ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ. Ιωάννης Βρόντος ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ιωάννης Βρόντος ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ κέµβριος 6

2 Προτινόµνη Βιβλιογραφία Brooks C (4) Inroducory Economercs for Fnance Cambrdge Unversy Press Zvo, E and Wang, J () Modelng Fnancal me Seres wh S-PLUS, Sprnger- Verlag say, RS () Analyss of Fnancal me Seres Wley Seres n Probably and Sascs

3 Μοντέλα σµυµένης Ετροσκδαστικότητας Μοντέλα Bollerslev,, Chou, RY and Kroner, KF (99) ARCH modelng n fnance - A revew of he heory and emprcal evdence Journal of Economercs, 5, 5-59 Engle, RF (98) Auoregressve condonal heeroskedascy wh esmaes of he varance of UK nflaon Economerca, 5, Bollerslev, (986) Generalzed Auoregressve condonal heeroskedascy Journal of Economercs, 3, Nelson, DB (99) Condonal heeroskedascy n asse reurns: A new approach Economerca, 59, Εκτίµηση Μοντέλων Forenn, G, Calzolar, G and Panaon, L (996) Analyc Dervaves and he compuaon of GARCH Esmaes Journal of Appled Economercs,, Εφαρµογές στα Χρηµατοοικονοµικά Hedge Funds Performance Edwards, FR and Caglayan, MO () Hedge fund performance and manager skll Journal of Fuures Markes,,, -8 Agarwal, V and Nak, NY (4) Rsks and porfolo decsons nvolvng hedge funds Revew of Fnancal Sudes, 7,, Vronos, SD, Vronos, ID and Gamourds, D (8) Hedge Funds prcng and model uncerany, o appear a Journal of Bankng and Fnance, 3, Porfolo Consrucon Gamourds, D and Vronos, ID (7) Hedge fund porfolo consrucon: A comparson of sac and dynamc approaches, Journal of Bankng and Fnance, 3, 99-7 Value a Rsk Engle, RF () GARCH : he use of ARCH/GARCH models n Appled Economercs, Journal of Economc Perspecves, 5, 4,

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του µαθήµατος ίναι η παρουσίαση, ανάπτυξη και φαρµογή στατιστικών - οικονοµτρικών υποδιγµάτων σ χρηµατοοικονοµικά δδοµένα Τα δδοµένα αυτά µφανίζουν ιδιαίτρα χαρακτηριστικά και µταβλητότητα, και για τον λόγο αυτό η ανάπτυξη ιδικών µθόδων ίναι απαραίτητη για την λήψη ορθολογικών αποφάσων σ χρηµατοοικονοµικές φαρµογές Η στατιστική ανάλυση χρηµατοοικονοµικών δδοµένων ασχολίται µ την κτίµηση και αξιολόγηση υποδιγµάτων (µονοµταβλητών και πολυµταβλητών), την διρύνηση των σχέσων και αλληλξαρτήσων που υπάρχουν µταξύ των µταβλητών που µας νδιαφέρι να µλτήσουµ, και αποβλέπι στη δινέργια προβλέψων Θα ασχοληθούµ µ υποδίγµατα που αφορούν τόσο την µοντλοποίηση των αναµνόµνων αποδόσων, όσο και την µοντλοποίηση της δσµυµένης διακύµανσης των αποδόσων Θα χρησιµοποιήσουµ το υπόδιγµα της πολλαπλής παλινδρόµησης για να µλτήσουµ τη σχέση που υπάρχι µταξύ των αποδόσων των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων (asses) µ κάποιους ξωγνίς παράγοντς, καθώς και τα παραγοντικά µοντέλα (facor models), τα οποία αποδίδουν τις αποδόσις των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων συναρτήσι λίγων βασικών παραγόντων κινδύνου, οι οποίοι πριέχουν το µγαλύτρο µέρος της πληροφορίας των δδοµένων Ένα µγάλο µέρος της σύγχρονης χρηµατοοικονοµικής θωρίας στηρίζται στην έννοια του κινδύνου των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων, ο οποίος κφράζται µέσω της διακύµανσης Η µοντλοποίηση της διακύµανσης των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων ίναι ιδιαίτρα σηµαντική αφού πηράζι τις αποφάσις που λαµβάνονται σ χρηµατοοικονοµικές φαρµογές, όπως η πιλογή του βέλτιστου χαρτοφυλακίου, η διαχίριση του κινδύνου, η τιµολόγηση παράγωγων χρηµατοοικονοµικών προϊόντων και αλλού Τα Αυτοπαλίνδροµα υποδίγµατα δσµυµένης τροσκδαστικότητας (Auoregressve Condonal Heeroscedascy - ARCH) προτάθηκαν από τον Engle (98) και χρησιµοποιούνται για την µοντλοποίηση της διακύµανσης (δσµυµένης) των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων Θα δοθί πίσης έµφαση στην ανάπτυξη πολυµταβλητών υποδιγµάτων που αφορούν την µοντλοποίηση των αναµνόµνων αποδόσων και του πίνακα διακύµανσηςσυνδιακύµανσης των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων Η διάδοση και φαρµογή των υποδιγµάτων αυτών οφίλται στο γγονός ότι συλλαµβάνουν πολλά από τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητς των χρηµατοοικονοµικών χρονολογικών σιρών, όπως το volaly cluserng φαινόµνο, αλλά και στο γγονός ότι ίναι ύκολα στην κατανόηση και την κτίµησή τους Θα δοθί έµφαση τόσο στη θωρία, όσο και στην ανάλυση και φαρµογή των οικονοµτρικών υποδιγµάτων σ χρηµατοοικονοµικά δδοµένα Η χρήση ηλκτρονικών υπολογιστών και κατάλληλων πακέτων (πχ Malab) ίναι απαραίτητη 4

5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στασιµότητα Ορισµός Αυστηρώς στάσιµη διαδικασία ( Srcly saonary process ) Μια στοχαστική διαδικασία (πχ χρονολογική σιρά) ίναι αυστηρώς στάσιµη αν οι από κοινού κατανοµές των (X, X +,, X +k)' και (X +m, X ++m,, X +k+m)' ίναι ίδις για όλα τα, k, m Μ άλλα λόγια, η αυστηρώς στάσιµη διαδικασία απαιτί ότι η από κοινού κατανοµή ίναι αµτάβλητη παραµένι η ίδια σ αλλαγές του χρόνου (nvaran under me shf) Αυτή η συνθήκη ίναι πάρα πολύ αυστηρή και ίναι πολύ δύσκολο να παληθυθί σ µπιρικές φαρµογές Ορισµός Ασθνώς στάσιµη διαδικασία ( Weakly saonary process ) στοχαστική διαδικασία ίναι ασθνώς στάσιµη, αν ο µέσος και η διακύµανση ίναι σταθρά στο χρόνο και η συνδιακύµανση µταξύ δύο χρονικών πριόδων ξαρτάται µόνο από την απόσταση (lag) του χρόνου, και όχι από τη χρονική στιγµή που υπολογίζται η συνδιακύµανση Έστω Y, Y,, Y διαδικασίας δηλώνι ότι ο µέσος της σιράς ίναι Μια χρονολογική σιρά Ο ορισµός της ασθνούς στάσιµης E(Y ) = µ σταθρός για κάθ, η διακύµανση ίναι V(Y) = E(Y µ) = σ σταθρή για κάθ, και ότι η συνδιακύµανση ( ) [ ] (αυτοσυνδιακύµανση - auocovarance) ίναι γ = Cov Y, Y E (Y - µ)(y - µ) k + k +k ξαρτάται µόνο από το k Η διακύµανση της σιράς µπορί να γραφί και ως [ ] = E(Y - µ) = σ γ = E (Y - µ)(y - µ) Ο ορισµός της ασθνούς στάσιµης διαδικασίας υπονοί ότι στο διάγραµµα της σιράς σ σχέση µ το χρόνο (me seres plo) οι τιµές της σιράς κυµαίνονται µ σταθρή διακύµανση γύρω από ένα σταθρό µέσο Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Θωρίστ µία ασθνώς στάσιµη σιρά Y Η έννοια της αυτοσυσχέτισης χρησιµοποιίται όταν µας νδιαφέρι να µλτήσουµ την γραµµική ξάρτηση µταξύ της Y και των προηγουµένων τιµών Y -k Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης µας δίχνι πόσο µγάλη 5

6 συσχέτιση (αλληλπίδραση) υπάρχι µταξύ γιτονικών σηµίων (που απέχουν k χρονικές στιγµές) στη χρονολογική σιρά Y E (Y -µ )(Y -µ ) Cov(Y,Y ) Συνδιακυµανση γ ρ k = = = = E(Y -µ ) E(Y -µ ) σ σ ιακυµανση γ y +k y +k k y +k y y y+k Ιδιότητς: ρk = ρ - k, - < ρ k, < ρ = Παράδιγµα Έστω Y=, όπου ίναι ανξάρτητς τυχαίς µταβλητές µ µέσο, δηλαδή E( ) = Τότ: [ ] E (Y-µ y)(y+k-µ y) EYY +k ρ k = = E(Y -µ ) E(Y -µ ) E(Y ) E(Y ) y +k y +k k = : [ ] EYY E(Y ) ρ = = = +k E(Y ) E(Y E(Y +k) ) ρ = k > : E(Y )E(Y ) ανξαρτ +k ρ k = = = E(Y-µ y) E(Y+k-µ y) E(Y-µ y) E(Y+k-µ y) ρk =, k > ν έχι νόηµα να χρησιµοποιήσουµ κάποιο υπόδιγµα για να προβλέψουµ την παραπάνω σιρά Για ένα δίγµα αυτοσυσχέτισης: y, y,, y µπορούµ να υπολογίζουµ τη διγµατική συνάρτηση ˆρ = k -k = (y-y)(y+k-y) (y -y) = 6

7 Έλγχοι Υποθέσων Έλγχος αυτοσυσχέτισης για ένα συγκκριµένο k (Barle es) H: ρk = H: ρk για συγκκριµένο k, k> Αν Τ ίναι ο αριθµός των παρατηρήσων, y ίναι µία d (ndependen and dencal dsrbued) διαδικασία µ E(Y )<, τότ: Τ προσγγ ˆρ k ~ Ν, ˆρ k ~, Τ Ν ( ) Έλγχος (από κοινού) για πολλές αυτοσυσχτίσις (Pormaneau es) H: ρ = ρ = = ρm = H: ρ, για καποιο (τουλάχιστον ένα) Οι συναρτήσις λέγχου που έχουν προταθί για τον από κοινού έλγχο πολλών αυτοσυσχτίσων δίνονται από τους Box-Perce: και Q = m k= ρ ˆ ~ X k m Ljung-Box: m ˆρ k LB = (+) ~ X k= -k (προτιµότρη για µικρά δίγµατα) m Στην πράξη, όταν προσαρµόζουµ στα δδοµένα κάποιο υπόδιγµα (ARMA - ARIMA) λέγχουµ αν τα κατάλοιπα ê ίναι ασυσχέτιστα Οι παραπάνω έλγχοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν και σ αυτήν την πρίπτωση Σ ορισµένς πριπτώσις, το διάγραµµα των αυτοσυσχτίσων έναντι των υστρήσων k µιας σιράς, ή ο έλγχος Barle, µπορί να µας αποκαλύψουν υψηλές αυτοσυσχτίσις της χρονοσιράς για πολύ µγάλς υστρήσις Αυτό σηµαίνι ότι η σιρά πηράζται από το «µακρινό» παρλθόν της, η σιρά δν µπορί να θωρηθί στάσιµη και χρησιµοποιούνται ιδικές τχνικές για τη µοντλοποίησή της Λίγς χρονολογικές σιρές ίναι στάσιµς Κάποις σιρές γίνονται στάσιµς αν πάρουµ διαφορές µία ή πρισσότρς φορές (αυτές οι διαδικασίς λέγονται homogeneous non-saonary processes) 7

8 Στασιµότητα Ερµηνία Θωρούµ το υπόδιγµα : Y= µ + ρy -+, όπου ~ dd µ µέσο µηδέν και σταθρή διακύµανση σ Έστω = : Y= µ + ρ Y+ = : Y= µ + ρy+ = µ + ρ(µ + ρy + )+ = µ + ρµ + ρ Y + ρ + = 3 : Y= 3 µ + ρ Y+ 3 = = µ + (µ + µ + Y + + ) 3 ρ ρ ρ ρ + = 3 = µ + ρµ + ρ µ + ρ Y + ρ + ρ + 3 Γνικά: - s Y= s ρ Y+ µ ρ + ρ s s= s= Τα ίναι οι διαταραχές (shocks) πάνω στη σιρά Y Το ρ θα µας δίξι αν οι διαταραχές ίναι µόνιµς ή όχι Έστω = Η τυχαία διαταραχή (shock) ίναι Ποια θα ίναι η πίδρασή του στη σιρά Y, Y,, Y ; Η πίδραση δίνται από την dy = ρ - d Πιο αναλυτικά: για = : για = : για = 3 : dy = ρ - = ρ = d dy = ρ - = ρ = ρ d dy 3 = ρ 3- = ρ d για = : dy = ρ 9 d κοκ Άρα, αν ρ <, το µόνιµο: dy d dy d διαταραχή ίναι προσωρινή ασυµπτωτικά γίνται µηδέν, οπότ το shock - διαταραχή - δν ίναι καθώς ηλαδή, όταν ρ <, το υπόδιγµα ίναι στάσιµο, η 8

9 Αν ρ =, τότ, το shock - διαταραχή - ίναι µόνιµο, το υπόδιγµα ίναι µη στάσιµο: Y= µ + Y -+ και ονοµάζται Τυχαίος Πρίπατος µ προσαύξηση Random Walk wh drf (µ σταθρό µ) Αν κάποιο τυχαίο γγονός πηράσι τη σιρά, η πιρροή παραµένι µόνιµη Τότ: Y= µ + Y+ Y= µ + Y+ = µ + µ + Y + + Y= µ + Y+ = µ + µ + µ + Y Y = Y + µ + s s= 3 Από την παραπάνω ξίσωση µπορούµ να συµπράνουµ τα ξής: dy Τα shocks ίναι µόνιµα = d dy =, d, dy 3 = d,, dy = d Η σιρά Y= Y+ µ + s έχι γραµµική τάση s= Η σιρά δν ίναι στάσιµη Συγκκριµένα (αν υποθέσουµ ότι Y = ): E(Y ) = E(Y + µ + s) = µ + E( s) = µ s= s= : ξαρτάται από το WN V(Y ) = V(Y + µ + s) = V s = V( s) = σ s= s= s= Να υπολογίστ το auocovarance σ χρονική υστέρηση ένα, ως άσκηση : ξαρτάται από το Εποµένως, ο πιο κατάλληλος έλγχος για την ύπαρξη στασιµότητας ίναι ο έλγχος της υπόθσης ρ =, έναντι της ναλλακτικής ρ < Σιρές για τις οποίς ισχύι ότι ρ =, ονοµάζονται σιρές µ µοναδιαία ρίζα ή ολοκληρωµένς τάξης negraed of order Μπορούν να µτατραπούν σ στάσιµς, µ κατάλληλς διαφορές: Y = Y - Y - (Ενδχοµένως κάποις σιρές να χριαστί να τις διαφορίσουµ πρισσότρς από µία φορά) 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Χαρακτηριστικά Χρηµατοοικονοµικών Στοιχίων Το αντικίµνο µλέτης αφορά δδοµένα όπως τιµές µτοχών και χρηµατιστηριακών δικτών, αποδόσις µτοχών και χρηµατιστηριακών δικτών, πιτόκια (neres raes), συναλλαγµατικές ισοτιµίς (exchange raes) Οι αποδόσις (rae of reurn) ορίζονται από τις διαφορές των λογαρίθµων: P + P y+ = ln ( P+ ) ln ( P) = ln P ή + P y + = P Volaly cluserng phenomenon Η γραφική απικόνιση των αποδόσων χρηµατοοικονοµικών δδοµένων έχι αποκαλύψι ότι µγάλς µταβολές τίνουν να ακολουθούνται από µγάλς µταβολές, νώ µικρές µταβολές τίνουν να ακολουθούνται από µικρές µταβολές, έτσι ώστ παρουσιάζονται συγκκριµένς «οµάδς-cluser», ντός των οποίων, η διακύµανση παραµένι υψηλή ή χαµηλή Raes of Reurn

11 Fa als Η κατανοµή των αποδόσων, συχνά µφανίζται να ίναι λπτόκυρτη, να έχι δηλαδή πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή Πρακτικά, τα δδοµένα µφανίζονται να έχουν συντλστή κύρτωσης µγαλύτρο από 3, που αντιστοιχί στην κανονική κατανοµή (βλέπ Πίνακα ) Για το λόγο αυτό, µπορούν να χρησιµοποιηθούν κατανοµές όπως η -Suden και η generalzed error dsrbuon Hsogram of Reurns Non-radng days or Holday effec Η πληροφορία η οποία συγκντρώνται κατά τη διάρκια των ηµρών όπου οι αγορές ίναι κλιστές αντανακλάται ή απλυθρώνται στις τιµές όταν οι αγορές ανοίξουν Leverage Effec Έχι παρατηρηθί ότι οι µταβολές στις διακυµάνσις των µτοχών ίναι αρνητικά συσχτισµένς µ µταβολές στις τιµές την προηγούµνη χρονική πρίοδο ηλαδή, όταν µιώνονται οι τιµές των µτοχών, τίνι να αυξάνται η µταβλητότητα (διακύµανση), νώ όταν ανβαίνουν, τίνι να µιώνται η διακύµανση Co-movemens n volales Έχι παρατηρηθί ότι υπάρχι οµοιογένια στις αλλαγές στην µταβλητότητα µταξύ των αγορών Το γγονός αυτό υπονοί ότι υπάρχι ένα σύνολο κοινών παραγόντων που µπορούν να τις ρµηνύσουν

12 able : Summary sascs for he raes of reurn of 8 socks Raes of reurn y y y Socks Mean Sdev Kuross LB(5) LB(5) LB(5) A AXP C GE JPM PG RAL WM σµυµένη και µη δσµυµένη µέση τιµή και διακύµανση Στη συνέχια παρουσιάζτ ένα παράδιγµα υπολογισµού της δσµυµένης και µη δσµυµένης µέσης τιµής και διακύµανσης, προκιµένου να γίνουν αντιληπτές οι έννοις αυτές Στον υπολογισµό της δσµυµένης µέσης τιµής και διακύµανσης το σύνολο της πληροφορίας ως τη χρονική στιγµή - συµβολίζται µ Φ - Έστω το AR() υπόδιγµα: Y= φy +, όπου d (, σ ) () - Uncondonal mean Μη δσµυµένος µέσος: E(Y ) = Έστω ότι η σιρά ίναι στάσιµη και ότι ισχύι E(Y ) = E(Y ) = µ Τότ, από τη σχέση () έχουµ: Ε(Y ) = Ε(φY -+ ) µ(-φ)= µ = - Ε(Y ) = Ε(φY -) + Ε( ) Ε(Y ) = φε(y - ) µ = φµ Condonal mean σµυµένος µέσος: E(Y Φ -) = φy- E(Y Φ ) = Ε(φY + Φ ) = φε(y Φ ) + Ε( Φ ) = φy Είναι:

