ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή"

Transcript

1 ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. Κάθε κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους και, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους. Στα επόμενα, όταν λέμε τετράπλευρο, θα εννοούμε κυρτό τετράπλευρο. Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνον πλευρές παράλληλες λέγεται τραπέζιο. Το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο Παραλληλόγραμμα. Να δοθεί ο ορισμός του παραλληλογράμμου. Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 58

2 3. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. (ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. (iii) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται. πόδειξη των i), ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα, Έχουμε: = = ω (εντός εναλλάξ). κοινή πλευρά. = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα τα τρίγωνα, είναι ίσα, οπότε = και =. πίσης έχουμε A = και = = φ + ω. πόδειξη της ιδιότητας iii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ο, Ο. Έχουμε: = = = ω (εντός εναλλάξ). A = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα, τα τρίγωνα Ο, Ο είναι ίσα, οπότε Ο = Ο και Ο = Ο. 4. Ποια πορίσματα προκύπτουν από τον ορισμό και τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου ; ΠΟΡΙΣΜ Ι Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. ια το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου ΠΟΡΙΣΜ ΙΙ Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δυο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 59

3 5. Τι καλείται απόσταση παραλλήλων ; Τι καλείται ύψος και τι βάσεις παραλληλογράμμου ; ν τα τμήματα είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. 6. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα δηλαδή πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ; Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: Οι απέναντι πλευρές ανά δυο είναι ίσες. (ii) υο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. (iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δυο είναι ίσες. (iv) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται πόδειξη Θεωρούμε τετράπλευρο. ια να αποδείξουμε τα κριτήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες. (i) Έστω = και =. ν φέρουμε τη διαγώνιο, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα και που είναι ίσα, γιατί =, = και κοινή πλευρά. Άρα = = ω και = = φ, οπότε // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (ii) Έστω // =. Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί =, = = ω και η είναι κοινή πλευρά. πομένως, όμοια με το (i), το είναι παραλληλόγραμμο. (iii) ν = = ω και = = φ η σχέση = 4 γράφεται ω + φ = 4 ή φ + ω =. πομένως, έχουμε ότι + =, οπότε // και + =, οπότε //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (iv) Έστω Ο = Ο και Ο = Ο. Τα τρίγωνα Ο και Ο, καθώς και τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα. πομένως, όμοια με το (i), θα είναι // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 60

4 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραμμα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 3 Ν 3 ω 3 ω Η Κ Μ Π 5 3,5 3,5 Λ 3 Ν Ρ φ 6 90 ο +θ 90 ο -θ Ρ 6 Π 4 φ ω ω Κ Λ Π 6 πάντηση ίναι το Π διότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται εν είναι το Π διότι οι διαγώνιοι δεν διχοτομούνται εν είναι το Π 3 διότι οι απέναντι πλευρές του δεν είναι ίσες ίναι το Π 4 διότι οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες αφού ˆ + ˆ =80 ο εν είναι το Π 5 διότι δεν ξέρουμε αν οι απέναντι πλευρές του Η και Ν είναι παράλληλες ή αν η είναι ίση με την ΗΝ ίναι το Π 6 διότι οι απέναντι πλευρές του Λ και Ρ είναι ίσες και παράλληλες αφού 90 ο + ˆ +90 ο ˆ =80 ο. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο; πάντηση ποδεικνύουμε ένα από τα παρακάτω i) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι παράλληλες ii) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες iν) ύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες ν) Οι διαγώνιες διχοτομούνται ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

5 3.Να υπολογίσετε τις γωνίες του παρακάτω παραλληλογράμμου. πάντηση φ ω φ ω 75 ο ˆ ˆ 05 Άρα ˆ ˆ =05 ο Και ˆ 75 οπότε ˆ ˆ =75 ο 4.Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του παρακάτω παραλληλογράμμου Η πάντηση ω ίναι ˆ + ˆ = 80 ο και ˆ = ˆ άρα Η ω φ 3 ˆ =80 ο ˆ = 60 ο οπότε ˆ = 0 ο 4.Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν i) ύο απέναντι γωνίες είναι ίσες ii) Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές Χ iii) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες v) ύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες σημειώστε Χ σε κάθε σωστή απάντηση ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

6 σκήσεις μπέδωσης.ίνεται παραλληλόγραμμο. Η διχοτόμος της ˆ τέμνει τη στο. Να αποδείξετε ότι =. E E O Z διχοτόμος ˆ = ˆ ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = λλά, από το παρ/μμο έχουμε = Άρα =..Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου. ν και σημεία των Ο και Ο αντίστοιχα, ώστε Ο = Ο, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο. 3.Έστω και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, παραλληλογράμμου. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ii) οι,, συντρέχουν. i) παραλληλόγραμμο = = O παραλληλόγραμμο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ii) παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του, διχοτομούνται σε σημείο Ο. παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του, διχοτομούνται στο Ο, το οποίο ήδη είναι μέσο της. Άρα οι,, συντρέχουν και μάλιστα στο κοινό μέσο τους. 4.ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την στο, να αποδείξετε ότι = παρ/μμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες 63

7 Άρα = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι =, δηλαδή ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆ = ˆ. διχοτόμος ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 64

8 Μ ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο Μ της βάσης του. Φέρουμε Μ// ( σημείο του ) και Μ// ( σημείο του ). Να αποδείξετε ότι Μ + Μ = Μ παρ/μμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Άρα Μ = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι Μ = δηλαδή ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆ = ˆ. Μ = ˆ ˆ Μˆ ˆ ˆ = ˆ..ίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο της. Φέρουμε // ( σημείο του ). Να αποδείξετε ότι // παραλληλόγραμμο ˆ + ˆ =80 ο Άρα μία οξεία και μία αμβλεία. Έστω ˆ οξεία. Τότε και η ˆ οξεία. Ομοίως και η ˆ. τρ. = τρ. διότι ˆ = ˆ, οξείες με πλευρές παράλληλες ˆ = ˆ, εντός εναλλάξ, και =, από το παραλληλόγραμμο Έτσι είναι =. Και επειδή είναι και παράλληλα, το θα είναι παραλληλόγραμμο, οπότε. 3. ίνεται παραλληλόγραμμο. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα = και τη κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. ράφουμε τα τμήματα, και παρ/μμο = = παρ/μμο // () παρ/μμο = // = // ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 65

9 παρ/μμο // () πό τις (), () ευθεία παράλληλη στην. 4. ίνεται τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των διαμέσων και παίρνουμε σημεία Η και αντίστοιχα τέτοια, ώστε Η = και =. Να αποδείξετε ότι i) AH = AZ ii) τα σημεία, και Η είναι συνευθειακά. πό τις () και () Έχουμε διχοτόμηση των τμημάτων Η και Η άρα Η παρ/μμο Άρα Η = // () Έχουμε διχοτόμηση των τμημάτων και άρα παρ/μμο Άρα = // () i) AH = AZ και ii) τα σημεία, και Η ανήκουν σε ευθεία // 5. πό σημείο να φέρετε τέμνουσα δύο παράλληλων ευθειών με τρόπο, ώστε το μεταξύ των παραλλήλων τμήμα της να είναι ίσο με δοσμένο τμήμα λ. ε Κ Έστω ε, η οι δοσμένες παράλληλες ευθείες ράφουμε στις ε και η. Με κέντρο και ακτίνα λ γράφουμε κύκλο, που τέμνει την ευθεία η σε σημείο. ράφουμε το τμήμα και από το ευθεία λ παράλληλη στο, η οποία τέμνει την ε Μ στο Κ και την η στο Μ. η Η ΚΜ είναι η ζητούμενη Πράγματι, είναι ΚΜ = = λ σαν παράλληλα ευθ. τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθείων. ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει να είναι λ, ώστε ο κύκλος (, λ) να έχει κοινό σημείο με την ευθεία η. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 66

10 Κ Ο Η 3 4 Σύνθετα Θέματα.ίνεται παραλληλόγραμμο και τα σημεία,, Η και Κ των πλευρών του,, και αντίστοιχα, ώστε = Η και = Κ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΗΚ είναι παραλληλόγραμμο ii) οι,, Η και Κ συντρέχουν. Έστω Ο το κέντρο του παρ/μμου = Η Η παρ/μμο οι, Η διχοτομούνται στο Ο. = Κ Κ παρ/μμο οι, Κ διχοτομούνται στο Ο. i) φού οι Η, Κ διχοτομούνται (στο Ο), το ΗΚ θα είναι παρ/μμο ii) Ταυτόχρονα αποδείχθηκε ότι οι,, Η και Κ συντρέχουν στο Ο.. Προεκτείνουμε την πλευρά παραλληλογράμμου κατά τμήμα = και επί της ημιευθείας θεωρούμε σημείο, ώστε =. Να αποδείξετε ότι Z ˆ = 90 ο. τρ, ισοσκελές ˆ = ˆ ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ διχοτόμος της ˆ Ομοίως ˆ = ˆ 3 4 Άρα σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. 3. ίνεται παραλληλόγραμμο. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα = και την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. Φέρουμε τα τμήματα και. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ + ˆ = 80 ο ίναι ˆ = ˆ + ˆ σαν εξωτερική του τρ. αλλά τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ Z Άρα ˆ = ˆ ˆ = ˆ () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 67

11 Ομοίως ˆ = ˆ () Παραλληλόγραμμο ˆ = ˆ, ˆ ˆ και ˆ + ˆ = 80 ο. (3) (), (), (3) ˆ + ˆ + ˆ = ˆ ˆ + ˆ + = ˆ + ˆ = 80 ο. 4. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο της. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη. πό το φέρουμε παράλληλη στην, η οποία τέμνει τη στο ˆ = ˆ ˆ. Άρα τρ. ισοσκελές με = =. ίναι, λοιπόν = άρα το τετράπλευρο B είναι παρ/μμο, άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. 5. Ένας ποταμός, του οποίου οι όχθες είναι ευθύγραμμες, διέρχεται μεταξύ δύο χωριών που απέχουν άνισες αποστάσεις από τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κατασκευασθεί μια γέφυρα κάθετη προς τον ποταμό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες εισόδους της γέφυρας. ς είναι, οι θέσεις των δύο χωριών αντίστοιχα, ε, η οι όχθες του ποταμού και α το πλάτος του. νάλυση. Έστω ΚΛ η θέση της γέφυρας. Τότε Κ = Λ και ΚΛ = α Κ Λ ε η Θεωρούμε τμήμα = ΛΚ. Τότε ΚΛ παρ/μμο Κ = Λ άρα και Κ = Κ Έτσι το Κ θα ισαπέχει από τα άκρα του υθ. τμήματος, άρα το Κ θα ανήκει στη μεσοκάθετο του. Σύνθεση. Φέρουμε τμήμα = α κάθετο στις όχθες και πλησιάζοντας αυτές. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του τμήματος, η οποία τέμνει την όχθη ε σε σημείο Κ. Τέλος φέρουμε ΚΛ ε, που θα είναι και η θέση της γέφυρας. ιερεύνηση. ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει η μεσοκάθετος του να τέμνει την ε, δηλαδή να μην είναι παράλληλη στην ε, που σημαίνει όχι κάθετο στην ε, άρα και όχι κάθετο στην ε. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 68

12 Στην περίπτωση που, διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις ε η Κ Λ i) όταν η απόσταση του από την ε ισούται με την απόσταση του από την η, τότε η θέση της γέφυρας ΚΛ είναι οποιαδήποτε, αφού ισχύει Κ = Λ λόγω συμμετρίας ως προς τη μεσοπαράλληλη των ε, η. ε η Κ Λ ii) όταν, τότε το πρόβλημα είναι αδύνατο, διότι: ν ΚΛ ήταν θέση της γέφυρας, θα είχαμε Κ = Λ και Κ = Λ, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα Κ, Λ θα ήταν ίσα, άρα θα ήταν =, το οποίο είναι άτοπο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 69

13 ίδη παραλληλογράμμων. Ποια είναι τα είδη των παραλληλογράμμων ; ιακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμμων: το ορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο. Ορθογώνιο. Πως ορίζεται το ορθογώνιο και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η ιδιότητα του ορθογωνίου. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. πόδειξη Έστω ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι και είναι ίσες.τα τρίγωνα και είναι ίσα (A = = 90, κοινή, = ), οπότε = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 70

14 4. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο. Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) ίναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναιίσες. (iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. (iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. πόδειξη (i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του παραλληλογράμμου. (ii) Έστω παραλληλόγραμμο με =. Τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, =, κοινή), οπότε A =. λλά A + =, οπότε A = =. πομένως, το είναι ορθογώνιο. (iii) ν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 4. (iv) ν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές. Ρόμβος 5. Πως ορίζεται ο ρόμβος και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. 6. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του ρόμβου. Ιδιότητες του ρόμβου (i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. (ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. πόδειξη Έστω ρόμβος. πειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διάμεσος του Ο είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας A. πομένως και η διχοτομεί την A. Όμοια η διχοτομεί τη και η τις και. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

15 7. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος. Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και δυο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (iii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. (iv) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. πόδειξη (i) και (ii) Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου. (iii) Έστω παραλληλόγραμμο με. Στο τρίγωνο η Ο είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. πίσης, η Ο είναι και ύψος, επειδή. Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε =. πομένως το είναι ρόμβος. (iv) Έστω παραλληλόγραμμο και διχοτόμος τηςa. Τότε πάλι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (αφού Ο διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το είναι ρόμβος. 8. Πως ορίζεται το τετράγωνο ; Τετράγωνο Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 9. Να διατυπωθούν οι ιδιότητες του τετραγώνου ; πό τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. πομένως, σε κάθε τετράγωνο: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. (ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. (iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

16 0. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο. ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (ii) Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. (iii) Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (v) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του. (vi) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 73

17 ρωτήσεις Κατανόησης.Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι i) Ορθογώνια, ii) ρόμβοι, iii) τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; i) 3 3 (α) (β) 5 3 (γ) (δ) (ε) ii) 3 3 (ζ) φ φ 3 φ φ 3 3 (η) iii) (θ) 4 4 (ι) (κ) i) ίναι το (α) διότι οι διαγώνιες του διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο, είναι και ίσες οπότε είναι ορθογώνιο. ίναι το (β) διότι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, άρα είναι παραλληλόγραμμο, έχει και μία γωνία ορθή, άρα είναι ορθογώνιο εν είναι το (γ). εν ξέρουμε αν είναι παραλληλόγραμμο. ίναι το (δ) διότι τρείς γωνίες του είναι ορθές ii) Ρόμβος είναι μόνο το (ζ), διότι είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιες του διχοτομούνται και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Τα άλλα τετράπλευρα δεν είναι παραλληλόγραμμα iii) Τετράγωνο είναι μόνο το (ι), αφού οι διαγώνιες του διχοτομούνται, είναι ίσες και τέμνονται κάθετα Το (θ) δεν ξέρουμε αν είναι παραλληλόγραμμο. Το (κ) ενώ είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγώνιες δεν ξέρουμε αν αυτές είναι και ίσες.. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος πάντηση i) Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) ίναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή β) ίναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες γ) Έχει τρεις γωνίες ορθές δ) Όλες του οι γωνίες είναι ίσες ii) Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες β) ίναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες γ) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιες του είναι κάθετες δ) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 74

18 3.Σε τι είδους τρίγωνα χωρίζονται τα παρακάτω σχήματα τους ; i) Ορθογώνιο, ii) Ρόμβος, iii) Τετράγωνο πάντηση i) Σε 4 ισοσκελή ανά δύο ίσα ii) Σε 4 ορθογώνια ίσα μεταξύ τους iii) Σε τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή ίσα μεταξύ τους από τις διαγώνιες. Να αναφέρετε δύο ομοιότητες και δύο διαφορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγώνιες μεταξύ των ζευγών των σχημάτων i) Τετράγωνο ρόμβος ii) Τετράγωνο ορθογώνιο iii) Ορθογώνιο Ρόμβος πάντηση i) Ομοιότητες: Ίσες πλευρές, κάθετες διαγώνιες ιαφορές: Στο τετράγωνο οι γωνίες είναι ορθές, ενώ στον ρόμβο δεν είναι Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι ίσες ενώ στον ρόμβο όχι ii) Ομοιότητες: Ορθές γωνίες, διαγώνιες διχοτομούνται ιαφορές : Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του, ενώ στο ορθογώνιο δεν συμβαίνει αυτό iii) Ομοιότητες: Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες διχοτομούνται ιαφορές: Στο ρόμβο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες του είναι κάθετες, ενώ στο ορθογώνιο δεν συμβαίνει τίποτα από τα δύο. 3. Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι ίσες. x ii) Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες iii) Ένας ρόμβος με μία ορθή γωνία είναι τετράγωνο x iv) Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. x ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 75

19 σκήσεις μπέδωσης.σε παραλληλόγραμμο φέρουμε και. Να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Z Άρα το τετράπλευρο έχει τέσσερις ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.. ίνεται παραλληλόγραμμο με κέντρο Ο και =. ν, είναι τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Το Ο είναι μέσο των, και = = O Έτσι, οι διαγώνιοι και του διχοτομούνται και είναι ίσες, άρα είναι ορθογώνιο. 3. Να αποδείξετε ότι, αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δε συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο. Έστω και οι διχοτόμοι των Â, ˆ ίναι Λ Κ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 Μ ˆ ˆ Ν A Άρα, στο τρίγωνο Κ, έχουμε ˆ = 90 ο Ομοίως ˆ ˆ ˆ Άρα ΚΛΜΝ ορθογώνιο. 4. Να αποδείξετε ότι, ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. Έστω το παρ/μμο και Κ, Λ οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. υθύ: Όταν Κ = Λ Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ίσα, διότι Κ είναι ορθογώνια και έχουν Κ = Λ και ˆ ˆ. Άρα =, οπότε το παρ/μμο είναι ρόμβος. ντίστροφο: Όταν ρόμβος. Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ίσα, διότι Λ είναι ορθογώνια και έχουν = και ˆ ˆ. Άρα Κ = Λ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 76

20 5.ίνεται ρόμβος με κέντρο Ο. Παίρνουμε δύο σημεία και της, ώστε Ο = Ο = Ο = Ο. Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. Στο οι διαγώνιοί του: διχοτομούνται, άρα είναι παρ/μμο και είναι κάθετες, άρα είναι ρόμβος O και είναι ίσες, άρα και ορθογώνιο. Άρα τετράγωνο. Ν 6.ίνεται τετράγωνο. Στις πλευρές,, και παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ και Ν αντίστοιχα, ώστε Κ = Λ = Μ = Ν. Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Τα τρίγωνα ΚΝ, ΛΚ είναι ορθογώνια και έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες. K 3 Μ Λ Άρα είναι ίσα. ˆK = ˆ και ΚΝ = ΚΛ Όμως, από το ορθ. τρίγωνο ΚΛ έχουμε ˆ + ˆ = 90 ο 3 Άρα ˆK + ˆ = 90 ο. 3 Τότε ˆK = 90 ο Ομοίως για τις άλλες γωνίες και τις πλευρές του τετραπλεύρου ΚΛΜΝ. Έχει, λοιπόν, ορθές γωνίες και ίσες πλευρές, άρα είναι τετράγωνο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 77

21 Μ Κ Η ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του και Μ το μέσο της. πό το φέρουμε παράλληλη προς τη, που τέμνει την στο. ν η Μ τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι το είναι ρόμβος. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Μ και Μ ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ ˆ ˆ κατά κορυφή Μ = Μ Άρα είναι ίσα =, αλλά και. Άρα το είναι παρ/μμο. Η Μ είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου, άρα είναι ισοσκελές με =. Έτσι, το παρ/μμο γίνεται ρόμβος..στις πλευρές και τετραγώνου παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα, ώστε =. Να αποδείξετε ότι i) = ii) AZ i) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κάθετες πλευρές ίσες, άρα είναι ίσα = και ˆ = ˆ ii) λλά ˆ + ˆ = 90 ο Άρα ˆ + ˆ = 90 Ο Τότε, στο τρ.κ έχουμε ˆ = 90 ο, δηλ. AZ 3.Σε ορθογώνιο, και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. ν Η είναι το σημείο τομής των και και Θ το σημείο τομής των και, να αποδείξετε ότι το ΘΗ είναι ρόμβος. Φέρουμε την. ορθογώνιο Η = Η () =// παρ/μμο Η //Θ () Θ =// παρ/μμο Η //Θ (3) () και (3) ΘΗ παρ/μμο. Και λόγω της () ρόμβος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 78

22 4.Να αποδείξετε ότι, αν δύο κάθετα τμήματα έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές τετραγώνου, τότε είναι ίσα. Έστω ΚΛ και ΝΜ τα κάθετα τμήματα. Ν Κ Κ Λ Μ Ν Φέρουμε ΚΚ και ΝΝ Τότε ΚΚ = ΝΝ = πλευρά του τετραγώνου Τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚ Λ, ΝΝ Μ είναι ίσα, διότι έχουν ΚΚ =ΝΝ και Kˆ Nˆ (οξείες με πλευρές κάθετες). Άρα ΚΛ = ΝΜ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 79

23 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3 Σύνθετα Θέματα.ίνεται παραλληλόγραμμο με ˆB = 45 ο. πό το μέσο Μ της φέρουμε κάθετο πάνω στη και έστω και τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τις και αντίστοιχα (ή τις προεκτάσεις τους). Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ, Μ είναι ίσα διότι Μ ˆ = ˆ = ˆB = 45 ο (εντός εναλλάξ) και Μ = Μ Άρα Μ = Μ Έτσι, οι, διχοτομούνται, είναι και κάθετες άρα το είναι ρόμβος ρκεί να αποδείξουμε ότι έχει και ίσες διαγώνιες. Το ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχει ˆ = 45 ο, άρα είναι και ισοσκελές με Μ = Μ άρα και =..Σε ορθογώνιο φέρουμε. ν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι =. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ + ˆ 3 i) Μ το τυχαίο σημείο της βάσης MK, ΜΛ οι αποστάσεις από τις, ύψος Θα αποδείξουμε ότι ΜΚ + ΜΛ = Φέρουμε ΜΝ Ν Λ Κ ΜΝΛ ορθογώνιο (τρεις γωνίες ορθές) ΜΛ = Ν M 80 ˆ και επειδή ˆ = ˆ ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ + ˆ 3 ˆ είναι εξωτερική του τριγώνου, άρα ˆ = ˆ + ˆ. Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ = ˆ + ˆ, δηλαδή ότι ˆ = ˆ, το όποίο 3 3 ισχύει αφού είναι οξείες με πλευρές κάθετες. 3.Να αποδείξετε ότι : i) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με ένα από τα ύψη του). ii) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του, είναι σταθερό (και ίσο με το ύψος του).

24 ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι ΜΚ = Ν. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΝΜ, ΚΜ. ίναι ορθογώνια με κοινή την υποτείνουσα Μ και NM ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) = ˆ. ίναι, λοιπόν, ίσα, άρα ΜΚ = Ν. ii) Μ το τυχαίο εσωτερικό σημείο MK, ΜΛ, ΜΡ οι αποστάσεις από τις πλευρές Λ Μ Κ Φέρουμε το ύψος και ΜΗ Τότε τρ. ισόπλευρο και ΜΡ = Η () Η φαρμόζουμε το i) στο τρ., οπότε Ρ ΜΚ + ΜΛ = Η () (το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ίσα ύψη) () + () ΜΚ + ΜΛ + ΜΡ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

25 φαρμογές παραλληλογράμμων φαρμογές στα τρίγωνα. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ένωση των μέσων δύο πλευρών ενός τριγώνου Θεώρημα : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τα μέσα, των, αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι // = B/. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα EZ =. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα = //, οπότε = //, αφού =. Έτσι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε: (i) // άρα // και (ii) // ή = ή = /.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ευθεία που φέρεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου παράλληλης προς μία πλευρά της. Θεώρημα : ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και ας φέρουμε από το μέσο της την παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Θα αποδείξουμε ότι το είναι το μέσο της. Έστω ότι το δεν είναι μέσο της. ν Z είναι το μέσο της, το τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών και, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα //. Έτσι, όμως, έχουμε από το δύο παράλληλες προς τη, που είναι άτοπο. Άρα το είναι μέσο της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

26 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που αναφέρεται στις τρεις παράλληλες ευθείες που ορίζουν ίσα τμήματα σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει ; Θεώρημα : ν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. πόδειξη Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε, ε, ε 3 οι οποίες τέμνουν την δ στα σημεία,, και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, (σχ.). ν μια άλλη ευθεία δ τέμνει τις ε, ε, ε 3 στα σημεία,, αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι =. Φέρουμε Κ //. Τότε τα τετράπλευρα Η και ΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε Η = () και ΗΚ = (). Στο τρίγωνο Κ το είναι το μέσο της και Η // Κ. Άρα το Η είναι μέσο της Κ, δηλαδή Η = ΗΚ (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι =. 4. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η πρόταση ορισμός της μεσοπαραλλήλου Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δυο παράλληλες ευθείες ε και ε είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δυο παράλληλες. Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε και ε. πόδειξη Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε και ε και ένα τμήμα = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις ε και ε. ν από το μέσο Κ της φέρουμε την ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, παρατηρούμε ότι κάθε σημείο Μ της ε ισαπέχει από τις ε και ε, αφού Μ = Μ = υ/. ντίστροφα, αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τις ε και ε, το Μ τότε είναι σημείο μεταξύ των παραλλήλων και ισχύει Μ + Μ = = υ, οπότε Μ = Μ = υ/. Έτσι τα τετράπλευρα ΜΚ και ΜΚ είναι παραλληλόγραμμα (Μ// = Κ, Μ // = Κ), οπότε ΜΚ // ε, ε. πομένως, το Μ ανήκει στην ευθεία ε. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 83

27 5. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου πόδειξη Θεωρούμε τετράπλευρο και τα μέσα,, Η, Θ των,,, αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το ΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρουμε τη διαγώνιο. Παρατηρούμε ότι τα και Θ είναι τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, οπότε Θ =// / () Όμοια από το τρίγωνο προκύπτει ότι Η =// / () πό τις () και () έχουμε ότι Θ = // Η, οπότε το ΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. ΣΗΜΙΩΣΗ : νάλογο συμπέρασμα ισχύει και σε μη κυρτό τετράπλευρο. 6. Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Φέρουμε μια ημιευθεία x και παίρνουμε σε αυτή τα ίσα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα,,. Φέρουμε τη και από τα, και παράλληλες προς αυτή, οι οποίες τέμνουν την στα σημεία και Η. Τότε σύμφωνα με θεώρημα, θα είναι Η = Η =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 84

28 αρύκεντρο τριγώνου 7. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα βαρυκέντρου ενός τριγώνου ; Θεώρημα Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα /3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. πόδειξη Έστω τρίγωνο. Φέρουμε τις δύο διαμέσους και. i) Στην ημιευθεία Θ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = Θ. Παρατηρούμε ότι τα σημεία και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου Κ, οπότε EΘ =// Κ/ (). Όμοια από το τρίγωνο Κ έχουμε Θ =// Κ/ (). πό τις () και () προκύπτει ότι //Κ και // Κ, δηλαδή το ΘΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, οπότε =. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. ii) πό το παραλληλόγραμμο ΘΚ έχουμε ακόμη Θ = Κ = ΘΚ, άρα Θ = Θ ή Θ = Θ. πό τις () και (3) προκύπτει ότι Θ = Κ = Θ ή Θ = Θ. Όμοια από τις () και (3) έχουμε Θ = Θ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. πίσης έχουμε ότι = Θ + Θ = Θ + Θ = 3Θ. Άρα Θ = /3, οπότε Θ = /3. Όμοια προκύπτει ότι Θ = /3 και Θ = /3. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Στην παραπάνω πρόταση θεωρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων και και αποδείξαμε ότι η Θ αν προεκταθεί είναι η τρίτη διάμεσος. υτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να αποδεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σημείο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 85

29 Το ορθόκεντρο τριγώνου 8. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν το λήμμα και το θεώρημα που αφορούν το ορθόκεντρο ενός τριγώνου ; Λήμμα : Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. πόδειξη πό τις κορυφές,, τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ. Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων Κ, Λ και Μ έχουμε: Κ = = Λ, Λ = = Μ και Κ = = Μ. πομένως τα σημεία,, είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ. Θεώρημα Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. πόδειξη Έστω τρίγωνο και τα ύψη του, και. πό τις κορυφές του,, φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία,, είναι τα μέσα των πλευρών του. πίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες, και είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις, και ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. ηλαδή οι ευθείες, και είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 86

30 9. Τι καλείται ορθοκεντρική τετράδα και τι πόρισμα ισχύει για αυτήν ; ΠΟΡΙΣΜ: Οι κορυφές,,, τριγώνου και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. Πράγματι οι κορυφές π.χ., και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ορίζουν το τρίγωνο Η. Τα ύψη Η, και του τριγώνου Η τέμνονται στο, οπότε το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου Η. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 0. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα θεωρήματα που αφορούν στην διάμεσο ενός ορθογωνίου τριγώνου. Θεώρημα : Η διάμεσος οθρογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. πόδειξη Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) και τη διάμεσό του Μ. Θα αποδείξουμε ότι Μ = /. Φέρουμε τη διάμεσο Μ του τριγώνου Μ. Το Μ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, οπότε Μ //. λλά, επομένως και Μ. Άρα, το Μ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο Μ, οπότε Μ = Μ, δηλαδή Μ = /. και αντίστροφα Θεώρημα : ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 87

31 πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τη διάμεσό του Μ. ν Μ = / θα αποδείξουμε ότι η γωνία είναι ορθή. πειδή έχουμε Μ = Μ, οπότε = () και Μ = Μ, οπότε = (). πό τις () και () προκύπτει ότι + = +, δηλαδή = +. λλά + + =, οπότε = ή =. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το πόρισμα για το ορθογώνιο τρίγωνο των 30 ο 60 ο ΠΟΡΙΣΜ ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. πόδειξη Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30. Θα αποδείξουμε ότι = /. πειδή = 30, είναι = = 60. Φέρουμε τη διάμεσο Μ και είναι Έτσι = = 60, οπότε το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο. πομένως = Μ = /. ντίστροφο, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι = /, θα αποδείξουμε ότι = 30. πόδειξη Φέρουμε τη διάμεσο Μ, οπότε Μ = = Μ = (αφού = ). Άρα το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο, οπότε = 60. πομένως = = 30. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 88

32 ρωτήσεις Κατανόησης.Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα x και ψ (α) (β) A x 3 x,5 (γ) 3 3 ψ x+ 3,5 x 3,5 ε 4 δ δ ε ε ε 3 ε ε B ε 3 ε 4 (δ) ψ ψ Μ x 60 o 4 (ε) B 5 6 Μ x ψ A (ζ) ψ Μ x Θ πάντηση Στο σχήμα (α) : x x x = x + x = Στο σχήμα (β) : x =,5 και,5 ψ = 5 Στο σχήμα (γ): x = 3,5 και ψ =3 Στο σχήμα (δ): x = Μ = = 4 και ψ = Στο σχήμα (ε): x = =3 και ψ =,5 Στο σχήμα (ζ): x = 0 και ψ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 89

33 .Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω (α) (β) φ 4 3 Μ ω 3 ω Μ (γ) φ πάντηση Στο σχήμα (α) : φού = 90 ο και = = 4 θα είναι ˆ 30 ο άρα ˆ = 60 ο Στο σχήμα (β) : φού = 90 ο και Μ = ω 5 5 = 3 =, θα είναι ˆ =30 ο Στο σχήμα (γ) : ίναι = 90 ο άρα ˆ + ˆ =90 ο ˆ = 30 ο και επειδή Μ = Μ, θα είναι ˆ = ˆ =30 ο Στο σχήμα (δ) : Η σχεδιασμένη διάμεσος είναι ίση με το μισό της πλευράς προς την οποία αντιστοιχεί, άρα ˆ = 90 ο, οπότε ˆ = 90 ο 3.Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο να ταυτίζονται ; πάντηση Ναι. ίναι το ισόπλευρο αφού τα ύψη του ταυτίζονται με τις διαμέσους του. ω 5 4.Στο παρακάτω σχήμα να δικαιολογήσετε την ισότητα Μ = Μ πάντηση φού ˆ = 90 ο και Μ διάμεσος στην υποτείνουσα, θα είναι Μ =. μέσο του και μέσο του άρα =, οπότε Μ = = 5.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται από το ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση ν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας, τότε ισχύει Μ = = Μ = Μ. Οπότε ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται και από το. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 90

34 σκήσεις μπέδωσης.ν και είναι τα μέσα των πλευρών και τριγώνου και τυχαίο σημείο της, να αποδείξετε ότι η διχοτομεί την., μέσα των, // Στο τρίγωνο η θα τμήσει την στο μέσο της..ίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του. ν, και Η είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Η είναι παραλληλόγραμμο. Στο τρίγωνο, επειδή τα, είναι μέσα πλευρών = // AB () Η Ομοίως στο τρίγωνο είναι Η = // AB () () και () = //Η άρα Η παραλληλόγραμμο. 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και. ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι Μ = Μ. Μ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου, άρα Μ = B () Ομοίως στο τρίγωνο, Μ = B () M () και () Μ = Μ 4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆB = 30 ο. ν, είναι τα μέσα των και, να αποδείξετε ότι = Â = 90 ο και ˆB = 30 ο E, μέσα = B = B Άρα = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

35 5.ν σε τρίγωνο είναι, να αποδείξετε ότι. Έστω =, = ίναι Θ = 3 και Θ = 3 και Θ το κέντρο βάρους. άρα Θ = Θ () Θ Θ = και Θ = άρα Θ = Θ () 3 3 ˆ ˆ (3) (), (), (3) τρ.θ = τρ.θ = = 6.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ). Προεκτείνουμε τη κατά τυχαίο τμήμα. πό το φέρουμε Η, η οποία τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι. Τα, είναι ύψη του τριγώνου, άρα το είναι ορθόκεντρό του. Άρα η ευθεία είναι ο φορέας του τρίτου ύψους, δηλαδή. 7.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆ = 30 ο και, τα μέσα των και αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =.. Να αποδείξετε ότι το είναι ρόμβος. = // = // Άρα το είναι παρ/μμο () ˆ = 30 ο στο ορθογώνιο τρίγωνο θα έχουμε = () = πό τις () και () το είναι ρόμβος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

36 Μ ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) και το ύψος του. i) ν, είναι τα μέσα των και, να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ = 90 ο. ii) ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι Μ =. 4 i) διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου = () διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου = () Μ () και () τρ. = τρ. ( κοινή) Άρα ˆ = ˆ = 90 ο ii) Μ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου Μ = λλά = αφού ενώνει τα μέσα και στο τρίγωνο Άρα Μ = 4. ίνεται παραλληλόγραμμο και τα μέσα και των και αντίστοιχα. ν η τέμνει τη διαγώνιο στο Η, να αποδείξετε ότι Η =. 4 Φέρουμε και τη διαγώνιο. Στο τρίγωνο θα έχουμε, Ο άρα και Η Ο, Η και αφού μέσο, στο τρίγωνο Ο θα έχουμε και το Η μέσο του Ο Η = = = 4 3.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆ ˆ φέρουμε τη διάμεσό του Μ και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι ˆ. ˆ ˆ ˆ = ˆ - ˆ () Μ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Μ = άρα = Μ δηλαδή Μ τρίγωνο ισοσκελές, ˆ = ˆ () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 93

37 ˆ = ˆ (3) (οξείες με κάθετες πλευρές) () (),(3) ˆ ˆ ˆ. 4. ν, είναι τα μέσα των πλευρών, παραλληλογράμμου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο. =// παρ/μμο E Λ // Κ Κ Στο τρίγωνο Κ, μέσο και Λ//Κ Λ μέσο της Κ Λ Ομοίως Κ μέσο της Λ 5.ν, είναι τα μέσα των πλευρών, παραλληλογράμμου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο. Λ Ο Κ Έστω Ο το κέντρο του παρ/μμου. BΟ και A είναι διάμεσοι του τρ.b, άρα το σημείο τομής τους Κ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου ΚΟ = Κ = 3 Ο () Ομοίως ΛΟ = Λ = Ο () 3 () + () ΚΟ + ΛΟ = 3 (Ο +Ο) ΚΛ = 3 (3) Κ κέντρο βάρους Κ = 3 Ο = 3 Ομοίως Λ = 3 (5) = 3 (4) (3), (4), (5) Κ = ΚΛ = Λ 6.Σε τρίγωνο, είναι το μέσο της διαμέσου Μ. ν η τέμνει την πλευρά στο, να αποδείξετε ότι = E. Φέρουμε ΜΛ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = Λ = Λ Μ Λ Στο τρίγωνο ΜΛ, μέσο και ΜΛ = Λ Στο τρίγωνο, Μ μέσο και ΜΛ Λ = Λ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 94

38 7.Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. ν η τέμνει την στο Η και τη στο, να αποδείξετε ότι i) BZ = Z, ii) Η = Ο Η ii) Oι και Ο είναι διάμεσοι του τρ., άρα το Η είναι το κέντρο βάρους του Η = 3 Ο = 3 = 3 δ () και ΗΟ = 3 Ο = 6 = δ (όπου δ = ) 6 4 Η = Ο + ΟΗ = + = = 6 6 πό τις () και () Η = 3 δ () Φέρουμε τις, Ο το κέντρο του παρ/μμου i) = // παρ/μμο. άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται στο, δηλαδή BZ = Z. 8.Σε ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ = 30 ο η κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξουμε ότι i) Μ =, ii) M =. 3 i) Στο τρίγωνο, ˆ = 30 ο = = Μ Μ Φέρουμε τη. τρ.μ = τρ. διότι είναι ορθογώνια με κοινή και Μ = Οπότε Μ = ii) Στο τρίγωνο Μ, ˆ = 30 ο Μ = (i) =. Άρα = 3 (i) Μ = 3 9.ίνεται ορθογώνιο και, τα μέσα των και αντίστοιχα. ν Η, Κ οι προβολές των κορυφών και στη διαγώνιο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Η Κ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 95

39 Σ K Η Έστω Σ η τομή των Η, Κ. πό το τρίγωνο ΣΚΗ, αρκεί να δειχθεί ότι Ĥ + ˆK = 90 ο Η διάμεσος του ορθ. τριγώνου Η Η = AB = Ĥ = ˆB () Κ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Κ Κ = B = ˆK = ˆK = ˆB () () + () Ĥ + ˆK = ˆB + ˆB = 90 ο. 0. Τρία χωριά, που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανήκουν στον ίδιο δήμο. Ο δήμος αποφασίζει να κατασκευάσει δρόμο (ευθεία), ο οποίος να ισαπέχει από τα τρία χωριά. Πώς θα γίνει η χάραξη του δρόμου; Πόσοι τέτοιοι δρόμοι υπάρχουν; ς είναι,, οι θέσεις των τριών χωριών. Λ νάλυση δ Κ Έστω δ ο ζητούμενος δρόμος και Κ, Λ τα σημεία τομής του με τις,. Τότε οι αποστάσεις,, των τριών χωριών από το δρόμο θα είναι ίσες. Θα είναι τρ. Κ = τρ. Κ (ορθογώνια με = και κατά κορυφή γωνίες στο Κ). Τότε Κ = Κ δηλαδή το Κ θα είναι μέσο του τμήματος. Ομοίως το Λ θα είναι μέσο του τμήματος. Ο δρόμος, λοιπόν θα είναι η ευθεία που ορίζεται από τα μέσα των και, ή από τα μέσα των και, ή από τα μέσα των και. Έτσι, θα υπάρχουν τρεις τέτοιοι δρόμοι. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 96

40 Σύνθετα Θέματα.Σε τρίγωνο με Bˆ ˆ φέρουμε το ύψος του. ν και τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ. A ίναι ˆ ˆ ˆ ( ˆ εξωτερική του τρ. ) Άρα ˆ = ˆ - ˆ () ˆ = ˆ διάμεσος του ορθ. τριγώνου B τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ () ˆ = ˆ - ˆ.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) φέρουμε το ύψος του. Να αποδείξετε ότι αν ˆ = 5 ο, τότε = και αντίστροφα. 4 (Υπόδειξη : Φέρουμε τη διάμεσο Μ) Συμπεράσματα που ισχύουν και για το ευθύ και για το αντίστροφο. Μ = =Μ = Μ τρ.μ ισοσκελές Μ ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του τρ. Μ) ˆ = ˆ + ˆ = ˆ ποδεικνύουμε το ευθύ και το αντίστροφο ταυτόχρονα, με ισοδυναμίες. ˆ = 5 ο ˆ = 30 ο = = = 4 3. Σε κυρτό τετράπλευρο θεωρούμε το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου και τα μέσα, και Η των, και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Η//Κ Φέρουμε τη διάμεσο και τη Η. ρκεί να αποδείξουμε ότι ΚΗ παρ/μμο, Η Κ ή ότι Κ =//Η. Κ βαρύκεντρο του τρ. Κ = () Η, μέσα πλευρών του τρ.κ Η=// () () και () Κ =//Η. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 97

41 0 4.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ 90 και το ύψος του. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί την πλευρά. Η ευθεία τέμνει την σε σημείο. Τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του ) Άρα ˆ = ˆ ˆ = ˆ ˆ = ˆ 3 Μ Έτσι ˆ = ˆ = ˆ = ˆ ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = () πό το ορθ. τρίγωνο, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ. Λόγω του ύψους, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ. 3 Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = () 3 πό τις (), () =. 5.ίνεται τρίγωνο με <, η διχοτόμος του και Μ το μέσο της. ν η προβολή του στη διχοτόμο, να αποδείξετε ότι : i) Μ ii) EM = i), Μ μέσα πλευρών του τριγώνου Μ = ii) Μ = = = Προεκτείνουμε τη και τέμνει την σε σημείο. Το είναι ύψος και διχοτόμος του τρ., άρα και διάμεσος και το τρίγωνο ισοσκελές με = Έτσι, το είναι μέσο του τμήματος. 6. ίνεται τρίγωνο, το ύψος του και Μ το μέσο του τμήματος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 98

42 Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το Μ στην, η κάθετη από το στην και η συντρέχουν. Λ Ρ Μ Κ Μ Φέρουμε τη Μ, η οποία ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τρ., άρα Μ. Έστω. Τότε Μ, δηλαδή η είναι φορέας ύψους του τριγώνου Μ. Φορείς υψών του ίδιου τριγώνου είναι και οι ΜΜ,. Άρα διέρχονται από το ίδιο σημείο- ορθόκεντρο του τριγώνου Μ, δηλαδή συντρέχουν. 7. ν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής τριγώνου στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο της γωνίας ˆB αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) το ΚΛ είναι ορθογώνιο ii) η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το μέσο της. i) ίναι Λ Κ σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. Έτσι το τετράπλευρο ΚΛ έχει τρεις γωνίες ορθές, άρα είναι ορθογώνιο. ii) Σ Συμβολίζουμε Σ την τομή των Κ, και Ρ την τομή των, ΛΚ. Το Κ είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου Σ, άρα και διάμεσος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του Σ. ΚΛ ορθογώνιο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή το Ρ είναι μέσο του Στο τρίγωνο, λοιπόν, Σ θα είναι ΡΚ Σ, άρα και ΛΡΚ, οπότε η ΛΚ θα διέλθει από το μέσο της. 8. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ), το ύψος του και η διάμεσός του Μ. ν, οι προβολές του στις και, να αποδείξετε ότι i) = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 99

43 ii) AM EZ iii) η διάμεσος Μ, το τμήμα και η παράλληλη προς την από το συντρέχουν. i) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αφού έχει τρεις γωνίες ορθές έχει ίσες διαγωνίους. Κ Λ Μ ii) Έστω Κ η τομή των Μ,. Στο τρίγωνο Κ, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ = 90 ο ίναι AM = = M τρ.μ ισοσκελές ˆ = ˆ. () τρ. = τρ. ˆ = ˆ. λλά ˆ = ˆB (οξείες με πλευρές). Άρα ˆ = ˆB () () + () ˆ + ˆ = ˆ + ˆB ˆ + ˆ = 90 ο iii) Έστω Λ η τομή των Μ,.. ρκεί να αποδείξουμε ότι Λ, ή αρκεί ότι το Λ είναι παρ/μμο. πειδή, όμως, Λ, αρκεί να αποδείξουμε ότι Λ =. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Λ και. ίναι ορθογώνια με = και ˆ = ˆ (από την ()) = ˆ (εντός- εκτός επί τα αυτά). Άρα τρ. Λ= τρ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 00

44 Τραπέζια. Να δοθεί ο ορισμός του τραπεζίου. Τι καλούμε βάσεις ; Τι ύψος και τι διάμεσο του τραπεζίου ; Ορισμός : Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές και του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα της διάμεσου του τραπεζίου ; Θεώρημα : Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. πόδειξη ηλαδή, αν διάμεσος του τραπεζίου, τότε: i) //, και E = (). πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο ( // ), τη διαγώνιο του και το μέσο της. πό το φέρουμε ευθεία ε παράλληλη των και που τέμνει τις και στα Κ και αντίστοιχα. Τότε: Στο τρίγωνο το είναι μέσο της και Κ//, οπότε το Κ είναι το μέσο της και EΚ = / (). πίσης στο τρίγωνο το Κ είναι μέσο της και Κ//, οπότε το είναι το μέσο της και Κ = / (). πομένως η είναι διάμεσος του τραπεζίου και ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

45 i) //, (από κατασκευή). ii) πό τις () και () προκύπτει ότι K + KZ = + ή E = 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το πόρισμα για τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου. ΠΟΡΙΣΜ Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του πόδειξη ποδείξαμε παραπάνω ότι το Κ είναι μέσο της. Όμοια, αν φέρουμε την, στο τρίγωνο το είναι μέσο της και Λ //, οπότε το Λ είναι μέσο της και Λ = (3). πομένως, η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του και προφανώς ΚΛ //,. πίσης από τις () και (3) προκύπτει ότι: Λ - Κ = = - ή ΚΛ = (με > ). Ισοσκελές τραπέζιο 4. Να δοθεί ο ορισμός του ισοσκελούς τραπεζίου ; Ορισμός : Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες 5. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

46 ν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε: (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. πόδειξη (i) Έστω ισοσκελές τραπέζιο (// και =). Φέρουμε τα ύψη Η και Κ. Τα τρίγωνα Η και Κ είναι ίσα (Η = Κ = 90, = και Η = Κ = υ), οπότε =. πειδή + = 80 και + = 80 (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), έχουμε και =. (ii) Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, κοινή και = ), οπότε =. 6. Να διατυπωθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές. Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις. (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. 7. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο: (i) αν προεκτείνουμε τις μη παράλληλες πλευρές του σχηματίζονται δύο ισοσκελή τρίγωνα, (ii) η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι μεσοκάθετος της κάθε βάσης. πόδειξη (i) Έστω ισοσκελές τραπέζιο (//) και Ο το σημείο τομής των και. Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ισοσκελή, αφού A = και = ( ισοσκελές τραπέζιο). (ii) Η μεσοκάθετος ε της βάσης διέρχεται από το Ο, επειδή το τρίγωνο Ο είναι ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 03

47 ισοσκελές. Η ε είναι κάθετος και στη επειδή //. φού η ε διέρχεται από το Ο, είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου Ο, άρα μεσοκάθετος και στη. ξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου 8. Ποιες τριάδες συντρεχουσών ευθείων υπάρχουν σε ένα τρίγωνο ; Σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών. 9. Τι καλείται περίκεντρο ; Τι έγκεντρο ; Τι βαρύκεντρο και τι ορθόκεντρο ενός τριγώνου ; Σε ένα τρίγωνο αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του και ο κύκλος (Ο,Ο) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του. Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθόκεντρο του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 04

48 ρωτήσεις κατανόησης.στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση 0 Στο σχήμα (α) το τμήμα x είναι διάμεσος άρα x = 6 και ψ = 4 Στο σχήμα (β) η είναι διάμεσος, άρα = AB = x = και AB 7 ψ = =,5 Στο σχήμα (γ) το τμήμα x + είναι διάμεσος, άρα x + = x 3x x + = x + 3x x = x = Στο σχήμα (δ) είναι ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο πειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές, θα είναι ˆ = ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο. Και αφού ˆ = ˆ, θα είναι ˆ = 60 ο.με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο; πάντηση ποδεικνύουμε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και στην συνέχει ότι : Οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες ή οι διαγώνιες είναι ίσες ή οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες είναι ίσες 3.Τι ονομάζεται διάμεσος τραπεζίου ; Ποιες ιδιότητες έχει; πάντηση ιάμεσος τραπεζίου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών Ιδιότητες της διαμέσου είναι : ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 05

49 ίναι παράλληλη στις βάσεις ίναι ίση με το ημιάθροισμα των βάσεων ιέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων 4. Στο παρακάτω ισοσκελές τραπέζιο είναι = 5x, = 3x και ˆ 60 ο. Η περίμετρος του τραπεζίου είναι i) 0x, ii) x, iii) x, iν) 3x, ν) 4x πάντηση ικαιολογήστε την απάντηση σας 3x 60 o Κ 5x Λ Φέρνοντας τα ύψη Κ και Λ προφανώς έχουμε ΚΛ = = 3x οπότε Κ = Λ= x και επειδή ˆ Κ = Λ ˆ = 30 ο θα είναι = = x η περίμετρος λοιπόν είναι : 5x + 3x + x + x = x ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 06

50 σκήσεις μπέδωσης.ίνεται τραπέζιο (//) και διάμεσός του. ν οι μη παράλληλες πλευρές του, τέμνονται στο Κ και Η, Θ είναι τα μέσα των ΚΛ και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα,, Η, Θ είναι κορυφές τραπεζίου. Η K Θ ΗΘ (ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου Κ) ( διάμεσος του τραπεζίου) Άρα ΗΘ, οπότε ΗΘ τραπέζιο..ν και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώνου ( = ), να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. (ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ), οπότε τραπέζιο. τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ. Άρα ισοσκελές τραπέζιο. 3.Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ( ) τέμνονται στο Ο. ν,, Η, Θ είναι τα μέσα των Ο, Ο, Ο, Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Στο τρίγωνο Ο είναι ΘΗ A B Στο τρίγωνο Ο είναι Ο Άρα ΘΗ, οπότε ΗΘ τραπέζιο Θ Η ισοσκελές τραπέζιο = Η = Θ άρα ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 07

51 4.ίνεται παραλληλόγραμμο και το ύψος του. ν Κ, Λ είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΚΛ μεσοπαράλληλος των, ΚΛ τραπέζιο. Κ Λ Κ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Κ = = Κ = Λ Άρα ΚΛ ισοσκελές τραπέζιο. 5.ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (//) με < και τα ύψη του και. Να αποδείξετε ότι = =. Προφανώς τρ. = τρ. = A B ορθογώνιο = ίναι + + = + = = =. 6.πό την κορυφή τριγώνου φέρουμε ευθεία ε που δεν τέμνει το τρίγωνο και ας είναι και οι αποστάσεις των και από την ευθεία ε. ν Μ είναι το μέσο της και Κ το μέσο της διαμέσου, να αποδείξετε ότι ΜΚ = ε Μ Κ. και ε // Άρα τραπέζιο με διάμεσο Μ παράλληλη των βάσεων και, άρα ε. Έτσι το τρίγωνο Μ είναι ορθογώνιο με διάμεσο ΜΚ, άρα ΜΚ =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 08

52 ποδεικτικές σκήσεις. Σε τραπέζιο (//) η διχοτόμος της γωνίας ˆB τέμνει τη διάμεσο στο Η. Να αποδείξετε ότι BH ˆ = 90 ο. Θ Η προέκταση της Η τέμνει την σε σημείο Θ. Η Τότε η τέμνει και το τμήμα Θ στο μέσο του Η. Έτσι, το Η είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου Θ, άρα και ύψος..σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) Μ είναι το μέσο της. ν η μεσοκάθετος της τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς τη τέμνει την στο Η, να αποδείξετε ότι Η =. Η M Φέρουμε τη. Λόγω της μεσοκαθέτου Μ έχουμε = () Η τραπέζιο και μάλιστα ισοσκελές, αφού ˆ ˆ από το ισοσκελές τρίγωνο. Άρα έχει ίσες διαγωνίους Η = (). πό τις () και () έχουμε = Η. 3.ίνεται τραπέζιο με ˆ ˆ = 90 ο και ˆ = 0 ο. ν = και =, να υπολογίσετε τη διάμεσο, ως συνάρτηση του. πειδή = αρκεί να υπολογίσουμε τη. Φέρουμε Κ. Κ Τότε Κ = = και ˆ = 30 ο. Στο Κ ορθ. τρίγωνο θα έχουμε Κ =. 5 Έτσι = Κ + Κ = + =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 09

53 Άρα = =. 4 4.Σε τραπέζιο, η μία από τις μη παράλληλες πλευρές του είναι ίση με το άθροισμα των βάσεων. ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι ˆ = 90 ο. Λ Μ Φέρουμε τη διάμεσο ΜΛ του τραπεζίου. Τότε ΜΛ = Έτσι η διάμεσος ΜΛ του τριγώνου Μ είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ. 5.πό το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τραπεζίου ( ) φέρουμε παράλληλη προς την, που τέμνει τη στο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ. Μ ˆM = ˆ = ˆ τρ.μ ισοσκελές με Μ = = Μ Έτσι η διάμεσος Μ του τριγώνου Μ είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ. 6.ίνεται τρίγωνο και το ύψος του Η. ν,, είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Η είναι ισοσκελές τραπέζιο. και παρ/μμο και Η τραπέζιο. () πό το παρ/μμο έχουμε = Η λλά Η = = Άρα = Η () (), () Η είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ΥΠΟΥΡΙΟ ΠΙΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΥΤΩΝ Κωδικός βιβλίου: 0--007 ΠΟΛΙΤΙΣΟΥ ΚΙ ΘΛΗΤΙΣΟΥ ΥΚΛΙΙ ΩΤΡΙ ΛΥΣΙΣ ΤΩΝ ΣΚΗΣΩΝ ε Κ ε Ψ Ζ Ο Ι Θ ε Η μα ε4 και ΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ISBN 978-960-06--6

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β 0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα ΚΕΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Οι πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες - Το ευθύγραμμο τμήμα 1. Πως ξεκινά η μελέτη εωμετρίας,δηλαδή από ποιες έννοιες και από ποιες παραδοχές; Η μελέτη της εωμετρίας ξεκινά από

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα