2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

Transcript

1 . Ασκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 69 7 A Oµάδας. Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγµατική τιµή του µ η εξίσωση (µ ) + µ + µ παριστάνει ευθεία γραµµή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράηη προς τον άξονα, πότε προς τον και πότε διέρχεται από την αρχή των αξόνων; Η δοσµένη εξίσωση είναι της µορφής Α + B + Γ. Ένας τουάχιστον από τους µ, µ είναι, διότι: αν ήσαν µ και µ, θα ήταν µ και µ, που είναι άτοπο. Άρα η δοσµένη εξίσωση παριστάνει ευθεία γραµµή ε. ε µ µ ε µ ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων µ µ

2 . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(, ) και είναι κάθετη στην ευθεία + 6. Ποιο είναι το σηµείο τοµής των δύο ευθειών; Έστω ε : ε + 6 η δοσµένη ευθεία και η η ζητούµενη. Α Β η ε η η : ( + ) Σηµείο τοµής των ε, η : ( ) ( ) 8

3 . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 5 + και 7 και είναι κάθετη στην ευθεία Σηµείο τοµής : Η τρίτη ευθεία έχει συντεεστή διεύθυνσης. Η εξίσωσή της θα είναι K(, 7) Α, άρα η ζητούµενη κάθετή της θα έχει Β +7 ( + )

4 . Τα σηµεία Α(, 6) και Γ(, ) είναι οι απέναντι κορυφές ενός παραηογράµµου ΑΒΓ. Οι πευρές ΒΓ και Γ του παραηογράµµου ανήκουν στις ευθείες µε εξισώσεις + και + αντιστοίχως. Να υποογίσετε : i) Τις συντεταγµένες της κορυφής. ii) Το συνηµίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραηογράµµου. (i) Α K + Γ Β - + A ΒΓ A ΒΓ Α : 6 ( + ) 8 + Οι συντεταγµένες του θα είναι η ύση του συστήµατος + των εξισώσεων των ευθειών Α και Γ, + 6 8, 6, Άρα (, ) (ii) ΑΓ 6 5 ΑΓ δ + (, 5) Το σηµείο τοµής Κ των διαγωνίων είναι µέσο της ΑΓ. Άρα Κ(, + 6 ), Κ( 5, 7 ) 7 Β Κ δ δ συν( δ δ ) 9 5 δ δ Β δ (9, )

5 5 5. Να βρείτε την τιµή του R, ώστε οι ευθείες ( ) και + + να είναι κάθετες. Η πρώτη ευθεία είναι παράηη στο διάνυσµα δ (Β, Α) (, ) και η δεύτερη είναι παράηη στο διάνυσµα δ (Β, Α) (, ) Οι δύο ευθείες είναι κάθετες τότε και µόνο τότε όταν δ δ δ δ ( ) + + ( + ) ή + ή 6. Να βρείτε την τιµή του κ R, ώστε η ευθεία + + κ να διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών και Για το σηµείο τοµής, ύνουµε το σύστηµα , H ευθεία + + κ διέρχεται από το σηµείο (, 7 ) + ( 7) + κ + κ κ

6 6 Β Oµάδας. Να σχεδιάσετε τις γραµµές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις i) + ii) + + i) H εξίσωση γράφεται + ( ) (β βάθµια ως προς ) 6 ( ) ± + ή + ευθείες κάθετες µεταξύ τους O ii) H εξίσωση γράφεται + ( + ) (β-βάθµια ως προς ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( ) ± ( ) + ή + ή + ευθείες κάθετες µεταξύ τους O

7 7. Να αποδείξετε ότι όες οι ευθείες της µορφής (α + α + ) + ( α α + ) + (α + ), α R, διέρχονται από το ίδιο σηµείο Για α, έχουµε τη συγκεκριµένη ευθεία ε : + + Για α, έχουµε τη συγκεκριµένη ευθεία ε : ( + + ) + ( + ) + + Βρίσκουµε το σηµείο τοµής K των ε, ε ύνοντας το σύστηµά τους ε ε 6 + ( ) Άρα Κ(, ) Θα αποδείξουµε ότι, για κάθε α R, η δοσµένη εξίσωση επαηθεύεται από το Κ(, ), οπότε όες οι ευθείες, που παριστάνει, θα διέρχονται από το Κ. (α + α + )( ) + ( α α + ) + (α + ) α α + α α + + α +. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες + 5, και διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Βρίσκουµε το σηµείο τοµής K των δύο πρώτων ύνοντας το σύστηµά τους 5 5 5, Άρα Κ(, ) Για να διέρχεται η τρίτη ευθεία από το Κ(, ), αρκεί να επαηθεύεται από αυτό

8 8. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηµατίζουν οι ευθείες µ και ( + µ) ( µ). Έστω ε : µ και ε : ( + µ) ( µ) οι δοσµένες ευθείες. Θεωρούµε το διάνυσµα δ (, µ) ε και το δ ( µ, + µ) ε. δ δ Συν( δ δ ) µ+µ ( +µ ) δ δ +µ ( µ ) + ( +µ ) µ+µ+µ +µ µ+µ + + µ+µ +µ +µ + µ Άρα η ζητούµενη γωνία είναι 5 ο. +µ +µ +µ. 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σηµείο τοµής των ευθειών + α β και + β α, µε α, β και α ±β. Έστω ε : β + α αβ και ε : α + β αβ οι δοσµένες ευθείες. Λύνουµε το σύστηµά τους, για να βρούµε το σηµείο τοµής τους Κ β α α β β α αβ α αβ β αβ α β αβ(β α) β αβ α αβ αβ α β αβ(β α) Κ αβ και β+α Κ αβ β+α Επειδή Κ Κ, η ζητούµενη ευθεία θα είναι η

9 9 6. ίνεται η ευθεία + και το σηµείο Α(, ). Να βρείτε τις συντεταγµένες της προβοής του Α στην ευθεία αυτή. ΑΚ ε, οπότε Κ είναι η προβοή του Α στη K δοσµένη ευθεία ε. ε Α ε άρα ΑΚ ΑΚ: ( ) 6 5 Σύστηµα των ε και ΑΚ , Κ 5, Κ 9 5 άρα Κ( 5, 9 5 ) 7. ίνεται η ευθεία ε : +. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι α β κάθετη στην ε στο σηµείο που αυτή τέµνει τον άξονα. Για, η ε δίνει α, άρα τέµνει τον άξονα στο Κ(α, ) α Είναι ε β α, άρα η ζητούµενη θα έχει α β α β ( α) α β α β και εξίσωση