7 και Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 0 και 7. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και 6 7. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και 7. Να λυθεί η ανίσωση: Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και και

26 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί Η Θεωρία με Ερωτήσεις. Nα διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Που χρησιμεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα;. Nα διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Που χρησιμεύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος;. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; Ορίζεται τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί;. Ποιο σύνολο ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών; 6. Τι ονομάζουμε σύστημα ορθογωνίων αξόνων και τι ορθοκανονικό σύστημα αξόνων; Τι ονομάζουμε τεταρτημόρια; 7. Έστω ένα σημείο Μ στο επίπεδο. Τι ονομάζουμε τετμημένη του Μ, τι τεταγμένη του Μ και τι συντεταγμένες του Μ; Να δώσετε ένα παράδειγμα. 8. Ποια σημεία του επιπέδου έχουν τετμημένη μηδέν και ποια έχουν τεταγμένη μηδέν; Να δώσετε από ένα παράδειγμα.

27 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί Ασκήσεις & Προβλήματα Το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ένα τρίγωνο ορθογώνιο (Α=90) έχει κάθετες πλευρές ΑΒ = cm και ΑΓ = cm. Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ.. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι ΒΓ = 0cm και η μία κάθετη πλευρά του ΑΒ = 6cm. Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ.. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στη γωνία Α έχει κάθετες πλευρές ΑΒ = 6cm και ΑΓ = 8cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου που σχηματίζετε με πλευρά την υποτείνουσα ΒΓ.. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές α = cm, β = 0cm και γ = cm. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνιο.. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνιο το τρίγωνο με πλευρές 0cm, cm και cm. 6. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει διαστάσεις 6cm και 7cm. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο του. 7. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά τη διαγώνιο ενός άλλου τετραγώνου που η πλευρά του είναι cm. 8. Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι cm και η μία διάσταση του είναι cm. Να βρεθεί η άλλη διάσταση και το εμβαδόν του. 9. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ = 0cm και ΒΓ = cm. Να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου ΑΔ. 0. Να δείξετε ότι το διπλανό τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. Να βρεθεί το εμβαδόν ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ, Α = Δ = 90 ο και ΔΓ = 6, ΑΔ = 8, ΒΓ = 0.. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ = 0cm και ΒΓ = 6cm. Να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή Α.. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 8cm και περίμετρο 8cm. Να βρεθεί το ύψος του και το εμβαδόν του.. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΒΓ = 0,m. Αν το ύψος που φέρνουμε από την κορυφή Α είναι 0,m να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου.. Να βρείτε το ύψος και το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά α = cm. 6. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος 7. Να βρείτε το εμβαδόν τετραγώνου που σχηματίζετε με πλευρά το ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 6cm. 8. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι ορθογώνιο.

28 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί 9. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα ΒΓ = 7cm και ΑΒ = 8cm. Να βρείτε το εμβαδόν του. 0. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει ύψος 6cm. Να βρείτε την πλευρά και το εμβαδόν του.. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε την ΕΒ και το εμβαδόν του τριγώνου ΔΒΕ. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει υποτείνουσα 6cm. Να βρείτε το εμβαδόν του.. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Αν είναι ακόμη ΑΒ = 8cm, ΒΓ = cm και ΔΓ = 0cm να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.. Στο διπλανό τρίγωνο να υπολογίσετε το.. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσα είναι 6 cm και η μία κάθετη πλευρά του είναι τριπλάσια της άλλης. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου. 6. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α και ύψος υ να δείξετε ότι υ = α. 7. Στο διπλανό σχήμα να δείξετε ότι δ α β γ Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού 8. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες:, 6, 00, 6, 6, 0,,,, Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες: ,,,,,,, Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες: 0, 6, 0, 6, 0,,,, 0, 0. Να βρείτε το μήκος της πλευράς α, ενός τετραγώνου που έχει εμβαδόν: i) 8 cm ii) 69 cm. Να συγκρίνετε τα παρακάτω ζευγάρια αριθμών: i) 6 και ii) 9 και iii) 7 9 και 0 iv) 7 8 και 6. Να συγκρίνετε τα παρακάτω ζευγάρια αριθμών: i) και ii) και iii) 7 και 7 iv) 6 και. Υπολογίστε την παράσταση Α= ( ). Να συγκρίνετε τους αριθμούς: i) 6 και ii) 8 και 8 iii) και iv) ( ) και v) και

29 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί 6 6. Εξετάστε αν οι αριθμοί 6 6 και 6 6 είναι ίσοι 7. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) ii) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) 9 8 ii) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) A =,, 0, 8 ii) B = 0,0 00 0,0 0 0, 0. Αν είναι α = και β = 9. Να υπολογίσετε την παράσταση: A α 9 α α β. Να βρείτε το μήκος της πλευράς α ενός τετραγώνου που έχει εμβαδόν i) 0, cm ii) 0,006 m.. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 8 cm και περίμετρο 8 cm. Να βρεθεί το ύψος του και το εμβαδόν του.. Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι cm και η μία διάσταση του είναι cm. Να βρεθεί η άλλη διάσταση και το εμβαδόν του.. Για ποιες τιμές του έχει νόημα η παράσταση ( ) ( ) Άρρητοι Αριθμοί. Να βρείτε προσεγγιστικά τις ρίζες: 0, 0, 00,, 60,, 7, 6. Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου τους άρρητους 88, 0, Να υπολογίσετε με προσέγγιση εκατοστού τους άρρητους 88, 88, 9, 7 8. Οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου έχουν μήκη 6 cm και 7 cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την υποτείνουσα του τριγώνου. 9. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο με πλευρές α= cm β= cm και γ= cm είναι ορθογώνιο. 0. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο τετραγώνου πλευράς cm.. Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο cm, να υπολογιστεί η πλευρά του.. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει ύψος 6 cm. Να βρείτε την πλευρά και το εμβαδόν του.. Το ύψος ισοπλεύρου τριγώνου είναι 7cm. Να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου.. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά cm να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

30 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί 7. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει εμβαδόν 0 cm και η μία κάθετη πλευρά του είναι cm. Να υπολογίσετε τις άλλες δύο πλευρές του. 6. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 7cm και η μια κάθετη πλευρά του είναι 8cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του. 7. Να υπολογίσετε την πλευρά ενός τετραγώνου που έχει διαγώνιο με μήκος cm 8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = ΑΓ = 0,m και το ύψος του ΑΔ είναι dm. Να υπολογιστεί η περίμετρος του τριγώνου και το εμβαδόν του. 9. Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου έχει μήκος 6,cm και η βάση είναι 6cm.Να υπολογισθεί το εμβαδόν του. 60. To ύψος ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι cm Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς του και το εμβαδόν του. 6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6 cm και cm. Να βρεθεί η περίμετρος του. 6. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει υποτείνουσα 6 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του. 6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα ΒΓ = 7 cm και ΑΒ = 8 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του. 6. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 6 cm και η μία κάθετη πλευρά του είναι διπλάσια της άλλης. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. 6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 6cm και 8cm. i) Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσάς του. ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. iii) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. iv)να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων στα οποία χωρίζει το ύψος την υποτείνουσα 66. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 6,cm και ΒΓ=cm. i) Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε το ύψος του ΑΔ. ii) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. iii) Να χρησιμοποιήσετε το εμβαδόν του για να υπολογίσετε και τα άλλα ύψη του τριγώνου. 67. Σε ισοσκελές τρίγωνο κάθε μια από τις ίσες πλευρές του είναι cm μεγαλύτερη από την βάση. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 6cm να υπολογίσετε: i) την πλευρά του ii) το ύψος του και iii) το εμβαδόν του τριγώνου. Οι Πραγματικοί Αριθμοί 68. Να παραστήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών τον αριθμό 0 με κανόνα και διαβήτη. 69. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A 8 9 ii) B ( ) Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A 7 7 ii) B 6

31 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί 8 7. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A 7 ii) B 7 7. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A ii) B ( ) ( ) 7. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A 0 6 ii) B 7 7. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) 60 A ii) 6 B 8 ( ) 7. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A ( ) ( ) ii) B ( )( ) 76. Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) A ( ) ( 7) ( ) ii) B ( 8 ) ( 8 ) 7 iii) Γ ( 7) ( 7) iv) Δ ( 6 7) ( 8 ) 77. Να υπολογίστε την παράσταση: A 78. Να βρείτε με προσέγγιση ρητού τα εξαγόμενα: i) ii) Να λυθούν οι εξισώσεις i) ii) ii) Να υπολογίστε την παράσταση: Α Να υπολογίστε τις παραστάσεις: i) ii) Αν α = 7 τότε να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) A α α ii) Β 8 α α iii) Γ 7 α 8. Αν = τότε να υπολογίσετε την παράσταση Α=( + )( ) Να λυθούν οι εξισώσεις i) ii) 8. Η βάση ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι τα του ύψους του και η περίμετρος του 70cm. Να βρεθούν: i) οι πλευρές του ii) το εμβαδόν του και iii) η διαγώνιος του. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 86. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που ορίζουν τα παρακάτω ζεύγη: (,0), (, ), (, ), ( 6,), (,)

32 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκονται τα σημεία: Α(, ), Β(, ), Γ(, 8), Δ(, 9), Ε(,,,) 88. Σε κατάλληλο σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία: Α (00, 00), Β ( 00, 00), Γ(600, 00), Δ(0, 00), Ε(00, 0), Ζ( 0, 0) 89. Δίνονται τα σημεία Α(0,) και Β(,). Να βρείτε την απόσταση ΑΒ. 90. Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(,), Β(,) και Γ(,7) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 9. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(, 6): i) από τον άξονα ii) από τον άξονα y y iii) από την αρχή των αξόνων 9. Σε ένα σύστημα αξόνων παίρνουμε τα σημεία Α(, ), Β(, ), Γ(,), Δ(,). Να βρείτε τι τετράπλευρο είναι το ΑΒΓΔ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 9. Σ' ένα σύστημα αξόνων να γραμμοσκιάσετε τις περιοχές του επιπέδου που i) δεν έχουν θετική τεταγμένη ii) δεν έχουν αρνητική τετμημένη iii) δεν έχουν τετμημένη και τεταγμένη ομόσημες 9. Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β(, 7). Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α και Β 9. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α(0, ) και Β(, 6). 96. Σε ένα σύστημα αξόνων να πάρετε τα σημεία Α(0,), Β(,), Γ(, ) και να υπολογίσετε τη περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. 97. Σε ένα σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία Α(0,) Β(, ) και Γ(, ).Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ. 98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ όπου Α(,) Β(,) και Γ(,7) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 99. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος με κορυφές τα σημεία Α(, ), Β(, ), Γ(,), Δ(,). 00. Σε ένα σύστημα αξόνων να σημειώσετε τα σημεία Α(,) και Β(, ) i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. ii) Να αποδείξετε οτι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι και ορθογώνιο. 0. Σ ένα σύστημα αξόνων να πάρετε τα σημεία Α(,) Β(,) και Γ(,) i) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ii) Να υπολογίσετε την περίμετρο του. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 0. Σ ένα σύστημα αξόνων να πάρετε τα σημεία Α(8, ) Β(0, 7) και Γ(0, ). i) Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ ii)τι είδος τρίγωνο είναι το ΑΒΓ (Να δικαιολογηθεί η απάντηση). iii)να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

33 Κεφάλαιο Οι Πραγματικοί Αριθμοί 0 0. Σ ένα σύστημα αξόνων να πάρετε τα σημεία Α(, ) και Β(, ) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΒ και να βρείτε την απόσταση των σημείων Α, Β από τους άξονες και από την αρχή των αξόνων. 0. Να βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου που έχουν: i) τετμημένη ii) τεταγμένη iii) τετμημένη ίση με την τεταγμένη 0. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το σημείο Μ(λ, λ + ) να είναι i) Στον άξονα ' ii) Στον άξονα y'y 06. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ το σημείο Μ(λ +, ) είναι: i) στο ο τεταρτημόριο ii) στο ο τεταρτημόριο. 07. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(, 0), Β(, ), Γ(, ), Δ(, 0), Ε(, ) βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πόσο είναι η ακτίνα του κύκλου;

34 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία Κεφάλαιο Τριγωνομετρία Η Θεωρία με Ερωτήσεις. Τι λέγεται λόγος δύο μεγεθών; Τι είναι ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ; Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι πάντα θετικός;. Έχει o λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων μονάδες μέτρησης; Εξαρτάται ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων από τη μονάδα που τα μετρήσαμε;. Να αναφέρετε δυο τρόπους που μπορούμε να συγκρίνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα;. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας γωνίας;. Όταν μια οξεία γωνία αυξάνει η εφαπτομένη της πως μεταβάλλεται; Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός; 6. Τι ονομάζουμε κλίση μιας ευθείας; 7. Πως ορίζονται το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου; 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο να δείξετε ότι β β ημβ και συνγ. Αυτό ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο; α α 9. Έχουμε μάθει ότι οι λόγοι ευθύγραμμων τμημάτων είναι θετικοί αριθμοί. Τι τιμές μπορούν να πάρουν το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας; 0. Καθώς μια οξεία γωνία αυξάνει, πως μεταβάλλεται το ημίτονο και το συνημίτονο της;. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: ημ Α συν Α και. Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ;. Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 0 και 60 ; εφα ημα συνα

35 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία Ασκήσεις & Προβλήματα Λόγος Ευθυγράμμων Τμημάτων α β α. Δύο ευθύγραμμα τμήματα α, β έχουν μήκη α = cm και β = cm. Να υπολογίσετε τους λόγους:,, β α β. Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα α, β. Να υπολογίσετε τον λόγο β α αν: i) α = β ii) α = β iii) β = 0,α iv) β = 0,α. Να βρείτε το λόγο της περιμέτρου ενός τετραγώνου προς την πλευρά του.. Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ = 9m και ΑΔ = 0m. Να υπολογίσετε AB AΔ AB ΒΓ ΓΔ ΔΑ BΓ ΑΒ AB τους λόγους: i) ii) iii) iv) v) ΑΔ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΓ. Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν λόγο AB ΓΔ 0,. Να βρείτε το λόγο. ΓΔ ΑΒ o 6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 AB AB A Γ,,. ΑΓ ΒΓ ΒΓ ) είναι ΑΒ = 6cm και ΑΓ = 8cm. Να υπολογίσετε τους λόγους 7. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α = 6cm. Να φέρετε το ύψος του ΑΔ και να βρείτε το λόγο του ύψους προς την πλευρά του τριγώνου. 8. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα ΒΓ = cm και ΑΒ = 7cm. Να βρείτε το λόγο κάθε μιας από τις κάθετες πλευρές προς την υποτείνουσα. ΒΓ 9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 0m και ύψος ΑΔ = 6m. Να βρείτε το λόγο. ΑΒ ΓΔ 0. Δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = cm και ΓΔ = 8cm. i) Να υπολογίσετε τον λόγο. ΑΒ ΓΔ ii) Αν καθένα ευθύγραμμο τμήμα αυξηθεί κατά cm να υπολογίσετε πόσο θα είναι ο νέος λόγος ; ΑΒ. Ποιος από τους λόγους και είναι μεγαλύτερος; 6. Ένα ευθύγραμμο τμήμα α είναι φορές μεγαλύτερο από ένα άλλο τμήμα β. Να βρείτε τους λόγους: α β α β α β α β i) ii) iii) iv) v) β α β β α β

36 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία. Να εξετάσετε πότε και πώς μεταβάλλεται ο λόγος β α δύο ευθυγράμμων τμημάτων α, β αν; i) εξαπλασιάσουμε και το α και το β ii) τετραπλασιάσουμε το α iii) δεκαπλασιάσουμε το α και διπλασιάσουμε το β.. Αν γνωρίζετε ότι ο λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος α προς ένα ευθύγραμμο τμήμα β είναι 9 να υπολογίσετε τους λόγους: i) β 9α ii) β 7α. Ο λόγος του ύψους α ενός πατέρα προς το ύψος β του γιου του είναι. α β α Να αποδείξετε ότι: i) ii) β α β 6. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = cm. Ένα σημείο Μ χωρίζει το ΑΒ σε δύο τμήματα ΑΜ και ΜΒ AM ώστε. Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΜ και ΜΒ. MB α β γ 7. Αν α, β, γ και δ είναι ευθύγραμμα τμήματα τέτοια ώστε,, να υπολογίσετε τους β γ δ λόγους: i) γ α ii) δ β iii) α δ 8. Αν α, β, γ είναι ευθύγραμμα τμήματα, τέτοια ώστε: α γ α β γ δ να αποδείξετε ότι. β δ β δ Εφαπτομένη Γωνίας Κλίση Ευθείας 9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ = 8cm και ΑΓ = 0cm. Να βρείτε τις εφαπτόμενες των οξειών γωνιών του τριγώνου. 0. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ τέτοιες ώστε ΑΒ = ΑΓ. Να βρείτε τις εφαπτομένες των γωνιών Β και Γ.. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â 90 είναι ΑΒ = 0,ΑΓ. Να υπολογίσετε την εφ Βˆ και την εφ Γˆ.. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 90 πλευράς ΑΓ. Â είναι ΑΒ = 6m και εφ Γˆ = 0,6. Να υπολογίσετε το μήκος της. Να κατασκευάσετε μια γωνία ωˆ τέτοια ώστε εφω = 0,8.. Αν η κλίση του δρόμου ΔΕ είναι 8%, να υπολογίσετε πόσα μέτρα είναι ψηλότερα το σημείο Ε από το σημείο Ζ.. Τεχνίτης τοποθέτησε τη βάση της σκάλας σε απόσταση, m από τον κάθετο τοίχο ΑΓ και ανέβηκε σε ύψος 6m. Ποια είναι η κλίση της σκάλας;

37 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία 6. Σε ένα τόπο οι ακτίνες του ήλιου κάποια στιγμή έχουν κλίση 90%. Αν τη στιγμή αυτή η σκιά ενός δέντρου είναι m να βρείτε το ύψος του δέντρου. 7. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο οξειών γωνιών Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστροφοι αριθμοί. 8. Η κλίση του ανηφορικού δρόμου ΑΒ είναι 0%. Να υπολογίσετε την κλίση του δρόμου ΓΔ αν γνωρίζετε ότι το σημείο Δ βρίσκεται m ψηλότερα από το Α. 9. Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΔΓ είναι ορθογώνια με τις γωνίες Α και Δ ορθές και τις γωνίες της κορυφής Γ ίσες. Να αποδείξετε ότι: ΑΒΓΔ = ΑΓΕΑ 0. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εφ Γˆ = και ΑΒ = 0 cm. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου.. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με Â 90 ότι ΑΒ = cm, ΑΓ = cm και ΓΔ =,cm., αν γνωρίζετε. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 β γ Â ) ισχύει: εφγ εφβ α α Â ) ισχύει η σχέση: εφβ α γ Ημίτονο και Συνημίτονο Οξείας Γωνίας. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των οξειών γωνιών των παρακάτω τριγώνων.. Οι κάθετες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι 7cm και 0cm αντίστοιχα. να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του. 6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η υποτείνουσα είναι cm και η κάθετη πλευρά ΑΒ είναι cm. Να βρείτε τις οξείες γωνίες του.

38 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία 7. Να κατασκευάσετε μια γωνία φ,ώστε να ισχύει i) ημφ ii) συνφ o 8. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ) είναι ημβ = 0,8 και ΒΓ = 0cm. Να υπολογίσετε i) το συνβ ii) το εμβαδόν του τριγώνου 9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â 90, 7 συνγ και ΑΓ = m. Να υπολογίσετε: i) Το ημγ ii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 0. Αν σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = α, ΑΓ = β, ΑΒ = γ και υ το ύψος ΑΔ, να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ είναι: E α γ ημβ. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε: i) την ΑΓ ii) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β ημβ συνβ iii) την τιμή της παράστασης A εφβ. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ) να δείξετε ότι ισχύει η σχέση; ημβ + συνβ = ημγ + συνγ. Αν ω και φ, οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, να βρείτε ποιες τιμές μπορούν να πάρουν οι παρακάτω παραστάσεις: i) Α = + ημω ii) Β = συνφ iii) Γ = + ημω συνφ. Να αποδείξετε τους παρακάτω τύπους όπου ω μία οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου.: i) ημω συν ω ii) συνω ημ ω iii) εφ ω iv) συν ω ημ ω εφ ω. Αν σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ = υ να δείξετε ότι: ημβ ημγ β γ 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â 90, και πλευρές. Να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις: συν ημβ i) Β συν Γ ii) συνβ ημγ iii) εφβ συνβ 7. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90 ημγ συνβ Â ) ισχύει η σχέση: εφγ συνγ ημβ 8. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες Β και Γ ισχύει η σχέση: β γ ημβ συνβ ημγ συνγ α

39 Κεφάλαιο Τριγωνομετρία 6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 0, και Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: i) A ημ0 ημ60 συν0 συν 60 ii) Β εφ εφ Αν είναι ωˆ και φˆ 60, να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: i) A = συνωσυνφ + ημ ω ημωημφ ii) Β = (ημω συνω) + (συνω + ημω) (συνφ ημφ) o. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 90 ) είναι ΒΓ = 8cm και Bˆ. Να υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του. o. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( Â 90 ) είναι ΑΒ = cm και Bˆ 0. Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ.. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει Bˆ 0 και Γˆ και ύψος ΑΔ = 0cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν ισχύει: ημω = 0. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Â, Bˆ 6 και ΑΒ = cm. Να βρεθούν οι πλευρές ΑΓ, ΒΓ και το εμβαδόν του. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 0 cm και Â 80. Αν το ύψος του ΑΔ είναι cm να υπολογίσετε τις γωνίες του Bˆ, Γˆ και τις πλευρές του ΑΓ και ΒΓ. 7. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Â 0, ΑΔ = 0 cm και ΑΒ = 0 cm. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΕ και το εμβαδό του παραλληλογράμμου. 8. Ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( 90 Â ) η γωνία Bˆ 7. Αν το ύψος που φέρνουμε από την κορυφή Α προς την υποτείνουσα είναι cm, να βρεθεί η υποτείνουσα ΒΓ. 9. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = ΑΓ = cm και Â 0. Να υπολογίσετε την περίμετρο του. 60. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι 0 το εμβαδόν του τριγώνου. 6. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΓ = 0cm, ΒΓ = cm και Γˆ 0 Â, Γˆ και ύψος ΑΔ = 0cm. Να βρείτε τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ και. Να βρείτε: i) την πλευρά ΑΒ ii) το ύψος ΑΔ iii) το εμβαδόν του 6. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ = cm, ΑΓ = 9cm και Â 60. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. 6. Ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ έχει ΑΒ = 0cm ΓΔ = 6cm και Â Bˆ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. o 6. Να αποδείξετε ότι αν το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ) έχει μια οξεία γωνία ίση με 0 ο, τότε η απέναντι αυτής της γωνίας κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας.

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017

3, ( 4), ( 3),( 2), 2017 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα. Μέρος Α Άλγεβρα. 1. Να γίνουν οι πράξεις: α. Α=(-3)(-4)+3[(-3).4+(-6) ] β. Β=--8.3+7[7(-3)+(-)(-1)] 8 γ. Γ= 3 ( ) ( 8) 3 9 3 δ. Δ=(-3+9-)(3-9)+(9-0)(4:+).

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών

Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών Μαθηματικά Β Γυμνασίου Α σ κήσεις για τ ι ς μέρες των Χριστ ουγεννι άτ ι κ ων διακ οπών 1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω φράσεις: a. Η διαφορά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)

ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α) Για την εξίσωση 6x 3x 1 0 ισχύει α = 3, β = -6, γ = 1 β) Η εξίσωση 3 0 δέχεται σαν λύση τον αριθμό. x 3x 3 ιι) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα