114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

Transcript

1 Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί η συνάρτηση g f ότν f() ημ κι f g () f g () f, γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι g() ln( ), 5 Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f ότν είνι fln(), γι κάθε 6 Δίνετι η συνάρτηση f : γι την οποί ισχύει: f f 4 f κι τις σύμπτωτες της συνάρτησης g f() ln. 7 Δίνετι η συνάρτηση f με f() f f () γι κάθε στο πεδίο ορισμού της.,. Ν ρείτε τον τύπο της. Ν ρεθεί η συνθήκη μετξύ των, ώστε ν ισχύει 8 Ν προσδιορισθεί ο τύπος της συνάρτηση f Αν ισχύει f() f( ), 9 Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι γι κάθε ισχύει ότι: ff(), ν ποδείξετε ότι f(), γι κάθε N λύσετε την νίσωση ln Ν ποδείξετε την νισότητ e e ln, >> Έστω η συνάρτηση f : A κι προυσιάζει μέγιστο στο A. Ν ποδείξετε ότι ν η f προυσιάζει ελάχιστο στο τότε η f Δίνετι συνάρτηση f τέτοι ώστε f(f()),. Ν ποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση g : τέτοι ώστε g() f(), 4 Ν ρείτε την f ν f() lg 5 Αν γι τις συνρτήσεις f, g ορισμένες στο, υπάρχουν οι συνρτήσεις f g κι g f ότι υπάρχουν κι οι g, f ντίστοιχ., ν ποδείξετε 6 Έστω οι συνρτήσεις f, g γι τις οποίες ισχύει g() 5f( 5) (g g)() γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι ν υπάρχει η f τότε υπάρχει η g 7 Η συνάρτηση f έχει πργμτικό όριο στο κι ισχύει ότι f 7 ρείτε το lim f() γι κάθε. Ν Μ. Ππγρηγοράκης

2 4 Γενικό Λύκειο Χνίων Μθημτικά Θετικής Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ Λυκείου 8 Αν lim f 7 ν ρείτε το lim f - ν γνωρίζουμε ότι η f είνι άρτι 9 Αν γι την συνάρτηση f ισχύει ότι f() lim f() ν ρείτε το lim f() Αν η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο, κι ισχύουν ότι f κι υπολογίσετε το lim f lim π ημ π, ν f **Ν υπολογίσετε το lim γι κάθε Ν υπολογίσετε το lim f ν ισχύει ότι f συν f γι κάθε Έστω f μι συνάρτηση γι την οποί ισχύει 6 f 9 γι κάθε. Ν υπολογίσετε τ: lim f()-8 - κι 4 Αν z C κι f()- lim - v v (z ) z γι κάποιο φυσικό v, ν υπολογιστεί το όριο ημ lim. ez 5 Ν ρεθεί το συν ημ lim 6 Ν ρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f ν ισχύει ότι f() 5 ημ ( )( ), 7 Δίνετι συνάρτηση φ, συνεχής στο με φ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f φ()ημ,, είνι συνεχής στο. φ () φ(), 8 Αν γι τις συνεχείς στο, συνρτήσεις f κι g ισχύει f g με κι η εξίσωση f() έχει δύο ετερόσημες ρίζες ρ,ρ, ν δείξετε ότι η εξίσωση g έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ρ,ρ 9 Ν ποδειχτεί ότι η εξίσωση εφ σφ 6 π 4 π έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ π π, 6 4 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση,, με,,,, έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο f f., με f() f(). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε Η συνάρτηση f :,, είνι συνεχής γι κάθε κι υπάρχουν γ ώστε γ f f f γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ώστε f Μ. Ππγρηγοράκης

3 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι ισχύει f f f, ν ποδείξετε ότι υπάρχει (τουλάχιστον έν) ώστε f( ). 4 Έστω συνάρτηση f είνι ορισμένη στο κι. Αν ισχύει ότι f f 5f 5, ν ποδείξετε ότι η f έχει έν τουλάχιστον σημείο συνέχεις. 5 Ν ρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f ν ισχύει f() f(), κι 6 Ν ρεθούν όλες οι συνεχείς συνρτήσεις f : με την ιδιότητ f e f, f 7 7 Έστω f : συνεχής συνάρτηση, η οποί είνι γνησίως φθίνουσ στο, κι γνησίως ύξουσ στο,. Αν ισχύουν: f() κι το σύνολο των τιμών της f 8 Eστω f :, πάρχει, lim f() lim f() ν ρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() κι, συνεχής συνάρτηση με f() f(), κ, λ,μ N * κf() λf γ μf(), ώστε f( ο) κ λ μ κι γ,. Ν ποδείξετε ότι υ- συν, ν g() 9 Δίνοντι οι συνρτήσεις g ημ κι f g(), ν g() τιμή του ριθμού γι την οποί η f είνι συνεχής. Ν ρείτε την πργμτική 4 Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο, ώστε ν ικνοποιεί τις συνθήκες: 8ημ 4 4f 6 γι f() κάθε κι lim. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστσή της τέμνει τη γρφική πράστση της προ- λής y 7 6 σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο,4. ν 4 Αν f() ν ν ρείτε τ, ώστε η f ν είνι πργωγίσιμη στο 4 Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο με f( ) κι f ( ). Ν ρεθεί το f()-6 lim - ο ο 4 Έστω η συνάρτηση f : πργωγίσιμη στο κι στο κι ισχύει ότι f() f(). Ν ποδείξετε ότι η f() ν g() είνι πργωγίσιμη στο ν κι μόνο ν f () f () f(-) ν 44 H συνάρτηση f : είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f y f fy y ότι η f είνι πργωγίσιμη στο 45 Ν ρεθεί η πράγωγος της συνάρτησης f,,y ν δείξετε 46 Δίνοντι οι συνρτήσεις g κι f. Ν ρείτε τ, ώστε οι γρφικές τους πρστάσεις ν έχουν κοινή εφπτομένη στο σημείο με τετμημένη Μ. Ππγρηγοράκης

4 4 Γενικό Λύκειο Χνίων Μθημτικά Θετικής Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ Λυκείου ln 47 Ν ρεθεί η πράγωγος της συνάρτης f, κι της συνάρτησης f lg, 48 Αν f :, με f κι, ν ποδείξετε ότι το εμδόν του τριγώνου που σχημτίζουν οι ημιάξονες O, Oy κι η εφπτομένη της κμπύλης στο είνι νεξάρτητο του. 49 Αν f ln, ν ρείτε τ, ώστε η ευθεί ε: y 4 ν είνι εφπτόμενη της Cf στο σημείο της A,f. 5 Αν η ευθεί y είνι η εφπτομένη του διγράμμτος της y f() ρεθεί η εφπτομένη (ε ) του C g της g με g() f στο σημείο με 5 Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 5 Έστω συνάρτηση f :, με ξ ξ ώστε f ξ 4f ξ, στο σημείο της με, ν 4 λ λ έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο, γι κάθε λ., πργωγίσιμη στο με f f. Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ, 5 Δίνετι η συνάρτηση f με f ln e,. Αν γνωρίζουμε ότι η η είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ν ρείτε το f e f 54 Η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι κυρτή στο κι η γρφική πράστση της f περνά πό την ρχή των ξόνων, ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύει ότι f 4f 4 λ ln 55 Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f με κι λ. Αν η ευθεί τέμνει στ σημεί P, P τις γρφικές πρστάσεις C, C που ντιστοιχούν σε διφορετικές τιμές του λ, τις λ, λ, τότε ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες των C, C στ σημεί P, P τέμνοντι σε σημείο του οποίου οι συντετγμένες είνι νεξάρτητες των λ, λ * 56 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο πργωγίσιμη στο με f, της οποίς όλες οι εφπτόμενες διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων. Ν ρείτε εκείνη τη συνάρτηση f της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό τ σημεί, κι, 57 Αν η συνάρτηση f : κλίση της f στο. είνι άρτι, πργωγίσιμη κι η κλίση της f στο είνι 4, ν ρείτε την 58 Έστω συνάρτηση f :, με την ιδιότητ fy f y yf γι κάθε,y, κι πργωγίσιμη στο με f. Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο, κι ν ρείτε τον τύπο της f 59 Έστω συνάρτηση g :, πργωγίσιμη στο, με, g λ, g 8, g λ 4 κι g 4 6 γι κάθε. Ν ρείτε τον ριθμό λ κι την πλάγι σύμπτωτη της C g στο 4 6 N ρεθεί, ν υπάρχει, συνάρτηση f που είνι πργωγίσιμη στο * κι γι κάθε * ισχύει f() f (), f() κι f( ). Μ. Ππγρηγοράκης

5 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη 6 Σε ορθοκνονικό σύστημ νφοράς Oy έν κινητό κινείτι πάνω στη γρφική πράστση της συνάρτη- σης f e,. Έστω M η θέση του κινητού στο επίπεδο κάθε στιγμή κι έστω A, B οι προολές του M στους άξονες O κι Oy ντίστοιχ. Η τετμημένη του σημείου M μετάλετι με ρυθμό m /sec. Κτά τη χρονική στιγμή t που το κινητό ρίσκετι στο σημείο,e, ν ρείτε τους ρυθμούς μετολής της γωνίς που σχημτίζει η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M, με τον άξον Αν είνι γνωστό ότι η συνάρτηση f 5,,, έχει τρί σημεί κμπής, ν ποδείξετε ότι. 6 Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο κι f () ημ γι κάθε. Ν δείξετε ότι το A(, f()) δεν μπορεί ν είνι σημείο κμπής της C f. 64 N μελετήσετε τη συνάρτηση f συν συν,,π ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι τ σημεί κμπής. 65 Ν δείξετε ότι 66 Έστω συνάρτηση f :,, η οποί είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ισχύει ότι f 4f γι κάθε,. Ν ποδείξετε ότι η C f δεν έχει σημεί κμπής. 67 Ν ποδείξετε ότι τρί οποιδήποτε διφορετικά (νά δυο) σημεί της γρφικής πράστσης της συνάρτηση f() είνι κορυφές τριγώνου 68 Ν ρείτε τις τιμές των, ώστε ν είνι : lim 4 ( ) 69 Έστω οι συνρτήσεις f,g :, με g f ln ln γι κάθε. Αν η ευθεί y είνι σύμπτωτη της Cf στο, ν ρείτε την σύμπτωτη της C g στο. 7 Δίνετι ότι η συνάρτηση f με τύπο f() κι =5. Ν ρεθούν οι ριθμοί κι. έχει κτκόρυφες σύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις ln, 7 Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f, 7 Ν ρείτε συνάρτηση f : ώστε ν ισχύει f f e συν, κι f 7 N ρείτε τις ρχικές συνρτήσεις της συνάρτησης f με. 74 Νερό φεύγει πό την ρύση έτσι ώστε t min μετά το άνοιγμ της ρύσης ν χύνετι με ρυθμό 8t 5 dm /min. Πόσο νερό έφυγε κτά την διάρκει των τριών πρώτων λεπτών ; π g() g () e d κι 75 Έστω η συνάρτηση g πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο στο,π. Αν g(π) e π, ν ρείτε την τιμή της g στο σημείο Μ. Ππγρηγοράκης

6 4 Γενικό Λύκειο Χνίων Μθημτικά Θετικής Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ Λυκείου 76 Η συνάρτηση f :, Ι fd είνι πργωγίσιμη με f, f f κι f f. Ν ρείτε το 77 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, κι f f,, f d f d f d 78 Έστω οι συνρτήσεις f,g :,, ν ποδείξετε ότι:, με f, ώστε η f ν είνι πργωγίσιμη, η g συνεχής κι γι κάθε, ν ισχύει: f f gd f. Ν ποδείξετε ότι 79 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f στο Δ [, ) με Ν ρείτε το I f()d 8 N ποδείξετε ότι, ν f. e ln d e d e f() f()e g d, γι κάθε. 8 Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g των συνρτήσεων g, f κι την ευθεί 8 Δίνετι η συνάρτηση f που είνι δύο φορές πργωγίσιμη με f γι κάθε. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο με τιμή μηδέν κι f f ν ρείτε το εμδόν του χωρίου μετξύ της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f, του άξον κι των ευθειών κι 8 Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f, που είνι συνεχής στο,, πργωγίσιμη στο, κι ισχύει ότι f f f γι κάθε, u 84 Έστω μι συνάρτηση f, συνεχή στο γι την οποί ισχύουν ότι: f κι f tdt du γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις ευθείες κι είνι τ.μ. 85 N υπολογίσετε τ όρι: Α) ημ lim Β) ημ lim Γ) lim ln dt ln t z z Έστω f : συνάρτηση συνεχής στο ώστε f z z f f, 4 όπου z, z μιγδικοί οι εικόνες των οποίων είνι εσωτερικά σημεί του κύκλου y. Ν δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο,. 87 Ν ποδείξετε ότι το εμδόν του χωρίου που περιέχετι νάμεσ στην κμπύλη y 4 κι την εφπτομένη της στο σημείο M, είνι ίσο με Μ. Ππγρηγοράκης

7 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη 88 Ν ποδείξετε ότι π d γι κάθε 4 89 Ν ρείτε τ πεδίο ορισμού κι την πράγωγο της συνάρτησης F() dt ln t 9 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι f, I, ν Ν * ln d 9 Αν ν ν I ν δείξετε ότι ν f(), ν ποδείξετε ότι d 4. f() I ν ln ν ν κι ν ρείτε το 9 Η συνάρτηση f : είνι συνεχής άρτι με περίοδο T ν δείξετε ότι f()d ln ν 9 Δίνετι η συνάρτηση f. Ν υπολογίσετε το f d ν T T I T f()d 94 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο,. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε fd f 95 Αν ισχύει ότι e γι κάθε,, ν ποδείξετε ότι e 96 Γι κάθε z C, ν λύσετε την εξίσωση z 4z z 6i κι την νίσωση z 4z 97 Ν ρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων M z των μιγδικών z ν ισχύει ότι z z z z 98 Έστω z,z P() γι κάθε C κι το πολυώνυμο P() z z z z,. Ν ποδείξετε ότι 99 Έστω η συνάρτηση f :,, που είνι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει ότι f ln f() e ln e e,. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : με την ιδιότητ f( ) f( ) f() γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι: Α) Η f είνι άρτι, Β) f()d f()d, γι κάθε, Γ) f()d Εστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f : γι την οποί ισχύει f κι f f()d γι κάθε κι f t f dt γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι f γι κάθε κι ν ρείτε το όριο f t f t 4 f lim με ν Ν ν Δίνετι ο μιγδικός z ημ συνi,. Ν ρείτε τους μιγδικούς z με το ελάχιστο κι μέγιστο μέτρο Μ. Ππγρηγοράκης

8 4 Γενικό Λύκειο Χνίων Μθημτικά Θετικής Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f tdt f, κι f. Ν ποδείξετε ότι f 4 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f :, γι την οποί ισχύουν: f, f f, γι κάθε κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό το A,. Ν ποδείξετε ότι t, γι κάθε e e dt λ 5 Ν ρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f ln ν πίρνει την μέγιστη τιμή της γι κάθε λ λ 6 Ν ρείτε τη μικρότερη τιμή του λ γι την οποί ισχύει ότι ln γι κάθε 7 Έστω f : π,π συνεχής κι περιττή συνάρτηση κι η G t f tdt, π,π ότι G f, π,π, G κι Gπ 8 Έστω οι μιγδικοί z, w με w, z, π π. Ν ποδείξετε z, ezw κι η συνάρτηση f z w,. z Ν ποδείξετε ότι f κι ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης F f tdt κι τους άξονες κι yy. 9 Έστω μι συνεχής συνάρτηση f : κι F μι ρχική της f στο. Αν f κι f F γι κάθε, τότε ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g F F είνι στθερή κι ν ρείτε τον τύπο της f Δίνετι η συνάρτηση F dt. Αν E είνι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C F τον ln t άξον κι την ευθεί, ν ποδείξετε ότι E e Έστω συνεχής συνάρτηση f :, e, δύο φορές πργωγίσιμη στο,, ώστε ν ισχύει ότι: f, f κι f () f f γι κάθε,. Ν ρείτε την f κι ν υπολογίσετε το I f d. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση f : γι την οποί ισχύει ότι ftdt f f γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ f ξ ώστε Αν Μ το σημείο του διγράμμτος της f με f ln λ που ντιστοιχεί στο τοπικό της ελάχιστο, ν ρεθεί η πόστση OM ότν ο ρυθμός μετολής του OM ως προς λ γίνει μηδέν. 4 Δίνετι ότι η συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής κι θετική στο. Ν μελετήσετε ως προς την μονοτονί τη συνάρτηση h g tdt ftg tdt, Μ. Ππγρηγοράκης