Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός"

Transcript

1 Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Βουλδής Άγγελος Φυσικός Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία Ηλεκτρικό Πεδίο Μέρος 1ο: Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια Θεωρία Βασικές Εφαρμογές

2 1 Ηλεκτρικό Πεδίο Για τα ωραία χρόνια που ζήσαμε στη Πάτρα Άγγελος Γιώργος Λευτέρης

3 2 Ηλεκτρικό Πεδίο Περιεχόμενα 1.Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Έργο και ενέργεια Κινήσεις φορτισμένων σωματιδίων Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί σε απόσταση d από ακλόνητο σημειακό φορτίο Q Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα u0 προς ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, που βρίσκεται σε πολύ μεγάλη απόσταση ( ) Δύο φορτισμένα σωματίδια (m1,q1) και (m2,q2) αντίστοιχα, συγκρατούνται αρχικά σε απόσταση d, και στην συνέχεια αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m1 και φορτίου q1 βάλλεται με αρχική ταχύτητα u0 κατά άλλου ελεύθερου και αρχικά ακίνητου σωματιδίου μάζας m2 και φορτίου q2, πού βρίσκεται σε πολύ μεγάλη απόσταση ( ) Δύο φορτισμένα σωματίδια (m1,q1) και (m2,q2), βάλλονται με ταχύτητα ίδιου μέτρου u0 το ένα εναντίον του άλλου από άπειρη απόσταση μεταξύ τους Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται να πέσει ελεύθερα, από ύψος h, πάνω από σημειακό φορτίο Q το οποίο βρίσκεται στο έδαφος. Το σωματίδιο και το φορτίο βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί σε απόσταση d από ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, το οποίο είναι στερεωμένο στη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q, βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ, με αρχική ταχύτητα u0, προς ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση d... 39

4 3 Ηλεκτρικό Πεδίο 1.Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Έστω δύο σωματίδια με φορτία q1 και q2, τα οποία βρίσκονται σε συγκεκριμένες θέσεις Α, Β, οι οποίες απέχουν απόσταση r. Επειδή τα σωματίδια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, το σύστημα τους έχει δυναμική ενέργεια. Η ενέργεια αυτή είναι ίση με το ελάχιστο έργο που απαιτείται για να μεταφερθούν τα σωματίδια από πολύ μακριά (άπειρο) και να τοποθετηθούν στις θέσεις τους. Δηλαδή:. Επιπλέον έστω ότι ένα φορτίο q, που βρίσκεται μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, μετακινείται από τη θέση 1 στη θέση 2 (αρχικά είναι ακίνητο και στη θέση 2 φτάνει οριακά με μηδενική ταχύτητα) με την εφαρμογή μιας εξωτερικής δύναμης. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Έργου Ενέργειας για τη μετακίνηση αυτή, προκύπτει:.. 0. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει:.. Και οι δύο σχέσεις για τη δυναμική ενέργεια είναι ισοδύναμες. 2.Έργο και ενέργεια Έργο (ενέργεια) που χρειάζεται να προσφερθεί, για τη μετακίνηση ενός σημειακού φορτίου q, μεταξύ δυο σημείων...

5 4 Ηλεκτρικό Πεδίο Έργο (ενέργεια) που χρειάζεται να προσφερθεί, για το μετασχηματισμό ενός συστήματος σημειακών φορτίων..... Έργο (ενέργεια) που χρειάζεται να προσφερθεί, για τη διάσπαση ενός συστήματος σημειακών φορτίων....,ό. 0 Έργο (ενέργεια) που χρειάζεται να προσφερθεί, για τη δημιουργία ενός συστήματος σημειακών φορτίων....,ό. 0 3.Κινήσεις φορτισμένων σωματιδίων Για το προσδιορισμό της ταχύτητας και της θέσης ενός σωματιδίου χρησιμοποιούμε: Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) ή Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.) Για το προσδιορισμό των ταχυτήτων και των θέσεων ενός συστήματος σωματιδίων χρησιμοποιούμε: Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) & Αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο).

6 max5 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.1.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί σε απόσταση d από ακλόνητο σημειακό φορτίο Q. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ταχύτητας σε τυχαία θέση γ. Προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας cu F0uxFc0 u8 Περιγραφή της κίνησης: Το σωματίδιο και το σημειακό φορτίo Q, επειδή είναι ομώνυμα, θα δέχονται απωστική δύναμη Coulomb FC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC, το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται και να επιταχύνεται προς τα δεξιά, με αποτέλεσμα να αυξάνεται συνεχώς η απόστασή του d από το ακλόνητο φορτίο Q. Η συνεχής αύξηση της μεταξύ τους απόστασης, προκαλεί μείωση του μέτρου της ηλεκτρικής δύναμης, η οποία μηδενίζεται τη στιγμή που τα φόρτια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Επιπλέον για την επιτάχυνση του σωματιδίου θα έχουμε: ΣF mα F F C F C mα F C mαα F C m µέτρο Από τη παραπάνω σχέση προκύπτει ότι, εφόσον μειώνεται το μέτρο της δύναμη FC, θα μειώνεται και το μέτρο της επιτάχυνσης. Επομένως το σωματίδιο εκτελεί μη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (ο ρυθμός α με

7 6 Ηλεκτρικό Πεδίο τον οποίο αυξάνεται η ταχύτητα, συνεχώς μειώνεται). Προσδιορισμός της ταχύτητας σε τυχαία θέση: Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη ταχύτητα του σωματιδίου q, κατά τη χρονική στιγμή που βρίσκεται σε απόσταση x από το φορτίο Q. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Β (απόσταση x): 2 ος τρόπος: Κ U A K B U 0k Qq d 1 2 mu k Qq x 1 2 mu Qq k d k Qq x u 2k Qq m 1 d 1 x Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Β (απόσταση x): Κ Κ W.AB, W.AB W F AB 1 2 mu 0W F AB W F V AV B 1 Q V A 2 mu, V Q B qv A V B 1 2 mu Q qk u 2k Qq m 1 d 1 x Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας: d k Q x Το σωματίδιο αποκτά μέγιστη ταχύτητα στη θέση, όπου μηδενίζεται η δύναμη του πεδίου ΣF F 0. Δηλαδή στη θέση, που τα φορτία βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Γ

8 7 Ηλεκτρικό Πεδίο (απόσταση ): 2 ος τρόπος:, U Qq Κ U A K U 0k d 1 2 mu mu Qq k d u 2k Qq md Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Γ (απόσταση ):, W.A W F A Κ Κ W.A 1 2 mu 0W F A W F V AV 1 Q V A 2 mu, V qv A V 1 2 mu Q qk 0 d u 2k Qq md

9 ax8 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.2.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα u0 προς ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, που βρίσκεται σε πολύ μεγάλη απόσταση ( ). α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ταχύτητας σε τυχαία θέση γ. Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης δ. Προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας ακλόνητο φορτίο +Q +q0u (Α) Fc0 8 (B) +q F+Q xuc+q x u +q (Γ) 0 F c rmin u +Q max0u(δ) u+q, m0 Fc8 Περιγραφή της κίνησης: Για το χρονικό διάστημα που το σωματίδιο και το ακλόνητο φορτίο, βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους δεν δέχονται καμία δύναμη (δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους). Όταν το σωματίδιο πλησιάσει σε μια πεπερασμένη απόσταση το ακλόνητο φορτίο Q, επειδή είναι ομώνυμα, θα δέχεται απωστική δύναμη Coulomb FC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC, η οποία είναι αντίθετη της κίνησης, το σωματίδιο θα αρχίσει να επιβραδύνεται. Η συνεχής μείωση της απόσταση μεταξύ των φορτίων, προκαλεί αύξηση του μέτρου της ηλεκτρικής δύναμης, με αποτέλεσμα σε κάποια χρονική στιγμή να γίνεται μεγίστη.

10 9 Ηλεκτρικό Πεδίο Τη στιγμή που η ηλεκτρική δύναμη γίνεται μέγιστη, το σωματίδιο σταματάει να κινείται και η απόσταση του από το φορτίο Q, είναι η μικρότερη (ελάχιστη) δυνατή. Επιπλέον για την επιτάχυνση του σωματιδίου θα έχουμε: ΣF mα F F C F C mα F C mαα F C m µέτρο Από τη παραπάνω σχέση προκύπτει ότι, εφόσον αυξάνεται το μέτρο της δύναμη FC, θα αυξάνεται και το μέτρο της επιβράδυνσης. Επομένως το σωματίδιο εκτελεί μη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Τέλος τη στιγμή του μηδενισμού της ταχύτητα του, λόγω της δύναμης FC, αντιστρέφεται η κίνηση του και αρχίζει να επιταχύνεται προς τα δεξιά (περίπτωση 1). Προσδιορισμός της ταχύτητας σε τυχαία θέση: Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη ταχύτητα του σωματιδίου, κατά τη χρονική στιγμή που βρίσκεται σε απόσταση x από το φορτίο Q. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση ) στη θέση Β (απόσταση x): 2 ος τρόπος: Κ U A K B U U A 1 2 mu mu k Qq x 1 2 mu 1 2 mu Qq k x u u 2k Qq mx Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση ) στη θέση Β (απόσταση x): Κ Κ W.AB W.AB W F AB 1 2 mu 1 2 mu W F AB W F V AV B 1 2 mu 1 Q 2 mu V A, V B qv A V B

11 10 Ηλεκτρικό Πεδίο 1 2 mu 1 2 mu q0 k Q x 1 2 mu 1 2 mu k Qq x u u 2k Qq mx Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης: Το σωματίδιο έχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση (rmin) από το φορτίο Q, στη θέση, όπου μηδενίζεται η ταχύτητα του. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση ) στη θέση Γ (απόσταση rmin):, U Κ U A K U 1 2 mu Qq 00k r 2 ος τρόπος: 1 2 mu k Qq r r 2k Qq mu Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση ) στη θέση Γ (απόσταση rmin): Κ Κ W.A, W.A W F A mu W F A W F V AV 1 2 mu qv A V Q V A, V 1 2 mu q0 k 1 2 mu Qq k r r 2k Qq Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας: mu Q r Το σωματίδιο αποκτά μέγιστη ταχύτητα στη θέση, όπου μηδενίζεται η δύναμη του πεδίου ΣF F 0. Δηλαδή στη θέση, που τα φορτία βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Προφανώς η μέγιστη ταχύτητα του φορτιού q θα είναι u0, διότι δεν έχουμε απώλειες ενέργειας. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Γ (απόσταση rmin) στη θέση Δ

12 11 Ηλεκτρικό Πεδίο (απόσταση ):, U Qq Κ U K U 0k 1 r 2 mu 0 Qq k 1 r 2 mu 2 ος τρόπος: u 2k Q Qq 2k Qq u mr m 2k Qq mu u u µέτρο ή u u Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Γ (απόσταση rmin) στη θέση Δ (απόσταση ):, W. W F Κ Κ W. 1 2 mu 0W F W F V V 1 2 mu qv V Q V, V 1 2 mu Q qk 0 r u 2k Q Qq 2k Qq u mr m 2k Qq mu u u µέτρο ή u u Παρατήρηση: Στην περίπτωση που το σωματίδιο εκτοξεύεται από απόσταση r (και όχι ), ακολουθούμε την ίδια διαδικασία.

13 ma12 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.3.Δύο φορτισμένα σωματίδια (m1,q1) και (m2,q2) αντίστοιχα, συγκρατούνται αρχικά σε απόσταση d, και στην συνέχεια αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου γ. Προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας που αποκτά το κάθε σωματίδιο x1fc1fcu0u0f cuu2xuumaxf 20 c0 xπεριγραφή της κίνησης: Τα σωματίδια m1 και m2 επειδή είναι ομώνυμα, θα δέχονται απωστική δύναμη Coulomb FC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC, θα αρχίσουν να κινούνται και να επιταχύνεται προς αντίθετες κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα να αυξάνεται συνεχώς η μεταξύ τους απόστασή d. Η συνεχής αύξηση της μεταξύ τους απόστασης, προκαλεί μείωση του μέτρου της ηλεκτρικής δύναμης, η οποία μηδενίζεται τη στιγμή που τα φόρτια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Επιπλέον για την επιταχύνσεις των φορτίων θα έχουμε: ΣF m α FF C F C m α F C m α α F C m µέτρο ΣF m α FF C F C m α F C m α α F C m µέτρο (Σχόλιο! Αν οι μάζες των σωματιδίων ήταν ίδιες, τότε θα κινούνταν με την ίδια επιτάχυνση)

14 13 Ηλεκτρικό Πεδίο Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι, εφόσον μειώνεται το μέτρο της δύναμη FC, θα μειώνεται και το μέτρο των επιταχύνσεων των δύο φορτίων. Επομένως το φορτία εκτελούν μη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (ο ρυθμοί α και α με τους οποίους αυξάνονται οι ταχύτητες u1 & u2 των σωμαιδίων αντίστοιχα, συνεχώς μειώνονται). Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου: Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη ταχύτητα του κάθε σωματιδίου, κατά τη χρονική στιγμή που βρίσκονται σε απόσταση x μεταξύ τους. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση d) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K B U Κ Κ U A Κ Κ U 00k q q d k q q d 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u k q q x k q q x 1 Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση d) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο): P. σταθ.p.. P.. P P P P 00m u m u m u m u u m m u 2 k q q d από 1 q q k d 1 2 m u 1 2 m m q q u m k x k q q d 1 2 m u 1 2 m m q q u m k x k q q u x m 2 m u 2m 2k q q m m m m 1 d 1 x

15 14 Ηλεκτρικό Πεδίο από 2 u m m u u m m 2k q q m m m m 1 d 1 x u 2k q q m m m m 1 d 1 x Προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας που αποκτά το κάθε σωματίδιο: Το φορτία αποκτούν μέγιστη ταχύτητα, όταν μηδενίζεται η δύναμη του πεδίου ΣF F 0. Δηλαδή στις θέσεις εκείνες, κατά τις οποίες βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση d) και Γ (απόσταση ), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K U Κ Κ U A Κ Κ U 00k q q d k q q d 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u 3 0 Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση d) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο): P. σταθ.p.. P.. P P P P 00m u m u m u m u u m m u 4 απο 3 q q k d 1 2 m u 1 2 m m u m k q q d u m 2 m u 2m 2k q q m m m m 1 d Σχόλιο! Ο προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας του κάθε σωματιδίου, μπορεί να

16 15 Ηλεκτρικό Πεδίο επιτευχτεί και μέσω των σχέσεων που προσδιορίζουν τις ταχύτητες u1x και u2x, εάν θέσουμε σε αυτές. ό u1x = u1max και u2x = u2max. από 4 u m m u u m m 2k q q m m m m 1 d u 2k q q m m m m 1 d

17 uτε2fcxλ.τελ.16 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.4.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m1 και φορτίου q1 βάλλεται με αρχική ταχύτητα u0 κατά άλλου ελεύθερου και αρχικά ακίνητου σωματιδίου μάζας m2 και φορτίου q2, πού βρίσκεται σε πολύ μεγάλη απόσταση ( ). α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου γ. Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης δ. Προσδιορισμός της τελικής ταχύτητας που αποκτά το uf1c0 κάθε σωματίδιο 0cu0 uuxf2uf1xcfc0 Fcu0 Περιγραφή της κίνησης: Για το χρονικό διάστημα που τα σωματίδια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους δεν δέχονται καμία δύναμη (δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους). Όταν το σωματίδιο m1 πλησιάσει σε μια πεπερασμένη απόσταση το ακίνητο σωματίδιο m2, επειδή είναι ομώνυμα, θα δέχονται απωστική δύναμη Coulomb FC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC, το σωματίδιο m2 θα αρχίσει να κινείται και να επιταχύνεται προς τα αριστερά, ενώ το σωματίδιο m1 που συνεχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, θα επιβραδύνεται. Όσο η ταχύτητα του m1 είναι μεγαλύτερη από αυτή του m2, τα φορτία θα πλησιάζουν μεταξύ τους. Έτσι, σε κάποια χρονική στιγμή τα δύο φορτία θα αποκτήσουν την

18 17 Ηλεκτρικό Πεδίο ίδια ταχύτητα, και η μεταξύ τους απόσταση θα είναι η ελάχιστη δυνατή. Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για το διάστημα, μέχρι τα σωματίδια να φτάσουν στην ελάχιστη μεταξύ τους απόσταση, θα προκύψουν τα εξής: ΣF m α FF C F C m α F C m α α F C m µέτρο FF C ΣF m α F C m α F C m α α F C µέτρο m Από τις παραπάνω σχέσεις γίνεται φανερό ότι, εφόσον αυξάνεται το μέτρο της δύναμης FC (μειώνεται η απόσταση των σωματιδίων), θα αυξάνεται και το μέτρο της επιτάχυνσης του σωματιδίου m2 καθώς και της επιβράδυνσης του σωματιδίου m1. Άρα το σωματίδιο m2 εκτελεί μη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, ενώ το σωματίδιο m1 μη ομαλά επιβραδυνόμενη. Στην συνέχεια από τη κατάσταση «ελάχιστης απόστασης» και μετά, η απόσταση μεταξύ των σωματιδίων θα αυξάνεται συνεχώς, ενώ το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης θα μειώνεται έως ότου μηδενιστεί τη στιγμή που τα φόρτια βρίσκονται και πάλι σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου: Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη ταχύτητα του κάθε σωματιδίου, κατά τη χρονική στιγμή που βρίσκονται σε απόσταση x μεταξύ τους. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K B U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u m u 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u k q q x k q q x 1

19 18 Ηλεκτρικό Πεδίο Εφαρμόζουμε για το σύστημα των φορτίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο): P. σταθ.p.. P.. P P P P m u 0m u m u m u m u m u u m m u u 2 Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης: Τα σωματίδια έχουν την ελάχιστη δυνατή απόσταση (rmin) μεταξύ τους, όταν κινούνται με την ίδια ταχύτητα. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Γ (απόσταση rmin), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u m u 1 2 m u k q q r 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u k q q r m u m u m u q q 2k m r u m m u q q 2k 3 r Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Γ (απόσταση rmin), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο): P. σταθ.p.. P.. P P P P m u 0m um um u m um u u m m m u 4 m απο 3 m u m m u m m 2k q q r m u m u q q m m 2k m r u m u m m 2k q q r

20 19 Ηλεκτρικό Πεδίο m m u m m 2k q q r r 2k q q m m m m u Προσδιορισμός της τελικής ταχύτητας που αποκτά το κάθε σωματίδιο: Στην τελική κατάσταση, τα φορτία θα βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Όμως για το προσδιορισμό των τελικών ταχυτήτων των σωματιδίων, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις σχετικά με τις μάζες των σωματιδίων. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Δ (απόσταση ), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), (θεωρούμε ότι το σωματίδιο μάζας m1 κινείται προς τα αριστερά): Κ U A K U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u m u. 1 2 m u 1 2 m u. 1 2 m u. 1 2 m u. m u m u. 0 m u. 5 Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Δ (απόσταση ), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο, θεωρούμε ότι το σωματίδιο μάζας m1 κινείται προς τα αριστερά): P. σταθ.p.. P.. P P P P m u. 0m u. m u. m u m u. m u. u. m m u u. 6 απο 5 m u m m u. m m u u. m u m u. u u. m u m 2u u. u. m u m 2u u. u.

21 20 Ηλεκτρικό Πεδίο u m m m m m u. m m m u. 2 m m u u. 2m u u. u m m 0 εξίσωση 2ου βαθµού Δβ 4αγΔ4m u 4m m m m u Δ4m u 4m u 4m u Δ4m u u. 2m u 4m u 2m m Δ4m u u ή u. 2m u 4m u 2m m m m m m u από 6. u. m u m u u. 0,άτοπο διότι η ταχυτητα του σωµατιδίο m αποκλείεται να µηδενιστεί άρα η τιµή u. u ί από 6 Τελικά u. m m m m u. u. m m u m m m m u u. Διακρίνουμε περιπτώσεις: 2m u m m m m u. m m u m m u. m m u m m u. 0 u. 2m u u m m. 2m u u m m. u 0 άρα το σωματίδιο m1 σταματάει να κινείται, ενώ το σωματίδιο m2 κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα u0. m u. m m u m m u. 2m u m m u. 0 u. 0 άρα και τα δυο σωματίδια κινούνται προς τα αριστερά, και οι τελικές τους ταχύτητες δίνονται από τις παραπάνω σχέσεις. m

22 21 Ηλεκτρικό Πεδίο u. m m u m m u. 2m u m m u. 0 u. 0 άρα το σωματίδιο m1 κινείται προς τα δεξιά, δηλαδή κάποια στιγμή μηδενίστηκε η ταχύτητα του και αντιστράφηκε η κινησή του, ενώ το σωματίδιο m2 κινείται προς τα αριστερά. Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ των σωματιδίων, κατά τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα του σωματιδίου m1. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Ε (απόσταση r), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u m u k q q r 1 2 m u 1 2 m u k q q r m u m u 2k q q r 7 Εφαρμόζουμε για το σύστημα των φορτίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Ε (απόσταση r), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.): P. σταθ.p.. P.. P P P E P E m u. 00m u m u m u u m m u 8 απο 7 m u m m m u q q 2k r m m u m u q q m 2k r r 2k q q m m m m u

23 xτελ.22 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.5.Δύο φορτισμένα σωματίδια (m1,q1) και (m2,q2), βάλλονται με ταχύτητα ίδιου μέτρου u0 το ένα εναντίον του άλλου από άπειρη απόσταση μεταξύ τους. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου γ. Προσδιορισμός της τελικής ταχύτητας που αποκτά το κάθε σωματίδιο F(+) c0 u+q1 0αρχική κατάσταση (A) 8 0Fcu 0 +q2 Fuu2+q1cx1ενδιάμεση κατάσταση (B) +q2 FcFcx 0 uf+q1 τελ.1+q2 τελική κατάσταση (Γ) c0 82uΠεριγραφή της κίνησης: Για το χρονικό διάστημα που τα σωματίδια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους δεν δέχονται καμία δύναμη (δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους). Όταν τα σωματίδια πλησιάσουν σε μια πεπερασμένη απόσταση, επειδή είναι ομώνυμα, θα δέχονται απωστική δύναμη Coulomb FC, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC, το σωματίδια θα αρχίσουν να επιβραδύνονται. Η συνεχής μείωση της απόστασης μεταξύ των σωματιδίων προκαλεί αύξηση του μέτρου της ηλεκτρικής δύναμης. Εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής, για το διάστημα που τα σωματίδια πλησιάζουν μεταξύ τους, θα προκύψουν τα εξής: ΣF m α FF C F C m α F C m α α F C m µέτρο FF C ΣF m α F C m α F C m α α F C µέτρο m Από τις παραπάνω σχέσεις γίνεται φανερό ότι, εφόσον αυξάνεται το

24 23 Ηλεκτρικό Πεδίο μέτρο της δύναμης FC (μειώνεται η απόσταση των σωματιδίων), θα αυξάνεται και το μέτρο των επιβραδύνσεων των δύο σωματιδίων. Επομένως το φορτία εκτελούν μη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση (οι ρυθμοί α και α με τους οποίους μειώνονται οι ταχύτητες u1 & u2 των σωματιδίων αντίστοιχα, συνεχώς αυξάνονται). Στην συνέχεια όταν τα σωματίδια σταματήσουν να πλησιάζουν και μετά, η απόσταση μεταξύ τους θα αυξάνεται συνεχώς, ενώ το μέτρο της ηλεκτρικής δύναμης θα μειώνεται έως ότου μηδενιστεί τη στιγμή που τα φόρτια βρίσκονται και πάλι σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους. Προσδιορισμός της ταχύτητας του κάθε σωματιδίου: Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη ταχύτητα του κάθε σωματιδίου, κατά τη χρονική στιγμή που βρίσκονται σε απόσταση x μεταξύ τους. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των φορτίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.): Κ U A K B U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u 1 2 m u m u m m u m u 1 2 m u m u k q q x 2k q q x Εφαρμόζουμε για το σύστημα των φορτίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Β (απόσταση x), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (Το σύστημα είναι μονωμένο): P. σταθ.p.. P.. P P P P m u m u m u m u m m u m u m u u m u m m m u m 2 Προσδιορισμός της τελικής ταχύτητας που αποκτά το κάθε σωματίδιο: Στην τελική κατάσταση, τα φορτία θα βρίσκονται σε άπειρη απόσταση 1

