Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών"

Transcript

1 Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

2

3 Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov σε συνεχή χρόνο Εστω S ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο (Για παράδειγμα τα σύνολα {,,, m} όπου m N, {,, 3, }, ή {,,, 0,,, }) Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εξετάσουμε στοχαστικές διαδικασίες οι οποίες παίρνουν τιμές στο σύνολο S και εξελίσονται σε συνεχή χρόνο, δηλαδή διαδικασίες {X t ; t 0} Συνεπώς για κάθε δεδομένο ω Ω η X t (ω) είναι μια συνάρτηση [0, ) : S Θα υποθέσουμε επίσης ότι με πιθανότητα ένα η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής από τα δεξιά και έχει όρια από τα αριστερά Αυτό σημαίνει ότι με πιθανότητα το όριο lim s t X s υπάρχει για κάθε t και X s lim t s X t Μαρκοβιανή Ιδιότητα Η διαδικασία {X t ; t 0} έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα αν για κάθε n N, 0 s 0 < s < < s n < t και i 0, i,, i n, j S, P(X t j X s0 i 0, X s i,, X sn i n ) P(X t j X sn i n ) () Αν η διαδικασία {X t ; t 0} έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα ϑα ονομάζεται διαδικασία Markov Ορισμός Μια διαδικασία Markov ονομάζεται χρονικά ομογενής αν για κάθε 0 s < t και i, j S, P(X t j X s i) P(X t s j X 0 i) Πιθανότητες Μετάβασης Εστω {X t ; t 0} μια χρονικά ομογενής αλυσίδα Markov Για κάθε 0 t και κάθε i, j S ορίζουμε τις συναρτήσεις P i j (t) : P(X t j X 0 i) () Αν υποθέσουμε ότι ο χώρος καταστάσεων S είναι πεπερασμένος, πχ S {,,, N} τότε για κάθε t 0 ο πίνακας P(t) με στοιχεία P i j (t) είναι ένας στοχαστικός πίνακας με P i j (t) 0 και N j P i j (t) για κάθε i,,, N 3

4 Οι πιθανότητες μετάβασης και η αρχική κατανομή p i : P(X 0 i) προσδιορίζουν πλήρως τις πεπερασμένων διαστάσεων κατανομές της διαδικασίας υπό την έννοια ότι για κάθε 0 < t < t < < t n και κάθε i,, i n S, P(X t i, X t i,, X tn i n ) P(X t i )P i i (t t )P i i 3 (t 3 t ) P in i n (t n t ) p i0 P i0,i (t) P i i (t t )P i i 3 (t 3 t ) P in i n (t n t ) (3) i 0 S Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει εύκολα από την Μαρκοβιανή ιδιότητα, την χρονική ομογένεια και τον ορισμό των πιθανοτήτων μετάβασης Ιδιότητες του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης Παρατηρούμε ότι για κάθε i, j S P i j (0) P(X 0 j X 0 i) δ i j : { αν i j 0 αν i j Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Οι πιθανότητες μετάβασης ικανοποιούν τις ακόλουθες σχέσεις: P i j (s + t) : P ik (s)p k j (t), για κάθε s, t > 0 (4) k S Μπορεί να αποδειχθεί (αλλά δεν ϑα το κάνουμε εδώ για να αποφύγουμε τις μαθηματικές δυσκολίες που προκύπτουν) ότι τα εξής όρια υπάρχουν: q i j lim δ 0 δ P i j(δ), i j, (5) q ii lim δ 0 δ (P ii(δ) ) (6) d Παρατηρείστε ότι τα παραπάνω όρια είναι οι παράγωγοι dt P i j(t) t0 q i j Επίσης, παρατηρείστε ότι, δεδομένου ότι αφού P i j (δ) 0, q i j 0 για i j Επίσης, αφού P ii (δ), q ii 0 Θα υποθέσουμε επιπλέον ότι για κάθε i, j οι παράγωγοι αυτές είναι πεπερασμένοι Υποθέτοντας ότι μπορούμε να εναλλάξουμε την σειρά άθροισης και παραγώγισης, κάτι που ισχύει πάντα όταν ο χώρος καταστάσεων S είναι πεπερασμένος, δεδομένου ότι j S P i j (t), d P i j (t) dt j S P i j (t) 0 Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για t 0 παίρνουμε j S q i j 0 ή j S q ii q i j (7) j i

5 Ορίζουμε τον πίνακα των ρυθμών ο οποίος επίσης ονομάζεται γεννήτωρας της διαδικασίας Q ως τον πίνακα με στοιχεία q i j Παρατηρείστε ότι τα μη διαγώνια στοιχεία του Q είναι ϑετικά ή μηδέν ενώ τα διαγώνια στοιχεία του Q είναι αρνητικά ή μηδέν Επιπλέον, λόγω της (7), το άθροισμα κάθε γραμμής του πίνακα είναι 0 ως Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων, οι εξισώσεις Chapman-Kolmogorov γράφονται P(s + t) P(s)P(t) (8) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς s παίρνουμε P (s+t) P (s)p(t) και ϑέτοντας s 0 έχουμε P (t) QP(t), (9) P (t) P(t)Q (0) Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει με τον ίδιο τρόπο γράφοντας την (8) ως P(s + t) P(t)P(s) και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία Η (9) ονομάζεται οπισθοδρομική εξίσωση του Kolmogorov ενώ η (0) προδρομική Η (8) είναι μία διαφορική εξίσωση πινάκων η οποία, μαζί με την αρχική συνθήκη P(0) I δίνει P(t) e Qt def n0 n! Qn t n () Πίνακες Μετάβασης Θεωρούμε την οικογένεια από πίνακες (με παράμετρο t) P i j (t) : P(X t j X 0 i) Παρατηρούμε ότι P(0) I, ο μοναδιαίος πίνακας Αν p i P(X 0 i) είναι η πιθανότητα ότι η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση i τη χρονική στιγμή t 0, τότε P(X t j) i p i P i j (t) Ρυθμοί μετάβασης Οταν το δ είναι πολύ μικρό P k j (δ) q k j δ + o(δ) για k j, P j j (δ) δ q k j + o(δ) () Ορίζουμε τον πίνακα ρυθμών μετάβασης Q με στοιχεία [Q i, j q i j, i j, [Q i,i j i q i j Οπως ϑα δούμε αυτός ο πίνακας, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται επίσης η γεννήτρια, μαζί με την αρχική κατανομή καθορίζει πλήρως την εξέλιξη της αλυσίδας Markov k j Στάσιμη κατανομή Η στάσιμη κατανομή (ή κατανομή ισορροπίας δίνεται από το μοναδικό διάνυσμα γραμμής π που ικανοποιεί την εξίσωση πq 0, (3)

