ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟ ΟΔΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΥ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ (PENDUBOT)

Transcript

1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟ ΟΔΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΥ ΑΝΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ (PENDUBOT) Τσακίρης Μιχάλης, Σφακιωτάκης Μιχάλης Τμήμα Ηλεκτρολογίας, Τ.Ε.Ι. Κρήτης, Ηράκλειο ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή παρουσιάζει τη μελέτη και πρακτική υλοποίηση του αυτόματου ελέγχου για το pendubot, ένα υπο οδηγούμενο μηχανικό σύστημα δύο βαμών ελευερίας. Η πειραματική διάταξη που κατασκευάστηκε αποτελείται από κινηματικό ζεύγος δύο συνδέσμων - δύο περιστροφικών αρρώσεων, εκ των οποίων μόνο η πρώτη οδηγείται άμεσα από την εφαρμοζόμενη ροπή ενός κινητήρα συνεχούς ρεύματος. Το ζητούμενο του ελέγχου είναι η μετακίνηση του μηχανισμού από τη έση ηρεμίας στην ανάστροφη ασταή έση ισορροπίας (διαδικασία swing-up) και η ευσταειοποίηση του συστήματος σε αυτήν καώς και σε παρακείμενες έσεις. Για το swing-up χρησιμοποιήηκε η μέοδος της μερικής γραμμικοποίησης μέσω ανάδρασης, ενώ η εξισορρόπηση επιτεύχηκε μέσω γραμμικού ελέγχου ανάδρασης καταστάσεων. Το σύστημα ελέγχου υλοποιήηκε σε Η/Υ εξοπλισμένο με κάρτα DAQ&C και κατάλληλο λογισμικό. Η απόκριση του συστήματος παρουσίασε αξιοσημείωτη βελτίωση με τη χρήση αλγεβρικών μεόδων αριμητικής παραγώγισης για την εκτίμηση των γωνιακών ταχυτήτων. Λέξεις κλειδιά: υπο οδηγούμενα συστήματα, pendubot, γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης, αλγεβρική εκτίμηση παραγώγων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ως υπο-οδηγούμενα (unde-actuated) χαρακτηρίζονται τα μηχανικά συστήματα που κατέχουν την ειδοποιό ιδιότητα του μικρότερου αριμού εισόδων ελέγχου από τους βαμούς ελευερίας της διάταξης. Τέτοια συστήματα απαντώνται σε διάφορες εφαρμογές, όπως τα ρομπότ εύκαμπτων συνδέσμων, τα αυτοκινούμενα και υποβρύχια ρομπότ, ή οι προσαρτημένοι χειριστές σε κινούμενες πλατφόρμες (Spong, 998). Ο έλεγχος των υπο-οδηγούμενων μηχανικών συστημάτων εμφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, καώς, πέρα από τη μη γραμική δυναμική συμπεριφορά τους, παρουσιάζουν ιδιότητες όπως η μη ολική γραμμικοποιησημότητα μέσω ανάδρασης, η μη ολονομότητα και η υψηλότερου βαμού σχετική γωνία. Μάλιστα, με σκοπό τη διερεύνηση και την εφαρμογή νέων μεόδων ελέγχου για τα συστήματα αυτά, έχουν σχεδιαστεί μια σειρά από πειραματικές διατάξεις που ενσωματώνουν γνωρίσματα υπο-οδήγησης, όπως το εκκρεμές αναρτημένο σε όχημα, το περιστροφικό εκκρεμές, και το εκκρεμές αδρανειακού τροχού (Spong, 998). Στην κατηγορία αυτή ανήκει και το pendubot, η κατασκευή και ο έλεγχος του οποίου αποτελούν το αντικείμενο της παρούσας εργασίας. y sevo-dive encode # σερβοκινητήρας L L l encode # ος σύνδεσμος τ l x κάρτα διεπαφής σημάτων ος σύνδεσμος m = 0.57 kg, L = 0.8 m m = 0.9 kg, = 0. m L (α) (β) (γ) Σχήμα : (α) Σχηματικό διάγραμμα, και (β) υλοποίηση του pendubot. (γ) Σταεροποίηση του συστήματος στην ανάστροφη ασταή έση ισορροπίας.

2 Το pendubot είναι μία υπο-οδηγούμενη ρομποτική διάταξη δύο βαμών ελευερίας, με δύο συνδέσμους και δύο περιστροφικές αρρώσεις, όπου ένας σερβοκινητήρας επενεργεί στην πρώτη άρρωση, ενώ η δεύτερη είναι παητική (Σχήμα ). Η κίνηση του συστήματος περιορίζεται σε ένα επίπεδο. Ζητούμενο του ελέγχου είναι, ξεκινώντας από τη έση ηρεμίας, η μετακίνηση και σταεροποίηση του μηχανικού ζεύγους στην ανάστροφη ασταή έση ισορροπίας (Σχήμα γ). Για το σκοπό αυτό, στην παρούσα εργασία, αρχικά εφαρμόζεται μη γραμμικός νόμος ελέγχου που οδηγεί το σύστημα σε μία περιοχή κοντά στη έση εξισορρόπησης, οπότε και γίνεται μετάβαση σε γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης του διανύσματος κατάστασης, ο οποίος καιστά το σημείο ισορροπίας ασυμπτωτικά ευσταές. ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Υιοετώντας φορμαλισμό Λαγκρανζιανής μηχανικής και χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τριβές, το δυναμικό μοντέλο του συστήματος του Σχήματος α, έτοντας = (, ), μπορεί να εξαχεί ως: ( ) ( ) ( ) D C, G = + + τ, όπου ( ) α + α + α cos α + α cos α + α3cos α 3 3 D( ) =, και C(, ) α4g cos+ α5g cos( + ) τ G = α5g cos( + ), τ = 0 () ( ) α 3 sin α3 + sin = α 3 sin 0 Στις παραπάνω σχέσεις D( ) είναι η μήτρα αδράνειας, h(, ) = C(, ) το διάνυσμα ψευδοδυνάμεων (περιλαμβάνει κεντρόφυγες και Coiolis ροπές), G( ) η μήτρα βαρυτικών όρων, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, και τ η ροπή που εφαρμόζεται στην πρώτη άρρωση. Οι παράμετροι α α5 ορίζονται σε σχέση με τις φυσικές παραμέτρους της διάταξης ως εξής: α = J + ml + m L, α = J + m l, α3 = mll, α4 = ml + ml, και α5 = ml () όπου m i είναι η μάζα, L i το συνολικό μήκος, l i η απόσταση του κέντρου μάζας (Σχήμα α) και ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας, του i-οστού συνδέσμου. Η ιδιότητα της υπο οδήγησης του συστήματος γίνεται αντιληπτή από την έλλειψη εισόδου ενεργοποίησης στη δεύτερη εξίσωση κίνησης. Οι έσεις ισορροπίας του συστήματος προκύπτουν από τις εξισώσεις () για = (, ) = (0,0): α4g cos = τ α4g cos+ α5g cos( + ) τ (3) π α5g cos( ) = =± (4) Συνάγεται από τις (3)-(4) ότι οι έσεις ισορροπίας του συστήματος είναι συνεχείς ως προς την εφαρμοζόμενη ροπή, με τον μη οδηγούμενο σύνδεσμο παράλληλο στο πεδίο βαρύτητας. Από τις τέσσερις φυσικές έσεις ισορροπίας για τις οποίες τ = 0 (οπότε = ± π ), μόνο η = ( π, 0) είναι ευσταής. Ιδιαίτερα δε στη έση ( π, 0), που αποτελεί και το καταρχήν ζητούμενο σημείο εξισορρόπησης, το σύστημα έχει την υψηλότερη δυναμική ενέργεια και η σταεροποίησή του είναι πιο δύσκολη. J i η 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Όπως αναφέρηκε, ο έλεγχος του συστήματος διαχωρίζεται πρακτικά σε δύο διακριτές φάσεις. Στην πρώτη φάση, ο λεγόμενος swing-up έλεγχος αναλαμβάνει τη μεταφορά του ζεύγους των συνδέσμων από την έση ηρεμίας κοντά στην ανάστροφη ασταή έση ισορροπίας, οπότε και ο έλεγχος μεταβαίνει σε κατάλληλο ελεγκτή εξισορρόπησης για τη σταεροποίηση του συστήματος στη έση αυτή. Για μία ενημερωμένη επισκόπηση των διαφόρων στρατηγικών ελέγχου που έχουν προταεί στη βιβλιογραφία, τόσο για το swing-up, όσο και για την εξισορρόπηση του pendubot, βλ. (Albahkali et al, 009). Έλεγχος Swing-up: Στην παρούσα υλοποίηση, για το swing-up υιοετείται η μέοδος της μερικής γραμμικοποίησης μέσω ανάδρασης (Block, 994; Spong, 998), η οποία έγκειται στην ανεύρεση μη

3 γραμμικού νόμου ανάδρασης που γραμμικοποιεί ολικά την απόκριση της μιας εκ των δύο αρρώσεων. Με βάση την προσέγγιση αυτή, για το σύστημα () υπολογίζεται μη γραμμικός νόμος ανάδρασης τ = κ( x, v) = ρ( x) v + σ( x ) (5) όπου v μία νέα είσοδος ελέγχου, ο οποίος μετασχηματίζει το σύστημα στο ακόλουο: x = x, x = v, x 3 = x4, και x 4 = f 4( x) + g 4( x ) v (6) T με διάνυσμα κατάστασης x=. Πιο συγκεκριμένα, σημειώνοντας με d ij, h i και g i τα στοιχεία των D, h και G αντίστοιχα, η δεύτερη γραμμή της () γράφεται ως: ( ) d d h g (7) = + + Αντικαιστώντας την παραπάνω σχέση στην πρώτη γραμμή της (), παίρνουμε: d + h + g = τ, (8) όπου d = d d d d, h = h d d h, και = g g d d g Ορίζοντας τώρα για το σύστημα (8) το νόμο ελέγχου (5) με ρ( x ) = d, σ( x ) = h+ g, φτάνουμε στο (6), σημειώνοντας ότι το υποσύστημα με έξοδο x και είσοδο u, που καορίζει τη δυναμική της απόκρισης του οδηγούμενου συνδέσμου, είναι ένα γραμμικό σύστημα διπλού ολοκληρωτή, της μορφής T Τ z = Az + Bv, με = [ z z] = [ d z ]. Όπως προκύπτει, για μια επιυμητή γωνιακή έση του Τ πρώτου συνδέσμου, ο γραμμικός νόμος ελέγχου v = [ kp kd] e, όπου [ d e = ], α οδηγήσει στη Τ σύγκλιση e = [ 0 0] για ετικές τιμές των k p και k d. Σημειώνεται ότι το εναπομείναν μη γραμμικό υποσύστημα συνιστά την επονομαζόμενη εσωτερική δυναμική, η οποία επίσης διεγείρεται από την ίδια d είσοδο v. Η στρατηγική για επιτυχή swing-up έλεγχο (όπου επιλέγεται = π/) εναπόκειται τότε στην εξεύρεση κατάλληλων τιμών για τα κέρδη του εξωτερικού βρόχου, προκειμένου ο δεύτερος σύνδεσμος d να διεγείρεται επαρκώς ώστε να προσεγγίζει την επιυμητή έση = 0. Έλεγχος Εξισορρόπησης: H εξισορρόπηση του pendubot αντιμετωπίζεται εδώ με τη γραμμικοποίηση του μοντέλου του συστήματος σε μία προκαορισμένη έση ισορροπίας και τη σχεδίαση γραμμικού ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων που α προσδώσει τοπική ευστάεια στο σύστημα. Έστω x eq το διάνυσμα καταστάσεων και u eq η είσοδος για δεδομένο σημείο ισορροπίας του συστήματος, όπως αυτά προσδιορίζονται από τις (3)-(4). Τότε, από το μη γραμμικό μοντέλο στο χώρο κατάστασης x = f ( x) + g( x )u, η γραμμικοποίηση περί του σημείου αυτού ισορροπίας ( x, u ), προκύπτει ως: ( eq ) + B( u ueq ) x = A x x, όπου f A = x xeq, ueq και g B = u eq xeq, ueq οι Ιακωβιανές μήτρες του συστήματος. Για όλα τα σημεία ισορροπίας του συστήματος, με εξαίρεση αυτά που αντιστοιχούν στις έσεις = (0, ±π ) και ( π, ± π ), το αντίστοιχο ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο (Block, 996), οπότε είναι εφικτή η επίτευξη ασυμπτωτικής ευστάειας μέσω γραμμικού νόμου ελέγχου της μορφής u = u eq K( x x eq ). Στην παρούσα υλοποίηση χρησιμοποιήηκε ο τύπος του Ackemann για τον προσδιορισμό της μήτρας Κ των κερδών ανατροφοδότησης καταστάσεων, προκειμένου οι ιδιοτιμές λ i ( i = 4) της μήτρας A BK να λαμβάνουν (ευσταείς) προεπιλεγμένες τιμές. eq (9) 4 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Πειραματική Διάταξη: Στη φωτογραφία του Σχήματος β φαίνεται η διάταξη που αναπτύχηκε για την υλοποίηση των παραπάνω στρατηγικών ελέγχου. Οι δύο σύνδεσμοι, οι μάζες και τα μήκη των οποίων παρατίενται στο Σχήμα β, έχουν κατασκευαστεί από αλουμίνιο πάχους 5 mm, σε CNC φρέζα. Η ροπή οδήγησης της πρώτης άρρωσης του συστήματος εφαρμόζεται μέσω ενός σερβοκινητήρα ΣΡ (με ονομαστική τάση λειτουργίας 48 Volt και σταερά ροπής 0.4 Nm/A ), στον άξονα του οποίου είναι

4 απευείας προσαρτημένος ο πρώτος σύνδεσμος του μηχανισμού. Η διάταξη οδήγησης του κινητήρα βασίζεται σε διακοπτικό μετατροπέα πλήρους γέφυρας ελεγχόμενου ρεύματος, η είσοδος του οποίου (σήμα αναλογικής τάσης ± 0 Volt ) αντιστοιχεί στο ρεύμα αναφοράς (ισοδύναμα, στην επιυμητή ροπή του κινητήρα). Στον άξονα του κινητήρα και στην άρρωση μεταξύ των δύο συνδέσμων έχουν προσαρμοστεί κωδικοποιητές έσης αυξητικού τύπου (04 και 048 βημάτων, αντίστοιχα), για τη μέτρηση των και. Τα σήματα αυτά χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό, στη βάση των όσων περιγράφονται στην Ενότητα 3, του σήματος οδήγησης του κινητήρα (Σχήμα ). Σημειώνεται ότι η παρουσία του σερβοενισχυτή ρεύματος στο σύστημα εισάγει ουσιαστικά έναν επιπλέον βρόχο ελέγχου στο χαμηλότερο επίπεδο, που όμως, εξαιτίας της πολύ μικρής σταεράς χρόνου του τυλίγματος του κινητήρα, μπορεί να εωρηεί άνευ σημασίας (δηλ. η απόκριση ρεύματος εωρείται στιγμιαία). τροφοδοτικό ισχύος PC Simulink / Wincon R (s) Ys () Gc () s Gs () pendubot sevo-dive κάρτα DAQ&C Hs () κάρτα διεπαφής σημάτων Σχήμα : Διάγραμμα της αρχιτεκτονικής υλοποίησης του ελέγχου. Σχεδίαση και Υλοποίηση Ελεγκτών: Με βάση τη γεωμετρία και τα φυσικά χαρακτηριστικά των συνδέσμων, οι παράμετροι του μοντέλου () του συστήματος υπολογίστηκαν από τις σχέσεις () ως α = , α = 0.009, α 3 = 0.004, α 4 = και α 5 = 0.03 (τα α α3 δίνονται σε Νm sec, ενώ τα α 4, α 5 σε Ν sec ). Κατόπιν, το συνολικό σύστημα προσομοιώηκε και μελετήηκε στο Simulink, προκειμένου, μεταξύ άλλων, να επιλεγούν κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους των ελεγκτών. Συγκεκριμένα, επιτυχής swing-up έλεγχος επιτεύχηκε για k p = 40 και k d =.3, ενώ, για τον έλεγχο εξισορρόπησης στα διάφορα σημεία ισορροπίας, οι ιδιοτιμές λ i του γραμμικοποιημένου συστήματος κλειστού βρόχου καορίστηκαν ως [ ]. Σχεδιάστηκε επίσης εποπτικό σχήμα για τη μετάβαση από τον ελεγκτή swing-up στον ελεγκτή εξισορρόπησης στην ανάστροφη έση, η οποία 90 < 6 < 0 γίνει αληής. πραγματοποιείται όταν η λογική συνήκη ( ) ( ) Στη συνέχεια, η επέκταση Real Time Wokshop του Simulink, μαζί με το λογισμικό WinCon, χρησιμοποιήηκαν για τη διακριτοποίηση των ελεγκτών και τον έλεγχο του πραγματικού συστήματος μέσα από H/Y εξοπλισμένο με κατάλληλη κάρτα DAQ&C, επιτυγχάνοντας khz συχνότητα εκτέλεσης του βρόχου ελέγχου. Η υλοποίηση περιλαμβάνει επίσης σχήμα υπολογισμού των γωνιακών ταχυτήτων των αρρώσεων, το οποίο περιγράφεται αναλυτικά παρακάτω. Ως τεκμήριο για την επάρκεια της εωρητικής σχεδίασης αναφέρεται ότι η μόνη περαιτέρω ρύμιση που απαιτήηκε για το πραγματικό σύστημα αφορούσε στην επιλογή της παραμέτρου k d, η οποία τελικά καορίστηκε ως k d = 0.6. Υπολογισμός Γωνιακών Ταχυτήτων: Για την υλοποίηση των ελεγκτών του συστήματος απαιτείται η εκτίμηση των γωνιακών ταχυτήτων των αρρώσεων, καώς με τη δεδομένη πειραματική διάταξη δεν υφίσταται δυνατότητα απευείας μέτρησής τους. Για το σκοπό αυτό μπορούν να χρησιμοποιηούν μέοδοι που βασίζονται στη σχεδίαση ασυμπτωτικών παρατηρητών για την εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος. Σε πρακτικό επίπεδο, η προσέγγιση αυτή είναι συνυφασμένη με αυξημένη πολυπλοκότητα (ειδικά για μη γραμμικά συστήματα) και ενίοτε σημαντικές απαιτήσεις υπολογιστικής ισχύος, ενώ η απόδοση που επιτυγχάνεται εξαρτάται από το βαμό στον οποίο είναι γνωστό το μοντέλο του συστήματος. Εναλλακτικά, ο υπολογισμός της ταχύτητας μπορεί να γίνει με κάποιο σχήμα αριμητικής διαφόρισης για την εκτίμηση της παραγώγου του αντίστοιχου σήματος έσης. Δύο τέτοια σχήματα υλοποιήηκαν στα πλαίσια της παρούσας εργασίας: Αρχικά, χρησιμοποιήηκε η μέοδος των προς τα πίσω διαφορών πρώτης τάξης, σε συνδυασμό με ένα φίλτρο κινούμενου μέσου 3 σημείων (Block, 996). Αν και ιδιαίτερα απλή, η προσέγγιση αυτή τείνει να ενισχύσει σημαντικά το όρυβο κβάντισης που χαρακτηρίζει τις μετρήσεις από τους χρησιμοποιούμενους κωδικοποιητές έσης, κάτι που δυσχεραίνει τον ακριβή έλεγχο του συστήματος, ιδιαίτερα στις χαμηλές ταχύτητες (π.χ., κατά την εξισορρόπηση του

5 pendubot). Η δεύτερη μέοδος υλοποιεί τις αλγεβρικές τεχνικές εκτίμησης της παραγώγου (Mboup, Join & Fliess, 007), οι οποίες δυνητικά περιορίζουν σε σημαντικό βαμό το όρυβο, καώς βασίζονται αποκλειστικά στην ολοκλήρωση των μετρούμενων μεγεών. Με βάση τις τεχνικές αυτές, η εκτίμηση της ταχύτητας από τις μετρήσεις της έσης μπορεί να γίνει μέσω της ακόλουης σχέσης: T () t = 3 ( 6T τ) ( t τ) dτ T () 0 Για τη διακριτού χρόνου υλοποίηση, με χρόνο δειγματοληψίας 0.5 msec, της () στον ελεγκτή του pendubot, χρησιμοποιήηκε χρονικό παράυρο T = 5 msec. Η τιμή αυτή επιλέχηκε κατόπιν πειραματικής διερεύνησης, καώς στη σχετική βιβλιογραφία δεν παρέχονται συστηματικές μεοδολογίες για τον καορισμό του Τ. Όπως διαπιστώηκε, τόσο μέσω προσομοιώσεων όσο και από τα πειραματικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στη συνέχεια, η εφαρμογή της αλγεβρικής μεόδου για την εκτίμηση των ταχυτήτων οδηγεί επί της ουσίας στην καταστολή του ορύβου στο σήμα ελέγχου, επιτυγχάνοντας αφενός μεν βελτιωμένη απόκριση (ελαφρώς μικρότερο εύρος διακυμάνσεων γύρω από τη έση ισορροπίας, αυξημένη ικανότητα παρακολούησης μεταβαλλόμενου σήματος αναφοράς), αφετέρου δε αόρυβη λειτουργία και μικρότερη καταπόνηση του σερβοκινητήρα. Αποτελέσματα: Τα αποτελέσματα από το swing-up και την εξισορρόπηση του συστήματος στην ανάστροφη έση παρουσιάζονται στο Σχήμα 3, στο οποίο φαίνεται και η επιτυχής αντιμετώπιση στιγμιαίων διαταραχών από τον ελεγκτή εξισορρόπησης. Η σημαντική βελτίωση που επιφέρει, αναφορικά με το όρυβο στο σήμα ελέγχου κατά την εξισορρόπηση του συστήματος, η χρήση της αλγεβρικής μεόδου εκτίμησης των ταχυτήτων (), αναδεικνύεται στα δεδομένα που παρουσιάζονται στο Σχήμα γωνιακές τροχιές εφαρμογή στιγμιαίας διαταραχής msec 00 msec 3 50 msec msec 5 45 msec msec msec msec 9 50 msec 5 (α) Σχήμα 3: Πειραματικά αποτελέσματα. (α) Swing-up και εξισορρόπηση του pendubot στη έση = (π /,0). (β) Σύνετη φωτογραφία με στιγμιότυπα από τη διαδικασία του swing-up. (β) αλλαγή μεόδου εκτίμησης παραγώγων Σχήμα 4: Η επίδραση της μεόδου εκτίμησης των γωνιακών ταχυτήτων στην εφαρμοζόμενη κατά την εξισορρόπηση στην ανάστροφη έση. Για t < 0 sec χρησιμοποιείται η αλγεβρική εκτίμηση των παραγώγων (), ενώ για t 0 sec χρησιμοποιείται η μέοδος των προς τα πίσω διαφορών με φίλτρο. Τέλος, στο Σχήμα 5 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από σύνετες κινήσεις, κατά τις οποίες ο μηχανισμός, μετά το swing-up στην ανάστροφη έση μεταβαίνει σε έσεις ισορροπίας σε γωνιακό εύρος

6 που φτάνει τις ± 55 περί της ανάστροφης έσης, ακολουώντας το σήμα αναφοράς. Αυτό κατέστη εφικτό με έλεγχο προγραμματισμού κερδών, όπου για το εκάστοτε σημείο ισορροπίας του συστήματος, όπως προσδιορίζεται από το και τις (3)-(4), υπολογίζονται, σε πραγματικό χρόνο, η γραμμικοποίηση του μοντέλου και η μήτρα κερδών ανάδρασης Κ του αντίστοιχου ελεγκτή εξισορρόπησης. Θα πρέπει να σημειωεί η πολύ μικρή διακύμανση που παρουσιάζει γύρω από την κατακόρυφο ο δεύτερος σύνδεσμος κατά τις κινήσεις αυτές, όπως προκύπτει από τη γωνία + στα γραφήματα του Σχήματος 5. γωνιακές τροχιές + + γωνιακές τροχιές (α) (β) Σχήμα 5: Πειραματικά δεδομένα από σύνετες κινήσεις του pendubot με παρακολούηση της τροχιάς αναφοράς. Στο (β) η ημιτονοειδής τροχιά αναφοράς έχει πλάτος ± 55 και συχνότητα /6 Hz. 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία περιγράφηκε η ανάπτυξη και ο έλεγχος μιας υπο οδηγούμενης ρομποτικής διάταξης δύο βαμών ελευερίας, γνωστής ως pendubot. Εκ των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που προέκυψαν αφορά στην ουσιώδη βελτίωση που επιτεύχηκε στην απόδοση του συστήματος με τη χρήση των αλγεβρικών μεόδων εκτίμησης των γωνιακών ταχυτήτων. Ανάλογα πλεονεκτήματα α πρέπει να αναμένονται από την εφαρμογή αυτών των, αρκετά νέων, τεχνικών και σε άλλα ρομποτικά συστήματα. Στην παρούσα φάση μελετώνται περαιτέρω βελτιώσεις στον έλεγχο του pendubot μέσω ακριβέστερης ταυτοποίησης των παραμέτρων του συστήματος, ενώ βρίσκεται στο τελικό στάδιο εξέλιξης η υλοποίηση του ελεγκτή του συστήματος σε ψηφιακό επεξεργαστή σήματος. Τέλος, η διάταξη που αναπτύχηκε αναμένεται να αξιοποιηεί ως μία ιδιαίτερα χρήσιμη πλατφόρμα τόσο για ερευνητικούς, όσο και για εκπαιδευτικούς σκοπούς, στην περιοχή του ελέγχου ρομποτικών συστημάτων. 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Albahkali, Τ., Mukhejee, R., Das, Τ. (009), Swing-up contol of the pendubot: an impulse momentum appoach, IEEE Tansactions on Robotics, vol. 5(4), pp Block, D.J. (996), Mechanical design and contol of the pendubot, MSc thesis, The Univesity of Illinois, Ubana-Champaign, USA. Mboup, M., Join, C., Fliess, M. (007), A evised look at numeical diffeentiation with an application to nonlinea feedback contol, 5 th IEEE Mediteanean. Conf. on Contol and Automation (MED'07), Athens, Geece, pp. 6. Spong, M.W. (998), Undeactuated mechanical systems, Contol Poblems in Robotics and Automation (Υπεύυνοι έκδοσης: Siciliano, B., Valavanis, K.P.), σειρά Lectue notes in contol and infomation sciences, Spinge-Velag, vol. 30, pp