ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο Α) Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω ερωτήσεις ως σωστές (Σ) ή άθος (Λ): I) Αν ( γ) //γ, τότε ( γ) // II) Αν γ, τότε γ III) Το συµµετρικό του σηµείου Μ (,5) ως προς το σηµείο (,) το σηµείο Μ (,) IV) Τ σηµεί Α (,), Β(,5), Γ(,) κι (,) είνι κορυφές πρηογράµµου Κ είνι Β) ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί Κ, Λ κι Μ, τέτοι ώστε: ΑΚ ΑΒ, ΓΛ ΒΓ κι ΑΜ ΑΓ I) Αν ΑΒ κι ΑΓ, ν εκφράσετε τ ΚΛ, ΚΜ συνρτήσει των, II) Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί Κ, Λ, Μ είνι συνευθεικά Θέµ ο Α) ίνετι πρηόγρµµο ΑΒΓ µε ΑΒ κι Α Αν π κι (, v ), ν ρείτε τ µήκη των διγώνιων του πρηογράµµου Β) Ν νύσετε το διάνυσµ (, ) στο (,) κι µι κάθετη στο σε δύο συνιστώσες, µι πράηη Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog info@apolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης,

2 Θέµ ο Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση πριστάνει δύο πράηες ευθείες Στη συνέχει, ν ρεθεί το εµδόν του τρπεζίου που σχηµτίζουν οι ευθείες υτές µε τους άξονες Θέµ ο Α) ίνετι η εξίσωση ε:( ) ( ), R ποδείξετε ότι: I) Η ε πριστάνει εξίσωση ευθείς, γι κάθε τιµή της πρµέτρου II) Η ε διέρχετι πό στθερό σηµείο Ν Β) ύο σηµεί Α κι Β κινούντι επί των θετικών ηµιξόνων Ο κι Ο ντίστοιχ έτσι, ώστε Ν ποδείξετε ότι η ευθεί ΑΒ ( ΟΑ ) ( ΟΒ ) διέρχετι πό στθερό σηµείο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΑ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΙΣΤΙΟΣΕΛΙ Α ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΜΑΣ wwwapolitog ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog info@apolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης,

3 Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Θέµ ο Α) I (Σ) II (Λ) III (Λ) IV (Σ) Β) I ΚΛ ΑΛ ΑΚ ΚΜ ΑΜ ΑΚ II Πρτηρούµε ΚΜ ΚΛ άρ τ Κ,Λ,Μ: συνευθεικά Θέµ ο Α) Είνι: ΑΓ ΑΒ Α κι Β Α ΑΒ v Επίσης: π συν Οπότε: ΑΓ ( ) 5 Άρ ΑΓ 5 Β ( ) 8 Άρ Β 7 8

4 Β) Έστω () µε //, δηδή κι, οπότε Ποπσιάζουµε κι τ δύο µέη της () µε κι έχουµε ( ) ( ) Άρ (, ), κι πό την (): (, ),, Άρ,, Θέµ ο Θ θεωρήσουµε την εξίσωση: ( ) ( ), ( ) ( ) 8 ως τριώνυµο ως προς Είνι:, ( ) ± ηδή: ή Εποµένως η ρχική εξίσωση πριστάνει τις ευθείες ε : κι ε : κι, επειδή, ισχύει: ε //ε Η ευθεί ε τέµνει τους άξονες στ σηµεί Γ (,) κι (,) ενώ η ε τέµνει τους άξονες στ σηµεί Α (,) κι Β (,) Γι ν υποογίσουµε το εµδόν Ε του τρπεζίου ΑΒΓ πρέπει ν ρούµε τ µήκη: (ΑΒ), (Γ ) κι υ d ( Α,ε ) Από το πυθγόρειο θεώρηµ ισχύει: ( ΑΒ ) ( ΑΒ) κι ( ) 8( Γ ) υ d ( Α, ε ) Οπότε Θέµ ο Ε (( ) ( )) ( ) ΑΒ Γ υ Γ Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog info@apolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, τµ

5 Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, Α) I Γι ν µην είνι η ε εξίσωση ευθείς, πρέπει:, που είνι δύντο, φού κι οι δύο εξισώσεις έχουν Οπότε η ε είνι εξίσωση ευθείς γι κάθε R II ος τρόπος: Είνι:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Γι ν ηθεύει η (), γι κάθε τιµή της πρµέτρου, πρέπει: Με φίρεση κτά µέη των δύο τεευτίων εξισώσεων προκύπτει: Τότε: Εποµένως η ε διέρχετι πό το στθερό σηµείο (,) ος τρόπος Γι η ε γίνετι: κι γι η ε γίνετι: ( ) 8 Τότε: ηδή, δύο πό τις ρχικές ευθείες διέρχοντι πό το σηµείο Α(,) Γι ν διέρχοντι όες πό το Α πρέπει: ( ) ( ) που ισχύει Εποµένως, το στθερό σηµείο είνι το Α

6 Β) Έστω ότι τ σηµεί Α κι Β έχουν συντετγµένες (,) κι (,) ντίστοιχ, µε,> Τότε: () ( ΟΑ ) ( ΟΒ ) Επειδή >, πρέπει κι Τότε η () γίνετι: ηδή, το Β έχει συντετγµένες, Γι τον συντεεστή διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ ισχύει: Η ευθεί ΑΒ έχει εξίσωση: ( ) ( ) ( ) () Γι η () γίνετι κι γι η () γίνετι: 7 Με φίρεση κτά µέη προκύπτει: κι ηδή δύο πό τις ευθείες της () διέρχοντι πό το στθερό σηµείο Μ, Γι ν διέρχοντι όες πό το Μ, δηδή γι ν διέρχοντι πό την ευθεί ΑΒ πό το στθερό σηµείο Μ, πρέπει ( ) που ισχύει Εποµένως, η ευθεί ΑΒ διέρχετι πό το στθερό σηµείο Μ, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog info@apolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης,

7 Τη/Fa: 7, Τη: 88 wwwapolitog Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης,