3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Transcript

1 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m, ˆ 63 ο κι ˆΠ 56 ο, ν βρείτε την πόστση των πύργων κι. ˆ 8 ο ˆ ˆΠ 8 ο 63 ο 56 ο 6 ο 3 Νόµος ηµιτόνων: ηµ 56 ηµ 6 3 ηµ6 63 ηµ 56 3m 56 Π. Ένς συλλέκτης ηλικής κτινοβολίς µήκους 5 m είνι τοποθετηµένος στην οροφή ενός κτιρίου, όπως δείχνει το διπλνό σχήµ. Ν υπολογίσετε το µήκος του βρχίον µε τον οποίο στηρίζετι ο συλλέκτης. Θέλουµε ν υπολογίσουµε το µήκος του τµήµτος ˆ 5 ο 35 ο 5 ο ˆ 9 ο + 35 ο 5 ο σν εξωτερική του τριγώνου Νόµος ηµιτόνων στο τρίγωνο : ηµ 5 5 ηµ5 5ηµ 5 ηµ 5

2 3. Στο διπλνό σχήµ ν ποδείξετε ότι: d. ηµ x i) d. ηµ x. ηµ y ii) x y d i) y x + ˆ σν εξωτερική του τριγώνου ˆ y x Νόµος ηµιτόνων στο τρίγωνο : ηµ x d d. ηµ x ii) Στο τρίγωνο είνι ηµy. d. ηµ x ντικτάστση του : ηµy d. ηµ x. ηµ y 4. Ν ποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο µε 3, β κι 3 ο. ν υπήρχε τέτοιο τρίγωνο, µε το νόµο ηµιτόνων θ είχµε 3 β ηµ ηµ 3 ηµ 3 ηµ3 ο 3 3 ηµ 3 ηµ3 ο > 3 ηµ3 ο 3 που είνι άτοπο.,5 >, 5. Ν υπολογίσετε τη γωνί θ του διπλνού σχήµτος. Νόµος συνηµιτόνων: ( ) 4, συνθ 8, συνθ θ 3 4,5 συνθ 3 8,6 συνθ 5,6 συνθ 5,6

3 3 6. έλος Ν υπολογίσετε το µήκος του έλους του διπλνού σχήµτος Νόµος συνηµιτόνων: συν συν6 ο συν6 ο Π 7. Ν υπολογίσετε τη γωνί θ του ορθογωνίου κουτιού του διπλνού σχήµτος. Με Πυθγόρει θεωρήµτ υπολογίζουµε τις πλευρές του τριγώνου θ 6 4 Νόµος συνηµιτόνων στο τρίγωνο : συνθ συνθ 5συνθ 3..5συνθ 6 5 συνθ συνθ 6 συνθ 65 συνθ

4 4 8. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισότητ συν + συν + συν +β +γ β γ βγ β +γ συν β +γ συν βγ βγ κυκλικά Προσθέτουµε: συν συν β συν γ + συν β γ + β βγ βγ + συν γ +β +γ βγ 9. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισότητ βσυν + γσυν γ + β βσυν + γσυν β + γ β γ + γ + β. ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ βσυν γσυν, ν ποδείξετε ότι β γ κι ντιστρόφως. γ + β βσυν γσυν β γ β γ β γ β γ γ + β γ + β β γ

5 5. ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ β γ κι ντιστρόφως. βσυν β β βσυν, ν ποδείξετε ότι β γ β γ Oµάδς. ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ, ν ποδείξετε ότι i) συν β ii) β γ i) ηµ ηµ ηµ ηµ συν β R συν ( νόµος ηµιτόνων) R ii) συν β β + γ βγσυν (i) β + γ βγ β 3 β + γ β γ 3 γ β β γ ( γ ) β ( γ) ( γ) ( + γ) β ( γ) οπότε ν γ τότε ( + γ) β γ β ενώ ν γ τότε οπότε λόγω κι της θ ήτν 45 ο κι εποµένως 9 ο τότε η ζητούµενη σχέση β γ γίνετι β + γ η οποί ισχύει

6 6. Στο διπλνό σχήµ ν ποδείξετε ότι : (συνx ηµ Το τρίγωνο είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές. 45 K Φέρουµε Κ, οπότε κι το τρίγωνο Κ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές. Στο τρίγωνο Κ ισχύει Κ συνx κι Κ Κ ηµx Εποµένως Κ Κ συνx ηµx (συνx ηµ x 3.i) ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ β ηµ ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. β ηµ R ηµ R ηµ ηµ ηµ 9 ο 3.ii) ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ ηµ βηµ + γηµ ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. β γ ηµ βηµ + γηµ β +γ R R R β +γ ορθογώνιο 4. ν σε έν τρίγωνο ισχύει η ισότητ συν βσυν ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο ή ισοσκελές συν βσυν R ηµ συν R ηµ συν ηµ ηµ ή ή ή + 8 ο + 9 ο 9 ο

7 7 5. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισότητ β +β εφ.εφ β Rηµ Rηµ R(ηµ ηµ) R ηµ συν + 4R ηµ ηµ () +β Rηµ + Rηµ () () R(ηµ + ηµ) R ηµ + συν 4R συν συν () β +β εφ.εφ 6. Στο διπλνό σχήµ ν ποδείξετε ότι: συν θ Νόµος συνηµιτόνων στο τρίγωνο Ο: Ο θ Μ Ο + Ο Ο Ο συν(8 ο θ) () πό το τρίγωνο Ο έχουµε Ο Ο συνθ συνθ συνθ. Θυµόµστε ότι συν(8 ο θ) συνθ () συν θ συνθ ( συνθ) συν θ + συν θ συν θ + 3 +συν θ συνθ 5+ 3συνθ

8 8 7. Ν ποδείξετε ότι γι το διπλνό πρλληλόγρµµο ισχύουν οι ισότητες i) x + y + β ii) ( ) βηµω x Ο ω β y i) Νόµος συνηµιτόνων στο τρίγωνο Ο: Νόµος συνηµιτόνων στο τρίγωνο Ο: x y + + β β συνω β β συν(8 ο ω) Άρ x + y + β + + β β( συνω) β + β συνω ii) ( ) 4 (Ο) 4..β ηµω β ηµω