13 Uncondonal varance Μη δσµυµένη διακύµανση: σ V(Y ) = - φ Έστω πίσης ότι ισχύι V(Y ) = V(Y ) = v Τότ, από τη σχέση () έχουµ: - V(Y ) = V(φY -+ ) V(Y ) = φ V(Y -) + V( ) v = φ v + σ σ v = - φ Condonal varance σµυµένη διακύµανση: V(Y Φ ) = σ - Είναι: Y - Φ- ανξαρτ V(Y Φ ) = V(φY + Φ ) = φ V(Y Φ ) + V( Φ ) = σ ίναι σταθρό, όχι τυχαία µταβλητή) (διότι το Στα υποδίγµατα τροσκδαστικότητας που θα παρουσιάσουµ παρακάτω µοντλοποιούµ την δσµυµένη διακύµανση στο χρόνο Οι λόγοι για τους οποίους χρησιµοποιούµ υποδίγµατα µταβαλλόµνης δσµυµένης διακύµανσης ίναι µλτάµ την διακύµανση τυπική απόκλιση (volaly) για να κατανοήσουµ τον κίνδυνο (ρίσκο) µιας σιράς κατασκυάζουµ πιο ακριβή διαστήµατα µπιστοσύνης (me varyng) πιτυγχάνονται παρκής (effcen) κτιµήσις, όταν συλλαµβάνται η τροσκδαστικότητα 3 Υποδίγµατα Μταβαλλόµνης σµυµένης ιακύµανσης 3 Υποδίγµατα ARCH Ο όρος ARCH προέρχονται από τις λέξις AuoRegressve Condonal Heeroskedascy, το οποίο µπορί να αποδοθί ως Υπόδιγµα Αυτοπαλίνδροµης Υπόσυνθήκης ( σµυµένης) Ετροσκδαστικότητας Το υπόδιγµα ARCH παρουσιάστηκ στη βιβλιογραφία από τον Engle (98) µ σκοπό την µοντλοποίηση της δσµυµένης διακύµανσης Στην πιο απλή του µορφή [ARCH()] το υπόδιγµα µπορί να γραφί ως ξής: Y= Φ - ~ N(, σ ) σ = α + α - 3

14 όπου α >, α Οι πριορισµοί αυτοί ξασφαλίζουν θτική διακύµανση για κάθ χρονική στιγµή Εναλλακτικά η κατανοµή των µπορί να γραφί και ως ξής: = zσ z ~ N(,) και ποµένως Φ -~ N(,σ ) Επίσης, οι συνθήκς στασιµότητας ορίζουν ότι α <, και η στάσιµη διακύµανση δίνται από την σχέση α σ = E( ) = α Παρατηρώντας τη µορφή της ξίσωσης που πριγράφι την υπό-συνθήκη διακύµανση, παρατηρούµ ότι η διακύµανση στο χρόνο ξαρτάται από το µέγθος (magnude) του τυχαίου σφάλµατος υψωµένου στο ττράγωνο στο χρόνο - Άρα η δσµυµένη διακύµανση ίναι συνάρτηση του µγέθους τoυ τυχαίου σφάλµατος την προηγούµνη χρονική πρίοδο, ανξαρτήτως από το πρόσηµό τους Έτσι αν µια µταβλητή ακολουθί µία ARCH διαδικασία µγάλα σφάλµατα θα τίνουν να ακολουθούνται από µγάλα σφάλµατα και µικρά σφάλµατα από µικρά σφάλµατα (volaly cluserng phenomenon) Ο Engle (98) παρουσιάζι τις συνθήκς για την ύπαρξη των ροπών του ARCH υποδίγµατος, κάτω από την υπόθση της κανονικότητας για την κατανοµή των τυχαίων σφαλµάτων Η συνθήκη για να ίναι ππρασµένη (fne) η διακύµανση ίναι α <, νώ για να ορίζται η τέταρτη ροπή χριάζται πίσης αντίστοιχα, από α 3α α E = και E = 4 α ( α ) -3α 3α < Οι ροπές αυτές δίνονται, Εποµένως, η κύρτωση της µη δσµυµένης κατανοµής (uncondonal dsrbuon) των ίναι E α κ = = ( E ) 4 3-3α Όπως παρατηρούµ, η κύρτωση ίναι πάντα µγαλύτρη του 3, δηλαδή µγαλύτρη από την τιµή της κύρτωσης της κανονικής κατανοµής Εποµένως, η κατανοµή των έχι πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή και το ARCH υπόδιγµα συλλαµβάνι την ιδιότητα των παχιών ουρών των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων Το ARCH() υπόδιγµα µπορί να γραφί σαν ένα Non-Gaussan AR() υπόδιγµα στα ττράγωνα των ηλαδή στη µορφή: 4

15 όπου µηδέν v = - σ = σ + ( - σ ) = α + α - + v Η αναµνόµνη τιµή του τυχαίου σφάλµατος στην πρίπτωση αυτή ίναι E(v Φ -) = E( - σ Φ -) = E( Φ -) - E(σ Φ -) = σ- σ = V( Φ -) = E( Φ -) - E( Φ -) E( Φ -) = σ ) ( ιότι [ ] Είναι ένα non-gaussan AR υπόδιγµα γιατί τα ττράγωνα των ακολουθούν την χ την κανονική κατανοµή όπως ακολουθούν τα o υπόδιγµα ARCH(p) µπορί να γραφί στη µορφή Y= και όχι Φ - ~ N(, σ ) p - - p -p - = σ = α + α +α + +α = α + α όπου α και α για = p έτσι ώστ η υπό-συνθήκη διακύµανση να ίναι > θτική Το υπόδιγµα ARCH χαρακτηρίζι την υπό-συνθήκη ή δσµυµένη κατανοµή του τυχαίου σφάλµατος, η οποία ίναι δσµυµένη στην πληροφόρηση που έχουµ µέχρι τη χρονική στιγµή, Φ = (,,, ) όπου τα ίναι οι πραγµατοποιήσιµς τιµές - Y Y Y Y - (realzed values) της µταβλητής Y στις προηγούµνς χρονικές πριόδους Το ARCH(p) υπόδιγµα µπορί να γραφί σαν ένα Non-Gaussan AR(p) υπόδιγµα στα ττράγωνα των ηλαδή στη µορφή: όπου ίναι µηδέν v = - σ = σ + ( - σ ) = α + α -+α -+ +αp -p+ v Η αναµνόµνη τιµή του τυχαίου σφάλµατος και στην πρίπτωση αυτή E(v Φ -) = E( - σ Φ -) = E( Φ -) - E(σ Φ -) = σ- σ = ARCH (p) Υπόδιγµα Παλινδρόµησης Στην γνική του µορφή το ARCH(p) υπόδιγµα µπορί να πριέχι και πξηγηµατικές µταβλητές στην ξίσωση του µέσου Y= β + βx, + βx, + + βmx m, + Φ - ~ N(, σ ) 5

16 ή ισοδύναµα p α - = σ = α + Y Φ - ~ N(Xβ, σ ) όπου X ίναι ένα διάνυσµα [x(m+)], = ( x x x ) και β ίναι ένα διάνυσµα [(m+)x], β = (β, β,, β )' m X,, m, 3 Υποδίγµατα GARCH Το υπόδιγµα GARCH αποτλί πέκταση του ARCH υποδίγµατος, όπως ακριβώς το ARΜΑ αποτλί πέκταση του ΑR Ο Bollerslev (986) γνίκυσ τα ARCH υποδίγµατα έτσι ώστ να αποκτήσουν µια πιο parsmonous µορφή που θα διυκόλυν την µπιρική φαρµογή τους Ο Bollerslev πρότιν το Generalzed AuoRegressve Condonal Heeroscedascy (GARCH) model που ίναι µια γνικυµένη µορφή της αυτοπαλίνδροµης υπό-συνθήκη τροσκδαστικότητας η οποία ορίζται ως ξής (πριέχι και πξηγηµατικές µταβλητές στην ξίσωση του µέσου) ή ισοδύναµα Y= β + βx, + βx, + + βmx m, + Φ - ~ N(, σ ) p q - + bj -j = j= σ = α + α σ Y Φ - ~ N(Xβ, σ ) όπου X ίναι ένα διάνυσµα [x(m+)], = ( x x x ) και β ίναι ένα διάνυσµα [(m+)x], β = (β, β,, β )', και, = p, bj, j = q Το παραπάνω υπόδιγµα ονοµάζται GARCH(p,q) Αν q = τότ έχουµ ένα ARCH(p) υπόδιγµα νώ αν p = q = τότ οι αποδόσις ίναι d και αποτλούν whe nose m X,, m, α > α Ένα από τα µιονκτήµατα των υποδιγµάτων ARCH στην µπιρική φαρµογή τους ίναι ότι απαιτούνται αρκτοί ARCH όροι και έτσι η κτίµηση των υποδιγµάτων γίνται δύσκολη αν λάβουµ υπόψη τους πριορισµούς που απαιτούνται για να ίναι η υπό-συνθήκη διακύµανση θτική Στα υποδίγµατα ARCH η δσµυµένη διακύµανση ορίζται σαν ένας γραµµικός συνδυασµός προηγούµνων σφαλµάτων, Στα υποδίγµατα GARCH η δσµυµένη διακύµανση ορίζται σαν ένας γραµµικός συνδυασµός προηγούµνων - σφαλµάτων και προηγούµνων διακυµάνσων Αυτή η κατηγορία µοντέλων ίναι σ -j - 6

17 πιο υέλικτη ως προς την δοµή της (απαιτούνται λιγότρς υστρήσις) και συλλαµβάνι το φαινόµνο του volaly cluserng Στις µπιρικές φαρµογές των ARCH µοντέλων απαιτίται ένας σχτικά µγάλος αριθµός υστρήσων στην ξίσωση της δσµυµένης διακύµανσης και ποµένως πολλές παράµτροι προς κτίµηση Αντίθτα τα GARCH µοντέλα, πιδή ακριβώς συµπριλαµβάνουν και προηγούµνς δσµυµένς διακυµάνσις στην ξίσωση της δσµυµένης διακύµανσης, πιτυγχάνουν µια πιο parsmonous represenaon Το GARCH υπόδιγµα µπορί να γραφί σαν ένα Non-Gaussan ARMA υπόδιγµα στα ττράγωνα των Συγκκριµένα, το GARCH(,) υπόδιγµα µπορί να γραφί σαν ένα Non-Gaussan ARMA(,) υπόδιγµα στα ττράγωνα των ηλαδή στη µορφή: = σ + ( - σ ) = α + α +b σ + v - - [αφού v = - σ, και ποµένως σ = v] = α + α +b ( v ) + v = - - = α + α - + b - bv + v = = α + (α +b ) - bv + v το οποίο ίναι ένα ARMA(,) στα ττράγωνα των, όπου τιµή του τυχαίου σφάλµατος και στην πρίπτωση αυτή ίναι µηδέν v = - σ E(v Φ -) = E( - σ Φ -) = E( Φ -) - E(σ Φ -) = σ- σ = Ένα GARCH(p,q) µπορί να γραφτί ως ένα ARMA(m,p) ως ξής: m p = - j j + v = j= α + (α +b ) b v Η αναµνόµνη όπου m= max(p,q) Όπως στα ARΜΑ(p,q) υποδίγµατα η τάξη (order) δηλαδή το µέγθος του p και του q καθορίζται από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (ACF) και τη συνάρτηση µρικής αυτοσυσχέτισης (Paral ACF), αντίστοιχα µπορούµ να καθορίσουµ την τάξη νός GARCH υπόδιγµαυ από τα ACF και PACF των ττραγώνων των Συνήθως, όµως, κατά την µπιρική φαρµογή των υποδιγµάτων GARCH δν τίθται το πρόβληµα της ταυτοποίησης των p και q γιατί η GARCH(,) διαδικασία χρησιµοποιίται στις πρισσότρς των πριπτώσων Οι µη δσµυµένς ροπές της διαδικασίας GARCH δίνουν τα χαρακτηριστικά του µοντέλου και προκύπτουν χρησιµοποιώντας το Νόµο των διαδοχικών µέσων τιµών [Law of Ieraed Expecaons] Ο µη δσµυµένος µέσος της στοχαστικής διαδικασίας που ακολουθί ένα GARCH (p, q) υπόδιγµα µ δσµυµένη διακύµανση σ δίνται από 7

18 E ( ) = E E( ) Το GARCH υπόδιγµα ορίζι ότι ( ) Φ - E Φ =, οπότ η διαδικασία GARCH έχι µέσο µηδέν, E ( ) = Η µη δσµυµένη διακύµανση του GARCH (p, q) υποδίγµατος δίνται από την ακόλουθη σχέση α σ = E( ) =, p q α b = j= j - και η ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη της διακύµανσης ίναι p q α + b < = j= j (βλέπ, για λπτοµέρις, Bollerslev, 986) Αν και η δσµυµένη διακύµανση των µταβάλλται στο χρόνο, η µη δσµυµένη διακύµανση των παραµένι σταθρή Σ πολλές φαρµογές χρηµατοοικονοµικών δδοµένων η κτίµηση του p q α + bj = j= ίναι πολύ κοντά στη µονάδα Αυτό δίνι νδίξις για το Inegraed GARCH (IGARCH) υπόδιγµα των (Engle και Bollerslev, 986) Ο Bollerslev (986) παρουσιάζι τις συνθήκς για την ύπαρξη των ροπών του GARCH (,) υποδίγµατος, κάτω από την υπόθση της κανονικότητας για την κατανοµή των τυχαίων σφαλµάτων Η συνθήκη για να ίναι ππρασµένη (fne) η διακύµανση ίναι α +b <, νώ για να ορίζται η τέταρτη ροπή χριάζται πίσης να ισχύι ότι 3α + α b + b < Τότ η δύτρη και η τέταρτη ροπή υπάρχουν και δίνονται από τις ακόλουθς σχέσις α 3α (+ α +b ) E = και E = 4 α b α b 3α αb b ( )( ) Εποµένως, η κύρτωση της µη δσµυµένης κατανοµής (uncondonal dsrbuon) των ίναι E κ = = + ( E ) 4 6α 3-3α α b b Όπως παρατηρούµ, η κύρτωση ίναι πάντα µγαλύτρη του 3, δηλαδή µγαλύτρη από την τιµή της κύρτωσης της κανονικής κατανοµής Εποµένως, η κατανοµή των έχι πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή και το GARCH υπόδιγµα συλλαµβάνι την ιδιότητα των παχιών ουρών των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων Eνα λκυστικό χαρακτηριστικό των ARCH και GARCH υποδιγµάτων ίναι ότι, παρά την υπόθση της δσµυµένης κανονικής κατανοµής των σφαλµάτων, η µη δσµυµένη κατανοµή δν ίναι κανονική και έχι πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή Ωστόσο, 8

19 µπιρικές έρυνς έδιξαν ότι η µη δσµυµένη κατανοµή των κτιµηµένων ARCH και GARCH υποδιγµάτων δν ήταν ιδιαίτρα λπτόκυρτη ώστ να προσαρµόσι µ ακρίβια την κατανοµή των χρηµατοοικονοµικών αποδόσων Για το λόγο αυτό ο Bollerslev (987) χρησιµοποίησ την Suden- κατανοµή, η οποία έχι πιο παχιές ουρές από την κανονική κατανοµή, και όταν οι βαθµοί λυθρίας τίνουν στο άπιρο προσγγίζι την κανονική κατανοµή 33 Υποδίγµατα EGARCH Τα υποδίγµατα ARCH και GARCH συλλαµβάνουν το volaly cluserng φαινόµνο και γι αυτό φαρµόζονται µ πιτυχία σ µπιρικές φαρµογές Ωστόσο παρουσιάζουν µρικά βασικά µιονκτήµατα λόγω της συναρτησιακής τους µορφής Συγκκριµένα, τα υποδίγµατα ARCH και GARCH υποθέτουν ότι οι µλλοντικές τιµές του σ ξαρτώνται µόνο από το µέγθος του, και όχι από το πρόσηµό του (θτικό ή αρνητικό) ηλαδή, η δσµυµένη διακύµανση σ παρουσιάζται (θωρίται) συµµτρική ως προς τις προηγούµνς χρονικές διαταραχές - Όµως, µια τέτοια συναρτησιακή µορφή νδέχται να ίναι ακατάλληλη, καθώς δν µπορί να συλλάβι το leverage effec, την αρνητική δηλαδή σχέση ανάµσα στις αποδόσις των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων και τις µλλοντικές διακυµάνσις τους Μ άλλα λόγια, η διακύµανση τίνι να αυξάνι όταν παρατηρούνται αρνητικές αποδόσις (άσχηµα νέα, bad news) και τίνι να µιώνται όταν παρατηρούνται θτικές αποδόσις (καλά νέα, good news) Άλλοι πριορισµοί αυτών των υποδιγµάτων, έχουν να κάνουν α) µ την ρµηνία των µόνιµων διαταραχών (shock) στη διακύµανση, και τις συνθήκς που πρέπι να ικανοποιούν οι παράµτροι του υπόδιγµαυ, ώστ να ίναι στάσιµο και β) µ τις συνθήκς στις παραµέτρους του υποδίγµατος (µη αρνητικές τιµές) ώστ να ίναι καλά ορισµένη η δσµυµένη διακύµανση σ κάθ χρονική στιγµή Οι συνθήκς αυτές µπορί να προκαλέσουν δυσκολίς κατά την διαδικασία κτίµησης του υποδίγµατος Ο Nelson (99) πρότιν το Exponenal GARCH (EGARCH) υπόδιγµα, το οποίο ξπρνά τους παραπάνω πριορισµούς, και χρησιµοποιί την Generalzed Error Dsrbuon (Box και ao, 973), η οποία µπορί να συλλάβι την ιδιότητα των παχιών ουρών που µφανίζουν τα χρηµατοοικονοµικά δδοµένα Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Generalzed Error Dsrbuon µ µέσο και διακύµανση, δίνται από: v z vexp - λ f(z ) =, - < z < +, v > ( + v / ) λ Γ v σ 9

20 όπου Γ() ίναι η συνάρτηση γάµµα, και / ( / v) Γ v λ =, 3 Γ v ίναι µία παράµτρος που δίχνι πόσο παχιές ίναι οι ουρές της κατανοµής Αν v = προκύπτι η κανονική κατανοµή, νώ αν v < και v >, η κατανοµή του z έχι αντίστοιχα πιο παχιές και πιο λπτές ουρές από την κανονική κατανοµή Το EGARCH(p,q) υπόδιγµα έχι την ακόλουθη συναρτησιακή µορφή (πριέχι και πξηγηµατικές µταβλητές στην ξίσωση του µέσου) v Y= β + βx, + βx, + + βmx m, + z = zσ q p j -j k -k k -k -k j= k= ( ), ln(σ ) = α + b ln(σ ) + θ z + γ z - E z όπου τα ίναι d και ακολουθούν την GED µ µέσο και διακύµανση, ίναι η δσµυµένη διακύµανση της διαδικασίας στο χρόνο, νώ σ = z = για < Κάτω σ από την υπόθση της GED για το z, ισχύι ότι Αν οι συντλστές b j, Ez Γ v = 3 Γ Γ v v -k / j =,, q ίναι ίσοι µ το µηδέν, τότ, το υπόδιγµα λέγται Exponenal ARCH (EARCH), καθώς η ξίσωση για τη δσµυµένη διακύµανση πριλαµβάνι µόνο προηγούµνς τιµές των τυποποιηµένων παρατηρήσων Η µοντλοποίηση του λογαρίθµου της δσµυµένης διακύµανσης πιλύι τους πριορισµούς των GARCH υποδιγµάτων Το EGARCH υπόδιγµα συλλαµβάνι το leverage effec Η ασύµµτρη σχέση µταξύ των αποδόσων των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων και της µλλοντικής διακύµανσης λαµβάνται µ τη χρήση µίας συνάρτησης, η οποία ξαρτάται τόσο από το µέγθος, όσο και από το πρόσηµο του ίναι γραµµικός συνδυασµός των Έστω για παράδιγµα, ότι z-k και z -k z, και δίνται από τη σχέση: g(z -k ) = θkz -k + γk ( z -k - E z -k ) θ k = και Η συνάρτηση αυτή γk > Τότ, το σφάλµα (nnovaon) στο λογάριθµο της διακύµανσης, ln(σ ), ίναι θτικό (αρνητικό) όταν η απόλυτη τιµή του z ίναι -k

21 µγαλύτρη (µικρότρη) από την αναµνόµνη τιµή του, δηλαδή όταν η ποσότητα z - E z ίναι θτική (αρνητική) Ο όρος αυτός αντιπροσωπύι την πίδραση του -k -k µγέθους (magnude) Ας υποθέσουµ ότι θk < και γ k = Τότ, το σφάλµα (nnovaon) στη δσµυµένη διακύµανση ίναι θτικό (αρνητικό) όταν οι τυποποιηµένς αποδόσις z -k ίναι αρνητικές (θτικές) Ο όρος θ z k -k αντιπροσωπύι την πιρροή του προσήµου Η µοντλοποίηση του λογαρίθµου της διακύµανσης στο EGARCH υπόδιγµα πιτρέπι στη δσµυµένη διακύµανση να ίναι θτική σ κάθ χρονική στιγµή, και ποµένως, δν απαιτούνται πριορισµοί στις παραµέτρους του υποδίγµατος 34 Επκτάσις των ARCH και GARCH Υποδιγµάτων Στη διθνή βιβλιογραφία, έχι προταθί ένας µγάλος αριθµός ναλλακτικών υποδιγµάτων και συναρτησιακών τύπων για τη δσµυµένη διακύµανση Ο Engle (98) χρησιµοποίησ ένα γραµµικό υπόδιγµα των ττραγώνων των σφαλµάτων στη δσµυµένη διακύµανση (ARCH), ωστόσο αναφέρι ότι ίναι πιθανό άλλς ναλλακτικές µορφές δσµυµένης τροσκδαστικότητας να ίναι κατάλληλς σ συγκκριµένς µπιρικές φαρµογές, και πρότιν τις ακόλουθς ln(σ ) = α + α και σ = α + α Ο aylor (986) πρότιν το ακόλουθο υπόδιγµα για τη δσµυµένη τυπική απόκλιση p α - = σ = α + Ο Geweke (986) και ο Panula (986) πρότιναν το log-arch υπόδιγµα p - = ln(σ ) = α + α ln( ), στο οποίο η δσµυµένη διακύµανση ίναι θτική για όλς τις τιµές των α, =,, p, αλλά παρουσιάζται πρόβληµα όταν η τιµή των - ίναι µηδέν Οι Hggns και Bera (99) πρότιναν µία γνική κλάση υποδιγµάτων, η οποία ονοµάζται nonlnear ARCH (NARCH) και έχι την ακόλουθη µορφή δ δ ( ) ( ) ( ) σ = φ σ + φ + + φ - p -p όπου σ >, φ, =,,, p, δ >, και για τα φ ισχύι ότι φ = Η δ /δ, p = δσµυµένη διακύµανση έχι 3 παραµέτρους, αλλά ο πριορισµός p φ = = µιώνι τις

22 παραµέτρους κατά µία Το υπόδιγµα πριλαµβάνι το ARCH ως ιδική πρίπτωση όταν δ =, και το log-arch ως µία οριακή πρίπτωση Οι Glosen, Jagannahan και Runkle (993) χρησιµοποίησαν την ακόλουθη παραµτροποίηση σ = α + b σ + α + α I ( > ), όπου Ι ίναι η δίκτρια συνάρτηση, και η πιρροή του - στη δσµυµένη διακύµανση σ ίναι διαφορτική όταν το - ίναι θτικό, και διαφορτική όταν ίναι αρνητικό Έτσι, το υπόδιγµα µπορί να συλλάβι το leverage effec Ο Zakoan (994) χρησιµοποίησ µια διαφορτική προσέγγιση προτίνοντας το hreshold GARCH(p,q) υπόδιγµα, το οποίο δίνται από τη σχέση p q j -j = j=, σ = α + α - α + b σ όπου = max(,) και = mn(,), α >, α, α, =,, p, και b j, j =,, q Η παραµτροποίηση λέγται hreshold GARCH, πιδή ο συντλστής + - του αλλάζι όταν το πρνάι το κατώφλι (hreshold) του µηδνός Για α = α = α, - - για όλα τα =,, p, η δσµυµένη τυπική απόκλιση δίνται από p σ = α + α + b σ - j -j = j= q 35 Εκτίµηση των Υποδιγµάτων GARCH Οι κτιµητές µγίστης πιθανοφάνιας για το GARCH υπόδιγµα βρίσκονται χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο των Bernd, Hall, Hall και Hausmann (974) Oι Forenn, Calzolar, και Panaon (996) χρησιµοποίησαν αναλυτικές πρώτς και δύτρς παραγώγους του λογαρίθµου της πιθανοφάνιας για να κτιµήσουν τις παραµέτρους του GARCH υποδίγµατος και συγκρίναν διαφορτικούς αλγορίθµους για την µγιστοποίηση της πιθανοφάνιας Η υρία αποδοχή και φαρµογή των GARCH υποδιγµάτων οφίλται στην ικανότητά τους να συλλαµβάνουν πολλά χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων Παρακάτω, παρουσιάζται αναλυτικά ο υπολογισµός της πιθανοφάνιας νός GARCH(,) υποδίγµατος κάτω από την υπόθση της δσµυµένης κανονικής κατανοµής των Η µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνιας βασίζται στην ιδέα της ύρσης κίνων των τιµών (κτιµήσων) των παραµέτρων του υποδίγµατος για τις οποίς µγιστοποιίται η πιθανότητα µφάνισης των τιµών του χρησιµοποιούµνου δίγµατος

23 Έστω δίγµα Y, =,, µγέθους Τ, και έστω ότι το υπόδιγµα, του οποίου τις παραµέτρους θέλουµ να κτιµήσουµ, δίνται από τις σχέσις Έστω ( α,α,b ) Y= Φ - ~ N(, σ ) σ = α +α b σ θ = το διάνυσµα των παραµέτρων Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για µια χρονική στιγµή, για κάποιο δίνται από f - = exp πσ σ ( Φ, θ ) Εποµένως, η από κοινού κατανοµή των Y, Y,, Y υπολογίζται ως ξής ( Y,Y,,Y θ) = ( Y Y,Y,, Y -, θ) ( Y,Y,,Y - θ) = f ( ) f ( ) f ( f f f = Y Y, Y,, Y, θ Y Y,, Y, θ Y,, Y θ) = f ( Y Y, Y,, Y, θ) f ( Y Y,, Y, θ) f ( Y θ) = ( Y -, θ ) = f Φ = exp = πσ σ = ( π) ( σ ) exp = = σ = ( π ) ( α +α + b σ ) exp - - = = α +α- + bσ- Η µγιστοποίηση της συνάρτησης πιθανοφάνιας ίναι ισοδύναµη µ την µγιστοποίηση του λογαρίθµου της συνάρτησης πιθανοφάνιας (log-lkelhood) Η log-lkelhood funcon δίνται από ln f Y, Y,, Y ln ln α +α σ - - = = α +α- + bσ- ( θ) = ( π) ( + b ) Για υπολογίσουµ τις κτιµήσις των παραµέτρων µγιστοποιούµ την log-lkelhood ως προς θ χρησιµοποιώντας τους πριορισµούς που ορίζουν οι συνθήκς στασιµότητας αλλά και τους πριορισµούς για να ίναι καλά ορισµένη η διακύµανση 3

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ (FACOR MODELS) 3 Εισαγωγή Τα πολυµταβλητά πολυπαραγοντικά (mulvarae mulfacor models) µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να προβλέψουν τις αποδόσις των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων και να κτιµήσουν τη µταβλητότητα και την συµµταβολή των αποδόσών τους Στην νότητα αυτή θα παρουσιάσουµ κάποια βασικά πολυπαραγοντικά υποδίγµατα και θα τα χρησιµοποιήσουµ για να προβλέψουµ την αναµνόµνη απόδοσή τους και τον δσµυµένο πίνακα διακύµανσης συνδιακύµανσης Τα στοιχία αυτά ίναι καθοριστικά στην κατασκυή χαρτοφυλακίων (asse allocaon) και στη διαχίριση του κινδύνου (Rsk managemen) των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων Τα πολυπαραγοντικά µοντέλα διαχωρίζουν τις αποδόσις των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων σ κοινούς παράγοντς (common facors) και ιδικούς παράγοντς (specfc facors) Υπάρχουν τρις βασικές κατηγορίς µοντέλων: ) Μακροοικονοµικά πολυπαραγοντικά µοντέλα: χρησιµοποιούν παρατηρήσιµς οικονοµικές χρονολογικές σιρές, όπως ίναι τα πιτόκια και ο πληθωρισµός ) Κύρια πολυπαραγοντικά µοντέλα: χρησιµοποιούν παρατηρήσιµα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων (frm or asse specfc arbues, frm sze, dvdend yeld, ndusry classfcaon) 3) Στατιστικά πολυπαραγοντικά µοντέλα: χρησιµοποιούν µη-παρατηρήσιµους ή λανθάνοντς παράγοντς (unobservable or laen facors) - Παραγοντική ανάλυση Facor analyss - Ανάλυση κυρίων συνιστωσών Prncpal componen analyss 3 Το Γνικό Πολυµταβλητό Πολυπαραγοντικό Υπόδιγµα Οι τρις βασικές κατηγορίς των πολυπαραγοντικών υποδιγµάτων µπορούν να γραφούν στη µορφή: R = α + βf + βf + + βkf k + = α + Bf + (3) ( k )(k ) f, f, όπου B = ( β, β,, βk) και f = k f k, k 4

25 Στο πολυπαραγοντικό υπόδιγµα θωρούµ ότι οι f ίναι Ι() στάσιµς σιρές, για τις οποίς ισχύι ότι ( ) E f = µ, f Cov( f ) = E ( f-µ )( f-µ ) = Ω k k k k και τα σφάλµατα των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων ίναι ασυσχέτιστα µ τους παράγοντς f, δηλαδή ισχύι ότι ( ) Cov f, k = για όλα τα k,, f Cov, = Ισχύι πίσης ( js ) σ j, για =j, =s, διαφορτικα Το πολυπαραγοντικό υπόδιγµα (3) µπορί να γραφί σαν ένα Cross-seconal regresson model µ πίνακα διακύµανσης συνδιακύµανσης R = α + Bf + N N (N k)(k ) N ( ) Cov R = Ω = BΩ B + D f Το πολυπαραγοντικό υπόδιγµα (3) µπορί πίσης να γραφί σαν ένα Τme seres regresson model στη µορφή R= α + FB +, =,, N ( )( ) ( k)(k ) ( ) E = σ I ( )( ) όπου ίναι ένα διάνυσµα στήλη µ µονάδς 33 Μακροοικονιµικά Πολυπαραγοντικά Υποδίγµατα Στα µακροοικονοµικά πολυπαραγοντικά υποδίγµατα οι παράγοντς f ίναι παρατηρούµνς µακροοικονοµικές µταβλητές, ασυσχέτιστς µ τα σφάλµατα του υποδίγµατος Τα πιο βασικά Μακροοικονοµικά παραγοντικά µοντέλα ίναι ) Sharpe (97) Sngle facor model ) Chen, Roll and Ross (986) Mulfacor model 5

26 Προβλήµατα: Η κτίµηση των β Οι διακυµάνσις των καταλοίπων, σ Οι συνδιακυµάνσις των παραγόντων, Ω f 33 Sharpe s model (Sngle ndex model) Το παραγοντικό υπόδιγµα του Sharpe δίνται από την σχέση R = α + β R M +, =,, N, =,, marke rerurn όπου f = R, β =, =,, N, k =,, K M k Ο πίνακας διακύµανσης συνδιακύµανσης δίνται από την σχέση Ω = σ BB + D N N M (N )( N) β όπου σ M= Var(R M), B = ( β,, β N) =,, σ = Var β N D = dag(σ ) ( ) β σ Τα και κτιµώνται µ παλινδρόµηση χρονολογικών σιρών ˆσ M= R R - ( M M ) = R M = = R M R = α ˆ + βˆ R + ˆ M ˆ = R - α ˆ - βˆ R M ˆˆ ˆσ = - Ω ˆ = σˆ BB ˆˆ + Dˆ M Πολυµταβλητή Παλινδρόµηση (Mulvarae regresson) R = X Γ + E N ( )( N) N 6

27 ( ) ( ) όπου X = RM, Γ = α B N Ο κτιµητής λαχίστων ττραγώνων δίντα από τη σχέση ( ) - XR Γ ˆ = XX και η κτίµηση του πίνακα διακύµανσης συνδιακύµανσης από Σ ˆ = ΕΕ ˆ ˆ - όπου ˆΕ = R - XΓˆ ίναι ο πίνακας των καταλοίπων O πίνακας διακύµανσης συµδιακύµανσης του sngle facor model ίναι στατικός (σταθρός στο χρόνο) Αυτή η υπόθση δν µπορί να θωρηθί καλή Μπορούµ µ πολλούς τρόπους να κάνουµ τον πίνακα χρονικά µταβαλλόµνο (me varyng) (Για παράδιγµα θα µπορούσ να γραφί ως: Ω = σ BB + D, όπου τα Β ίναι σταθρά, και τα,, µταβάλλονται σύµφωνα µ ένα GARCH υπόδιγµα) M σ, σ M, 33 Chen, Roll and Ross (986) model (General Mulfacor model) Το Γνικό πολυµταβλητό πολυπαραγοντικό υπόδιγµα χρησιµοποιί k παρατηρούµνς µακροοικονοµικές µταβλητές ως παράγοντς f, οι οποίοι συνήθως τυποποιούνται έτσι ώστ να έχουν µέσο µηδέν και τυπική απόκλιση ένα Ο πίνακας διακύµανσης συνδιακύµανσης δίνται από τη σχέση: Ω = BΩf B + D όπου B = ( β, β,, β N), Ω f= E ( f-µ )( f-µ ) Επιδή οι παράγοντς παρατηρούνται (observable) οι πίνακς Β και D µπορούν να κτιµηθούν χρησιµοποιώντας me seres regresson R = αˆ + FB ˆ + ˆ ˆˆ ˆσ = -k- ˆ = R - α ˆ - FB ˆ Ο πίνακας διακύµανσης συνδιακύµανσης των παραγόντων µπορί να κτιµηθί ως ˆΩ f = ( f-f )( f -f ), - = 7

28 όπου f = = f Ενώ ο κτιµώµνος πίνακας διακύµανσης συνδιακύµανσης του υποδίγµατος δίνται από τη σχέση: Ω ˆ = BΩ ˆ ˆ B ˆ + Dˆ f 34 Εφαρµογή σ κατασκυή χαρτοφυλακίου: Global mnmum varance porfolo Θέλουµ να κατασκυάσουµ ένα χαρτοφυλάκιο Ρ, που αποτλίται από Ν χρηµατοοικονοµικά στοιχία, ώστ η απόδοση του χαρτοφυλακίου να ίναι ίση µ: N R = w R = w R, =,, N, όπου R = ( R,, R N) ίναι το διάνυσµα των p = N αποδόσων των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων και w = ( w,, w ) ίναι το διάνυσµα των σταθµίσων βάσι των οποίων συµµτέχι το κάθ στοιχίο στο χαρτοφυλάκιο Αν Ω = Cov(R), τότ, η διακύµανση του χαρτοφυλακίου ίναι: σ P,w = w Ωw Θέλουµ να λαχιστοποιήσουµ τη διακύµανση αυτή, λαµβάνοντας υπ όψη τον πριορισµό που ισχύι N για τις σταθµίσις του χαρτοφυλακίου: w= w =, όπου ίναι ένα διάνυσµα στήλη µ = µονάδς Η λύση, οι βέλτιστς δηλαδή σταθµίσις, δίνονται από τη σχέση: w = Ω - - Ω 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ-ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Η πέκταση των µονοµταβλητών υποδιγµάτων σ πολυµταβλητά, και η κτίµηση των χρονικά µταβαλλόµνων συνδιακυµάνσων µταξύ των αποδόσων των δδοµένων ίναι σηµαντική σ διάφορους τοµίς της χρηµατοοικονοµικής ανάλυσης, όπως την αποτίµηση των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων (asse prcng), την κατασκυή χαρτοφυλακίου (porfolo allocaon), την διαχίριση κινδύνου (rsk managemen) ύο βασικά προβλήµατα που παρουσιάζονται στα πολυµταβλητά υποδίγµατα ίναι ο µγάλος αριθµός των παραµέτρων που πρέπι να κτιµηθούν, και η δυσκολία στην κτίµηση, λόγω του πριορισµού ότι ο πίνακας διακύµανσης - συνδιακύµανσης πρέπι να ίναι θτικά ορισµένος Θωρούµ ότι έχουµ δδοµένα της µορφής y, =,,, όπου κάθ y = (y,,, y N, ) ίναι ένα N διάνυσµα Υποθέτουµ ότι η ξίσωση του µέσου και η δσµυµένη κατανοµή των τυχαίων σφαλµάτων (δδοµένου την πληροφορία µέχρι τη χρονική στιγµή -, δίνονται από τις σχέσις: y = µ +, Φ- ~ ΝN(, Σ ), όπου µ ίναι ένα N διάνυσµα µ σταθρές, ίναι ένα N διάνυσµα µ τυχαία σφάλµατα, Φ- ίναι το σύνολο πληροφορίας ως τη χρονική στιγµή -, Σ ίναι ο N N πίνακας διακύµανσης - συνδιακύµανσης µ στοιχία σ και σ, =,, N, j = +,, N, όπου σ ίναι η διακύµανση της µταβλητής τη χρονική στιγµή, και, ίναι η συνδιακύµανση µταξύ της και της j µταβλητής τη χρονική στιγµή ιαφορτικά πολυµταβλητά µοντέλα µταβαλλόµνης διακύµανσης πιβάλλουν διαφορτικούς πριορισµούς στην ρµηνία του τρόπου κατά τον οποίο τα προηγούµνα σφάλµατα πιδρούν στις δσµυµένς διακυµάνσις και συνδιακυµάνσις, j, σj, 4 Πολυµταβλητό ARCH Υπόδιγµα (Mulvarae ARCH model) Οι Kraf και Engle (98) πρότιναν το πολυµταβλητό ARCH(p) υπόδιγµα, το οποίο πιτρέπι στα στοιχία του δσµυµένου πίνακα διακύµανσης-συνδιακύµανσης, να αλλάζι στο χρόνο Το υπόδιγµα µπορί να γραφί στη µορφή: 9

30 vech vech ( ) p (Σ ) = C + A, (4) - - = όπου Σ ίναι N Nπίνακας διακύµανσης, vech() ίναι ο τλστής που ισαγάγι σ πίνακα στήλη τα διαγώνια και τα κάτω τριγωνικά στοιχία νός συµµτρικού πίνακα, C ίναι ένα N(N+) διάνυσµα, και A, =,, p ίναι συνολικός αριθµός παραµέτρων, ίναι N(N+) N(N+) πίνακς Ο N(N+) N(N+) + p Η σχέση (4), ονοµάζται vech αναπαράσταση νός πολυµταβλητού ARCH υποδίγµατος Για (χρονολογικές σιρές) και p = (ARCH όροι), η ξίσωση γράφται ως: ή ( ) vech(σ ) = C + Avech -- σ c α α α σ = c + α α α σ c α α α, 3,-, 3,-,-, ,- (4) N = Ο πίνακας διακύµανσης Σ πρέπι να ίναι θτικά ορισµένος σ κάθ χρονική στιγµή, για οποιοδήποτ -, κάτι που θέτι πριορισµούς στα στοιχία του πίνακα C και τις γραµµές και τις στήλς του A Οι αναγκαίς συνθήκς ώστ να ίναι ο Σ θτικά ορισµένος, ίναι: c >, c >, c c - c >, α, α 3, αα3- α, 4 α 3, α 33, α3α33- α 3, 4 α α - α, α α - α, α α - α (βλέπ, για λπτοµέρις, Kraf και Engle, 98) Για πολυµταβλητά συστήµατα µ µγαλύτρς διαστάσις, αντίστοιχοι πριορισµοί πιβάλλονται στις γραµµές και τις στήλς του πίνακα Στη σχέση (4), κάθ σ και σ, ξαρτάται µόνο από τα ττράγωνα των προηγούµνων καταλοίπων και τα cross-producs όλων των µταβλητών στο σύστηµα Μια απλή υπόθση θα ίναι να θωρήσουµ ότι οι διακυµάνσις ξαρτώνται µόνο από τα προηγούµνα ττραγωνισµένα κατάλοιπα των µταβλητών στις οποίς αναφέρονται, και οι συνδιακυµάνσις από τα προηγούµνα crossproducs Στην πρίπτωση αυτή, οι πίνακς A, =,, p στην (4) ίναι διαγώνιοι και ο A, j, 3

31 αριθµός των παραµέτρων γίνται ( p+) N(N+) Για N = και p =, η ξίσωση γράφται ως: σ c α σ = c + α σ c α,,-,,-,-, 33,- (43) Για να ίναι ο Σ θτικά ορισµένος στην (43) θα πρέπι: c >, c >, c c - c > α, α, α α - α 4 Πολυµταβλητό GARCH Υπόδιγµα (Mulvarae GARCH model) Οι Bollerslev, Engle Wooldrdge (98) ισήγαγαν το πολυµταβλητό GARCH(p,q) υπόδιγµα Το υπόδιγµα µπορί να γραφί κατά τη vech αναπαράσταση ως: όπου ο p q ( ) ( ) (44) vech(σ ) = C + A vech + B vech Σ, - - j -j = j= Σ ίναι N Nπίνακας διακύµανσης, vech() ίναι ο τλστής που ισαγάγι σ διάνυσµα στήλη τα κάτω τριγωνικά στοιχία νός συµµτρικού πίνακα, C ίναι ένα N(N+) διάνυσµα, A, =,, p και B j, j =,, q, ίναι πίνακς Ο συνολικός αριθµός παραµέτρων ίναι + ( p+q) N = και p = q =, η ξίσωση γράφται (44) ως: N(N+) N(N+) N(N+) N(N+) Για ή ( ) ( ) vech(σ ) = C + A vech + B vech Σ (45) σ c α α α β β β σ σ = c + α α α + β β β σ σ c α α α β β β σ, 3,- 3,-, 3,-,- 3,-, , ,- Το υπόδιγµα (44) πιτρέπι στα στοιχία του πίνακα δσµυµένης διακύµανσης, να ξαρτώνται από προηγούµνς τιµές των ττραγώνων και των cross-producs όλων των µταβλητών στο σύστηµα, αλλά και από προηγούµνς τιµές των στοιχίων του πίνακα δσµυµένης διακύµανσης Το υπόδιγµα ίναι πολύ γνικό και έχι ένα µγάλο αριθµό 3

32 παραµέτρων Μπορούµ να κάνουµ την υπόθση ότι οι διακυµάνσις ξαρτώνται µόνο από τα δικά τους προηγούµνα ττραγωνισµένα κατάλοιπα και τις προηγούµνς διακυµάνσις, και ότι οι συνδιακυµάνσις ξαρτώνται µόνο από τα προηγούµνα cross-producs και τις προηγούµνς συνδιακυµάνσις Στην προκιµένη πρίπτωση, οι πίνακς A, =,, p και B, j =,, q, στην ξίσωση (44), ίναι διαγώνιοι και ο αριθµός των παραµέτρων j γίνται ( p+q+) N(N+) Για N = και p = q =, η ξίσωση γράφται ως: σ c α β σ σ = c + α + β σ σ c α β σ,,-,-,,-,-,-, 33,- 33,- Ο µη-δσµυµένος πίνακας διακύµανσης στο υπόδιγµα αυτό δίνται από: ( ) [ ] - E vech - - = I - A - B C Ο πίνακας διακύµανσης Σ πρέπι να ίναι θτικά ορισµένος Στην πλήρη, αλλά και στη διαγώνια αναπαράσταση του υπόδιγµατος, ο πριορισµός δν ίναι ύκολο να λγχθί, και ίναι δύσκολο να πιβληθί κατά τη διαδικασία κτίµησης 43 Πολυµταβλητό ΒΕΚΚ Υπόδιγµα Οι Engle και Kroner (995) πρότιναν µια νέα πολυµταβλητή GARCH παραµτροποίηση, γνωστή ως ΒΕΚΚ αναπαράσταση, η οποία χαρακτηρίζται από την ακόλουθη ξίσωση: K p K q * * * * * * k - - k k - k k= = k= = (46) Σ = C C + A A + B Σ B, όπου * * * Σ ίναι ο N N πίνακας διακύµανσης, οι, και B, ίναι N N πίνακς C A k k παραµέτρων, µ τον * C τριγωνικό, νώ η γνικότητα της διαδικασίας ξασφαλίζται από το Κ Το απλό GARCH(,) υπόδιγµα, µ K =, γράφται ως: Σ = C C + A A + B Σ B, (47) * * * * * * Στη διµταβλητή πρίπτωση, το υπόδιγµα γράφται: 3

33 * * * * σ, σ, * * α α,-,-,- α α = C C + * * * * σ, σ, α α,-,-,- α α β + β β * * * * β * * σ,- σ,- β β * * σ,- σ,- β β (48) Το ΒΕΚΚ υπόδιγµα παρέχι λύση για το ότι ο πίνακας διακύµανσης πρέπι να ίναι θτικά ορισµένος Λόγω του ότι ο δύτρος και ο τρίτος όρος στο δξί µέρος των ξισώσων (47) και (48) κφράζονται ως ττραγωνικές µορφές, ο πίνακας διακύµανσης ίναι θτικά ορισµένος άν ο C C ίναι θτικά ορισµένος Ο αριθµός των προς κτίµηση παραµέτρων * * ίναι N( N+ ) + N Ο µη-δσµυµένος πίνακας διακύµανσης σ µια ΒΕΚΚ αναπαράσταση δίνται από: όπου vec() - ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * vec E vec = I - A A - B B C C, ίναι ο τλστής που ισαγάγι σ διάνυσµα στήλη τις στήλς νός πίνακα, και συµβολίζι το Kronecker produc µταξύ δύο πινάκων Ορισµός Έστω A = ( aj ) ένας m n πίνακας και Β ένας p q πίνακας Ο mp nq πίνακας που ορίζται ως συµβολίζται ως A B ab anb, ονοµάζται Kronecker produc των Α και Β και a mb a mnb 44 Πολυµταβλητό GARCH Υπόδιγµα µ σταθρές δσµυµένς συσχτίσις (Consan Condonal Correlaons - CCC) Το υπόδιγµα προτάθηκ από τον Bollerslev (99) και υποθέτι µταβαλλόµνς χρονικά διακυµάνσις και συνδιακυµάνσις, αλλά σταθρές δσµυµένς συσχτίσις Ο δσµυµένος πίνακας διακύµανσης Σ κφράζται ως: Σ = D RD, 33

34 όπου R ίναι ένας N N πίνακας συσχτίσων, σταθρός χρονικά, µ στοιχία ρ, j =,,N, j = +,,N, j, και D ίναι ο N N πίνακας µ στοιχία τις δσµυµένς τυπικές αποκλίσις σ, =,,N Οι διακυµάνσις θωρίται ότι ακολουθούν µονοµταβλητά GARCH(p,q) µοντέλα:, p q, j,-j j,-j j= j= σ = α + α + βσ, =,, N σ, Ο πίνακας διακύµανσης Σ ίναι θτικά ορισµένος για κάθ, αν και µόνο αν ο σταθρός δσµυµένος πίνακας συσχτίσων ίναι θτικά ορισµένος και οι δσµυµένς διακυµάνσις ίναι καλά ορισµένς Οι συγκκριµένοι πριορισµοί µπορούν ύκολα να ικανοποιηθούν, σ σχέση µ άλλς παραµτροποιήσις του πίνακα διακύµανσης Ο αριθµός των παραµέτρων ίναι ίσος µ α ( ) N N-, α και β Για N = και p = q =, έχουµ ότι: j j ( + N +p+q ), οι οποίς αποτλούνται από τα, σ = α + α + β σ, =,,,-,- ( ) / σ = ρ σ σ, - ρ,,, Στην πρίπτωση αυτή, για να ίναι ο Σ θτικά ορισµένος, θα πρέπι α, α, β, =, και - < ρ < Για να ίναι ππρασµένη η διακύµανση και να υπάρχι στασιµότητα, θα πρέπι πίσης α + β < για =, > Η υπόθση σταθρών δσµυµένων συσχτίσων ίναι ύλογη σ ορισµένς µπιρικές µλέτς Όµως, παραµένι πριοριστική, καθώς η µταβολή των δσµυµένων συσχτίσων των χρηµατοοικονοµικών αποδόσων µ το χρόνο, αποτλί ένα φαινόµνο το οποίο παρατηρίται συχνά στα χρηµατοοικονοµικά δδοµένα Για παράδιγµα, οι συσχτίσις µταξύ χρηµαταγορών τίνουν να αυξάνονται σ πριόδους µγάλης µταβλητότητας ρ j 34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΗΣ : HEDGE FUNDS 5 Εισαγωγή Κατά την τλυταία δκατία παρουσιάζται έντονο νδιαφέρον για τα hedge funds Πρόκιται για ναλλακτικές µορφές πένδυσης οι οποίς έχουν κάποια µοναδικά (σ σχέση µ τις παραδοσιακές µορφές πένδυσης, όπως ίναι τα αµοιβαία κφάλαια) χαρακτηριστικά: ) Έχουν υλιξία σ σχέση µ τον τύπο των χρηµατοοικονοµικών στοιχίων και τον τύπο των θέσων που λαµβάνουν µπορούν να τοποθτούνται σ διθνίς και γχώρις αγορές, καθώς πίσης σ παράγωγα προϊόντα, και πιτρέπονται shor και long θέσις ) ν δηµοσιύουν - παρουσιάζουν τις κινήσις τους και τις νέργιές τους ) ιυθύνονται από ιδικά κπαιδυµένους και ξιδικυµένους hedge fund managers οι οποίοι ακολουθούν δυναµικές, πολύπλοκς στρατηγικές πένδυσης και σαν αποτέλσµα τα χαρτοφυλάκια που κατασκυάζουν πηράζονται από πολλούς παράγοντς κινδύνου Παρουσιάζι ιδιαίτρο νδιαφέρον στα χρηµατοοικονοµικά να προσδιορίσι κανίς τους παράγοντς που πηράζουν τις αποδόσις των hedge funds καθώς και την ικανότητα (skll) του manager και την πίδοση - απόδοση στο χρόνο (performance) του κάστοτ hedge fund Η ικανότητα του manager και η απόδοση του χαρτοφυλακίου προσδιορίζονται από την σταθρά ( alpha ) της παλινδρόµησης των αποδόσων του hedge fund (Y) µ κάποιους παράγοντς κινδύνου (rsk facors, X) που τις πηράζουν Οι παράγοντς αυτοί µπορί να ίναι οι παράγοντς των Fama and French (993) παράγοντς µγέθους και αξίας (sze and value facors), οι παράγοντς του Carhar (997), παράγοντς που σχτίζονται µ την αγορά οµολόγων, µη γραµµικοί παράγοντς που σχτίζονται µ παράγωγα προϊόντα (Glosen and Jagannarhan, 994, Agarwal and Nak, 4) και άλλοι Αν και στη βιβλιογραφία έχουν αναγνωριστί κάποιοι παράγοντς κινδύνου που πηράζουν τις αποδόσις των hedge funds, παραµένι σ µγάλο βαθµό αναπάντητο το ρώτηµα για το ποιοι παράγοντς πιδρούν στις αποδόσις και πώς αυτοί θα προσδιοριστούν καλύτρα µ βάση τα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων Μια απλή µέθοδος που χρησιµοποιίται από τους αναλυτές (Agarwal and Nak, 4, Fung and Hseh,,, Lang, 999) ίναι η µέθοδος της βηµατικής παλινδρόµησης (sepwse regresson) Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιίται υρέως λόγω της ταχύτητας και της απλότητας της, παρόλο που παρουσιάζι σηµαντικά µιονκτήµατα όπως η έλλιψη στατιστικής συµπρασµατολογίας και η έλλιψη µοντλοποίησης βασικών χαρακτηριστικών των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων όπως τροσκδαστικότητα, παχιές ουρές, ασυµµτρία και άλλα 35

36 Άλλς µθοδολογίς που χρησιµοποιούνται για την πιλογή του καταλληλότρου υποδίγµατος (model selecon) ή των µταβλητών-παραγόντων (varable selecon) που πηράζουν τις αποδόσις των hedge funds ίναι οι µέθοδοι που προτάθηκαν από τον Akake (973) και τον Schwarz (978) γνωστότρς ως κριτήρια AIC (Akake s Informaon Creron) και BIC (Bayesan Informaon Creron) Οι µθοδολογίς αυτές λαµβάνουν υπόψη τους τα χαρακτηριστικά των χρηµατοοικονοµικών δδοµένων (σ αντίθση µ τη µέθοδο της βηµατικής παλινδρόµησης), αλλά έχουν ένα σοβαρό µιονέκτηµα: ίναι υπολογιστικά χρονοβόρς, γιατί πρέπι να κτιµηθούν όλα τα δυνατά υποδίγµατα και οι αντίστοιχς συναρτήσις πιθανοφάνιας για να υπολογιστί το AIC και το BIC για κάθ υπόδιγµα Τα κριτήρια AIC και BIC υπολογίζονται, αντίστοιχα, µ βάση τις σχέσις: όπου loglkm AIC =- loglk +θ m m m BIC =- loglk + θ log m m m ίναι ο λογάριθµος της συνάρτησης πιθανοφάνιας, θ m ίναι το πλήθος των παραµέτρων του υποδίγµατος και Τ ίναι το πλήθος των παρατηρήσων Καλύτρο υπόδιγµα θωρίται κίνο που δίνι τη µικρότρη τιµή AIC ή BIC Στη βιβλιογραφία έχουν παρατηρηθί (βλέπ Vronos, Vronos and Gamourds, 7) προβλήµατα σχτικά µ τις πιο πάνω µθοδολογίς, γιατί δν λαµβάνουν υπόψη την αββαιότητα που υπάρχι στην πιλογή των παραγόντων κινδύνου (model uncerany) Προκιµένου να ληφθί υπόψη η αββαιότητα αυτή, µια µθοδολογία που µπορί να χρησιµοποιηθί ίναι η Μπϋζιανή, η οποία κτιµά την κ των υστέρων κατανοµή των υποδιγµάτων (Bayesan model selecon sraegy) 5 Εφαρµογή Στην νότητα αυτή θα παρουσιάσουµ τη µέθοδο της βηµατικής παλινδρόµησης για να προσδιορίσουµ ποιοι παράγοντς κινδύνου (rsk facors) πηράζουν τις αποδόσις νός δίκτη hedge funds Συγκκριµένα χρησιµοποιούµ µηνιαία δδοµένα του δίκτη Cred Susse/ remond Hedge Fund Index (CSFBComp_new) ο οποίος ίναι αντιπροσωπυτικός της αγοράς των hedge funds και καλύπτι την πρίοδο από τον Ιανουάριο 994 ως τον κέµβριο 5 Οι παράγοντς που χρησιµοποιούµ ως πξηγηµατικές µταβλητές (rsk facors) ίναι παράγοντς που προτίνονται στη βιβλιογραφία (Agarwal and Nak, 4, Vronos, Vronos and Gamourds, 7) και αποτλούνται από τις 4 ακόλουθς µταβλητές, που αφορούν αποδόσις he Russel 3 equy ndex (RUS) he Russel 3 equy ndex lagged once (RUS(-)) he Morgan Sanley Capal Inernaonal (MSCI) world excludng he USA ndex (MXUS) 36

37 he MSCI emergng markes ndex (MEM) he Salomon Brohers world governmen and corporae bond ndex (SBGC) he Salomon Brohers world governmen bond ndex (SBWG) he Lehman hgh yeld ndex (LHY) he Goldman Sachs commody ndex (GSCI) he Federal Reserve Bank compeveness weghed dollar-ndex (FRBI) Fama and French's (993) `sze' (SMB) and `book-o-marke' (HML) Carhar's (997) `momenum' facors (MOM) he dfference beween he yeld on he BAA-raed corporae bonds and he -year reasury bonds (DEFSPR) and he change n equy mpled volaly ndex VIX Αυτά τα δδοµένα καλύπτουν πίσης την πρίοδο από τον Ιανουάριο 994 ως τον κέµβριο 5 Ακολουθί αναλυτικά το πρόγραµµα σ γλώσσα MALAB που προσδιορίζι τους πιο σηµαντικούς παράγοντς κινδύνου την απόδοση του δίκτη: %Load Daa load CSFBCompEx_newx daa=csfbcompex_new; load daafanalyse_newx daafacors=daafanalyse_new; [,plhosme]=sze(daa) [,plhosfacors]=sze(daafacors) %================== %calculae summary sascs [mean(daa) sd(daa) medan(daa) kuross(daa) skewness(daa)] %BES SEP MODEL [B,SE,PVAL,INMODEL,SAS,NEXSEP,HISORY]=sepwsef(daafacors,da a,'dsplay','off'); sepmodelhelp=zeros(,plhosfacors); for =:plhosfacors f (INMODEL()==) sepmodelhelp()=; end end sepmodelhelp(sepmodelhelp==)=[]; sepmodel=zeros(,plhosfacors); sepmodel(:sze(sepmodelhelp,))=sepmodelhelp Σύµφωνα µ τη µέθοδο της βηµατικής παλινδρόµησης, οι µταβλητές RUS (), MEM (4), SMB (5), MOM (7), SBGC (8), SBWG (9), DEFSPR (), VIX (4) ίναι οι πιο κατάλληλς για να ξηγήσουν τις αποδόσις του δίκτη Cred Susse/ remond Hedge Fund 37