25 24 Ηλεκτρικό Πεδίο μεταξύ τους. Όμως για το προσδιορισμό των τελικών ταχυτήτων των σωματιδίων, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις σχετικά με τις μάζες τους. Εφαρμόζουμε για το σύστημα των σωματιδίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Γ (απόσταση ), Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), (τελικά, έστω ότι τα σωματίδια, κινούνται και τα δυο προς τα δεξιά): Κ U A K U Κ Κ U A Κ Κ U 1 2 m u 1 2 m u m u. 1 2 m u 1 2 m u 1 2 m u. m m u m u. 1 2 m u. 1 2 m u. m u. 3 0 Εφαρμόζουμε για το σύστημα των φορτίων, μεταξύ των καταστάσεων Α (απόσταση ) και Γ (απόσταση ), Αρχή Διατήρησης της Ορμής (Α.Δ.Ο.), (τελικά, έστω ότι τα σωματίδια, κινούνται και τα δυο προς τα δεξιά): P. σταθ.p.. P.. P P P P m u. m u. m u. m u. m m u m u. m u. u. m m m u m m u. 4 απο 3 m m u m u. m m m u m m u m. m m m u m m u. m m u m u. u. m m m u. 2m m u 2m u m u 3m m u εξίσωση 2ου βαθµού Δβ 4αγΔ4u m m m 4m m m m u 3m m u Δ4m m u 4m u 8u m m 4u m m 12m m u 4m u 12u m m

26 25 Ηλεκτρικό Πεδίο Δ 16m m u u. 2u m m m 4m m u 2m u m m. u ή u. 2u m m m 4m m u 2m m m u. m 3m m m στην περίπτωση που u. 0 ί m, κινείται τελικά προς τα δεξιά όµως λόγω της δύναµης F αντιτίθεται στην κινησή του,πρέπει u. u. Αρα µε βαση την αναλυση αυτή η τιµή u. u. από 4 Τελικά u. m 3m m m u u. u. m m u m m m 3m u m m m u. m m u u Διακρίνουμε περιπτώσεις: m m m m u u. 3m m m m u 3m m m m m u m m u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. m 3m m m u. 3m m m m u u. u 0 u u. u 0 άρα το σωματίδιο m1 κινείται προς τα αριστερά, ενώ το σωματίδιο m2 προς τα δεξιά. Δηλαδή κάποια στιγμή μηδενίστηκαν οι ταχύτητες των σωματιδίων και λόγω της δύναμης Fc αντιστράφηκε η κινησή τους. m 3m u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. 3m 3m u 3m m u. 0 u. 9m m u 3m m u. 2u 0 άρα το σωματίδιο m1 σταματάει να κινείται, ενώ το σωματίδιο m2 κινείται

27 26 Ηλεκτρικό Πεδίο προς τα δεξιά. Δηλαδή κάποια στιγμή μηδενίστηκε η ταχύτητα του σωματιδίου m2 και αντιστράφηκε η κινησή του. m 3m u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. m 9m m 3m u u. 2u 0 u. 3m 3m m 3m u u. 0 άρα το σωματίδιο m2 σταματάει να κινείται, ενώ το σωματίδιο m1 κινείται προς τα αριστερά. Δηλαδή κάποια στιγμή μηδενίστηκε η ταχύτητα του σωματιδίου m1 και αντιστράφηκε η κινησή του. m 3 u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. 0 u. 0 άρα και τα δυο σωματίδια κινούνται προς τα δεξιά. Δηλαδή το σωματίδιο m1 διατηρεί την αρχική του πορεία, ενώ το σωματίδιο m2 κάποια στιγμή ακινητοποιήθηκε και αντιστράφηκε η κινησή του. m m 3 ή m m 3 u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. 0 u. 0 άρα το σωματίδιο m1 κινείται προς τα αριστερά, ενώ το σωματίδιο m2 προς τα δεξιά. Δηλαδή κάποια στιγμή μηδενίστηκαν οι ταχύτητες των σωματιδίων και λόγω της δύναμης Fc αντιστράφηκε η κινησή τους. m 3 u. m 3m m m u. 3m m m m u u u. 0 u. 0 άρα και τα δυο σωματίδια κινούνται προς τα αριστερά. Δηλαδή το

28 27 Ηλεκτρικό Πεδίο σωματίδιο m2 διατηρεί την αρχική του πορεία, ενώ το σωματίδιο m1 κάποια στιγμή ακινητοποιήθηκε και αντιστράφηκε η κινησή του.

29 28 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.6.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται να πέσει ελεύθερα, από ύψος h, πάνω από σημειακό φορτίο Q το οποίο βρίσκεται στο έδαφος. Το σωματίδιο και το φορτίο βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της μεγίστης ταχύτητας γ. Προσδιορισμός μέγιστης και ελάχιστης απόστασης Fc B 0u Προσοχή!: 1. Στο σωματίδιο ασκούνται δύο δυνάμεις. Η μια είναι η δύναμη του βάρους (Β=mg), ενώ η άλλη είναι η απωστική δύναμη Coulomb (το σωματίδιο και το σημειακό φορτίο είναι ομώνυμα ). 2. Πριν ξεκινήσουμε τη μελέτη του προβλήματος, πρέπει να εξετάσουμε προς τα πού θα κινηθεί το σωματίδιο. Οπότε: Αν το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα πάνω Αν το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα πάνω Έστω

30 'Fax29 Ηλεκτρικό Πεδίο 0u c 0uuB 'FcmB FcB Περιγραφή της κίνησης: Επειδή, το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται και να επιταχύνεται (μη ομαλά) προς τα πάνω, με αποτέλεσμα να αυξάνεται συνεχώς η απόστασή του h από το ακλόνητο φορτίο Q. Η συνεχής αύξηση της μεταξύ τους απόστασης, προκαλεί μείωση του μέτρου της απωστικής δύναμης Coulomb, η οποία σε κάποια θέση κατά τη διάρκεια της κίνησης, γίνεται μικρότερη κατά μέτρο από τη δύναμη του βάρους. Από την θέση αυτή και μετά το σωματίδιο αρχίζει να επιβραδύνεται (μη ομαλά), ώσπου σε κάποιο ύψος, μηδενίζεται η ταχύτητα του. Το ύψος αυτό είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο μπορεί να φτάσει το σωματίδιο. Επιπλέον ύστερα από το στιγμιαίο μηδενισμό της ταχύτητας, επειδή το

31 30 Ηλεκτρικό Πεδίο σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται προς τα κάτω και να πλησιάζει το φορτίο Q, ώσπου σε κάποια θέση (η οποία απέχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση από το Q) να μηδενιστεί και πάλι η ταχύτητα του. Από τη θέση αυτή και μετά, επειδή το σωματίδιο θα αρχίσει και πάλι να κινείται προς τα πάνω, ώσπου να φτάσει στο μέγιστο ύψος. Τελικά, η κίνηση που εκτελεί το σωματίδιο είναι ταλάντωση μη αρμονική. Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας: Το σωματίδιο αποκτά μέγιστη ταχύτητα στη θέση, όπου (θεωρώ θετική φορά την προς τα πάνω): F B0F Bk qq y mgy k qq mg y k qq mg 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση B (απόσταση y1): Κ U A K B U B Κ U A. U A. K B U. U. Qq 0k h mgh1 2 mu Qq k mgy y Προσοχή! U. U. U. 2 ος τρόπος: Qq k h mgh 1 2 mu Qq k mgy y Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση B (απόσταση y1): Κ B Κ W.AB, W.AB W F ABW BAB 1 2 mu 1 2 mu 0W F AB W BAB qv A V B U A. U.

32 31 Ηλεκτρικό Πεδίο 1 2 mu 1 2 mu Q qk h k Q mghmgy y qq k h k qq mghmgy y Προσδιορισμός της μέγιστης απόστασης (μέγιστο ύψος): Το σωματίδιο έχει την μέγιστη δυνατή απόσταση (ymax μέγιστο ύψος) από το φορτίο Q, στη θέση, όπου μηδενίζεται η ταχύτητα του. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση Γ (απόσταση ymax): Κ U A K U Κ U A. U A. K U. U. Qq 0k h mgh0k Qq mgy y Qq k h mgh k Qq mgy y Παρατήρηση! από τη παραπάνω σχέση προκύπτουν 2 λύσεις για το ymax, δεκτή είναι η μεγαλύτερη. 2 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση Γ (απόσταση ymax): Έστω Κ Κ W.A, W.A W F AW BA 00W F A W BA 0qV A V U A. U. Q 0qk h k Q mghmgy y qq 0k h k qq mghmgy y qq 0 k h mgh k qq mgy y

33 ax32 Ηλεκτρικό Πεδίο 0u FcB 'Fmu0u B c'fcb Περιγραφή της κίνησης: Επειδή, το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται και να επιταχύνεται (μη ομαλά) προς τα κάτω, με αποτέλεσμα να μειώνεται συνεχώς η απόστασή του h από το ακλόνητο φορτίο Q. Η συνεχής μείωση της μεταξύ τους απόστασης, προκαλεί αύξηση του μέτρου της απωστικής δύναμης Coulomb, η οποία σε κάποια θέση κατά τη διάρκεια της κίνησης, γίνεται μεγαλύτερη κατά μέτρο από τη δύναμη του βάρους. Από την θέση αυτή και μετά το σωματίδιο αρχίζει να επιβραδύνεται (μη ομαλά), ώσπου σε κάποια θέση, μηδενίζεται η ταχύτητα του. Η θέση αυτή έχει τη μικρότερη δυνατή απόσταση από το σημειακό φορτίο Q. Επιπλέον ύστερα από το στιγμιαίο μηδενισμό της ταχύτητας, επειδή το

34 33 Ηλεκτρικό Πεδίο σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται προς τα πάνω και να απομακρύνεται από το φορτίο Q, ώσπου σε κάποια θέση (η οποία απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το Q μέγιστο ύψος) να μηδενιστεί και πάλι η ταχύτητα του. Από τη θέση αυτή και μετά, επειδή το σωματίδιο θα αρχίσει και πάλι να κινείται προς τα κάτω. Τελικά, η κίνηση που εκτελεί το σωματίδιο είναι ταλάντωση μη αρμονική. Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας: Το σωματίδιο αποκτά μέγιστη ταχύτητα στη θέση, όπου (θεωρώ θετική φορά την προς τα κάτω): F B0F Bk qq y mgy k qq mg 1 ος τρόπος: y k qq mg Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση B (απόσταση y1): Κ U A K B U B Κ U A. U A. K B U. U. Qq 0k h mgh1 2 mu Qq k mgy y Προσοχή! U. U. U. 2 ος τρόπος: Qq k h mgh 1 2 mu Qq k mgy y Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση B (απόσταση y1): Κ B Κ W.AB, W.AB W F ABW BAB 1 2 mu 1 2 mu 0W F AB W BAB qv A V B U A. U.

35 34 Ηλεκτρικό Πεδίο 1 2 mu 1 2 mu Q qk h k Q mghmgy y qq k h k qq mghmgy y Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης: Το σωματίδιο έχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση από το φορτίο Q, στη θέση, όπου μηδενίζεται η ταχύτητα του. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση Γ (απόσταση ymax): Κ U A K U Κ U A. U A. K U. U. Qq 0k h mgh0k Qq mgy y Qq k h mgh k Qq mgy y Παρατήρηση! από τη παραπάνω σχέση προκύπτουν 2 λύσεις για το ymin, δεκτή είναι η μικρότερη. 2 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση Γ (απόσταση ymax):, W.A W F AW BA Κ Κ W.A 00W F A W BA 0qV A V U A. U. Q 0qk h k Q mghmgy y qq 0k h k qq mghmgy y qq 0 k h mgh k qq mgy y

36 u0u m35 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.7.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί σε απόσταση d από ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, το οποίο είναι στερεωμένο στη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας γ. Προσδιορισμός της μεγίστης απόστασης Προσοχή!: 1. Στο σωματίδιο ασκούνται 3 δυνάμεις. Η μια είναι η δύναμη του βάρους (Β=mg), η απωστική δύναμη Coulomb (το σωματίδιο και το σημειακό φορτίο είναι ομώνυμα ) και η αντίδραση Ν από το κεκλιμένο επίπεδο. 2. Πριν ξεκινήσουμε τη μελέτη του προβλήματος, πρέπει να αναλύσουμε τη δύναμη του βάρους σε συνιστώσες και να εξετάσουμε προς τα πού θα κινηθεί το σωματίδιο. Οπότε: Αν το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα πάνω Αν το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα πάνω Θα εξετάσουμε μια από τις δύο περιπτώσεις: Έστω ότι 0u FB ax mgc Fc N B mg

37 36 Ηλεκτρικό Πεδίο Περιγραφή της κίνησης: Επειδή, το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται και να επιταχύνεται (μη ομαλά) προς τα πάνω, με αποτέλεσμα να αυξάνεται συνεχώς η απόστασή του x από το ακλόνητο φορτίο Q. Η συνεχής αύξηση της μεταξύ τους απόστασης, προκαλεί μείωση του μέτρου της απωστικής δύναμης Coulomb, η οποία σε κάποια θέση κατά τη διάρκεια της κίνησης, γίνεται μικρότερη κατά μέτρο από τη δύναμη του βάρους. Από την θέση αυτή και μετά το σωματίδιο αρχίζει να επιβραδύνεται (μη ομαλά), ώσπου σε κάποια θέση, μηδενίζεται η ταχύτητα του. Στη θέση αυτή το σωματίδιοo έχει τη μέγιστη δυνατή απόσταση από το φορτίο Q. Επιπλέον ύστερα από το στιγμιαίο μηδενισμό της ταχύτητας, επειδή το σωματίδιο θα αρχίσει να κινείται προς τα κάτω και να πλησιάζει το φορτίο Q, ώσπου σε κάποια θέση (η οποία απέχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση από το Q) να μηδενιστεί και πάλι η ταχύτητα του. Από τη θέση αυτή και μετά, επειδή το σωματίδιο θα αρχίσει και πάλι να κινείται προς τα πάνω, ώσπου να φτάσει στη μέγιστη απόσταση από το φορτίο Q. Τελικά, η κίνηση που εκτελεί το σωματίδιο είναι ταλάντωση μη αρμονική. Προσδιορισμός της μέγιστης ταχύτητας: Το σωματίδιο αποκτά μέγιστη ταχύτητα στη θέση, όπου (θεωρώ θετική φορά την προς τα πάνω): F mgηµφ0f mgηµφk qq x mgηµφ 1 ος τρόπος: x qq k mgηµφ x qq k mgηµφ Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση x) στη θέση B

38 37 Ηλεκτρικό Πεδίο (απόσταση x1): Κ U A K B U B Κ U A. U A. K B U. U. Qq 0k x 01 2 mu Qq k mgy x Qq 0k x 01 2 mu Qq k mgx x xηµφ Qq k x 1 2 mu Qq k mgx x xηµφ Προσοχή! U. U. U. 2 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση x) στη θέση B (απόσταση x1): Κ B Κ W.AB, W.AB W F ABW BAB 1 2 mu 1 2 mu 1 2 mu 1 2 mu 0W F AB W BAB qv A V B U A. U. Q qk x k Q 0mgy x qq k x k qq mgx x xηµφ Προσδιορισμός της μέγιστης απόστασης: Το σωματίδιο έχει την μέγιστη δυνατή απόσταση (xmax) από το φορτίο Q, στη θέση, όπου μηδενίζεται η ταχύτητα του. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση x) στη θέση Γ (απόσταση xmax): Κ U A K U Κ U A. U A. K U. U. Qq 0k x 00k Qq mgy x

39 38 Ηλεκτρικό Πεδίο Qq k x k Qq mgx x xηµφ Παρατήρηση! από τη παραπάνω σχέση προκύπτουν 2 λύσεις για το xmax, δεκτή είναι η μεγαλύτερη. 2 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση h) στη θέση Γ (απόσταση ymax):, W.A W F AW BA Κ Κ W.A 00W F A W BA 0qV A V U A. U. Q 0qk x k Q 0mgy x qq 0k x k qq mgx x x qq 0 k k qq mgx x x

40 39 Ηλεκτρικό Πεδίο 3.8.Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q, βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ, με αρχική ταχύτητα u0, προς ακλόνητο σημειακό φορτίο Q, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση d. α. Περιγραφή της κίνησης β. Προσδιορισμός της ελάχιστης απόστασης 0u mg B N Fc0mg u Περιγραφή της κίνησης: Στο σωματίδιο ασκούνται 3 δυνάμεις. Η δύναμη του βάρους (Β=mg), η απωστική δύναμη Coulomb (το σωματίδιο και το σημειακό φορτίο είναι ομώνυμα ) και η αντίδραση Ν από το κεκλιμένο επίπεδο. Λόγω της ηλεκτρική δύναμης FC και της δύναμης mgημφ, οι οποίες είναι αντίθετες της κίνησης, το σωματίδιο θα αρχίσει να επιβραδύνεται (μη ομαλά). Η συνεχής μείωση της απόσταση μεταξύ του σωματιδίου και του φορτίου Q, προκαλεί αύξηση του μέτρου της ηλεκτρικής δύναμης, με αποτέλεσμα σε κάποια χρονική στιγμή να γίνεται μεγίστη. Τη στιγμή που η ηλεκτρική δύναμη γίνεται μέγιστη, το σωματίδιο σταματάει να κινείται

41 40 Ηλεκτρικό Πεδίο και η απόσταση του από το φορτίο Q, είναι η μικρότερη (ελάχιστη) δυνατή. Επιπλέον τη στιγμή του μηδενισμού της ταχύτητας του, λόγω των δυνάμεων FC και mgημφ, αντιστρέφεται η κίνηση του και αρχίζει να επιταχύνεται προς τα κάτω. Προσδιορισμός της μέγιστης απόστασης: Το σωματίδιο έχει την ελάχιστη δυνατή απόσταση (xmin) από το φορτίο Q, στη θέση, όπου μηδενίζεται η ταχύτητα του. 1 ος τρόπος: Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργεια (Α.Δ.Μ.Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Γ (απόσταση xmin): Κ U A K U Κ U A. U A. K U. U. 1 2 mu Qq k d 00k Qq mgy x 1 2 mu Qq k d k Qq mgy x 2 ος τρόπος: 1 2 mu Qq k d k Qq mgd x x ηµφ Εφαρμόζουμε για το σωματίδιο, Θεώρημα Έργου Ενέργειας (Θ.Ε. Ε.), από τη θέση Α (απόσταση d) στη θέση Γ (απόσταση xmin): Κ Κ W.A, W.A W F AW BA mu W F A W BA 0qV A V U A. U. Q 0qk d k Q 0mgy x qq 0k d k qq mgd x x ηµφ qq 0 k d k qq mgd x x ηµφ

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής

Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος

Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κλασικός Αθλητισμός Δρόμοι : Μεσαίες και μεγάλες αποστάσεις Ταχύτητες Σκυταλοδρομίες Δρόμοι με εμπόδια Δρόμοι Μεσαίων και Μεγάλων αποστάσεων Στην αρχαία εποχή ο δρόμος που είχε

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιάς εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο.

3. ίνεται ότι το πλάτος µιας εξαναγκασµένης µηχανικής ταλάντωσης µε απόσβεση υπό την επίδραση µιάς εξωτερικής περιοδικής δύναµης είναι µέγιστο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΤΡΟΧΟΥ MAXWELL ΒΑΡΗ 01-013 Μπίλιας Κων/νος Φυσικός

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ

ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης

«Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ «Διεργασίες μεταφοράς και διασποράς της αέριας ρύπανσης 1 Ατμοσφαιρικός κύκλος της ρύπανσης Ως γνωστόν, οι ανθρωπογενείς εκπομπές ρύπων είναι υπεύθυνες για τα υψηλά επίπεδα ρύπανσης

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης. (β) Η απόλυτη υπεραξία. Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Ημέρα 4 η (α) Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης (β) Η απόλυτη υπεραξία Αγορά και πώληση της εργασιακής δύναμης Στο κεφάλαιο για την αγορά και την πώληση της εργατικής δύναμης (ελληνική έκδοση: τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΚΡΗΤΗ ΑΝΤΙΟΠΗ ΓΙΓΑΝΤΙ ΟΥ Τοµεάρχης Λειτουργίας Κέντρων Ελέγχου Συστηµάτων Μεταφοράς ιεύθυνσης ιαχείρισης Νησιών ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΡΗΤΗΣ 2009 Εγκατεστηµένη Ισχύς (Ατµοµονάδες, Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη

1. Σε περίπτωση κατά την οποία η τιμή ενός αγαθού μειωθεί κατά 2% και η ζητούμενη Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΔΙΚΑΣΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γεώργιος Κ. Πατρίκιος, Δικηγόρος, ΜΔΕ Δημοσίου Δικαίου, Υπ. Διδάκτωρ Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών. ΘΕΜΑΤΙΚΗ : Η αρμοδιότητα των διοικητικών

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10

Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή

Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα. 11.1. Εισαγωγή Μητροπολιτικά Οπτικά Δίκτυα 11.1. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα είναι διαιρεμένα σε μια ιεραρχία τριών επιπέδων: Στα δίκτυα πρόσβασης, τα μητροπολιτικά δίκτυα και τα δίκτυα κορμού. Τα δίκτυα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα»

(7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» (7 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ Ι: «ταξινόμηση» (8 ο ) ΔΙΑΙΡΕΙ & ΒΑΣΙΛΕΥΕ ΙΙ: «κυρτό περίβλημα» Σύντομα προλεγόμενα: πού να ψάξουμε για δραστικούς αλγορίθμους; Θα αρχίσουμε από αυτό το κεφάλαιο την ξενάγησή

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Διδάσκων : Πομπιέρη Βασιλεία, Δικηγόρος, LLM UCL Πτωχευτικό Δίκαιο Σημαντικότερες ρυθμίσεις σε προπτωχευτικό στάδιο. Εισαγωγή της διαδικασίας συνδιαλλαγής Σκοπός Η διάσωση και εξυγίανση

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!

Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία

Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Κινητική Μάθηση Μέρος Πρώτο : Ανθρώπινη απόδοση εκτέλεση 1. Εισαγωγή «Η ικανότητα που έχει κάποιος, να πετυχαίνει ένα τελικό αποτέλεσμα με την μεγαλύτερη δυνατή σιγουριά και τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ-ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate Κατηγορίες οφέλους και κόστους που προέρχονται από τις δημόσιες δαπάνες Για την αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται

1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται 1. Ο εγγυημένος ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης στο υπόδειγμα Harrod Domar εξαρτάται από: α) Τη ροπή για αποταμίευση β) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος και τη ροπή για αποταμίευση γ) Το λόγο κεφαλαίου προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της

Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας δύο σταδίων έγχυσης για τον προσδιορισμό της απόδοσής της ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΙΟΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Διπλωματική εργασία Πειραματικές δοκιμές πρότυπης περισταλτικής αντλίας

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ

( ) Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Π. ΚΡΗΤΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΥ 380, «ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ» Φ 03: ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ Ενδιαφερόμαστε μεν για τους αλγορίθμους αλλά εντός ενός συγκεκριμμένου πλαισίου: (α) ως λύσεις προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα