ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε κι ισχύει η σχέση: ( ) + ( + ). Πότε ισχύει η ισότητ; III. Ν ποδείξετε ότι κ + λ ( κ + λ ), όπου κι κλ, είνι µιγδικοί ριθµοί. ΘΕΜΑ o Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε + ώ = ) είξτε ότι η g είνι πργωγίσιµη στο [, ] κι ν µελετηθεί ως προς την µονοτονί κι τ κρόττ. + γ) είξτε ότι: () t dt ( ) ( )!

2 ΘΕΜΑ 3o Έστω : R R τέτοι ώστε [ '( ) ( ) ]( + ) = ( ) γι κάθε R της οποίς η C έχει στο A(, ()) εφπτοµένη κάθετη στην ευθεί ε : y= + 3. ) Ν.δ.ο ( ) = ( + ) e, R. ) Ν.δ.ο η ( ε ) κι η C δεν µπορεί ν έχουν δύο κοινά σηµεί. γ) Έστω t. Βρείτε το lim g ( t) = ( ) d, t t + g '( t ) t e. δ) Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, τον ' κι τις ευθείες =, =, > ΘΕΜΑ 4o Έστω η πργωγίσιµη συνάρτηση :[, ] R, < <, τέτοι ώστε γι τους µιγδικούς ριθµούς z = + i( ) κι z z = + i( ) ν ισχύει w = R. z ) Ν.δ.ο z + iz = z iz ) Ν.δ.ο ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle γι την ( ) συνάρτηση g ( ) = στο [, ]. γ) Ν.δ.ο υπάρχει εφπτοµένη της C που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. δ) Αν ισχύει lim ( + t ) dt ( )( + t ) εξίσωση '( ) = έχει λύση στο (, ). ν ποδείξετε ότι η

3 ΘΕΜΑ o ΛΥΣΕΙΣ I. Αν =, τότε ( ) ( ) ( ) Συνεπώς η γρφική πράστση της τυτίζετι µε τον άξον ότν =. Αν, τότε γι > κι > είνι Το πρόσηµο της στον πίνκ: = + + = + =. '( ) = ( + ) = (( + ) ( ) ) οπότε '( ) = ( + ) ( ) = ( + ) = ( ) + = = ' κι η µονοτονί της φίνοντι + () + - () τ.µ. Είνι φνερό ότι η προυσιάζει στο = τοπικό µέγιστο, το () = κι στο = τοπικό ελάχιστο, το () =. Επειδή η είνι συνεχής στο, γνησίως ύξουσ στο [, ] κι γνησίως φθίνουσ στο [, + ] το () είνι µέγιστο της στο [, + ). Άρ ( ) () ή ( ) γι κάθε, που σηµίνει ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί µε θετική τετγµένη, δηλδή δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Είνι ( ), γι κάθε, δηλδή ( ) ( ) ( ) ( + ) (). Η ισότητ ισχύει γι = κι ή = κι.

4 III. Αν κ = λ =, η σχέση ισχύει. Έστω ότι λ. Θέτουµε κ = οπότε η () γράφετι λ κ κ λ λ ( κ λ ) ( κ λ ) κ λ κ λ. Ισχύει + +, οπότε κ + λ ( κ + λ) ( κ + λ ). ή + ( + ). κ λ κ λ ΘΕΜΑ o ) Έχουµε ότι: + [, ] κι χ [, ] κι +!. Επειδή η είνι πργωγίσιµη στο [, ] θ ισχύει το θεώρηµ + µέσης τιµής γι την στο [, ] ' ( ξ ) + ( ) = + + ώστε οπότε υπάρχει ξ, :... + χ '( ξ)( χ ) = ( χ) ( ) ) Η είνι συνεχής κι η () t dtπργωγίσιµη στο [, ] Επίσης η ( ) + Άρ η g είνι πργωγίσιµη στο [, ] είνι πργωγίσιµη στο [, ]. µε. g' ( ) ( ) + ( ) ' + = άρ: '( ) '( ) ( ) ( ) ' + '( ) ( ) '( ) ' + g ξ g ξ = = Επειδή η ''( ) ξ! τότε η '( ) " στο [, ] άρ: χ + +! '( ξ)! ' κι επειδή! τότε g' ( )! γι κάθε (, ).Οπότε η g είνι " στο [, ] Η g θ έχει ελάχιστο γι χ= το g( ) = κι µέγιστο το + g t dt ( ) = ( ) ( )..

5 γ) Επειδή η g είνι " στο [, ] θ έχουµε! + + g( )! g( ) ( t) dt = ( ) () t dt ( )!! ΘΕΜΑ 3o ) ( ) ( ) [ '( ) ( )]( + ) = ( )... ( )' + = + ( ) ( ) = c. e ( + ) = ce. ( ) e ( ) '() = c= = + + ) Έστω ( ) y= ( ) + 3= έχει λύσεις, P < P. Θεωρώ: h ( ) = ( ) + 3στο [ P, P ] h πργωγίσιµη στο [ P, P ] µε h'( ) = '( ) + ( hp hp ) = ( ) = Σύµφων µε το Θ. Rolle υπάρχει τουλάχιστον έν ξ ( P, P ) ώστε h'( ξ ) = '( ξ ) + = e ξ ( ξ + ) =,ΑΤΟΠΟ. γ) g '( t) = ( t) '( ) ( ) + t t t t t g t t t t lim = lim = lim = lim = lim = t + e t + e t + e t + e t + e δ) Είνι ( ) = e ( + ) > ( ) ( ) [ e ( + )] e ( ) [ e ] e d e e e e e E Ω = e + d= e = = + + = = ( + ) + [ ] = ( ) + ( ).

6 ΘΕΜΑ 4o ) z + iz = z iz z + iz = z iz ( z + iz )( z iz ) = ( z iz )( z + iz ) z z = = = ( izz zz ) zz zz ( ) z z w= w w R, ισχύει. ) g πργωγίσιµη στο [, ] ως πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων. g συνεχής στο [, ] ως πργωγίσιµη. '( ) ( ) g πργωγίσιµη στο (, ) µε g'( ) = ( ) g( ) = ( ) g( ) = κι επειδή w R : i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w + i + = = + + i ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) άρ ( ) = ( ) g( ) g( ) = = άρ ισχύει το Θ.Rolle. γ) Αν y ( ) = '( )( ) η εφπτοµένη της C στο (, ( )) γι ν διέρχετι πό το Ο(,) πρέπει : ( ) = '( ) '( ) ( ) =, που ισχύει γιτί σύµφων µε το Θ.Rolle υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) ώστε: g '( ) =. ( + t) ( + t) δ) Έστω h ( ) = dt = dt ( )( + t) + t Θέτω: u= + t, du = dt ή dt = du

7 Γι t= u = t=, u = Άρ :, ( + t) ( u ) ( u ) ( t) dt = du = du = dt + t u u t ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ.Θεωρούµε το µιγδικό ριθµό z=+yi,,y R γι τον οποίο ισχύει:( ) i ( ) ( 4) z + z z + z i+ z + = z z 4 ) Ν πρστήσετε γρφικά το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του ριθµού z στο επίπεδο. ) Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z,ν είνι 3 γνωστό ότι ο ριθµός ( ) ( ) w z z i z z i. = είνι φντστικός. γ) Ν ρείτε το εµδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των προηγούµενων γεωµετρικών τόπων..στο σύστηµ των ξόνων θεωρούµε τ σηµεί Α(,5),Β(,3) κι Γ(χ,) µε!. ) Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη της γωνίς ω, µε την οποί φίνετι πό το σηµείο Γ το τµήµ ΑΒ, δίνετι πό τον τύπο. + ( ) = 3 ) Γι ποί τιµή του χ η γωνί ω γίνετι µέγιστη κι πόση? γ) Αν το σηµείο Γ κινείτι έτσι ώστε ο ρυθµός µετολής του χ d ν είνι, ν ρείτε το ρυθµό µετολής της γωνίς ω τη dt = χρονική στιγµή t που είνι χ=.

8 3. Αν η συνάρτηση : R R, είνι πργωγίσιµη µε: ηµ '( ) = ( + )e,γι κάθε πργµτικό, τότε είξτε ότι: ) η ντιστρέφετι κι b) ότι: πργµτικό. (t)dt+ () (t)dt= () (), γι κάθε 4. Αν η συνάρτηση : R R, είνι πργωγίσιµη µε: ηµ '( ) = ( + )e,γι κάθε πργµτικό, τότε είξτε ότι: ) η ντιστρέφετι κι b) ότι: πργµτικό. (t)dt+ () (t)dt= () (), γι κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΛΙΟΛΙΟΣ Α..-ΧΟΡΤΗΣ Φ.-ΧΑΤΖΗΝΑΚΟΣ Χ.- ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙ ΟΥ Ε..-ΧΑΛΒΑΤΖΗ ΕΛ.- ΛΑΦΑΖΑΝΙ ΟΥ Α - ΘΕΟΧΑΡΟΠΟΥΛΟΥ Ε- ΜΠΟΥΣΜΠΟΥΡΑ Σ...