ακτίνα του τέλους του µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής του. 19. Ποια ανισοτική σχέση ισχύει για το µέτρο του αθροίσµατος δυο διανυσµάτων;

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Α) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 1. Τι ονοµάζετι διάνυσµ κι πώς συµβολίζετι;. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µηδενικό; 3. Τι ονοµάζετι µέτρο ενός δινύσµτος κι πώς συµβολίζετι; 4. Ποιο διάνυσµ ονοµάζετι µονδιίο; 5. Τι ονοµάζετι φορές ενός δινύσµτος; 6. Ποιος είνι ο φορές του µηδενικού δινύσµτος; 7. Πότε δυο δινύσµτ ονοµάζοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; 8. Πότε δυο δινύσµτ έχουν την ίδι κι πότε ντίθετη κτεύθυνση; 9. Πότε δυο δινύσµτ ονοµάζοντι ίσ; 10. Πότε δυο δινύσµτ ονοµάζοντι ντίθετ 11. Πως ορίζετι η γωνί δυο µη µηδενικών δινυσµάτων; 1. Ποι δινύσµτ ονοµάζοντι ορθογώνι ή κάθετ; 13. Πως ορίζετι το άθροισµ δυο δινυσµάτων, β ; 14. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ δυο δινυσµάτων είνι νεξάρτητο πό την επιλογή του σηµείου στο οποίο γίνετι η πρόσθεση. 15. Πως βρίσκουµε το άθροισµ δυο δινυσµάτων µε τον κνόν του πρλληλογράµµου; 16. Ν ποδείξετε τις πρκάτω ιδιότητες της πρόσθεσης δινυσµάτων: i). + β = β+ ii). ( + β ) + γ = + ( β+ γ ) iii). + 0= iv). + ( ) = Πως ορίζετι η φίρεση του δινύσµτος β πό το ; 18. Ν ποδείξετε ότι κάθε διάνυσµ του χώρου είνι ίσο µε τη δινυσµτική κτίν του τέλους του µείον τη δινυσµτική κτίν της ρχής του. 19. Ποι νισοτική σχέση ισχύει γι το µέτρο του θροίσµτος δυο δινυσµάτων; 11

2 (Β) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις 0. Τι ονοµάζουµε γινόµενο του πργµτικού ριθµού λ µε το διάνυσµ ; 1. Ποιες είνι οι ιδιότητες του πολλπλσισµού πργµτικού ριθµού µε διάνυσµ;. Πότε λέµε ότι έν διάνυσµ γράφετι ως γρµµικός συνδυσµός των δινυσµάτων β, γ ; 3. Ν ποδείξετε ότι ν δυο δινύσµτ, β µε β 0 είνι πράλληλ, τότε υπάρχει µονδικός λ Rτέτοιος ώστε = λβ κι ντιστρόφως. 4. Ποι σχέση ισχύει γι τη δινυσµτική κτίν του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµτος; (Γ) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις: 5. Τι ονοµάζουµε άξον µε ρχή Ο κι µονδιίο διάνυσµ i ; 6. Τι ονοµάζουµε τετµηµένη ενός σηµείου Μ ενός άξον; 7. Πως ορίζουµε το ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο; 8. Τι ονοµάζουµε συντετγµένες ενός σηµείου Μ του επιπέδου; 9. Τι ονοµάζουµε συντετγµένες ενός δινύσµτος του επιπέδου; 30. Ν ποδειχθεί ότι κάθε διάνυσµ του επιπέδου γράφετι κτά µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των µονδιίων δινυσµάτων i κι j. 31. Ν υπολογισθούν οι συντετγµένες του µέσου ενός ευθυγράµµου τµήµτος ν είνι γνωστές οι συντετγµένες των άκρων του. 3. Ν διτυπωθεί κι ν ποδειχθεί ικνή κι νγκί συνθήκη ώστε τ δινύσµτ = ( x1, y1) κι β = ( x, y) ν είνι πράλληλ. 33. Πώς ορίζετι ο συντελεστής διεύθυνσης ενός δινύσµτος = ( x, y) κι πότε υτός δεν ορίζετι; 34. Αν ορίζοντι οι συντελεστές διεύθυνσης των δινυσµάτων = ( x1, y1) κι β = ( x, y ) ν ποδειχθεί η ισοδυνµί // β λ = λ. 35. Ποιες είνι οι συντετγµένες του κέντρου βάρους ενός τριγώνου ΑΒΓ; 1 β

3 36. Έν τετράπλευρο ΑΒΓ έχει γνωστές τις συντετγµένες των κορυφών του. Ν βρεθούν οι συντετγµένες του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµτος που ενώνει τ µέσ των διγωνίων του. ( ) Ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις: 37. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δυο δινυσµάτων; 38. Ν γράψετε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου; 39. Πως βρίσκουµε τη γωνί δυο µη µηδενικών δινυσµάτων; 40. Με τι ισούτι το ( ) ; 41. Ν ποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόµενο δυο δινυσµάτων είνι ίσο µε το άθροισµ των γινοµένων των οµώνυµων συντετγµένων τους. 4. Πως νπτύσσετι η έκφρση : ( ± β ) ; 43. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου: β = β ( λ) β = ( λβ ) = λ( β ), λ R ( β+ γ ) = β+ γ Επιµεριστική ιδιότητ β λ λ = 1όπου, β // y ' y β 44. Ν ποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόµενο ενός δινύσµτος επί έν διάνυσµ v είνι ίσο µε το εσωτερικό γινόµενο του επί την προβολή του v πάνω στο. 13

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βσικές έννοιες Α ΟΜΑ Α 1. Ν δειχθεί ότι τ µέσ των πλευρών τετρπλεύρου είνι κορυφές πρλληλογράµµου.. ίνετι πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι τ σηµεί Ε κι Ζ στη διγώνιο Β τέτοι 1 ώστε Ε = ΖΒ = Β. Ν δειχθεί ότι AE= ΖΓ Έστω Μ µέσο του ΑΒ, Ν µέσο Γ κι ΑΒΓ πρλληλόγρµµο. Τότε ΑΝ = ΜΓ 4. Ν δειχθεί ότι τ δινύσµτ που ντιστοιχούν στις διµέσους τυχίου τριγώνου, σχηµτίζουν τρίγωνο. 5. Αν + β+ γ = 0 τότε ν δειχθεί ότι τ µη συγγρµµικά δινύσµτ: x= 3 + β γ, y= 4 + 5β+ γ, ω= + β + 8γ σχηµτίζουν τρίγωνο. 6. Ν δειχθεί ότι οι διγώνιες πρλληλογράµµου διχοτοµούντι. ηλδή ν δείξουµε ότι τ µέσ των διγωνίων τυτίζοντι. 7. ίνοντι τ τρίγων ΑΒΓ κι Α Ε. Αν ισχύει ΑΒ Α = ΑΕ ΑΓ (1) δειχθεί ότι οι πλευρές ΒΓ, Ε έχουν το ίδιο µέσο. τότε ν 8. Ν δειχτεί ότι τ Α, Γ, Ε είνι συνευθεικά 14

5 9. ίνοντι τ σηµεί Ο, Α, Β, Γ γι τ οποί ισχύει : ΟΒ + 3ΟΓ = 4ΟΑ. Ν δειχθεί ότι τ Α, Β, Γ είνι συνευθεικά. 10. Αν ΑΚ + 3ΒΚ ΒΑ= ΒΛ+ 3ΑΜ ν δείξετε ότι τ Κ, Λ, Μ είνι συνευθεικά. 11. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α = καβ + λαγ κι ΑΕ = λαβ + καγ ν δειχθεί ότι Ε // ΒΓ. Πότε είνι Ε ΒΓ κι πότε Ε ΒΓ ; 1. ίνετι τετράπλευρο ΑΒΓ κι έστω Μ κι Ν τ µέσ των διγωνίων του ΑΓ κι Β. Ν δείξετε ότι ν 4 ΜΝ = Α ΒΓ (1) τότε το τετράπλευρο υτό είνι πρλληλόγρµµο µε ΑΒ // Γ. 13. ίνετι τετράπλευρο ΑΒΓ κι Μ, Ν τ µέσ των ΑΓ κι Β. Ν δείξετε ότι ΑΒ + Α + ΓΒ + Γ = 4ΜΝ 14. ίνετι τετράπλευρο ΑΒΓ κι Μ, Ν τ µέσ των διγώνιων του ΑΓ κι Β 1 1 ντίστοιχ. Ν δειχθεί: ΜΝ = ( Α ΒΓ ) = ( ΑΒ + Γ ) 15. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί, Ε τέτοι ώστε ΑΒ + ΑΓ = Α + ΑΕ (1). Ν δειχθεί ότι το Ε περνάει πό στθερό σηµείο. 16. ίνετι τετράπλευρο ΑΒΓ. Ν βρεθεί σηµείο Ρ του επιπέδου τέτοιο ώστε: ΡΑ+ ΡΒ+ ΡΓ + Ρ = Ο (1) 17. ίνοντι τ σηµεί Α, Β κι Γ. Ν δείξετε ότι γι οποιοδήποτε σηµείο Μ το διάνυσµ 3MΑ 5MΒ + MΓ (1) είνι στθερό. 15

6 18. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Ν βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ του επιπέδου γι τ οποί το διάνυσµ = ΜΑ+ ΜΒ + ΜΓ είνι πράλληλο προς το ΒΓ. 19. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Ν βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ γι τ οποί ισχύει MA+ MB = MA+ MΓ 0. Έστω Ο κι Α δυο στθερά σηµεί του επιπέδου µε OA = 3. Ποι γρµµή γράφουν τ σηµεί Μ του επιπέδου γι τ οποί είνι : ΟΜ ( ΟΜ ΟΑ) = 7 ; 1. ίνετι κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ. Ν βρείτε το γ. τ. των σηµείων του επιπέδου του ΑΒΓ γι τ οποί ισχύει: ΜΑ+ ΜΒ + ΜΓ = Μ. ίνετι κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ. Ν βρείτε το γ. τ. των σηµείων Μ του επιπέδου του ΑΒΓ γι τ οποί ισχύει: ΜΑ+ ΜΒ = ΜΓ Μ 16

7 Β ΟΜΑ Α 3. Ν ποδείξετε ότι γι οποιδήποτε σηµεί Α, Β, Γ κι ισχύει: Α +ΒΓ= ΑΓ Β 4. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓ κι έστω, β, γ κι δ τ δινύσµτ θέσεως των σηµείων Α, Β, Γ κι ντίστοιχ ως προς έν σηµείο Ο. Τι συµπερίνετε γι το τετράπλευρο ΑΒΓ ν είνι γνωστό ότι: i). + γ = β+ δ ii). γ = β δ iii). + γ = β+ δ κι γ = β δ 5. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί, Ζ κι Ε γι τ οποί ισχύουν Α = Β, 3 ΑΖ= 5 ΑΓ κι ΒΕ= 3 ΒΓ i). Ν γράψετε κθέν πό τ δινύσµτ Ζ, Ε ως γρµµικό συνδυσµό των δυο µη συγγρµικών δινυσµάτων ΑΒ κι ΑΓ. ii). Ν εξετάσετε ν τ σηµεί, Ζ, κι Ε είνι συνευθεικά. 6. i). Αν 0 τότε τι συµπερίνετε γι το µέτρο κι την κτεύθυνση του δινύσµτος 0 = ; 17

8 ii). ίνοντι δυο µη συγγρµµικά δινύσµτ κι β. Ν ποδείξετε ότι το β διάνυσµ γ = + «διχοτοµεί» τη γωνί των, β δηλδή β γ ( β (, ) = γ, ) iii). Οµοίως γι το διάνυσµ δ = β+ β 7. Αν ισχύει ΑΛ+ 3ΒΛ+ ΜΒ= ΑΚ+ΑΜ+ΒΚ ν ποδείξετε ότι τ δινύσµτ ΚΛκιΜΛ είνι ντίρροπ. 8. ίνοντι τ σηµεί Α, Β, Γ κι. Ν ποδείξετε ότι γι οποιδήποτε σηµείο Μ το διάνυσµ u = 5ΜΑ+ ΜΒ ΜΓ 4Μ είνι στθερό (νεξάρτητο του Μ). 9. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω, Ε, κι Ζ τ µέσ των πλευρών ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ ντίστοιχ. Έστω επίσης, γ = ΑΒκι β = ΑΓκι Μ το µέσο του ΕΖ. i). Ν εκφράσετε τ δινύσµτ συνάρτηση των β κι γ. Α κι ΑΜως ii). Τι συµπερίνετε γι τ σηµεί Α,Μ κι ; 30. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έστω κι Ε τ µέσ των ΑΒ κι ΑΓ ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι : i). 1 Ε= ΒΓ ii). το τµήµ που ενώνει τ µέσ δυο πλευρών του τριγώνου είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά κι ισούτι µε το µισό της. 18

9 31. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί, Ε, Ζ γι τ οποί ισχύουν: Α = 3 ΑΒ, 5 ΑΖ= 6 ΑΓ κι ΓΕ =ΒΓ. i). Ν γράψετε κθέν πό τ δινύσµτ Ε, Ζ ως γρµµικό συνδυσµό των δυο µη συγγρµµικών δινυσµάτων ΑΒ, ΑΓ ii). Ν εξετάσετε ν τ σηµεί, Ζ, Ε είνι συνευθεικά. 3. ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σηµεί, Ε, Ζ γι τ οποί ισχύουν: 1 Α = 3 ΑΒ, 1 ΓΕ= ΒΓ, 3 ΑΖ= 5 ΑΓ i). Ν γράψετε κθέν πό τ δινύσµτ Ε κι Ζ ως γρµµικό συνδυσµό των ΑΒ κι ΑΓ. ii). Ν εξετάσετε ν τ σηµεί, Ε, κι Ζ είνι συνευθεικά. 33. ίνοντι τ σηµεί Α, Β, Γ, κι. Ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί ισχύει: ΜΑ +ΜΒ = ΜΓ Μ.. 19

10 Συντετγµένες στο επίπεδο Α ΟΜΑ Α 34. ίνοντι τ δινύσµτ = ( λ 3λ+, λ 3λ ) κι β = λ λ+ λ + λ ( 5 6, 3 7 ). Ν βρείτε τ λ Rέτσι ώστε (Υπόδειξη: υο δινύσµτ είνι ίσ ότν έχουν ίσες τις οµώνυµες συντετγµένες τους) =β. 35. Ν εξετσθεί ν τ δινύσµτ a= (1, ), β = ( 3, 6) είνι συγγρµµικά Αν νι, είνι οµόρροπ ή ντίρροπ; (Υπόδειξη: i) // β = λβ ή = ( x1, y1) x1 y1 ii) ν τότε // β 0 β = ( x, y) x y = iii) λ = λβ // β κι συγκεκριµέν β οµόσηµες οι οµώνυµες συντετγµένες. β ετερόσηµες οι οµώνυµες συντετγµένες). 36. Αν τ σηµεί K (, ), Λ (3, ), M (4, ), N (3,1) κι Ξ (, ) είνι τ µέσ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ, Ε, ΕΑ ντιστοίχως του πεντγώνου ΑΒΓ Ε ν βρεθούν οι συντετγµένες των κορυφών του. (Υπόδειξη: Έστω A( x, y ) κι B( x, y ) τότε το N( x, y ) µέσο του AB A A B B N N ισχύει: x N xa+ xb =, y N ya+ yb = ) 37. ίνετι το διάνυσµ = ( λ 4, λ 3λ+ ) ν είνι : i). a= 0 ii). a 0 κι // x ' x 130, λ R. Ν βρείτε το λ R ώστε

11 (Υπόδειξη: Έστω = ( x1, y1) έχουµε i). a= 0 x 1= 0, y 1= 0 ii). // x ' x λ = 0 y1 = 0, x1 0 iii). // y ' y δεν ορίζετι λ κι x 1= 0 ) 38. ίνοντι τ σηµεί : A (1,1), Β(-3,) κι Γ ( 5, x). Ν βρεθεί ο x Rώστε τ Α, Β, Γ, ν είνι συνευθεικά. (Υπόδειξη: Α, Β, Γ συνευθεικά AB κι ΒΓ συγγρµµικά. Εάν A ( xa, y A ), B( xb, y B) κι Γ ( xγ, yγ ) τότε : ΑΒ = ( xβ xa, yb ya) κι ΒΓ = ( x x, y y ) ) Γ Β Γ Β 39. ίνοντι τ σηµεί A(5, 1), B(1,1) κι Γ (,3). Ν µελετηθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. A( xa, ya) (Υπόδειξη: Β ( xβ, yβ ) (πόστση των Α, Β) = d( A, B) = AB = ( x x ) + ( y y ) B A B A ) 40. Σ έν σύστηµ συντετγµένων οι τετµηµένες δυο σηµείων Α κι Β είνι ρίζες της εξίσωσης x ( λ 5λ+ 14) x 7 (1) ενώ οι τετγµένες ρίζες της y ( λ + 3λ+ ) y 5= 0 () Ν βρεθεί ο λ Rώστε το µέσο του τµήµτος ΑΒ ν έχει συντετγµένες (4, 6). (Υπόδειξη: ax β γ + β x+ γ = 0, a 0 Τύποι Vieta : x1+ x =, x1 x = ) a a 41. Αν u= (3,4) ποιο είνι συγγρµµικό µε το u κι έχει διπλάσιο µέτρο πό το u ; 4. Ν βρείτε σηµείο Μ του άξον x' x ώστε το άθροισµ των ποστάσεων πό τ σηµεί Α(1,) κι Β(3, 4) ν είνι ελάχιστο. 131

12 43. Ν νλυθεί το διάνυσµ : γ = (4, 3) σε δυο συνιστώσες που ν είνι πράλληλες προς τ δινύσµτ: a= (1, ) κι β = (,5) 44. ίνοντι τ = (, 4) κι β = (3, ). Ν βρεθεί u= ( x, y) έτσι ώστε ν είνι: () u= + β, (β) + u= β (γ) u= κ (δ) u= κ+ λβ (ε) u+ + β = Αν Α, ΒΕ, ΓΖ διάµεσοι τριγώνου ΑΒΓ ν δειχθεί ότι : Α + ΒΕ + ΓΖ = 0 13

13 Β ΟΜΑ Α 46. Ν βρείτε γι ποιες τιµές των λ, µ το διάνυσµ u = ( 3λ+ µ, λ µ + 8) είνι µηδενικό. 47. i). Ν βρείτε γι ποιες τιµές του x το διάνυσµ = ( x 4) i+ ( x + x) j είνι ίσο µε 0. ii). Οµοίως γι το διάνυσµ β = x ( i+ j) 3( x i+ 3 j) 48. ίνετι το διάνυσµ = ( x + 5x) i+ ( x 5) j. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του x ισχύει: i). iii). // x x ii). // y y // x x κι 0 iv). // y y κι Αν Β(3,5) ν βρείτε το σηµείο εφρµογής του δινύσµτος ΑΒ=( 1,3 ) 50. Αν το διάνυσµ ΑΒ=(,8 ) έχει σηµείο εφρµογής το Α(5,4) του. ν βρείτε το πέρς 51. Το σηµείο Μ είνι το µέσο του τµήµτος ΑΒ. i). Αν Α(,4) κι Β( 1, 6) ν βρείτε το Μ ii). Αν Μ (3,1 ) κι Β( 1,) ν βρείτε το Α 5. Το σηµείο Α(4,) νήκει σε κύκλο κέντρου Κ (3,5). Ν βρεθεί το ντιδιµετρικό σηµείο του Α. 53. Αν = (,3) κι β = (4,1) ν βρείτε το διάνυσµ u γι το οποίο u = β. 133

14 54. Ν γράψετε το διάνυσµ u = (6,5) ως γρµµικό συνδυσµό των δινυσµάτων = (1,) κι β = (, 3) 55. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του λ Rτ δινύσµτ = 4λ i 9 j κι β = 4 i+ λ j είνι i). Πράλληλ ii). οµόρροπ 56. i). Ν εξετάσετε ν τ σηµεί Α (0,1), Β ( 3,4) κι Γ( 1,1+ 3) συνευθεικά. ii). Οµοίως γι τ σηµεί Α (,5), Β(1, ) κι Γ (5,1 ) είνι 57. Σε πρλληλόγρµµο ΑΒΓ είνι Α (1,4 ), Β( 1,9) κι ( 5, 3). Ν βρεθεί η κορυφή Γ. 58. Ν βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των δινυσµάτων: i). iii). 3 ii). i 1 j i 4 j iv). 3 j+ 1 i 59. Ν βρείτε το µέτρο των δινυσµάτων: i). 6 i 8 j ii). ) i + ( ) j ( συνθ ηµθ 60. Ν βρείτε το µέτρο των δινυσµάτων: i). 8 i+ j ii). ( ) i ( ) j ηµθ συνθ iii). iv). i+ ( x y) 3 1 i j 4 4 xy j 134

15 61. Ν εξετάσετε ν το διάνυσµ = ( ηµθ, συνθ ) είνι µονδιίο. 6. Αν u = ( 5,8) ν βρείτε το διάνυσµ vτο οποίο είνι οµόρροπο προς το u κι έχει διπλάσιο µέτρο πό υτό. 63. Αν u = ( 7,84) ν βρείτε το διάνυσµ vπου έχει µέτρο το µισό του µέτρου του uκι είνι συγγρµµικό µε το u. 64. Ν βρεθεί το µονδιίο διάνυσµ στην κτεύθυνση του = ( 3,4). 65. Τ µέσ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ κι ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ είνι τ σηµεί Κ ( 1,3), Λ (5,) κι Μ(4,0) ντίστοιχ. Ν βρείτε τις συντετγµένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. 66. Οι τετγµένες των σηµείων Α, Β είνι οι ρίζες της εξίσωσης : y λ + 3λ+ 10) y 4 ( = του τµήµτος ΑΒ ν έχει τετγµένη ίση µε Ν βρεθεί η τιµή του λ γι την οποί το µέσο Μ 67. Ν βρείτε το διάνυσµ γι το οποίο : = ( 4, ). 68. Ν βρεθούν τ δινύσµτ, β γι τ οποί ισχύουν = ( 3, β ) κι β = (1, ). 135

16 Εσωτερικό γινόµενο Α ΟΜΑ Α 69. Ν δείξετε ότι : i). u+ v + u v = u + v ii). 1 1 u v= u+ v u v Αν = β = + β (1) (συνθήκη) ν δειχθεί ότι : β = 3 π 71. Ν βρεθεί το µέτρο του δινύσµτος : + β+ γ ν (, β ) = ( β, γ ) = 4 =, β = 3, γ = κι 7. Αν, β είνι µονδιί δινύσµτ κι θ η µετξύ τους γωνί ν δείξετε ότι : θ + β = συν 73. Αν β, ( + β ) ( 3 β ) κι β = δείξτε ότι = 3 κι β = Ν εξετάσετε πότε ισχύει : () + β = + β (β) β = + β 75. Ν ποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : = β + γ βγσυνα, όπου A= ( β, γ ). 76. Ν δείξετε ότι τ δινύσµτ u= β+ β κι v= β β είνι κάθετ. 77. Εάν 0, β 0 το ν = β ( β ) β είνι κάθετ στο β. 136

17 78. ίνοντι τ σηµεί A(3, ), B(6, 4), Γ (1,5), ( 1,). Ν υπολογίσετε : () AB Γ (β) Είνι AB Γ ; 79. ίνοντι τ σηµεί A (3, ), B(7, 4). Ν βρεθεί σηµείο του άξον x' x ώστε MAB ν είνι ορθογώνιο στο Μ. 80. Ν δειχθεί ότι έν τρίγωνο είνι ορθογώνιο ν κι µόνο ν : = β + γ 81. Ν δειχθεί ότι τ δινύσµτ = i+ 3 j, β = 6i+ 4 j κι γ = 4i+ 7 j σχηµτίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. π 8. Αν = β = 1κι (, β ) = ν υπολογίσετε τη γωνί των δινυσµάτων 3 u= + 4β κι v= β 83. Ν βρεθεί η γωνί των δινυσµάτων = ( 1, ) κι β = ( 3,1) 84. ίνοντι τ δινύσµτ = (, 4) κι β = ( 8,5). Ν νλύσετε το β σε δυο κάθετες συνιστώσες πό τις οποίες η µι ν είνι πράλληλη προς το. 85. Αν = (,3) κι β = ( 1, 4) ν βρείτε τη προβολή του πάνω στο β. 86. i). Αποδείξτε ότι γι δυο δινύσµτ, β ισχύει : β β ii). Χρησιµοποιώντς το (i) ερώτηµ ν βρείτε την ελάχιστη κι τη µέγιστη τιµή της πράστσης A= 6x 8y εάν x + y = 36. iii). Με τη βοήθει του (i) ερωτήµτος ποδείξτε ότι 6ηµ x 8συν x

18 87. i). Έστω έν µη µηδενικό διάνυσµ. i. Είνι γνωστό ότι προβ προβ = β β//. Εποµένως θ υπάρχει λ R, ώστε λ. Ν ποδείξετε ότι ο συντελεστής λ δίνετι πό β την ισότητ: λ =. ii. Ν ποδείξετε ότι: προβ β =. β ii). Ν βρείτε την προβολή του δινύσµτος β = (5,10 ) πάνω στο διάνυσµ = ( 1,). iii). Ν βρείτε την προβολή του δινύσµτος β πάνω στο διάνυσµ, ν είνι γνωστό ότι: = 3, β = 0κι, β ) 30. ( = 88. Γι τ µονδιί δινύσµτ, β κι γ ν ποδείξετε ότι: i). β+ β γ ii). Αν β+ β γ = τότε = β = γ 89. Ν λυθεί η εξίσωση ( x ) β+ 5 x = γόπου = (1,4 ), β = ( 1,) κι γ = ( 0,35) 90. Αν = (,3), β = ( 1,1 ) κι γ = (,3) ν υπολογιστούν τ i). β+ γ ii). + β + β+ γ + γ+ 138

19 91. Αν γι τ δινύσµτ, β, γισχύει : + β+ γ = 0 κι ποδειχθεί ότι: β γ = = ν 3 i). Το είνι οµόρροπο µε το β ii). Το β είνι ντίρροπο µε το γ 9. ίνοντι τ δινύσµτ, β, γι τ οποί ισχύει: + β+ γ = 0 κι = β = 3 γ. Ν ποδειχτεί ότι τ δινύσµτ, β κι γείνι συγγρµµικά. 4 < ) 93. Αν u ( 3 3, 1 3) κι v( 1 3, 1 3) κι 0 ( u, v < π ν ποδείξετε ότι: π ( u, v ) = Αν = 1, ), β = β 1, β ) ( ( µε β = κι = β ν ποδείξετε ότι ισχύει: β β 4 ή β β = = Θεωρούµε το τρίγωνο ΑΒΓ. Ν βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου του γι τ οποί ισχύει: ΑΒ ΑΜ+ ΑΓ ΑΜ= Θεωρούµε τ δινύσµτ, β, γ µε + β+ γ = 0. Αν =, β = 3 κι γ = 5ν υπολογίσετε το: β+ β γ+ γ. 97. Αν = 4, β = 3 κι, β ) 30 ν βρεθεί το διάνυσµ xγι το οποίο είνι ( = x //( +β ) κι β ( x). 139

20 98. i). Ν γίνουν οι πράξεις στην πράστση :[( β ) γ ( βγ ) ] β ii). Ν ποδειχθεί ότι το διάνυσµ: u = ( β ) γ ( βγ ) είνι κάθετο στο β. 99. Αν οι διάµεσοι ΒΜ κι ΓΝ τριγώνου ΑΒΓ τέµνοντι κάθετ ν ποδειχθεί ότι: 4 συν Α. Πότε ισχύει η ισότητ; 5 140

21 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 100. ίνοντι τ σηµεί Α ( 1,κ ), Β ( κ 1,+ κ ) κι Γ( κ, κ + 3), όπου κπργµτικός ριθµός. i). Ν βρείτε τις συντετγµένες των δινυσµάτων ΑΒ κι ΒΓ. ii). Γι ποι πό τις πρκάτω τιµές του κτ σηµεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά; Α. -1 Β. 0 Γ. 1. Ε. - iii). Ν ποδείξετε ότι γι κ = 1το σηµείο Β είνι το µέσο του τµήµτος ΑΓ ίνοντι τ δινύσµτ = ( 5κ,3 λ) κι β = ( 4 λ,4κ ) όπου κ, λπργµτικοί ριθµοί. i). Γι ποιες τιµές των κκι λ τ δινύσµτ κι β είνι ίσ; ii). Αν λ = 8, κ θετικός κι τ δινύσµτ, β είνι πράλληλ, τότε ο κείνι ίσος µε Α. 4 Β. 1 Γ.. 3 Ε. 5 Ν γράψετε στο τετράδιο τη σωστή πάντηση. 10. Ν βρείτε τ µέτρ των δινυσµάτων κι β γι τ οποί ισχύουν: π (, β ) =, ( + β ) ( β ) κι + β = Αν τ δινύσµτ = ( κ, λ) κι β = ( µ, ν ) είνι µονδιί κι ισχύει κν λµ = 1ν ποδείξετε ότι : β Αν γι το σηµείο Μ( x, y) ισχύει: ΟΜ = 6,όπου Ο η ρχή των ξόνων, ν ποδείξετε ότι: 3x 4y

22 105. Γι τ δινύσµτ του διπλνού σχήµτος ισχύουν οι σχέσεις: = ΑΒ, = ΒΓ β, = κι Ε= Γ β. i). Ν εκφράσετε τ δινύσµτ κι β. ii). Το διάνυσµ ΑΕ είνι ίσο µε : ΑΓ κι ΓΕ συνρτήσει των δινυσµάτων Α. 3 +β Β. 3 β Γ Γ. 3 3β. + 3 β Β Α Ε. β 4 E iii). Αν ισχύει = β τότε ν ποδείξετε ότι τ δινύσµτ ΑΓ κι ΓΕ είνι µετξύ τους κάθετ Γι τ δινύσµτ, β δίνετι ότι: = 1, β = κι π (, β ) =. Έστω τ 3 δινύσµτ u = + 3β, v = β. Ν υπολογίσετε i). το εσωτερικό γινόµενο β ii). τ µέτρ u, vτων δινυσµάτων u κι v iii). το εσωτερικό γινόµενο u v iv). το συνηµίτονο της γωνίς των δινυσµάτων u κι v 14

23 107. Αν ΡΑ+ΡΒ ΡΓ= 0 κι ΡΑ = 6, ΡΒ = ΡΓ = 3 ν ποδείξετε ότι: i). τ σηµεί Α, Β κι Γ είνι συνευθεικά. ii). το σηµείο Γ είνι νάµεσ στ σηµεί Α κι Β. iii). ΑΡΒ=90 iv). το διάνυσµ v =ΡΒ+ΡΓείνι κάθετο στο ΑΓ Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ( ΑΒ = ΑΓ). i). Ν εξετάσετε ν είνι Σωστή ή Λάθος κθεµί πό τις επόµενες προτάσεις Α. ΑΒ = ΑΓ Β. προβ ΑΒ = προβ ΒΓ ΒΓ ΑΓ A ΒΓ Γ. προβ ΑΒ + προβ ΑΓ= 0. προβ ΒΑ = προβ ΒΓ ΒΓ ΒΓ ΑΓ Ε. τ δινύσµτ προβ ΓΒ κι προβ ΑΒ ίσ µέτρ λλά δεν είνι ίσ. ΑΓ ΓΒέχουν B G ii). Αν είνι β +γ =ΑΒ κι β γ =ΑΓν ποδείξετε ότι: β γ Γι τ δινύσµτ, β ισχύουν οι σχέσεις 3β = (4, ) κι 3β = ( 7,8). i). Ν ποδείξετε ότι: = ( 1,) κι β = (, ) ii). Ν βρεθεί ο πργµτικός ριθµός κ, ώστε τ δινύσµτ κ +β κι + β 3 ν είνι κάθετ. 143

24 iii). Ν νλυθεί το διάνυσµ γ = ( 3, 1) σε δυο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η µι ν είνι πράλληλη στο διάνυσµ i). Γι δυο µη συγγρµµικά δινύσµτ, β ν ποδείξετε ότι: προβ β = β ii). ίνετι οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α κι έστω γ = (ΑΒ) κι β = (ΑΓ). Ν ποδείξετε ότι : ( βσυν Γ) Β + ( γσυνβ) Γ = Έστω κι β δυο µη συγγρµµικά δινύσµτ. i). Αν υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί λ κι µ τέτοιοι ώστε λ = µ β ν ποδείξετε ότι: λ =µ = 0 ii). Αν ισχύει ( β ) + (3β 3) β = 0 i. Ν υπολογίσετε τη γωνί των κι β ii. Ν ποδείξετε ότι το διάνυσµ προβ β είνι µονδιίο κι οµόρροπο του (είνι δηλδή το µονδιίο διάνυσµ στην κτεύθυνση του ). 11. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΑΒ= + β κι ΑΓ= 3βόπου β = 1κι = (, β ) = π. 3 i). Ν υπολογίσετε την τιµή των πρστάσεων β, (4 β + ), β. ii). Αν Μ το µέσο της πλευράς ΒΓ 144

25 i. Ν εκφράσετε τ δινύσµτ κι β ii. Ν βρείτε τη γωνί των ΑΜ κι ΑΜ κι ΒΓ iii. Ν βρεθεί η προβολή της ΑΜ στην ΑΓ. ΒΓ συνρτήσει των 113. Έστω κι β δυο δινύσµτ µε = κι = 9 β i). ν ποδείξετε ότι γι κάθε διάνυσµ x ισχύει: προβ ii). Αν ισχύει x x = ( x ) x = 1προβ x+ 4β ν ποδείξετε ότι: x = 3+ β 3 145