Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Transcript

1 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει των συντετγµένων τους. Μονάδες 3) ) Αν τ δινύσµτ a, δεν είνι πράλληλ προς τον άξον κι λ,λ είνι οι συντελεστές διεύθυνσης των a, ντιστοίχως, ν ποδείξετε ότι: a λ λ Μονάδες 5,5) γ) Αν τ δινύσµτ a, είνι µη µηδενικά κι θ είνι η γωνί των a κι, ν ποδείξετε ότι: συνθ Μονάδες 4) Β. ) ίνοντι τ δινύσµτ: a λ, λ -), λ) 4, µε λ. Γι ποι πό τις πρκάτω τιµές του λ τ δινύσµτ a κι είνι κάθετ; Α. λ Β. λ 3 Γ. λ. λ - Ε. λ -3 Ν γράψετε στο τετρδιό σς το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. Μονάδες 6,5) Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe

2 ) ίνοντι τ δινύσµτ: u,- 3), v, 3), w 3,) Ν ντιστοιχίσετε κάθε γωνί που ρίσκετι στη στήλη Α µε το µέτρο της που ρίσκετι στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. γωνί των u κι v Α. π/ Β. π/6. γωνί των u κι w Γ. π/4. π/3 3. γωνί των v κι w Ε. 3π/4 Ζ. π/3 Ν γράψετε στο τετρδιό σς τον ριθµό της στήλης Α κι δίπλ το γράµµ της στήλης Β που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. Μονάδες 6) Ζήτηµ ο ίνoντι οι ριθµοί κ κι 6κ 7, όπου κ κέριος ριθµός. Ν ποδείξετε ότι: ) Οι ριθµοί 3 κι είνι πρώτοι µετξύ τους. Μονάδες 9) ) Το υπόλοιπο της διίρεσης του ριθµού ) µε το είνι. Μονάδες 8) γ) Αν ο ριθµός κ είνι πολλπλάσιο του 7, τότε ο ριθµός ) είνι πολλπλάσιο του 7. Μονάδες 8) Ζήτηµ 3ο ίνοντι τ σηµεί Α8, ) κι Β, 4) του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν ρείτε την εξίσωση της ευθείς που ορίζετι πό την ρχή των ξόνων Ο κι το µέσο του τµήµτος ΑΒ. Μονάδες 9) ) Ν ρείτε την εξίσωση της ευθείς ε) που διέρχετι πό το σηµείο κι είνι κάθετη στην ευθεί Ο. Μονάδες 9) γ) Έστω Μ τυχίο σηµείο της πρπάνω ευθείς ε). Ν δείξετε ότι ισχύει η σχέση: MA MB OM Μονάδες 7) Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe

3 Ζήτηµ 4ο Θεωρούµε ένν πληθυσµό πό 999 µυρµήγκι. Κάθε µυρµήγκι χρκτηρίζετι πό ένν ριθµό,, 3,, 999 κι κινείτι επάνω στο κρτεσινό επίπεδο Ο διγράφοντς µι τροχιά µε εξίσωση: ) ). Ν δείξετε ότι: ) η τροχιά κάθε µυρµηγκιού είνι κύκλος κι ν ρεθούν οι συντετγµένες του κέντρου του. Μονάδες 9) ) κτά την κίνησή τους όλ τ µυρµήγκι διέρχοντι πό έν στθερό σηµείο Α που είνι η φωλιά τους). Ποιες είνι οι συντετγµένες του σηµείου Α; Μονάδες 8) γ) οι τροχιές όλων των µυρµηγκιών εφάπτοντι της ευθείς στο σηµείο Α. Μονάδες 8) Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 3

4 Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. ) Το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων: ),, ), είνι: ) Ισχύει: λ / κι λ / µε,, φού τ δινύσµτ, δεν είνι πράλληλ προς τον άξον. Είνι: λ λ λ λ - γ) Ισχύει: ) συνθ συνθ Όµως: κι, Εποµένως, η ) γράφετι: συνθ Β. ) Τ δινύσµτ κι είνι κάθετ ν κι µόνο ν: λ -) λ4 λ λ -) 4 λ λ λ 3) λ πορ.) ή λ - 3 Εποµένως, σωστή πάντηση είνι η Ε. ) Είνι: 3) u

5 v w 3) 3) 4 Τη γωνί των δινυσµάτων u v κι v υπολογίζουµε ως εξής: Άρ: συν ^ u v ) 3) u, v u v u, ^ v) 4 π Τη γωνί των δινυσµάτων u v κι w υπολογίζουµε ως εξής: Άρ: συν u w ^ u v 3 ) 3) u, w u, ^ w) π 4 Τη γωνί των δινυσµάτων v κι w υπολογίζουµε ως εξής: συν ^ v, w) u v v w Άρ: v, ^ w) π 6 Εποµένως, οι σωστές ντιστοιχίες είνι: Α 3 Β. Ζήτηµ ο ) Έχουµε: κ, 6κ 7, µε κ Ζ Έστω δ 3, ) δ 6κ 6, 6κ 7). Τότε: Οπότε: δ 6κ 6 δ 6κ 7 δ/6κ 7) 6κ 6) δ/, δηλδή δ. Άρ, οι ριθµοί 3 κι είνι πρώτοι µετξύ τους. ) Έχουµε: 6κ 7) κ ) κ 4 κ κ Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 5

6 κ κ ). Άρ: κ ) Άρ το υπόλοιπο της διίρεσης του ριθµού ) µε το είνι. γ) Ισχύει: κ πολ.7, δηλδή κ 7λ, µε λ Ζ. Έχουµε: κ 6κ 7 8κ 7 87λ) 7 78λ ) Άρ: 78λ ) Αν θέσουµε: 8λ µ, µε µ Ζ, τότε: Ζήτηµ 3ο 7µ πολ.7 ) Επειδή το σηµείο είνι το µέσον του τµήµτος ΑΒ, έχουµε: Α Β 8 4 Α Β 4 ηλδή: 4, ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς Ο θ είνι: Ο λ Ο 4 Ο Επειδή το σηµείο Ο, ) είνι σηµείο της ευθείς Ο, η εξίσωσή της θ είνι: λ Ο ) / ) Αν λ ε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ε), τότε: ε) Ο λ ε λ Ο - λ ε / - λ ε - Επειδή το σηµείο 4, ) είνι σηµείο της ευθείς ε), η εξίσωσή της θ είνι: λ ε ) - 4) γ) Θεωρούµε το τυχίο σηµείο Μ, ) της ευθείς ε). Σύµφων µε το ερώτηµ ) ισχύει: ) Πρέπει: MA MB OM MA MB OM ) ) 8 4 ) ) Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 6

7 Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 7 Η τελευτί ισχύει, λόγω της ). Ζήτηµ 4ο Ισχύει ότι: ) ),,, 3,, 999 ) ) Έχουµε: ) ) ) ) Θέτουµε: - ) A, - B κι Γ. Γι ν είνι η ), άρ κι η ισοδύνµή της ), εξίσωση κύκλου, πρέπει: Α Β 4Γ > 4 ) 4 4 ) > ) ) > > > που ισχύει γι κάθε,, 3,, 999 Εποµένως, η ) είνι εξίσωση κύκλου µε κέντρο: B -, K A κι κτίν: ρ ) Έστω Α, ) το στθερό σηµείο που ζητούµε. Το σηµείο Α πρέπει ν είνι σηµείο του κύκλου C. ηλδή, πρέπει: ) ) ) ) ) 3) Γι ν ισχύει η 3) γι κάθε,, 3,, 999, πρέπει: ) )

8 Εποµένως, το σηµείο Α, ) είνι το ζητούµενο στθερό σηµείο. γ) Έστω ε : κι dκ, ε) η πόστση του κέντρου Κ του κύκλου C πό την ευθεί ε). Έχουµε: d K, ε) e Εποµένως, οι τροχιές των µυρµηγκιών εφάπτοντι της ευθείς ε) κι µάλιστ στο σηµείο Α, φού:, που ισχύει. Τεχνική Επεξεργσί: Kestoe 8