Γενικές ασκήσεις σελίδας

Transcript

1 Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C λ, που ορίζοντι πό την () γι τις διάφορες τιµές του λ, διέρχοντι πό δύο στθερά σηµεί. Ποι είνι η εξίσωση της κοινς χορδς όλων υτών των κύκλων; Η εξίσωση () είνι της µορφς Α + + Β 4Γ ( λ ) λ + 4 > 0 +Α + B + Γ 0. Άρ πριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(λ, 0) κι κτίν ρ (ii) Γι λ 0, η () γίνετι Γι λ, η () γίνετι + + κύκλος C 0 0 κύκλος C Σύστηµ, γι ν ρούµε τ σηµεί τοµς των C 0, C λ λ + Τ σηµεί τοµς είνι Κ(0, ) κι Λ(0, ) Κ C λ 0 + λ που ισχύει, άρ οι κύκλοι C λ διέρχοντι πό το Κ. Λ C λ 0 + ( ) λ που ισχύει, άρ οι κύκλοι C λ διέρχοντι πό το Λ Η εξίσωση της κοινς χορδς ΚΛ είνι 0.

2 . ίνοντι οι κύκλοι C : + κι C : ( ) + κι η ευθεί ε : λ +, όπου λ, R. Ποιες είνι οι ποστάσεις των κέντρων των κύκλων C κι C πό την ευθεί; (ii) Γι ποιες τιµές των λ κι η ευθεί εφάπτετι κι στους δύο κύκλους; (iii) Ν ποδείξετε ότι οι κοινές εφπτόµενες των κύκλων C κι C τέµνοντι πάνω στον άξον κι σχηµτίζουν µετξύ τους γωνί 60 ο. Η ευθεί γράφετι ε : λ + 0 Οι κύκλοι C, C έχουν κέντρ K (0,0), K (,0) κι κτίνες ρ, ρ ντίστοιχ. d( K,ε) λ 0 0+ λ + λ + κι d( K,ε) λ 0+ λ + λ+ λ + (ii) Πρέπει λ + λ+ d(k, ε ) ρ d(k, ε ) ρ λ + λ+ λ + λ + λ+ λ+ λ + λ+ λ + λ λ + λ+ λ + λ + λ+ λ + λ 3 λ λ + 4 λ λ 3 λ λ 3 λ λ + λ 3 4λ λ + 9 λ 3 4λ 9λ + 9 λ 3

3 3 λ λ λ 3 λ λ λ 3 3 λ λ Οι κοινές εφπτόµενες είνι ε : λ λ 3 λ λ 3 3 5λ 9 λ 3 δύντη λ , ε : 3 3 (iii) Επειδ οι κύκλοι έχουν τη διάκεντρό τους πάνω στον άξον, είνι συµµετρικοί ως προς τον, άρ οι κοινές εφπτόµενές τους τέµνοντι πάνω σε υτόν. Θεωρούµε το διάνυσµ δ ( 3, ) ε κι το δ ( 3, ) ε δ δ συν( ε,ε ) συν( δ,δ ) 3 3 δ δ Άρ ( ε,ε ) 60 ο

4 4 3. Μι ευθεί λ +, µε λ 0, τέµνει την προλ 4 σε δύο σηµεί Α κι Β. λ Ν ποδείξετε ότι οι συντετγµένες του µέσου Μ του ΑΒ είνι (, λ (ii) Ν ρείτε την εξίσωση της γρµµς πάνω στην οποί ρίσκετι το Μ, ότν () λ κι το µετάλλετι () 0 κι το λ µετάλλετι. Οι συντετγµένες των Α, Β είνι οι λύσεις του συστµτος των εξισώσεων λ + () κι 4 () Λόγω τη (), η () γράφετι (λ + ) 4 λ + λ λ + (λ ) + 0 Η εξίσωση υτ είνι εξίσωση ου ως προς κι έχει λύση ν κι µόνο ν 0 λ (). Έστω A, Bοι ρίζες υτς, τότε επειδ Μ µέσο του ΑΒ, M ( A + B ) ( λ ) λ λ λ λ Μ στην ευθεί (), άρ Μ λ + λ + M λ λ λ+λ + λ λ (ii) () Μ λ, Μ, άρ το Μ ρίσκετι πάνω στην ηµιευθεί µε () Μ λ λ M, Μ 0 λ λ 0 M M M λ λ λ λ 4 M M άρ το Μ ρίσκετι πάνω στην προλ M λ M M εκτός του σηµείου της (0, 0) λ )

5 5 4. ίνετι η έλλειψη Μ Α Β Ο Σ + Μ Α ε, µε > >0 κι το σηµείο Σ(0, ). Μι ευθεί µε συντελεστ διεύθυνσης λ διέρχετι πό το σηµείο Σ κι τέµνει τις εφπτόµενες, στ άκρ του µεγάλου άξον της έλλειψης στ σηµεί Μ κι Μ. Ν ρείτε την εξίσωση του κύκλου µε διάµετρο ΜΜ συνρτσει του λ. (ii) Γι ποιες τιµές του λ R ο κύκλος υτός διέρχετ πό τις εστίες της έλλειψης; Έστω ε : λ( 0) η δοσµένη ευθεί πό το Σ λ +. Γι Γι Η εξίσωση του κύκλου διµέτρου ΜΜ είνι M δίνει Μ λ + δίνει λ + M Ο άξονς είνι µεσοπράλληλη ευθεί των εφπτοµένων στ Α, Α, άρ το κέντρο του κύκλου είνι το Σ. (ΣΜ ) ( 0 ) + (λ + ) + λ + ( ) Μ + λ (ii) Γι ν διέρχετι ο κύκλος πό τις εστίες πρέπει κι ρκεί η εξίσωσ του ν επληθεύετι πό υτές (±γ ) + (0 ) γ λ + 4 λ + λ + λ 3 λ ± 3 λ ±

6 6 5. ίνετι η έλλειψη 5 +. Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολς η οποί 4 έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη κι εφάπτετι στην ευθεί +. Γι τη δοσµένη έλλειψη έχουµε 4 5 γ γ γ 3 Άρ κι γι την υπερολ είνι γ 3 κι οι εστίες είνι στον άξον των Έστω η ζητούµενη υπερολ + () Η λύση του συστµτος () δίνει τις συντετγµένες των κοινών σηµείων ευθείς υπερολς. Λόγω της () η () ( + ) ( ) ( + ( ( ) ) ) [ + ( 4 ( + 4 ( + 4 ( )( + ) 0 (3) ) )] ) 4 ( + ) Γι ν εφάπτετι η υπερολ στην ευθεί + πρέπει κι ρκεί η εξίσωση (3) ν είνι ου θµού κι ν έχει διπλ ρίζ 0 κι 0 0 κι + κι Αλλά γ 3 (4) + (5) 8 0 (4) γ 9 (5) () 0 Άρ η ζητούµενη υπερολ είνι (5) 5 4

7 7 6. Έστω τ δινύσµτ OA (4, 0) κι OA (, 0) του κρτεσινού επιπέδου. Αν τ δινύσµτ ρχίσουν συγχρόνως ν περιστρέφοντι µε την ίδι γωνικ τχύτητ λλά µε ντίθετη φορά, ν ποδείξετε ότι το πέρς Μ της συνιστµένης τους διγράφει έλλειψη. Έστω ω η γωνικ τχύτητ. Σε χρόνο t, το διάνυσµ OA θ διγράψει γωνί ωt, οπότε θ έχει συντετγµένες OA (4συνωt, 4ηµωt), ενώ το διάνυσµ OA θ διγράψει γωνί ωt, οπότε θ έχει συντετγµένες OA (συν( ωt), ηµ( ωt)) (συνωt, ηµωt). Η συνιστµένη τους θ είνι OM OA + OA (5 συνωt, 3 ηµωt). Οι συντετγµένες (, ) του πέρτος Μ, θ είνι 5συνωt κι 3ηµωt 5 συνωt κι 3 ηµωt 5 συ ν ωt κι 3 η µ ωt

8 8 7. ίνοντι οι ηµιευθείες δ : κι δ :, (0, + ) κι µι ευθεί ε, η οποί τις τέµνει στ σηµεί Μ κι Μ ντίστοιχ. Ν ρείτε τις συντετγµένες των Μ κι Μ συνρτσει των συντετγµένων του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµµτος Μ Μ. (ii) N ποδείξετε ότι, ότν η ευθεί ε κινείτι, έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΜ Μ ν έχει στθερό εµδόν κι ίσο µε, τότε το Μ κινείτι στον έν κλάδο µίς στθερς υπερολς. Έστω η τετµηµένη του Μ. Επειδ Μ δ, θ είνι Μ (, ) M (, ) δ Μ(, ) Έστω η τετµηµένη του Μ. Επειδ Μ δ, θ είνι Μ (, ) Ο Μ (, -) δ (ΟΜ Μ ) Οι συντετγµένες του µέσου Μ θ είνι +, +, λύνουµε ως προς, (+) + + ( ) det( OM, OM ) µε (0, + ) πό υπόθεση

9 9 8. ίνοντι οι ελλείψεις C : + κι C : 0< <. Η ηµιευθεί (εφθ), > 0, 0 < θ < π + µε τέµνει τη C στο σηµείο Γ (, ) κι τη C στο σηµείο Γ (, ). Αν λ είνι ο συντελεστς διεύθυνσης της εφπτοµένης της C στο σηµείο Γ κι λ είνι ο συντελεστς διεύθυνσης της εφπτοµένης της C στο σηµείο Γ, ν ποδείξετε ότι λ λ (εφθ ). Η C γράφετι + Η εφπτοµένη ε της C στο Γ έχει εξίσωση Άρ λ. + Αλλά Γ στην ηµιευθεί (εφθ), άρ (εφθ) οπότε λ ( εφθ). ( εφθ) () Η εφπτοµένη ε της C στο Γ έχει εξίσωση Άρ λ Αλλά Γ στην ηµιευθεί (εφθ), άρ (εφθ) οπότε λ (). () : λ λ ( εφθ) ( εφθ) ( εφθ) () ( εφθ ) (εφθ ). +

10 0 9. θ Ο + ίνετι η έλλειψη. H εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο που η διχοτόµος του πρώτου τετρτηµόριου τέµνει την έλλειψη έχει κλίση. Ν ρείτε την εκκεντρότητ της έλλειψης (ii) Έστω Μ το σηµείο του πρώτου τετρτηµόριου στο οποίο η ευθεί λ, λ > 0 τέµνει την πρπάνω έλλειψη. Αν µ είνι η κλίση της εφπτοµένης της έλλειψης στο σηµείο Μ, τότε ν εκφράσετε το γινόµενο λµ ως συνάρτηση των ηµιξόνων,. Η έλλειψη γράφετι + Μ ζ λ Η εφπτοµένη θ στο έχει εξίσωση Άρ λ θ () Η διχοτόµος τέµνει την έλλειψη σε σηµείο (, ) () + ( + ) + + ( γ ) γ (ii) Έστω Μ(, λ ) Η εφπτοµένη ζ στο Μ έχει εξίσωση Άρ λ ζ λ µ λ Αλλά στο ποδείχθηκε ότι + + γ + γ γ + λ λµ. Άρ λµ ε

11 0. ίνοντι ένς κύκλος C µε κέντρο Κ κι κτίν R κι µι ευθεί ε που δεν έχει κοινό σηµείο µε τον κύκλο C. Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ των κύκλων C, που εφάπτοντι της ε κι του κύκλου C εξωτερικά, νκουν σε στθερ προλ. (ii) ίνοντι δύο κύκλοι C κι C, µε κέντρ K κι K κι κτίνες R κι R ντιστοίχως, πό τους οποίους ο C είνι εσωτερικός του C. Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ των κύκλων C, που εφάπτοντι εσωτερικά του C κι εξωτερικά του C, νκουν σε στθερ έλλειψη. (iii) ίνοντι δύο κύκλοι C κι C, µε κέντρ K κι K κι κτίνες R κι R ντιστοίχως, που ρίσκοντι ο ένς εκτός του άλλου. Ν ποδείξετε ότι τ κέντρ των κύκλων C, που εφάπτοντι εξωτερικά κι των δύο κύκλων C κι C νκουν σε κλάδο στθερς υπερολς. δ ε Έστω κύκλος (Μ, ) που εφάπτετι εξωτερικά στον κύκλο C κι στην Ν Λ M ευθεί ε σε σηµείο Λ. Ε Φέρνουµε τη διάκεντρο ΚΕΜ, ΜΛ ε R κι ΚΑ ε. Κ Β Α Προεκτείνουµε την ΚΑ κτά τµµ ΑΒ R, C κι φέρνουµε ευθεί δε. Επίσης, προεκτείνουµε τη ΜΛ, µέχρι ν τµσει τη δ σε σηµείο Ν, οπότε ΛΝ ΑΒ R. Είνι ΜΚ + R ΜΛ + ΛΝ ΜΝ, δηλδ το Μ ισπέχει πό το στθερό σηµείο Κ κι τη στθερ ευθεί δ, άρ νκει σε προλ, που έχει εστί Κ κι διευθετούσ δ. M A (ii) Έστω κύκλος (Μ, ) που εφάπτετι εσωτερικά στον κύκλο C κι εξωτερικά στον κύκλο C, µε σηµεί επφς Α, Β ντίστοιχ. B Φέρνουµε την K ΜΑ κι την K ΒΜ. K k πό τ στθερά σηµεί K, K είνι στθερό R + εστίες K, K κι R + R. Είνι Μ K + Μ K Α K ΑΜ + ΜΒ + Β K R + + R R + R δηλδ το άθροισµ των ποστάσεων του Μ R, άρ νκει σε έλλειψη µε

12 (iii) Α M Β Ότν R > R Έστω κύκλος (Μ, ) που εφάπτετι εξωτερικά στον κύκλο C κι στον κύκλο C, µε σηµεί επφς Α, Β ντίστοιχ. K K Φέρνουµε τις δικέντρους ΜΑ K κι ΜΒ K. Είνι Μ K Μ K ΜΑ + Α K (ΜΒ + Β K ) + R R R R δηλδ η διφορά των ποστάσεων του Μ πό τ στθερά σηµεί K, K είνι στθερ R R, άρ νκει σε κλάδο υπερολς µε εστίες K, K κι R R. Ότν R < R τότε πρόκειτι γι τον άλλο κλάδο της ίδις υπερολς. Ότν R R τότε είνι Μ K Μ K, οπότε το Μ νκει στη µεσοκάθετο του τµµτος K K.

13 3. ίνετι η έλλειψη + κι το σηµείο της Μ(συνφ, ηµφ). Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της έλλειψης στο σηµείο Μ. (ii) Ν ποδείξετε ότι το γινόµενο των ποστάσεων των εστιών Ε κι Ε πό την εφπτοµένη είνι στθερό. (iii) Γι ποι τιµ του φ το εµδόν του τριγώνου που ορίζει η εφπτοµένη µε τους άξονες γίνετι ελάχιστο; συνϕ Εφπτοµένη στο Μ ε : συνϕ (ii) d(e, ε).d(ε, ε) (iii) ηµϕ + + ηµϕ συνϕ + ηµϕ 0 () γσυνϕ+ 0 ηµϕ συν ϕ+ ηµ ϕ γσυνϕ συν ϕ+ ηµ ϕ γσυνϕ γσυνϕ+ συν ϕ+ ηµ ϕ Η () γι 0 δίνει γ συν ϕ γσυνϕ+ 0 ηµϕ συν ϕ+ ηµ ϕ γσυνϕ+ συν ϕ+ ηµ ϕ ( γ ) συν ϕ+ ( συν ϕ) γ συν ϕ συν ϕ γ συν ϕ+ συν ϕ γ συν ϕ γ συν ϕ+ συνϕ. Άρ η ε τέµνει τον άξον στο Κ( Η () γι 0 δίνει ηµϕ. Άρ η ε τέµνει τον άξον στο Λ(0, συνϕ, 0) ηµϕ ) 0 < γ < λλά 0 Άρ γ γ < συν ϕ συν ϕ <

14 4 (ΟΚΛ) ΟΚ ΟΛ συνϕ ηµϕ ηµϕ συνϕ ηµ ϕ Το εµδόν (ΟΚΛ) γίνετι ελάχιστο ότν το ηµ ϕ γίνετι µέγιστο δηλδ ηµ ϕ ηµ ϕ± ϕ κπ ± π ϕ κπ ± π. 4