ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε κι Ε δύο σημεί του επιπέδου. Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε λέγετι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων τους πό τ σημεί Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο πό το (ΕΕ ). Το στθερό άθροισμ συμολίζετι με. (>0) Η πόστση (ΕΕ ) λέγετι εστική πόστση. κι συμολίζετι με γ. (προφνώς είνι >γ>0) Γι κάθε σημείο Μ της έλλειψης ισχύει: ( ME) ( ) + ME = Τ σημεί Α, Α, Β κι Β λέγοντι κορυφές της έλλειψης. Το τμήμ Α Α λέγετι μεγάλος άξονς της έλλειψης. Το τμήμ Β Β λέγετι μικρός άξονς της έλλειψης. Κάθε ευθύγρμμο τμήμ με άκρ δύο σημεί της έλλειψης που διέρχετι πό το κέντρο της λέγετι διάμετρος της έλλειψης. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Με εστίες στον άξον x x κι κέντρο συμμετρίς το Ο(0,0) Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) κι στθερό άθροισμ είνι: x y + = 1, µε = γ Οι κορυφές της έλλειψης είνι:α (-,0), Α(,0), Β (0,-) κι Β(0,). Μεγάλος άξονς: (Α Α)=. Μικρός άξονς: (Β Β)=. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 1

2 Κάθε σημείο Μ(x,y) της έλλειψης έχει συντετγμένες x κι y Δηλδή η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=, x=-, y= κι y=-.. Με εστίες στον άξον y y κι κέντρο συμμετρίς το Ο(0,0) Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τ σημεί Ε (0,-γ) κι Ε(0,γ) κι στθερό άθροισμ είνι: x y + = 1, µε = γ Οι κορυφές της έλλειψης είνι: Α (0,-), Α(0,),Β (-,0) κι Β(,0). Μεγάλος άξονς: (Α Α)=. Μικρός άξονς: (Β Β)=. Κάθε σημείο Μ(x,y) της έλλειψης έχει συντετγμένες x κι y Δηλδή η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=, x=-, y= κι y=-. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ

3 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Οι άξονες x x κι y y είνι άξονες συμμετρίς της έλλειψης. Το Ο(0,0) είνι κέντρο συμμετρίς της έλλειψης κι λέγετι κέντρο της. Ότν έν σημείο Μ1(x 1, y 1) C τότε λόγω των πρπάνω συμμετριών κι τ σημεί Μ( x 1, y 1), Μ3( x 1, y 1), Μ4(x 1, y 1) C ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Ορισμός: ονομάζουμε εκκεντρότητ μις έλλειψης κι τη συμολίζουμε με ε το γ λόγο ε = < 1 ( ϕού > γ ) γ γ ε = ε = ε = ε = 1 ε = 1 = 1 ε = 1 ε Η εκκεντρότητ είνι μι πράμετρος που κθορίζει τη μορφή μις έλλειψης. Όσο μεγλώνει η εκκεντρότητ τόσο μικρίνει ο λόγος κι κτά συνέπει τόσο πιο επιμήκης γίνετι η έλλειψη. Αν η εκκεντρότητ της έλλειψης τείνει στο 1, τότε ο λόγος 0.Τότε η έλλειψη τείνει ν πάρει τη μορφή ευθύγρμμου τμήμτος. Αν η εκκεντρότητ της έλλειψης τείνει στο 0, τότε ο λόγος 1 δηλδή. Τότε η έλλειψη τείνει ν πάρει τη μορφή κύκλου. Δύο ελλείψεις με ίδι εκκεντρότητ λέγοντι όμοιες. ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΛΛΕΙΨΗ Έστω έν σημείο Μ του επιπέδου κι μι έλλειψη C με εστίες Ε κι Ε κι στθερό άθροισμ. Το M C ( ME) + ( ME ) = Το Μ είνι εσωτερικό σημείο της έλλειψης ν κι μόνο ν ME + ME < ( ) ( ) Το Μ είνι εξωτερικό σημείο της έλλειψης ν κι μόνο ν ME + ME > ( ) ( ) ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 3

4 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η εφπτομένη της έλλειψης C: x y + = 1, µε = γ στο σημείο της ( x, y ) x x y y + = 1 Μ είνι : Η εξίσωση υτή γράφετι κι ως εξής : x x + y y = x1 Άρ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =, y 1 0 y Στις κορυφές της Α κι Α η έλλειψη δέχετι κτκόρυφες εφπτόμενες. Στις κορυφές της Β κι Β η έλλειψη δέχετι οριζόντιες εφπτόμενες. 1 Η εφπτομένη της έλλειψης C: x y + = 1, µε = γ στο σημείο της ( x, y ) x x y y + = 1 Μ είνι : Η εξίσωση υτή γράφετι κι ως εξής : x x + y y = Άρ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ x 1 = 1 y1, y 0 Στις κορυφές της Α κι Α η έλλειψη δέχετι οριζόντιες εφπτόμενες. Στις κορυφές της Β κι Β η έλλειψη δέχετι κτκόρυφες εφπτόμενες. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η Ν νγνωριστούν οι κμπύλες που πριστάνουν οι πρκάτω εξισώσεις: 1. 9x + 5y = 5 Αρχικά διιρώ όλους τους όρους με το 5 κι έχω: Η εξίσωση που κτέληξ έχει μορφή.με εστίες στον άξον κι =, =. Με δεδομένο ότι >0 κι >0 έχουμε : =..κι =.. Άρ γ = =.. άρ γ =. Εστίες: Κορυφές μεγάλου άξον: Κορυφές μικρού άξον: Εστική πόστση: Μεγάλος άξονς: Μικρός άξονς: Εκκεντρότητ:. 4x + y = 8 Αρχικά διιρώ όλους τους όρους με το 8 κι έχω: Η εξίσωση που κτέληξ έχει μορφή.με εστίες στον άξον κι =, =. Με δεδομένο ότι >0 κι >0 έχουμε : =..κι =.. Άρ γ = =.. άρ γ =. Εστίες: Κορυφές μεγάλου άξον: Κορυφές μικρού άξον: Εστική πόστση: Μεγάλος άξονς: Μικρός άξονς: ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 5

6 Εκκεντρότητ: ΑΣΚΗΣΗ Η Ν ρεθεί η εξίσωση της έλλειψης ν είνι γνωστό ότι διέρχετι πό το σημείο Μ(,1) κι έχει εστίες Ε ( 6,0) κι Ε ( 6,0) ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Γι ν ρούμε τη σχετική θέση μις ευθείς κι μις έλλειψης λύνοντς το σύστημ των εξισώσεών τους κι μετά πό την πλοιφή του ενός γνώστου ρίσκουμε μι δευτεροάθμι εξίσωση ως προς x ή ως προς y. Αν υτή έχει Δ>0 τότε η ευθεί κι η έλλειψη έχουν δύο δικεκριμέν κοινά σημεί, δηλδή η ευθεί είνι τέμνουσ της έλλειψης. Αν υτή έχει Δ=0 τότε η ευθεί κι η έλλειψη έχουν έν κοινό σημείο, δηλδή η ευθεί είνι εφπτόμενη της έλλειψης. Αν υτή έχει Δ<0 τότε η ευθεί κι η έλλειψη δεν έχουν κνέν κοινό σημείο. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 6

7 ΑΣΚΗΣΗ 3 Η Δίνετι η έλλειψη με εξίσωση 4x + y = 8 Ν δειχθεί ότι η ευθεί ( ε ) : x y= 4 εφάπτετι της έλλειψης κι ν ρεθεί το σημείο επφής τους. Ν ρεθεί η τιμή του k ώστε η ευθεί ( ε ) :y= kx+ 4 ν εφάπτετι της έλλειψης. Ν ρεθεί η τιμή του k ώστε η ευθεί ( ε ) :y= x+ k ν εφάπτετι της έλλειψης. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 7

8 ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Η κάθετη ευθεί στην εφπτόμενη μις έλλειψης στο σημείο της Μ, είνι διχοτόμος της γωνίς ΕΜΕ ˆ ΑΣΚΗΣΗ 4 Η Δίνετι η έλλειψη με εξίσωση x + y = 4 κι το σημείο της M(,1) Ν ρεθεί η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίς ΕΜΕ ˆ ΛΥΣΗ Η εξίσωση της εφπτόμενης της έλλειψης στο σημείο της Μ είνι x x y y + = 1 Ο συντελεστής διεύθυνσης της είνι: Σύμφων με την νκλστική ιδιότητ της έλλειψης ισχύει ότι: Η κάθετη ευθεί (δ) της (ε) στο σημείο Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης Κι έχει εξίσωση: ( δ) M λ δ M :y y = (x x ) ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 8

9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Η 1) Ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου με συντετγμένες M( 4 συνω,5 ηµω), ω R Θέτουμε x συνω= x= 4συνω 4 y= 5ηµω y ηµω = 5 ) Ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν του επιπέδου με συντετγμένες Ν( ηµω συνω) 3,, ω R ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Σελίδ 9