Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων

Transcript

1 8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών, β, γ, προκύπτουν οι επόµενοι τύποι: E = τ( τ )( τ β)( τ γ) (Τύπος του Ήρων) Με τον τύπο του Ήρων µπορούµε ν υπολογίσουµε το εµβδόν τριγώνου ότν γνωρίζουµε τις τρεις πλευρές του Ο τύπος = βγ 4R συνδέει το εµβδόν () του τριγώνου µε την κτίν του περιγεγρµ- µένου κύκλου Συνήθως χρησιµοποιείτι γι ν υπολογίσουµε την κτίν, δεδοµένου ότι γνωρίζουµε το εµβδόν Το ίδιο ισχύει κι µε τον τύπο = τ ρ, όπου ρ είνι η κτίν του εγγεγρµµένου στο τρίγωνο κύκλου 3 Ο τύπος = β γ ηµα = γ ηµβ = β ηµγ µς δίνει το εµβδόν, ότν γνωρίζουµε δύο πλευρές του τριγώνου κι την περιεχόµενη σε υτές γωνί 4 Mε συνδυσµό των τύπων = βγ β γ ηµα κι = 4R προκύπτει ο νόµος των ηµιτόνων: β γ = = = R, ο οποίος είνι χρήσιµος γι την επίλυση ενός τριγώνου ηµα ηµβ ηµγ Θεώρηµ Αν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το λόγο των ντίστοιχων υψών, ενώ ν έχουν ίσ ύψη τότε ο λόγος των εµβδών τους ισούτι µε το λόγο των ντιστοίχων βάσεων

2 08 Λόγος µβδών Θεώρηµ Αν δύο τρίγων (ή οποιδήποτε πολύγων) είνι όµοι τότε ο λόγος των εµβδών τους είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητς Θεώρηµ 3 Αν µι γωνί ενός τριγώνου είνι ίση ή πρπληρωµτική µε µι γωνί ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβδών των δύο τριγώνων είνι ίσος µε το λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις ίσες ή πρπληρω- µτικές γωνίες Β ΜΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΩΝ Κτηγορί Μέθοδος Ότν δυο τρίγων έχουν κοινή (ή ίση) βάση ή κοινό ( ή ίσο ) ύψος εφρµόζουµε τις πρκάτω προτάσεις: " ύο τρίγων µε ίσες βάσεις έχουν λόγο εµβδών ίσο µε τον λόγο των ντίστοιχων υψών τους" ή " ύο τρίγων µε ίσ ύψη έχουν λόγο εµβδών ίσο µε τον λόγο των ντιστοίχων βάσεων τους" Πράδειγµ Με βάση το διπλνό σχήµ ν βρείτε το λόγο ΑΓ Τ τρίγων κι ΑΓ έχουν ίσ ύψη πό τις κορυφές Α κι ΒΓ 5 Γ φού ε εοπότε θ έχουµε: = = που είνι κι ΑΓ Α 7 ο ζητούµενος λόγος Κτηγορί Μέθοδος Ότν έχουµε όµοι σχήµτ, εφρµόζουµε το πρκάτω θεώρηµ: "Ο λόγος των εµβδών δύο οµοίων πολυγώνων είνι ίσος µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητάς τους"

3 Λόγος µβδών 09 Πράδειγµ Αν // ΒΓ κι Α = Β, ποι σχέση συνδέει τ εµβδά των τριγώνων Α κι ; ΒΓ Τ τρίγων Α κι είνι όµοι οπότε έχουµε: Α Α Α λ = = = λ = ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΒ Α Α Α όµως Α = Β = = = Β Α + Β + ΑΒ 3 Άρ λ = ποµένως γι το ζητούµενο λόγο εµβδών θ έχουµε: 3 Α Α λ = = = = Κτηγορί Μέθοδος 3 Ότν σε δύο τρίγων έχουµε γωνίες ίσες ή πρπληρωµτικές εφρµόζουµε το πρκάτω θεώρηµ: "Αν µι γωνί τριγώνου είνι ίση ή πρπληρωµτική µε µί γωνί ενός άλλου τριγώνου, τότε ο λόγος των εµβδών των δύο τριγώνων είνι ίσος µε το λόγο των γινοµένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες υτές" Πράδειγµ 3 Έστω Κ το σηµείο τοµής των διγωνίων τρπεζίου ( ΑB // Γ ) Ν ποδειχθεί ότι ΚΑ = ΚΒΓ Στ τρίγων ΚΑ κι ΚΒΓ έχουµε Κ ˆ ˆ = Κ (ως κτκορυφήν) άρ θ έχουµε: ΚΑ ΚΑ Κ = ΚΒΓ ΚΒ ΚΓ () Όµως ΑΒ Γ (διότι το είνι τρπέζιο) εποµένως: ΚΑ ΚΒ ΚΑ Κ = = ΚΓ Κ ΚΓ ΚΒ Από τις σχέσεις () κι () έχουµε: ΚΑ ΚΒΓ () = = ΚΑ ΚΒΓ

4 0 Λόγος µβδών Πράδειγµ 4 ύο τρίγων κι ΚΛΜ έχουν ˆΒ Λˆ + = 80 κι Α ˆ = Κ ˆ Ν ποδείξετε ότι ΒΓ ΑΓ = ΛΜ ΚΜ Γι τ τρίγων κι ΚΛΜ έχουµε Αˆ = Κˆ οπότε: ΚΛΜ ΑΓ ΑΒ = () ΚΜ ΚΛ Γνωρίζουµε όµως πό την υπόθεση ότι ˆΒ+ Λˆ = 80 οπότε: ΚΛΜ ΒΓ ΑΒ = () ΛΜ ΚΛ Από τις () κι () έχουµε: ΒΓ ΑΓ = που είνι κι η ζητούµενη σχέση ΛΜ ΚΜ Γ ΛΥΜΝΣ ΑΣΚΗΣΙΣ Άσκηση Ν δείξετε ότι () = ρ (τ-) = ρ β (τ-β) = ρ γ (τ-γ), όπου ρ, ρ β, ρ γ είνι οι κτίνες των πρεγγεγρµµένων κύκλων του τριγώνου Eίνι ( ) = ( ΑΙΒ ) + ( ΑΙΓ ) - ( ΙΒΓ ) = = γ ΙΜ + β ΙΛ - ΙΚ = = γ ρ + β ρ - ρ = ρ ( β + γ - ) Όµως τ - = + β + γ + β + γ β + γ = = ποµένως = ρ (τ-) Οµοίως κι µε τους άλλους δύο τύπους Άσκηση β γ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( Α = 90 0 ) ν δείξετε ότι ρ =, όπου ρ η κτίν + β+ γ του εγγεγρµµένου κύκλου Eίνι () = τ ρ = + β + γ ρ () κι () = β γ ()

5 Λόγος µβδών Από () κι () έχουµε: β γ = + β + γ ρ β γ = (+β+γ)ρ ρ = β γ + β+ γ Άσκηση 3 Σε κάθε τρίγωνο ν δείξετε ότι ρρ, όπου ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου κι ρ η κτίν του πρεγγεγρµµένου κύκλου που εφάπτετι στην πλευρά E = τρ ίνι Άρ E = ρ ρ τ τ E = ( τ ) ρ (άσκηση) () Χρησιµοποιώντς τον τύπο του Ήρων η σχέση () γίνετι: Ισχύει τ τ τ β τ γ = ρ ρ τ τ ( τ β)( τ γ) = ρρ () ( x ψ) 0 x x ψ+ ψ 0 x + ψ x ψ (3) Θέτοντς x = τ - β κι ψ = τ - γ πό τη σχέση (3) έχουµε: + β + γ - β - γ ρρ τ - β + τ - γ ( τ β)( τ γ) () τ β γ ρ ρ ρρ Άσκηση 4 Αν σε τρίγωνο ισχύει ρρ = ρβ ργ, ν δείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο ( Α = 90 0 ) Από τον τύπο = τ ρ έχουµε ρ = E τ κι πό τον τύπο = ρ (τ-) : ρ = E τ Όµοι = ρ (τ-β ) E ρ = β β τ β, = ρ (τ-γ) E ρ = γ γ τ γ ποµένως: ρ ρ = ρ β ρ E E E E γ = (τ - β) (τ - γ) = τ ( τ - ) τ τ τ β τ γ + γ β + β γ + β+ γ β+ γ = = β + γ Α =90 0

6 Λόγος µβδών Άσκηση 5 ίνετι τρίγωνο Αν > β ν δείξετε ότι + υ > β + υ β Πότε ισχύει το ίσον; Έστω η ζητούµενη σχέση: + υ > β + υ β () ίνι = β υ υ = E () οµοίως υ β β β = Η σχέση () γίνετι πό τις () κι (3): E (3) β> 0 E E β E -β β E β E β β β β β β ηµγ β ηµγ,που ισχύει Το ίσον ισχύει ότν Γ = 90 0 Άσκηση 6 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Α = 90 0 ) ν δείξετε ότι ισχύ- ει: = +, όπου δ δ β γ η διχοτόµος της γωνίς Α () = (ΑΒ )+(ΑΓ ) βγ = γ δ ηµα + β δ ηµα βγ = γδηµ45 + βδ ηµ45 (β+γ) 0 0 β+ γ βγ = δ ( β + γ) = βγ δ β+ γ = + = βγ δ β γ δ Άσκηση 7 ίνετι τρίγωνο µε πλευρές β =, γ = κι εµβδόν = βγ 4 Ν υπολογισθεί η πλευρά του τριγώνου () () βγ Ως γνωστόν E = β γ ηµα = β γ ηµα ηµα = 4 ποµένως Α = 45 0 ή Α =35 0 Αν Α = 45 0 πό το νόµο των συνηµιτόνων έχουµε: = β + γ βγ συνα = + 4 = 4 =

7 Λόγος µβδών 3 Αν Α = 35 0 πό το νόµο των συνηµιτόνων έχουµε: = β + γ βγ συνα = + 4+ = 4 = 0 Άσκηση 8 ίνετι το τρπέζιο κι έστω Λ το σηµείο που τέµνοντι οι µη πράλληλες πλευρές του κι Κ το σηµείο τοµής των διγωνίων του Ν ποδειχθεί ότι τ τρίγων ΛΑΓ κι ΛΒ είνι ισοδύνµ, κθώς επίσης κι τ τρίγων ΚΑ κι ΚΒΓ Πρτηρούµε ότι τ τρίγων ΑΒ κι είνι ισοδύνµ φού έχουν την ίδι βάση ΑΒ κι ίσ ύψη ( Ζ = ΓΗ ως κάθετ τµήµτ µετξύ πράλληλων ευθειών) ΑΒ = () Θ έχουµε δηλδή Αν προσθέσουµε κι στ δύο µέλη της () το ( ΑΛΒ ) έχουµε: ( ΑΒ ) + ( ΑΛΒ) = ( ) + ( ΑΛΒ) ( ΛΒ ) = ( ΛΑΓ) Αν φιρέσουµε κι πό τ δύο µέλη της () το (ΚΑΒ) έχουµε: ( ΑΒ ) ( ΚΑΒ ) = ( ) ( ΚΑΒ) ( ΚΑ ) = ( ΚΒΓ) Άσκηση 9 ίνετι τρπέζιο ( ΑΒ Γ ) Ν δειχθεί ότι ( ΚΒΓ) ( ΚΑΒ) ( ΚΓ ) του οποίου οι διγώνιες ΑΓ κι Β τέµνοντι στο Κ = Τ τρίγων ΚΒΓ κι ΚΑΒ έχουν το ίδιο ύψος (που άγετι πό το Β) οπότε ( ΚΒΓ) ( ΚΑΒ) ( ΚΓ ) Με όµοιο τρόπο προκύπτει ότι ( ΚΒΓ) ΚΓ = () ΚΑ Κ = () ΚΒ Τ τρίγων ΚΑΒ κι ΚΓ είνι όµοι άρ ΚΓ = Κ (3) ΚΑ ΚΒ Από τις σχέσεις (), () κι (3) έχουµε ότι: ( ΚΒΓ) ( ΚΓ ) = ( ΚΒΓ) = ( ΚΑΒ) ( ΚΓ ) ( ΚΑΒ) ( ΚΒΓ)

8 4 Λόγος µβδών Άσκηση 0 Αν Κ, Λ, Μ είνι τ µέσ των πλευρών ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ ντίστοιχ τριγώνου ν ΚΛΜ βρείτε το λόγο Τ τρίγων ΚΛΜ κι είνι όµοι γιτί Μ, Λ είνι µέσ ΒΓ των ΑΒ, ΑΓ ντίστοιχ οπότε ΜΛ = Με πρόµοιο σκεπτικό έχουµε: ΑΓ ΚΜ = κι ΑΒ ΚΛ = οπότε έχουµε λόγο οµοιότητς λ = Άρ ΚΛΜ λ = = = 4 Άσκηση Αν Α είνι το ύψος προς την υποτείνουσ ορθογωνίου τριγώνου, ν ποδείξετε ΑΒ ΑΒ ότι: = ΑΓ ΑΓ Τ τρίγων ΑΒ κι ΑΓ έχουν µι πλευρά κοινή, την Α οπότε ο λόγος των εµβδών τους θ ισούτι µε το λόγο των ντίστοιχων υψών στην Α ηλδή ΑΒ Β = () Γ ΑΓ Β ΑΒ Ισχύει όµως ότι: = () Γ ΑΓ (µετρική σχέση στ ορθογώνι τρίγων) ΑΒ ΑΒ Από τις σχέσεις () κι () έχουµε : = που είνι η προς πόδειξη σχέση ΑΓ ΑΓ Άσκηση Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆΑ = 90 ), έχουµε ΑΒ = 8 κι ΑΓ = 6 φέρνουµε το ύψος ( ΑΒ ) Α Ν βρείτε το λόγο ΑΓ

9 Λόγος µβδών 5 Τ ορθογώνι τρίγων ΑΒ κι ΓΑ είνι όµοι γιτί ˆΒ= ΑΓ (έχουµε οξείες γωνίες µε πλευρές κάθετες µί προς µί) Οπότε: ΑΒ ΑΒ 8 6 = λ = = = ΓΑ ΓΑ 6 9 Πρτήρηση είτε, ότι οι σκήσεις 4 κι 5 είνι πρόµοιες, λυµένες µε δύο διφορετικούς τρόπους Άσκηση 3 ίνετι τρίγωνο µε ΑΒ = 3 κι ΑΓ = 6 Ν υπολογίσετε το µήκος των ίσων πλευ- = Ζ, γι το οποίο είνι Αˆ + ˆ = 80 κι ρών ισοσκελούς τριγώνου Ζ ( Ζ) ( ) = Έστω x το µήκος των κι Ζ Γνωρίζουµε ότι Αˆ + ˆ = 80 οπότε: ( Ζ) x 36 x 6 Άρ είνι = Ζ = 6cm Ζ x x = = ΑΒ ΑΓ 3 6 = = Άσκηση 4 ίνετι τρίγωνο κι τυχίο σηµείο Κ µέσ σε υτό Από το Κ φέρνουµε Κ κάθετη στην ΑΒ, Κ κάθετη στην ΒΓ κι ΚΖ κάθετη στην ΑΓ έτσι ώστε: Κ = ΑΒ, Κ = ΒΓ, ΚΖ = ΑΓ Ν ποδειχθεί, ότι ( Ζ) = 3() Στο τετράπλευρο ΑΜΚΛ έχουµε Λ+ Μ = ποµένως Α+ Κ = (Το άθροισµ των γωνιών του οποιουδήποτε τετρπλεύρου είνι 4 ) Τ τρίγων λοιπόν κι Κ Ζ έχουν τις γωνίες Α κι Κ πρπληρωµτικές ποµένως ( ) Κ Ζ Κ ΚΖ = = ΑΒ ΑΓ ποµένως ( Κ Ζ) = ( ) Οµοίως ( Κ ) = ( ) κι ( ΚΖ) = ( )

10 6 Λόγος µβδών Άρ ( Ζ) = ( Κ Ζ) + ( Κ ) + ( ΚΖ) = 3( ) Άσκηση 5 Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ τριγώνου πίρνουµε Α = 3 5 ΑΒ, Β = 3 5 ΒΓ κι ΓΖ = 3 5 ΑΓ Ν δείξετε, ότι ( Ζ)= 7 5 () Τ τρίγων Α Ζ κι έχουν κοινή γωνί την ποµένως 3 Α Ζ ΑΒ ΑΓ Α ΑΖ = = = ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 5 Β 6 ΓΖ 6 Οµοίως = ( ) 5 κι = () 3 ( ) 5 Προσθέτουµε κτά µέλη τις (), (), (3) : ( Ζ) ( Ζ) Α () Α Ζ Β ΓΖ 8 Ζ 8 Ζ = = = = = Ζ = Άσκηση 6 Στην προέκτση της ΒΓ ενός τριγώνου θεωρούµε σηµείο Κ, τέτοιο ώστε 3ΓΚ = ΒΓ Ν ποδείξετε ότι = 3ΑΓΚ Έχουµε ότι ˆ ˆ Γ+ Γ = 80 Άρ θ ισχύει: ΑΓΚ ΑΓ ΒΓ = ΑΓ ΓΚ ΑΓΚ ΒΓ = ΓΚ ΑΓΚ ΒΓ = = 3 ΒΓ ΑΓΚ 3 = 3 ΑΓΚ

11 Λόγος µβδών 7 Άσκηση 7 Προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου κτά τµήµτ γ Β =, Γ = κι 3 β ΑΖ = ντίστοιχ 4 i Ν υπολογιστεί ο λόγος των εµβδών των τριγώνων Ζ κι ii Το εµβδόν του Ζ συνρτήσει των, β, γ i Τ τρίγων κι ΑΖ το γνωστό θεώρηµ ισχύει: έχουν τις γωνίες ˆΑ κι ˆΑ πρπληρωµτικές Σύµφων µε β γ γ + β 3γ ΑΖ ΑΖ Α = = = = () ΑΒ ΑΓ γ β β γ 8 Οµοίως τ τρίγων ΖΓ κι έχουν πρπληρωµτικές τη Γ µε τη Γ Άρ: β β + 5 ΖΓ β ΓΖ Γ = = = = ΓΑ ΓΒ β β ( ) Τ τρίγων Β κι έχουν τη ˆΒ µε τη ˆΒ πρπληρωµτικές ποµένως γ + γ 4 Β Β Β 3 3 = = = = ΒΑ ΒΓ γ γ 3 Προσθέτουµε κτά µέλη τις (), (), (3): () 3 ΑΖ ΖΓ Β = Ακόµ = ( ) ( ) ΑΖ ΖΓ Β 3 5 Ζ 59 = = ii ( Ζ) = ( ) = τ( τ )( τ β)( τ γ)

12 8 Λόγος µβδών ΠΡΟΤΙΝΟΜΝΑ ΘΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΤΟΥ ΜΒΑ ΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Σε τρίγωνο είνι = 8, β = 6, γ = Ν υπολογίσετε : To εµβδόν του β Τ ύψη του γ Τις κτίνες ρ, R, R, R β, R γ Σε τρίγωνο ν δείξετε ότι ρ + ρ β + ρ γ - ρ = 4R = ν δείξετε ότι β + γ = 3 Αν ( ) ( τ β)( τ γ) 4 Το εµβδόν τριγώνου είνι ίσο µε τ ( τ - ) Ν δειχθεί ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο 5 Σε τρίγωνο ν δειχθούν οι σχέσεις : = ρ R β R R + R β γ ρ β β γ γ β + + = 0 R R R β γ 6 Aν Ο το έγκεντρο τριγώνου, ν δειχθούν ότι : τ ΑΟ = β γ β τ ΟΑ ΟΒ ΟΓ = 4Rρ 7 Η διχοτόµος Α της εσωτερικής γωνίς Α τριγώνου τέµνει τον περιγεγρµµένο ΜΒ = ΜΑ Μ = R R ρ κύκλο στο σηµείο Μ Ν ποδείξετε ότι : ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΟ ΛΟΓΟ ΜΒΑ ΩΝ Σε τρίγωνο µε εµβδό φέρουµε το ύψος Α Από το σηµείο Ζ του Α, γι το οποίο είνι AZ =, φέρουµε πράλληλη στη ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ κι ΑΓ στ Κ κι Z 3 4 Λ ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι ( ΑΚΛ ) = 5 (Υπ: Τ τρίγων ΑΚΛ κι είνι όµοι) Προεκτείνουµε τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου κι πίρνουµε ντίστοιχ τ τµήµτ Γ = ΒΓ, Α = ΓΑ κι ΒΖ = ΑΒ Ν ποδείξετε ότι: ( Ζ ) = 7 ( ) (Υπ: Ν βρείτε ότι ( ΑΖ ) = ( ), ( Β Ζ ) = ( ) κι Γ = )

13 Λόγος µβδών 9 3 Θεωρούµε τ σηµεί κι των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ τριγώνου γι τ οποί ισχύει Α = ΑΒ κι Α = ΑΓ Ν ποδειχθεί ότι Α = 3 4 (Υπ: Αποδείξτε ότι Α = ) 4 Αν είνι Α, Β, ΓΖ τ ύψη οξυγωνίου τριγώνου κι Η το ορθόκεντρο του ν ποδειχθεί ότι Η Η ΗΖ + + = υ υ υ β γ (Υπ: Τ τρίγων ΗΒΓ κι έχουν κοινή βάση τη ΒΓ) 5 Αν είνι Α, Β, ΓΖ τ ύψη µβλυγωνίου τριγώνου µε κι Η το ορθόκεντρο του ν ποδειχθεί ότι Η Η ΗΖ = υ υ υ β γ (Υπ: Τ τρίγων ΗΒΓ κι έχουν κοινή βάση τη ΒΓ) 6 Αν Μ κι Ν είνι τ µέσ των πλευρών ΒΓ κι Γ ενός πρλληλογράµµου, ν 3 ποδείξετε ότι ΑΜΝ = 8 (Υπ: ΑΜΓ = κλπ) 7 Μι ευθεί πράλληλη προς την πλευρά ΒΓ τριγώνου τέµνει τις πλευρές ΑΒ κι ΑΓ στ σηµεί κι ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι ΑΒ =Α = ΑΓ ΑΒ ΑΒ (Υπ: = Α κλπ) 8 Προεκτείνουµε τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου κι πίρνουµε ντίστοιχ τ ευθύγρµµ τµήµτ Γ = ΒΓ, Α = ΓΑ κι ΒΖ = ΑΒ Ν βρείτε το λόγο των εµβδών των τριγώνων Ζ κι (Υπ: = κλπ) 9 Ν κτσκευστεί τετράγωνο µε εµβδό τριπλάσιο του εµβδού δοσµένου τετργώνου Α Γ (Απ: η πλευρά του θ είνι 3 )

14 0 Λόγος µβδών ΤΟ ΞΧΩΡΙΣΤΟ ΘΜΑ Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ τριγώνου πίρνουµε ντίστοιχ τ σηµεί,, Ζ τέτοι, ώστε ν είνι Α = λ ΑΒ, Β = λ ΒΓ κι ΓΖ = λ ΓΑ, όπου 0 < λ < Ν υπολογιστεί ο λόγος των εµβδών των τριγώνων Ζ κι (Απ: 3λ λ+ )