& Risk Management , A.T.E.I.

Transcript

1 Μεταβλητότητα & Risk Managemen Οικονοµικό Επιµελητήριο της Ελλάδας Επιµορφωτικά Σεµινάρια Σταύρος. Ντεγιαννάκης, Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Χρήστος Φλώρος, A.T.E.I. Κρήτης

2 Volailiy - Μεταβλητότητα (µέτρηση της αβεβαιότητας)

3 S&P500 equiy index closing prices from April 4 h, 988 hrough April 5 h,

4 FTSE00 equiy index closing prices from April 4 h, 988 hrough April 5 h,

5 The S&P500 equiy index coninuously compounded daily reurns from April 5 h, 988 hrough April 5 h,

6 The FTSE00 equiy index coninuously compounded daily reurns from April 5 h, 988 hrough April 5 h,

7 (A) Ιστορική µεταβλητότητα - recursive volailiy of reurns. Π.χ. αν η τιµή την ηµέρα, του χαρτφυλακίου (π.χ. µετοχής) είναι P, η λογαριθµική µεταβολή είναι P = log P y. Η Ιστορική µεταβλητότητα υπολογίζεται µε βάση τον τύπο της ιακύµανσης: s ( y y) = T = T. Και η ετησιοποιηµένη-annualized ιστορική µεταβλητότητα είναι 5 s

8 5.0% % 7 3.0% 6.5.0% 6.0% % Dae Daily Recursive Sandard Deviaion Daily Log-value of S&P500 SP500 Log-values Recursive Sandard Deviaion Daily log-values and recursive sandard deviaion of reurns for he S&P500 equiy index.

9 Daily log-values and recursive sandard deviaions of reurns for he FTSE00 equiy index. Recursive Sandard Deviaion % 8.0% 7.5.0% 0.0% Dae Daily Recursive Sandard Deviaion Daily Log-value of FTSE00 FTSE00 Log-Values 9 4.0%

10 (B) εσµευµένη Μεταβλητότητα Condiional Volailiy of reurns Πρέπει να εκτιµήσουµε ένα µοντέλο της οικογένειας των Αυτοπαλίνδροµων Υποδειγµάτων εσµευµένης Ετεροσκεδαστικότητας ARCH models Auoregressive Condiionally Heeroskedasic ( ). 0, ~ 0 + = = + = a a N z z y c y ε σ σ ε ε Η εκτίµηση του σ είναι η δεσµευµένη διακύµανση. Η ετησιοποιηµένη δεσµευµένη µεταβλητότητα είναι: 5 ˆ σ σ =

11 Annualized esimaed sandard deviaion, values for he S&P500 equiy index Daily Log-value Annualized sandard deviaion 45 5 σˆ + and daily log Dae Annualized condiional sandard deviaion Daily Log-value of S&P500

12 Annualized esimaed sandard deviaion, values for he FTSE00 equiy index Daily Log-value Annualized sandard deviaion 5 σˆ + and daily log Dae Annualized condiional sandard deviaion Daily Log-value of FTSE00

13 5 σˆ + and daily log Dae Annualized condiional sandard deviaion Daily Log-value of $ o Daily Log-value Annualized sandard deviaion Annualized esimaed sandard deviaion, values for he $/ exchange rae.

14 Annualized esimaed sandard deviaion, 5 σˆ + and daily logvalues for he Gold Bullion $ per Troy Ounce index Dae Annualized condiional sandard deviaion Daily Log-value of Gold Daily Log-value Annualized sandard deviaion 44

