Υποδείγµατα Πρόβλεψης Μεταβλητότητας σε Χρηµατοοικονοµικές Αγορές: Μετοχές, ικαιώµατα Προαίρεσης, Νοµίσµατα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Υποδείγµατα Πρόβλεψης Μεταβλητότητας σε Χρηµατοοικονοµικές Αγορές: Μετοχές, ικαιώµατα Προαίρεσης, Νοµίσµατα Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ Αθανάσιος Π. Φάσσας Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Συριόπουλος Πάτρα, 2009

2 Η παρούσα διδακτορική διατριβή χρηµατοδοτήθηκε από την Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας του Υπουργείου Ανάπτυξης µέσω του Προγράµµατος ΠΕΝΕ 2003 (Κωδικός έργου: 03E /477). 2

3 ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠH Τριµελής Συµβουλευτική Επιτροπή: Επιβλέπων Καθηγητής: Μέλη: Συριόπουλος Κωνσταντίνος Καθηγητής Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων -Πανεπιστήµιο Πατρών Αλεξάκης Παναγιώτης Αναπληρωτής Καθηγητής Οικονοµικό Τµήµα - Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τσούρος Κωνσταντίνος-Κλαύδιος Καθηγητής Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής Σχολής- Α.Π.Θ. Υπόλοιπα µέλη επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής: Ανδρουλάκης Γεώργιος Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων-Πανεπιστήµιο Πατρών Βενέτης Ιωάννης Επiκoυρος Καθηγητής Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών - Πανεπιστήµιο Πατρών Βραχάτης Μιχαήλ Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών-Πανεπιστήµιο Πατρών Γεωργόπουλος Αντώνιος Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα ιοίκησης Επιχειρήσεων-Πανεπιστήµιο Πατρών

4 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον καθηγητή µου κ.συριόπουλο, χωρίς την καθοδήγηση και τη βοήθεια του οποίου, δε θα ήταν δυνατή η ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής, καθώς επίσης και τον καθηγητή κ.τσούρο, του οποίου η συνδροµή ήταν καθοριστική. Ευχαριστώ ακόµα τους κκ. καθηγητές Π. Αλεξάκη, Γ. Ανδρουλάκη, Ι. Βενέτη, Μ. Βραχάτη και Α. Γεωργόπουλο, καθώς και όλους τους συµµετέχοντες στο έκτο ετήσιο συνέδριο του Συνδέσµου Επιστηµόνων Χρηµατοοικονοµικής και. Λογιστικής Ελλάδος, στο δεύτερο Inernaional Conference on Accouning and Finance στο Πανεπιστήµιο Μακεδονίας και στο Inernaional Conference on Applied Business and Economics στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο για τα χρήσιµα σχόλια και τις παρατηρήσεις τους. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη Βίκυ Καρανικόλα και τους γονείς µου, Πολυνείκη και Ασπασία Φάσσα, για τη θερµή και καταλυτική υποστήριξή τους. 4

5 Περίληψη Η ακριβής πρόβλεψη της µελλοντικής µεταβλητότητας αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιµη για την τιµολόγηση παραγώγων προϊόντων και την αντιστάθµιση κινδύνων στη διαχείριση χαρτοφυλακίων. H τεκµαρτή µεταβλητότητα, όπως αυτή αντανακλάται στις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης, αποτελεί την εκτίµηση της αγοράς για τη µελλοντική πραγµατοποιηθείσα µεταβλητότητα και έχει αποδειχθεί ότι είναι πιο αποτελεσµατική από την αντίστοιχη πρόβλεψη που προκύπτει από την ανάλυση ιστορικών χρονοσειρών. Η παρούσα διατριβή πραγµατεύεται τη δηµιουργία ενός δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας για την Ελληνική χρηµατιστηριακή αγορά, χρησιµοποιώντας έναν τρόπο υπολογισµού, ο οποίος είναι ανεξάρτητος από κάθε υπόδειγµα τιµολόγησης δικαιωµάτων προαίρεσης και βασίζεται σε ένα σταθµισµένο άθροισµα τιµών δικαιωµάτων. Η µεθοδολογία αυτή εφαρµόζεται για πρώτη φορά σε µια περιφερειακή, αναπτυσσόµενη αγορά, όπως το Χρηµατιστήριο Αθηνών. Ο εν λόγω δείκτης τεκµαρτής µεταβλητότητας έχει τις προοπτικές να γίνει δείκτης αναφοράς των προσδοκιών για τη µελλοντική µεταβλητότητα στην Ελληνική µετοχική αγορά, καθώς αποδεικνύεται ότι υπερισχύει στατιστικά της ιστορικής µεταβλητότητας. Επίσης, οι επενδυτές του Χρηµατιστηρίου Αθηνών µπορούν να χρησιµοποιούν το επίπεδό του και τις ηµερήσιες µεταβολές του για να λάβουν επενδυτικές αποφάσεις, καθώς τα αποτελέσµατα της οικονοµετρικής ανάλυσης αποδεικνύουν ότι υπάρχει αρνητική και ασύµµετρη σχέση µεταξύ των µεταβολών του δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας και των αποδόσεων του υποκείµενου µετοχικού δείκτη FTSE/Χ.Α.-20. Τέλος, η εµπειρική έρευνα καταγράφει την επιρροή της τεκµαρτής µεταβλητότητας των κυριοτέρων χρηµατιστηρίων του εξωτερικού στην εγχώρια τεκµαρτή µεταβλητότητα, ενώ επιπλέον προσπαθεί να αναπτύξει ένα υπόδειγµα για την πρόβλεψη της τεκµαρτής µεταβλητότητας αυτής καθαυτής.

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή...11 Κεφάλαιο 2 Ορισμός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Ορισμός της Μεταβλητότητας Τεκμαρτή Μεταβλητότητα Επιμέρους Ορισμοί και αναλογίες Υποδείγματα τιμολόγησης δικαιωμάτων Το υπόδειγμα Black-Scholes (1973) Το υπόδειγμα Meron (1973) Το υπόδειγμα Black (1976) Garman και Kohlhagen (1983) Το υπόδειγμα Cox, Ross και Rubinsein (1979) Barone-Adesi και Whaley (1987) Υπόδειγμα σταθερής ελαστικότητας της διακύμανσης (CEV) Διαδικασίες διάχυσης αλμάτων (Jump-diffusion processes) Στοχαστικά υποδείγματα μεταβλητότητας Στοχαστικό Υπόδειγμα Heson (1993) Αξιολόγηση των διαφόρων υποδειγμάτων Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Παχιές Ουρές (Thick ails) Συσσώρευση της μεταβλητότητας (Volailiy clusering) Ισχυρή μνήμη της μεταβλητότητας (Long memory propery) Αντιστροφή προς τη μέση μεταβλητότητα (Mean reversion) Ασυμμετρία της μεταβλητότητας (Asymmery) Εξωγενείς παράγοντες που ενδέχεται να επηρεάσουν τη μεταβλητότητα...38 Κεφάλαιο 3 Υποδείγματα Πρόβλεψης Μεταβλητότητας Υποδείγματα βασισμένα σε ανάλυση χρονοσειρών Υποδείγματα Ιστορικής Μεταβλητότητας Ομάδα Υποδειγμάτων GARCH/ ARCH Στοχαστικά Υποδείγματα Μεταβλητότητας Υποδείγματα βασισμένα στις αγοραίες τιμές των δικαιωμάτων προαίρεσης (opions) Mη παραμετρικά μοντέλα Αξιολόγηση των προβλέψεων Πρόβλεψη μεταβλητότητας βασισμένη σε υποδείγματα χρονοσειρών Προβλέψεις βασισμένες σε στοχαστικά υποδείγματα μεταβλητότητας Προβλέψεις βασισμένες στις αγοραίες τιμές των δικαιωμάτων προαίρεσης Μεμονωμένες Μετοχές Μετοχικοί Δείκτες Συναλλαγματικές Ισοτιμίες και Άλλα Περουσιακά στοιχεία Γενικό συμπέρασμα συγκρίσεων των προβλέψεων...65 Κεφάλαιο 4 Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας Ο αρχικός VIX Ο νέος VIX Λόγοι αλλαγής της μεθοδολογίας Λοιποί Επίσημοι Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας VDAX VX Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας του χρηματιστηρίου Eurex Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας του χρηματιστηρίου Euronex Υπόλοιποι Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας του χρηματιστηρίου CBOE...80

7 4.3.6 Δείκτες Μεταβλητότητας άλλων χρηματιστηρίων «Ακαδημαϊκοί» Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας...82 Κεφάλαιο 5 Ελληνική οικονομία και Αγορές Χρηματιστηρίου Αθηνών Ελληνική Οικονομία Ελληνική Κεφαλαιαγορά Χρηματιστήριο Αθηνών Επιτροπή Κεφαλαιαγοράς Αγορά Παραγώγων του Χρηματιστηρίου Αθηνών O Δείκτης FTSE/Χ.Α Δικαιώματα Προαίρεσης στο δείκτη FTSE/Χ.Α Κεφάλαιο 6 Κατασκευή του Ελληνικού Δείκτη Τεκμαρτής Μεταβλητότητας (GRIV) Τρόπος Υπολογισμού του GRIV Πρακτικό παράδειγμα υπολογισμού του δείκτη GRIV Ιδιότητες του GRIV Διερεύνηση εποχικότητας στις μεταβολές του Δείκτη Τεκμαρτής Μεταβλητότητας Μέθοδος παλινδρόμησης ελάχιστων τετραγώνων Υπόδειγμα GARCH (1,1) Κεφάλαιο 7 Δείκτης Τεκμαρτής Μεταβλητότητας και υποκείμενη μετοχική αγορά Δεδομένα Εμπειρικής ανάλυσης Μεθοδολογία Εμπειρικής ανάλυσης Αποτελέσματα Εμπειρικής ανάλυσης Βαθμός Συσχέτισης (Correlaion) Μέθοδος Παλινδρόμησης Αιτιότητα κατά Granger (Granger Causaliy) Έλεγχος της σχέσης του δείκτη GRIV με τις μελλοντικές μετοχικές αποδόσεις Κεφάλαιο 8 Ελληνικός Δείκτης Τεκμαρτής Μεταβλητότητας και πραγματοποιηθείσα μεταβλητότητα Δείκτης Τεκμαρτής Μεταβλητότητας και εύρος αποδόσεων του FTSE/Χ.Α Δεδομένα εμπειρικής έρευνας Έλεγχος της σχέσης τεκμαρτής και πραγματοποιηθείσας μεταβλητότητας Τυπική εμπειρική ανάλυση Προσέγγιση των Βοηθητικών Μεταβλητών (Insrumenal Variables) Μεροληψία της τεκμαρτής μεταβλητότητας Κεφάλαιο 9 Βαθμός συσχέτισης με διεθνείς δείκτες τεκμαρτής μεταβλητότητας Αλληλεπίδραση των μετοχικών αγορών Βαθμός συσχέτισης με τον Αμερικάνικο και το Γερμανικό Δείκτη Δεδομένα Εμπειρικής ανάλυσης Μεθοδολογία Εμπειρικής ανάλυσης Αποτελέσματα Εμπειρικής ανάλυσης Βαθμός συσχέτισης με τους υπόλοιπους Ευρωπαϊκούς δείκτες τεκμαρτής μεταβλητότητας 138 Κεφάλαιο 10 Πρόβλεψη της Τεκμαρτής Μεταβλητότητας Δεδομένα και Μεθοδολογία Εμπειρικής ανάλυσης Αποτελέσματα Εμπειρικής ανάλυσης Η μεταβλητότητα ως εμπορεύσιμο αγαθό Πλεονεκτήματα επένδυσης στη μεταβλητότητα Τρόποι επένδυσης στη μεταβλητότητα Κεφάλαιο 11 Τελικά Συμπεράσματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...163

8 Ευρετήριο Πινάκων Πίνακας 1 - Δείκτες Τεκμαρτής Μεταβλητότητας...I Πίνακας 2 - Η σύνθεση του Δείκτη FTSE/Χ.Α. 20 (Ιαν 2008)...VI Πίνακας 3 - Συνοπτικά χαρακτηριστικά συμβολαίων Δικαιωμάτων Προαίρεσης επί του δείκτη FTSE/Χ.Α VI Πίνακας 4 Τιμές δικαιωμάτων προαίρεσης στις 30/12/ VII Πίνακας 5 Τιμές δικαιωμάτων προαίρεσης που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του δείκτη GRIV στις 30/12/ VII Πίνακας 6 Βασικά Στατιστικά του δείκτη GRIV και της ημερήσιας μεταβολής του...viii Πίνακας 7 Αυτοσυσχέτιση (GRIV και ΔGRIV και αποδόσεις FTSE/Χ.Α. 20)...VIII Πίνακας 8 Έλεγχος για μοναδιαία ρίζα (GRIV και FTSE/Χ.Α. 20)...IX Πίνακας 9 Κατανομή τιμών GRIV κατά εκατοστημόρια...ix Πίνακας 10 Έλεγχος εποχικότητας με τη μέθοδο της παλινδρόμησης...ix Πίνακας 11 Έλεγχος εποχικότητας με τη μέθοδο GARCH (1,1)...X Πίνακας 12 Βασικά Στατιστικά των ημερήσιων αποδόσεων του FTSE/Χ.Α XI Πίνακας 13 Παλινδρόμηση 7.2: R FTSE/Χ.Α.-20 = c + b Δ GRIV...XI Πίνακας 14 Συσχετόγραμμα των υπολοίπων και έλεγχος των Breusch-Godfrey της XI + Πίνακας 15 Παλινδρόμηση 7.3: R FTSE/Χ.Α.-20 = α GRIV + β GRIV...XII Πίνακας 16 Συσχετόγραμμα των υπολοίπων και έλεγχος των Breusch-Godfrey της XII Πίνακας 17 Έλέγχος αιτιότητας κατά Granger (ΔGRIV και απόδοση FTSE/Χ.Α.-20)...XII Πίνακας 18 Παλινδρόμηση 7.4: R = α GRIV(-1) + β GRIV + c + ε...xiii Πίνακας 19 Μέση Μελλοντική απόδοση και τυπική απόκλιση για για κάθε Καθεστώς του επιπέδου του δείκτη GRIV...XIII Πίνακας 20 Δείκτης Τεκμαρτής Μεταβλητότητας και μελλοντικές αποδόσεις...xiv Πίνακας 21 Βασικά στατιστικά στοιχεία πραγματοποιηθείσας και τεκμαρτής μεταβλητότητας...xiv Πίνακας 22 Έλεγχος ισότητας των μέσων τιμών των δύο χρονοσειρών πραγματοποιηθείσας και τεκμαρτής μεταβλητότητας...xv Πίνακας 23 Παλινδρόμησεις πραγματοποιηθείσας και τεκμαρτής μεταβλητότητας...xv Πίνακας 24 Παλινδρόμηση λογαρίθμων πραγματοποιηθείσας και τεκμαρτής μεταβλητότητας...xv

9 Πίνακας 25 Παλινδρόμησεις με προσέγγιση των βοηθητικών μεταβλητών...xvi Πίνακας 26 Παλινδρόμησεις τροποποιημένης πραγματοποιηθείσας και τεκμαρτής μεταβλητότητας...xvi Πίνακας 27 Βασικά στατιστικά επιπέδων και ημερήσιων μεταβολών κυριοτέρων δεικτών τεκμαρτής μεταβλητότητας (Ιανουάριος Δεκέμβριος 2007)...XVII Πίνακας 28 Βαθμός Συσχέτισης Επιπέδων και Ημερήσιων μεταβολών κυριοτέρων δεικτών τεκμαρτής μεταβλητότητας...xviii Πίνακας 29 Παρατεταμένος έλεγχος μοναδιαίας ρίζας των Dickey-Fuller (ADF) κυριοτέρων δεικτών τεκμαρτής μεταβλητότητας...xviii Πίνακας 30 Βαθμός Συσχέτισης Επιπέδων και Μεταβολών GRIV,VIX και VDAX...XIX Πίνακας 31 Κριτήρια επιλογής αριθμού χρονικών υστερήσεων για εξίσωση XIX Πίνακας 32 Βαθμός συσχέτισης των υπολοίπων (εξίσωση 9.1)...XIX Πίνακας 33 Έλέγχος αιτιότητας κατά Granger των ΔGRIV, ΔVIX και ΔVDAX...XIX Πίνακας 34 Αποτελέσματα Διανυσματική Αυτοπαλίνδρομης Ανάλυσης (εξίσωση 9.1)...XX Πίνακας 35 Συνάρτηση κρουστικής απόκρισης των μεταβολών του GRIV...XXI Πίνακας 36 Αποδόμηση της διακύμανσης των μεταβολών του GRIV...XXI Πίνακας 37 Αποτελέσματα για την εντός-του-δείγματος ανάλυση...xxii Πίνακας 38 Αποτελέσματα για την εκτός-του-δείγματος ανάλυση...xxiii Πίνακας 39 Παλινδρόμηση πραγματικών τιμών και αντίστοιχων προβλέψεων για τις μεταβολές του GRIV...XXIV

10 Ευρετήριο ιαγραµµάτων Διάγραμμα 1 - Ημερήσια τιμή του GRIV (περίοδος )...XXV Διάγραμμα 2 - Ημερήσια τιμή του GRIV και του FTSE/Χ.Α.-20 (περίοδος )...XXV Διάγραμμα 3 Μέση τιμή GRIV ανά ημέρα (περίοδος )...XXVI Διάγραμμα 4 - Ημερήσια τιμή του GRIV και του VIX (περίοδος )...XXVI Διάγραμμα 5 - Ημερήσια τιμή του GRIV και του VDAX (περίοδος )...XXVII Διάγραμμα 6 - Αναμενόμενο εύρος αποδόσεων του FTSE/Χ.Α.-20 για τις επόμενες 30 ημέρες για κάθε υποθετικό επίπεδο του GRIV...XXVII Διάγραμμα 7 - Πραγματοποιηθείσα και Τεκμαρτή μεταβλητότητα...xxviii Διάγραμμα 8 - Κέρδη/ Ζημίες Sraddle...XXVIII Διάγραμμα 9 - Κέρδη/ Ζημίες Swap Long Θέση...XXIX Διάγραμμα 10 - Κέρδη/ Ζημίες Swap Shor Θέση...XXIX

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η επίγνωση των κινδύνων µας επιτρέπει να διαµορφώσουµε ανάλογα τη συµπεριφορά µας, έτσι ώστε να µπορέσουµε να τους διαχειριστούµε αποτελεσµατικά. Με δεδοµένο ότι η αποφυγή όλων των κινδύνων είναι αδύνατη, προσπαθούµε να αναλάβουµε κινδύνους µε κριτήριο το αν οι πιθανές ωφέλειες ξεπερνούν τα πιθανά κόστη. Αυτό, άλλωστε, αποτελεί και τη βασική αρχή της χρηµατοοικονοµικής επιστήµης, η έκθεση σε «λογικούς» κινδύνους: πρέπει να αναλάβουµε κάποιους κινδύνους για να έχουµε κάποια ανταµοιβή, αλλά σε καµία περίπτωση όλοι οι κίνδυνοι δεν επιβραβεύονται το ίδιο (Engle, 2004). Οι Markowiz (1952) και Tobin (1958) ήταν αυτοί που πρώτοι συνέδεσαν τον κίνδυνο µε τη διακύµανση της αξίας ενός χαρτοφυλακίου, ενώ ο Sharpe (1964) ανέπτυξε ένα υπόδειγµα τιµολόγησης των κεφαλαιακών αγαθών που βασίζεται στη σχέση µεταξύ αναµενόµενης απόδοσης και διακύµανσης. Για την πρακτική εφαρµογή όλων των σχετικών θεωριών απαιτείται µια εκτίµηση της διακύµανσης. Η πιο διαδεδοµένη τέτοια µέθοδος, η ιστορική µεταβλητότητα, εκτιµά τη µελλοντική µεταβλητότητα µέσω του υπολογισµού της παρελθούσας µεταβλητότητας των αποδόσεων ενός δείγµατος σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα. Η συνήθης πρακτική ήταν να χρησιµοποιείται η τυπική απόκλιση, δηλαδή η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. Γρήγορα όµως ανέκυψαν διάφορα θέµατα και προβληµατισµοί, καθώς η µεταβλητότητα δεν παραµένει σταθερή, αλλά µεταβάλλεται µε το πέρασµα του χρόνου, έτσι ώστε τα αποτελέσµατα της µέτρησής της διαφοροποιούνται, ανάλογα µε την περίοδο υπολογισµού και τη συχνότητα των παρατηρήσεων (Mandelbro, 1963 και Fama, 1965). Επιπλέον, έχει βρεθεί (Diebold e al, 1998) ότι οι προβλέψεις της µεταβλητότητας εξαρτώνται από παράγοντες, όπως το τρέχον επίπεδο της µεταβλητότητας, η δοµή της µεταβλητότητας (π.χ. ο βαθµός εµµονής και ή η τάση επιστροφής της στη µέση τιµή) και ο χρονικός ορίζοντας της πρόβλεψης. Τέλος, ο βαθµός εµµονής της µεταβλητότητας, ο οποίος είναι σηµαντικός σε ηµερήσιο επίπεδο, βαίνει µειούµενος καθώς η συχνότητα των δεδοµένων µειώνεται (Diebold, 1988; Baillie και Bollerslev, 1989; Poon και Taylor, 1992). Αυτό το στοιχείο περιπλέκει ακόµα περισσότερο την οποιαδήποτε προσπάθεια γενίκευσης των προβλέψεων της µεταβλητότητας. Εποµένως, δεν είναι λογικό να υποθέσουµε ότι η µεταβλητότητα για τον επόµενο χρόνο θα είναι σταθερή για όλη την εξεταζόµενη χρονική περίοδο. Χρειάζεται, λοιπόν, µια θεωρία δυναµικής µεταβλητότητας. Μια τέτοια είναι η τεκµαρτή µεταβλητότητα., η οποία εκφράζει την προσδοκία των συµµετεχόντων στην αγορά ως προς τη µελλοντική πραγµατοποιηθείσα 11

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή µεταβλητότητα και η οποία, εποµένως, αποτελεί την αγοραία πρόβλεψη της µεταβλητότητας. Θα ήταν λοιπόν λογικό να αποτελεί µια καλύτερη πρόβλεψη σε σχέση µε την πρόβλεψη που προκύπτει από την ανάλυση χρονοσειρών, αλλά και σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν περιορισµοί, που έχουν να κάνουν κυρίως µε το υπόδειγµα τιµολόγησης των δικαιωµάτων από το οποίο τεκµαίρεται η µεταβλητότητα. Το υπόδειγµα των Black-Scholes είναι µακράν το πιο διαδεδοµένο υπόδειγµα για την τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης παρόλο, που αρκετές από τις υποθέσεις του δεν ισχύουν απόλυτα. Ένα επιπλέον ζήτηµα σχετίζεται µε το αν ο υπολογισµός της τεκµαρτής µεταβλητότητας πρέπει να γίνεται από τα δικαιώµατα στο χρηµατικό ισοδύναµο (a-he-money), ή από έναν σταθµισµένο µέσο όρο της τιµής όλων των δικαιωµάτων. Η πιο συνηθισµένη πρακτική πάντως είναι ο υπολογισµός της τεκµαρτής µεταβλητότητας από δικαιώµατα στο χρηµατικό ισοδύναµο, τα οποία έχουν και τη µεγαλύτερη ρευστότητα και εποµένως ελαχιστοποιούν τυχόν σφάλµατα στις µετρήσεις, αλλά είναι, και από θεωρητικής απόψεως, πιο κατάλληλα. Μια σειρά εργασιών 1 ασχολήθηκε µε την αποτελεσµατικότητα των µεµονωµένων ή συνδυασµένων υπολογισµών της τεκµαρτής µεταβλητότητας και, το γενικό συµπέρασµα είναι ότι τα καλύτερα αποτελέσµατα δίνει η χρησιµοποίηση ενός σταθµισµένου µέσου όρου. Η λογική αυτή είναι που χρησιµοποιείται για την κατασκευή του δείκτη µεταβλητότητας VIX, όπου λαµβάνονται υπόψη οι τιµές των τεσσάρων δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης µε τιµές εξάσκησης πιο κοντά στο χρηµατικό ισοδύναµο. Ο δείκτης VIX εκφράζει την άποψη των συµµετεχόντων στην Αµερικανική µετοχική χρηµατιστηριακή αγορά για την αναµενόµενη µελλοντική µεταβλητότητά της. Πρωτοπαρουσιάστηκε το 1993 και η κατασκευή του αρχικώς στηρίχτηκε στην εργασία του Whaley (1993). Ο VIX υπολογίζεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να εκφράζει τη µεταβλητότητα ενός υποθετικού δικαιώµατος στο χρηµατικό ισοδύναµο που έχει σταθερή διάρκεια ζωής 22 εργάσιµες µέρες (30 ηµερολογιακές). Πολύ γρήγορα ο συγκεκριµένος δείκτης έγινε ο δείκτης αναφοράς της τεκµαρτής µεταβλητότητας του αµερικανικού χρηµατιστηρίου. Το παράδειγµα του CBOE, σύντοµα, ακολούθησαν και άλλα µεγάλα χρηµατιστήρια του κόσµου και παρουσίασαν τους δικούς τους αντίστοιχους δείκτες. Ειδικότερα, το Deusche Börse δηµιούργησε το 1994 τον VDAX, ενώ το Γαλλικό χρηµατιστήριο Marché des Opions Négociables de Paris (MONEP) το 1997 παρουσίασε τον VX1. Το 2000 το CBOE και πάλι 1 Ενδεικτικά αναφέρονται οι Gemmill (1986), Sco και Tucker (1989), Fung e al (1990), Kroner e al (1995), Vasilellis και Meade (1996) και Ederingon και Guan (2002a). 12

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή δηµιούργησε τον NASDAQ Volailiy Index (VXN) που βασίζεται στα δικαιώµατα προαίρεσης του δείκτη υψηλής τεχνολογίας NASDAQ 100. Το Σεπτέµβριο του 2003 το ίδιο χρηµατιστήριο ξεκίνησε τον υπολογισµό και τη µετάδοση τιµών του νέου δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας (he new VIX), ο οποίος πλέον υπολογίζεται µε βάση µια µεθοδολογία, η οποία στηρίζεται στην εργασία των Demeerfi, e al (1999a) για την τιµολόγηση των ανταλλαγών (swaps) πάνω στη διακύµανση και τη µεταβλητότητα. Η διαφορά της µεθοδολογίας συνοψίζεται στο ότι δεν χρειάζεται πλέον το υπόδειγµα Black-Scholes, αλλά ο υπολογισµός της τεκµαρτής µεταβλητότητας γίνεται µέσω αθροίσεων των τιµών των δικαιωµάτων προαίρεσης και, έτσι είναι υπολογιστικά λιγότερο απαιτητικός. Πρόκειται δηλαδή για έναν τρόπο υπολογισµού της τεκµαρτής µεταβλητότητας ελεύθερο υποδείγµατος (model-free). Η µαθηµατική βάση της νέας µεθοδολογίας δεν είναι η µεταβλητότητα (όπως συνέβαινε µε την παλαιά µεθοδολογία), αλλά η διακύµανση, ή αλλιώς η µεταβλητότητα στο τετράγωνο (ο δείκτης ουσιαστικά µετράει την τετραγωνική ρίζα της τεκµαρτής διακύµανσης). Η νέα µεθοδολογία βασίζεται σε µεγαλύτερο φάσµα δικαιωµάτων, εποµένως, µειώνεται η εξάρτηση του δείκτη από µεµονωµένα δικαιώµατα και καλύπτεται καλύτερα η ασυµµετρία της µεταβλητότητας. Με τον τρόπο αυτό καλύπτεται καλύτερα ολόκληρο το φάσµα της µεταβλητότητας και, όχι µόνο η τεκµαρτή µεταβλητότητα των δικαιωµάτων στο χρηµατικό ισοδύναµο. Σε πρακτικό επίπεδο, ένας δείκτης τεκµαρτής µεταβλητότητας µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως υποκείµενη αξία σε παράγωγα προϊόντα. Το Deusche Boerse ήταν το πρώτο χρηµατιστήριο που δηµιούργησε, το 1998, συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης πάνω στη µεταβλητότητα (VOLAX), ενώ στις 26 Μαρτίου 2004 ξεκίνησε στο Chicago Board Opions Exchange (CBOE) η διαπραγµάτευση συµβολαίων µελλοντικής εκπλήρωσης πάνω στο δείκτη VIX, και δύο χρόνια αργότερα, στις 24 Φεβρουαρίου 2006 ξεκίνησαν να διαπραγµατεύονται τα αντίστοιχα δικαιώµατα προαίρεσης. Ένας δείκτης τεκµαρτής µεταβλητότητας µπορεί ακοµά να χρησιµοποιηθεί ως µεταβλητή για τον υπολογισµό της αξίας σε κίνδυνο (Value-a-Risk, VaR). Η VaR προσπαθεί να υπολογίσει σε χρήµατα δηλαδή σε ευρώ το µέγιστο ποσό που µπορεί να χαθεί από µια συγκεκριµένη επένδυση, σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα στο µέλλον και για συγκεκριµένες πιθανότητες (συνήθως για ένα συγκεκριµένο διάστηµα σηµαντικότητας). Για τον υπολογισµό του χρειάζεται µια τιµή για τη µεταβλητότητα της υπό εξέταση περιόδου. Η συνήθης πρακτική είναι να χρησιµοποιείται η αντίστοιχη ιστορική µεταβλητότητα, αλλά η χρήση της τεκµαρτής µεταβλητότητας ως η εκτίµηση της αγοράς 13

14 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή για τη µελλοντική µεταβλητότητα έχει αρχίσει να κερδίζει έδαφος στον χρηµατοοικονοµικό κόσµο. Σε ακαδηµαϊκό επίπεδο, από την άλλη, η τεκµαρτή µεταβλητότητα έχει κατά καιρούς «απασχολήσει» τη βιβλιογραφία µε διάφορους τρόπους. Ενδεικτικά οι Harvey και Whaley (1991) αναφέρουν έρευνες που έχουν ασχοληθεί µε το συσχετισµό των αλλαγών που συµβαίνουν στα επίπεδα της τεκµαρτής µεταβλητότητας της αγοράς και συγχρόνως τις αντίστοιχες αν υπάρχουν αλλαγές, είτε σε µακροοικονοµικά δεδοµένα (Schmalensee και Trippi, 1978; Franks και Schwarz, 1991), είτε στη µεταβλητότητα µεµονωµένων µετοχών (Merville και Piepea, 1989). Επίσης, αναφέρουν ότι, κάποιες άλλες έρευνες εξετάζουν αν η τεκµαρτή µεταβλητότητα συνδέεται µε φυσιολογικές δραστηριότητες στις χρηµαταγορές (Poerba και Summers, 1986; Day και Lewis, 1988; Schwer, 1989). Αδιαµφισβήτητο όµως είναι τo γεγονός ότι οι περισσότερες έρευνες έχουν ασχοληθεί µε τη σχέση της τεκµαρτής µεταβλητότητας µε την µελλοντική πραγµατοποιηθείσα µεταβλητότητα και την ικανότητα της πρώτης να προβλέψει αποτελεσµατικά τη δεύτερη. Αντιθέτως, περιορισµένη είναι η έρευνα που εξετάζει την πιθανή σχέση τεκµαρτής µεταβλητότητας και µελλοντικών αποδόσεων των µετοχικών τίτλων, γεγονός που, κατά τον Gio (2005b), αποδίδεται στην πεποίθηση ότι οι αγορές είναι αποτελεσµατικές και εποµένως, καµία παράµετρος/ µεταβλητή, συµπεριλαµβανοµένης φυσικά της τεκµαρτής µεταβλητότητας, δε µπορεί να βοηθήσει στην πρόβλεψη της µελλοντικής πορείας των µετοχών. Με βάση το προαναφερθέν πλαίσιο, η παρούσα εργασία ασχολείται µε τον υπολογισµό και τα χαρακτηριστικά ενός δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας για την Ελληνική αγορά (στο εξής GRIV 2 ) µε βάση τη νέα µεθοδολογία που χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό του VIX. Ο Dupire (1994) ισχυρίζεται ότι η µεταβλητότητα που τεκµαίρεται από το υπόδειγµα των Black και Scholes για ένα δικαίωµα προαίρεσης µε τιµή εξάσκησης Χ, ισούται περίπου µε την αναµενόµενη µεταβλητότητα για µια πιθανή τροχιά της τιµής της υποκείµενης αξίας µε κατάληξη στην λήξη του δικαιώµατος στην τιµή Χ. Αντιθέτως, ο δείκτης τεκµαρτής µεταβλητότητας που υπολογίζεται µε βάση την ανεξάρτητη από υποδείγµατα µεθοδολογία, είναι η τετραγωνική ρίζα της αναµενόµενης διακύµανσης για όλες τις πιθανές τροχιές της τιµής. Οι Carr και Lee (2003) βρήκαν ότι η τεκµαρτή µεταβλητότητα των Black και Scholes είναι πιο κοντά στην αναµενόµενη µεταβλητότητα όταν η τιµή εξάσκησης είναι στο χρηµατικό ισοδύναµο. 2 GReek Implied Volailiy 14

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ο GRIV είναι η τετραγωνική ρίζα της ετησιοποιηµένης προθεσµιακής τιµής της διακύµανσης των τριάντα ηµερών των αποδόσεων του δείκτη FTSE/Χ.Α.-20. Αυτή η προθεσµιακή τιµή βασίζεται στην αντιγραφή της συνολικής διακύµανσης µέσω ενός χαρτοφυλακίου δικαιωµάτων τα οποία αντισταθµίζονται µε συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης για να ουδετεροποιηθεί το δέλτα τους. Η συνεισφορά στην τεκµαρτή µεταβλητότητα είναι ανάλογη της τιµής εξάσκησης των δικαιωµάτων πώλησης και αντιστρόφως ανάλογη της τιµής εξάσκησης των δικαιωµάτων αγοράς. Η διαδικασία παρεµβολής (inerpolaion process) των δύο σειρών δικαιωµάτων προαίρεσης έχει ως αποτέλεσµα ένα ενιαίο µέγεθος για την τεκµαρτή µεταβλητότητα, το οποίο ετησιοποιείται για να µας δώσει την τιµή του δείκτη GRIV. Η δηµιουργία ενός δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας για την Ελληνική χρηµατιστηριακή αγορά αποτελεί µια πρόκληση, καθώς πρόκειται για µια νέα αγορά 3, µε περιορισµένη ρευστότητα 4 και συµµετέχοντες. Αυτός είναι ίσως και ο λόγος που το Χρηµατιστήριο Αθηνών δεν υπολογίζει επίσηµα κάποιο σχετικό δείκτη. Η απουσία δεικτών τεκµαρτής µεταβλητότητας για πολλές από τις µεγάλες χρηµατιστηριακές του κόσµου, επιβραδύνει την ανάπτυξη της εµπειρικής έρευνας σχετικά µε την χρησιµότητα της τεκµαρτής µεταβλητότητας ως εργαλείου για τη λήψη αποφάσεων νοµισµατικής πολιτικής και αντιστάθµισης κινδύνου. Η παρούσα έρευνα συµβάλει στη διεθνή βιβλιογραφία παρουσιάζοντας ένα δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας για µια περιφερειακή αγορά, µέλους της Ευρωζώνης. Επιπρόσθετα, η συνεισφορά της παρούσας διατριβής συνίσταται στο ότι ασχολείται µε την πρόβλεψη της πορείας της τεκµαρτής µεταβλητότητας, και όχι µε τη συνηθισµένη απόπειρα εκτίµησης της µελλοντικής πραγµατοποιηθείσας µεταβλητότητας µέσω της τεκµαρτής µεταβλητότητας. Η παρούσα έρευνα επιχειρεί να καλύψει το σηµαντικό κενό που υπάρχει στην Ελληνική βιβλιογραφία που ασχολείται µε τη µεταβλητότητα και την πρόβλεψή της, καθώς εξετάζει τη σχέση της πραγµατοποιηθείσας µεταβλητότητας του δείκτη FTSE/Χ.Α.-20 και της τεκµαρτής µεταβλητότητας, όπως αυτή µετριέται από τον Ελληνικό δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας. Πράγµατι, ενώ παρατηρείται µια πληθώρα ερευνών που χρησιµοποιούν ιστορικά υποδείγµατα, δεν υπάρχουν καταγεγραµµένες έρευνες που να χρησιµοποιούν την 3 H οργανωµένη αγορά παραγώγων λειτουργεί στην Ελλάδα από τον Αύγουστο του 1999, ενώ δικαιώµατα προαίρεσης πρωτοξεκίνησαν να διαπραγµατεύονται το Σεπτέµβριο του Ο µέσος ηµερήσιος αριθµός συµβολαίων για το 2007 για το συµβόλαιο µελλοντικής εκπλήρωσης στο δείκτη FTSE/X.A.-20, που είναι το δηµοφιλέστερο προϊόν της Χρηµατιστηρίου Παραγώγων Αθηνών, είναι συµβόλαια, ενώ για τα δικαιώµατα προαίρεσης στον ίδιο δείκτη είναι συµβόλαια (πηγή: Χρηµατιστήριο Αθηνών). 15

16 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή µεταβλητότητα που τεκµαίρεται από τα δικαιώµατα αγοράς και πώλησης του Χρηµατιστηρίου Παραγώγων Αθηνών. Επιπρόσθετα, ελέγχεται η αλληλεπίδραση µεταξύ των διεθνών χρηµαταγορών, όχι σε επίπεδο αποδόσεων ή πραγµατοποιηθείσας µεταβλητότητας, όπως συνήθως συµβαίνει στη διεθνή βιβλιογραφία, αλλά σε επίπεδο τεκµαρτής µεταβλητότητας, εξετάζοντας µε αυτόν τον τρόπο τη µετάδοση της αβεβαιότητας των επενδυτών. Επιπλέον, για πρώτη φορά γίνεται µια ολοκληρωµένη απόπειρα καταγραφής όλων των δεικτών τεκµαρτής µεταβλητότητας τόσο αυτών που υπολογίζονται και δηµοσιεύονται από οργανωµένα χρηµατιστήρια, όσο και αυτών που έχουν δηµιουργηθεί στο πλαίσιο της διεθνούς ακαδηµαϊκής έρευνας. Τέλος, η παρούσα διατριβή συνεισφέρει στην υπάρχουσα βιβλιογραφία εφαρµόζοντας τη νέα µεθοδολογία υπολογισµού της τεκµαρτής µεταβλητότητας, η οποία είναι ανεξάρτητη από κάθε υπόδειγµα τιµών των δικαιωµάτων προαίρεσης, σε µια περιφερειακή αγορά (όπως είναι η Ελληνική). Η διάρθρωση της διατριβής έχει ως εξής: στο κεφάλαιο δύο ορίζεται η µεταβλητότητα και περιγράφονται οι βασικές ιδιότητές της, ενώ το κεφάλαιο τρία περιέχει µια εκτενή αναφορά των διαφόρων υποδειγµάτων πρόβλεψης της µελλοντικής πραγµατοποιηθείσας µεταβλητότητας και αναλύεται η αποτελεσµατικότητά τους. Στο κεφάλαιο τέσσερα υπάρχει µια αναλυτική περιγραφή όλων των δεικτών τεκµαρτής µεταβλητότητας που, είτε υπολογίζονται από οργανωµένα χρηµατιστήρια, είτε έχουν δηµιουργηθεί στα πλαίσια της ακαδηµαϊκής έρευνας. Το πέµπτο κεφάλαιο της παρούσας διατριβής περιέχει µια σύντοµη περιγραφή της Ελληνικής οικονοµίας και του Χρηµατιστηρίου Αθηνών (ΧΑ). Το κεφάλαιο έξι περιλαµβάνει τον τρόπο υπολογισµού του Ελληνικού δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας και περιγράφει τις βασικές του ιδιότητες, ενώ το έβδοµο κεφάλαιο εξετάζει τη σχέση του µε τις ταυτόχρονες και µελλοντικές αποδόσεις της υποκείµενης µετοχικής αγοράς. Στο κεφάλαιο οκτώ αναλύεται οικονοµετρικά η σχέση της πραγµατοποιηθείσας µεταβλητότητας του ΧΑ και της τεκµαρτής µεταβλητότητας, όπως αυτή µετριέται από τον Ελληνικό δείκτη τεκµαρτής µεταβλητότητας. Το ένατο κεφάλαιο εξετάζει την τυχόν επιρροή της τεκµαρτής µεταβλητότητας χρηµατιστηρίων του εξωτερικού στην τεκµαρτή µεταβλητότητα της Ελληνικής αγοράς. Το προτελευταίο κεφάλαιο της διατριβής πραγµατεύεται την πρόβλεψη της τεκµαρτής µεταβλητότητας αυτής καθαυτής και το ενδέκατο κεφάλαιο περιέχει τα τελικά συµπεράσµατα. 16

17 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Η µεταβλητότητα τόσο οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά της, όσο και η επιτυχής πρόβλεψή της αποτελεί έναν από τους πιο ενεργούς τοµείς έρευνας της Οικονοµετρίας και της Εµπειρικής Χρηµατοοικονοµικής (Empirical Finance). Αυτό το εκτεταµένο ενδιαφέρον απλά επιβεβαιώνει τη τεράστια σηµασία της µεταβλητότητας στη σύγχρονη οικονοµική ζωή. Επιγραµµατικά, όπως αναφέρουν οι Poon και Granger (2003), η µεταβλητότητα είναι ιδιαίτερα σηµαντική για τους παρακάτω τοµείς: Λήψη επενδυτικών αποφάσεων όταν ερµηνεύεται ως αβεβαιότητα, η µεταβλητότητα αποτελεί βασικό παράγοντα πολλών επενδυτικών αποφάσεων και αναπόσπαστο κοµµάτι της διαχείρισης χαρτοφυλακίων Τιµολόγηση χρηµατοοικονοµικών προϊόντων αποτελεί τη πιο σηµαντική µεταβλητή στην τιµολόγηση των δικαιωµάτων προαίρεσης ιαχείριση Κινδύνου η πρόβλεψη της µεταβλητότητας αποτελεί σηµαντικό εργαλείο για την αξιολόγηση των κινδύνων Χάραξη νοµισµατικής πολιτικής η µεταβλητότητα στις αγορές επηρεάζει σηµαντικά την επενδυτική ψυχολογία και κατά συνέπεια την ευρύτερη οικονοµία. Εποµένως, οι Κεντρικές Τράπεζες λαµβάνουν σοβαρά υπόψη τους τη µεταβλητότητα των µετοχών, οµολόγων, νοµισµάτων και εµπορευµάτων προκειµένου να χαράξουν την νοµισµατική τους πολιτική. Στο κεφάλαιο αυτό θα επιχειρήσουµε να ορίσουµε την µεταβλητότητα και να κατανοήσουµε τις βασικές της ιδιότητες. 2.1 Ορισµός της Μεταβλητότητας Η µεταβλητότητα διαφόρων οικονοµικών αγαθών διαφέρει σηµαντικά: για παράδειγµα, διαφορετική µεταβλητότητα έχει ένα οµόλογο (η τιµή του οποίου επηρεάζεται από το επίπεδο των επιτοκίων) από µία µετοχή. Επίσης διαφορετική µεταβλητότητα παρουσιάζει η µετοχή της Εθνικής Τράπεζας από τη µετοχή της τοπικής γαλακτοβιοµηχανίας Εβροφάρµα. Μια εξήγηση γι αυτό, σύµφωνα µε τον Engle (2004), συνδέεται µε τη βαρύτητα των νέων πληροφοριών. Πρώτα, όµως, πρέπει να καθορίσουµε τι επηρεάζει την τιµή των διαφόρων χρηµατοοικονοµικών αγαθών. Για παράδειγµα, η τιµή που είναι διατεθειµένος να πληρώσει ένας επενδυτής για τη µετοχή µιας εταιρίας εξαρτάται κατά βάση από την άποψή του για το πόσα θα είναι τα µελλοντικά κέρδη και πόσο πιθανό είναι αυτά να επιτευχθούν. Όσο πιο 17

18 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας κερδοφόρα είναι µια επιχείρηση και όσο πιο βέβαια είναι τα κέρδη της, τόσο µεγαλύτερο το τίµηµα που πληρώνει κάποιος για να αποκτήσει τη µετοχή της. Αν θέλουµε να γενικεύσουµε, µπορούµε να πούµε ότι οι µελλοντικές χρηµατικές ροές που απορρέουν από κάθε αγαθό, σε συνδυασµό µε την πιθανότητα και το χρόνο που αυτές θα προκύψουν, καθορίζουν την τιµή του. Επειδή αυτές οι χρηµατοροές είναι αβέβαιες, είτε ως προς το ύψος τους, είτε ως προς το χρόνο τους, οι συµµετέχοντες στις αγορές προσπαθούν να προβλέψουν µια κατανοµή τους µε βάση τα υπάρχοντα στοιχεία. Καθώς νέες πληροφορίες βλέπουν το φως, η προβλεπόµενη κατανοµή µπορεί να µεταβληθεί, αλλάζοντας έτσι και την «δίκαια» τιµή του υπό εξέταση χρηµατοοικονοµικού αγαθού. Πάλι από τον χώρο των µετοχών, για τις µικρότερες εταιρίες, οποιοδήποτε εταιρικό γεγονός και πληροφορία είναι πολύ σηµαντικά. Μπορεί να καθορίσει αν µια συγκεκριµένη εταιρία θα πετύχει και θα εξελιχθεί σε µια µεγάλη και ώριµη επιχείρηση, ή θα αποτύχει και τελικά θα κλείσει. Γι αυτό και η µεταβλητότητα των εταιριών µε µικρότερη κεφαλαιοποίηση είναι µεγαλύτερη από αυτή των µεγαλύτερων εταιριών. Επίσης, υπάρχουν κλάδοι που θεωρούνται πιο «ευαίσθητοι» σε νέες πληροφορίες, π.χ. στο φαρµακευτικό κλάδο, η έγκριση ενός νέου φαρµάκου µπορεί να αλλάξει τα µεγέθη µιας εταιρίας, και γι αυτό παρουσιάζουν µεγαλύτερες διακυµάνσεις τιµών. Καταλήγοντας, η θεωρία αυτή της σηµασίας των πληροφοριών εξηγεί αρκετά πετυχηµένα τις ποιοτικές διαφορές ανάµεσα στα χρηµατοοικονοµικά αγαθά και συνεπώς τις διαφορές στα επίπεδα της µεταβλητότητάς τους. Η µεταβλητότητα λοιπόν είναι το απλούστερο µέσο µέτρησης του κινδύνου ή της αβεβαιότητας ενός χρηµατοοικονοµικού µέσου. Καταρχάς, είναι σηµαντικό να διαχωρίσουµε τη µεταβλητότητα από την τυπική απόκλιση και την έννοια του κινδύνου. Συγκεκριµένα, η µεταβλητότητα, στα χρηµατοοικονοµικά, συχνά αναφέρεται στην τυπική απόκλιση, σ, ή στη διακύµανση, σ 2, η οποία υπολογίζεται ως εξής: 2 σ = 1 N 2 = ( R R) 1 N 1 Η µεταβλητότητα είναι ένα µέγεθος µέτρησης της µέση απόκλισης από τη µέση τιµή. Για ένα µικρό αριθµό παρατηρήσεων όµως, η µέση τιµή του δείγµατος είναι µια µη ακριβής πρόβλεψη της πραγµατικής µέσης τιµής της χρονοσειράς και εποµένως, και η πρόβλεψη/ εκτίµηση της µεταβλητότητας θα είναι ανακριβής. Η ακρίβεια της εκτίµησης της µέσης τιµής βελτιώνεται µόνο αν µεγαλώσει το δείγµα και όχι αν µεγαλώσει η συχνότητα των παρατηρήσεων µέσα στο ίδιο δείγµα. Εποµένως, µια κοινή πρακτική είναι να υπολογίζονται οι αποκλίσεις των παρατηρήσεων όχι από τη µέση τιµή του δείγµατος, αλλά από το µηδέν. 18

19 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Θεωρούµε λοιπόν ότι η µέση τιµή των ηµερήσιων ή εβδοµαδιαίων αποδόσεων για τις αγορές µετοχών και νοµισµάτων είναι πολύ κοντά στο µηδέν. Να σηµειωθεί άλλωστε, ότι και η εµπειρική έρευνα (για παράδειγµα Figlewski, 1997) επιβεβαιώνει ότι µε αυτό τον τρόπο αυξάνεται η ακρίβεια της πρόβλεψης της µεταβλητότητας. Βεβαίως, είναι απαραίτητο να τονιστεί ότι, η τυπική απόκλιση έχει νόηµα να χρησιµοποιείται ως µέσο µέτρησης του κινδύνου µόνο, όταν αναφέρεται σε κάποια συγκεκριµένη κατανοµή. Συγκεκριµένα, αποτελεί σωστό δείκτη διασποράς µόνο για την κανονική κατανοµή (και κάποιες άλλες κατανοµές, όπως η λογαριθµοκανονική κατανοµή), αλλά σίγουρα όχι για όλες. Ο κίνδυνος από την άλλη πλευρά έχει να κάνει µόνο µε αρνητικές ή µικρές αποδόσεις, ενώ οι δείκτες διασποράς συνήθως δεν κάνουν διακρίσεις ανάµεσα σε αρνητικές ή θετικές αποκλίσεις Τεκµαρτή Μεταβλητότητα Μια αναλογία των επιτοκίων και της µεταβλητότητας βοηθάει σηµαντικά στην κατανόηση της τελευταίας (Derman e al, 1998). Αρχικά η αξία ενός οµολόγου µετριόταν αποκλειστικά από την τιµή του. Σύντοµα, οι οικονοµικοί αναλυτές βρήκαν καλύτερους τρόπους για να αξιολογούν την αξία ενός οµολόγου: την τρέχουσα απόδοση (curren yield) που οδήγησε στην απόδοση στη λήξη (yield o mauriy), στη συνέχεια στην καµπύλη αποδόσεων και τελικά στις προθεσµιακές αποδόσεις (forward raes) και στην καµπύλη προθεσµιακών αποδόσεων. Η σηµαντικότητα των προθεσµιακών αποδόσεων είναι ότι χρησιµοποιώντας ένα χαρτοφυλάκιο οµολόγων σήµερα, µπορούµε να κλειδώσουµε επιτόκια στο µέλλον. Κάθε εµπλεκόµενος στην αγορά οµολόγων στο πίσω µέρος του µυαλού του έχει µια θεωρητική καµπύλη προθεσµιακών αποδόσεων. Τα προθεσµιακά επιτόκια έδωσαν ώθηση στη δηµιουργία µιας σειράς νέων παραγώγων προϊόντων που προσπαθούν να ακολουθήσουν την υποκείµενη πραγµατικότητα των προθεσµιακών επιτοκίων. Τα συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης Eurodollar και οι ανταλλαγές επιτοκίων (ineres rae swaps) είναι τα δύο πιο χαρακτηριστικά παραδείγµατα τέτοιων προϊόντων. Η αποτίµηση και η ανάλυση αυτό των χρηµατοοικονοµικών εργαλείων βασιζόταν στην υπόθεση ότι η καµπύλη προθεσµιακών αποδόσεων είναι στατική και η µελλοντική εξέλιξή της δεν επηρεάζει την τρέχουσα αξία τους. Μεγάλο µέρος της προσπάθειας των αναλυτών και µελετητών των επιτοκίων κατά τις δύο τελευταίες δεκαετίες επικεντρώθηκε ακριβώς στην ανάπτυξη υποδειγµάτων που λαµβάνουν υπόψη τους τη µεταβλητότητα της καµπύλης προθεσµιακών αποδόσεων, χωρίς να 19

20 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας παραβιάζουν τους απαράβατους κανόνες της εξισορροπητικής κερδοσκοπίας. Καθώς η εµπιστοσύνη των επενδυτών σε αυτά τα µοντέλα αυξανόταν, πλήθαινε συγχρόνως και η εµφάνιση νέων εξελιγµένων παραγώγων προϊόντων τα οποία έχουν αποκτήσει σηµαντική ρευστότητα και είναι σε θέση να ικανοποιούν εξειδικευµένες επενδυτικές ανάγκες. Ενδεικτικά αναφέρονται τα ineres rae caps, τα swapions (συνδυασµός opions και swaps) και γενικότερα προϊόντων των οποίων η αξία εξαρτάται όχι µόνο από την απόδοση επιτοκίων σήµερα, αλλά και από τη µεταβλητότητά της. Υπάρχει µια θεµελιώδης οµοιότητα µεταξύ του ρόλου των επιτοκίων για την τιµολόγηση των οµολόγων και του ρόλου της µεταβλητότητας για την τιµολόγηση των δικαιωµάτων. Η µεταβλητότητα αρχικά ήταν µια απλή παράµετρος του υποδείγµατος των Black-Scholes, όπως κάθε οµόλογο έχει τη δική του απόδοση στη λήξη, έτσι και κάθε δικαίωµα έχει τη δικιά του τεκµαρτή µεταβλητότητα. Πολύ σύντοµα, οι συµµετέχοντες στην αγορά άρχισαν να σχηµατίζουν στο µυαλό τους µια δοµή µεταβλητότητας ανάλογα µε τη διάρκεια και τη τιµή εξάσκησης των δικαιωµάτων, µια αναλογία δηλαδή, αλλά σε δύο διαστάσεις (χρόνος και τιµή εξάσκησης) της καµπύλης αποδόσεων. Όπως η τρέχουσα καµπύλη αποδόσεων εµπεριέχει µια δοµή µελλοντικών προθεσµιακών αποδόσεων, οι οποίες µπορούν να επιτευχθούν µέσω ενός κατάλληλα δοµηµένου χαρτοφυλακίου οµολόγων, έτσι και οι τρέχουσες τεκµαρτές µεταβλητότητες εµπεριέχουν µελλοντικές τοπικές µεταβλητότητες (local volailiies), οι οποίες µπορούν να κλειδωθούν µέσω ενός χαρτοφυλακίου δικαιωµάτων (Derman e al, 1998). Το επόµενο βήµα εξέλιξης στην παραπάνω διαδικασία είναι η προσθήκη της µεταβλητότητας των τοπικών αυτών µελλοντικές µεταβλητότητες, χωρίς φυσικά να παραβιάζονται οι αρχές της εξισορροπητικής κερδοσκοπίας. Η καλύτερη κατανόηση της µεταβλητότητας της µεταβλητότητας θα οδηγήσει στην ανάπτυξη, διαπραγµάτευση και αντιστάθµιση του κινδύνου µιας σειράς εξελιγµένων παραγώγων προϊόντων, µέσω των οποίων θα καταστεί δυνατή η επένδυση αποκλειστικά και µόνο στην µεταβλητότητα Επιµέρους Ορισµοί και αναλογίες Συνοψίζοντας, λοιπόν από την προηγούµενη ενότητα έχουµε: Πραγµατοποιηθείσα µεταβλητότητα (realized volailiy) είναι η ετησιοποιηµένη τυπική απόκλιση των ηµερήσιων αποδόσεων του υποκείµενου αγαθού σε µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο. 20

21 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Τεκµαρτή µεταβλητότητα (implied volailiy), Σ(Κ, τ), όπως τεκµαίρεται από ένα συγκεκριµένο δικαίωµα προαίρεσης µε τιµή εξάσκησης Κ και διάρκεια τ, είναι η τιµή της µεταβλητότητας που αν εισαχθεί στο υπόδειγµα των Black-Scholes, εξισώνει τη θεωρητική τιµή του δικαιώµατος µε την αγοραία. Σύµφωνα µε τη φόρµουλα Black-Scholes, η τιµή ενός δικαιώµατος προαίρεσης είναι συνάρτηση των παρακάτω πέντε µεταβλητών: της τιµής του υποκείµενου αγαθού, της τιµής εξάσκησης, του επιτοκίου χωρίς κίνδυνο, της διάρκειας ζωής του δικαιώµατος και της µεταβλητότητας του υποκειµένου αγαθού κατά τη διάρκεια του δικαιώµατος. Με τις πέντε αυτές µεταβλητές υπολογίζουµε τη θεωρητική τιµή του δικαιώµατος. Επειδή όµως συνήθως αυτά τα δικαιώµατα διαπραγµατεύονται σε οργανωµένες αγορές και εποµένως έχουν µια αγοραία τιµή, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι αυτή είναι και η δίκαια τους τιµή. Στην περίπτωση αυτή, χρησιµοποιώντας τη Black-Scholes, και µε δεδοµένο ότι οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι αντικειµενικά γνωστές και αποδεκτές, υπολογίζουµε τη µεταβλητότητα που αντιστοιχεί στην αγοραία τιµή του δικαιώµατος και η οποία είναι η εκτίµηση της αγοράς ως προς τη µεταβλητότητα του υποκείµενου τίτλου για το χρονικό διάστηµα µέχρι τη λήξη του δικαιώµατος. Τοπική, ή κάποιες φορές προθεσµιακή, µεταβλητότητα (local or forward volailiy), σ (S, τ) είναι η µελλοντική µεταβλητότητα που το υποκείµενο αγαθό πρέπει να έχει στη συγκεκριµένη χρονική στιγµή τ και για το συγκεκριµένο επίπεδο τιµών S, έτσι ώστε οι παρούσες τιµές των δικαιωµάτων να είναι δίκαιες. Οι τοπικές µεταβλητότητες µπορούν να συναχθούν από το σύνολο όλων των τεκµαρτών µεταβλητοτήτων σε µια συγκεκριµένη στιγµή και µπορούν να κλειδωθούν µε λήψη συγκεκριµένων θέσεων σε υπάρχοντα δικαιώµατα. Η αναλογία των παραπάνω µε τα επιτόκια έχει ως εξής (Derman e al., 1998): Πραγµατοποιηθέντα επιτόκια είναι τα πραγµατικά επιτόκια που υπήρξαν σε µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο. Έρχονται σε πλήρη αναλογία µε την πραγµατοποιηθείσα µεταβλητότητα. Η απόδοση στη λήξη (yield o mauriy) είναι η τεκµαρτή απόδοση του οµολόγου. Όπως οι τεκµαρτές µεταβλητότητες µεταφράζονται σε µια συγκεκριµένη τιµή για το δικαίωµα µέσω του υποδείγµατος Black-Scholes, έτσι και η απόδοση στη λήξη µεταφράζεται σε µια συγκεκριµένη τιµή οµολόγου µέσων της εξίσωσες της προεξόφλησης χρηµατικών ροών. Τα προθεσµιακά επιτόκια είναι τα µελλοντικά επιτόκια που θα πρέπει να ισχύσουν για να δικαιολογήσουν τις τρέχουσες αποδόσεις στη λήξη. Ένας επενδυτής µπορεί να τα κλειδώσει 21

22 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας σήµερα κάνοντας συναλλαγές σε ένα χαρτοφυλάκιο οµολόγων. Η αναλογία τους στον κόσµο της µεταβλητότητας είναι οι τοπικές µεταβλητότητες. 2.2 Υποδείγµατα τιµολόγησης δικαιωµάτων Ο υπολογισµός της τεκµαρτής µεταβλητότητας απαιτεί τρία πράγµατα: ένα υπόδειγµα τιµολόγησης, τις τιµές των υπολοίπων, πλην της µεταβλητότητας, αναγκαίων µεταβλητών, και µια αγοραία τιµή για το δικαίωµα. Το υπόδειγµα των Black-Scholes (1973) είναι µακράν το πιο διαδεδοµένο µοντέλο τιµολόγησης των δικαιωµάτων προαίρεσης, αλλά αυτό δε σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν και άλλα υποδείγµατα τιµολόγησης δικαιωµάτων. Από την εποχή που οι Black και Scholes δηµοσίευσαν την καθοριστική εργασία τους το 1973, έχει υπάρξει ένας καταιγισµός θεωρητικών και εµπειρικών εργασιών σχετικά µε την τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης. Παρόλο που οι περισσότεροι ερευνητές διατήρησαν τη βασική υπόθεση των Black και Scholes, ότι οι τιµές του υποκείµενου αγαθού ακολουθούν µια γεωµετρική κίνηση Brown, υπήρξαν και υποθέσεις για διαφορετικές κατανοµές. Όπως αναφέρει ο Baes (1996), οι Cox και Ross (1976) υπολόγισαν τιµές δικαιωµάτων προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου µε διάφορες υποθέσεις, µεταξύ άλλων και για υποδείγµατα µε σταθερή ελαστικότητα διακύµανσης (square roo consan elasiciy of variance models) 5. Ο Meron (1976) πρότεινε ένα υπόδειγµα διάχυσης αλµάτων (jump-diffusion model), ενώ στοχαστικά υποδείγµατα τιµολόγησης δικαιωµάτων εµφανίστηκαν στους Hull και Whie (1987), Johnson και Shanno (1987), Sco (1987) και Wiggins (1987). Στο πέρασµα του χρόνου έχουν κάνει την εµφάνισής τους και εναλλακτικά υποδείγµατα για την τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου. Ενδεικτικά αναφέρονται το υπόδειγµα εναλλαγής σταδίων του Naik (1993), τα υποδείγµατα τεκµαρτών διωνυµικών δέντρων των Dupire (1994), Derman και Kani (1994) και Rubinsein (1994). Στη συνέχεια της παρούσας ενότητας, ακολουθεί µια πολύ συνοπτική περιγραφή των κυριοτέρων υποδειγµάτων που έχουν αναπτυχθεί την τελευταία τριακονταπενταετία 6. Η κατηγοριοποίησή τους γίνεται µε βάση την υπόθεση για τη διαδικασία που ακολουθούν οι τιµές του υποκείµενου αγαθού. Συγκεκριµένα, αναλύεται το υπόδειγµα των Black και Scholes (και οι επεκτάσεις του) που υποθέτει ότι οι τιµές ακολουθούν µια γεωµετρική κίνηση Brown, τα υποδείγµατα σταθερής ελαστικότητας διακύµανσης (CEV models), τα υποδείγµατα 5 Οι εναλλακτικές υποθέσεις είναι αυτές της απόλυτης διάχυσης (absolue diffusion) και των καθαρών αλµάτων (pure-jump). 6 Επισκόπηση των διαφόρων υποδειγµάτων τιµολόγησης βρίσκονται στους Cox και Rubinsein (1985), Mason και Meron (1985) και Baes (1996). 22

23 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας διάχυσης αλµάτων (jump-diffusion models) και τέλος τα στοχαστικά υποδείγµατα µεταβλητότητας Το υπόδειγµα Black-Scholes (1973) Το αρχικό υπόδειγµα των Black και Scholes εξακολουθεί να είναι το κυρίαρχο υπόδειγµα για την τιµολόγηση δικαιωµάτων προαίρεσης. Το συγκεκριµένο υπόδειγµα ήταν ιδιαίτερα πρωτοποριακό για την τιµολόγηση των δικαιωµάτων γιατί καθόριζε την τιµή του δικαιώµατος αποκλειστικά µε βάση γνωστές παραµέτρους. Το συγκεκριµένο υπόδειγµα χρησιµοποιείται στην τιµολόγηση δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχές που δε διανέµουν µέρισµα. Το υπόδειγµα των Black-Scholes είναι το δηµοφιλέστερο υπόδειγµα, παρόλο που αρκετές από τις αρχικές υποθέσεις του είναι γνωστό ότι δεν ισχύουν απόλυτα. Συγκεκριµένα, οι υποθέσεις της Black-Scholes είναι οι εξής: λογαριθµοκανονικές αποδόσεις, σταθερή µεταβλητότητα, σταθερά επιτόκια, δυνατότητα ανοιχτών πωλήσεων (shor selling) µε πλήρη χρήση των εσόδων, µη ύπαρξη φόρων και εξόδων, απόλυτα διαιρέσιµα αξιόγραφα, συνεχείς συναλλαγές, ενώ από την άλλη πλευρά, οι προτιµήσεις των επενδυτών και οι απαιτούµενες αποδόσεις των αξιογράφων είναι αδιάφορες. Σύµφωνα µε το υπόδειγµα των Black-Scholes, η τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς, C, υπολογίζεται µε βάση την παρακάτω σχέση: C = S N( d ) K e r τ f, N( d σ i τ ) d = [log( S / K ) + ( r f, + σ / 2) τ ]/ σ 2 i i τ όπου, S είναι η τρέχουσα τιµή της υποκείµενης αξίας, Κ είναι η τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος, τ είναι η διάρκεια µέχρι τη λήξη, r f, είναι το επιτόκιο δίχως κίνδυνο και τέλος, Ν(-) είναι η τυπική σωρευτική συνάρτηση της κανονικής κατανοµής. Η τρέχουσα τιµή της υποκείµενης αξίας, S, ακολουθεί µια γεωµετρική κίνηση Brown, µε σταθερό βαθµό µετατόπισης µ και σταθερή µεταβλητότητα σ και οι µεταβολές των τιµών ακολουθούν τη λογαριθµική κατανοµή: ds = µ S d + σs dw Παρόλο που το υπόδειγµα των Black-Scholes είναι αρκετά πετυχηµένο για τη τιµολόγηση µετοχικών δικαιωµάτων προαίρεσης, είναι επίσης καταγεγραµµένο ότι είναι µεροληπτικό (Rubinsein, 1985). Επιπλέον, η αποδοτικότητά του είναι µειωµένη σε δικαιώµατα προαίρεσης επί νοµισµάτων (Melino και Turnbull, 1990, 1991; Knoch, 1992). 23

24 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Πολλά υποδείγµατα τιµολόγησης δικαιωµάτων που ακολούθησαν το υπόδειγµα Black και Scholes, διατήρησαν την υπόθεση της γεωµετρικής κίνησης Brown, αλλά προσπάθησαν να επεκτείνουν το αρχικό υπόδειγµα. Έτσι λοιπόν ο Meron (1973) συµπεριλαµβάνει και µια σταθερή, σε συνεχή χρόνο, µερισµατική απόδοση 7, ο Black (1976) επεκτείνει το υπόδειγµα για δικαιώµατα προαίρεσης µε υποκείµενη αξία συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης και οι Garman και Kohlhagen (1983) για δικαιώµατα µε υποκείµενη αξία συναλλαγµατικές ισοτιµίες. Στη συνέχεια, περιγράφονται τα σηµαντικότερα υποδείγµατα-επεκτάσεις του αρχικού υποδείγµατος των Black και Scholes Το υπόδειγµα Meron (1973) Ο Meron επέκτεινε το υπόδειγµα των Black-Scholes για να συµπεριλάβει και ενδεχόµενη µερισµατική απόδοση από πλευράς υποκείµενου αγαθού. Η τιµή λοιπόν ενός δικαιώµατος αγοράς, C, µε γνωστή µερισµατική απόδοση, d, ισούται µε: C = S e dτ N( d ) K e r τ f, N( d σ i τ ) d = [log( S / K ) + ( r f, d + σ / 2) τ ]/ σ 2 i i τ Το υπόδειγµα Black (1976) Το υπόδειγµα του Black χρησιµοποιείται στην τιµολόγηση δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης, ευρωπαϊκού τύπου, σε συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης πάνω σε εµπορεύµατα από πολύτιµα µέταλλα (χρυσός, ασήµι κτλ) µέχρι αγροτικά προϊόντα. Το υπόδειγµα του Black είναι παρόµοιο µε το υπόδειγµα των Black-Scholes µε βασική διαφορά ότι η τρέχουσα τιµή της υποκείµενης αξίας S αντικαθίσταται από την αντίστοιχη προθεσµιακή τιµή, F. Σύµφωνα λοιπόν µε τον Black, η τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς, C, υπολογίζεται µε βάση την παρακάτω σχέση: C r f, τ = e [ F N( d ) K N( d σ i τ ) d = [log( F / K ) + ( σ / 2) τ ]/ σ 2 i i τ Garman και Kohlhagen (1983) Το υπόδειγµα των Garman και Kohlhagen είναι µια επέκταση του υποδείγµατος Black- Scholes και χρησιµοποιείται κυρίως στην τιµολόγηση ευρωπαϊκού τύπου δικαιωµάτων 7 Οι Black και Scholes (1973) υποθέτουν ότι οι υποκείµενες µετοχικές αξίες δε διανέµουν µέρισµα. 24

25 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας αγοράς και πώλησης πάνω σε ισοτιµίες νοµισµάτων. Η τιµή του δικαιώµατος αγοράς υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: C = e r τ f, d, S N( d ) K e r τ N( d σ i τ ) d = [log( S / K ) + ( r d, rf, + σ / 2) τ ]/ σ 2 i i τ όπου r f είναι το επιτόκιο δίχως κίνδυνο στο ξένο νόµισµα και r d είναι το επιτόκιο δίχως κίνδυνο στο τοπικό νόµισµα Το υπόδειγµα Cox, Ross και Rubinsein (1979) Το διωνυµικό υπόδειγµα είναι επίσης πρωτοποριακό, γιατί επιτρέπει την τιµολόγηση όλων των τύπων δικαιωµάτων, τόσο απλών ή και πιο εξωτικών, όσο και αµερικανικού ή και ευρωπαϊκού τύπου. Πρωτοπαρουσιάστηκε από τους Cox, Ross και Rubinsein (1979), οι οποίοι εξηγούν πως µπορεί να κατασκευαστεί ένα συνδυαστικό διωνυµικό δέντρο που κάνει διακριτή την γεωµετρική κίνηση του Brown. Χρησιµοποιεί µια σχετικά απλουστευµένη µέθοδο βασισµένη στη λογική της µη ύπαρξης δυνατότητας εξισορροπητικής κερδοσκοπίας (non-arbirage argumens). Το εν λόγω υπόδειγµα είναι ασυνεχές σε αντίθεση µε το υπόδειγµα Black-Scholes που είναι συνεχές. Βεβαίως, στο όριο, ένα διωνυµικό δέντρο, µε µεγάλο αριθµό βηµάτων, είναι αντίστοιχο του συνεχούς υποδείγµατος των Black-Scholes. Ακόµα µία σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο υποδειγµάτων είναι ότι ενώ το υπόδειγµα Black-Scholes είναι αναλυτικό (ακριβές) υπόδειγµα, το υπόδειγµα Cox, Ross και Rubinsein παρέχει τιµές κατά προσέγγιση. Το υπόδειγµα Cox, Ross και Rubinsein αποδεικνύει επίσης ότι η τιµή του δικαιώµατος µπορεί να θεωρηθεί ως η προεξοφληµένη αξία των αναµενόµενων µελλοντικών ροών σε ένα περιβάλλον όπου οι επενδυτές είναι ουδέτεροι απέναντι στον κίνδυνο (risk-neural world). Σύµφωνα λοιπόν µε το υπόδειγµα των Cox, Ross και Rubinsein, η τιµή του υποκείµενου αγαθού µπορεί, είτε να αυξηθεί κατά µια σταθερή τιµή u, µε πιθανότητα ρ, είτε να µειωθεί κατά µια σταθερή τιµή d, µε πιθανότητα 1-ρ και η τιµή του δικαιώµατος αγοράς υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: C = e r f, τ n i= 0 n! i ( ) p (1 p) i!( n i)! n i i ( S u d n i K ) 25

26 Κεφάλαιο 2 Ορισµός και Ιδιότητες της Μεταβλητότητας Barone-Adesi και Whaley (1987) Το υπόδειγµα των Barone-Adesi και Whaley παρέχει κατά προσέγγιση συναρτήσεις για την τιµολόγηση αµερικανικού και ευρωπαϊκού τύπου δικαιωµάτων αγοράς και πώλησης πάνω σε εµπορεύµατα και συµβόλαια µελλοντικής εκπλήρωσης σε εµπορεύµατα. Η εν λόγω µέθοδος λέγεται δευτεροβάθµια µέθοδος προσέγγισης. Τα υποδείγµατα Black και Scholes (1973), Black (1976), Garman και Kohlhagen (1983) είναι όλα ειδικές περιπτώσεις του υποδείγµατος Barone-Adesi και Whaley (1987). Το συγκεκριµένο υπόδειγµα δεν είναι απόλυτα ακριβές όταν πρόκειται για δικαιώµατα µε διάρκεια ζωής µεγαλύτερης του ενός χρόνου. Στην περίπτωση αυτή θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ένα διωνυµικό µοντέλο. Η τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς αµερικανικού τύπου, για ένα υποκείµενο αγαθό µε φέρον κόστος (cos-of-carry) b 8, ισούται µε: C * q2 CBS + A2 ( S / S ), when _ S < S = * S K, when _ S S * όπου, C BS είναι η τιµή του δικαιώµατος αγοράς µε βάση το υπόδειγµα Black-Scholes και A ( b r) τ { 1 e N[ d ( )]} S * * 2 = S q2 * d ( S ) = [log( S / K ) + ( b + σ / 2) τ ]/ σ 2 i i τ q 2 ( N 1) + = ( N 1) M / X X = 1 e τ r f, M = 2 2r f, / σ i N = b 2 2 / σ i και το S* είναι τιµή εκείνη του δικαιώµατος αγοράς που λύνει την παρακάτω εξίσωση: S ( b r) τ * { 1 e N[ d ( S )]} * * K S = C * + BS, S, τ q2 Προκειµένου να βρεθεί η τιµή του S*, πρέπει να βρούµε τη ρίζα της παρακάτω εξίσωσης: g ( b r ) τ * { 1 e N[ d ( S )]} * * * S ( S ) = S K C * + BS, S, τ q2 8 Όταν το φέρον κόστος είναι µεγαλύτερο από το επιτόκιο δίχως κίνδυνο, τότε η τιµή του δικαιώµατος αγοράς αµερικανικού τύπου είναι ίση µε αυτή ενός δικαιώµατος αγοράς ευρωπαϊκού τύπου και εποµένως µπορεί να υπολογιστεί µε βάση το υπόδειγµα των Black και Scholes. 26