Ιστο τ ρία της της έννοιας της της Πιθανότητα η ς Καθ. Καθ Πολ Πο. Μωυσιάδης Μωυσιά

Transcript

1 Ιστορία της έννοιας της Πιθανότητας Καθ. Πολ. Μωυσιάδης

2 Η πιθανότητα στην αρχαιότητα Η θεωρία πιθανοτήτων δε φαίνεται να καλλιεργήθηκε στην αρχαία Ελλάδα. Ο Αριστοτέλης ( π.χ.) διέκρινε τις λέξεις γνώση και γνώμη όπου: γνώση αφορά σε κάτι που είναι σωστό ή λάθος, ενώ γνώμη αφορά σε κάτι που μπορεί να είναι σωστό ή λάθος. Έδωσε επίσης τις έννοιες του τυχαίου, του απροσδόκητου και της σχετικής συχνότητας. Θεωρούσε όμως ότι το τυχαίο δεν είναι επιστημονική έννοια, οφείλεται στη δική μας αδυναμία να ερμηνεύσουμε τα φαινόμενα και έδωσε τα παραδείγματα: Ανακοίνωση για το αποτέλεσμα μιας ναυμαχίας που θα γίνει την επόμενη μέρα Η εύρεση θησαυρού κατά το σκάψιμο για να φυτέψουμε φυτά Γράφει: Το τυχαίο λοιπόν είναι εντελώς απροσδιόριστο και γι αυτό "του ἀπό τύχης ούκ έστίν ἐπιστήμη δι' ' ἀποδείξεως". " Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 2

3 Βαθμοί πιθανότητας Ο Πλάτων στο Φαίδωνα αναφέρει (με αρνητικό τρόπο) την έννοια της πιθανότητας. Γράφει: Εγώ έχω συνείδηση ότι τα επιχειρήματα που βασίζουν τις αποδείξεις τους σε πιθανότητες είναι αλαζονικά, και, αν κανείς δεν προστατεύεται απ αυτά, εύκολα μπορεί να εξαπατηθεί και στη γεωμετρία και αλλού (Φαίδων (92)). Ο Καρνεάδης (περίπου π.χ.) θεώρησε ως κεντρική έννοια την πιθανότητα και αρνήθηκε την ύπαρξη κριτηρίου αληθείας. Όπως γράφει ο Σέξτος οεμπειρικός Εμπειρικός, ο Καρνεάδης διέκρινε τρεις βαθμούς πιθανότητας (πιθανής γνώσης), «τάςς μέν γάρ αὐτό μόνον πιθανάς ὑπάρχειν ἡγοῦνται, τάς δέ πιθανάς καί διεξωδευμένας, τάς δέ πιθανάς καί περιωδευμένας καί ἀπερισπάστους". Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 3

4 Παραδείγματα 1 ον Παράδειγμα την πιθανή φαντασία ακολουθούμε,, όταν δεν έχουμε καιρό (οι περιστάσεις δεν μας επιτρέπουν) να εξετάσουμε το πράγμα ακριβέστερα, π.χ. κάποιος κυνηγημένος φτάνοντας σε ένα χαντάκι φαντάζεται ότι μέσα στο χαντάκι είναι κρυμμένοι οι κυνηγοί του, οπότε χωρίς να το ξανασκεφθεί αλλάζει κατεύθυνση και φεύγει από το χαντάκι (και ενδεχομένως πέφτει επάνω τους). 2 ον Παράδειγμα Βλέπουμε ένα σχοινί στριμμένο σ ένα σκοτεινό δωμάτιο και αμέσως πηδάμε πάνω απ αυτό γιατί το νομίσαμε μ για φίδι (1ος ςβαθμός), μς), αλλά ύστερα καθώς γυρνάμε πίσω εξετάζουμε αν αυτό αληθεύει. Καθώς το βρίσκουμε ακίνητο, τείνουμε αμέσως να το θωρήσουμε ότι δεν είναι φίδι (2ος βαθμός), αλλά με τη σκέψη ότι τα φίδια είναι ακίνητα λόγω του κρύου καιρού, παίρνoυμε ένα ραβδί και το κουνάμε κι αφού ελέγξουμε έτσι την κατάσταση καταλήγουμε ότι τελικά αυτό που βλέπουμε δεν είναι φίδι (3ος βαθμός) Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 4

5 Το τυχαίο Το τυχαίο χρησιμοποιήθηκε για πρακτικούς σκοπούς στην Αθηναϊκή πολιτεία. Στη νομοθεσία του Δράκοντα (624 ή 621 π.χ.) ) η επιλογή των αρχόντων (βουλευτές, στρατηγοί) γινόταν με κλήρο και όχι με εκλογή. Όσοι κληρώνονταν για μια θητεία δε μετείχαν στην επόμενη κλήρωση. Αυτό διατηρήθηκε και στη νομοθεσία του Σόλωνα ( π.χ.). ) Ο Thomas Aquinas ( μ.χ.) θεωρούσε ότι ορισμένα γεγονότα ονομάζονται τυχαία διότι δεν έχουμε ή δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε όλες τις πληροφορίες για να τα ερμηνεύσουμε. Δίνει μάλιστα το παράδειγμα ενός αφεντικού που είχε δύο υπηρέτες και δίνει μυστικά στον καθένα την εντολή να είναι ορισμένη ώρα σε συγκεκριμένο μέρος. Όταν οι υπηρέτες συναντώνται το αποδίδουν στην τύχη, ενώ το αφεντικό γνώριζε ότι θα συναντηθούν. Ο Spinoza ( ) πίστευε ότι η άγνοια της πραγματικότητας μας οδηγεί να αποδίδουμε στην τύχη ορισμένα γεγονότα. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 5

6 Οι πρώτες προσπάθειες Πέρα από κάποιους υπολογισμούς πιθανοτήτων για τη ρίψη κύβων του Girolamo Cardano ( ), η Θεωρία Πιθανοτήτων οφείλει την αναγωγή της σε επιστήμη στην αλληλογραφία δύο μεγάλων επιστημόνων των Pierre de Fermat και Blaise Pascal (1654) που παρακινήθηκαν από τον παίκτη Chevalier de Méré. O Christiaan Huygens (1657) έδωσε την νεώτερη επιστημονική πραγματεία για την έννοια της πιθανότητας. Τα πρώτα βιβλία: CristjaanHuygens "De Ratiociniis in Aleae Ludo" (1657), Jakob Bernoulli "Ars Conjectandi" (1713) και Abraham de Moivre "Doctrine of Chances" (1718) ενέταξαν τη Θεωρία Πιθανοτήτων στα Μαθηματικά ως ένα νέο κλάδο τους. Ο Roger Cotes το 1722 και ο Thomas Simpson το 1756 εφάρμοσαν τη θεωρία πιθανοτήτων στη μελέτη των σφαλμάτων των παρατηρήσεων. Ο Pierre Simon Laplace (1774) συσχέτισε τα σφάλματα με την πιθανότητα και παρέστησε τη σχέση με μία συνάρτηση της οποίας μελέτησε τις ιδιότητες. Θεμελίωσε την κλασική Θεωρία Πιθανοτήτων με το βιβλίο του "Theοrie Analytique des Probabilites«(1795). Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 6

7 Επιτεύγματα Ο Daniel Bernoulli (1778) εισήγαγε την αρχή του μέγιστου γινομένου πιθανοτήτων σε σύστημα με ταυτόχρονα σφάλματα. Ο Adrien Marie Legendre (1805) ανέπτυξε τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και συνέβαλε στον καθορισμό των τροχιών των κομητών με νέες μεθόδους. Ο Robert Adrain το 1808, αγνοώντας ίσως την εργασία του Legendre έδωσε ένα νόμο για την κατανομή των σφαλμάτων. Ο Gauss το 1809 έδωσε την πρώτη γνωστή στην Ευρώπη απόδειξη για την κατανομή των σφαλμάτων. Άλλες αποδείξεις δόθηκαν από τους Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), Siméon Denis Poisson (1838), W. F. Donkin (1844, 1856), and Morgan Crofton (1870). Συνεισέφεραν επίσης οι: Pierre Rémond de Montmort (1708), Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), Giovanni Schiaparelli (1875) και Peters (1856). Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 7

8 Αξιωματική θεμελίωση Η ανάγκη για μια αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων με μαθηματική αυστηρότητα παρουσιάσθηκε από τον D. Hilbert στον κατάλογο των σπουδαίων άλυτων προβλημάτων το Ο von Mises (1919) έκανε μια σοβαρή προσπάθεια σ' αυτήν την κατεύθυνση χωρίς ικανοποιητικά αποτελέσματα. Ο Α.Ν. Kolmogorov (1933) δημοσίευσε την αποδεκτή σήμερα αξιωματική θεμελίωση που θεωρεί την πιθανότητα ως ειδική περίπτωση της θεωρίας μέτρου. Η θεωρία του Kolmogorov δεν είναι μόνον απλή και ικανοποιητική όσον αφορά τη μαθηματική αυστηρότητα, αλλά έβαλε και τα θεμέλια για τις εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων. Προβλήματα, όπου η πιθανότητα δεν έχει πεπερασμένη τιμή και παρουσιάζονται στη στατιστική μηχανική, κβαντική μηχανική, τη στατιστική Bayes κ.λπ. δεν αντιμετωπίζονται με τη θεμελίωση του Kolmogorov που θεωρεί ότι η πιθανότητα παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Έτσι αναπτύχθηκε από τον Α. Renyi το 1955 μία αξιωματική θεμελίωση βασισμένη στις δεσμευμένες πιθανότητες. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 8

9 Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή, μέγας Έλληνας Μαθηματικός και όχι μόνον, ήδη από το 1918 στο βιβλίο του «über reelle Funktionen» είχε ορίσει τα εξωτερικά μέτρα (outer measures) και απέδειξε ένα θεώρημα επέκτασης αυτών των μέτρων γνωστό ως Caratheodory Extension Theorem που θα μπορούσε να επεκταθεί και στο μέτρο πιθανότητας που όρισε αργότερα ο Kolmogorov αποδεικνύοντας το δικό του Kolmogorov Extension Theorem. Αυτά μπορείτε να τα βρείτε στο βιβλίο Infinite Dimensional Analysis των Charalambos D. Aliprantis και Kim C. Border (2005), ιδιαίτερα στα κεφάλαια 10, 12 και 15, διαθέσιμο στο διαδίκτυο. Για την προσωπικότητα του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή μπορείτε να βρείτε πάρα πολλά στο διαδίκτυο. δί Μια σύντομη και περιεκτική βιογραφία του γραμμένη από την κ. Χριστίνα Φίλη αναπλ. Καθηγήτρια του ΕΜΠ, είναι ανηρτημένη στη σελίδα του μαθήματος. Ένας σύντομος ορισμός των outer measures που ορίστηκαν από τον Καραθεοδωρή είναι επίσης ανηρτημένος στη σελίδα του μαθήματος Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 9

10 Το Πρόβλημα διαίρεσης του στοιχήματος Ένας φίλος του Pascal, ο Chevalier de Mere ( ), 1684), που ήταν Γάλλος ευγενής του έθεσε το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος. Pascal Fermat Σε επιστολή του Pascal προς τον Fermat (στις 29 Ιουλίου 1654), ο Pascal δίνει λύση στο παρακάτω πρόβλημα διαίρεσης του στοιχήματος: ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Δύο παίκτες Α και Β στοιχημάτισαν βάζοντας από 32 pistoles (ονομασία ισπανικού νομίσματος με αξία 2 δουκάτα) ο καθένας. Συμφώνησαν ότι όποιος κερδίσει πρώτος 3 παρτίδες ενός παιχνιδιού θα πάρει και τα 64 pistoles. Όταν το παιχνίδι ήταν 2 1 υπέρ του Α, αναγκάστηκαν να σταματήσουν. Από πόσα pistoles πρέπει να πάρουν οι Α και Β; Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 10

11 Ο συλλογισμός του Pascal Αν συνέχιζαν, τότε στην επόμενη παρτίδα θα κέρδιζε ή ο Α ή ο Β. άρα ο Α παίρνει 48 (=32+16) ενώ ο Β παίρνει 16 (=0+16) (δηλαδή το στοίχημα μερίζεται με λόγο 3:1). Αν το παιχνίδι είχε σταματήσει στο 2 0, τότε στο επόμενο παιχνίδι ο Α θα έπαιρνε και τα 64, ή θα γινότανε 2 1 δηλαδή ο Α θα έπαιρνε 48 και ο Β 16. Άρα θα πάρει ο Α 56 (=32+24) 24) και ο Β 8 (=0+8). 08). Αν το παιχνίδι είχε σταματήσει στο 1 0, τότε στο επόμενο παιχνίδι ή θα γινότανε 2 0 και θα έπαιρνε ο Α56 και ο Β 8, ήθ θα γινότανε 1 11 δηλαδή δήο Αθ θα έπαιρνε 32 και ο Β 32. Άρα θα πάρει ο Α 44 (=28+16) και ο Β 20 (=4+16). Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 11

12 Η λύση του Fermat Ο Fermat απάντηση με τη λύση του προβλήματος της διαίρεσης ενός στοιχήματος όταν ο ένας παίκτης Α έχει άλλες 3 παρτίδες να κερδίσει το παιχνίδι, ενώ ο άλλος Β έχει ακόμη 2. Τότε καταγράφοντας τα αποτελέσματα των επόμενων 4 παρτίδων, διαπίστωσε ότι μόνο ο ένας κερδίζει,, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα: A A A A B A A A B B B A B B B B A A A B A A B B A A B B A B B B A A B A A B A B A B A B B A B B A B A A A B B A B A A B B B A B Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 12

13 Αντιρρήσεις Σημειώνεται ότι οι Roberval και D' Alembert (και πολλοί φοιτητές όποτε διδάσκεται αυτό το παράδειγμα) διατύπωσαν την αντίρρησή τους στο ότι η υπόθεση των 4 υπολειπομένων παιγνιδιών δεν μπορεί να γίνει εφ' όσον είναι δυνατό ο παίκτης Α να αναδειχθεί νικητής και σε λιγότερα από 4 παιγνίδια. Ο Pascal απάντησε στην αντίρρηση αυτή υποστηρίζοντας ότι, αν και είναι δυνατό η σειρά των παιγνιδιών να κριθεί σε 2 ή 3 παιγνίδια, τα επιπλέον παιγνίδια δεν παίζουν κανένα ρόλο στην ανάδειξη του νικητή. Βέβαια παίζουν ρόλο στην αναγωγή των διάφορων περιπτώσεων σε ισοπίθανες καταστάσεις Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 13

14 Γενίκευση Τελικός νικητής Χάνει ο Α Κερδίζει ο B Χάνει ο Α Κερδίζει ο B Χάνει ο Α Κερδίζει ο B Κερδίζει ο Α Χάνει ο B Κερδίζει ο Α Χάνει ο B Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 14 Κερδίζει ο Α Χάνει ο B

15 n 1 n+ m- 1 1 å k m + n - k= ç è ø - æ ö Άρα θα πρέπει να μερίσουμε το στοίχημα σε μέρη ανάλογα των - æ ö m 1 n + m- 1 1 å k m + n - k= ç è ø æn m 1ö æn m 1ö : ç k ç k n-1 m-1 å å è ø è ø k= 0 k= 0 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 15

16 Τρίγωνο Pascal Στο σχήμα η περίπτωση m=3, n=4 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 16

17 Παλαιότερες προσπάθειες Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 17

18 Παλαιότερες προσπάθειες Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 18

19 Το πρόβλημα του Γαλιλαίου (Galileo Galilei) Ένας παρατηρητικός φίλος του Γαλιλαίου διέκρινε ότι η συχνότητα εμφάνισης του ενδεχομένου να εμφανιστεί άθροισμα 9 με τρία ζάρια είναι διαφορετική από τη συχνότητα εμφάνισης αθροίσματος 10, ενώ θα έπρεπε να εμφανίζονται το ίδιο συχνά. Η σιγουριά αυτή προέκυπτε από το γεγονός ότι και τα δύο αθροίσματα σχηματίζονται με 6 τρόπους. Πράγματι εύκολα διαπιστώνουμε ότι: 9= = =5+3+1 =6+2+2 =5+2+2 =5+4+1 =4+4+1 =5+3+2 =4+3+2 =4+4+2 =3+3+3 =4+3+3 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 19

20 Ο Galileo Galilei ( ) στον οποίο απευθύνθηκε θεώρησε ως κατάλληλο δειγματικό χώρο το τριπλό καρτεσιανό γινόμενο του Ω = {1, 2,3,4,5,6} με τον εαυτό του, που δίνει 9= τρόποι 10 = τρόποι = τρόποι = τρόποι = τρόποι = τρόποι =4+4+1 =4+3+2 = τρόποι 6 τρόποι 1 τρόποι =5+3+2 =4+4+2 = τρόποι 3 τρόποι 3 τρόποι 25 τρόποι 27 τρόποι Δηλαδή το 9 εμφανίζεται με 25 τρόπους ενώ το 10 με 27 (από τους 216) Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 20

21 Παλαιότερες προσπάθειες Το γράφτηκε από τον Dante Aliglieri i "Η αγία κωμωδία" που αναφέρει και το ρίξιμο ζαριών. Το 1477 ο Benvenuto d' Imola σχολιάζοντας το σημείο αυτό υπολογίζει ότι, όταν ρίξουμε τρία ζάρια υπάρχει μία περίπτωση να πάρουμε άθροισμα τρία (τρείς άσσοι) και μία να πάρουμε άθροισμα τέσσερα (ένα διπλό και δυο άσσοι). ) Έκανε λάθος στον υπολογισμό του 4 διότι υπάρχουν τρείς περιπτώσεις: (1, 1, 2), ( 1, 2, 1), (2, 1, 1), δεν ξεχώρισε τις διαφορετικές διατάξεις Ο Cardano που ήταν γιατρός και Μαθηματικός σε ββλί βιβλίο του, που ο ίδιος λέει το έγραψε το 1526 (25 ετών) ανακαλύφθηκε μετά το θάνατό του το 1576 και τυπώθηκε το 1663, ασχολείται με διάφορα προβλήματα των τυχερών παιχνιδιών. δώ Υπολογίζει σωστά όλες τις περιπτώσεις στο ρίξιμο δύο ζαριών και ότι όταν ρίχνουμε ρχ τρία ζάρια υπάρχουν 216 περιπτώσεις. Εκεί υπολογίζει γζ σωστά ότι σε τρεις περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 4, σε 27 περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 10 και σε 25 περιπτώσεις παίρνουμε άθροισμα 9. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 21

22 Ισοπίθανα γεγονότα Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 22

23 Το παράδοξο του De Méré (1654) Τον 17 ο αιώνα συνήθιζαν να παίζουν ρίχνοντας ένα κανονικό ζάρι τέσσερις φορές ποντάροντας ότι θα έρθει ένα τουλάχιστον «6» (Π1). Σύμφωνα με ένα «παλιό νόμο των παικτών» αυτό είναι ισοδύναμο με το να έρθει τουλάχιστον μία φορά «(6,6)» ρίχνοντας δύο κανονικά ζάρια 24 φορές (Π2). Αυτό, διότι ο λόγος 4 (ρίψεις) προς 6 (αριθμός δυνατών αποτελεσμάτων στο Π1) είναι ίσος με το λόγο του 24 (ρίψεις) προς 36 (αριθμός δυνατών αποτελεσμάτων στο Π2). O Chevalier de Méré é ( ), 1684) γάλλος ευγενής και διάσημος παίκτης τυχερών παιχνιδιών παρατήρησε ότι όταν στοιχημάτιζε με το παιχνίδι Π1 κατά κανόνα κέρδιζε (σε μεγάλο πλήθος παιχνιδιών). Όταν όμως στοιχημάτιζε με το παιχνίδι Π2 τότε έχανε, κάτι που κατά τη γνώμη του ήταν μεγάλο σκάνδαλο και σήμαινε ότι τα αριθμητικά θεωρήματα δεν είναι πάντα αληθή και ότι η αριθμητική πέφτει σε αντιφάσεις. Απευθύνθηκε στον Pascal, ο οποίος με τη σειρά του απευθύνθηκε στο φίλο του Fermat και έλυσαν το πρόβλημα. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 23

24 Εξήγηση Θα δείξουμε στα επόμενα ότι η πιθανότητα να έρθει ένα τουλάχιστον 6 σε τέσσερις ανεξάρτητες ρίψεις ενός ζαριού είναι 0.518, δηλαδή το παιχνίδι Π1 είναι ευνοϊκό για τον παίκτη. Δηλ. σε μεγάλο αριθμό παιχνιδιών ο παίκτης κερδίζει. Θα δείξουμε επίσης ότι η πιθανότητα να έρθει ένα τουλάχιστον (6,6) σε εικοσιτέσσερις ανεξάρτητες ρίψεις δύο ζαριών είναι 0.491, δηλαδή δή το παιχνίδι Π2 δεν είναι ευνοϊκό για τον παίκτη. Αυτό το παρατήρησε (!) ο De Méré, διαπιστώνοντας ότι χάνει σε μεγάλο αριθμό παιχνιδιών. Το παιχνίδι Π2 γίνεται ευνοϊκό αν αντί 24 ρίξουμε τα ζάρια 25 φορές. Τότε η πιθανότητα για τουλάχιστον μία φορά εξάρες γίνεται Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 24

25 Αρχή μη επαρκούς λόγου Στην πράξη, όπου πολύ μικρές διαφορές, θεωρούνται αμελητέες, το ισοπίθανο εξασφαλίζεται με την επίκληση της αρχής του μη επαρκούς λόγου (Ρrinciple of insufficient reason). Κατά την αρχή αυτή, τα απλά ενδεχόμενα κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης είναι ισοπίθανα (equally likely), εκτός αν υπάρχουν λόγοι περί του αντιθέτου. Παλαιότερα η υπόθεση του ισοπίθανου για τα διαφορετικά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ήταν περισσότερο συχνή απ' ότι είναι σήμερα και διατυπωνόταν συνήθως άκριτα και χωρίς κανένα έλεγχο. Σήμερα οι πειραματιστές ελέγχουν τα πειράματά τους με την εκτέλεση σειράς πραγματικών (πιλοτικών) ή ιδεατών (με προσομοίωση) πειραμάτων,, που αποκαλύπτουν αν υπάρχει ή όχι επαρκής λόγος να μην θεωρούνται ισοπίθανα τα απλά ενδεχόμενα. Η παραδοχή του ισοπίθανου στις πιθανότητες είναι αντίστοιχη με την παραδοχή της ύπαρξης σημείου και ευθείας στη Γεωμετρία. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 25

26 Οι υπολογισμοί Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 26

27 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 27

28 Το πρώτο βιβλίο πιθανοτήτων Το πρώτο βιβλίο πιθανοτήτων "De Ratio ciniis in Ludo Aleae" ήταν του C. Hyugens ( ), που το έγραψε το 1657 στα Ολλανδικά και μεταφράστηκε στα Λατινικά από τον Van Schooten. Christiaan Huygens Ο Huygens είχε ακούσει για τα προβλήματα της διαίρεσης του στοιχήματος στο Παρίσι το 1655 όταν πήγε για να πάρει ένα τιμητικό διδακτορικό στα νομικά, αλλά δεν γνώριζε την αλληλογραφία Pascal Fermat. Για 60 χρόνια μέχρι το 1700 χρησιμοποιούνταν αυτό το βιβλίο, ως το βιβλίο για τις πιθανότητες. Ο Huygens έδωσε τη σωστή λύση στο πρόβλημα του στοιχήματος και η κύρια ιδέα του ήταν η έννοια της μέσης τιμής και όχι η έννοια της πιθανότητας. Τότε η Ολλανδία ήταν στην πλήρη της ανάπτυξη εμπορική και τραπεζική. Ο Huygens ονόμαζε "τιμή της τύχης" τη μέση τιμή. Προτείνει επίσης στο βιβλίο του πέντε προβλήματα για λύση. Δύο από τα προβλήματα τού τα πρότεινε ο Fermat και ένα ο Pascal. Ο C. Huygens ήταν σύγχρονος του Newton και αναγνωριζόταν ως η δά διάνοια της εποχής του. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 28

29 Στατιστική ομαλότητα Η οριακή συμπεριφορά αυτής της ακολουθίας λέγεται στατιστική ομαλότητα. α Το «όριο» της σχετικής συχνότητας του Ε είναι η πιθανότητα του Ε. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 29

30 Προσομοίωση n< r<-sample(0:1,n,replace=t) f<-rep(0,n) for (i in 1:n) f[i]<-sum(r[1:i])/i plot(1:n,f,type="l", ylim=c(0.45,0.55),xlab="πλή θος ρίψεων", ylab="σχετική συχνότητα") abline(h=1/2, col=6) n< r<-sample(0:1,n,replace=t) f<-rep(0,n) for (i in 1:n) f[i]<-sum(r[1:i])/i plot(1:n,f,type="l", ylim=c(0.45,0.55),xlab="πλή θος ρίψεων", ylab="σχετική συχνότητα") abline(h=1/2, col=6) Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 30

31 Συμπεριφορά σχετικής συχνότητας Ο Von Mises θεώρησε ότι υπάρχει το όριο της σχετικής συχνότητας όταν το Ν τείνει στο άπειρο. Την ύπαρξη αυτού του ορίου με τη μαθηματική έννοια τη θεώρησε ως αξίωμα και το όριο το ονόμασε πιθανότητα. Η θεμελίωση όμως της θεωρίας πιθανοτήτων πάνω σ' αυτή τη βάση, παρουσιάζει μεγάλες μαθηματικές δυσκολίες και γι' αυτό έχει σχεδόν εγκαταλειφθεί. Έγιναν πολλές προσπάθειες εκτίμησης της συμπεριφοράς της σχετικής συχνότητας. Οι Hodges και Lehman δίνουν αναλυτικά παραδείγματα: Σε 20 ακολουθίες των 250 ρίψεων ενός ζαριού βρέθηκε ότι η σχετική συχνότητα της εμφάνισης 1 ή 2 ήταν μεταξύ και 0.372, ενώ p = Σε 20 ακολουθίες των τυχαιων ψηφίων η σχετική συχνότητα εμφάνισης άρτιου ψηφίου ήταν από μέχρι , δηλ. είχε εύρος μόνο , ενώ αναμένεται να είναι p = Ακόμη παρατηρήθηκε ότι σε 20 χρόνια από το 1937 μέχρι το 1956, με κατά μέσον όρο γεννήσεις παιδιών στη Νέα Υόρκη, η σχετική συχνότητα γέννησης αγοριών κυμάνθηκε από μέχρι δηλ. σε δά διάστημα εύρους Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 31

32 Η πρώτη εμφάνιση κορώνας Οι παίκτες Α και Β παίζουν το παιχνίδι κορώνα γράμματα ρίχνοντας διαδοχικά ένα κέρμα διαδοχικά και κερδίζει αυτός που θα φέρει πρώτος κορώνα. Διαπιστώνεται εύκολα ότι αυτός που παίζει πρώτος έχει διπλάσια πιθανότητα από αυτόν που παίζει δεύτερος να κερδίσει. Η διάρκεια του παιχνιδιού αυτού είναι κατά μέσον όρο 2 και αποδεικνύεται ότι το να διαρκέσει περισσότερο από 5 6 ρίψεις είναι εξαιρετικά σπάνιο. Ας θεωρήσουμε ότι οι Α, Βπαίζουνδιαδοχικά. Αν έρθει κορώνα ο Α κερδίζει 1 από τον Β, αλλιώς ο Β κερδίζει 1 από τον Α. Οι περισσότεροι προβλέπουν ότι σε μια μεγάλη διάρκεια αυτού του παιχνιδιού ο Α θα προηγείται το μισό χρόνο και ο Β τον άλλο μισό. Με προσομοίωση διαπιστώνουμε ότι ο ένας από τους δύο συνήθως προηγείται σχεδόν σε όλο το παιχνίδι. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 32

33 Διάρκεια κερδοφορίας ενός παίκτη n= b=cumsum(2*(runif(n)>0.5) 1) #plot(b,type="l") #abline(h=0) z=100*sum(b>0)/n # z=21.34 n= b=cumsum(2*(runif(n)>0.5) 1) #plot(b,type="l") #abline(h=0) z[=100*sum(b>0)/n # z=99.89 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 33

34 1000 εκτελέσεις προσομοίωσης ρίψεων z<-null for (i in 1: 1000){ n= b=cumsum(2*(runif(n)>0.5)-1) #plot(b,type="l") #abline(h=0) z[i]=100*sum(b>0)/n } hist(z,nclass=30) Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 34

35 Το λαχείο της Γένοβας Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 35

36 Αριθμητική παράλυση Στο ελληνικό ΛΟΤΤΟ 6 αριθμοί επιλέγονται από 49 αριθμούς. Άρα η πιθανότητα μιας συγκεκριμένης εξάδας είναι: 1 6! 43! ! Είναι εξαιρετικά δύσκολο να εκτιμήσουμε πόσο πραγματικά μικρή είναι αυτή η πιθανότητα 0, Ο Douglas Hofstadter αποκαλεί «αριθμητική παράλυση» την ανικανότητά μας να συλλάβουμε, να συγκρίνουμε ή να εκτιμήσουμε πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς αριθμούς. (Η αριθμητική παράλυση μπορεί ίσως να εξηγήσει την επιβίωση κρατικών λαχείων σε όλο τον κόσμο της μορφής του ΛΟΤΤΟ) ΛΟΤΤΟ.) Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 36

37 Θα διαπιστώσουμε όμως πόσο μικρή είναι η προηγούμενη πιθανότητα αν την παραβάλουμε με κάποια γεγονότα τα οποία ενδέχεται να μας οδηγήσουν στην τελευταία μας κατοικία. Αν θεωρήσουμε ως μέσο όρο ζωής τα εβδομήντα έτη, οι εκτιμούμενες πιθανότητες θανάτου από διάφορες αιτίες είναι οι εξής: Αιτία θανάτου Πιθανότητα Τροχαίο ατύχημα 0,017 Πόση χλωριωμένου νερού 0, Καθημερινή κατανάλωση 100 γραμμαρίων μοσχαρίσιου κρέατος ψημένου στα κάρβουνα 0,00035 Πνιγμός σε πλημμύρα 0, Χτύπημα από κεραυνό 0, Θάνατος από πτώση μετεωρίτη 0, Δηλαδή μόνο με την πτώση μετεωρίτη στο κεφάλι μας μπορεί να συγκριθεί η επιτυχία 6 αριθμών στο ΛΟΤΤΟ Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 37

38 Αναφορές Brian Everitt (1999). Οι Κανόνες της Τύχης, εκδόσεις κάτοπτρο. Κουνιά Στρατή ή( (1978). Ιστορική Αναδρομή στις Πιθανότητες. Μαθηματική Επιθεώρηση Κουνιά, Στρατή και Μωυσιάδη Χρόνη (1995). Θεωρία Πιθανοτήτων Ι Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές, εκδόσεις ΖΗΤΗ. Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Ιστορία της έννοιας της πιθανότητας 38