ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο"

Αἴαξ Βαμβακάς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες. ΣΩΣΤ Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει µία γωνία οξεία. ΘΣ ( ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες ) Η µεσοκάθετος ισαπέχει από τις πλευρές της. ΘΣ ( η µεσοκάθετος ενός τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος είναι και ύψος και διχοτόµος. ΘΣ ( Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι και ύψος και διχοτόµος ) ύο τρίγωνα που έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες µία προς µία,είναι ίσα. ΘΣ ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την υποτείνουσα και µια γωνία αντίστοιχα ίσες µία προς µία, είναι ίσα. ΘΣ ( ύο ορθογώνια που έχουν την υποτείνουσα και µια οξεία γωνία ίσες µία προς µία είναι ίσα ) ν οι διχοτόµοι των γωνιών και ενός ισόπλευρου τριγώνου τέµνονται στο, τότε το τρίγωνο είναι:. Ισόπλευρο. Ισοσκελές. ρθογώνιο. Σκαληνό Ε. Τίποτα από τα παραπάνω Το τρίγωνο είναι ισοσκελές οπότε = και επειδή φέραµε τις διχοτόµους τους θα είναι και = ( ως µισά ίσων γωνιών ) ηλαδή το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές.

2 ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Ευθύ : Έστω οι ίσες χορδές = ενός κύκλου κέντρου και Κ, τα αποστήµατά τους αντίστοιχα.θα έχουµε : ΘΕΜ ο ντίστροφο : Έστω τα ίσα αποστήµατα Κ=. Θα έχουµε : Κ = 1) Κ = = 90 i ) = ως ακτίνες 3) Κ = Εποµένως Κ = ή = δηλαδή = ) Να συµπληρώσετε τα κενά : Κ = 1) Κ = = 90 ) = ως ακτίνες 3) Κ= (ως µισά των ίσων χορδών) Εποµένως Κ= πό δύο διαφορετικά σηµεία διέρχεται µοναδική ευθεία. ύο ευθείες που έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο λέγονται τεµνόµενες ευθείες και το κοινό σηµείο τους λέγεται σηµείο τοµής των δύο ευθειών. ύο ευθείες που δεν έχουν κοινό σηµείο λέγονται παράλληλες. ύο ηµιευθείες Ax,Ay µε µόνο κοινό σηµείο την αρχή του A, όταν έχουν τον ίδιο φορέα λέγονται αντικείµενες ηµιευθείες. Έστω x o y µια ευθεία γωνία και Oδ η διχοτόµος της. Καθεµία από τις ίσες γωνίες x oδ και δo y που προκύπτουν λέγεται ορθή γωνία.

3 Η ευθεία ε που είναι κάθετη στο ευθύγραµµο τµήµα και διέρχεται από το µέσο του λέγεται µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα να ισαπέχει από τα άκρα του, και αντίστροφα, δηλαδή κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τµήµατος ανήκει στη µεσοκάθετό του. Κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας έχει την χαρακτηριστική ιδιότητα να ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα, δηλαδή κάθε εσωτερικό σηµείο µιας γωνίας που ισαπέχει από της πλευρές, είναι σηµείο της διχοτόµου της. ύο γωνίες λέγονται συµπληρωµατικές αν έχουν άθροισµα µία ορθή γωνία. ύο γωνίες που έχουν άθροισµα µία ευθεία γωνία λέγονται παραπληρωµατικές. Το ευθύγραµµο τµήµα που ορίζεται από τα άκρα, ενός τόξου λέγεται χορδή του τόξου. Το µοναδικό κάθετο τµήµα Κ που άγεται από το κέντρο προς τη χορδή λέγεται απόστηµα της χορδής και έχει την ιδιότητα να διχοτοµεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. Μία χορδή που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου λέγεται διάµετρος του κύκλου. ύο κάθετες διάµετροι διαιρούν τον κύκλο σε τέσσερα ίσα τόξα. Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. ) Να σχεδιαστούν δύο εφεξής και παραπληρωµατικές γωνίες και να δειχτεί ότι οι διχοτόµοι τους είναι κάθετες. ι γωνίες και είναι δύο εφεξής και παραπληρωµατικές γωνίες. Έστω και Ε οι διχοτόµοι των και αντίστοιχα. Ε Τότε + = 180 ή ή + Ε= 180 (+ Ε) = 180 δηλαδή + Ε= 90

4 ΘΕΜ 3 ο ) ίνεται ευθύγραµµο τµήµα και το µέσο του Μ 1) ν ένα σηµείο που βρίσκεται εκτός του να αποδείξετε ότι: Μ= ( + ).... Μ ) ν βρίσκεται µεταξύ των σηµείων Μ και να αποδείξετε ότι: Μ= ( ).... ) Στο παρακάτω σχήµα είναι : =, = και η γωνία είναι τριπλάσια της παραπληρωµατικής της γωνίας.να υπολογίσετε όλα τα τόξα του κύκλου που σχηµατίζονται.. Μ ναλύουµε τα και µε τη βοήθεια του Μ Επειδή =Μ+Μ και =Μ-Μ,θα έχουµε: + Μ + ΜO+ Μ Μ = = OM (Όµως Μ=Μ) = = OM ναλύουµε τα και µε τη βοήθεια του Μ Επειδή =Μ+Μ και =Μ-Μ,θα έχουµε: Μ + ΜO (ΜB ΜO) = = AM + Μ Μ + Μ = (όµως Μ = Μ OM = = OM Η = 0 είναι επίκεντρη γωνία που βαίνει στο τόξο άρα =.Η = 0 και επειδή = θα είναι και 0 παραπληρωµατική της είναι 180 και η είναι τριπλάσια αυτής, δηλαδή 3 = 180.

5 Όµως ή + = = = 30 = 0, εποµένως = και 110 ή = 30 = = 3 70 = 10 ή ) 1) ) = Ε ( Π Π) 1) = ισοσκελές ) = Ε υπόθεση ως παραπληρωµατικές 3) 1 = 1 των ίσων γωνιών = Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα, εποµένως = Ε Ε ισοσκελές Κ= Ε 1) Είναι ορθογώνια ( Κ= = 90 ) 0 ) = Ε ( 1 ερώτηµα ) 3) = Ε (αφού = Ε) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα οπότε Κ= Ε

6 ΘΕΜ 4 ο ) 1) Μ Κ i Το απόστηµα διχοτοµεί τη χορδή( συγκεκριµένα ο φορέας του αποστήµατος είναι µεσοκάθετος της χορδής ) εποµένως Κ = Κ και =. Θα έχουµε : = ή Κ = δηλαδή Κ = ή απλά θα είναι Κ = ως µισά ίσων τµηµάτων. ) Μ Κ= Μ 1) Είναι ορθογώνια ( Κ= = 90 ) ) Κ = Ως αποστήµατα των ίσων χορδών 3) Μ = Μ ( κοινή ) 3) Μ =Μ και Μ =Μ φού Μ Κ = Μ απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα.εποµένως ΜΚ = Μ. Θα έχουµε:μ = ΜΚ + Κ = Μ+ = Μ ή απλά Μ = Μ ως άθροισµα ίσων τµηµάτων. Όπως είδαµε ΜΚ = Μ ή Μ+ Κ = Μ+, όµως Κ= εποµένως Μ= Μ ή απλά ως διαφορά ίσων τµηµάτων

7 ) 1) A H = ΖΗ 1) Είναι ορθογώνια Η = 90 ο ) Η = ΗΖ (Υπόθεση) 3) Η = Η (κοινή) πότε επειδή απέναντι από ίσες πλευρές έχουµε ίσες γωνίες.άρα 1= ) Ε= 1) = ( µέσο ) ) Ε = (υπόθεση) 3) 1 3) = (κατακορυφήν) πό το ερώτηµα () έχουµε ότι τα τρίγωνα Ε και είναι ίσα οπότε είναι 1 = 1 πό το ερώτηµα (1) έχουµε ότι 1= πότε είναι 1 =. Άρα το τρίγωνο ισοσκελές.

Σχετικά έγγραφα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III