6 μαζί με την εξίσωση κανονικοποίησης π i (4) i S Υπολογισμός του πίνακα e Qt Υποθέτουμε ότι ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένος, πχ, το σύνολο S {,,, N} Συνεπώς ο γεννήτορας Q είναι ένας πίνακας N N Δεδομένου ότι όλες οι γραμμές του πίνακα Q έχουν άθροισμα 0, αν e είναι ένα διάνυσμα στήλης του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με την μονάδα, δηλαδή e [,,, T, τότε Qe 0 Αυτό σημαίνει ότι det Q 0 και ότι το μηδέν είναι ιδιοτιμή του Q Προκειμένου να υπολογίσουμε τον e Qt μπορούμε να ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία Βρίσκουμε τις N ιδιοτιμές του Q, λ,, λ N λύνοντας την εξίσωση det(λi Q) 0 Μια από αυτές τις ιδιοτιμές, έστω η λ, είναι 0 Βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα, m,, m N, τα οποία ικανοποιούν την σχέση Qm i λ i m i, i,, N Το m που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0 είναι το [,,, T (Γενικώς, αν το m i είναι ιδιοδιάνυσμα και c 0 τότε και το cm i είναι ιδιοδιάνυσμα, αφού το m i προκύπτει ως λύση του ομογενούς συστήματος εξισώσεων (Q λ i I)m i 0 Υποθέτουμε για ευκολία ότι οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους 3 Σχηματίζουμε τον πίνακα M : [m,, m N ο οποίος έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα Αν λ Λ : λ N είναι ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών (φυσικά με την ίδια σειρά όπως και τα ιδιοδιανύσματα του M) τότε είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι QM MΛ και επομένως Q MΛM (Από την Γραμμική Άλγεβρα γνωρίζουμε ότι, εφ όσον οι ιδιοτιμές του Q είναι διαφορετικές μεταξύ του, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως ο πίνακας M είναι αντιστρέψιμος) 4 Παρατηρούμε ότι Q (MΛM )(MΛM ) MΛ M και επομένως, επαγωγικά, Q n MΛ n M 5 Ισχύει ότι λ n Λ n λ n N επειδή ο Λ είναι διαγώνιος

7 6 Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε εύκολα το εκθετικό του πίνακα Q: e tq n0 M M t n n! Qn n0 t n n! Λn M n0 e λ t e λnt t n n! Qn M M t n n! MΛn M n0 n0 t n n! λn t n n0 n! λn N M Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν πώς εφαρμόζεται η διαδικασία που περιγράψαμε Παράδειγμα γεννήτορα Εστω μια διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0, } και Q [ Η στάσιμη κατανομή δίνεται από τις σχέσεις (3) και (4) που στην περίπτωσή μας δίνουν π 0 + π 0 π 0 π 0 π 0 + π (Η μια από τις δύο πρώτες εξισώσεις είναι πολλαπλάσιο της άλλης) Οι εξισώσεις αυτές δίνουν την στάσιμη κατανομή π [/3, /3 Οι ιδιοτιμές δίδονται από την εξίσωση det(λi Q) λ + λ + (λ + ) 3 (λ + )(λ + 3) λ(λ + 3) 0 Στην ιδιοτιμή 0 αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα [, T Πράγματι [ [ [ 0 Προκειμένου να βρούμε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 3 λύνουμε το σύστημα [ ή [ x x 3 [ x x x + x 3x x x 3x Το παραπάνω σύστημα δίνει μόνο την σχέση x x (Η δεύτερη εξίσωση είναι ίδια με την πρώτη επειδή το σύστημα είναι ομογενές) Μπορούμε να διαλέξουμε ως ιδιοδιάνυσμα

8 το [, T (Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του διανύσματος αυτού είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 3) Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων M είναι επομένως M [ και M 3 [ Επομένως Q [ [ [ και e tq [ +e 3t 3 e 3t [ 0 e 3t 3 +e 3t [ [ [ e 3t 3 [ Επομένως έχουμε P(t) Παρατηρούμε ότι όταν t P(t) [ [ [ + e 3t (5) Κάθε μια από τις δύο γραμμές του πίνακα είναι η στάσιμη κατανομή Σε μια από τις επόμενες παραγράφους ϑα μελετήσουμε ειδικά διαδικασίες με δυο καταστάσεις και ϑα δούμε και έναν διαφορετικό τρόπο με τον οποίο μπορούμε να καταλήξουμε στην (5) Παράδειγμα Εστω μια διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0,, } και γεννήτορα Q 0 Η στάσιμη κατανομή δίνεται από τις σχέσεις (3) και (4) που δίνουν π 0 + π + π 0 π 0 π + π 0 π π 0 π 0 + π + π (Μία από τις τρεις πρώτες εξισώσεις είναι γραμμικός συνδιασμός των άλλων δύο) εξισώσεις αυτές δίνουν την στάσιμη κατανομή π [/5, /5, 3/5 Οι Προκειμένου να υπολογίσουμε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης χρησιμοποιήσουμε την () Για να υπολογίσουμε τον πίνακα e tq μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη μεθοδολογία

9 ϑα διαγωνιοποιήσουμε τον Q: οι ιδιοτιμές είναι 0,, και 3 με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα Επομένως Q MΛM ή 0 Q,, 3 από την οποία προκύπτει ότι e Qt e 6 t e 3t +e t e 3t e 3t e t e 3t e 3t +e t e 3t e 3t / /3 /6 / 0 / 0 /3 / Σε κάποιες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες μετάβασης χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την () Η διαδικασία Poisson ως διαδικασία Markov Εστω {N t ; t 0} μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ N t είναι ο αριθμός των σημείων στο διάστημα (0, t Τα σημεία της διαδικασίας είναι τα {T n ; n,, } όπου T n τ + τ + + τ n Οι τυχαίες μεταβλητές {τ i } είναι ανεξάρτητες εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό λ Από τις γνωστές ιδιότητες της διαδικασίας Poisson είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι η διαδικασία {N t ; t 0} με χώρο καταστάσεων S {0,,, } ικανοποιεί την Μαρκοβιανή ιδιότητα: Αν 0 < t t t n και 0 i i i n όπου i,, i n N 0, P(N t i, N t i,, N tn i n ) P(N t i ) P(N t N t i i ) P(N tn N tn i n i n ) P(N t i ) P(N t t i i ) P(N tn t n i n i n ) (λt ) i i! e λt (λ(t t )) i i (i i )! e λ(t t ) (λ(t n t n )) i n i e λ(t n t n ) (i n i n )! Βλέπουμε επομένως ότι η διαδικασία {N t } είναι Markov με πιθανότητες μετάβασης (λt) j i P i j (t) P(N t j i) ( j i)! e λt αν j i 0 αν j < i Ο γεννήτορας είναι Q λ λ λ λ λ λ λ

10 3 Μία εναλλακτική περιγραφή Αντί να καθορίσουμε τον πίνακα ρυθμών μετάβασης μπορούμε να χαρακτηρίσουμε πλήρως μια μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου μέσω δύο συνόλων από παραμέτρους ν i, i S, τον εκθετικό ρυθμό παραμονής στην κατάσταση i για κάθε κατάσταση στο χώρο S και τον πίνακα P i j, τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης της αλυσίδας Markov διακριτού χρόνου που προσδιορίζει τα άλματα από μια κατάσταση στην επόμενη Η σχέση ανάμεσα σ αυτές τις παραμέτρους και την γεννήτρια δίδεται από τις εξισώσεις ν i q i j, i S, (6) και j i P i j q i j ν i, j i, (7) P(i, i) 0 Ισοδύναμα, με δεδομένα τα (ν, P), μπορούμε να υπολογίσουμε την γεννήτρια από τις εξισώσεις q i j ν i P i j, i j, q ii j i q i j Μια εναλλακτική έκφραση για την στάσιμη κατανομή Υποθέτουμε ότι τη χρονική στιγμή t 0 η αλυσίδα Markov βρίσκεται στην κατάσταση i και συμβολίζουμε με T την πρώτη χρονική στιγμή που η διαδικασία επανεισέρχεται για πρώτη φορά στην κατάσταση i αφού την έχει εγκαταλείψει Επίσης συμβολίζουμε με N(i, j) τον αριθμό των επισκέψεων στην κατάσταση j μεταξύ δύο διαδοχικών επισκέψεων στην i κατανομή της αλυσίδας διακριτού χρόνου των αλμάτων P i j Τότε Τέλος έστω η i η στάσιμη π j E [ Συνολικός χρόνος στην κατάσταση j στο διάστημα [0, T ET EN(i, j) E [ χρόνος παραμονής στην κατάσταση j η j η i ν j k S η k η i νk (8) ET η j ν j k S η, (9) k νk όπου στις παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι EN(i, j) η j η i καθώς και το ότι ο μέσος χρόνος παραμονής σε οποιαδήποτε κατάσταση k είναι νk Η σχέση ανάμεσα στη στάσιμη κατανομή της αρχικής αλυσίδας Markov, π, και στη στάσιμη κατανομή της αλυσίδας των αλμάτων, η, μπορεί να περιγραφεί από τις σχέσεις: Το ποσοστό του χρόνου που η αλυσίδα Markov βρίσκεται στην κατάσταση i είναι π i Το ποσοστό των αλμάτων που καταλήγουν στην κατάσταση i είναι η i Οι δύο κατανομές σχετίζονται μέσω των εξισώσεων π i cη i ν i, (0) όπου c είναι σταθερά που προσδιορίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης π i

11 Από την (0) συνάγουμε επίσης ότι η i π i ν i k S π k ν k () 4 Αλυσίδες με απορροφητικές καταστάσεις Οπως και στις αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου έτσι και σε συνεχή χρόνο μπορούμε να έχουμε απορροφητικές καταστάσεις Αν η κατάσταση i είναι απορροφητική τότε q i 0 δηλαδή ο ρυθμος με τον οποίο η διαδικασία φεύγει από την κατάσταση αυτή είναι 0 (Με άλλα λόγια μένει για πάντα εκεί!) Συνεπώς, αφού q i j i q i j και q ii q i αυτό σημαίνει ότι όλα τα στοιχεία της γραμμής i του πίνακα Q είναι μηδέν όταν η κατάσταση i είναι απορροφήτική Ισχύει φυσικά και το αντίστροφο Οταν η γραμμή i ενός πίνακα Q είναι 0 αυτό σημαίνει ότι η κατάσταση i είναι απορροφητική Για παράδειγμα ας ϑεωρήσουμε την διαδικασία με χώρο καταστάσεων {0,,, 3} και πίνακα Q Η κατάσταση 0 είναι απορροφητική ενώ οι, και 3 είναι μεταβατικές Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ϑα είναι P(t) e Qt και για τον υπολογισμό του υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του Q Οι ιδιοτιμές ϑα είναι 3,, και 0 επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι ,,, 0 0 Άρα ο πίνακας ιδιοδιανισμάτων, M, και ο αντίστροφός του, M ϑα είναι M, M και επομένως, Q MΛM συμπεραίνουμε ότι P(t) e tq Me tλ M Συνεπώς, e P(t) t e t (όπου Λ ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών) από το οποίο e 3t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e t e 3t e 3t

12 5 Ανταγωνιστικά Εκθετικά Εστω X i, ανεξάρτητες εκθετικές τυχαίες μεταβλητές με ρυθμούς λ i, i,,, n Θέτουμε Y min{x, X,, X n } και ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Z με τιμές στο σύνολο {,,, n} έτσι ώστε Z i αν X i Y, δηλαδή Z είναι ο δείκτης της μικρότερης από τις τιμές X,, X n Η από κοινού κατανομή των Y και Z είναι P(Y (x, x + dx), Z i) P(X i (x, x + dx), X i < X j, j i) P(X i (x, x + dx)) λ i e λ ix dx n P(X j > x) n e λ jx λ i dx e x n j λ j () j j i Οι αντίστοιχες περιθώριες κατανομές είναι j j i P(Y (x, x + dx)) n P(Y (x, x + dx), Z i) i n λ i e x n j λ j dx (3) i Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η Y είναι εκθετικά κατανεμημένη με ρυθμό n i λ i Επίσης P(Z i) 0 λ i e x n j λ j dx λ i nj λ j, i,, n (4) Από τις σχέσεις (), (3), και (4) βλέπουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Y και Z είναι ανεξάρτητες 6 Αλυσίδες Markov με δύο καταστάσεις 6 Αλυσίδες Markov με δύο καταστάσεις Εστω αλυσίδα Markov με σύνολο καταστάσεων S {0, } και γεννήτρια Q [ λ λ µ µ Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης δίνεται από την () ως εξής: Παρατηρείστε ότι Q [ λ + λµ λ λµ λµ µ λµ + µ [ λ λ (λ + µ) µ µ (λ + µ)q

13 Αυτό συνεπάγεται επαγωγικά ότι Q n ( ) n (λ + µ) n Q για n,, Συνεπώς, P(t) n0 t n n! Qn I + I Q λ + µ [ 0 0 ( ) n (λ + µ) n t n Q n! n ( ) n (λ + µ) n t n I n! λ + µ Q ( e (λ+µ)t ) n [ λ λ µ µ e (λ+µ)t λ + µ Συμπεραίνουμε ότι [ P00 (t) P P(t) : 0 (t) P 0 (t) P (t) µ λ+µ µ λ+µ λ λ+µ λ λ+µ + λ + µ e (λ+µ)t [ λ λ µ µ (5) Στην περίπτωση που λ µ ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης δίνεται από την P(t) + e λt [ (6) Επομένως ένα σφαιρίδιο που την χρονική στιγμή 0 ήταν στο αριστερό δοχείο σε χρόνο t έχει πιθανότητα να βρίσκεται στο αριστερό δοχείο ( ) + e λt ενώ αν αρχικά βρισκόταν στο δεξιό δοχείο, τη χρονική στιγμή t η πιθανότητα να βρίσκεται στο αριστερό δοχείο είναι ( ) e λt Αν ξεκινήσουμε με 0 σφαιρίδια στο αριστερό δοχείο (X(0) 0) τότε P(X(t) i) ( n i ( n i ( ) n i ) ( ) ( ( )) e λt i ( ( )) e λt n i ( e λt )) i ( ( + e λt )) n i n ( e λt) i ( + e λt ) n i 7 Αναστρεψιμότης σε Συνεχή Χρόνο Με λίγη σκέψη βλέπουμε ότι μια αλυσίδα Markov συνεχούς χρόνου είναι αναστρέψιμη ανν η αντίστοιχη αλυσίδα αλμάτων σε διακριτό χρόνο είναι αναστρέψιμη Η συνθήκη για να συμβαίνει αυτό είναι η i P i j η j P ji (7)

14 Εν όψει των (7) και () η (7) γράφεται και ως π i ν i q i j ν i π j ν j q ji ν j ή π i q i j π j q ji, για κάθε i, j S (8) Το κριτήριο του Kolmogorov για αλυσίδες Markov συνεχούς χρόνου μπορεί να βρεθεί εξετάζοντας την διακριτή αλυσίδα αλμάτων Για οποιοδήποτε βρόγχο, λόγου χάριν i j k l i, εφαρμόζοντας το κριτήριο στην αλυσίδα αλμάτων δίδει την εξίσωση P i j P jk P kl P li P il P lk P k j P ji, η οποία, λαμβάνοντας υπ όψιν την (7) είναι ισοδύναμη με την q i j q jk q kl q li q il q lk q k j q ji (9) 7 Χρονική αντιστρεψιμότητα και διαδικασίες γεννήσεων-ϑανάτων Θεωρούμε μια διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων το σύνολο {0,,,, N} όπου N N ή το σύνολο N 0 : {0,,, } Το όνομα των διαδικασιών αυτών προέρχεται από τις Βιολογικέ εφαρμογές τους αν και δεν περιορίζεται σ αυτές επ ουδενί λόγω Ο γεννήτορας της διαδικασίας έχει την μορφή Q λ 0 λ 0 µ (λ + µ ) λ µ (λ + µ ) λ δηλαδή q n,n+ λ n, n 0,,, q n,n µ n, n,, 3, q 00 λ 0 q nn (λ n + µ n ), n 0,,, q n,m 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Η κατάσταση της διαδικασίας είναι ο αριθμός των οργανισμών Οταν υπάρχουν n οργανισμοί, ο ρυθμός γεννήσεων είναι λ n και ο ρυθμός ϑανάτων µ n Αυτό εξηγεί την μορφή του πίνακα Q ο οποίος είναι τριδιαγώνιος Αν το σύνολο καταστάσεων είναι πεπερασμένο τότε έχουμε ένα συνηθισμένο πεπερασμένο πίνακα Η στάσιμη κατανομή, αν υπάρχει, ικανοποιεί την εξίσωση πq 0 και την συνθήκη κανονικοποίησης i π Συγκεκριμένα οι εξισώσεις γίνονται πq 0 οι οποίες ονομάζονται

15 και εξισώσεις ολικής ισορροπίας π 0 λ 0 π µ (30) π (λ + µ ) π 0 λ 0 + π µ (3) π (λ + µ ) π λ + π 3 µ 3 (3) π 3 (λ 3 + µ 3 ) π λ + π 4 µ 4 (33) Προσθέτοντας την (30) και την (3) παίρνουμε π λ π µ (34) Προσθέτοντας την (34) και την (3) παίρνουμε π λ π 3 µ 3 (35) Προσθέτοντας την (36) και την (33) παίρνουμε π 3 λ 3 π 4 µ 4 (36) και ούτω καθ εξής Συνεπώς οι εξισώσεις ολικής ισορροπίας είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες εξισώσεις τοπικής ισορροπίας: π n,n+ λ n π n+ µ n+, n 0,,, (37) Οι εξισώσεις αυτές είναι οι συνθήκες αντιστρεψιμότητας (8) Λύνοντας τις εξισώσεις αυτές αναδρομικά έχουμε ότι π n π 0 λ 0 λ λ n µ µ µ n (38) Αν ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένος τότε η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε n {,, N} ενώ αν είναι άπειρος, για κάθε n N Η πιθανότητα π 0 προσδιορίζεται από την συνθήκη κανονικοποίησης ( ) Για πεπερασμένο χώρο καταστάσεων αυτή είναι π 0 + Nn λ 0 λ λ n µ µ µ n απ όπου έ- χουμε π 0 + N n λ 0 λ λ n µ µ µ n (39) και επομένως οι εξισώσεις (38) και (39) προσδιορίζουν την στάσιμη κατανομή που υπάρχει σε κάθε περίπτωση Για άπειρο χώρο καταστάσεων η συνθήκη κανονικοποίησης δίνει π 0 + λ 0 λ λ n µ µ µ n n

16 Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να προσδιοριστεί η πιθανότητα π 0 από την παραπάνω εξίσωση είναι να συγκλίνει η σειρά στο αριστερό της σκέλος Συνεπώς η στάσιμη κατανομή υπάρχει αν και μόνον αν συγκλίνει η σειρά Εφόσον συγκλίνει η σειρά, π 0 + n λ 0 λ λ n µ µ µ n (40) και οι εξισώσεις (38) και (40) προσδιορίζουν την στάσιμη κατανομή συγκλίνει, η διαδικασία δεν έχει στάσιμη κατανομή (η αλυσίδα είναι μεταβατική) Αν η σειρά δεν 8 Παραδείγματα 8 Η αλυσίδα των Ehrenfest Εστω δύο δοχεία τα οποία περιέχουν συνολικά n σφαιρίδια Αρχικά k από αυτά βρίσκονται στο αριστερό και τα υπόλοιπα n k στο δεξιό Το κάθε σφαιρίδιο ανεξάρτητα από τα άλλα παραμένει στο δοχείο που βρίσκεται για ένα εκθετικό χρόνο (με ρυθμό λ και κατόπιν μεταπηδά στο άλλο Το μοντέλο αυτό περιγράφει, μεταξύ άλλων, και την διάχυση αερίου μέσα από ημιπερατή μεμβράνη Η κατάσταση του συστήματος την χρονική στιγμή t περιγράφεται πλήρως από τον αριθμό των σωματιδίων στο αριστερό δοχείο, έστω X(t) (Ο αριθμός των σωματιδίων στο δεξιό δοχείο ϑα είναι φυσικά n X(t) ενώ οι χρόνοι που έχουν παρέλθει από τις τελευταίες μεταπηδήσεις των σωματιδίων δεν είναι απαραίτητο να είναι γνωστοί λόγω της αμνήμονης ιδιότητας της εκθετικής κατανομής) Η γεννήτρια της διαδικασίας Markov X(t) για n 6 είναι Q 6λ 6λ λ 6λ 5λ λ 6λ 4λ λ 6λ 3λ λ 6λ λ λ 6λ λ λ 6λ και γενικά, όταν ο αριθμός των σφαιριδίων είναι n, μπορούμε να την περιγράψουμε με τις σχέσεις q i j nλ αν j i iλ αν j i (n i)λ αν i i + 0 διαφορετικά Η διαδικασία είναι χρονικά αντιστρέψιμη και επομένως π i q i,i π i q i,i ή π i λ(n i + ) π i iλ, i,,, n

17 και επομένως, για i,,, n έχουμε n i + π i π i i ( ) n π 0 i π i (n i + )(n i + ) i(i ) π 0 (n i + )(n i + ) (n )n i(i ) Το προσδιορίζεται από τις εξισώσεις κανονικοποίησης ως εξής: π 0 + n ( ) n π 0 i i ή κι έτσι π 0 n i ( ) n π 0 n i π i ( ) n n i δηλαδή η κατανομή ισορροπίας του X(t) είναι διωνυμική Το αποτέλεσμα αυτό δεν πρέπει φυσικά να μας εκπλήσσει Το κάθε σφαιρίδιο αναπηδά ανεξάρτητα από τα άλλα και μετά από αρκετό χρόνο η αρχική του ϑέση παύει να παίζει ρόλο Ετσι, στο όριο, όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο το κάθε σφαιρίδιο είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται στο ένα ή στο άλλο δοχείο, ανεξάρτητα από τα άλλα, εξ ου και η διωνυμική κατανομή 8 Γραμμική διαδικασία καθαρών γεννήσεων Θεωρούμε οργανισμούς οι οποίοι δεν πεθαίνουν ποτέ αλλά, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, γεννούν όμοιους οργανισμούς με ρυθμό λ Αν υποθέσουμε ότι ξεκινάμε με ένα οργανισμό την χρονική στιγμή 0, μετά από χρόνο τ, εκθετικά κατανεμημένο με ρυθμό λ, ϑα έχουμε δύο οργανισμούς Η επόμενη γέννηση ϑα συμβεί μετά από τ χρονικές μονάδες Αυτή είναι μια διαδικασία γεννήσεων με λ i iλ Ας υποθέσουμε ότι η διαδικασία ξεκινάει με ένα σωμάτιο την χρονική στιγμή 0 και εστω T n η χρονική στιγμή της n-οστής γέννησης Τότε από τα παραπάνω προκύπτει ότι P(T n x) ( e λx) n Για να βρούμε τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης παρατηρούμε ότι P n (t) P(T n t < T n ) P(T n t) P(T n t) ( e λt) n ( e λt ) n e λt ( e λt) n Συνεπώς το μέγεθος του πληθυσμού την χρονική στιγμή t, X t, ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας e λt

18 83 Διαδικασία γεννήσεων ϑανάτων μετανάστευσης Εξετάζουμε την χρονική εξέλιξη ενός πληθυσμού που αποτελείται από άτομα των οποίων η ζωή είναι εκθετικά κατανεμημένη με ρυθμό µ Οσο ένας οργανισμός είναι ζωντανός γεννά απογόνους με ρυθμό λ Τέλος, ανεξέαρτητα από οτιδήποτε άλλο έχουμε όμοιους οργανισμούς οι οποίοι εισέρχονται στο σύστημα με ρυθμό ν Ο χώρος καταστάσεων S {0,,, } περιγράφει τον αριθμό των οργανισμών στο σύστημα Ο γεννήτορας της διαδικασίας δίνεται από την σχέση q i,i+ ν + iλ, i 0,,,, (4) q i,i iµ, i,,, (4) q ii ν i(λ + µ), λ, i 0,,,, (43) q i j 0, σε κάθε άλλη περίπτωση (44) Η στάσιμη κατανομή προκύπτει εύκολο από τις συνθήκες τοπικής ισορροπίας από τις οποίες παίρνουμε το σύστημα π i (ν + (i )λ) π i iµ, i,, η οποία δίνει και επομένως, αναδρομικά έχουμε π i π i ν + (i )λ ν + iµ (ν + (i )λ)(ν + (i )λ) (ν + λ)ν π i π 0 iµ (i )µ µ µ ( ) i λ (θ + (i ))(θ + (i )) (θ + )θ π 0 µ i! (45) όπου θ ν/λ Η στάσιμη κατανομή ϑα υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι η σειρά a i : i0 i0 ( ) i λ (θ + (i ))(θ + (i )) (θ + )θ µ i! συγκλίνει Εφαρμόζοντας το κριτήριο του λόγου για την σύγκλιση σειρών έχουμε a i+ a i ( ) λ i+ (θ+i)(θ+(i )) (θ+)θ µ (i+)! ( ) λ i (θ+(i ))(θ+(i )) (θ+)θ µ i! λ µ θ + i i + λ, όταν i µ Συνεπώς η σειρά συγκλίνει όταν λ < µ (δηλαδή όταν ο ρυθμός γεννήσεων λ είναι μικρότερος από τον ρυθμό ϑανάτων µ) και αποκλίνει όταν λ > µ Η περίπτωση λ µ, για την οποία το κριτήριο δεν αποφαίνεται, ϑα εξεταστεί ξεχωριστά Λαμβάνοτνας υπ όψιν ότι Γ(x + ) xγ(x), έχουμε ότι (θ + i )(θ + i ) (θ + )θ Γ(θ + i) Γ(θ)

19 και, από την σχέση (45), έχουμε π i π 0 ( λ µ ) i Γ(θ + i), Γ(θ)i! i 0,,, (46) Η πιθανότητα π 0 προσδιορίζεται από την συνθήκη κανονικοποίησης ως π 0 ( i0 λ i (47) Γ(θ+i) µ) i!γ(θ) Η κατανομή (46) είναι αρνητική διωνυμική Πράγματι, από το διωνυμικό ϑεώρημα, όταν x <, ( x) θ i ( θ)( θ ) ( θ i + ) i θ(θ + ) (θ + i ) ( x) x i! i! i0 i0 i Γ(θ + i) ( ) θ + i x x i (48) i!γ(θ) i i0 i0 Συνεπώς, ϑέτοντας x λ/µ, π i ( ) ( θ + i λ ) θ ( ) i λ, i 0,,, (49) i µ µ 9 Θεωρία Αναμονής και συναφή μοντέλα Μαρκοβιανά συστήματα αναμονής Ο συμβολισμός του Kendal Ενα σύστημα απλό σύστημα αναμονής απαρτίζεται από μια διαδικασία αφίξεων η οποία στα συστήματα που εξετάζουμε ϑα ϑεωρείται πάντα Poisson Οι πελάτες εξυπηρετούνται σύμφωνα με την σειρά άφιξης στο σύστημα Ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένος με ρυθμό µ (ίδιος για όλους τους servers) 9 Επίβλεψη Μηχανών Ενας τεχνίτης επιβλέπει M μηχανές Κάθε μηχανή, ανεξέρτητα από τις άλλες, λειτουργεί για μια εκθετική χρονική περίοδο με ρυθμό λ Στο τέλος αυτής της περιόδου υφίσταται μια βλάβη την οποία επιδιορθώνει ο τεχνίτης Ο χρόνος επισκευής είναι εκθετικός με ρυθμό µ Οταν μια μηχανή υποστεί βλάβη, ο τεχνίτης ξεκινά αμέσως την διαδικασία επιδιόρθωσής της εκτός αν είναι απασχολημένος επιδιορθώνοντας μια μηχανή που έχει ήδη υποστεί βλάβη Εστω X t ο αρθμός των μηχανών που λειτουργούν την χρονική στιγμή t Η {X t ; t 0} είναι διαδικασία Markov με χώρο καταστάσεων S {0,,, M} και γενήτορα q i,i+ µ, i 0,,,, M, q i,i iλ, i,,, M,

20 Η στάσιμη κατανομή προκύπτει από τη σχέση η οποία δίνει η οποία αναδρομικά δίνει π i q i,i πq i,i, i,,, M π i π i µ iλ, π i i,,, M α i π 0, i 0,,,, M i! όπου α µ λ Η πιθανότητα π 0 προκύπτει από την εξίσωση κανονικοποίησης M i0 π i η οποία δίνει π 0 M α k k! Ο μέσος αριθμός μηχανών που λειτουργούν δίνεται από την σχέση k0 m M kπ k k0 M k0 π 0 k αk k! M π 0 α k0 α k k! 9 Η ουρά M/M/ Το σύστημα αυτό αποτελείται από έναν υπηρέτη (server) ο οποίος εξυπηρετεί έναν πελάτη κάθε φορά Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες, εκθετικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με ρυθμό µ ενώ οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ, και είναι ανεξάρτητες από τους χρόνους εξυπηρέτησης Ο γεννήτορας είναι Q λ λ µ (λ + µ) λ µ (λ + µ) λ µ (λ + µ) λ Επειδή ο γράφος της διαδικασίας είναι γραμμικός η διαδικασία είναι χρονικά αναστρέψιμη και επομένως π n λ π n µ, n,, (50) Αν ϑέσουμε ρ : λ/µ η (50) δίνει π n ρπ n και επομένως, αναδρομικά, π n π 0 ρ n (5) Αν ρ < τότε η άγνωστη πιθανότητα π 0 προσδιορίζεται από την εξίσωση κανονικοποίησης ως εξής: π n n0 n0 π 0 ρ n π 0 ρ

21 και συνεπώς π 0 ρ Κατά συνέπεια η στάσιμη κατανομή είναι π n ( ρ)ρ n, n 0,,, (5) Αντιθέτως, αν ρ, η στάσιμη κατανομή δεν υπάρχει Ο λόγος διαισθητικά είναι ο εξής: ρ λ/µ είναι ο μέσος αριθμός πελατών που φθάνουν κατά την διάρκεια του χρόνου εξυπηρέτησης ενός πελάτη Συνεπώς, όταν ο αριθμός αυτός είναι μεγαλύτερος της μονάδας, ο αριθμός των πελατών αυξάνει συνεχώς χωρίς όριο και επομένως δεν υπάρχει στάσιμη κατανομή Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα δίνεται από την σχέση L nπ n n0 ( ρ)nρ n ( ρ)ρ n0 n nρ n ( ρ)ρ ( ρ) ρ ρ Η πιθανότητα να έχουμε k ή περισσότερους πελάτες στο σύστημα είναι π n nk ( ρ)ρ n ( ρ)ρ k ρ n k ( ρ)ρ k ρ ρk nk nk 93 Η ουρά M/M/s Το σύστημα αυτό είναι όμοιο με το σύστημα M/M/ με μόνη διαφορά το γεγονός ότι υπάρχουν s υπηρέτες Κάθε υπηρέτης εξυπηρετεί πελάτες με ρυθμό µ ανεξάρτητα από τους άλλους Ο χώρος αναμονής είναι απεριόριστος και οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ Ο γεννήτορας της διαδικασίας δίνεται από τις σχέσεις q n,n+ λ, n 0,,, nµ αν n,,, s q n,n sµ αν n s +, s +, (λ + nµ) αν n 0,,,, s q nn (λ + sµ) αν n s +, s +, και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Η διαδικασία είναι χρονικά αναστρέψιμη και επομένως π n q n,n+ π n+ q n+,n Δεδομένου ότι ο ρυθμός εξυπηρέτησης εξαρτάται από τον αριθμό πελατών στο σύστημα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: π n λ π n nµ, n,,, s (53) π n λ π n sµ, n s +, s +, (54)

22 Η (53) δίνει π n π n ρ/n όπου ρ : λ/µ ο μέσος αριθμός αφίξεων ανά εξυπηρέτηση Επομένως, επαγωγικά, ρ n π n π 0, n 0,,,, s (55) n! Η (54) δίνει π n π n ρ/(sµ) και επαγωγικά Η (55) δίνει Η (56) δίνει ns+ π n π n π s ( ρ s ) n s (56) π s ns+ π 0 ρ s π s ( ρ s s! (57) ) n s π s ρ/s ρ/s (58) Η παραπάνω σειρά βεβαίως συγκλίνει υπό την προϋπόθεση ότι ρ/s < ή ισοδύναμα ρ < s Αν δεν ισχύει αυτή η σχέση ο αριθμός των πελατών στο σύστημα αυξάνει απεριόριστα με την πάροδο του χρόνου εξίσωση κανονικοποίησης δίνει π n n0 Εφόσον ρ < s, λαμβάνοντας υπ όψιν και τις (57) και (58), η s n0 π 0 ρ n n! + ns+ π s ( ρ s ) n s Από την παραπάνω εξίσωση συμπεραίνουμε ότι s n0 ρ n π 0 n! + π ρ s ρ 0 s! s ρ π 0 sn0 (59) ρ n n! + ρs ρ s! s ρ Οι (55), (56) και (59) μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε εύκολα την στάσιμη κατανομή Ας δούμε ως παράδειγμα την περίπτωση s Η στάσιμη κατανομή σ αυτή την περίπτωση, αντικαθιστώντας και κάνοντας τις στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις έχουμε π 0 ρ + ρ, π n ρ + ρ ρ ( ρ Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι ) n, n,, 3, L nπ n n0 4ρ 4 ρ n n ρ ( ρ ) n + ρ ρ ρ + ρ ( ρ n n ) n ρ + ρ ( ρ ) Η πιθανότητα ότι ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα ϑα εξυπηρετηθεί χωρίς να χρειαστεί να περιμένει είναι π 0 + π ( ρ)(+ρ) +ρ

23 94 Το σύστημα M/M/ Το σύστημα αυτό έχει άπειρο πλήθος υπηρετών, καθένας από τους οποίους εξυπηρετεί έ- ναν πελάτη με ρυθμό µ (οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι πάντα εκθετικές ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές) και οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ, ανεξάρτητες από τις εξυπηρετήσεις Κανένας πελάτης δεν περιμένει στο σύστημα αυτό επειδή πάντα υπάρχουν διαθέσιμοι υ- πηρέτες Ο χώρος καταστάσεων είναι ο αριθμός των πελατών στο σύστημα και συνεπώς S {0,,, } Ο γεννήτορας είναι q i,i+ λ, i 0,,, q i,i iµ i,,, q ii (λ + iµ) i 0,,, και q i j 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Το σύστημα είναι χρονικά αντιστρέψιμο και επομένως π i λ π i iµ, i,, Θέτοντας ρ λ/µ, π i ρ i π i, i,, και αναδρομικά έχουμε Η εξίσωση κανονικοποίησης δίνει π i ρ i π 0, i 0,,, i! i0 π 0 ρ i i! π 0 e ρ Η σειρά στην παραπάνω εξίσωση συγλίνει για οποιαδήποτε τιμή του ρ Συνεπώς έχουμε την στάσιμη κατανομή π i ρi i! e ρ, i 0,,, 95 Το σύστημα M/M/s/s Στο σύστημα αυτό υπάρχουν s υπηρέτες ο καθένας εκ των οποίων εξυπηρετεί έναν πελάτη ανεξάρτητα από τους άλλους με ρυθμό µ αλλά δεν υπάρχει χώρος αναμονής Οι πελάτες φθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ και αν κάποιος πελάτης δεν βρεί κατά την άφιξή του διαθέσιμο υπηρέτη αποχωρεί από το σύστημα και δεν επιστρέφει Ο χώρος καταστάσεων είναι κατά συνέπεια πεπερασμένος, S {0,,,, s}, και ο γεννήτορας δίνεται από τις σχέσεις q n,n+ λ, n 0,,,, s q n,n nµ n,,, s (λ + nµ) αν n 0,,,, s q nn sµ αν n s

24 και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Από την χρονική αντιστρεψιμότητα του συστήματος έχουμε και επομένως π n λ π n nµ, n,, ρ n π n π 0, n 0,,,, s n! Η συνθήκη κανονικοποίησης δίνει s ρ n π 0 n! και επομένως η στάσιμη κατανομή, για κάθε τιμή του ρ, είναι n0 π n ρ n n!, n 0,,,, s (60) si0 ρ i i! Αν ορίσουμε την ποσότητα Ψ s : s ρ i i0, η πιθανότητα να έχουμε s πελάτες στο σύστημα, με βάση τα παραπάνω είναι i! π s : ρ s s! si0 ρ i i! Ψ s Ψ s Ψ s Ψ s Ψ s Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτή η πιθανότητα είναι ίση με το ποσοστό των πελατών οι οποίοι κατά την άφιξή τους βρίσκουν και τους s υπηρέτες απασχολημένους και επομένως αποχωρούν από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθούν Ο μέσος αριθμώς πελατών στο σύστημα (που είναι ίδιος με τον μέσο αριθμό απασχολημένων υπηρετών) δίνεται από την σχέση L s Ψ i ρi s i! s ρ Ψ i s (i )! s Ψ s ρ ρ j j! ρ Ψ s Ψ s i0 i j0 96 Το σύστημα M/M//K Το σύστημα αυτό είναι ίδιο με το M/M/ αλλά με την διαφορά ότι υπάρχει χώρος μόνο για K πελάτες στο σύστημα (συμπεριλαμβανομένου και εκείνου που εξυπηρετείται) Οταν ένας πελάτης που φθάνει στο σύστημα δεν βρίσκει ϑέση στον χώρο αναμονής αποχωρεί και δεν επιστρέφει Ο χώρος καταστάσεων είναι S {0,,,, K} και ο γεννήτορας είναι q n,n+ λ, n 0,,,, K q n,n µ n,,, s (λ + µ) αν n,,, K q nn λ αν n 0 µ αν n K

25 και q nm 0 σε κάθε άλλη περίπτωση Και αυτή η διαδικασία είναι χρονικά αντιστρέψιμη και επομένως π n λ π n µ, n,,, K Θέτοντας ρ λ/µ έχουμε και η εξίσωση κανονικοποίησης δίνει π n π 0 ρ n π 0 ( + ρ + ρ + + ρ K) και επομένως, για κάθε τιμή του ρ, λαμβάνοντας υπ όψιν ότι + ρ + ρ + + ρ K ρk+ ρ έχουμε π 0 ρ ρ K+ και π n ρ n ρ, n 0,,,, K (6) ρk+ 97 Το ποσοστό των πελατών που δεν εξυπηρετούνται Στα συστήματα M/M/s/s και M/M//K που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες δύο παραγράφους ο χώρος αναμονής είναι περιορισμένος και συνεπώς οι πελάτες που φθάνουν στο σύστημα όταν δεν υπάρχει διαθέσιμος χώρος αναμονής αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν Ενα σημαντικό ερώτημα για τα συστήματα αυτά είναι ο υπολογισμός του ποσοστού των πελατών οι οποίοι αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν Για την περίπτωση του συστήματος M/M//K οι πελάτες οι οποίοι αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν είναι εκείνοι οι οποίοι φθάνουν στο σύστημα όταν υπάρχουν ήδη K πελάτες Οταν οι αφίξεις στο σύστημα ακολουθούν την διαδικασία Poisson μπορεί να αποδειχθεί ότι το ποσοστό των αφίξεων που βρίσκει το σύστημα σε μια κατάσταση είναι ίδιο με το ποσοστό του χρόνου που το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση αυτή Αυτό δεν ισχύει εν γένει αν οι αφίξεις δεν είναι Poisson Η ιδιότητα αυτή των αφίξεων είναι γνωστή στην βιβλιογραφία με το ακρώνυμο PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Συνεπώς για το σύστημα M/M//K το ποσοστό των πελατών που δεν εξυπηρετούνται είναι ισο με το ποσοστό του χρόνου που το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση K δηλαδή όπως προκύπτει από την εξίσωση (6) π K ρk ρ K+ ρ K+ (6) Η ιδιότητα PASTA ισχύει υπό γενικές συνθήκες για πολύ γενικά συστήματα Στην περίπτωσή μας μπορούμε να αποδείξουμε ότι το ποσοστό των πελατών οι οποίοι δεν εξυπηρετούνται μπορεί να υπολογισθεί με ένα απλό και στοιχειώδες επιχείρημα

26 Θεωρούμε μια διαδικασία παρόμοια με αυτή της προηγούμενης παραγράφου, αλλά με μία κατάσταση επιπλέον, δηλαδή με χώρο καταστάσεων {0,,,, K, K0} Οταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση n {0,,, K } αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα Οταν υπάρχουν K πελάτες στο σύστημα και ένας επιπλέον πελάτης φθάσει στο σύστημα τότε η διαδικασία παίρνει την τιμή K που σημαίνει ότι υπάρχουν K πελάτες στο σύστημα Αν ένας πελάτης φθάσει όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση K, το σύστημα πηγαίνει στην κατάσταση K0 που σημαίνει ότι πάλι υπάρχουν K πελάτες στο σύστημα (αφού δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους στο σύστημα) Ο σκοπός για τον οποίο υπάρχει η επιπλέον κατάσταση είναι για να υπάρχει μια μετάβαση κάθε φορά που ένας πελάτης φθάνει στο σύστημα, είτε γίνεται δεκτός στον χώρο αναμονής είτε όχι Οταν έχουμε μια άφιξη στην κατάσταση K0 πηγαίνουμε πίσω στην κατάσταση K Το διάγραμμα μετάβασης φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα Η στάσιμη κατανομή, π n, n 0,,, K, K0 ικανοποιεί τις εξισώσεις π 0 λ µ π π λ µ π π K λ µ π K π K (λ + µ) λ π K + µ π K + µ π K0 π K (λ + µ) λ π K + λ π K0 π K0 (λ + µ) λ π K Λύνοντας το παραπάνω σύστημα, μαζί με την εξίσωση κανονικοποίησης π 0 + π + + π K + π K0, έχουμε π n π K π K0 ( ρ) ρn, n 0,,,, K, (63) ρk+ ( ρ) ρk ρ( + ρ) ρ K+ (64) + ρ ( ρ) ρk ρ K+ ρ + ρ (65) Ο ρυθμός των αφίξεων στο σύστημα είναι, φυσικά, λ Ο ρυθμός των αφίξεων που βρίσκουν K πελάτες στο σύστημα (δηλαδή εκείνων που αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν) είναι ο

27 ρυθμός των μεταβάσεων K K0 και K0 K που είναι λ π K + λ π K0 Συνεπώς, το ποσοστό των πελατών που αποχωρούν χωρίς να εξυπηρετηθούν είναι λ π K + λ π K0 λ ( ρ) ρk ρ( + ρ) ( ρ) ρk ρ + ρ K+ + ρ ρ K+ + ρ Καταλήγουμε επομένως, με διαφορετικό τρόπο, στο αποτέλεσμα (6) ( ρ) ρk ρ K+ 0 Κλειστές Διαδικασίες Μετανάστευσης Θεωρούμε ένα σύστημα που αποτελείται από M σταθμούς N πελάτες κυκλοφορούν από τον ένα σταθμό στον άλλο χωρίς ποτέ να φεύγουν από το σύστημα και χωρίς να υπάρχουν νέες αφίξεις Οταν ένας πελάτης φεύγει από τον σταθμό i, πηγαίνει στον σταθμό j με πιθανότητα p i j ανεξάρτητα από οτιδήποτε άλλο Υποθέτουμε ότι p ii 0 για κάθε i,,, M, και βεβαίως M j p i j Οταν υπάρχουν n i πελάτες στον σταθμό i ο ρυθμός j i εξυπηρέτησης είναι µ i φ i (n i ) όπου µ i > 0 και οι συναρτήσεις {φ i }, i,, M, εκφράζουν την εξάρτηση του ρυθμού εξυπηρέτησης του σταθμού i από τον αριθμό των πελατών που είναι παρόντες Αυτό επιτρέπει, για παράδειγμα, σταθμούς με πολλαπλούς servers Στην περίπτωση αυτή, αν ο σταθμός i έχει s servers με ρυθμό εξυπηρέτησης µ i ο καθένας, φ i (n i ) min(n i, s) Ο χώρος καταστάσεων της διαδικασίας είναι το σύνολο S : {n : (n,, n M ) : n i N 0, M i n i N} Ο πληθικός αριθμός του S είναι ( ) N + M S (66) N Οι δυνατές αλλαγές κατάστασης είναι πάντα της μορφής n (n,, n i,, n j,, n M ) T i j n : (n,, n i,, n j +,, n M ) οι οποίες αντιστοιχούν σε μεταβάσεις ενός πελάτη από κάποιο σταθμό i σε κάποιον άλλο σταθμό j Ο γεννήτορας της διαδικασίας δίδεται από την σχέση q(n, T i j n) µ i φ i (n i )p i j (67) Εστω v i j : µ i p i j και v ii : µ i Με αυτούς τους ορισμούς, ο πίνακας V είναι γεννήτορας μιας διαδικασίας με χώρο καταστάσεων {,,, M} δεδομένου ότι v i j 0 όταν i j και Mj v i j 0 για κάθε j Υποθέτουμε ότι ο πίνακας P : [p i j είναι ανάγωγος, δηλαδή ένας πελάτης, ξεκινώντας από ένα σταθμό μπορεί να επισκεφθεί κάθε άλλο σταθμό στο σύστημα Αυτό σημαίνει ότι ο γεννήτορας V έχει μοναδική στάσιμη κατανομή Εστω α i µ i M µ i p i j, i,, M (68) j j i μια λύση του συστήματος αv 0 όχι υποχρεωτικά κανονικοποιημένη (Αυτό σημαίνει ότι η α i Mk α k είναι η στάσιμη κατανομή του V)

28 Θεώρημα Η στάσιμη κατανομή του συστήματος δίδεται από την σχέση π(n) G(M, N) M i α n i i ni r φ i(r) (69) όπου α είναι μια λύση του (68) και G(M, N) είναι η σταθερά κανονικοποίησης που ορίζεται ως G(M, N) : n S M i α n i i ni r φ i(r) (70) Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι η κατανομή (69) ικανοποιεί τις συνθήκες ολικής ισορροπίας M M π(n) q(n, T i j n) π(t i j n)q(t i j n, n) (7) i j i i j i Παρατηρούμε ότι q(t i j n, n) µ j φ j (n j + )p ji και α j φ i (n i ) π(t i j n) π(n) α i φ j (n j + ) και επομένως, αντικαθιστώντας τις δύο τελευταίες σχέσεις στην (7) έχουμε M π(n) µ i φ i (n i )p i j i j i M α j φ i (n i ) π(n) α i φ j (n j + ) µ jφ j (n j + )p ji i j i Λαμβάνοντας υπ όψιν το γεγονός ότι j i p i j η παραπάνω σχέση γίνεται M µ i φ i (n i ) i M i φ i (n i ) α i α j µ j p ji (7) j i Η σχέση αυτή ισχύει δεδομένου ότι j i α j µ j p ji µ i α i (ως συνέπεια της (68)

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότηες Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 27 Δεκεμβρίου 2010 2 Κεφάλαιο 1 Συνδιαστική Ανάλυση και Μαθηματικές Τεχνικές Η απαρίθμηση των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος

14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές

τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ

E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά

Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά 1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό.

ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. 1 ΘΕΜΑ: Διαφορές εσωτερικού εξωτερικού δανεισμού. Η διαχρονική κατανομή του βάρους από το δημόσιο δανεισμό. Σύνταξη: Παπαδόπουλος Θεοχάρης, Οικονομολόγος, Οικονομολόγος, MSc, PhD Candidate, εισηγητής Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις & Κλάσεις

Συναρτήσεις & Κλάσεις Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1 5 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν

Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν 1 1. Αποδοχή κληρονομίας Έννοια. Η αποδοχή της κληρονομίας αποτελεί δικαίωμα του κληρονόμου, άρα δεν μπορεί να ασκηθεί από τους δανειστές του κληρονόμου, τον εκτελεστή της διαθήκης, τον κηδεμόνα ή εκκαθαριστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ ΑΣΗ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Π. ΨΩΝΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΣΚΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης

Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Ημέρα 3 η. (α) Aπό την εργασιακή διαδικασία στη διαδικασία παραγωγής (β) Αξία του προϊόντος και αξία της εργασιακής δύναμης Η εργασιακή διαδικασία και τα στοιχεία της. Η κοινωνική επικύρωση των ιδιωτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ

Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές

Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές Μεγέθη ταλάντωσης Το απλό εκκρεμές 1.Σκοποί: Οι μαθητές Να κατανοήσουν τις έννοιες της περιοδικής κίνησης και της ταλάντωσης Να κατανοήσουν ότι η περιοδική κίνηση δεν είναι ομαλή Να γνωρίσουν τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις

(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις (3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται

Διαβάστε περισσότερα

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα................................

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες

2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες 20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε

Διαβάστε περισσότερα