Κεφάλαιο 5 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Προαπαιτούμενη γνώση Δυναμική πλέγματος, φνόνια, κατανομή ose-instein, πυκνότητα καταστάσεν φνονίν, πρότυπο instein, πρότυπο ebye, ειδική θερμότητα, μέτρο ελαστικότητας, σταθερά Grüneisen Πρόβλημα 1 Υπολογίστε τη συνεισφορά τν ταλαντώσεν πλέγματος στην ελεύθερη ενέργεια Helmholtz, καθώς και στην εντροπία για έναν κρύσταλλο που ακολουθεί το πρότυπο instein Λύση Έστ, ότι έχουμε μια συλλογή από Ν κβαντικούς αρμονικούς ταλανττές ενέργειας, όπου η χαρακτηριστική συχνότητα instein του κρυστάλλου Το ενεργειακό φάσμα ενός κβαντικού ταλανττή συχνότητας δίνεται από την 1 n ( n+ ), n,1,, Η συνάρτηση επιμερισμού ενός τέτοιου συστήματος γράφεται ( k η σταθερά oltzmann) Z nz Z exp [ n/( )] exp exp n n Z exp, Z 1 exp όπου κάναμε χρήση του αναπτύγματος απείρν όρν γεμετρικής προόδου: n t n 1, για t < 1 1 t Με βάση τα παραπάν, η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz θα γράφεται Z Z F N ln Z N + ln 1 exp( ) Αντίστοιχα, η εντροπία ενός κρυστάλλου instein γράφεται 86

2 Πρόβλημα F 1 S Nk ln 1 exp( ) T + 1 exp Υπολογίστε την ειδική θερμότητα ανά μονάδα όγκου για έναν κρύσταλλο αργύρου (Ag: δομή fcc, πλεγματική σταθερά a 47 Å), για θερμοκρασία T 1K εφαρμόζοντας 5 (α) το πρότυπο instein, θερώντας την τιμή της ελαστικής σταθεράς k 1 dyn/sec 5 (β) το πρότυπο ebye, θερώντας την τιμή της ταχύτητας του ήχου 1 cm/sec Λύση (α) Η συχνότητα instein είναι k M Ag και αντιστοιχεί στη θερμοκρασία instein όπου k η σταθερά oltzmann και k Θ 17 Κ, k k M Ag συγκέντρση του αργύρου, σε μοναδιαίο όγκο περιέχονται M Ag η ατομική μάζα του αργύρου Αν n είναι η 1 n γραμμομόρια (moles), N υ όπου υ c a /4 ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας του αργύρου (δομή fcc) και Ν Α ο αριθμός του Aogadro Η θερμική ενέργεια, λόγ ταλαντώσεν, σε έναν οποιοδήποτε αρμονικό κρύσταλλο γράφεται 1 1 U + ( ) d, (1) exp 1 όπου ( ) η πυκνότητα καταστάσεν φνονίν του κρυστάλλου A c 87

3 () N A δ(- Ε ) Ε Για έναν κρύσταλλο, ο οποίος περιγράφεται από το πρότυπο instein, όλοι οι κβαντικοί ταλανττές είναι εκφυλισμένοι στην ίδια συχνότητα Επομένς, η αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεν φνονίν, η οποία απεικονίζεται και στο παραπάν σχήμα, γράφεται ( ) N A δ ( ) Αντικαθιστώντας την παραπάν μορφή της πυκνότητας καταστάσεν στην Εξ (1) της θερμικής ενέργειας U, λαμβάνουμε 1 1 U NA + exp 1 Εφόσον εργαζόμαστε στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών, δηλαδή, T 1Κ Θ, η παραπάν έκφραση μπορεί να προσεγγισθεί ς 1 1 Θ U NA + exp NA + exp T Λαμβάνοντας τη μερική παράγγο ς προς τη θερμοκρασία Τ της παραπάν σχέσης και διαιρώντας με Ν Α, βρίσκουμε τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα (που συμπίπτει με την ειδική θερμότητα ανά μοναδιαίο όγκο) για τον άργυρο, στο πρότυπο instein U k Θ exp Θ 8 erg/k cm T T T (β) Στο πρότυπο ebye, ένας κυβικός κρύσταλλος, όπς είναι ο κρύσταλλος Ag, περιγράφεται ς ένα συνεχές ισότροπο μέσο, στο οποίο η διάδοση ελαστικών κυμάτν περιγράφεται από μια σταθερή ταχύτητα ήχου, για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα Η πυκνότητα καταστάσεν τν φνονίν για τον i-οστό κλάδο της σχέσης διασποράς τν φνονίν υπολογίζεται ς 88

4 dq dq i ( ) d ( q) dq N N π ( π ) L υc Σύμφνα με τα παραπάν, στο πρότυπο ebye, ο κρύσταλλος είναι ισότροπος και οι σχέσεις διασποράς τν φνονίν γραμμικές, q i (βλέπε παρακάτ σχήμα) Άρα, η παραπάν σχέση θα γράφεται 4πq dq Nυ c i ( ) N ( π ) d π i υ με i T, L για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα, αντίστοιχα c T q L q q q Λαμβάνοντας υπόψη το διπλό εκφυλισμό του εγκάρσιου (T) κλάδου της σχέσες διασποράς σε ένα ισότροπο μέσο, η ολική πυκνότητα καταστάσεν γράφεται Nυ Nυ Nυ ( ) T( ) + L( ) + () π π π c c c T L Στο παρακάτ σχήμα αναπαρίστανται η ολική ( ) και οι μερικές T( ), L( ) πυκνότητες καταστάσεν στο πρότυπο ebye 89

5 () L T L+T Στην παραπάν σχέση [Εξ ()] έχουμε ορίσει τη μέση ταχύτητα του ήχου για ένα ισότροπο συνεχές μέσο, από την έκφραση 1 + T L όπου T, Lοι ταχύτητες για τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα, αντίστοιχα Στο πρόβλημα 5 μάς δίνεται, ότι 1 cm/sec Αντικαθιστώντας την Εξ () για N NA στην Εξ (1), έχουμε 1 1 N Aυ c U + d p exp 1 Λαμβάνοντας τη μερική παράγγο ς προς τη θερμοκρασία Τ της παραπάν σχέσης και διαιρώντας με Ν Α, βρίσκουμε τη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα (που συμπίπτει με την ειδική θερμότητα, ανά μοναδιαίο όγκο) για τον άργυρο, στο πρότυπο ebye Θ 4 U T T z exp( z) 9 T, k dz Θ [ exp( z) 1] όπου z και Θ η θερμοκρασία ebye, Θ / k Στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών, δηλαδή για Θ / T, το ολοκλήρμα υπολογίζεται αναλυτικά, 4 4 z exp( z) 4p dz, 15 [ exp( z) 1] η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα στο πρότυπο ebye γράφεται 9

6 4 π T k 5 Θ 1 () Για να υπολογίσουμε αριθμητικά την ειδική θερμότητα, θα πρέπει να υπολογίσουμε την Θ, δηλαδή τη συχνότητα ebye Η τελευταία ορίζεται ς η συχνότητα κατφλίου, για την οποία η ολοκληρμένη πυκνότητα καταστάσεν τν φνονίν ( ) ισούται με τον αριθμό τν ατόμν, σε 1mole Ag, ( ) d N A Αντικαθιστώντας την Εξ () για N N στην παραπάν εξίσση, έχουμε A N Aυ c υ c d N 1 A π 6π 6π υc Επομένς, η θερμοκρασία ebye θα δίνεται από την 1/ 6π Θ k k υc Αντικαθιστώντας την παραπάν σχέση στην Εξ(), βρίσκουμε, τελικά 1/ 4 π υc erg/k cm, 5 ( ) ενώ η θερμοκρασία ebye Θ Κ, αρκετά υψηλότερη από την T 1K, όπς υποθέσαμε αρχικώς Πρόβλημα Βρείτε την ταλανττική ενέργεια μηδενικού σημείου για έναν κρύσταλλο, που περιγράφεται από το πρότυπο ebye Κατόπιν, υπολογίστε το μέτρο ελαστικότητας όγκου Β Λύση Η ταλανττική ενέργεια μηδενικού σημείου αντιστοιχεί στην κατάσταση, όπου όλα τα φνόνια με φάσμα 1 n ( n+ ), n,1,, βρίσκονται στη θεμελιώδη στάθμη n Επομένς, η δίνεται από την 91

7 1 ( ) d, όπου η πυκνότητα καταστάσεν ( ), στο πρότυπο ebye, δίνεται από την Nυ c ( ) π Συνδυάζοντας τις παραπάν, βρίσκουμε 4 1 Nυ c Nυc Nυ c π 4π 16π d d Γνρίζουμε, ότι η συχνότητα ebye δίνεται από την 1/ 1/ 6π υc υc 6π Από τις δύο παραπάν σχέσεις προκύπτει, ότι (1) 4 Nυ c 6π 9 16π υ c 8 N () Το μέτρο ελαστικότητας όγκου ορίζεται ς p Δεδομένου ότι η πίεση ορίζεται, επίσης, ς p στην, η παραπάν σχέση για το Β ανάγεται () Γνρίζουμε, ότι ο όγκος της θεμελιώδους κυψελίδας συνδέεται με το συνολικό όγκο του κρυστάλλου, σύμφνα με την υ c Από την Εξ () έχουμε N Από την Εξ (1) έχουμε 9 8 N ( / ) (4) 6π π N N 9

8 Όμς, από την Εξ (1) υc, οπότε η παραπάν γράφεται 6 π Παραγγίζοντας, ξανά, την παραπάν εξίσση λαμβάνουμε (5) Από τις Εξ(), (4) και (5) λαμβάνουμε, τελικώς, 1 N Πρόβλημα 4 Η σχέση ανάμεσα στη συχνότητα f και το μήκος κύματος λ (σχέση διασποράς) για κύματα επιφανειακής τάσης, τα οποία διαδίδονται σε ένα υγρό πυκνότητας ρ και επιφανειακής τάσης σ, δίνεται από την f πσ ρλ Χρησιμοποιήστε την παραπάν σχέση διασποράς για να κατασκευάσετε μία θερία, τύπου ebye, για τον υπολογισμό της επιφανειακής συνεισφοράς, στην εστερική ενέργεια ενός υγρού Παράγετε τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της επιφανειακής συνεισφοράς στην ειδική θερμότητα, δηλαδή τη σχέση ( T), στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών Δεδομένου ότι, η επιφανειακή τάση σ ορίζεται ς η επιφανειακή ελεύθερη ενέργεια, F TS, βρείτε πώς μεταβάλλεται η σ με τη θερμοκρασία, στο όριο κοντά στο απόλυτο μηδέν (σε χαμηλές θερμοκρασίες) Λύση Παραδοσιακά, η σχέση διασποράς αφορά την κυκλική συχνότητα και τον κυματαριθμό π πσ (μέτρο του κυματανύσματος) q Δεδομένου ότι, π f και q, η σχέση f λ ρλ γράφεται εναλλακτικά, σ q ρ Εφόσον μελετάμε την επιφάνεια ενός υγρού, το σύστημα είναι Δ Επομένς, η πυκνότητα καταστάσεν για ελαστικά κύματα, τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια, γράφεται A ( q) dq qdq, π 9

9 όπου Α η επιφάνεια του υγρού Είναι dq qdq ( ) ( ) d ( ) q ( ) d / A ρ 1/ ( ) π σ (1) Η αντίστοιχη εστερική ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας, γράφεται U ( ) d A + exp U ( ) d ( ) d A + A exp 1 / 4/ ρ + p σ U d, exp 1 1 όπου ( ) d A η ενέργεια μηδενικού σημείου ανά μονάδα επιφάνειας Η είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας και ς εκ τούτου δεν συνεισφέρει στην ειδική θερμότητα Θέτοντας z, η παραπάν έκφραση γράφεται όπου / 7/ Θ / 4/ ρ T z + p σ z U dz, exp( ) 1 Θ η θερμοκρασία ebye Η k Θ είναι δύσκολο να προσδιορισθεί, καθώς δεν γνρίζουμε, πόσοι βαθμοί ελευθερίας σχετίζονται με την επιφάνεια, αν και αναμένουμε να είναι ανάλογοι με τον αριθμό ατόμν, ανά μονάδα επιφάνειας Καθώς, όμς, ενδιαφερόμαστε για την ειδική θερμότητα, σε χαμηλές θερμοκρασίες, δηλαδή, για T Θ, μπορούμε να θερήσουμε Θ / T ς το πάν όριο ολοκλήρσης της έκφρασης για την U Σε αυτήν την περίπτση το ολοκλήρμα δίνεται από την όπου Γ ( x) η συνάρτηση Γάμμα και ( x) περίπτση η U γράφεται 4/ z 7 7 dz Γ z , exp( z) 1 ζ η συνάρτηση ζήτα του Riemann Σε αυτήν την U T 7/ + α, όπου 94

10 / 7/ k ρ 7 7 α Γ ζ π σ Η αντίστοιχη επιφανειακή ειδική θερμότητα θα δίνεται από την U 7 αt T 4/ Η αντίστοιχη εντροπία περιγράφεται από την T dt 7 S αt T 4 Η επιφανειακή τάση σ, δηλαδή η επιφανειακή ελεύθερη ενέργεια προσδιορίζεται από την 4/ σ σ α 4 7/ ( T ) () TS T Πρόβλημα 5 Υπολογίστε την ειδική θερμότητα τν διαμήκν ταλαντώσεν σε μια 1Δ αλυσίδα, αποτελούμενη από όμοια άτομα, για τις παρακάτ περιπτώσεις: (α) Στα πλαίσια του προτύπου ebye (β) Χρησιμοποιώντας την ακριβή πυκνότητα καταστάσεν φνονίν ( ) για μια τέτοια αλυσίδα ατόμν Υποθέτοντας την ίδια ατομική μάζα Μ και ελαστική σταθερά f και στις δύο περιπτώσεις, δείξτε, ότι στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών, και οι δύο εκφράσεις δίνουν την ίδια μορφή της ειδικής θερμότητας, η οποία είναι ανάλογη της θερμοκρασίας Τ Λύση (α) Η γενική σχέση που δίνει την εστερική ενέργεια ενός 1Δ κρυστάλλου μήκους L, λόγ του δυναμικής του πλέγματος τν ατόμν, δίνεται από την U ( ) d L +, (1) exp 1 όπου ( ) η πυκνότητα καταστάσεν φνονίν, χαρακτηριστική για κάθε κρύσταλλο Στη 1Δ αλυσίδα του παραπάν σχήματος μπορούν να διαδοθούν, μόνο, διαμήκη κύματα Η πυκνότητα καταστάσεν γράφεται 95

11 L Na ( ) d ( q) dq dq dq π π Na dq ( ), π d () όπου L είναι το συνολικό μήκος της αλυσίδας Στα πλαίσια του προτύπου ebye, η 1Δ αλυσίδα προσεγγίζεται στο όριο τν μεγάλν μηκών κύματος ( λ >> a ), όπου η αλυσίδα περιγράφεται ς ένα 1Δ συνεχές ισότροπο μέσο, με γραμμική σχέση διασποράς cq, όπου c η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στην 1Δ αλυσίδα ατόμν Αυτό σημαίνει, ότι η ( ) γράφεται Na ( ) π c Αντικαθιστώντας την παραπάν εξίσση στην Εξ(1), λαμβάνουμε όπου Na U d L + p c exp 1 Θ / T d 1 ( ) p p zdz U + +, c c exp( z) 1 exp 1 z, η ενέργεια μηδενικού σημείου (ανεξάρτητη της θερμοκρασίας Τ) και Θ η θερμοκρασία ebye Στο όριο χαμηλών θερμοκρασιών, k Θ / παραπάν ολοκλήρμα υπολογίζεται αναλυτικά, T, το και η εστερική ενέργεια γράφεται zdz p exp( z ) 1 6, π U + 6c ( ) Παραγγίζοντας ς προς T βρίσκουμε την ειδική θερμότητα για μια 1Δ αλυσίδα ατόμν, στα πλαίσια του προτύπου ebye, πk π 1 M T c a f () (β) Σε άσκηση του προηγούμενου κεφαλαίου (Κεφάλαιο 4) αποδείξαμε, ότι η σχέση διασποράς σε μια 1Δ αλυσίδα ομοίν ατόμν, τα οποία είναι συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς f, δίνεται από την 96

12 f 1 cos( qa) f qa ( k) sin M M, όπου a η πλεγματική σταθερά (περίοδος) της 1Δ αλυσίδας (βλέπε σχήμα παραπάν) Παραγγίζοντας την παραπάν σχέση ς προς q λαμβάνουμε d f 1 a cos qa dq M (4) Από την παραπάν εξίσση μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα του ήχου c, d f c lim a (5) qa dq M Αντικαθιστώντας την Εξ(4) στην Εξ(), έχουμε 1 4 ( ) N M sec( ) N qa f π f π M 1/ (6) Συνδυάζοντας τις Εξ(1) και (4), έχουμε f / M 1/ N 4f U d L + p M exp 1, U + f / M d exp 1 M 1/ ap 4 f όπου η ενέργεια μηδενικού σημείου Παραγγίζοντας την παραπάν σχέση ς προς T, βρίσκουμε την ειδική θερμότητα, f / M exp d ap 1/ 4 f exp 1 M Θέτουμε z και π f Θ, η παραπάν εξίσση γράφεται k M 1/ Θ /( pt ) Θ k z exp( z) dz z pa pt exp( z) 1 97

13 1/ Θ z πt Στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών, Θ/ T,, ενώ το πάν π T Θ όριο στο παραπάν ολοκλήρμα είναι το Κατά συνέπεια, η παραπάν εξίσση γράφεται, z exp( z) dz a Θ [ exp( z) 1] Το ολοκλήρμα υπολογίζεται αναλυτικώς, και έτσι η ειδική θερμότητα z exp( z) dz p, [ exp( z) 1] π k πk M T T aθ a f (6) Η παραπάν έκφραση για την ταυτίζεται με την έκφραση (), αν αντικαταστήσει κανείς όπου c την ταχύτητα του ήχου από την Εξ(5) Αυτό αποδεικνύει ότι στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών, η ακριβής έκφραση της πυκνότητας καταστάσεν, που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο κρύσταλλο, δεν επηρεάζει τη θερμοκρασιακή εξάρτηση της ειδικής θερμότητας Εκείνο που παίζει ρόλο στη θερμοκρασιακή εξάρτηση είναι η διάσταση του συστήματος (1Δ, Δ ή Δ) Πρόβλημα 6 Δείξτε, ότι σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, η οποία αντιστοιχεί σε θερμοκρασία Τ, η μέση ενέργεια ενός τρόπου ταλάντσης στο όριο τν μεγάλν μηκών κύματος είναι ίση με Βρείτε, πόσοι τρόποι ταλάντσης διεγείρονται σε θερμοκρασίες πολύ χαμηλότερες από τη θερμοκρασία ebye Θ Βασιζόμενοι στα παραπάν, δείξτε, ότι σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες T Θ κρύσταλλο, είναι της τάξης του κρύσταλλο, η ειδική θερμότητα, λόγ τν ατομικών ταλαντώσεν σε έναν T Nk Θ, όπου N ο αριθμός τν ατόμν στον Λύση Tα φνόνια ς μποζόνια, ακολουθούν την κατανομή ose-instein Σύμφνα με την τελευταία, ο μέσος αριθμός μποζονίν συχνότητας, σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας που αντιστοιχεί σε θερμοκρασία Τ είναι 1 n( ) exp( ) 1 98

14 Αναπτύσσοντας τον παρονομαστή του παραπάν κλάσματος, σύμφνα με το ανάπτυγμα 1 1 Taylor της εκθετικής συνάρτησης [ exp( x) 1+ x+ x + x + ], έχουμε!! 1 1 exp( ) ! Για χαμηλές θερμοκρασίες, T Θ, ο πρώτος όρος είναι σημαντικός στο παραπάν ανάπτυγμα και exp( ) 1 Έτσι, ο μέσος αριθμός φνονίν (μποζονίν) σε χαμηλές θερμοκρασίες γράφεται n( ) Σε αυτήν την περίπτση, η μέση ενέργεια ενός κβαντικού αρμονικού ταλανττή είναι ε n( ) Σε πρώτη προσέγγιση, οι τρόποι ταλάντσης του κρυστάλλου που συνεισφέρουν στην ειδική θερμότητα, σε χαμηλές θερμοκρασίες, είναι εκείνοι με ενέργεια, δηλαδή, εκείνοι οι τρόποι με κυματαριθμό q (εφόσον οι τρόποι ταλάντσης είναι ομοιογενώς κατανεμημένοι στον φασικό χώρο q), q q και η μέση ταχύτητα του ήχου στον κρύσταλλο 1 + T L όπου T ( L ) η ταχύτητα του ήχου για εγκάρσια (διαμήκη) κύματα Η πυκνότητα καταστάσεν ( ) για έναν Δ κρύσταλλο, στο πρότυπο ebye, είναι Η συχνότητα ebye ορίζεται από την π ( ) ( ) π d d N 6Nπ 99

15 Από τον ορισμό της θερμοκρασίας ebye κυματαριθμό ebye q Θ, μπορούμε να ορίσουμε τον k q 6π N Όπς είδαμε, οι τρόποι ταλάντσης είναι ομοιογενώς κατανεμημένοι στον φασικό χώρο q και επομένς, το ποσοστό φ τν τρόπν ταλάντσης που διεγείρονται σε (χαμηλή) θερμοκρασία Τ είναι φ q T, q Θ ενώ ο συνολικός αριθμός N τν διεγερμένν τρόπν ταλάντσης είναι T N Nφ N Θ Η εστερική ενέργεια U, λόγ ταλαντώσεν, γράφεται σε πρώτη προσέγγιση, U N k T Nk T Θ 4 και η αντίστοιχη ειδική θερμότητα ανά άτομο (γραμμομοριακή) 1 U T 1k N N T Θ Συγκρινόμενο με το ακριβές αποτέλεσμα του προτύπου ebye, N 4 π T k 5 Θ 1, π 4 φορές μικρότερο Η βρίσκουμε ότι το προσεγγιστικό αποτέλεσμα για την είναι 5 μεγάλη αυτή διαφορά οφείλεται στην σχετικά αυθαίρετη επιλογή για το q Εντούτοις, η προσέγγιση μάς δίνει τη σστή συμπεριφορά T στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών T Θ Πρόβλημα Το διαμάντι (ατομικό βάρος άνθρακα 1) έχει μέτρο του Young Y 1 Nm και - πυκνότητα ρ 5g cm Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της ειδικής θερμότητας ς συνάρτηση της θερμοκρασίας Τ, στο πρότυπο ebye 1

16 Λύση Στο πρότυπο ebye, η (γραμμομοριακή) ειδική θερμότητα γράφεται για υψηλές θερμοκρασίες T >> Θ ς k N A Το παραπάν αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της μορφής της πυκνότητας καταστάσεν τν φνονίν και συνάδει με το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας, στους διάφορους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος, καθώς στις υψηλές θερμοκρασίες το σύστημα συμπεριφέρεται περισσότερο κλασικά και λιγότερο κβαντικά Στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών T << Θ, η ειδική θερμότητα γράφεται (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα), N A 4 π T k 5 Θ 1 Σύμφνα με την παραπάν, πρέπει να υπολογίσουμε τη θερμοκρασία ebye Θ, για να σχεδιάσουμε την ειδική θερμότητα του αδάμαντα ς συνάρτηση της θερμοκρασίας Η πυκνότητα καταστάσεν ( ) για έναν Δ κρύσταλλο, στο πρότυπο ebye, είναι Η συχνότητα ebye ορίζεται από την π ( ) 6Nπ ( ) d N Η θερμοκρασία ebye Θ στον κύβο είναι 6π n k k Θ όπου n η συγκέντρση ατόμν στον αδάμαντα Είναι (1) - N ρ 5 1 kg m n m -7 M kg 4 - () Η ταχύτητα του ήχου για τον αδάμαντα είναι 1 - Y 1 N m - ρ 5 1 kg m m/s () Αντικαθιστώντας τις Εξ() και () στην Εξ(1), υπολογίζουμε, τελικά, τη θερμοκρασία ebye 11

17 Θ 7K Στο παρακάτ σχήμα, απεικονίζεται η θερμοκρασιακή συνάρτηση της ειδικής θερμότητας του αδάμαντα για χαμηλές θερμοκρασίες 1 / (N A k ) T(K) Πρόβλημα 8 Βρείτε τη συχνότητα ebye a Å και ταχύτητα του ήχου για ένα Δ εξαγνικό πλέγμα, με πλεγματική σταθερά 1 m/s Λύση 1 ος τρόπος Έστ, ( ) η πυκνότητα καταστάσεν του συστήματος Η συχνότητα ebye ορίζεται από την ( ) d N, (1) όπου N ο αριθμός τν φνονικών καταστάσεν που ταυτίζεται με τον αριθμό τν ατόμν Στα αριστερά του παρακάτ σχήματος, θερούμε ένα μακροσκοπικό τμήμα του εξαγνικού κρυστάλλου πλευράς L και εμβαδού A L cos6, το οποίο περιέχει Ν μοναδιαίες κυψελίδες εμβαδού a cos6 Στο δεξιό σχήμα, απεικονίζεται η θεμελιώδης κυψελίδα του ανάστροφου χώρου εμβαδού π cos6, η οποία διαμερίζεται σε ένα πλέγμα σημείν, το οποίο ορίζει a Ν στοιχειώδεις επιφάνειες εμβαδού π cos6 L 1

18 Στο παρακάτ σχήμα απεικονίζεται ένα στοιχειώδες εμβαδό da π qdq (δακτύλιος ακτίνας q και πάχους dq ) Έστ q, ( ) η πυκνότητα καταστάσεν στο φασικό χώρο q Ο αριθμός τν καταστάσεν ( q) dq που περιέχονται εντός του στοιχειώδους δακτυλίου του παραπάν σχήματος, είναι ίσος με τον αριθμό τν σημείν N q που περιλαμβάνονται στο εστερικό του παραπάν δακτυλίου Δηλαδή το περιέχεται στο δακτύλιο, N q είναι ίσος με τον αριθμό τν εμβαδών π qdq ( ) d ( q) dq N q cos6 L π π L cos6, ο οποίος Δεδομένου ότι, εργαζόμαστε στα πλαίσια του προτύπου ebye, η σχέση διασποράς είναι γραμμική q, όπου η ταχύτητα του ήχου Από τις δύο παραπάν εξισώσεις λαμβάνουμε L ( ) π cos6 Από τον ορισμό της συχνότητας ebye [βλ Εξ(1)], λαμβάνουμε 1

19 L ( ) d N N π cos6 Όμς, ο συνολικός αριθμός τν ατόμν L N, οπότε η παραπάν σχέση δίνει a 4π cos6 π a a s ος τρόπος Ο κυματαριθμός ebye, q, ορίζεται έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός καταστάσεν ο οποίος περιέχεται σε έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας q, να ισούται με τον ολικό αριθμό καταστάσεν που περιλαμβάνεται στην 1ΖΒ Μαθηματικά, η παραπάν ισότητα γράφεται q π π L cos6 L a Λύνοντας την παραπάν ς προς q, βρίσκουμε q 1 π a και επομένς η συχνότητα ebye q π a s Πρόβλημα 9 Υπολογίστε την ειδική θερμότητα για μια μονοδιάστατη διατομική αλυσίδα Εφαρμόστε το πρότυπο ebye για τη συνεισφορά του ακουστικού κλάδου, στην και το πρότυπο instein για την αντίστοιχη συνεισφορά του οπτικού κλάδου Βρείτε αναλυτικές εκφράσεις στο όριο τν χαμηλών θερμοκρασιών Λύση Η γενική σχέση που δίνει την εστερική ενέργεια ενός 1Δ κρυστάλλου μήκους L, λόγ της δυναμικής του πλέγματος τν ατόμν, δίνεται από την U ( ) d a +, (1) exp 1 14

20 όπου ( ) η πυκνότητα καταστάσεν φνονίν Οι σχέσεις διασποράς για μια διατομική αλυσίδα φαίνονται στο παρακάτ σχήμα, όπου φαίνονται και οι δύο κλάδοι (ακουστικός και οπτικός κλάδος) οπτικός κλάδος ακουστικός κλάδος -π/a k π/a Για να βρούμε τη συνολική ειδική θερμότητα, πρέπει να υπολογίσουμε τη συνεισφορά και τν δύο κλάδν στην εστερική ενέργεια U Είδαμε σε προηγούμενο πρόβλημα, ότι για μια μονοατομική 1Δ αλυσίδα, για την οποία η σχέση διασποράς περιέχει, μόνο, ακουστικό κλάδο, η πυκνότητα καταστάσεν, στο πρότυπο ebye γράφεται Na ( ) π c, όπου Ν ο αριθμός τν ατόμν, a η πλεγματική σταθερά της αλυσίδας και c η ταχύτητα διάδοσης τν ακουστικών κυμάτν Αντικαθιστώντας την παραπάν εξίσση στην Εξ(1), λαμβάνουμε Na U d a + p c exp 1 Παραγγίζοντας την παραπάν ς προς τη θερμοκρασία T, βρίσκουμε τη συνεισφορά του ακουστικού κλάδου στην ειδική θερμότητα, αkουστ Θ / Nk z exp( z) dz T p c [ exp( z) 1], όπου z και Θ η θερμοκρασία ebye Για τον οπτικό κλάδο, θερούμε τη k διασπορά αμελητέα, ( q) σταθ, με αποτέλεσμα η αντίστοιχη πυκνότητα καταστάσεν να γράφεται ( ) Naδ ( ) Έτσι, η συνεισφορά του οπτικού κλάδου στην ειδική θερμότητα, 15

21 exp 1 ( ) οpτ Na ( ) d a d exp 1 exp Nk exp 1 Έτσι, η συνολική ειδική θερμότητα γράφεται exp Θ / T αkουστ οpτ Nk z exp( z) dz + + p c [ exp( z) 1] T Nk exp 1 Στις χαμηλές θερμοκρασίες, Θ / T, μόνο ο ακουστικός κλάδος συνεισφέρει στην Επίσης, από το ολοκλήρμα έχουμε, τελικά, z exp( z) dz [ exp( z) 1] p αkουστ Nkπ π Nk T T c Θ Πρόβλημα 1 ln Υπολογίστε την παράμετρο Grüneisen γ, για μια 1Δ γραμμική περιοδική αλυσίδα ln L ατόμν με συνολικό μήκος L, πλεγματική σταθερά a, και αλληλεπιδράσεις πρώτν γειτόνν Υποθέστε, ότι το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι μη γραμμικό και γράφεται στη μορφή 1 U( x) U + fx + λx, όπου x d a και d η απόσταση μεταξύ πλησιέστερν γειτόνν Λύση Σε μια 1Δ αλυσίδα ατόμν, η κλίμακα της κυκλικής συχνότητας της σχέσης διασποράς τν φνονίν ( q) καθορίζεται από τη χαρακτηριστική συχνότητα ταλάντσης f / m Σκοπός μας είναι να βρούμε την εξάρτηση της συχνότητας αυτής από το μήκος της αλυσίδας L Για να εισάγουμε μια μικρή αλλαγή στο μήκος της αλυσίδας, από L σε L, εφαρμόζουμε μια δύναμη F Κατόπιν θα υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγγο του du δυναμικού αλληλεπίδρασης γύρ, από τη νέα θέση ισορροπίας, f Θα dx χρησιμοποιήσουμε τη νέα δύναμη επαναφοράς για να υπολογίσουμε τη συχνότητα Αν εφαρμοστεί η δύναμη F, το δυναμικό γράφεται 16

22 U U fx λx Fx Η νέα θέση ισορροπίας υπολογίζεται από τη συνθήκη, du dx x x ( ) f x+ λ x + F Για μικρές δυνάμεις, x 1 Έτσι, αγνοώντας τον τετραγνικό όρο στην παραπάν εξίσση, λαμβάνουμε, F x (1) f Η νέα πλεγματική σταθερά θα είναι a a+ x και η αλλαγή στο συνολικό μήκος της αλυσίδας L N x Η νέα σταθερά ελατηρίου, η οποία χαρακτηρίζει την καινούργια δύναμη επαναφοράς, είναι Η νέα κυκλική συχνότητα ταλάντσης du 6 f f + λ x dx f f 6λ x 6λ x 1 1 m m + + f f Όπς και πριν, θερούμε μικρές μεταβολές του μήκους, x 1 Λαμβάνοντας τους δύο πρώτους όρους στο ανάπτυγμα 1+ x 1+ x x + x, βρίσκουμε 8 16 κι έτσι η νέα συχνότητα γράφεται 6λ x λ x f f + λ x f Η παράμετρος Grüneisen γράφεται l x ln L a a f γ ln L L x x al γ f 17

23 Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [1] H Ibach και H Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 1) [] Kittel, Εισαγγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 1979) [] N W Ashcroft και N Mermin, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 1) [4] R Ley, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσες, (Εκδόσεις Γ Πνευματικού, 1968) [5] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1997) [6] Ε Ν Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, ) [7] Α Μοδινός, Εισαγγή στην Κβαντική Θερία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπαστηρίου, Αθήνα, 1994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 1995) [1] Κ Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνμένης Ύλης», (ΕΜΠ, Αθήνα, 1) Ξενόγλσσα: [1] M P Marder, ondensed Matter Physics, (Wiley, New Jersey, 1) [] H Hall, Solid State Physics, (Wiley, ristol, 1974) [] J M Ziman, Principles of the Theory of Solids, (ambridge, ambridge, 1964) [4] H J Goldsmid, (ed), Problems in Solid State Physics, (Pion Limited, London, 1968) [5] M Agranoich and A A Maradudin (eds), Modern Problems in ondensed Matter Sciences, (lseier, Amsterdam, 1989) [6] A L Iano and S G Tikhodee (eds), Problems of ondensed Matter Physics, (Oxford, Oxford, 8) [7] A Rigamonti and P aretta, Structure of Matter, (Springer, Milan, 9) Λέξεις-κλειδιά αριθμός του Aogadro ακουστικός κλάδος ανάπτυγμα Taylor δυναμική πλέγματος ειδική θερμότητα ελεύθερη ενέργεια Helmholtz εντροπία κατανομή ose-instein κυματάνυσμα κυματαριθμός μέτρο ελαστικότητας μέτρο του Young μποζόνια οπτικός κλάδος παραγγίζ παράμετρος Grüneisen πρότυπο ebye πρότυπο instein σταθερά oltzmann σταθερά Grüneisen συνάρτηση του Riemann σχέση διασποράς φνόνια 18