15 (Γ) Τεκµαρτή Μεταβλητότητα Implied Volailiy of reurns Consider, for example, he Black and Scholes opion pricing formula. The opion price is a funcion of he marke price of he underlying asse a ime, S ( ), he ime o mauriy, T, he exercise price a mauriy day, K, he riskless ineres rae, rf, he dividend yield, γ, and he average volailiy over he life of he opion, σ. C P d d ( T) γ( T) rf( T) = S( ) e N( d) Ke N( d) ( T) γ( T) rf( T) = S( ) e { N( d) } + Ke { N( d) } S( ) + log ( rf γ + ( σ) )( T ) = = d σ K σ ( T ) The values S ( ), T, K, rf and γ are direcly observed. On he conrary, volailiy is an unobserved inpu. ( T )

16 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) T d d T T rf K S d d N Ke d N e S P d N Ke d N e S C T rf T T T rf T T = + + = + = = σ σ σ γ γ γ log If we equae he observed marke price of he opion, ( ) T C, o he pricing formula, i.e. ( ) ( ) ( ),,,,, σ γ T rf K S BS C T =, we can solve for σ. Thus, he obained volailiy esimae is called opion implied volailiy.

17 T h e V I X I n d e x - είκτης Τεκµαρτής Μεταβλητότητας In 993, he CBOE launched he VIX index, which is considered by he marke paricipans as he world s premier benchmark of sock marke volailiy. The VIX index reflecs he sandard deviaion implied by a composie hypoheical opion ha has 30 calendar (abou rading) days o expiraion. Therefore, i measures he expecaion of marke paricipans for he volailiy of he nex 30 calendar days as conveyed by sock index opion prices. I is calculaed as 00 imes he square roo of he expeced 30-day variance of he S&P500 rae of reurn. The variance is annualized and VIX expresses volailiy in percenage poins. Specifically, VIX index, = (expeced 30-day implied sandard deviaion), On March 6 h 004 VIX fuures were launched on he CBOE Fuures Exchange (CFE).

18 Plos of he VIX and he S&P500 indices on a daily basis from January, 990 o April 5, VIX he VIX Index he S&P500 Index S&P

19

20

21

22 Παράδειγµα εφαρµογής µοντέλων πρόβλεψης του κινδύνου Value-a-Risk - Αξία σε Κίνδυνο

23 Παράδειγµα εφαρµογής µοντέλων πρόβλεψης του κινδύνου Value-a-Risk - Αξία σε Κίνδυνο Στα οικονοµικά και στα χρηµατοοικονοµικά, η αξία σε κίνδυνο (Value a risk ή VaR) είναι µια µέτρηση (αριθµός) που δηλώνει πώς η αξία στην αγορά ενός περιουσιακού στοιχείου ή χαρτοφυλακίου περιουσιακών στοιχείων είναι πιθανόν να µειωθεί στη διάρκεια µιας συγκεκριµένης χρονικής περιόδου (συνήθως ή 0 ηµερών) υπό συγκεκριµένες συνθήκες.

24 Έστω ένα χαρτοφυλάκιο περιουσιακών στοιχείων. Η αξία του στην ευρωπαϊκή αγορά σήµερα είναι γνωστή, αλλά η αυριανή αξία του άγνωστη. Η επενδυτική τράπεζα που διαχειρίζεται το χαρτοφυλάκιο µπορεί να αναφέρει πως έχει Αξία σε Κίνδυνο (VaR) -ηµέρας ίση µε 5 εκατοµµύρια σε 95% διάστηµα εµπιστοσύνης. Αυτό σηµαίνει πως (προϋποθέτοντας πως θα επικρατούν κανονικές συνθήκες για µια ηµέρα) η τράπεζα αναµένει, µε πιθανότητα 95%, η αξία του χαρτοφυλακίου να µην µειωθεί περισσότερο από 5 εκατοµµύρια κατά τη διάρκεια ηµέρας, µε άλλα λόγια: υπάρχει πιθανότητα 5% (δηλαδή 00% - 95%) να µειωθεί η αξία του χαρτοφυλακίου περισσότερο από 5 εκατοµµύρια κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας.

25 Πιο απλά, η τράπεζα µπορεί να αναµένει πως στις 95 περίπου από τις 00 ηµέρες συνηθισµένων συναλλαγών, το χαρτοφυλάκιο θα έχει απόδοση είτε θετική είτε αρνητική (αλλά οι ζηµίες δεν θα είναι µεγαλύτερες από 5 εκ. την ηµέρα). Αυτό σηµαίνει από την άλλη, ότι η τράπεζα πρέπει να αναµένει ότι οι απώλειες θα είναι µεγαλύτερες από 5 εκ. σε 5 από κάθε 00 ηµέρες συνηθισµένων συναλλαγών.

26 VaR a a given probabiliy level ( p), is defined o be he prediced amoun of financial loss of a porfolio over a given ime horizon. Hence, under he assumpion ha porfolio reurns y : y N(0,), he probabiliy of a loss less han ( p ) VaR =.645 is equal o p = 5%. The value is he value of VaR a a 95% level of confidence, or, in oher words, for a capial of 0 million, he 95% VaR equals Thus, if a risk manager saes ha he daily VaR of a porfolio is a a 95% confidence level, i means ha here are five chances in a 00 for a loss greaer han o incur. Under he assumpion for he porfolio reurns y, ha y ( 0, σ ) ~ N ( p) he VaR is defined o be he value VaR saisfying he condiion: or p ( p) p VaR y ( y ( ) VaR ) = exp dy = P σ π σ, () where f ( z w) VaR ( p) z. p ; he p-quanile of he disribuion of = f p σ. ()

27 Consider he GARCH(,) model wih ( z w) f ; disribued innovaions: he VaR value is given by 0 0 ( ) z ~ f 0,; w y = b + ε ε = σ z σ = a + aσ + a ε (3) where f ( z w) VaR ( p ) p ; he p-quanile of he disribuion of deviaion a ime. = f a ( z ; w) σ, z defined by f (,; w) (4) 0 and σ is he condiional sandard

28 =,..., T, can be esimaed by Based on a sample size of T observaions, he in-sample VaR a ime, for ( p) ( T) VaR ˆ ( ; ) ˆ = f p z w σ, (5) where σˆ denoes esimae of he condiional sandard deviaion a ime, and vecor of f (,; w) 0 based on he basis of all of he T available observaions. ( T) w denoes he esimaed parameer A violaion occurs if ( p ) y < VaR.

29 Visual represenaion of he value of in he case y N(0,) and = p. VaR ( p ) and p = P( ) ( p ) y VaR ( p) (0.95) VaR = VaR =.645

30 Visual represenaion of he value of y N(0,) and p = ( p) ES and ( p ) VaR in he case ( p) (0.95) ES = ES =.06 ( p) (0.95) VaR = VaR =.645

31 One-day-ahead 95% VaR and 95% ES forecass obained by he AR()-FIAPARCH(,d,)- model and he corresponding acual FTSE00 index losses from 5 h Ocober 999 o 4 h April 005. AR()-FIAPARCH(,d,) /0/999 05/0/000 05/0/00 05/0/00 05/0/003 05/0/004 one-day-ahead 95% VaR one-day-ahead 95% ES FTSE00 log-reurns

32 F igure. T he dail y log-re urns a gains he 0-day-ahe ad 99% V ar m e ric s, from he Di ag-v EC H m ode l under he S ude n- densi y funcion.

33 Ten-rading-day-ahead ahead 95% ES forecass obained by he GARCH model and he corresponding acual JAPDOWA index losses for he period 8 h of January, 998 o 6 h of November, 009. GARCH model 0-rading-days-ahead 95% ES GARCH log-reurns

34 Ten-rading-day-ahead ahead 95% ES forecass obained by he GARCH model and he corresponding acual JAPDOWA index losses for he period 8 h of July, 008 o 30 h of December, 008.

35 Παράδειγµα εφαρµογής µοντέλων πρόβλεψης του κινδύνου σε τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης - Opions

36 Παράδειγµα εφαρµογής µοντέλων πρόβλεψης του κινδύνου σε τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης - Opions Η κύρια εφαρµογή των ARCH µοντέλων είναι η µοντελοποίηση της δεσµευµένης διακύµανσης για να µελετήσουµε τα χαρακτηριστικά της και κυρίως να προβλέψουµε τις µελλοντικές τιµές της. Όταν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι η µεταβολή της τιµής της µετοχής ή της συναλλαγµατικής ισοτιµίας, η ρίζα της δεσµευµένης διακύµανσης της εξαρτηµένης µεταβλητής είναι µία αµερόληπτη εκτιµήτρια του volailiy της εξαρτηµένης µεταβλητής.

37 Αν µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το volailiy ενός χαρτοφυλακίου τότε µπορούµε να το ασφαλίσουµε από σηµαντικές απώλειες µε τη χρήση χρηµατιστηριακών παραγώγων (συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης και δικαιώµατα προαίρεσης (fuures και opions)). Μπορούµε επίσης να έχουµε ικανοποιητική διαχείριση του κινδύνου του χαρτοφυλακίου (risk managemen), ή ακόµα να δηµιουργήσουµε στρατηγικές επενδυτικής κερδοσκοπίας µε τη χρήση δικαιωµάτων προαίρεσης (opions).

38 Αναφέρουµε ένα παράδειγµα εφαρµογής των ARCH µοντέλων στην τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης (opions) στο χρηµατιστηριακό δείκτη FTSE0 του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών. Τα δεδοµένα που έχουµε είναι οι ηµερήσιες τιµές κλεισίµατος, Μαρτίου 003, συνολικά 9 παρατηρήσεις. Ο δείκτης FTSE0 έχει την εξής πορεία κατά τη διάρκεια της περιόδου που µελετάµε. S, του FTSE0 από 8 Ιανουαρίου 998 µέχρι και 4

39 S = log S Υπολογίζουµε τις ηµερήσιες µεταβολές της τιµής κλεισίµατος του FTSE0 ως y.

40 Θα εκτιµήσουµε το µοντέλο EGARCH(,) για τη µεταβλητή y. Το µοντέλο µε τις παραµέτρους προς εκτίµηση είναι της µορφής: ( ) ( ) ( ). ln ln 0, ~ = = + + = d i i a a N z z y y σ θ σ ε γ σ ε σ σ ε ε β β

41 Οπότε οι παράµετροι του µοντέλου που εκτιµήσαµε έχουν τις τιµές: ( ) ( ) ( ). 0.9ln ln 0, ~ = = + + = d i i N z z y y σ σ ε σ ε σ σ ε ε

42 Η ρίζα της δεσµευµένης διακύµανσης, ( σ ) ε ε = + + σ exp ln, σ σ είναι µία αµερόληπτη εκτιµήτρια του volailiy της ηµερήσιας µεταβολής της τιµής του δείκτη FTSE0, η οποία έχει την εξής µορφή

43 Το volailiy είναι η άγνωστη µεταβλητή που χρειάζεται ένας επενδυτής για να προσπαθήσει να τιµολογήσει ένα δικαίωµα προαίρεσης. Μπορούµε να υπολογίσουµε το volailiy κατά τη διάρκεια της ζωής ενός opion ως εξής + i σ / ( ) τ τ = + + τ ˆ σ+ i, i= όπου σ ˆ είναι η πρόβλεψη για την + i ηµέρα της δεσµευµένης διακύµανσης της ηµερήσιας µεταβολής της τιµής του δείκτη FTSE0, δοθέντος του πληροφοριακού συνόλου που είναι διαθέσιµο την ηµέρα.

44 Η ˆ + i σ υπολογίζεται ως: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 0 ˆ ln ˆ ˆ ˆ ˆ exp ˆ a a σ θ σ ε γ σ ε σ, ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ˆ ln exp ˆ a a σ θ π σ,... ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ˆ ln exp ˆ i i a a σ θ π σ.

45 Τα δικαιώµατα προαίρεσης είναι βασικά δύο ειδών: calls και pus. Όταν αγοράζω ένα call πληρώνω για να αποκτήσω το δικαίωµα να αγοράσω σε µία συγκεκριµένη τιµή (την τιµή εξάσκησης) και σε µία προκαθορισµένη χρονική στιγµή το δείκτη FTSE0. Όταν αγοράζω ένα pu πληρώνω για να αποκτήσω το δικαίωµα να πουλήσω σε µία συγκεκριµένη τιµή (την τιµή εξάσκησης) και σε µία προκαθορισµένη χρονική στιγµή το δείκτη FTSE0. Τα calls και τα pus διαπραγµατεύονται στο χρηµατιστήριο παραγώγων και πρακτικά η τιµή τους καθορίζεται από την προσφορά και τη ζήτηση. Οι Black and Scholes (973) ήταν οι πρώτοι που θεµελίωσαν µία θεωρητική φόρµουλα τιµολόγησης των δικαιωµάτων προαίρεσης και µάλιστα πήραν και το βραβείο Nobel για αυτήν τη φόρµουλα.

46 Η φόρµουλα των Black and Scholes τροποποιηµένη έτσι ώστε να υπολογίζει την τιµή των δικαιωµάτων προαίρεσης για την επόµενη ηµέρα, +, χρησιµοποιώντας πληροφορίες οι οποίες είναι διαθέσιµες την ηµέρα. όπου, C P d d ( τ) γ τ rτ + \ = Se N( d) Ke N( d) ( τ) γ τ rτ = S e { N( d ) } + Ke { N( d )} + \ = d S ln = σ K ( τ) + + \ r γ + ( τ) σ τ τ + \ ( τ) ( σ ) + \ ( τ) + : η προβλεπόµενη τιµή του Call opion, τη χρονική στιγµή +, µε τ µέρες µέχρι τη λήξη του C \ ( τ) + : η προβλεπόµενη τιµή του Pu opion, τη χρονική στιγµή +, µε τ µέρες µέχρι τη λήξη του P \ S : η τιµή κλεισίµατος του είκτη τη χρονική στιγµή, η οποία χρησιµοποιείται σαν πρόβλεψη της S +. τ: ο αριθµός των ηµερών που θα είναι ακόµα «ζωντανό» το opion (ο χρόνος µέχρι τη λήξη του). r : το χωρίς κίνδυνο ηµερήσιο επιτόκιο. Συνήθως χρησιµοποιούµε την απόδοση του µηνός κρατικού οµολόγου. Π.χ. για 3.5% απόδοση στο Κρατικό οµόλογο -µηνός έχουµε, r = ln(,035) / 365. τ

47 γ : η ηµερήσια µερισµατική απόδοση του FTSE0. K : η τιµή εξάσκησης κατά την ηµέρα λήξης τ. N (). : η αθροιστική συνάρτηση της κανονικής κατανοµής. ( τ) + \ : η προβλεπόµενη τυπική απόκλιση κατά τη διάρκεια της υπόλοιπης ζωής του opion. σ

48 Οι Black and Scholes υπέθεσαν ότι το volailiy κατά τη διάρκεια της ζωής του δικαιώµατος προαίρεσης είναι γνωστό και σταθερό. Υπόθεση που δεν ισχύει αφού και από το γράφηµα του volailiy της ηµερήσιας µεταβολής της τιµής του δείκτη FTSE0 µπορούµε να δούµε ότι µεταβάλετε και µάλιστα µε έντονους ρυθµούς. Από τις παραµέτρους της Black and Scholes φόρµουλας η µόνη άγνωστη στον επενδυτή παράµετρος είναι η ( τ) + \ την σ οποία µπορούµε να εκτιµήσουµε µέσω του EGARCH µοντέλου. Αν θελήσουµε να υπολογίσουµε µε την Black and Scholes φόρµουλα την αυριανή τιµή ενός call και ενός pu στο FTSE0, που λήγουν σε 8 ηµέρες από σήµερα µε τιµή εξάσκησης τις 750 µονάδες γνωρίζοντας ότι τη στιγµή η τιµή του FTSE0 είναι , η µερισµατική απόδοση 3% και το χωρίς κίνδυνο ετήσιο επιτόκιο 3.5%, το µόνο που δε γνωρίζουµε είναι η 8 / + = ˆ+ i i= ( 7) σ τ σ.

49 Μπορούµε να υπολογίσουµε τα ˆ σ µέσω του EViews από την επιλογή Forecas του EGARCH µοντέλου που έχουµε +i εκτιµήσει. Επιλέγουµε να προβλέψουµε τη δεσµευµένη διακύµανση για τις επόµενες 8 ηµέρες Η ρίζα του µέσου όρου των προβλέψεων για τις ηµέρες 94 µε 300 ισούται µε ( 7) σ.8638%. + = Οπότε, αντικαθιστώντας τις τιµές όλων των παραµέτρων στην Black and Scholes φόρµουλα, οι προβλέψεις για τις τιµές του call και του pu την επόµενη ηµέρα είναι ( τ) C 3.78 και + \ = ( τ) P + \ = 8.07, αντίστοιχα.

50 The cash flows of aking long and shor posiions in call and pu opions.

51 The cash flows of aking long and shor sraddle posiions.

52 Cumulaive raes of reurn under he AR()-GARCH(,)-n model from rading sraddles on he S&P500 index ( March 998 June 000). 4 Cumulaive reurns Trading Days

53 Daily raes of reurn from rading sraddles on he S&P500 index based on he volailiy forecass produced by he nine ARCH models of secion ( March 998 June 000). $0 ransacion cos $0.00 filer Model Mean Sand. Dev. raio Days. AR()-GARCH(0,) 3.4% 8.0% AR()-GARCH(,) 3.9% 7.9% AR()-GARCH(,) 4.0% 7.8% AR()-GJR (0,) 3.8% 7.9% AR()-GJR (,) 3.9% 7.9% AR()-GJR (,) 4.0% 7.9% AR()-EGARCH(0,) 3.4% 8.0% AR()-EGARCH(,) 3.4% 8.0% AR()-EGARCH(,) 3.% 8.0%

54 Daily raes of reurn from rading sraddles on he S&P500 index based on he volailiy forecass produced by he nine ARCH models of secion ( March 998 June 000). $ ransacion cos $.00 filer Model Mean Sand. Dev. raio Days. AR()-GARCH(0,) 0.6% 8.6% AR()-GARCH(,) 0.7% 8.9% AR()-GARCH(,) 0.9% 8.7% AR()-GJR (0,) 0.7% 8.8% AR()-GJR (,) 0.8% 8.0% AR()-GJR (,) 0.8% 7.8% AR()-EGARCH(0,) 0.3% 8.% AR()-EGARCH(,) 0.4% 7.% AR()-EGARCH(,) 0.0% 7.6%

55 Daily raes of reurn from rading sraddles on he S&P500 index based on he volailiy forecass produced by he nine ARCH models of secion ( March 998 June 000). $ ransacion cos $3.50 filer Model Mean Sand. T Dev. raio Days. AR()-GARCH(0,).% 8.6% AR()-GARCH(,).6% 9.3% AR()-GARCH(,).5% 9.% AR()-GJR (0,).8% 9.5% AR()-GJR (,).3% 8.5% AR()-GJR (,) 0.7% 8.0% AR()-EGARCH(0,).% 8.4% AR()-EGARCH(,) 0.5% 7.7% AR()-EGARCH(,) 0.7% 7.9%