τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

Transcript

1 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µικρότερη πό την ˆ iii) Το άθροισµ δύο γωνιών ενός τριγώνου είνι 80 ο Σ Σ Σ iν) ν β > γ σε τρίγωνο τότε = ˆ ˆ κι ντίστροφ Σ ν) ν β = γ σε τρίγωνο τότε ˆ ˆ =κι ντίστροφ Σ. ι το τρίγωνο του πρκάτω σχήµτος ισχύει. = 7, β. =, γ < < 7, δ. >7, ε. 0<< κυκλώστε το γράµµ της σωστής πάντησης κι ιτιολογήστε την πάντηση σς. ε βάση την τριγωνική νισότητ γι 4 την πλευρά έχουµε 3 4 3< < < < 7 3. γ 3γ Υπάρχει τρίγωνο µε = κι β = ; ικιολογήστε την πάντηση σς. 3 5 γ 3γ 4γ + β = + = < γ άρ δεν υπάρχει τρίγωνο µε τ πρπάνω στοιχεί

2 σκήσεις Εµπέδωσης. Στο πρκάτω σχήµ είνι B ˆ > ˆ. Ν ποδείξετε ότι ˆB 90 0 >. B ˆ > ˆ πό υπόθεση () B ˆ > ˆ εξωτερική του τρ. () () + () ˆ > ˆ + ˆ 0 ˆ > 80 ˆ 0 > 90. ν σε κυρτό τετράπλευρο ισχύουν = κι = ˆ ˆ, ν ποδείξετε ότι =. Τι συµπερίνετε γι τη ; A = ˆ = ˆ () υπόθεση = ˆ ˆ () () () ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές δηλδή = Επειδή το ισπέχει πό τ, θ νήκει στη µεσοκάθετο του τµήµτος. Οµοίως γι το. Άρ η είνι µεσοκάθετος του. 3. ίνετι τρίγωνο µε = ˆ ˆ. i) Τι είδους γωνί είνι η ˆ ; ii) Ν ποδείξετε ότι το ύψος πό την κορυφή τέµνει την ευθεί σε εσωτερικό σηµείο της πλευράς. i) ˆ ˆ + < 80 ο ˆ < 80 ο ˆ < 90 ο οξεί. ii) = ˆ ˆ = Έστω το µέσο της. Τότε διάµεσος άρ κι ύψος, µε το ν είνι εσωτερικό σηµείο της, φού είνι µέσο της.

3 3 4. ίνετι τρίγωνο κι σηµείο της ηµιευθείς x που περιέχει το. Ν ποδείξετε ότι η γωνί ˆ είνι µεγλύτερη, ίση ή µικρότερη της γωνίς ˆ, ν το σηµείο βρίσκετι µετξύ των κι, τυτίζετι µε το ή βρίσκετι µετά το. Ότν το βρίσκετι µετξύ των κι ˆ > ˆ σν εξωτερική κι πένντι εσωτερική του τριγώνου Ότν το τυτίζετι µε το. Είνι προφνές ότι οι γωνίες ˆ κι τυτίζοντι, άρ είνι ίσες. Ότν το βρίσκετι µετά το. ˆ > ˆ σν εξωτερική κι πένντι εσωτερική του τριγώνου ˆ 5. ν σηµείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, ν ποδείξετε ότι <. M Τρ. ˆ > ˆ ˆ > ˆ Στο τρίγωνο, πένντι µεγλύτερης γωνίς βρίσκετι µεγλύτερη πλευρά Άρ >

4 4 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), η διχοτόµος της γωνίς ˆ τέµνει την πλευρά στο. Ν ποδείξετε ότι <. Κ Φέρνουµε Κ Είνι = Κ () σν ποστάσεις του σηµείου της διχοτόµου πό τις πλευρές της γωνίς. Τρ. Κ ορθογώνιο Κ < () πό τις (), () < 7. Έστω τρίγωνο κι Ο σηµείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι Ο κι Ο τέµνουν τις κι στ σηµεί κι ντίστοιχ. ν ισχύει Ο = Ο κι Ο = Ο ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές. O ( Π Π ) τρ. Ο = τρ. Ο B ˆ = ˆ () τρ. Ο ισοσκελές B ˆ = ˆ () () + () ˆ ˆ B=, άρ τρ. ισοσκελές. 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) κι Κ, τ µέσ των, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι, ν οι εξωτερικές διχοτόµοι των γωνιών του ˆ κι ˆ τέµνοντι στο σηµείο, τότε το τρίγωνο Κ είνι ισοσκελές. Κ Συµπεράσµτ: B= ˆ ˆ, Bˆ ˆ εξ = εξ, ˆ = ˆ = ˆ = ˆ B ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές µε = ( Π Π ) τρ. Κ = τρ. Κ Άρ Κ =

5 5 9. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) κι Ι το σηµείο τοµής των διχοτόµων των γωνιών ˆ, ˆ. Ν ποδείξετε ότι: i) Το τρίγωνο Ι είνι ισοσκελές ii) Η Ι είνι διχοτόµος της ˆ. Ι i) ii) ˆ ˆ = τρ. I ισοσκελές µε Ι = Ι ( Π Π Π ) τρ.ι = τρ. Ι ˆ = ˆ Ι διχοτόµος 0. Οι κωµοπόλεις Κ, Κ, Κ πέχουν πό την πόλη Π ποστάσεις 7, 6 3 κι 0 km ντίστοιχ. Έν υτοκίνητο ξεκινάει πό την κωµόπολη Κ κι κολουθώντς τη διδροµή Κ Κ Κ Κ επιστρέφει στην 3 K 7 K 6 Π 0 K 3 Κ. Ο χιλιοµετρητής του γράφει ότι γι υτή τη διδροµή διήνυσε πόστση 48 km. Είνι υτό δυντόν; πό εφρµογή έχουµε K K <ΠΚ +ΠΚ K K < 7+ 6 K K < 3 Οµοίως K K < 6 3 K K < Κ Κ +Κ Κ +Κ Κ < < 46 που είνι άτοπο.

6 6 ποδεικτικές σκήσεις. ν σε τρίγωνο ισχύει ότν µ = ή µ > ; µ <, ν ποδείξετε ότι >+ ˆ ˆ ˆ. Τι ισχύει Έστω η διάµεσος µ < < κι < µ τρ. ˆ< ˆ τρ. ˆ< ˆ + +< ˆ ˆ ˆ Οµοίως, ότν ότν µ = τότε += ˆ ˆ ˆ κι µ > τότε +> ˆ ˆ ˆ. Έστω τρίγωνο µε < κι το µέσο της. Ν ποδείξετε ότι > ˆ ˆ Τ τρίγων, έχουν δύο πλευρές ίσες ( κοινή κι = ) κι τις τρίτες άνισες. Άρ ˆ > ˆ

7 7 3. Έστω τρίγωνο µε < κι το µέσο της. Ν ποδείξετε ότι i) > ˆ ˆ β γ β+γ ii) <µ < iii) µ +µ +µ < τ β γ i) Προεκτείνουµε τη διάµεσο = µ κτά τµήµ =. (Π Π) τρ. = τρ. = < κι = ˆ ˆ () φού <, στο τρ. > ˆ ˆ () (), () ˆ > ˆ ii) Τριγωνική νισότητ στο τρίγωνο : iii) πό ii) έχουµε µ <β+γ () οµοίως µ <γ+ β () κι µ <+β γ (3) () + () + (3) ( β γ) β γ<<β+γ β γ<. µ <β+γ β γ β+γ <µ < µ +µ +µ < + β+ γ µ +µ +µ <+β+γ β γ µ +µ +µ <. τ β γ 4. Έστω κύκλος (Ο,R) διµέτρου κι σηµείο Σ της ηµιευθείς Ο. ι κάθε σηµείο του κύκλου ν ποδειχθεί ότι Σ Σ Σ Σ O i) Ότν κι Φέρνουµε την κτίν Ο. Τριγωνική νισότητ στο τρ. ΣΟ ΣΟ Ο < Σ < ΣΟ + Ο ΣΟ Ο < Σ < ΣΟ + Ο Σ < Σ < Σ ii) Ότν τότε Σ = Σ <Σ iii) Ότν τότε Σ < Σ = Σ

8 8 5. Έστω τρίγωνο. ν η διχοτόµος ποδείξετε ότι : i) A = ii) < Κ δ τέµνει κάθετ τη διάµεσο Έστω η δ κι η τέµνοντι στο Κ. µ, ν β µ, που β i) Το Κ είνι ύψος κι διχοτόµος του τριγώνου, άρ ισοσκελές µε = = = ii) Φέρουµε τη Η Κ είνι µεσοκάθετος του = () πό το τρ. έχουµε < + < + < 6. Έστω κύκλος (Ο,R) κι δύο τόξ,. ν = ν ποδείξετε ότι < Ο Έστω το µέσο του τόξου. Τότε == άρ κι = = πό το τρίγωνο έχουµε < + <

9 9 7. Ν ποδείξετε ότι σε δύο άνισ τόξ ενός κύκλου ντιστοιχούν χορδές όµοι άνισες κι ντίστροφ. (Περιορισµός: Τόξ µικρότερ των 80 ο ) Ευθύ. Υπόθεση > Φέρνουµε τις κτίνες στ άκρ των τόξων. Ο Τότε O ˆ > Oˆ. Τ τρίγων Ο, Ο έχουν δύο πλευρές ίσες κι περιεχόµενη γωνί άνιση, άρ > ντίστροφο Υπόθεση > ε τη σε άτοπο πγωγή : Έστω ότι είνι. πό το ευθύ, θ είνι που είνι άτοπο

10 0 Σύνθετ Θέµτ. Έστω κυρτό τετράπλευρο κι Ο εσωτερικό σηµείο του. +++ i) Ν ποδείξετε ότι Ο + Ο + Ο + Ο > ii) ι ποι θέση του Ο το άθροισµ Ο + Ο + Ο + Ο γίνετι ελάχιστο; Κ Ο i) Τρ. Ο : Τρ. Ο : ΤΡ. Ο : Ο + Ο > OB + O > Ο + Ο > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > Προσθέτουµε κτά µέλη (Ο + Ο + Ο + Ο ) > Ο + Ο + Ο + Ο > +++ ii) Ότν το Ο δεν είνι σηµείο της διγωνίου, πό το τρίγωνο Ο έχουµε Ο + Ο > Ότν το Ο είνι σηµείο της διγωνίου, τότε Ο + Ο = Σε κάθε περίπτωση είνι Ο + Ο () Οµοίως Ο + Ο () () + () Ο + Ο + Ο + Ο + Η ελάχιστη, λοιπόν, τιµή του θροίσµτος Ο + Ο + Ο + Ο είνι + κι υτό συµβίνει ότν το Ο συµπίπτει µε το σηµείο τοµής των διγωνίων.

11 . Σε τρίγωνο ( < ) προεκτείνουµε τις πλευρές κι προς το µέρος του κτά τµήµτ = κι Ε = ντίστοιχ. Η ευθεί Ε τέµνει την ευθεί στο σηµείο. Ν ποδείξετε ότι : i) Το τρίγωνο Ε είνι ισοσκελές ii) Η διχοτόµος της Ε ˆ διέρχετι πό το σηµείο. Ε 3 3 i) ( Π Π ) τρ. Ε = τρ. Άρ E ˆ = Bˆ Τρ. Ε ισοσκελές E ˆ = Bˆ Εποµένως E ˆ = Bˆ 3 3 Άρ τρ. Ε ισοσκελές ii) Τ σηµεί, M ισπέχουν πό τ άκρ του τµήµτος Ε, άρ νήκουν στη µεσοκάθετό του, δηλδή η είνι µεσοκάθετος του Ε. όγω, δε, του ισοσκελούς Ε, θ είνι κι διχοτόµος.

12 3. Έστω Ο το σηµείο τοµής των διγωνίων ενός κυρτού τετρπλεύρου. Ν ποδείξετε ότι : i) Κάθε διγώνιος είνι µικρότερη της ηµιπεριµέτρου του τετρπλεύρου ii) + > + κι + > + iii) Το άθροισµ των διγωνίων είνι µεγλύτερο της ηµιπεριµέτρου του τετρπλεύρου κι µικρότερο της περιµέτρου του τετρπλεύρου Ο i) Tρ. : < + () Τρ. : < + () () + () < τ < τ (3) Οµοίως < τ (4) ii) Τρ. Ο : Ο + Ο > (5) Τρ. Ο : Ο + Ο > (6) (5) + (6) + > + (7) Οµοίως + > + (8) iii) (3) + (4) + < τ κι (7) + (8) ( + ) > τ + > τ

13 3 4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίς xoy ˆ θεωρούµε σηµείο κι στις πλευρές της Οx, Oy τ σηµεί, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι η περίµετρος του τριγώνου είνι µεγλύτερη πό Ο. y 4 Ο 3 x το συµµετρικό του ως προς την Οx το συµµετρικό του ως προς την Οy Τότε Ο = Ο = Ο = κι = Oˆ = Oˆ κι O ˆ = Oˆ 3 4 λλά O ˆ + Oˆ + O ˆ + Oˆ = 3 4 Oˆ + Oˆ + O ˆ + Oˆ = 3 3 Ô + Ô = 3 ( O ˆ + Oˆ ) = 90 ο = 80 ο 3 άρ, Ο, συνευθεικά Είνι < + + Ο + Ο < + + Ο + Ο < τ Ο < τ